MODELACION MATEMATICA DE REAIREACION EN EL RIO BONITO

Por: Cerón Ronald, Mellizo Fredy, Jojoa Diana, Domínguez Rodrigo, Sandoval Víctor * 1,2

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RESUMEN

Dada la diversidad de problemáticas relacionados con la contaminación de fuentes de

abastecimiento de agua superficial, la modelación de la calidad de aguas, sigue siendo un

tema relevante, en el manejo y protección de los recursos hídricos. Desde los años 60, un

buen número de modelos utilizados, se han apoyado en la clásica ecuación: Advección –

Dispersión (ADE), para describir, según diferentes niveles de complejidad, los procesos de

transporte y transformación de sustancias conservativas y no conservativas en cuerpos de

agua. La configuración de tales modelos va desde esquemas tridimensionales aplicados en

cuerpos de agua como estuarios o embalses, hasta esquemas unidimensionales aplicados

principalmente en cuerpos loticos (ríos y corrientes superficiales) donde se asume solo una

dimensión preferencial de flujo.

En este trabajo fue necesario deducir la ecuación especifica del modelo a utilizar, partiendo

de la ecuación diferencial general del modelo y agregando nuevas variables

predeterminadas, relacionadas con el consumo de oxígeno y la reaireación, para luego

llegar a la ecuación que se utilizará para modelar el cuerpo de agua de un río en tres

sectores, teniendo en cuenta el perfil de oxígeno disuelto y la evolución de la DBO en

Excel; y para la efectos de comparación de los resultados obtenidos, se empleó el modelo

de calidad de aguas QUAL2kw6 de Greg Pelletier y Steve Chapra, partiendo de la

ecuación deducida.

En este ejercicio se plantea un ejemplo de flujo en un rio, donde se asumen a manera de

ejemplo todos los datos necesarios para el desarrollo de la modelación, al cual tributan tres

(3) descargas, para tres tramos afectados en el rio y su interacción en una longitud total de

12 kilómetros de recorrido y compararlos luego utilizando el mencionado modelo

QUAL2kw6

Palabras clave: oxígeno disuelto, consumo, reaireación, modelación, DBO

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*Ingenieros - Estudiantes de Maestría en Ingeniería Ambiental (2013).

1 - Dorian Prato García (Ing. M.Sc. -PHD), Profesor Asociado.

2 - Universidad Nacional de Colombia-Sede Palmira-Valle, Facultad de Ingeniería Administración.

ABSTRACT

Given the diversity of issues related to the pollution of surface water, the modeling of the

quality of water supplies, is still a relevant issue, in the management and protection of

water resources. Since the 1960s, a number of models used, have relied on the classic

equation: advection - Dispersion (ADE), to describe, according to different levels of

complexity, the transport and transformation processes of conservative and non-

conservative substances in water bodies. The configuration of such models ranges from

three-dimensional schemes applied in bodies of water such as estuaries and reservoirs, to

one-dimensional schemes mainly applied in bodies lotic (rivers and surface currents) where

only a preferential flow dimension is assumed.

For this work was necessary to deduce the equation specifies the model to use, on the basis

of the general model differential equation and adding new default variables, related to the

consumption of oxygen and the reaeration, then get to the equation to be used for modeling

the body of water from a river into three sectors, taking into account the dissolved oxygen

profile and the evolution of the BOD in Excel; and for the purposes of comparison of the

results obtained, Greg Pelletier QUAL2kw6 and Steve Chapra water quality model, based

on the inferred equation was used.

In this exercise is presented an example of flow in a river, where all the data required for

the development of the modeling, which taxed three (3) downloads for three sections

affected in the river and their interaction in a total length of 12 km of travel are assumed as

an example and compare them using the mentioned model QUAL2kw6

KEY WORDS: Dissolved oxygen, consumption, reaeration, modeling, BOD

1.0 INTRODUCCIÓN

Los modelos matemáticos de calidad del agua, permiten predecir el comportamiento de la

calidad del agua de un río o cuerpo de agua bajo diferentes escenarios hidrológicos,

dependiendo de la calidad de los vertimientos diferentes a los observados en la calibración

de los modelos (Camacho y Diazgranados, 2002). Esto se convierte en una herramienta

factible para estimar las soluciones de conservación y recuperación de las fuentes hídricas.

Los fenómenos de transporte de contaminantes han sido ampliamente estudiados y han

dado origen a numerosas formulaciones matemáticas que describen su comportamiento

(Castillo, J 2008). Existe una tendencia a usar cada vez más los modelos matemáticos,

debido a la facilidad de uso con la ayuda de herramientas digitales y a las enormes ventajas

comparativas de este tipo de modelos en relación a los otros. Entre las ventajas están la

rapidez en la obtención de las respuestas, la simplicidad de la materialización en

comparación con los modelos físicos y analógicos, la facilidad para cambiar las

condiciones y parámetros de modelación.

