SECADO

I. TEORIA Y MODELACION MATEMATICA

1. INTRODUCCION

La deshidratación es una técnica de conservación de alimentos que sebasa en la eliminación de agua de los mismos para darles estabilidadmicrobiana, reducir las reacciones químicas deteriorativas y reducir los costosde almacenamiento y transporte.

Los procesos de deshidratación se pueden dividir en:

a. Concentración, en la que nos referimos a un proceso en el cual lamateria prima normalmente es un líquido, y el contenido final de agua es de30%.

b. Secado, en donde el contenido de agua es reducido a menos de 10% y elproducto inicial pueden ser placas más o menos rígidas, gotas o partículas decualquier forma.

Cuando hablamos de secado, podría hacerse una clasificación con base enel procedimiento por el cual se elimina el agua. En general son dos estosprocedimientos:

1.- aquellos en los que el agua se elimina por evaporación,2.- aquellos en los que el agua se elimina por sublimación (liofilización o

criodeshidratación),

a los cuales podría añadirse un tercero:

3.- aquellos en donde la eliminación de agua se lleva a cabo por mediosmecánicos (compresión, prensas).

Si la eliminación del agua se lleva a cabo por evaporación, pueden usarsedos técnicas diferentes:

i. Contacto con aire caliente y/o dehumidificado (túnel, spray, lechofluidizado o estático)

ii. Contacto con superficies calientes (rodillos, tambor).

Además, el proceso puede llevarse a cabo a presión atmosférica o envacío.

2. EL ESTADO DEL AGUA EN LOS ALIMENTOS

La disponibilidad del agua para crecimiento microbiano y actividad químicano solo se determina por el contenido total de agua, sino también por lanaturaleza de su unión a los alimentos.

El método más adecuado para estudiar las propiedades del agua es elestudio de las isotermas de sorción. Estas son curvas que relacionan lapresión parcial del agua en el alimento con el contenido de agua. A menudo semaneja la actividad de agua en lugar de presión parcial:

aw = ( p /po)T (2.1)

donde

aw = actividad de agua

p = presión parcial de vapor de agua en el alimento

po = presión de vapor de agua a una temperatura T

Las isotermas típicas de los alimentos tienen forma sigmoidea, y puedenser descritas en una forma aproximada por una serie de relacionesmatemáticas, algunas de las cuales se presentan en la tabla 2.1.

La forma típica de una isoterma de sorción es la mostrada en la figura2.1, y en ella se pueden apreciar tres zonas características, en las cualesteóricamente el agua se presenta en un estado de asociación diferente:

I. Agua de monocapa (aw < 0.2). Es agua fuertemente unida a sitiosespecíficos. Normalmente esa agua se une a los constituyentes del alimento(proteínas o polisacáridos) por puentes de hidrógeno o enlaces ión-dipolo. Parallegar a eliminar este tipo de agua, teóricamente la cantidad de energíanecesaria es muy elevada, como se muestra en la figura 2.2.

Este tipo de agua en la mayoría de los alimentos se presenta a menos del10% de humedad.

___________________________________________________________Tabla 2.1 Modelos matemáticos para isotermas

___________________________________________________________

Lineal W = C1 aw + C2

Oswin W = C (aw/(1 - aw)) n

Kuhn W = C1 (ln aw) n + C2

Fugassi W = C1 aw

C 2a w (1 - a w ) + C3a w

BET aw

(1 -aw) W =

1WoC +

a w(C - 1)Wo C

donde W = humedad en base seca = Kg agua/kg s.s., y las restantes letras sonlos coeficientes característicos de cada modelo.___________________________________________________________

Fig. 2.1 Isotermas típicas de adsorción y desorción de un alimento.

Fig. 2.2 Dependencia del calor total de adsorción de agua con la actividad deagua.

La energía necesaria para eliminar el agua de monocapa es hasta 20 vecesmayor que la necesaria para el agua pura, por lo que es antieconómico yprácticamente imposible encontrar un proceso que elimine esta agua.

El agua de monocapa es el límite al cual puede llevarse a cabo un procesode secado, y no puede eliminarse por métodos convencionales.

II. Agua de multicapa o adsorbida en capilares (0.2 a 0.5 aw). Es unaporción de agua en la cual la presión de vapor de agua sufre una depresión porestar en pequeños capilares de radio r. La relación entre la actividad de aguay el radio del capilar es:

ln aw = -2γr cosΘ C (2.2)

donde

γ = energía libre superficial del aguar = radio del capilarΘ = ángulo de contactoC = constante

Este tipo de agua participa en las reacciones deteriorativas y sí puedeeliminarse por el proceso de secado, con mayor facilidad que la de monocapa.

III. Agua libre (aw > 0.5). Este tipo de agua actúa como solvente de losconstituyentes de los alimentos (los cuales pueden disminuír su presión devapor). Esta puede eliminarse en forma relativamente fácil en los procesos desecado y también participa en las reacciones de deterioración, o puedeevitarlas al separar a los reactantes.

3. CURVAS DE VELOCIDAD DE SECADO

Los datos experimentales obtenidos en una investigación sobre el efectode las condiciones externas de secado, son el contenido de humedad delproducto en función del tiempo, bajo condiciones de secado constantes. Estasse pueden representar como una curva de secado (Fig. 2.3). El término"condiciones de secado constantes" significa que la velocidad del aire,temperatura, humedad y presión se mantienen constantes y que lascondiciones del aire de salida del proceso son sustancialmente las mismas quelas de la entrada.

La nomenclatura usada para definir el término humedad es la siguiente:

W = Kg agua/Kg s.s. = lb agua/lb s.s. = humedad en base seca

W = Kg agua/Kg tot. = lb agua/lb tot. = humedad total o humedad en base húmeda

Fig. 2.3 Curva típica de secado de un alimento.

La diferenciación de los datos de la curva de secado, ya sea en formagráfica o numérica, genera la velocidad de secado, término que al sergraficado contra el contenido de humedad o contra el tiempo, genera unarepresentación del tipo de la presentada en la figura 2.4.

La velocidad de secado puede expresarse como:

dWAdΘ [=] Κg agua/ m2 Kg s.s. hr

dWdΘ [=] Κg agua/ hr

dWAdΘ [=] Κg agua/ m2 hr

Fig. 2.4 Curvas típicas de velocidad de secado.

Una manera muy utilizada para representar los datos de secado, es lagráfica en la que se representa la velocidad de secado por unidad de áreacontra el contenido de humedad. La figura 2.5 ilustra una curva de este tipo,y también se muestra el cambio de la temperatura superficial del producto enfunción de la humedad del mismo. Al representar la velocidad en esta forma,se toman en cuenta los posibles cambios del área de secado.

De acuerdo a la fig. 2.5 la velocidad de secado puede ser dividida en unperíodo de velocidad constante como lo es la porción AB, y el período avelocidad decreciente. El contenido de humedad del punto B es denominado"crítico".

Fig. 2.5 Curva de velocidad de secado y de evolución de la temperaturasuperficial del producto, donde:A = Wo = humedad inicialB = Wc = humedad críticaC = Wf = humedad finalD = We = humedad de equilibrio

El contenido de humedad graficado en cualquier curva de secado es unpromedio, ya que a cualquier tiempo durante la operación, la distribución dehumedad no es uniforme a través del sólido sino que varía con la posicióndentro del mismo. Los períodos de secado descritos aquí no se presentannecesariamente en todos los casos. Así, un gran número deproductosalimenticios no presentan períodos a velocidad constante, como los cereales ylas leguminosas. En la fig. 2.6 se presentan curvas de secado para productosmuy diversos.

4. TEORIA Y SIMULACION DEL SECADO DE ALIMENTOS

El objetivo primordial de la simulación de procesos de secado es el diseñode equipo y la selección de parámetros de secado a partir de un númeroreducido de experiencias prácticas.

Fig. 2.6 Curvas de velocidad de secado normalizadas (Fuente: Daudin,1983)

Las variables a manejar en el estudio de un proceso de secado son lastemperaturas de bulbo seco y bulbo húmedo, la humedad relativa, velocidad yflujo del aire, y la densidad del lecho (kg/m2) principalmente, en lo que toca acondiciones externas. Influyen en la elección de éstas el tamaño, forma,composición y concentración inicial de humedad en el alimento.

Abscisas x = (W - We)/(Wo-We)Ordenadas y = (dW/dt)/(dW/dt)inicial

(I) Lechos de canicas de vidrio, arena, arcilla, arena+arcilla, sílicagel

(II) Materiales no biológicos

(III) Evaporación de un líquido orgánico a partir de un lecho decanicas de vidrio.

(IV) Lecho de canicas de vidrio o poliestireno(V) Arena, mezcla arcilla+plástico, cerámica, cuero, lactosa(VI) Tamiz molecular(VII) Silicato de aluminio o arena y papel para diferentes espesores(VIII) Madera(IX) -a- papel, lana, estearato de aluminio

-b- papa, tapioca, harina(X) -a- pan de trigo, levadura

-b- mantequilla, margarina(XI) -a- Granos de trigo

-b- y -c- continuación del secado después de ser interrumpido

(XII) -a- Caliza impregnada de agua-b- y -c- Caliza impregnada de agua y de agua consal, respectivamente

4.1 MATEMATICAS DEL SECADO

Durante el proceso de secado existe una transferencia simultánea demateria y energía. Tan pronto como el alimento se pone en contacto con elaire, la humedad superficial comienza a vaporizarse disminuyendo suconcentración en la superficie; esto origina una diferencia de concentracionesentre el interior del alimento, que aún permanece húmedo, y la superficie quese ha secado parcialmente por evaporación. Debido a esta diferencia deconcentraciones se establece un flujo de agua líquida por difusión (u o t romecanismo de transporte), del interior del producto hacia la superficie. Estosdos procesos, evaporación y difusión, se efectúan simultáneamente hasta quese suspende el secado.

Las curvas de secado reflejan el paso por distintos períodos a medida quese va deshidratando el alimento. Baca (1973) señala cuatro diferentesperíodos durante esta operación:

1.- Período inicial2.- Período a velocidad constante3.- Período a velocidad decreciente4.- Segundo período a velocidad decreciente

4.1.1 PERIODO INICIAL

Al inicio, el producto tiene una temperatura inferior a la del aire, y lapresión parcial de vapor de agua en la superficie del producto es muy débil; latransferencia de materia y por consiguiente la velocidad de secado también loson. La energía térmica que llega en exceso incrementa la temperatura delproducto, por lo que aumenta la presión parcial de vapor de agua, y con ello lavelocidad de secado. Este fenómeno persiste hasta que la transferencia deenergía compensa la de materia. Este período rara vez se observaexperimentalmente.

