Modelacion Matematica en Brazo Robot

MATEMATICA III

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO - FIME

http://www.google.com.pe/imgres?q=Scorbot+ER+V+plus&um=1&hl=es&sa=N&rlz=1R2MOOI_esPE432&biw=1440&bih=670&tbm=isch&tbnid=t4nP5b7BBV7C8M:&imgrefurl=http://www.theoldrobots.com/scorbot.html&docid=KTNS88y_zBh6ZM&imgurl=http://www.theoldrobots.com/images26/scor-er7-18.JPG&w=466&h=480&ei=4iu7Tuj1BMqCsALhzoydCA&zoom=1

MATEMATICA III

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Y ENERGIA

Escuela Profesional de Ingeniería Mecánica

Matemática III

TRABAJO:

Proyecto de Investigación

TEMA:

Modelación matemática en un brazo robótico

PROFESOR:

Fernández Romero Gonzalo Juan

CICLO:

3ro

INTEGRANTES:

- ALVAREZ BENAUTE, ILMER- SILVA ISIDRO, HENRRY YORDAN- RAMOS CCOPA, YOEL CRISTHIAN- CAMAC DIAZ CARLOS- ZAVALA RIVERA, CHRISTIAN

BELLAVISTA–CALLAO

2013


MATEMATICA III


Este trabajo se lo dedicamos a todas aquellas personas que con su sabiduría nos guían día a día en el camino correcto de la grandeza del ser humano

MATEMATICA III


INDICE

CAPÍTULO 11 INTRODUCCIÓN1.1 Definiciones

1.1.1 Robot 1.1.2 Clasificación de los robots

basados en las generaciones de sistemas de control

1.1.3 El robot industrial 1.1.4 Construcción (Arquitecturas de

los robots) 1.1.5 Campos de aplicación 1.1.6 Ventajas y desventajas del uso

de los robots 1.17 El robot “Scorbor ER V plus”

CAPÍTULO 22. MODELADO MATEMÁTICO 2.1 Cinemática 2.1.1 Cinemática directa 2.1.2 Cinemática inversa 2.2 Dinámica 2.2.1 Consideraciones dinámicas2.2.2 Dinámica inversa 2.2.2.1 Análisis de la articulación en la base2.2.2.2 Análisis de la articulación en el primer eslabón 2.2.2.3 Análisis de la articulación en el segundo eslabón 2.2.2.4 Análisis de la articulación en el segundo eslabón respecto a la carga 2.2.2.5 Ecuación de Lagrange 2.2.2.6 Fricción 2.2.2.7 Par de la articulación 1 (cintura) 2.2.2.8 Par de la articulación 2 (hombro) 2.2.2.9 Par de la articulación 3 (codo) 2.2.2.10 Modelo dinámico inverso par un robot manipulador articulado 2.2.3 Dinámica directa 2.2.3.1 Modelo dinámico directo par un robot manipulador articulado

CONCLUCIONES

BIBLIOGRAFIA

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INTRODUCCION

Todos hemos tenido contacto con un robot o por lo menos tenemos algunanoción de lo que es un robot. Si nos damos el tiempo para echar un vistazo alo que nos rodea, nos daremos cuenta que los robots han estado, están yseguirán estando presentes cada vez más en nuestra existencia realizando diferentes tareasdedicadas a hacer más práctica la vida del hombre.

El uso y desarrollo de los robots son cada vez mayores y esto se debe a lasventajas que ofrecen. Para que un robot realice las actividades que deseamos, esnecesario conocer su funcionamiento que está regido por sus característicasfísicas (arquitectura, configuración, grados de libertad, tipo de control, etc.). Lascaracterísticas básicas están descritas en sus manuales, etc.