La modelación de este artículo se enmarca en la aplicación de una expresión matemática

deducida del principio del balance de materia, para reducir la complejidad se realizara en

un solo sentido (eje x) dirección del flujo, el cual modelara la evolución del oxígeno

disuelto y la demanda biológica de oxígeno, en diferentes tramos afectados por descargas

puntuales, esto será aplicado en una fuente superficial supuesta, distribuida en tres tramos.

2.0 OBJETIVOS

General

Modelar una corriente hídrica en términos de oxígeno disuelto y demanda biológica de

oxígeno a partir de la ecuación un modelo deducido.

Específicos

Deducir un modelo matemático a partir de la ecuación diferencial de balance de

materia.

Modelar una supuesta corriente de agua, compuesta de tres tramos en función de la

concentración de oxígeno disuelto y demanda biológica de oxígeno.

Modelar la corriente en un programa establecido como QUAL2Kw6

Comparar los resultados obtenidos el modelo con los obtenidos en QUAL2Kw6.

3.0 METODOLOGIA Y MARCO TEORICO

En el desarrollo de este ejercicio teórico, se parte desde la ecuación de conservación de la

materia (Ec. 1), estableciendo ciertas condiciones para establecer un modelo más simple en

el momento de resolver la ecuación diferencial que describe el comportamiento del

balance.

(Ec. 1)

Condiciones de inicio:

1. Establecer que la variación será en un solo sentido (eje x) en dirección del flujo.

(Ec. 2)

2. Que la variación del oxígeno disuelto estará en función de la distancia de recorrido

y no del tiempo.

(Ec. 3)

3. El parámetro que se consume y se produce será el oxígeno disuelto por el fenómeno

de demanda biológica de oxígeno, fenómeno de recreación y demanda béntica.

4. Balance de materia de partida

𝑢𝜕𝐶𝑂2

𝜕𝑥= −𝐾𝑑𝐶𝐷𝐵𝑂 + 𝐾𝑎(𝐶𝑠𝑎𝑡 − 𝐶𝑂2) − 𝐷𝑂𝑆 (Ec. 4)

Donde:

CDBO = Concentración de la demanda biológica de Oxigeno. (mg/l de O2)

Csat = Concentración de saturación del oxígeno. (mg/l de O2)

CO2 = Concentración de Oxígeno disuelto. (mg/l de O2)

DOS = Demanda béntica de oxigeno por sedimentación.

5. Para la expresión de variación de la demanda biológica de oxigeno KdCDBO, en la

mayoría de los casos está dada en función del tiempo debido a que estos parámetros

y la Kd son obtenidos a nivel de laboratorio en un periodo de 5 días, para este caso

debe realizarse el ajuste para que esta variación sea con respecto al tiempo de

recorrido.

𝑢𝑑𝐶𝐷𝐵𝑂

𝑑𝑥= −𝐾𝑅𝐶𝐷𝐵𝑂 (Ec. 5)

6. Para la demanda béntica (DOS), se establece que esta sea un término constante que

no varía con la distancia de recorrido del cuerpo hídrico.

Resolviendo la ecuación diferencial de masa, se obtiene la expresión matemática:

𝐶𝑂2 = 𝐶𝑠𝑎𝑡 − 𝐷𝑂𝑆1

𝑢(

𝑢

𝐾𝑎) +

(𝐶𝑂2𝑖−𝐶𝑠𝑎𝑡+𝐷𝑂𝑆(𝑢

𝐾𝑎)

𝑒(𝐾𝑎𝑢

𝑥)+

𝐾𝑑𝐶𝐷𝐵𝑂

(𝐾𝑎−𝐾𝑅)[𝑒−(

𝐾𝑎𝑢

𝑥) − 𝑒−(𝐾𝑅𝑢

𝑥)] (Ec. 6)

Para el caso en particular se utiliza la expresión para calcular la demanda béntica por

Gardiner en 1984.

𝐷𝑂𝑆 = 7.66 𝐷𝑄𝑂

156.5+𝐷𝑄𝑂 (Ec. 7)

En donde las unidades:

DOS (g de O2/m2.d)

DQO (mg de O2/m3)

Para el caso, las unidades del DOS para sustituirla dentro de la Ec. (6) deben ser mg/l O2,

por ende la expresión 𝐷𝑂𝑆1

𝑢(

𝑢

𝐾𝑎) se debe multiplicar por el inverso de la profundidad

media de del rio 1

ℎ , para que haya unificación de unidades, la cuales quedaran en mg/l de

O2.