4.1.2 PERIODO DE VELOCIDAD CONSTANTE

Esta zona se presenta en productos donde la resistencia externa a laevaporación de agua de su superficie es mucho mayor que la resistenciainterna, es decir, el fenómeno que gobierna este período es una evaporación.El agua se va trasladando a la superficie del alimento conforme esta va siendoevaporada.

Entonces, como siempre hay agua disponible para la evaporación en lasuperficie del alimento, esta etapa es esencialmente idéntica a la evaporaciónde agua pura, y puede modelarse con alto grado de precisión a partir delconocimiento de la temperatura, humedad y velocidad del aire.

Durante esta etapa del proceso se elimina fundamentalmente el agua librey parte del agua de multicapa.

Para analizar el proceso de evaporación del agua, consideremos unabandeja con agua pura expuesta a una corriente de aire:

Si se lleva a cabo un doble fenómeno de transferencia de masa y energía, demanera que:

a. El calor se transfiere desde el aire hacia la superficie del agua.

b. El agua se evapora desde la superficie del agua hacia el medioambiente.

Y si se presenta el equilibrio entre estos fenómenos, la velocidad detransferencia de calor es igual a la velocidad de transferencia de masa.Haciendo balances de materia y energía obtenemos que:

hc A (Ta - Ts) = Kg A (Hs - Ha)∆Hv (2.3)

donde:

hc = coeficiente de transferencia interfacial de energía (Kcal/hr m2

°C)A = area (m2)Kg = coeficiente de transferencia de masa (Kg/m2 hr)Hs = humedad a Ts (Kg agua/Kg a.s.)Ha = humedad a Ta (Kg agua/Kg a.s.)∆Hv = calor latente de vaporización (Kcal/Kg)Ta = Temperatura de bulbo seco del aire (°C)Ts = Temperatura superficial (°C)

La fuerza impulsora para vaporizar el agua desde su superficie es ladiferencia entre la presión de vapor de agua a Ts y la presión parcial de vaporde agua en el aire.

Cuando todo el calor que se transfiere hacia el alimento proviene del aire,la temperatura superficial (Ts) es igual a la Tbh del aire. Así, la ecuación (2.3)puede ser escrita como:

hc (Ta - Ts )∆Hv = Kg (Hs - Ha) =

dw

AdΘ cte

[=] Kg agua/m2 hr (2.4)

Por otra parte, se ha encontrado que el coeficiente de transferencia demasa está relacionado empíricamente mediante la expresión:

hcCs = Kg [=] Kg/hr m2 (2.5)

donde:

Cs = calor húmedo = 0.24 + 0.45 Ha [=] Kcal/Kg °C (2.6)

4.1.2.1. Cálculo del período a velocidad constante

De acuerdo a lo expuesto anteriormente, el secado de un alimento duranteeste período puede describirse con la ecuación (2.4):

dwdΘ =

hc A (Ta - Ts)∆Hv = Kg A (Hs - Ha)

En esta última expresión se puede apreciar que si se conocen hc, A, Ta, Tsy ∆Hv, de antemano podría calcularse la velocidad a la cual se seca el alimento.

En cálculos de secado preliminares, el diseñador a menudo hace uso de lossiguientes hechos: (1) los coeficientes de transferencia de calor han sidoampliamente estudiados, de tal manera que se pueden tomar valoresrazonables de libros de ingeniería; y (2) los coeficientes de transferencia demasa para la evaporación del agua en el aire son aproximadamente iguales alos coeficientes de transferencia de calor divididos por el calor húmedo delaire, según la ecuación (2.5). Puesto que para la mayoría de las condiciones desecado en alimentos la humedad absoluta del aire de secado es baja, el calorhúmedo es generalmente sólo un poco mayor que el calor específico del aire, ypor lo tanto el coeficiente de transferencia de masa será aproximadamente 4veces mayor que el coeficiente de transferencia de calor.

La velocidad a la cual se seca el alimento puede conocerse de acuerdo alsiguiente procedimiento:

dwAdΘ = Vcte [=] Kg agua/hr m2 (2.7)

dw = A VctedΘ

Si A Vcte = K

dw = K dΘ

Si queremos expresar esto último como la ecuación de velocidad en función delcambio de la humedad en base seca, debemos incluir en la ecuación (2.7) eltérmino de contenido de sólidos secos (Lss) del producto:

⌡⌠

Wo

Wf

dw = ⌡⌠

0

ΘdΘ Κ∗

y así,

Θ = W o - Wf

K * (2.8)

donde

Wf = Wc

K* = A Vcte

Lss (2.9)

definiendo así un nuevo término Lss/A (Kg s.s./m2) denominado "densidad deempaque".

Tal y como se mencionó anteriormente, el período de secado a velocidadconstante comprende desde la humedad inicial del alimento hasta la humedadcrítica. Para decidir dónde termina el período a velocidad constante (y asídeterminar la Wc) hay dos métodos. El más sencillo es también menos exactoy consiste en graficar el contenido de humedad contra el tiempo y seguir larepresentación gráfica de ésto; mientras la curva sigue una tendencia lineal,nos encontramos en el período a velocidad constante (Fig. 2.7a). Cuando hayun cambio en dicha tendencia se inicia el período decreciente.

El segundo método consiste en graficar la velocidad de secado contra elcontenido de humedad, representación en la cual se observa con mayorclaridad, cuándo la velocidad de secado deja de ser constante (Fig. 2.7b).

Fig. 2.7 Determinación del período a velocidad constante y la humedad crítica.a) Con la curva de secado; b) Con la curva de velocidad de secado.

4.1.2.2 Efecto de las variables de proceso sobre el período a velocidadconstante

A. Efecto de la velocidad del aire

En teoría, cuando el fenómeno de transferencia de calor dominante es laconvección, la velocidad de secado es directamente proporcional al coeficienteconvectivo de transferencia de calor, hc.

Se han generado algunas relaciones (Charm, 1971) para el cálculo de hc(en Btu/hr f t 2 °F, o KJ/hr m2 °C) cuando el flujo de aire es en paralelo conrespecto al producto, y son las siguientes:

hc = 0.0735 G 0.8 (S.I.) (2.10)

hc = 0.0128 G 0.8 (Sist. Inglés) (2.11)

y si el flujo de aire es perpendicular a la superficie del producto:

hc = 0.37 G 0.37 (Sistema Inglés) (2.12)

hc = 4.21 G 0.37 (S.I.) (2.13)

donde G es el flujo másico de aire por unidad de área (Kg aire/hr m2, o lbaire/hr pie2).

Entonces, si se aumenta la velocidad del aire, aumenta G yconsecuentemente, aumenta también la velocidad de secado. El efecto de lavariación de la velocidad del aire sobre la velocidad de secado es levementediferente cuando hay conducción y radiación.

B. Efecto de la humedad del aire

A partir de la ecuación:

V cte = Kg (Hs - Ha)

podemos apreciar que cuando la humedad absoluta (Ha) aumenta, la velocidadde secado disminuye, ya que el gradiente de humedades también lo hace.

C. Efecto de la temperatura de bulbo seco del gas

Si aumenta la temperatura de bulbo seco del aire, también aumentará lade bulbo húmedo. Sin embargo, el aumento en la Tbs será mayor que en Tbh(tal y como puede verse en la Fig. 2.8), por lo que la velocidad de secadoaumenta.

Fig. 2.8 Efecto del cambio en la temperatura de bulbo seco del gas sobrela temperatura de bulbo húmedo y la humedad.

D. Efecto del espesor del lecho

Cuando solo hay transferencia de calor por convección, la velocidad (Vc)es independiente del espesor X del sólido. Sin embargo, el tiempo necesariopara secar entre los contenidos de humedad fijos W1 y W2 será directamenteproporcional a este espesor X.

4.1.3 PERIODO A VELOCIDAD DECRECIENTE

Cuando se observa una disminución en magnitud de la velocidad de secadocon respecto al período constante, se inicia el período a velocidad decreciente.

El contenido de humedad en donde se presenta esta desviación es lahumedad crítica (Wc). Esta humedad depende tanto de las características delalimento (forma y tamaño) como de las condiciones de secado.

En este período la superficie del producto no está cubierta por una capadelgada de agua como ocurría en el período anterior. Esto se explica por lamayor resistencia interna al transporte de agua.

Conforme el contenido de humedad disminuye por abajo del punto crítico, lafuerza impulsora ejercida por la diferencia de presiones de vapor decrece yesto origina una reducción en la velocidad de secado y por consiguiente, elalimento comienza a absorber calor e incrementa su temperatura, tendiendohacia la Tbs del aire.

La humedad está sujeta en finos capilares y emigra difundiendo a lo largode éstos o mediante evaporación y condensación sucesiva.

Al irse reduciendo, la velocidad de secado en este período, se incrementanotablemente el tiempo de deshidratación, por lo que este fenómeno tiene unefecto importante sobre el tiempo total de secado.

4.1.3.1 Cálculo del tiempo de secado en el período a velocidad decreciente

A. Integración gráfica a partir de datos experimentales

La ecuación general para el cálculo del tiempo de secado es (2.7), queordenada de otra manera da

Θ = LssA ⌡

⌠

W2

W1

d W

V

Durante el período a velocidad constante, V sale de la integral, y el tiempode secado puede evaluarse fácilmente.

Pero cuando V decrece (porque es función del contenido de humedad) senecesita cada vez más energía para llevar el agua hasta la superficie delproducto, y matemáticamente se requieren ecuaciones que describan larelación de V con W y así calcular el tiempo de secado.

Si se dispone de datos experimentales, puede resolverse esta integral, yasea en forma gráfica (Fig. 2.9) o numérica. Sin embargo, este procedimientoes poco práctico, ya que requiere del conocimiento previo de datosexperimentales, de donde no puede ser utilizado para propósitos de simulacióno predicción.

Fig. 2.9 Determinación gráfica del tiempo de secado en el período avelocidad decreciente.