Los dispositivos y mecanismos que pueden agruparse bajo la denominacióngenérica de robot, son muy diversos y es difícil establecer una clasificación coherente delos mismos, que resista un análisis crítico y riguroso. Actualmente una clasificación de losrobots se puede agrupar en dos familias: los robots de servicio y los robots industriales. Losprimeros realizan tareas para beneficio de los humanos, mientras que la finalidad de losindustriales es la utilización en aplicaciones de automatización industrial.

Pero lo que trataremos con profundidad en este trabajo es sobre la modelación matemática que se aplica a un brazo robot articulado (El robot “Scorbot-ER V plus”)

DEFINICIONES


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ROBOT

Un robot, se puede definir como: Una máquina controlada por una computadora yprogramada para moverse, manipular objetos y realizar trabajos a la vez que interaccionacon su entorno. Los robots son capaces de realizar tareas repetitivas y/opeligrosas de forma más segura, rápida, barata y precisa que los seres humanos; es por esoque, su aplicación en la actualidad, es cada vez más variada.

La palabra robot fue usada por primera vez en el año 1921, cuando el escritor checoKarelCapek (1890-1938) estrena en el teatro nacional de Praga su obra Rossum’sUniversal Robot (R.U.R.). Su origen es la palabra eslava robota, que se refiere al trabajorealizado de manera forzada. Actualmente el término robot encierra una grancantidad de mecanismos y máquinas en todas las áreas de nuestra vida. Su principal uso seencuentra en la industria en aplicaciones tales como el ensamblado, la soldadura o lapintura. En el espacio se han utilizado desde brazos teleoperados para construcción omantenimiento hasta los famosos exploradores marcianos Pathfinder. Los robots paraaplicaciones submarinas y subterráneas se incluyen en exploraciones, instalación ymantenimiento de estructuras. Los robots militares o policías pueden hasta desactivarbombas y patrullar áreas enemigas. Lo más novedoso en Robótica son los robots aplicadosen la medicina como prótesis y en la agricultura como recolectores. No está excluida porsupuesto el área del entretenimiento, los parques temáticos, las películas y hasta losjuguetes nos sorprenden cada nueva temporada.

LA ROBÓTICA

La robótica es una tecnología, que surgió como tal, aproximadamente hacia el año1960, desde entonces han transcurrido pocos años y el interés que ha despertado es superiora cualquier previsión que en su nacimiento se pudiera formular, siguiendo un procesoparalelo a la introducción de las computadoras en las actividades cotidianas de la vida delhombre, aunque si bien todavía los robots no han encontrado la vía de penetración en loshogares, pero sí son un elemento ya imprescindible en la mayoría de las industrias.

¿Qué es la robótica?El conjunto de conocimientos teóricos y prácticos que permiten concebir, realizar y automatizar sistemas basados en estructuras mecánicas poliarticuladas, dotados de undeterminado grado de "inteligencia" y destinados a la producción industrial o la sustitucióndel hombre en muy diversas tareas; se le llama robótica (mecanismos). Un sistemarobótico puede describirse, como "Aquel que es capaz de recibir información, decomprender su entorno a través del empleo de modelos, de formular y de ejecutar planes, yde controlar o supervisar su operación". La robótica es esencialmente multidisciplinaria yse apoya en gran medida en los progresos de la microelectrónica, la informática, lamecánica y la ingeniería en control entre otras; así como en nuevas


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disciplinas tales comoel reconocimiento de patrones, la inteligencia artificial y la mecatrónica.De acuerdo a la definición de John Craig, la robótica es el deseo de sintetizaralgunos aspectos de las funciones que realiza el hombre a través del uso de mecanismos,sensores y computadoras. Su estudio involucra muchas áreas del conocimiento que agrandes rasgos podemos dividir en: manipulación mecánica, locomoción, visión porcomputadora e inteligencia artificial.

Por lo tanto, el objetivo de la Robótica es liberar al hombre de tareas peligrosas,tediosas o pesadas y realizarlas de manera automatizada.

