Modelacion (Teoria de Colas)

7/17/2019 Modelacion (Teoria de Colas)

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Definición de Modelo Es una representación simplificada de

la realidad en la que aparecenalgunas de sus propiedades

Un modelo es un objeto, concepto oconjunto de relaciones que se utilizapara representar y estudiar de formasimple y comprensible una porción dela realidad empírica.

153



Modelación L a modelación es una parte estructural del proceso

de resolución de problemas en las Ciencias de laIngeniería, especialmente en el ámbito de la

investigación Operativa en busca de mejoramiento deprocesos logísticos y productivos.

La utilidad de la modelación de los procesos comoherramienta para actuar de manera sistemática y

metódica, es decir con una base científica y técnicaen el mejoramiento del funcionamiento y de losbienes y servicios producidos por una organización.

154



Características Exactitud Realista Robusto Generalizable Útil

155



Tipos de Modelos Modelos Icónicos

La relación de correspondencia se establece a través de laspropiedades morfológicas, habitualmente un cambio de escala conconservación del resto de las propiedades topológicas, ejemplo unamaqueta

Modelos Análogos Poseen algunas propiedades similares a los objetos representados,

pero sin ser una réplica morfológica de los mismos Ejemplo mapa impreso

Modelos Simbólicos Se construyen mediante reglas notablemente más abstractas ya

que se representan mediante una codificación matemática(geometría, Estadística, etc.)

156



Tipos de Modelos Matemáticos Determinísticos y estocásticos

Lineales y no lineales De tiempo continuo y tiempo discreto Invariantes y Variantes

Estáticos y Dinámicos

157



Esquema

MODELOS

Perturbaciones

Variables deSalida

Variables deEntrada

158



Metodologías de Modelación Teórica Empírica Combinada

159



Ejemplos de Modelos Sistema ecológico

Sistema de Flujo Sistema Económico Diagrama de Bloques Ecuaciones Diferenciales

160



Actos de habla

Modelo para la Gestión de Empresas

161



ESTADO DE ANIMO POSITIVOS. 1 Ambición: “Hay posibilidades para mí en esto y estoy comprometido a

tomar acciones para hacer que ocurran”.

2 Serenidad: “Opino que en cualquier momento se pueden abrir o cerrarposibilidades para mí, y estoy en paz con ello”

3 Confianza: “Basándome sobre tu historia pasada, tengo el juicio quecumplirás las promesas que me has hecho”

4. Aceptación: “Opino que aquí se han cerrado posibilidades para mí y estoy enpaz con ello”

5 Asombro: “No sé qué es lo que ocurre aquí, y me gusta”

6 Resolución: “Yo veo posibilidades para mí aquí y voy a tomar acción ahoramismo”

7 Seguridad: “Soy competente para actuar en este dominio y puedo fundar este juicio”

8 Perplejidad: “No sé qué es lo que ocurre aquí”. 162



ESTADOS DE ANIMO NEGATIVO

1 Resignación: “Opino que nada mejorará aquí, ha sido siempre así y siempre será así, no haynada que yo pueda hacer para cambiarlo”

2 Desesperanza: “Opino que hechos negativos me ocurrirán aquí, y mi juicio es que nadie puedehacer algo para cambiarlo”

3 Desconfianza: “Opino que nunca me has cumplido tus promesas ni nunca lo harás, ni a mí ni aningún otro”

4 Resentimiento: “Opino que tú me has cerrado posibilidades, te declaro responsable por ello, yestoy comprometido a no tener ninguna conversación contigo sobre esto”

5 Confusión: “No sé qué es lo que pasa aquí, no sé qué hacer, y no me gusta”

6 Agobio: “Se me cerrarán futuras posibilidades si no trabajo más duro y más rápido ahoramismo”

7 Arrogancia: “Tengo el juicio que aquí soy la persona más competente, aunque no puedofundarlo”

8 Aburrimiento: “Ya sé de qué se trata lo que pasa aquí........ es lo mismo de siempre”

9 Temor: “Debo ser el único que no sabe lo que ocurre aquí, no entiendo nada, y esto me va adestruir”.

163



ACTOS DE HABLA

__________________________________________________________________________Pedidos

Promesas Configuran

el mundo

ejecutivas Declaraciones

Evaluativas

___________________________________________________________

Afirmaciones Describen

El mundo ________________________________________________________________________

“Rollo”