B. La velocidad de secado es una función lineal de la humedad

Si esto es cierto, se tendrá una relación del tipo:

V = a W + b

expresión que al diferenciarse quedaría como:

dV = a dW

y

Θ = LssA ⌡

⌠

W2

W1

d W

V

Substituyendo, y cambiando los límites de integración

Θ = LssA ⌡

⌠

V2

V1

d VaV

donde

V1 = velocidad en el punto crítico = a W1 + bV2 = velocidad al final = a W2 + b

Si igualamos estas dos últimas expresiones:

V1 - a W1 = V2 - a W2

V1 - V2 = a(W1 - W2)

a = V 1 - V 2

W 1 - W2

se obtendría entonces

Θ = LssA

W 1 - W2

V 1 - V 2 ⌡

⌠

V2

V1

d VV

Θ = LssA

W 1 - W2

V 1 - V 2 ln

V1

V2 (2.14)

C. La velocidad de secado es una función lineal de la humedad, y estarepresentación pasa por el origen.

La curva de secado estaría representada por:

V = a W

a = Vcte

Wc

de donde:

Θ = LssA

Wc

Vcte ⌡

⌠

V2

V1

d VV

Θ = LssA

Wc

Vcte ln

V1

V2 (2.15)

4.1.4 SEGUNDO PERIODO A VELOCIDAD DECRECIENTE

En algunos casos se pueden observar más de un período a velocidaddecreciente. Cuando así sucede, éste comienza cuando cesa el flujo capilarhacia la superficie y continúa hasta que la humedad llega al equilibrio con lahumedad del aire. Al inicio, el agua está como capas multimoleculares y al finaldel período como monocapa. El equilibrio se alcanza cuando la cantidad de aguaque se vaporiza iguala la cantidad que se condensa.

Una evaporación sub-superficial caracteriza este período y debido a que elagua está cada vez más lejos de la superficie, la energía necesaria para que seevapore el agua debe penetrar hasta el interior del producto parcialmenteseco, cuya temperatura superficial se acerca cada vez más hacia la Tbs.

No todos los alimentos presentan dos períodos a velocidad decreciente, yaque esto depende de las características internas del producto a secar. Uno deestos alimentos es la cebolla.

La predicción de la velocidad de secado en estos últimos períodos secomplica cuando se trata de productos biológicos. Es importante tomar encuenta durante el análisis tanto el mecanismo de transferencia interna (calorconvectivo y transferencia de masa) como el mecanismo de transferenciadentro del producto (difusión de masa y energía).

4.2 TEORIAS DE LA TRANSFERENCIA DE HUMEDAD EN EL PERIODO DECRECIENTE

El mecanismo de secado ha sido el tema de estudios científicos por másde 100 años y todavía no es totalmente entendido. Los factores externosrelacionados como la temperatura, presión, humedad relativa y velocidad songobernados por leyes simples, pero no ocurre lo mismo con la transferencia dehumedad.

Las teorías de secado surgieron para describir los períodos de velocidaddecreciente, pues, como ya se ha mencionado, el período de velocidadconstante no presenta ningún problema para su estimación. Debido a lacomplejidad de los fenómenos puestos en juego durante el período a velocidaddecreciente, se han propuesto numerosas teorías y múltiples formasempíricas para predecir la velocidad de secado.

Las descripciones cuantitativas del fenómeno de secado se han centradoen uno u otro de los siguientes mecanismos: flujo capilar (bajo la influencia defuerzas superficiales) y difusión molecular.

4.2.1 ECUACIONES TEORICAS

4.2.1.1 Teoría de la difusión molecular

Un gran número de investigadores han propuesto desde hace más de 6 0años, que el movimiento de humedad por difusión líquida es el principalmecanismo de flujo durante la deshidratación de productos alimenticios.

La segunda ley de Fick describe la transferencia de humedad

dWdΘ = D

d2WdX2 (2.16)

utilizando como fuerza impulsora gradientes de humedad. El lado izquierdo dela ecuación representa la fuerza impulsora y es una fase condensada,mientras que el término del lado derecho describe el transporte que ocurre através de la fase de vapor. A cualquier tiempo hay más humedad en la fasecondensada que en la fase gaseosa; de ahí que, conforme se va perdiendohumedad por difusión a través del vapor, se está continuamente remplazandopor evaporación de la fase condensada.

La ecuación de difusión (2.16) que explica el fenómeno de transporte demasa ha sido resuelta analíticamente para varias formas geométricas bajociertas condiciones frontera iniciales y finales, como son:

1.- El material a secar tiene al inicio un contenido de humedaduniformemente distribuído.

2.- La superficie del alimento alcanza instantáneamente el equilibrio conel aire del secador.

3.- La superficie se mantiene bajo condiciones externas constantes acualquier tiempo.

Se suponen también las siguientes consideraciones que simplifican lasolución:

1.- El coeficiente difusional se mantiene constante al mantenerseconstante las condiciones de secado, y además no depende de laconcentración de humedad dentro del producto.

2.- El producto a deshidratar es homogéneo (isotrópico) y tiene unaforma regular simple y simétrica.

3.- Las dimensiones del producto permanecen constantes durante elproceso. Esto no es cierto para los productos biológicos, por lo que lamayoría de las veces la dimensión característica se calcula a par t i rdel volumen del alimento después del secado.

4.- El movimiento del líquido resulta de un gradiente de humedad en lapartícula.

Las soluciones a la ecuación (2.14) para diferentes formas geométricascon dimensiones infinitas, es decir, donde la longitud supera en 10 veces o mása la dimensión característica del producto, son las siguientes:

1. Placas (secadas por ambos lados)

W - We

W o - We =

8π2 ∑

n=0

∞

1

(2n +1)2 exp [ ]- (2n + 1)2 KΘ (2.17)

2. Cilindros

W - We

W o - We = ∑

n=1

∞4

r2 α n2 e x p

- r 2 α 2 K Θ

π 2 n (2.18)

3. Esferas

W - We

W o - We =

6π2 ∑

n=1

∞

1n2 e x p [ ]-n2 KΘ (2.19)

donde:

W = contenido de humedad promedio (base seca) al tiempo ΘWe = contenido de humedad de equilibrio (base seca)Wo = contenido de humedad inicial en el período decrecienten = número de términos de la serie

K = parámetro computacional = Dπ2

r2 o Dπ2

4L2

D = coeficiente difusional (m2/hr)Θ = tiempo (hr)L = mitad del espesor de la placa (m)r = radio de la esfera o del cilindro (m)αn = enésima raíz positiva de Jo(an)=0

Jo(x)= función Bessel de orden cero (Tabla 2.1)

Para figuras geométricas con dimensiones finitas se obtienen solucionesmediante las intersecciones de planos o formas infinitas, como se muestra enla Fig. 2.10.

Fig. 2.10 Construcción de cuerpos finitos a partir de cilindros y placasinfinitas.

La ecuación que resulta de la intersección de un cilindro infinito(ec. 2.18) de radio r y de una placa (ec. 2.19) con espesor igual a la longituddel cilindro finito, nos da la solución para un cuerpo cilíndrico con dimensionesfinitas:

W - We

W o - We =

∑n=1

∞4

r2 α n2 e x p

- r 2 α 2 K Θ

π 2 n

8π2 ∑

n=0

∞

1

(2n +1)2 e x p [ ]- (2n + 1)2 KΘ (2.20)

De manera similar, de la intersección de tres placas de carasperpendiculares entre sí y de dimensiones infinitas, con espesores 2a, 2b y 2c,se obtiene un paralelepípedo de dimensiones finitas, y cuya solución es lasiguiente:

W -We

W o - We =

83

π6

∑n=0

∞

1

(2n +1)2 e x p [ ]- (2n + 1)2 K 1Θ

∑n=0

∞

1

(2n +1)2 e x p [ ]- (2n + 1)2 K 2Θ

∑n=0

∞

1

(2n +1)2 e x p [ ]- (2n + 1)2 K 3Θ (2.21)

donde:

K1 = Dπ2

4a2 , K2 = Dπ2

4b2 , K3 = Dπ2

4c2

Tabla 2.1. Funciones Bessel. (Fuente: Charm, 1971)Para el caso de alimentos con formas geométricas no convencionales,

Rotstein et al. (1974) han propuesto ecuaciones para cuerpos cardioidales,circulares, hexagonales, corrugados y epitrocoidales, basados en la ecuaciónde difusión.

En la mayor parte de los trabajos de investigación dedicados a este tema,no se hace referencia al desplazamiento líquido del agua ni a otro fenómenofísico en particular. El valor de D es un coeficiente que representa ladifusividad efectiva y engloba el efecto de todos los fenómenos que puedanintervenir sobre la migración del agua, y el valor se obtiene por ajuste de lascurvas experimentales de deshidratación.

La difusión líquida, como único mecanismo de movimiento de humedad hasido muy criticada. Ceaglsken y Hougen (1937) establecen que el modelodifusional conduce a una idea falsa de la distribución de humedad en un sólidodurante el secado. Se ha acordado que la condición para validar el modelo, esque debe predecir adecuadamente el gradiente de humedad en el alimento. Larazón probable para su aceptación es que el comportamiento logarítmico de lasolución de las ecuaciones difusionales se asemeja a curvas de secadoobtenidas experimentalmente.

En varios estudios se ha encontrado que la fuerza impulsora de la difusióna través de sólidos es la presión de vapor de agua y no la concentración. Sinembargo, el éxito aparente de las ecuaciones de difusión reside en el hecho deque los cálculos fueron realizados mediante técnicas de integración quecompensan el error originado por suponer distribuciones erróneas.

Se ha visto que para la fase final, esto es, para tiempos prolongados desecado, el primer término de todas las ecuaciones antes descritas essuficiente para la descripción de la curva de secado.

En el caso de arroz (Aguerre et al. 1984) se ha visto que cuando

W -We

W o - We ≤ 0.3

el uso del primer término de la serie es suficiente para describir la curva desecado.

Si se considera un cuerpo esférico:

W -We

W o - We =

6π2 exp

-Dπ2Θ

r2

y se hace una simplificación que se presenta raras veces:

We = 0

y se reordena:

ln WWo

= ln 6

π2 - Dπ2Θ

r2

ln WWo

- ln 6

π2 = -Dπ2Θ

r2

ln WWo

+ ln 6

π2 = Dπ2Θ

r2

Θ = r2

Dπ2 ln 6Wo

π2 W (2.22)

cuando domina el fenómeno difusional.