Manipulador articuladoEl manipulador es un ensamblaje de eslabones y articulaciones que permitenrotación o traslación entre dos de los eslabones. Estos eslabones son sólidos y estánsostenidos por una base (horizontal, vertical o suspendida), con una articulación entre labase y el primer eslabón. El movimiento y las articulaciones definen los "grados delibertad" del robot. Una configuración típica de un brazo robot es la de tres grados delibertad, a la que se añaden las posibilidades de movimiento en la muñeca, llegando a untotal de cuatro a seis grados de libertad. Algunos robots tienen entre siete y nueve grados delibertad, pero por su complejidad, son menos comunes.

“La base del manipulador es rígida y está sujeta a una plataforma que la sostiene,generalmente, pero no siempre, del suelo. Cuando se puede mover, comúnmente lo hace alo largo de un eje y es para sincronizar el movimiento del robot con el de otros equipos. Deesta manera el movimiento de la base sumado al movimiento tridimensional delmanipulador proporcionan cuatro grados de libertad”.“Caracterización de un robot manipulador articulado”

Clasificación de los robots basados en las generaciones de sistemasde control


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- La primera generación

El sistema de control usado en la primera generación de robots está basado en las“paradas fijas” (término que se emplea cuando la operación de un mecanismo está en lazoabierto y el fin de su ciclo está predeterminado) mecánicamente. Esta estrategia es conocidacomo control de lazo abierto o control “todo o nada”.

- La segunda generación

La segunda generación utiliza una estructura de control de ciclo abierto, pero enlugar de utilizar interruptores y botones mecánicos utiliza una secuencia numérica decontrol de movimientos almacenados en un disco o cinta magnética. El programa de controlentra mediante la elección de secuencias de movimiento en una caja de botones o a travésde palancas de control con los que se “recorre”, la secuencia deseada de movimientos.

- La tercera generación

La tercera generación de robots utiliza las computadoras para su estrategia decontrol y tiene algún conocimiento del ambiente local a través del uso de sensores, loscuales miden el ambiente para modificar su estrategia de control, con esta generación seinicia la era de los robots inteligentes y aparecen los lenguajes de programación para escribir los programas de control. La estrategia de control utilizada se denomina de “lazo cerrado”.

- La cuarta generación

En la cuarta generación de robots, ya se les califica de inteligentes con más ymejores extensiones sensoriales, para comprender sus acciones y el mundo que los rodea.Incorpora un concepto de “modelo del mundo” de su propia conducta y del ambiente en elque operan. Utilizan conocimiento difuso y procesamiento dirigido por expectativas quemejoran el desempeño del sistema de manera que la tarea de los sensores se extiende a lasupervisión del ambiente global, registrando los efectos de sus acciones en un modelo delmundo y auxiliar en la determinación de tareas y metas.

- La quinta generación

Actualmente esta nueva generación de robots está en desarrollo, pretende que elcontrol emerja de la adecuada organización y distribución de módulos conductuales. Comoejemplo, se puede mencionar el más conocido: Un juguete denominado “Poo-Chi” quepuede considerarse de quinta generación porque tiene la capacidad de responder a la luz, altacto y al sonido. Otro ejemplo es un robot mascota con forma similar a la de un perro quefabrica Sony, llamado “Aibo” (que en japonés “Aibo” significa amigo).


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EL ROBOT INDUSTRIAL

La principal diferencia entre un robot y una máquina convencional es que el primeroes capaz de modificar su tarea a realizar. Esto convierte a los robots en la solución idealpara el cambiante y exigente mundo de la industria.El término robot puede adquirir muchos significados diferentes dependiendo delcontexto. La Federación Internacional de Robótica (IFR) en su informe técnico ISO/TRdistingue entre robot industrial y otros robots con la siguiente definición:“...por robot industrial de manipulación se entiende a una máquina de manipulaciónautomática, reprogramable y multifuncional con tres o más ejes que pueden posicionar yorientar materias, piezas, herramientas o dispositivos especiales para la ejecución detrabajos diversos en las diferentes etapas de la producción industrial, ya sea en una posiciónfija o en movimiento...".