164



Elementos Constitutivos de una Petición

1 Una comunidad a la cual pertenecen dos personas que hablan:

* un orador que hace la petición * un oyente que escucha la petición

2 Dos momentos en el tiempo

momento presente, en que se hace la petición momento futuro, en que se solicita que se cumpla la petición

3 Condiciones de satisfacción del pedido. Condiciones bajo las cuales quien

hizo la petición se declarará satisfecho que su petición ha sido cumplida.Las condiciones de satisfacción corresponden a prácticas sociales en la comunidad:

acción futurainterpretación de algo que falta al oradortrasfondo de obviedad

Confianza. El orador confía en la sinceridad y responsabilidad con que el oyente escucha supedido y con su competencia para cumplirla. 165



ELEMENTOS CONSTITUTIVOS DE UNA PROMESA

1 Una comunidad a la cual pertenecen dos personas que hablan:

un orador que hace la promesa un oyente que escucha la promesa

Dos momentos en el tiempo

* momento presente, en que se hace la promesa * momento futuro, en que se solicita que se cumpla la promesa

Condiciones de satisfacción de la promesa. Condiciones bajo las cuales a quien se le hizo la

promesa se declarará satisfecho que la promesa ha sido cumplida. Las condiciones de satisfacción corresponden a prácticas sociales en la comunidad:

acción futura* interpretación de algo que falta al oyente* trasfondo de obviedad

Confianza. El oyente confía en la sinceridad y responsabilidad con que el orador hace supromesa y con su competencia para cumplirla. 166



ELEMENTOS CONSTITUTIVOS DE UNA EVALUACIÓN

Para que haya una evaluación fundamentada se requiere: 1 Un orador 2 Un oyente

3 El oyente escucha que el orador hace una evaluación en torno a una acción, evento, miembro

de una organización, etc.La evaluación puede ser fundamentada o no fundamentada, pero nunca verdadera o falsa.

4 La fundamentación de una evaluación provee de una historia acerca de las posibles accionesque pueden ser tomadas en el futuro.

Para fundamentar la evaluación se requiere traer desde el trasfondo los siguientes elementos:

(1) Una preocupación por el futuro que le da sentido a la evaluación(2) Declarar el ámbito de acciones en las que se hace la evaluación

(3) Observaciones recurrentes (afirmaciones) sobre hechos del pasado, de loscuales se compromete el orador a dar evidencia.

(4) Declarar un estándar sobre el que se basa la evaluación.

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ELEMENTOS CONSTITUTIVOS DE UNA AFIRMACIÓN

Para que haya una afirmación se requiere:

1 Un orador 2 Un oyente

3 El orador se compromete con lo que afirma. Laafirmación incluye una oferta, implícita o explícita,de proveer evidencia

4 Puede ser verdadera o falsa 5 Requiere de un acuerdo social sobre lo que constituye

evidencia.

168



ESTRUCTURA CANONICA DE UN DISCULPA

1 Afirmo que te hice una promesa

2 Declaro que no te cumplí esa promesa

3 Declaro que ello te causó daño

4 Te ofrezco compensación y te prometo que novolverá a ocurrir

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FUNDAMENTACIÓN DE EVALUACIONES:

PREGUNTAS PARA GUIAR LA FUNDAMENTACIÓN

1. ¿Cuál es mi interés al hacer la evaluación? 2. ¿Qué es lo que quiero lograr? 3. ¿A qué dominios de acción está restringida la

evaluación? 4. ¿Cuáles con mis estándares de evaluación en dichos

dominios de acción? 5. ¿Qué afirmaciones puedo proveer para apoyar o

refutar esta evaluación? 6. ¿Qué acciones son ahora posibles?

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ESTRUCTURA CANONICA DE UN RECLAMO

Afirmo que me hiciste una promesa Declaro que no me cumpliste esa promesa

Declaro además que tu incumplimiento me ha causadodaño Te pido te disculpes y me prometas que no volverá a

ocurrir Te pido me des una compensación (si corresponde)

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ESCUCHAR PARA ABRIR POSIBILIDADES:Escuchar las preocupaciones e

intereses del que habla

Preguntar:

¿Cuáles son las insatisfacciones?

¿Cuáles son las preocupaciones e intereses que esasinsatisfacciones le impiden cuidar? Si esas preocupaciones e intereses no pueden ser bien

atendidos, ¿Cuáles son las preocupaciones e interesesmás de fondo que no pueden ser cuidados?