Se aprecia claramente que el tiempo es proporcional al cuadrado de ladimensión característica, e inversamente proporcional al coeficientedifusional. Esto se puede considerar como una regla general para describir elproceso de secado en el período decreciente, si el mecanismo que gobierna latransferencia de humedad es la difusión.

Diferenciando la expresión (2.22):

dWdΘ =

-Dπ2Wr2

y substituyendo en (2.7) y (2.9):

V = -Lss

A dWdΘ =

LssA

Dπ2Wr2 (2.23)

Se ve que la velocidad de secado es directamente proporcional alcoeficiente difusional y al contenido de humedad.4.2.1.1.1 Cálculo del coeficiente difusional

Evidentemente, para hacer uso de cualquiera de las expresionesanteriores, se requiere del conocimiento del coeficiente difusional. Este puedeevaluarse por alguno de los métodos descritos a continuación.

A. Uso del primer término de la serie

Este procedimiento se puede ejemplificar para el caso de un producto conforma esférica. De la ecuación de Fick para cuerpos esféricos:

W -We

W o - We =

6π2 exp

-Dπ2Θ

r2

se puede obtener

ln W -We

W o - We = ln

6π2 -

Dπ2Θr2

expresión que corresponde a la ecuación de una recta con pendiente -Dπ2

r2 e

intercepto ln 6

π2 .

Del valor de la pendiente y conociendo r se puede calcular un D promedio.

Si comparamos las gráficas experimentales con las predichas,observamos que este procedimiento tiene desviaciones para tiempos pequeños(Fig. 2.11). Sin embargo, genera valores adecuados de D promedio.

Puede darse el caso de que la curva experimental obtenida sea del tipomostrado en la fig. 2.12, lo cual indicaría la existencia de coeficientesdifusionales significativamente diferentes en el proceso de secado.

Una relación importante para propósitos de simulación es la que existeentre el D y la Tbs del aire. Se ha comprobado que D tiene un comportamiento

tipo Arrhenius con respecto a la temperatura (Fig. 2.13), en un gran númerode pruebas de secado de alimentos:

D = A exp -B/T (2.24)

ln D = A' - B/T (2.25)

donde:

A' = ln A

T = Tbs absoluta

Fig. 2.11 Comparación de las curvas de secado experimentales y predichasobteniendo el coeficiente difusional con un solo término de laserie.

Por lo que puede establecerse una metodología para la obtención decurvas de secado a cualquier temperatura a partir de datos conocidos a por lomenos tres temperaturas diferentes:

1.- Obtener datos experimentales de secado a tres o cuatrotemperaturas.

2.- Obtener los coeficientes difusionales a cada temperatura.3.- Hallar la relación entre el coeficiente difusional y la temperatura.4.- Obtener D a la temperatura deseada.

5.- Generar la nueva curva de secado a la temperatura fijada.

Fig. 2.12 Curva de desarrollo de secado que muestra la existencia de doscoeficientes difusionales diferentes.

Fig. 2.13 Relación de los coeficientes difusionales con la temperaturasegún la ecuación de Arrhenius.

B. Uso de los gráficos de Gurney-Lurie

Haciendo una similitud entre la transferencia de calor en estado inestabley la difusión de masa, Charm (1971) utilizó los gráficos de Gurney-Lurie

(Figuras 2.14 a 2.16) para la evaluación de coeficientes difusionales a par t i rde datos de secado de alimentos. En ellos se manejan ciertos términos queson definidos como:

Fenómeno de transferencia

Calor Masa

Difusividad K/ρCp DL

Resistencia superficial

a la transferencia K/hx DL ρs

γKgX

Coeficiente detransferencia h Kg

donde:

K = Conductividad térmica (Kcal/m seg °C)h = Coeficiente de transferencia de calor (Kcal/m2 seg °C)Cp = Calor específico (Kcal/Kg °C)ρ = Densidad del producto (Kg/m3)X = Dimensión característica (m)D1 = Coeficiente difusional (m2/seg)Kg = Coeficiente de transferencia de masa (Kg/seg m2)ρs = Densidad de sólidos secos (Kg/m3)γ = Coeficiente de equilibrio

Este método de evaluación de D supone las siguientes condiciones:

1.- El producto se seca en el período a velocidad decreciente y/o elperíodo a velocidad constante es muy pequeño o no existe.

2.- El coeficiente difusional es constante.

3.- El objeto tiene dimensiones infinitas.

Fig. 2.14 Solución a la segunda ley de Fick para una lámina plana, segúnGurney-Lurie. (Fuente: Foust et al., 1975)

Fig. 2.15 Solución a la segunda ley de Fick para una esfera, según Gurney-Lurie. (Fuente: Foust et al., 1975)

Fig. 2.16 Solución a la segunda ley de Fick, según Gurney Lurie, para uncilindro. (Fuente: Foust et al., 1975)

Los gráficos de Gurney-Lurie pueden emplearse de dos modos diferentes:

a. Cálculo de humedad promedio.

Los parámetros que se utilizan son:

Y = W - We

W o - We (2.26)

X = DL ΘX2 (2.27)

m = D ρs

γ Kg X (2.28)

n = 0.5

b. Cálculo de humedad en un punto dentro del producto.

Además del X, Y y m, se utiliza la relación entre la dimensióncaracterística y la posición n=0 en el centro del producto:

n = xx1

En cualquiera de los dos casos, el procedimiento a seguir es el siguiente:

1.- Recopilar datos experimentales de W contra Θ.2.- Seleccionar un par de valores de W vs. Θ que pertenezcan al período

de velocidad decreciente.3.- Suponer un valor de DL.4.- Con este valor supuesto, calcular X y m para el tiempo seleccionado,

donde Kg puede calcularse del período de velocidad constante.5.- Con los valores de X y m (y n en su caso) calculados, evaluar Y

teórica.6.- De los datos seleccionados en (2), evaluar Y real.7.- Comparar Y teórica con Y real. Si son semejantes, el valor de DL

seleccionado es adecuado. Si son diferentes, repetir el procedimientosuponiendo otro valor de DL.

4.2.1.2 Teoría del flujo capilar

El flujo y distribución de agua en sólidos granulares ya ha sido ampliamenteinvestigado. La capilaridad se refiere al flujo de un líquido a través deintersticios y sobre la superficie de un sólido, debido a atraccionesmoleculares entre el líquido y el sólido. El agua que está sujeta dentro delintersticio, ya sea como líquido cubriendo la superficie o como agua libre en lascavidades celulares, está disponible a movimientos por capilaridad y gravedad,presentándose en forma de canales para un flujo continuo.

El uso de la ecuación de Poiseuille para flujo laminar capilar sería adecuadopara describir este fenómeno, pero en productos alimenticios se ha visto que,cuando domina el proceso capilar, la velocidad de secado es directamenteproporcional al contenido de humedad. Así, partiendo de las ecuaciones (2.7) y(2.9):

V = - LssA

dWdΘ

dΘ = - LssA

dWd

y si el proceso de transferencia de masa es regulado por flujo capilar, V esproporcional a W:

V = Vc WWc (2.30)

Substituyendo en la ecuación anterior e integrando entre los límitesadecuados:

⌡⌠

0

Θ dΘ =

-LssA

Wc

Vc ⌡

⌠

Wc

W

d WW

y

θ = -Lss

A Wc

Vc ln

Wc

W (2.31)

Como Lss/A = X ρss :

V c = Vcte = hc (Ta - Ts)

∆Hv

Θ = X ρss ∆Hv Wchc (Ta - Ts ) ln

WcW (2.32)

expresión en la que se ve que el tiempo de secado es directamenteproporcional al espesor, a diferencia del fenómeno difusional, en donde eltiempo es proporcional al cuadrado del espesor.

El efecto de las variables de temperatura, humedad relativa y velocidaddel aire es similar al que se observa en el período a velocidad constante.

4.2.1.3 Diferenciación entre flujo difusional y capilar

Para determinar si el fenómeno que se presenta en el secado de unproducto es el flujo capilar o el difusional, se hace una representación de lnW/Wc contra Θ (Fig. 2.17). Si se obtiene una línea recta, el períododecreciente está dominado por flujo capilar o difusión líquida. Si larepresentación no es una línea recta, ninguno de los dos fenómenos describe elsecado de este producto.

La pendiente de la línea recta obtenida se iguala a:

m = -hc (Ta - Ts)

∆Hv

1

X ρssWc (2.33)

y se despeja la Vcte teórica (el término entre paréntesis). Si esta coincide conla Vcte real, el fenómeno que controla el proceso de secado en el períododecreciente es de flujo capilar. Si dichos valores son distintos, el fenómenocontrolante es uno difusional.

Fig. 2.17 Diferenciación entre flujo capilar y difusional a partir de datosexperimentales.

4.2.2 ECUACIONES SEMITEORICAS

4.2.2.1 Ecuaciones para productos específicos

Se han desarrollado ecuaciones de este tipo para algunos productos,sobre todo cereales de forma esférica. Se ha visto que la ecuación de Fickcon un solo término da una predicción bastante buena, siendo la dimensióncaracterística, el radio inicial del cereal (ro).

Cuando el término D π2 Θ

ro2 > 1.2

las diferencias entre este término y el obtenido con n términos no es mayor al5%.

En general, para cereales:

dWdΘ = K (W - We)

W - We

W o - We = exp (-KΘ) (2.34)

Para el secado de maíz, según Pabis y Henderson (1961):

Dmaíz = 6.3 x 10-9 exp

-6946

Tabs (2.35)

y

Kmaíz = 5.4 x 10-1 exp

- 5 0 2 3

Tabs (2.36)

donde

D [=] ft2T [=] KK [=] seg-1

Para trigo y cebada, según O'Callaghan et al. (1971):

Ktrigo = 2000 exp

-9179

Tabs (2.37)

Kcebada = 139.9 exp

-7976

Tabs (2.38)

donde

K [=] seg-1

Para maíz, según Thompson (1967), a temperaturas entre 140 y 300°F:

Θ = A ln W + B (ln W)2 (2.39)

donde

A = 1.86178 + 0.0048 TB = 427.3640 exp (-0.03301Θ)Troeger y Hukill (1971) y Sheuerman y Muhlbauer (1970), sugirieron

algunas ecuaciones empíricas para el secado de maíz. Dichas ecuaciones semuestran en el apéndice A.2.