El robot industrial nace de la unión de una estructura mecánica articulada y de unsistema electrónico de control en el que se integra una computadora. Esto permite laprogramación y control de los movimientos a efectuar por el robot y la memorización de lasdiversas secuencias de trabajo (sin tener que hacer cambios permanentes en su material),por lo que le da al robot una gran flexibilidad y posibilita su adaptación a muy diversastareas y medios de trabajo.

“El robot industrial es pues un dispositivo multifuncional, es decir, apto para muydiversas aplicaciones, al contrario de la máquina automática clásica, fabricada para realizarde forma repetitiva un tipo determinado de operaciones”.

“El robot industrial se diseña en función de diversos movimientos que debe poderejecutar; es decir, lo que importa son sus grados de libertad, su campo de trabajo, sucomportamiento estático y dinámico”.

La capacidad del robot industrial para reconfigurar su ciclo de trabajo, unida a laversatilidad y variedad de sus elementos terminales o también llamado efector final (pinzas,garras, herramientas, etc.), le permite adaptarse fácilmente a la evolución o cambio de losprocesos de producción, facilitando su reconversión.

Configuraciones básicasLos robots industriales están disponibles en una amplia gama de tamaños, formas yconfiguraciones físicas. La gran mayoría de los robots comercialmente disponibles en laactualidad tienen una de estas cuatro configuraciones básicas; estas estructuras tienendiferentes propiedades en cuanto a espacio de trabajo y accesibilidad a posicionesdeterminadas:

- Configuración polarLa configuración polar utiliza coordenadas polares para especificar cualquierposición en términos de una rotación sobre su base, un ángulo de elevación y una extensiónlineal del brazo, con lo que obtiene un medio de trabajo en forma de esfera (figura 1-3)


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Figura 1-3 Área de trabajo de la configuración polar.

- Configuración cilíndricaLa configuración cilíndrica sustituye un movimiento lineal por uno rotacional sobresu base, con los que se obtiene un medio de trabajo en forma de cilindro (figura 1-4)

Figura 1-4 Área de trabajo de la configuración cilíndrica.

- Configuración de coordenadas cartesianasLa configuración de coordenadas cartesianas, posee tres movimientos lineales, y sunombre proviene de las coordenadas cartesianas, las cuales son más adecuadas


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paradescribir la posición y movimiento del brazo. Los robots cartesianos a veces reciben elnombre de XYZ, donde las letras representan a los tres ejes del movimiento (figura 1-5)

Figura 1-5 Área de trabajo de la configuración de coordenadas cartesianas.

- Configuración de brazo articuladoLa configuración de brazo articulado, utiliza únicamente articulaciones rotacionalespara conseguir cualquier posición y es por esto que es el más versátil (figura 1-6).

Figura 1-6 Área de trabajo de la configuración de brazo articulado.


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ConstrucciónLa construcción de un robot, ya sea una máquina que camine de forma parecida acomo lo hace el ser humano, o un manipulador sin rostro para una línea de producción, esfundamentalmente un problema de control. Existen dos aspectos principales: mantener unmovimiento preciso en condiciones que varían y conseguir que el robot ejecute unasecuencia de operaciones previamente determinadas. Los avances en estos dos campos (elprimero es esencialmente un problema matemático, y el segundo de tecnología) suministranla más grande contribución al desarrollo del robot moderno.Los manipuladores propiamente dichos representan, en efecto, el primer pasó en laevolución de la robótica y se emplean preferentemente para la carga-descarga de máquinasherramientas,así como para manutención de prensas, cintas transportadoras y otrosdispositivos.Actualmente los manipuladores son brazos articulados con un número de grados delibertad que oscila entre dos y cinco, en forma general, cuyos movimientos de tiposecuencial, se programan mecánicamente a través de una computadora. A pesar de suconcepción básicamente sencilla, se han desarrollado manipuladores complejos paraadaptarlos a aplicaciones concretas en las que se dan condiciones de trabajo especialmenteduras o especificaciones de seguridad muy exigentes.