𝐷𝑂𝑆 (𝑢

𝐾𝑎) (

1

𝑢) (

1

ℎ) =

𝐷𝑂𝑆

ℎ𝐾𝑎

𝐶𝑂2 = 𝐶𝑠𝑎𝑡 −𝐷𝑂𝑆

ℎ𝐾𝑎+

(𝐶𝑂2𝑖−𝐶𝑠𝑎𝑡+𝐷𝑂𝑆

ℎ𝐾𝑎

𝑒(𝐾𝑎𝑢

𝑥)+

𝐾𝑑𝐶𝐷𝐵𝑂

(𝐾𝑎−𝐾𝑅)[𝑒−(

𝐾𝑎𝑢

𝑥) − 𝑒−(𝐾𝑅𝑢

𝑥)] (Ec. 7)

3.1 APLICACIÓN DEL MODELO

Se pretende modelar el rio en tres sectores, el cual presenta en su recorrido el aporte de tres

afluentes o tributarios. En las siguientes condiciones:

1. La modelación inicia donde se presenta la primera contribución.

2. Se tiene las condiciones iniciales del rio (antes del vertimiento) y las condiciones

del vertimiento 1.

3. En el primer punto de contribución se realiza un balance de masa para conocer las

condiciones en el primer punto.

Ecuación de Balance de masa:

𝐶𝑓 = (𝐶𝑣𝑄𝑣+ 𝐶𝑟𝑄𝑟)

(𝑄𝑣+𝑄𝑟) (Ec. 7)

4. Para los puntos 2 (en el vertimiento 2) y Punto 3 (vertimiento 3) se repite el

anterior protocolo.

La expresión matemática Ec. 8 se incorpora en una hoja de cálculo (Excel) y se corre con

respecto a la distancia. Se toma tres tramos como se muestra en la siguiente figura.

Nota: Los datos de constantes y concentraciones de los diferentes cuerpos hídricos (rio, vertimiento) se encuentran enmarcados dentro

de las tablas que señalan los puntos de intercepción con el cuerpo principal.

Km 0+000

Km 5+000

Km 7+500

Figura 1. Sectorización del rio.

4.0 RESULTADOS

Al evaluar los parámetros de inicio en la hoja de cálculo se puede evidenciar el

comportamiento que sufre la corriente con respecto al recorrido y los afluentes.

Se tiene los datos de partida de cada tramos son lo que se encuentra dentro de la figura 1,

que al aplicarse los balance de masas se obtiene los siguientes resultados para cada punto.

Tabla 1. Datos

Parámetros Unidad Datos punto

1 Datos punto

2 Datos punto

3

Csaturacion O2 mg/l O2 9.00 9.00 9.00

Co2i mg/l O2 7.84 7.41 7.35

DBO5i mg/l O2 5.88 6.57 6.30

Ka 1/día 0.99 0.99 0.99

Kd 1/día 0.41 0.41 0.41

Kr 1/día 0.25 0.25 0.25

Velocidad media del rio m/día 86400 86400 86400

Profundidad media (h) m 1.00 1.20 2.00

BQO mg/m3 O2 11764.71 12720.16 12159.71

DOS g/m2.dia 7.56 7.57 7.56

Con estos datos se corre la expresión matemática Ec. 7, para cada tramo obteniendo los

resultados de la tabla 2.

Tabla 2. Resultados de la demanda Biológica de Oxigeno y oxígeno disuelto del Rio

Distancia (m) O2 (mg/l) BDO (mg/l)

TRAMO 1

0 7.8431 5.8824

1000 7.7561 5.8654

2000 7.6701 5.8484

3000 7.5851 5.8315

4000 7.5011 5.8147

5000 7.4180 5.7979

TRAMO 2

5001 7.4064 6.5693

5500 7.3791 6.5598

6000 7.3520 6.5503

6500 7.3250 6.5408

7000 7.2982 6.5314

7500 7.2715 6.5219

TRAMO 3

7501 7.3534 6.3026

8500 7.3287 6.2899

9500 7.3042 6.2773

10500 7.2800 6.2648

11500 7.2561 6.2522

12500 7.2325 6.2397

La variación de las concentraciones de oxígeno disuelto y la demanda biológica de oxigeno

se muestra gráficamente para los diferentes tramos y evidenciar el comportamiento de los

parámetros de importancia de calidad del rio.

Figura 2. Comportamiento de la concentración de la BDO y el OD.

Teniendo el comportamiento del cuerpo a través de su recorrido, se realiza la modelación

en el programa de calidad de agua de la EPA (Agencia de protección Ambiental de los

Estados Unidos), el QUAL2KW versión 5, que para defecto tendrá los mismo valores

evaluados dentro de nuestro modelo matemático.