4.2.2.2 Modelo de la curva generalizada

Van Meel (Krisher y Kroll, 1963) demostró que es posible representar lascurvas de secado de un producto dado, obtenidas con distintas condiciones delaire, con una sola curva de secado normalizada.

En este procedimiento se supone que para un producto determinado conforma y tamaño fijos, aún cuando se someta a condiciones de secado diversas,la humedad crítica es la misma. Esta técnica sirve sobre todo para productossin forma geométrica definida.

Según Van Meel, se obtiene esta curva cuando se grafican dos términosadimensionales (Fig. 2.18):

mmI

= m° (2.40)

contra

W Wfinal

W c - Wfinal = W° (2.41)

donde:

m = flujo del agua (Kg/seg)mI = flujo de agua en el período I (período a velocidad constante (Kg/seg)Wfinal = humedad final del proceso de secado, sin importar las condiciones bajo las cuales se seca el producto.

En las gráficas originales se graficaba m° contra W°, a ciertas condiciones,y se comprobó para cada producto (de dimensiones constantes), que siemprepresentaban la misma tendencia. La curva normalizada era la querepresentaba todos los datos.

mmI

= f' (W°)

m I = A hc (Ta - Ts)

∆Hv (2.42)

Fig. 2.18 Curva generalizada de secado para un producto

m = mI f(W°)

m = A hc (Ta - Ts)

∆Hv f(W°) (2.43)

Este modelo se usó originalmente para yeso, arcilla y materiales similaresy dió buen resultado. Fornell, Bimbenet y Almin (1980) lo aplicaron a vegetalesy vieron que funcionaba bien, pero como la mayoría de estos productos notienen período a velocidad constante, Wc = Wo

Así, Fornell et al. (1980) decidieron generar una velocidad de secadoficticia en el período constante, partiendo de la relación que mantienen hc y lavelocidad del aire (Loncin, 1976):

hc∆Hv = f(V0.5)

y según ellos:

dW

dΘ cte

= K V0.5 (Ta - Ts) (2.44)

En el término K se involucran el área expuesta del producto, el peso desólidos secos, hc y ∆Hv. Esta expresión es válida para un producto con untamaño y una forma determinados.

Las gráficas obtenidas por los investigadores mencionados son del tipopresentado en la figura 2.19, que siguen la ecuación general:

(dW/dΘ)dec

∆TV0.5 = K f'' (W) (2.45)

Aparentemente, el modelo no funciona cuando la humedad relativa del airees mayor al 30% y si el producto presenta cutícula superficial, como es el casodel maíz.

Fig. 2.19 Curvas de secado generalizadas para diferentes productos(Fornell et al., 1980)

4.3 HUMEDAD DE EQUILIBRIO

Esta humedad es el valor al que tiende el producto a tiempos de secadomuy grandes, y depende de la Tbs y HR del aire, y de las propiedadeshigroscópicas del producto.

La humedad de equilibrio es uno de los términos importantes del procesode secado y puede obtenerse por un sinnúmero de procedimientos,dependiendo del alimento y los datos disponibles. Adicionalmente este términoes muy importante para propósitos de modelación matemática.

4.3.1 CALCULO DE LA HUMEDAD DE EQUILIBRIO

A. Modelo de Shivhare, Maharaj y Singh (1980).

Para estimar el valor del contenido de humedad superficial, se hapropuesto que para tiempos muy grandes, el modelo difusional se convierte en:

W -We

W o - We =

6π2 exp

-D π2 Θ

r2

para el caso de una esfera.

A partir de esta ecuación, o de una semejante para otro cuerpogeométrico, se puede demostrar que para cualquier conjunto de t r escontenidos de humedad tomados a tres intervalos de tiempo de duraciónigualmente espaciados, puede obtenerse la siguiente expresión:

We = W i* W i+2j - Wi+j2

W i + W i+2j - 2W i + j (2.46)

donde:

We = humedad de equilibrio en base secaWi = humedad al tiempo i, en base secaWi+j = humedad al tiempo i+j, en base secaWi+2j = humedad al tiempo i+2j, en base seca

Se ha probado que esta expresión funciona muy bien para modelar elsecado de arroz tal y como se comentará en el apartado 4.3.2.

B. Isotermas de sorción

Las isotermas de sorción también pueden ayudarnos a calcular la humedadde equilibrio de un alimento, siempre y cuando conozcamos la humedad relativadel medio de secado.

Es evidente que las isotermas de sorción de un alimento se obtienen solopara puntos limitados, de acuerdo a la técnica empleada. Por esto,comúnmente se procede a utilizar el modelo de isoterma que mejor se ajuste alos datos experimentales, para con ello determinar adecuadamente puntosintermedios.

Bakker-Arkema et al.(1974) desarrollaron las ecuaciones empíricas parala descripción de isotermas de maíz. Dichas ecuaciones se presentan en elapéndice A.3.

4.3.2 TEORIA DE LA RESISTENCIA SUPERFICIAL

Aguerre et al. (1982), en el secado de arroz a 40, 50, 60 y 70°C yhumedades relativas elevadas de 43 a 59%, llegaron a las siguientesconclusiones:

1.- La migración de la humedad en el grano puede ser interpretada entérminos de la ley de difusión de Fick.

2.- Los coeficientes difusionales a diferentes temperaturas no erandependientes del contenido de humedad del grano en el rango dehumedades investigadas.

3.- La superficie del grano está en equilibrio con la humedad relativa delaire y su valor está dado por la isoterma de desorción del producto asecar.

Sin embargo, al trabajar a humedades de 7 a 14%, que son más usuales enoperaciones de secado, no pueden aplicarse los mismos conceptos,particularmente el último, ya que dependen de las condiciones de secado. Aestas humedades relativas bajas, trabajaron bajo las siguientes suposiciones:

1.- El coeficiente difusional a una temperatura de secado dada, nodepende del contenido de humedad del grano.

2.- La temperatura del grano permanece constante y prácticamente iguala la temperatura de bulbo seco del aire durante todo el proceso desecado.

3.- El contenido de humedad superficial permanece constante durante elproceso de deshidratación. La validez de esta suposición se probabaen el estudio.

4.- El efecto de encogimiento del grano se considera despreciable.

Así, para el análisis matemático del proceso de secado se utiliza lasolución para la ley de Fick aplicada a esferas, pero medificando el términorelativo a la We:

W* = W - W s

W o - Ws =

6π2 ∑

n=1

∞

1n2 exp [ ]-n2 K Θ

donde:

Ws = contenido de humedad superficial

Como una primera aproximación para la estimación de los valores de Ws,el contenido de humedad superficial fue calculado de la isoterma de desorcióndel producto, obteniendo los resultados mostrados en la tabla 2.2.

Con este valor de Ws se efectuó la predicción de las curvas de secadocuya representación se muestra en la figura 2.20. Puede apreciarse unanotable desviación con respecto a los resultados experimentales.

Parece razonable tratar de explicar el comportamiento aparentementeno-Fickiano de la figura 2.20, considerando que la causa de esta desviaciónpuede originarse en ciertas condiciones anormales existentes en la superficiedel grano, y no en un cambio posible del mecanismo de secado, tal y como lopropusieron Becker y Sallans (1955). En otras palabras, los resultadosobtenidos operando con una humedad relativa baja indicarían que el contenidode humedad superficial del grano durante el secado tiende a un valor que nonecesariamente es el que predice la isoterma de desorción.

___________________________________________________________Tabla 2.2 Comparación entre los valores de Ws predichos por la isoterma y

por la ecuación de Shivhare et al. (1980) para humedadesrelativas bajas (Aguerre et al., 1982).

___________________________________________________________

T(°C) HR (%) Ws (g/g) Ws (g/g) Isoterma Ec. 2.46

_______________________________________ 40 14 0.0511 0.0651 50 9 0.0321 0.0532 60 5 0.0173 0.0447 70 7 0.0113 0.0404

___________________________________________________________

Fig. 2.20 Comparación de curvas de secado predichas y experimentales.Ws calculada a partir de isotermas de desorción.

Utilizando alternativamente la ecuación de Shivhare et al. (1980) seobtuvieron los resultados mostrados en la tabla 2.3, para humedades relativasaltas. Los valores de equilibrio se incluyen también para observar ladiscrepancia entre los pares de valores. Esta discrepancia es mayor a medidaque disminuye la humedad relativa. Con los nuevos valores de Ws se generaronlas curvas de la figura 2.21, donde puede verse que se obtiene una mayorconcordancia entre los valores reales y los de predicción.

La ecuación de Shivhare et al. también se probó para predecir el contenidode humedad superficial para las corridas de secado conducidas a humedadesrelativas altas. Los resultados se presentan en la tabla 2.3. Puede verse queel contenido de humedad superficial predicho de esta manera y el de laisoterma concuerdan y son prácticamente los mismos.

___________________________________________________________Tabla 2.3 Comparación entre los valores Ws de predicción por la isoterma y

la ecuación de Shivhare et al. (1980) para corridas de secado ahumedades relativas altas (Aguerre et al. 1982)

___________________________________________________________

T(°C) HR (%) Ws (g/g) Ws (g/g) Isoterma Ec. 2.46

__________________________________________________ 40 44 0.090 0.09150 59 0.107 0.10660 43 0.066 0.06670 57 0.070 0.069

___________________________________________________________

Fig. 2.21 Comparación de curvas experimentales y predichas para elsecado. Ws calculada a partir de la ecuación de Shivhare.

Con todo esto se demuestra que las diferencias entre la humedad desorción "estática" y "dinámica" (términos introducidos por Becker y suscolaboradores para diferenciar entre los valores de humedad superficialobtenidos a partir de isotermas y experimentos de secado, respectivamente),aumenta conforme la humedad relativa del aire disminuye.

Para dar una explicación al comportamiento observado, el contenido deagua de monocapa de este arroz se presenta en la tabla 2.4 y se compara conWs dinámico obtenido para ambas pruebas. Se observa que para las corridas aHR altas el contenido de humedad superficial obtenido con la ecuación deShivhare et al. es considerablemente mayor que los de monocapa, mientrasque estos últimos son prácticamente iguales a los Ws obtenidos para HR bajas.Esto sugiere que cuando el secado se lleva a cabo con aire con una disminucióncontinua de humedad, el contenido superficial de humedad del grano tiende a unvalor límite el cual está dado por el valor de monocapa obtenido de la isotermade desorción del producto.