Arquitecturas de los robotsLa arquitectura, definida por el tipo de configuración general del robot, puede sermetamórfica. El concepto de metamorfismo, de reciente aparición, se ha introducido paraincrementar la flexibilidad funcional de un robot a través del cambio de su configuraciónpor el propio robot. El metamorfismo admite diversos niveles, desde los más elementales(Cambio de herramienta o de efector terminal), hasta los más complejos como el cambio oalteración de algunos de sus elementos o subsistemas estructurales.

Los dispositivos y mecanismos que pueden agruparse bajo la denominación genéricadel robot, tal como se ha indicado, son muy diversos y es por tanto difícil establecer unaclasificación coherente de los mismos que resista un análisis crítico y riguroso. Lasubdivisión de los robots con base en su arquitectura, se hace en los siguientes grupos:

PoliarticuladosBajo este grupo están los robots de muy diversa forma y configuración cuyacaracterística común es la de ser básicamente sedentarios (aunque excepcionalmentepueden ser guiados para efectuar desplazamientos limitados) y están estructurados paramover sus elementos terminales en un determinado espacio de trabajo según uno o mássistemas de coordenadas y con un número limitado de grados de libertad. En este grupo seencuentran los manipuladores, los robots cartesianos y algunos robots industriales y seemplean cuando es preciso abarcar una zona de trabajo relativamente amplia o alargada,actuar sobre objetos con un plano de simetría vertical o reducir el espacio ocupado en elsuelo.


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MóvilesSon robots con grandes capacidades de desplazamiento, basadas en carros oplataformas y dotadas de un sistema locomotor de tipo rodante. Siguen su camino portelemando o guiándose por la información recibida de su entorno a través de sus sensores.Los vehículos con ruedas, son la solución más simple y eficiente para conseguir lamovilidad; sin embargo, cabe mencionar que también existe la locomoción mediante patasque permite sortear obstáculos con mayor facilidad con el inconveniente de requerirmecanismos de mayor complejidad y su consumo de energía es mayor respecto a los robotsmóviles rodantes. Un ejemplo de esta arquitectura de robot con ruedas, son las “tortugasmotorizadas” diseñadas en los años cincuentas, fueron las precursoras y sirvieron de base alos estudios sobre inteligencia artificial desarrollados entre 1965 y 1973 en la Universidadde Stanford. Estos robots aseguran el transporte de piezas de un punto a otro de una cadenade fabricación. Guiados mediante pistas materializadas a través de la radiaciónelectromagnética de circuitos empotrados en el suelo, o a través de bandas detectadasfotoeléctricamente, pueden incluso llegar a sortear obstáculos y están dotados de un nivelrelativamente elevado de inteligencia.

AndroidesSon robots que intentan reproducir total o parcialmente la forma y elcomportamiento cinemático del ser humano. Actualmente los androides son todavíadispositivos muy poco evolucionados y sin utilidad práctica, y destinados,fundamentalmente, al estudio y experimentación. Uno de los aspectos más complejos deestos robots, y sobre el que se centra la mayoría de los trabajos, es el de la locomociónbípeda. En este caso, el principal problema es controlar dinámica y coordinadamente en eltiempo real el proceso y mantener simultáneamente el equilibrio del robot y cabe destacarlos avances que ha tenido Honda en este rubro con su robot bípedo.