172



ESCUCHAR PARA ABRIR POSIBILIDADESConstruir una interpretación de las narrativas e historias en las cuales lapersona existe, que toma por verdades, y que le impiden abrirposibilidades.

Observar las evaluaciones gobernantes de las historias o narrativas.Observar:

Personajes negativos que figuran en las historias o narrativas; es decircaracterizaciones negativas que la persona hace. (Esta evaluaciónproduce resignación con respecto a lo que es posible esperar de los

personajes).

Explicaciones que aparecen en las historias o narrativas acerca de “lascausas de que las cosas sean como son” y que tranquilizan a la persona.Estar atento a palabras como: “porque”, “debido a que”, “por lo tanto”...(Estas producen inacción al tranquilizarnos con que sabemos la causa de

las historias). 173



TEORÍA DE COLAS

174



175

TEORÍA DE COLASEquilibrio entre Costos de Espera y Costos de Servicio

Nivel Óptimo de Servicio Nivel de Servicio

Costo por TIEMPODE ESPERA

Costo por proporcionarel SERVICIO

Costo

CostoTotalMínimo

COSTO TOTALESPERADO



176

TEORÍA DE COLASCOLAS MAS COMUNES

SITIO ARRIBOS EN COLA SERVICIO

Supermercado Compradores Pago en cajas

Peaje Vehículos Pago de peaje

Consultorio Pacientes Consulta

Sistema de Cómputo Programas a sercorridos

Proceso de datos

Compañía de teléfonos Llamadas Efectuar comunicación

Banco Clientes Depósitos y Cobros

Mantenimiento Máquinas dañadas Reparación

Muelle Barcos Carga y descarga



177

TEORÍA DE COLAS

Características de una LINEA DE ESPERA Una cola de espera está compuesta de tres

elementos:1. Arribos o ingresos al sistema2. Disciplina en la cola3. Servicio

Estos tres componentes tienen ciertas característicasque deben ser examinadas antes de desarrollar elaspecto matemático de los modelos de cola.



178

TEORÍA DE COLASCaracterísticas de una LINEA DE ESPERACARACTERISTICAS DE ARRIBO:

DISTRIBUCION DE POISSON:

P(x) = Probabilidad de x arribos .x= número de arribos por unidad de tiempo = tasa promedio de arribo

.e = 2.71828

,...4,3,2,1,0 _ !

x para x

e x P

x

TEORÍA DE COLAS



179

TEORÍA DE COLASConfiguraciones Básicas de Sistemas de Colas

Configuraciones básicas para el Servicio

SERVIDOR

COLA

SERVICIOFASE 2

COLA

ARRIBOS

SERVICIOFASE 1 SALIDAS

SISTEMA UN CANAL, UNA FASE

ARRIBOS

UN SOLO CANAL, MULTIFASE

SALIDAS

TEORÍA DE COLAS



180



SISTEMA MULTICANAL UNA FASE

ARRIBOS

COLA CANAL 1

CANAL 2

CANAL 3

SALIDAS



181

SISTEMA MULTICANAL MULTIFASE

ARRIBOS

COLA FASE 2CANAL 1

FASE 1CANAL 2

FASE 2CANAL 2

SALIDAS

FASE 1CANAL 1





182

TEORÍA DE COLAS

Medición del Rendimiento de las Colas Los modelos de colas ayudan a los administradores a tomar

decisiones para balancear los costos de servicio deseables conlos costos de espera en la línea.

Los principales factores que se evalúan en estos modelos son:1. Tiempo promedio que cada cliente u objeto permanece en lacola2. Longitud de cola promedio3. Tiempo promedio que cada cliente permanece en el

sistema (tiempo de espera + tiempo de servicio).4. Número de clientes promedio en el sistema.5. Probabilidad de que el servicio se quede vacío6. Factor de utilización del sistema7. Probabilidad de la presencia de un específico número de

clientes en el sistema.



183

TEORÍA DE COLAS

Notación de los Modelos de Colas Reconociendo la diversidad de los sistemas de colas, Kendall

(1953) propuso un sistema de notación para sistemas deservidores paralelos que ha sido adoptado universalmente.