___________________________________________________________Tabla 2.4 Comparación de los contenidos de humedad superficial (efectiva

o dinámica) con los valores de monocapa BET (Aguerre et al.,1982)

___________________________________________________________

T(°C) Wm (g/g) W s (g/g) Ws (g/g) BET HR alta HR baja

_____ ___________________ ______40 0.063 0.090 0.065150 0.052 0.107 0.053260 0.044 0.066 0.044770 0.039 0.070 0.0404

___________________________________________________________

Así, concluyen estos investigadores, cuando el secado se lleva a cabo conaire de humedad relativa menor a aquella correspondiente al valor de equilibriocon la humedad de monocapa, la condición de equilibrio no es válida. Desde elpunto de vista de mecanismo de secado, este hecho justificaría la hipótesis deque la superficie del grano es una resistencia adicional al proceso deevaporación de agua durante el secado.4.3.2.1 Humedad de monocapa

La humedad de monocapa es la humedad de máxima estabilidad de unalimento, y se caracteriza por estar entre un rango del 5 al 10% de humedad,y entre 0.15 y 0.30 de actividad de agua. Por lo general, este parámetro seobtiene a partir de la ecuación de BET (1938), con tan solo tener disponiblesdatos de la isoterma de sorción del alimento en estudio.

La humedad de monocapa puede servir para obtener la humedad deequilibrio cuando la humedad relativa del medio sea muy baja. La correlación dela humedad de monocapa con la temperatura es presentada por Iglesias yChirife (1984) de la forma:

ln Xm = ß + αT (2.47)

donde:

Xm = contenido de humedad de monocapa BET (gr agua/100 gr s.s.)T = temperatura (°C)α ,ß = constantes que dependen del alimento y que se reportan en la Tabla

2.5.

Tabla 2.5 Constantes para la ecuación que relaciona el valor de monocapaBET con la temperatura (Iglesias y Chirife, 1984).

5 . EJEMPLOS

1.- Los siguientes datos experimentales fueron obtenidos durante una pruebade secado en bandejas de un alimento granular con vapor sobrecalentado.Obténgase la curva de secado de esta prueba.

Espesor del lecho: 2.54 cmPeso de los sólidos secos del alimento: 14 KgArea de la bandeja: 0.21m2

Tiempo de Humedad Tiempo de Humedad secado (hr) total (kg) secado (hr) total (kg)

0.00 2.28 3.25 0.780.25 2.15 3.50 0.690.50 2.03 3.75 0.590.75 1.92 4.00 0.481.00 1.80 4.25 0.391.25 1.69 4.50 0.30

Tiempo de Humedad Tiempo de Humedad secado (hr) total (kg) secado (hr) total (kg)

1.50 1.56 4.75 0.241.75 1.46 5.00 0.182.00 1.34 5.50 0.132.25 1.24 6.00 0.072.50 1.12 6.50 0.0352.75 1.01 7.00 0.0203.00 0.90

SOLUCION

Determinamos la humedad en base seca (W) y la velocidad de secado(dW/Θ):

W promedio dw/dΘ(Kg agua/100 Kg s.s.) (Kg agua/hr)

15.82 0.5214.93 0.4814.11 0.4413.29 0.4812.46 0.4411.61 0.52

W promedio dw/dΘ(Kg agua/100 Kg s.s.) (Kg agua/hr)

10.79 0.4010.00 0.489.21 0.408.43 0.487.61 0.446.82 0.446.00 0.485.25 0.364.57 0.403.82 0.443.11 0.362.46 0.361.93 0.241.50 0.241.11 0.100.71 0.120.38 0.070.20 0.05

Podemos así, graficar tanto la curva de secado como la de velocidad desecado, de las cuales se observa que Wc = 3.8 Kg agua/100 Kg s.s. (Fig.2.22a y 2.22b).

2.- Se desea secar un producto del cual se han obtenido los siguientes datos:

W (Kg agua/Kg s.s.) V (Kg agua/hr m2)0.38 1.510.195 1.510.150 1.210.100 0.900.065 0.710.050 0.370.040 0.27

Si la Wf = 0.04, Lss = 399 Kg s.s. y A = 18.58 m2, calcule el tiempo desecado.

Fig. 2.22 Curvas de secado y de velocidad de secado para el ejemplo 1.

SOLUCION

De los datos dados se observa que Wc = 0.195 Kg agua/Kg s.s. y que Vc =1.51 Kg agua/hr m2.

a) Tiempo de secado en el período a velocidad constante

Θcte = Lss

A V c t e ⌡⌠

Wc

Wo

dW

= (399 Kg s.s . ) (0 .38 - 0 .195 Kg agua/Kg s.s . )

(18 .58 m 2) (1 .51 Kg agua/ hr m2)

= 2.63 hr

b) Tiempo de secado en el período a velocidad decreciente

Θdec = LssA ⌡

⌠

Wf

Wc

d W

V

Como V = f(W), hay que hacer una integración numérica:

W V 1/V _______ ____ ______

0.195 1.51 0.6620.150 1.21 0.8260.100 0.90 1.1110.065 0.71 1.4090.050 0.37 2.7030.040 0.27 3.704

Podemos evaluar el valor de la integral utilizando la Regla del Trapecio:

⌡⌠

Wf

Wc =

0 .195 - 0 .040 2 ( 6 ) [ 0.662 + 2(0.826) + 2 (1.111) + 2 (1.409) +

2 (2.703) + 3.704] = 0.2126

Por lo que:

Θdec = (399)(0.2126)

18.58 = 4.57 hr

y

Θtotal = Θcte + Θdec

= 2.63 + 4.57 = 7.20 hr

3.- En el secado de arroz se han obtenido los siguientes datos a 60°C:

dw/dΘ (Kg agua/Kg s.s. hr) W (Kg agua/Kg s.s.)_____________________ _______________

0.107 0.2400.100 0.2250.090 0.2000.080 0.1700.071 0.1650.060 0.1400.050 0.1250.040 0.1100.030 0.0900.020 0.070

Si We = 0.066 Kg agua/Kg s.s. Wo = 0.25 Kg agua/Kg s.s.

r = 0.00145 m y se considera de forma esférica, calcule elcoeficiente difusional.

Considere que el aire empleado para el secado tiene un flujo de 1600Kg/hr m2, y un contenido de humedad de 0.001 Kg agua/Kg a.s.

SOLUCION

a) Utilizando la representación gráfica y el primer término de la serie(Fig. 2.23):

Θ (hr) ln W - We

W o - We

____ __________0 00.093 -0.0560.243 -0.1460.521 -0.3170.834 -0.5241.003 -0.6401.386 -0.9111.686 -1.1372.061 -1.4312.728 -2.0373.728 -3.829

de donde obtenemos una recta con:

pendiente = -0.934intercepto = 0.210correlación = -0.973

Igualando la pendiente a -D π2

r2

obtenemos que D = 1.99 x 10-7 m2/hr

b) Método de Gurney-Lurie

Escogemos un punto de la curva de secado: el correspondiente al Θ =2.061 hr.

Si tomamos como suposición inicial para D el valor obtenido en el incisoanterior basado en el primer término de la serie de Fick:

X = DΘx2 = 0.195

ρs = 1000 Kg s .s .

0.178 Kg agua = 5617.98 Kg s.s./m3

Kg = hcCs =

0.024 G0.8

0.24 + 0.45(0.001) = 31.04 Kg/hr m2

de donde:

m = D ρs

γ K g x = 0.025

Fig. 2.23 Determinación del coeficiente difusional para arroz utilizando elprimer término de la serie de Fick.

Si determinamos D para un punto situado en el punto medio entre elcentro y la superficie:

n = 0.0007

0.00145 = 0.5

De la gráfica leemos Yteórico = 0.63 y con la ecuación (2.26) calculamosYreal = 0.239. Estos valores no son iguales y se requiere un nuevo cálculo.

2o. Cálculo: D = 5 x 10-7

X = 0.490 m = 0.062 n = 0.5Yteórico = 0.24

por lo que esta última suposición de D es correcta y corresponde al valor realde este coeficiente.

4.- En el secado de arroz cáscara, variedad Balilla, Escardino et al. (1964)obtuvieron los siguientes datos:

T (°C) D (m2/hr) We (Kg agua/ Kg s.s.) _____ _________ ________________

4 0 9.33 x 10-4 0.10750 1.30 x 10-3 0.0856 0 1.71 x 10-3 0.066

Determinar la curva de secado a 70°C

SOLUCION

a) Cálculo de la relación de D con T

Como la relación es del tipo:

ln D = A' - BT

graficamos

ln D 1/T_____ _________-16.69 3.19 x 10- 3

-16.36 3.10 x 10- 3

-16.09 3.00 x 10- 3

y obtenemos una línea recta (Fig. 2.24):

ln D = -6.63 - 3149.5

T

Entonces, a 70°C, D = 1.36 x 10-7 m2/hr

b) Generación de la curva de secado

Los datos adicionales reportados por estos mismos autores:

Wc = Wo = 0.249 Kg agua/Kg s.s. r = 0.00145 m

La humedad de equilibrio se obtiene a partir de la isoterma de desorción a70°C. Esta está reportada por Aguerre et al. (1983), por medio de una seriede ecuaciones:

T(K) = C1(aw) exp (-C2 (aw) M) (2.48)

C1(aw) = 60.801722 aw + 355.485292 (2.49)

C2(aw) = 1.4601599 aw 0.3568276 (2.50)

donde

M = contenido de humedad en base seca, que en nuestro caso equivaldrá ala We.

Escardino et al. (1964) utilizaron aire con HR = 20% para secar este tipode arroz, por lo que, de las expresiones anteriores obtenemos que

We = 0.0268 Kg agua/Kg s.s.

Si aplicamos el primer término de la solución de la segunda ley de Fick:

ln W - We

W c - We = ln

6π2 -

π2 D Θr2

Fig. 2.24 Relación entre el coeficiente difusional y la temperatura para elsecado de arroz cáscara var. Balilla.