ZoomórficosLos robots zoomórficos, que considerados en sentido no restrictivo podrían incluirtambién a los androides, constituyen una clase caracterizada principalmente por sussistemas de locomoción que imitan a los diversos seres vivos como animales e insectos. Apesar de la disparidad morfológica de sus posibles sistemas de locomoción es convenienteagrupar a los robots zoomórficos en dos categorías principales: caminadores y nocaminadores. El grupo de los robots zoomórficos no caminadores está muy pocoevolucionado. Cabe destacar, entre otros, los experimentos efectuados en Japón basados ensegmentos cilíndricos biselados acoplados axialmente entre sí y dotados de un movimientorelativo de rotación. En cambio, los robots zoomórficos caminadores multípedos son muynumerosos y están siendo experimentados en diversos laboratorios con vistas al desarrolloposterior de verdaderos vehículos “todo terreno” piloteados o autónomamente capaces deevolucionar en superficies muy accidentadas. Las aplicaciones de estos robots seráninteresantes en el campo de la exploración espacial y en el estudio de los volcanes entreotros.


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HíbridosEstos robots corresponden a aquellos de difícil clasificación cuya estructura se sitúaen combinación con alguna (dos o más) de las anteriores ya expuestas, bien sea porconjunción o por yuxtaposición. Por ejemplo, un dispositivo segmentado articulado y conruedas, es al mismo tiempo uno de los atributos de los robots móviles y de los robotszoomórficos. De igual forma pueden considerarse híbridos algunos robots formados por layuxtaposición de un cuerpo formado por un carro móvil y de un brazo semejante al de losrobots industriales. En parecida situación se encuentran algunos robots antropomorfos yque no pueden clasificarse ni como móviles ni como androides, tal es el caso de los robots personales.Campos de aplicación

“El robot industrial forma parte del progresivo desarrollo de la automatizaciónindustrial (figura 1-7), favorecido notablemente por el avance de las técnicas de control porcomputadora, y contribuye de manera decisiva la automatización en los procesos defabricación de series de mediana y pequeña escala”.La fabricación en series pequeñas había quedado hasta ahora fuera del alcance de laautomatización, debido a que requiere una modificación rápida de los equipos deproducción. El robot, como manipulador reprogramable y multifuncional, puede trabajar deforma continua y con flexibilidad.“El cambio de herramienta o dispositivo especializado y la facilidad de variar elmovimiento a realizar permiten que, al incorporar al robot en el proceso productivo, seaposible y rentable la automatización en procesos que trabaja con series más reducidas ygamas más variadas de productos”.

Figura 1-7 Gráfica de porcentajes de aplicación de los robots en las industrias.

Ventajas y desventajas del uso de los robotsLas ventajas principales son: tienen una alta productividad; fabrican productos oefectúan operaciones sobre ellos con una buena calidad y ésta es uniforme; tienen una altaflexibilidad por ser reprogramables; hacen trabajos rutinarios o peligrosos o en


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ambientesinhóspitos o extremosos y se pueden integrar a sistemas automáticos de mayores alcances.Las desventajas principales son: conllevan una alta inversión inicial; son más sofisticadostecnológicamente; requieren de programación; desplazan a personal productivo.

El robot “Scorbot-ER V plus”El Scorbot-ER V plus, es un robot (figura 1-8) perteneciente a una celda demanufactura (CIM), instalada en el laboratorio de mecatrónica, del Cenidet. El robot en suconcepción, fue creado y diseñado para fines didácticos, sin embargo se considera de tipoindustrial. Este robot es capaz de trabajar en forma independiente dedicado al ensamble depiezas, así como el depositar o recoger alguna pieza de la banda transportadora de la celdaque es la que comunica a este robot (llamado de almacenes) con otro (llamado desupervisión, el cual tiene un grado de libertad adicional proporcionado por un tornillosinfín) como lo muestra la figura 1-9

Figura 1-8SCORBOT - ER V plus.

Figura 1-9Vista del CIM.

De acuerdo a lo visto en lo anterior; se puede decir que el ScorbotER V plus tiene una configuración de tipo manipulador articulado y cuenta con una arquitectura poliarticulada.