Una versión resumida de esta convención está basada en elformato A/B/c/N/K . Estas letras representan las siguientescaracterísticas del sistema:

A = Distribución de tiempo entre arribos. B = Distribución del tiempo de servicio.Los siguientes son símbolos comunes para A y B:

M = exponencial o Markov (1)

D = constante o determinística



184

TEORÍA DE COLAS

Notación de los Modelos de Colas Ek = Erlang de orden k P H = Tipo fase H = Hiperexponencial G = Arbitrario o general GI = General independiente

.c = número de servidores paralelos

N = Capacidad del sistema K = Tamaño de la población.Nota(1): A causa de las suposiciones de distribución

exponencial en los procesos de arribo, estos

modelos son llamados MARKOVIANOS



185

TEORÍA DE COLAS

Notación de los Modelos de Colas Por ejemplo: M/M/1/ / significa un solo

servidor , capacidad de cola ilimitada y poblacióninfinita de arribos potenciales. Los tiempos entre

arribos y los tiempos de servicio son distribuidosexponencialmente.

Cuando N y K son infinitos , pueden ser descartados

de la notación. M/M/1/ / es reducido a M/M/1.



186

TEORÍA DE COLAS

Variedad de Modelos de Colas Existe una cantidad enorme de Modelos de Colas que

pueden utilizarse. Nos vamos a concentrar en 4 de losmodelos más usados. Modelos más complejos pueden

ser desarrollados mediante el uso de la Simulación y selos encuentra en textos especializados sobre el tema. Los 4 modelos de colas a estudiar asumen:

o Arribos según la Distribución de Poisson

o Disciplina PEPSo Una sola fase de servicio.

Modelo A: Un canal, Arribos según la Distribución dePoisson; Tiempos de Servicio exponenciales



187

TEORÍA DE COLAS

Variedad de Modelos de Colas Modelo B: Multicanal Modelo C: Tiempo de Servicio constante

Modelo D: Población Limitada

Modelo A: Modelo de Colas de un solo canal,con arribos que siguen la distribución de

Poisson y Tiempos de Servicio Exponenciales:(Modelo M/M/1) Los casos más comunes de problemas de colas

incluyen la línea de espera de canal único o servidorúnico. En este caso los arribos crean una solacola a ser servida por una sola estación.



188

TEORÍA DE COLAS

Modelo A: M/M/1 Asumimos que existen las siguientes condiciones:

1. Los clientes son servidos con una política PEPS y cada

arribo espera a ser servido sin importar la longitudde la línea o cola.2. Los arribos son independientes de arribos anteriores,

pero el promedio de arribos, no cambia con el tiempo.3. Los arribos son descritos mediante la distribución de

probabilidad de Poisson y proceden de una poblaciónmuy grande o infinita.4. Los tiempos de servicio varían de cliente a cliente y son

independientes entre sí, pero su tasa promedio esconocida.

TEORÍA DE COLAS



189

TEORÍA DE COLASModelo A: (M/M/1) – Modelo B:

(M/M/S)5. Los tiempos de servicio se representan mediante la

distribución de probabilidad exponencial negativa.6. La tasa de servicio es más rápida que la tasa de arribo.

Modelo B: Modelo de cola multicanal (M/M/S) Dos o más servidores o canales están disponibles para

atender a los clientes que arriban.

Los clientes forman una sola cola y se los atiende deacuerdo al servidor que queda libre. Asumimos que los arribos siguen la distribución de

probabilidad de Poisson y los tiempos de servicio sondistribuídos exponencialmente.

TEORÍA DE COLAS



190

TEORÍA DE COLASModelo B: (M/M/S) Modelo C:

(M/D/1) Los servicios se los hace de acuerdo a la política primero en

llegar primero en ser servido (PEPS) y todos los servidoresatienden a la misma tasa.

Modelo C: Modelo de Tiempo de Servicio Constante(M/D/1) Algunos sistemas tienen tiempos de servicio constantes en

lugar de exponencialmente distribuídos. Cuando los clientes sonatendidos o equipos son procesados con un ciclo fijo como es

el caso de una lavadora de carros automatizada o ciertosentretenimientos en los parques de diversiones, el asumirservicio constante es adecuado.



191

TEORÍA DE COLAS

Modelo D: Población limitada Modelo D: Modelo de Población limitada.-

Este modelo puede ser usado por ejemplo si estamos

considerando reparaciones de equipo en una fábrica que tiene 5máquinas. Este modelo permite cualquier número dereparadores a ser considerados.