Substituyendo los términos conocidos y despejando W:

W = exp [(-0.4977 - 0.6384Θ) 0.2222] + 0.0268

Empleando tres términos de la serie, substituyendo los términosconocidos y despejando W tendremos:

W = 0.1351 exp [(-0.6384Θ) + 1/4 exp (-2.5537Θ) +

+ 1/9 exp (-5.7457Θ)] + 0.0268

Y las curvas de secado que obtendremos serán:

W (Kg agua/Kg s.s.) Θ (hr) Con 1 término Con 3 términos

0.0 0.1619 0.21070.25 0.1420 0.16340.50 0.1250 0.13530.75 0.1105 0.1157

1.00 0.0981 0.10081.50 0.0786 0.0794

W (Kg agua/Kg s.s.) Θ (hr) Con 1 término Con 3 términos

2.00 0.0645 0.06472.50 0.0542 0.05423.00 0.0467 0.04675.50 0.0308 0.0308

10.00 0.0270 0.0270

Ambas curvas se muestran en la figura 2.25.

Fig. 2.25 Curvas de secado para arroz predichas a 70°C con uno y t r estérminos de la serie para la solución a la segunda ley de Fick.

5.- Para cubos de zanahoria donde:

59°C ≤ Ta ≤ 90.5°C26°C ≤ Ts ≤ 32.5°CV = 0.8 m/seg

Se reporta la siguiente curva generalizada:

(dW/dΘ)dec/∆T V 0.5 W (Kg agua/Kg s.s. 12.5 x 10- 6 0.8525.0 x 10- 6 1.937.5 x 10- 6 2.950.0 x 10- 6 3.962.5 x 10- 6 4.975.0 x 10- 6 5.987.5 x 10- 6 6.5

100.0 x 10- 6 7.3 112.5 x 10- 6 8.1 125.0 x 10- 6 8.8 137.5 x 10- 6 9.5 150.0 x 10-6 10.0 155.0 x 10-6 de 10.2 a 11.0

donde (dW/dΘ) = Kg agua/Kg s.s seg

a) Hallar la ecuación que describe la curva generalizada

b) Calcular una curva de secado como humedad vs. tiempo para cualquiercondición considerada dentro de los límites.

SOLUCION

a) Si graficamos los datos dados para la curva generalizada vemos quepuede ser bien descrita por una línea recta, de la siguiente manera:

(dw/dΘ)dec

∆T V0 . 5 = 1.51 X 10-5 W - 7.19 X 10-6

r = 0.9952

b) Si hacemos la curva para V = 0.8 m/seg Tbs = 50°C Tbh = 28°C (si la HR del aire es 20%)

obtenemos que:

∆T = 22°C∆T V0.5 = 19.68Entonces, para el primer intervalo de W de 11.0 a 10.5:

(dw/dΘ)∆T V0 . 5 = 155 X 10-6

dWdΘ = 3.05 x 10- 3

dΘ = dW

3.05 X 10 - 3 ⌡⌠

10.5

11.0 dW

Integrando entre los límites apropiados:

⌡⌠

0

Θ dΘ =

13 .05 X 10 - 3 ⌡⌠

10.5

11.0 dW

de donde:Θ = 163.91 seg = 2.73 min

Para cada intervalo hay que seguir el mismo procedimiento, utilizando elpromedio de los valores de velocidad de secado obtenidos en cada uno, de ta lmanera que se obtiene:

W dW/dΘ dW/dΘ Θ (min) Θ (min) intervalo total

11.0 3.05 x 10- 3

10.5 3.05 x 10-3 3.05 x 10-3 2.73 2.7310.2 3.05 x 10-3 3.05 x 10-3 1.64 4.3710.0 2.95 x 10-3 3.00 x 10-3 1.11 5.489.5 2.71 x 10-3 2.83 x 10-3 2.94 8.428.8 2.46 x 10-3 2.59 x 10-3 4.50 12.928.1 2.21 x 10-3 2.34 x 10-3 4.99 17.917.3 1.97 x 10-3 2.09 x 10-3 6.38 24.296.5 1.72 x 10-3 1.85 x 10-3 7.21 31.505.9 1.48 x 10-3 1.60 x 10-3 6.25 37.754.9 1.23 x 10-3 1.36 x 10-3 12.52 50.003.9 9.84 x 10-4 1.11 x 10-3 15.02 65.02

2.9 7.38 x 10-4 8.61 x 10-4 19.36 84.381.9 4.92 x 10-4 6.15 x 10-4 27.10 111.480.85 2.46 x 10-4 3.69 x 10-4 47.43 158.916.- A partir de los siguientes datos, calcular el valor BET de monocapa ydeterminar si existe una relación lineal entre este valor y la temperatura.Determinar además cuáles serían las humedades relativas altas y bajas para elaire en el proceso de secado.

40°C 50°C _______________________ ______________________

W (g agua/g s.s.) aw W (g agua/g s.s.) aw

____________ _____ ____________ _____0.025 0.032 0.025 0.0560.050 0.128 0.050 0.1930.060 0.181 0.060 0.2610.070 0.239 0.070 0.3330.080 0.301 0.080 0.4060.090 0.368 0.090 0.4790.100 0.4350.110 0.501

60°C 70°C _______________________ ________________________

W (g agua/g s.s.) aw W (g agua/g s.s.) aw _____________ _____ _____________ _____

0.020 0.068 0.015 0.0860.030 0.131 0.020 0.1280.040 0.205 0.030 0.2190.050 0.286 0.040 0.3130.060 0.369 0.050 0.4050.070 0.450 0.060 0.4920.080 0.528 0.070 0.572

Aplicando el modelo de BET, se obtienen los valores abajo mostrados parael valor de monocapa (Xm = g agua/100 g s.s.) para probar su relación con latemperatura:

Xm ln Xm T (°C) ____ ____ ____

5.93 1.78 4 0

5.13 1.64 5 04.19 1.43 6 03.42 1.23 7 0

de donde obtenemos una ecuación similar a la obtenida por Iglesias y Chirife(1984) que corresponde a la gráfica mostrada en la figura 2.26:

ln Xm = 2.543 - 0.0186 T

r = -0.9965

Lo que resta por hacer ahora es encontrar a qué valor de aw (y por ende,de HR del aire) corresponde dicho valor de monocapa, lo cual nos indicará ellímite entre las humedades relativas altas y bajas:

T (°C) Wm (BET) HR% (de aw) _____ ______ _________

40 0.0593 17.73%50 0.0513 20.18%60 0.0419 22.04%70 0.0342 25.85%

Así, para el secado a 40°C por ejemplo, la HR de 17.73% será consideradacomo el límite entre las humedades relativas altas y bajas. Lo mismo ocurrepara las demás temperaturas.

Fig. 2.26 Relación entre la temperatura y el valor de monocapa para elproblema 6.

6. PROBLEMAS PROPUESTOS

1.- Un producto alimenticio se seca en un secador de bandejas, usandocondiciones del aire constantes y un espesor del material en la bandeja de25.4 mm. Sólo se expone al secado la superficie superior. La velocidad desecado durante el período constante es de 2.05 Kg agua/hr m2. Larelación Lss/A usada es de 24.4 Kg s.s./m2. Calcúlese el tiempo parasecar un lote de este material desde una humedad de 0.45 Kg agua/Kgs.s. hasta 0.30. Usando las mismas condiciones de secado que para laprueba previa, pero un espesor de 50.8 mm, con secado por lassuperfices superior e inferior.De la prueba original se sabe que la humedad inicial y crítica del alimentoes de 0.55 y 0.22 Kg agua/Kg s.s.

2.- Una torta de filtrado colocada en una bandeja de 1 pie x 1pie y unaprofundidad de una pulgada, se seca por la superficie superior con aire atemperatura de bulbo húmedo de 80°F y de bulbo seco de 120°F, que fluyeen paralelo a la superfice de secado a una velocidad de 2.5 ft/seg. Ladensidad de la torta seca es de 120 lb / f t 3 y el contenido crítico dehumedad es de 0.09. ¿Cuánto tiempo se requiere para secar el materialdesde una humedad de 0.20 hasta el valor crítico?

3.- Roman et al. (1979) generaron una serie de curvas de secado de manzanaa 30°C. En su estudio, la manzana presentaba las siguientescaracterísticas:

Dimensiones: Largo = 30 mm Ancho = 30 mm

Espesor = 1 mm Humedad inicial = 3.5 Kg agua/Kg s.s.

Velocidad del aire = 1 m/seg

Se encontraron dos períodos a velocidad decreciente. En el primer períodoel coeficiente difusional obtenido fue de 7.2 x 10 -3 mm2/min, y en elsegundo período fue de 4.2 x 10 -3 mm2/min. El contenido de humedaddonde ocurre el cambio de período fue de 0.11 Kg agua/Kg s.s.

La humedad de equilibrio de manzana a 30°C es de 0.06 Kg agua/Kg s.s.

a) Genere la curva de secado (velocidad vs. tiempo)b) ¿ Cuál es el tiempo necesario para alcanzar un nivel de humedad de0.08 Kg agua/Kg s.s. ?

4.- En el secado de un producto alimenticio, en un secador de charolas conflujo de aire paralelo al producto, se registraron los siguientes cambios depeso del producto:

Peso (Kg) Tiempo (hr) ________ _________

4.944 04.885 0 .44.808 0 .84.699 1 .44.554 2 .24.404 3 .04.241 4 .24.150 5 .04.019 7 .03.978 9 .03.955 12.0

El peso de sólidos secos inicial era de 3.765 Kg y el área de secado (carasuperior de las charolas) de 0.186 m2.

a) Genere la curva de secado.b) ¿Hay período a velocidad constante?c ) Si existen, ¿cuáles son los valores de la humedad crítica y de la de

equilibrio?d) Si se desea una humedad final de 6 gr agua/100 gr s.s., ¿cuánto

tiempo de secado se requiere?

5.- La harina de tapioca se obtiene con un proceso de secado y molienda de laraíz de tapioca. A continuación se tabulan los datos experimentales delsecado de rebanadas delgadas de la raíz de tapioca de 3 mm de espesor,secadas por ambos lados durante el período a velocidad decreciente y sinvariar las condiciones de secado. El tiempo Θ=0 es el inicio del período a

velocidad decreciente. Calcúlese la difusividad promedio hasta un valor deW/Wc = 0.20. Supóngase que la relación que existe entre D ρss/γ Kg X esmuy pequeña.

W/Wc Θ (hr)1.00 00.80 0.150.63 0.270.55 0.400.40 0.600.30 0.800.23 0.940.18 1.07

6.- Se desea secar el lote de un alimento húmedo cuya curva de velocidad desecado está representada por la figura 2.55, desde un contenido dehumedad de 0.38 hasta 0.04, calcúlese el tiempo de secado si ρss = 399Kg s.s. y A = 18.58 m2.