Hay que tener en cuenta que el programa de QUAL2KW modela el rio de abajo a hacia

arriba tomando el punto final como Distancia (x) 0 Km, y el punto de inicio como Distancia

(x) 13,6 Km,

5.00

6.00

7.00

8.00

9.00

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

Co

nce

ntr

acio

n m

g/l

Distancia (m)

O2

BDO

Datos con distancia original QUAL2kw Datos de distancia intercambiados QUA2kw

Distancia

(m) OD (mg/l) DOB (mg/l)

13.60 8.00 2.00

13.39 8.00 2.00

12.96 8.00 1.99

12.33 7.91 2.21

11.48 7.90 2.20

10.63 7.89 2.19

9.78 7.88 2.19

8.93 7.87 2.18

8.08 7.86 2.17

7.23 7.84 2.16

6.38 7.83 2.16

5.53 7.82 2.15

4.68 7.25 1.99

3.83 7.25 1.98

2.98 7.25 1.98

2.13 7.25 1.97

1.28 7.25 1.97

0.43 7.25 1.96

0.00 7.25 1.96

Distancia (m) OD (mg/l) DOB (mg/l)

0.00 8.00 2.00

0.21 8.00 2.00

0.64 8.00 1.99

1.28 7.91 2.21

2.13 7.90 2.20

2.98 7.89 2.19

3.83 7.88 2.19

4.68 7.87 2.18

5.53 7.86 2.17

6.38 7.84 2.16

7.23 7.83 2.16

8.08 7.82 2.15

8.93 7.25 1.99

9.78 7.25 1.98

10.63 7.25 1.98

11.48 7.25 1.97

12.33 7.25 1.97

13.18 7.25 1.96

13.60 7.25 1.96

Figura 3. Comportamiento de la concentración de la BDO y el OD. Qual2kw.

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

9.00

0.00 5.00 10.00 15.00

OD (mg/l)

DOB (mg/l)

5 - CONCLUSIONES E INTERPRETACION DE RESULTADOS

1 – Se observa un descenso brusco en la curva de OD entre las abscisas 8.08 – 8.93

kilómetros dentro de lo que ocurre en el tramo 2, encontrándose que el déficit critico

ocurra en la distancia k0 + 8.93 km, determinándose una concentracción critica de oxígeno

disuelto de 7.25 mg/l.

2 – La concentración del oxígeno disuelto se mantiene levemente afectada por los

vertimientos a lo largo de 8 kilómetros, lo cual significa que el modelo permite predecir y

observar la homogenización del contaminante en el rio para luego descender bruscamente

desde una saturación de oxígeno disuelto desde 8 mg/l a 7.25 mg/l.

3 - El modelo matemático permite predecir la sensibilidad del fluido a la carga de materia

orgánica o DBO, mostrando gráficamente que entre las distancias entre 1.28 y 8.08 km,

demostrándose un incremento de la DBO entre 2.0 a 2.21 mg/l.

4 – Se observa una concentración constante tanto de DBO como de OD, a partir de la

distancia crítica de 8.93 km, sin experimentarse ni consumo ni reaireación, lo que permite

afirmar que el rio a la distancia de 13.60 kilómetros aun no muestra indicios de

recuperación por intercambio atmosférico o digestión de materia orgánica.

5 - Los modelos matemáticos permiten predecir comportamientos intrínsecos para la

calidad del agua en función de la distancia y el tiempo, donde los parámetros de consumo

de oxígeno disuelto y la digestión de la materia orgánica carbonácea y nitrogenada son las

variables de entrada de mayor interés para la predicción de su recuperación o

empeoramiento. Estos modelos como el QUAL2KW son susceptibles de incremento en su

sensibilidad según el número o cantidad de variables de interés propuestas para un estudio,

y que afectasen un determinado cuerpo de agua, lo que permite una mayor aproximación a

la realidad.

6 - BIBLIOGRAFIA

- CASTILLO, Jorge. Modelos de calidad del agua. 2008

- SANTOS, Tania, modelación dinámica de calidad del agua con efluentes de

curtiembres. Estudio de caso cuenca alta del río Bogotá. Una herramienta de

planeación. 2010.

- Deducción de la ecuación de Streeter and Phelps, contemplando distintas variables

https://www.google.com.co/#q=capitulo+ii+modelo+streeter-phelps-

- MUTC – UN MODELO DE TRANSPORTE EN RÍOS: APLICACIÓN AL RÍO

SINÚ - I.C., MARIO ALBERTO JIMÉNEZ JARAMILLO.

- Modelo QUAL2kw – CHAPRA – PELLETIER – Manual de usuario .Departamento de

Ecología de la World Wide Web en http://www.ecy.wa.gov/biblio/04030??.html

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Palmira, City, UNAL, 18 January, 2014, thanks.