La razón por la cual este modelo difiere de los otros tres es que

ahora hay una relación de dependencia entre la longitud dela cola y la tasa de arribo. La situación extrema sería si en lafábrica tenemos 5 máquinas, todas se han dañado y necesitanreparación; siendo en este caso la rata de arribo CERO. Engeneral, si la línea de espera crece, la tasa de llegada tiende a

cero



192

RESUMEN DE LOS MODELOS

DE COLAS DESCRITOSMODELO NOMBRE N° DE

CANALES

N° DEFASES

PATRÓNDE

ARRIBO

PATRÓNDE

SERVICIO

TAMAÑO DELA POBLACIÓN

DISCIPLINADE COLA

A SIMPLEM/M/1

UNO UNA POISSON EXPONENCIAL

INFINITA PEPS

B MULTI-CANALM/M/S

MULTICANAL

UNA POISSON EXPONENCIAL

INFINITA PEPS

C SERVICIO

CONSTANTE(M/D/1)

UNO UNA POISSON CONSTAN

TE

INFINITA PEPS

D POBLACIONLIMITADA

UNO UNA POISSON EXPONENCIAL

FINITA PEPS



193

FÓRMULAS PARA COLASMODELO A: SISTEMA SIMPLE O M/M/1

1

servicio)detiempoesperade(tiempo sistemaelen permaneceunidadunaque promedioTiempo

sistemadelnutilizaciódeFactor

sistemaelen(clientes)unidadesde promedio Número

sistemaelenunidadesdenúmero

tiempode período porservidoscosasogentede promedio Número

tiempode período porarribosde promedio Número

S

S

S S

W

W

L L

n



194

FÓRMULAS PARA COLASMODELO A: SISTEMA SIMPLE O M/M/1

1

2

sistemaelenesténunidadesk""demásquedeadProbabilid

11

vacía)estáserviciodeunidad(lasistemaelenunidadescerodeadProbabilid

11

sistemaelenesténclientes"n"quedeadProbabilid

colalaenesperaunidadunaque promedioTiempo

colalaenunidadesde promedio Número

k

k n

k n

o

o

n

n

n

n

S q

S q

P

P

P

P

P

P

W W

L L



195

FÓRMULAS PARA COLAS

MODELO B: SISTEMA MULTICANAL O M/M/S

Po M M

L

L

M

M

M

M n

P

P

M

M

S

s

M M n

n

no

o

2

1

0

.!.1

:sistemaelenunidadeso personasde promedionúmero

para

!

1

!

1

1 sistemaelenunidadeso personasCEROexistanquedeadProbabilid

canalcadaenserviciode promediotasa

arribode promediotasa

abiertoscanalesdenúmero



196


MODELO B: SISTEMA MULTICANAL O M/M/S

q

S q

q

S S q

q

S

M

S

s

LW W

W

L L L

L

L Po M M

W

W

1

servicio poresperandocolalaenda tar

seunidado personaunaque promedioTiempo

serviciodeesperaencola,olínealaenunidadeso personasde promedio Número

1 !1

)(atendida)servidasiendoycolala(en

sistema,elen permaneceunidadunaque promedioTiempo

2



197


MODELO C: SERVICIO CONSTANTE O MODELO M/D/1

1

sistema,elenesperade promedioTiempo

sistema,elenclientesde promedio Número

2 cola,laenesperade promedioTiempo

2 cola,lade promedioLongitud

2

qS

qS

q

q

W W

L L

W

L



198

FORMULAS PARA COLASMODELO D: POBLACIÓN LIMITADA

serviciodeFactor

colalaenesperaunidadunaque promedioTiempo

unidadlaaatencióndentosrequerimieentreservicioTiempode

promedioserviciodeTiempo

s potencialeclientesde Número

serviciodecanalesde Número

servicioelesperandounidadesde promedio Número

serviciodesectorelenocolaenestánnoqueunidadesde promedio Númeroservidassiendounidadesde promedio Número

eficienciadeFactor

colalaenesperarquetengaunidadunaquedeadProbabilid

: NOTACIÓN

X

W

U

T

N

M

L

J H

F

D



FORMULAS PARA COLASMODELO D: POBLACIÓN LIMITADA

H L J N

FNX H X NF J

XF

F T

L N

U T LW

F N L

U T

T X

.............PoblaciónladeCuantía

servidosiendo promedio Número1 entofuncionamien promedio Número

1 ........ esperade promedioTiempo

1 ........ esperaen promedio Número

.......................ServiciodeFactor

:FÓRMULAS

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