7.- Un producto alimenticio en forma de placas se está secando en un secadorde túnel con aire a Tbs de 180°F y Tbh de 93°F. El secador se ha diseñadode tal manera que el coeficiente de transferencia de calor será de 1Btu/min ft2 °F. Las características del alimento son las siguientes:

Humedad inicial = 1.5 Kg agua/Kg s.s.Humedad final = 0.05 Kg agua/Kg s.s.

Humedad de equilibrio = 0.0 Kg agua/Kg s.s. ρss = 45 lb/ft3

Coeficiente difusional = 2.0853 x 10-6 ft2/min

Fig. 2.27 Curva de velocidad de secado para el problema 6.

Las dimensiones de las placas de producto son:

Espesor = 1/2 inAncho = 4 inLargo = 6 in

Genere la curva de secado del producto y determine el tiempo paraalcanzar la humedad deseada.

8.- En un estudio de secado de papa se han obtenido los siguientes datos:

Tiempo (min) W (lb agua/lb s.s.) Tiempo (min) W (lb agua/lb s.s.)__________ _______________ __________ ______________

0 2.76 535 0.895 25 2.59 635 0.675 55 2.49 777 0.457195 1.95 883 0.379

Si la We = 0, ρss = 30 lbss/ f t3 , Lss/A = 0.173 lb s .s . / f t 2 , A =1 f t2 , Ha =0.009 lb agua/lb a.s. y Tbs =150°F, determine el valor del coeficientedifusional.

9.- Una serie de trabajos realizados desde 1970 por el grupo del Dr. JorgeChirife, han demostrado que durante el secado con aire caliente deremolacha, no se presenta un período de secado a velocidad constante.Para propósitos de diseño de secadores, dichos investigadores han llegadoa la conclusión de que una solución a la segunda ley de Fick, utilizandosolamente el primer término de la misma, caracteriza adecuadamente elsecado de placas de remolacha. En sus estudios, las placas de remolachatenían dimensiones de 6 cm por lado y espesores de 0.4 a 1 cm. En unaserie de experiencias de secado con una velocidad de aire constante y 3temperaturas diferentes de bulbo seco, obtuvieron los siguientesresultados:

Θ/L2 47 °C 60 ° C 81 °C 1.0 0.76 0.63 0.47 2.0 0.58 0.40 0.25 3.0 0.45 0.27 0.12 4.0 0.35 0.17 0.065 5.0 0.29 0.13 0.045 6.0 0.20 0.10 0.038 7.0 0.18 0.080 0.034 8.0 0.16 0.065 0.029 9.0 0.13 0.059 0.02810.0 0.115 0.055 0.02612.0 0.090 0.047 0.02114.0 0.078 0.040 0.02016.0 0.067 0.035 0.016

Utilizando la información anterior, obtenga la curva de secado de laremolacha a Tbs=70°C, tomando en cuenta además que Wi = 3.05 Kgagua/Kg s.s., We = 0 y L = 4 mm.

10.- Un alimento se seca con aire caliente exponiéndolo a las siguientescondiciones:

Tbs = 82.2 °C Wo = 1.35 Kg agua/Kgs.s.

Tbh = 33.9 °C hc = 1226.4 KJ/hr m2 °Cρss = 720.8 Kg/m3

D = 1.15 x 10-3 m2/hrEl producto en forma de placas tiene las siguientes dimensiones:

Genere la curva de secado.

11.- Un producto alimenticio poroso está siendo secado utilizando aire con lassiguientes condiciones: H = 0.0127, Tbs = 180°F.

Por investigaciones anteriores se tienen las siguientes propiedades:

hc = 60 Btu/hr ft2 °FD = 1.235 x 10-3 ft2/h r

Se ha cortado en forma de placas de 6 x 4 in y un espesor de 0.5 in. Laρss = 45 lb / f t 3 , Wo=1.35 lb agua/lb s.s. Wc=0.05, Wf=0.02 y We

despreciable. Calcule el tiempo de secado necesario.

13.- Considérese un producto alimenticio sólido poroso cuyo contenido dehumedad inicial es de 60% en base seca. Se seca con aire a 180°F. Elproducto tiene dimensiones de 4 x 12 x 10 in. La We=5% b.s. y Wc=15%b.s. El aire original, antes de ser calentado tenía 70°F y 80% HR. Si hc =60 Btu/hr f t 2 °F, y la densidad del producto original es de 45 lb / f t 3 ,evalúe el proceso de secado.

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APENDICE

A.2 ECUACIONES DE SECADO PARA MAIZ

Para el rango de temperaturas de 90 a 160°F, Troeger y Hukill (1971)sugirieron la siguiente ecuación empírica:

t/60 = p1 (M-Me)q1 - p1 (Mo-Me)q1

Mo ≥ M ≥ Mx1

t/60 = p2 (M-Me)q2 - p2 (Mx1-Me)q2 + tx1

Mx1 ≥ M ≥ Me

t/60 = p3 (M-Me)q3 - p3 (Mx2-Me)q3 + tx2

Mx2 ≥ M ≥ Me

(A.2.1)

donde

Mx1 = 0.40 (Min-Me) + Me

Mx2 = 0.12 (Min-Me) + Me

tx1 = [p1 (Mx1-Me)q1 - p1 (Min-Me)q1] /60

tx2 = [p2 (Mx2-Me)q2 - p2 (Min-Me)q2 /60] + tx1

p1 = exp(-2.45 - 6.42Min1.25 - 3.15 rh + 9.62 Min(rh)0.5 + 0.03Θ - 0.12 Va)

p2 = exp [2.82 + 7.49 (rh+0.01)0.67 - 0.0179 Θ ]

p3 = 0.12 (Min-Me)(q2-q3) (p2q2/q3)

q1 = -3.98 + 2.87 Min - [0.019/(rh+0.015)] + 0.016 Θ

q2 = -exp (0.810 - 3.11 rh)

q3 = -1.0

Scheuerman y Muhlbauer (1970) propusieron la siguiente ecuaciónempírica para la velocidad de secado de maíz a altos contenidos iniciales dehumedad y altas temperaturas:

t/60 = A1

Θ − 1 7 4 . 2

5 4 B1

M in - 30

D C1 ln MR

+ A2

Θ - 1 7 4 . 2

5 4 B2 [ ]M in - E C2 (ln MR)2 (A.2.2)

Los valores de las constantes en (A.2.2) están dados en la tabla A.1. Laecuación es válida en el siguiente rango:

176°F ≤ Θ ≤ 392°F45%db ≤ Min ≤ 65%db

1.5 ft/seg ≤ Va ≤ 3.0 ft/seg

Nomenclatura:

t = tiempo (hr)M = contenido promedio de humedad en base seca (decimal)Me = contenido de humedad de equilibrio (decimal)Mo = contenido final de humedad (decimal)

___________________________________________________________

Tabla A.1 Constantes para la ecuación de Scheuerman y Muhlbauer para lavelocidad de secado de maíz.

___________________________________________________________

Va = 1.5 ft/seg Va = 3.0 ft/segA 1 21.6 4.2A 2 e22.3 e13.6

B1 -0.46 -0.43B2 0.9 -3.66C1 0.58 0.43C2 -7.0 -1.4D 20.0 1.0E 32.0 44.0

___________________________________________________________

Min = contenido de humedad inicial en base seca (decimal) rh = humedad relativa (decimal)

Θ = temperatura del producto (°F)Va = velocidad del aire (ft/hr)MR = razón de humedades ((M-Me)/(Min-Me)

A.3 DESCRIPCION DE LAS ISOTERMAS PARA MAIZ

Estas ecuaciones fueron desarrolladas por Bakker-Arkema et al. (1974) apartir de los datos recopilados por Rodríguez-Arias (1956). Estas son:

Me = S1 rh3

1.02 +

F1

0.17 - 0 . 0 2 8 3 3 3 S 1 rh

0.0 ≤ rh < 0.17 (A.3.1)

Me = S1 (0.34-rh)3

1.02 + S2 (rh-0.17)3

1.02 +

F2

0.17 - 0 . 0 2 8 3 3 3 S 1 (rh - 0.17)

+

F1

0.17 - 0 . 0 2 8 3 3 3 S 1 (0.34 - rh)

0.17 ≤ rh < 0.34 (A.3.2)

Me = S2 (0.51-rh)3

1.02 + F3

0.17 (rh-0.34) +

F2

0.17 - 0 . 0 2 8 3 3 3 S 2 (0.51-rh)

0.34 ≤ rh ≤ 0.50 (A.3.3)

Me = S3 (rh-0.49)3

1.02 +

F5

0.17 - 0 . 0 2 8 3 3 3 S 3 (rh-0.49) +

F40.17 (0.66-rh)

0.50 < rh < 0.66 (A.3.4)

Me = S3 (0.83-rh)3

1.02 + S4 (rh-0.66)3

1.02 +

F6

0.17 - 0 . 0 2 8 3 3 3 S 4 (rh-0.66)

+

F5

0.17 - 0 . 0 2 8 3 3 3 S 3

0.66 ≤ rh < 0.83 (A.3.5)

Me = S4 (1.00-rh)3

1.02 + F7

0.17 (rh-0.83) +

F6

0.17 - 0 . 0 2 8 3 3 3 S 4

0.83 ≤ rh ≤ 1.00 (A.3.6)

donde

rh = humedad relativa, decimalF1 = -0.0003922 T + 0.1000F2 = -0.0004353 T + 0.1328F3 = -0.0005359 T + 0.1646F4 = -0.0005375 T + 0.1624F5 = -0.0007075 T + 0.2075F6 = -0.0007449 T + 0.2532F7 = -0.001071 T + 0.3931S1 = 13.83 (-9F1 + 6F2 - F3)S2 = 13.83 (4F3 - 9F2 + 6F1)S3 = 13.83 (4F4 - 9F5 + 6F6 - F7)S4 = 13.83 (4F7 - 9F6 + 6F5 - F4)

T = temperatura, °F

Estas ecuaciones se ajustan a los datos de equilibrio de Rodríguez-Arias(1956) de 40 a 140°F con una desviación máxima de 2.0% para el contenido dehumedad, y una desviación promedio de 0.5%.