Robot dealmacenes

Robot desupervisión

Bandatransportadora

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Este robot dispone de manuales para el usuario, que contienen informaciónnecesaria para su instalación, conocimiento y manejo. Es un robot de 5 GDL (grados delibertad), cada articulación realiza movimientos rotatorios desarrollados por actuadores queson servomotores de 12 voltios de corriente directa (VCD) y su posicionamiento se registraa través de encoders, lo que se puede apreciar en la figura 1-10.Cada par generado por los servomotores es transmitido por sistemas de engranaje ybandas dentadas, su capacidad máxima de carga es de un kilogramo, los elementos que lointegran están construidos de acero, plástico y aluminio siendo este último el que constituyela mayor parte de su estructura, su sistema de control está regido por un controlador del tipoPID. Posee tres grupos denominados de control que en los que se puede trabajar, cada unode estos grupos permite reestructurar los parámetros predeterminados teniendo así en cadauno de ellos condiciones de trabajo distintas.

Figura 1-10 Ubicación de los sensores.


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2. MODELADO MATEMÀTICO

Antes que nada, se debe establecer que el modelado de sistemas es tanto un arte, como una búsqueda científica. Esto significa que sólo pueden mostrarse ciertos aspectos del tema. Cuando se aplica el término modelado, no siempre se tiene una idea clara, generando cierta confusión. Por ejemplo, el análisis de un sistema de control podría interpretarse por el modelado de un sistema como una abstracción matemática en términos de un conjunto de ecuaciones diferenciales. Las variaciones en la interpretación puede ser clarificada por medio de una clasificación de modelos a lo largo de las líneas mostradas en la tabla 2-1 por tanto el nivel más heurístico es el modelo intuitivo; este modelo frecuentemente sólo existe en la mente de los ingenieros como una concepción personal del sistema. Tales modelos necesitan tener existencia física o aspectos matemáticos. En un nivel más tangible se puede hacer una distinción entre los modelos hechos para el análisis y diseño de controladores y aquellos usados en investigación detallada de propiedades fundamentales del sistema.

Tabla 2-1 Relación entre varios tipos de modelado.


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2.1 CinemáticaSe puede hablar dentro del análisis de la cinemática de los robots manipuladores

que existen dos formas de determinar su posición y orientación, la cual depende de que tipo de variable se esté manejando; estas dos formas son conocidas como la cinemática directa y la cinemática inversa. Se puede apreciar su relación en la figura 2-1.

Figura 2-1 Relación entre las cinemáticas directa e inversa.

Para el análisis de la cinemática, las variables que se usaron fueron:

l1 Longitud del primer eslabón.l2 Longitud del segundo eslabón.l3 Longitud de la garra.θ1 Ángulo de la cintura.θ2 Ángulo del hombro.θ3 Ángulo del codo.θ4 Ángulo de elevación.θ5 Ángulo de giro.

2.1.1 Cinemática directaLa cinemática directa es aquella en la que para obtener la posición y orientación delefector final es necesario establecer una marco de referencia fijo (X0, Y0, Z0) para el cualtodos los objetos incluyendo al manipulador son referenciados situándolo dentro, fuera o en la base del robot.Para el Scorbot-ER V plus el marco de referencia, está situado en su base como lomuestra la figura 2-2a, sin embargo para el análisis se considera el punto de origen al iniciodel primer eslabón, puesto que la distancia del punto de origen que tiene el robot y elpropuesto, es una distancia fija que no afecta el análisis. Los ejes para el marco dereferencia se muestran en la figura 2-2b.


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(a) Marco de referencias para el análisis. (b) Diagrama a bloques del marco de referencias.Figura. 2-2 Marco de referencias para el Scorbot-ER V plus.

Para el Scorbot-ER V plus se optó por emplear la convención referenciada enDenavit-Hartenberg (D-H); en las que se usan las coordenadas y las transformacioneshomogéneas para simplificar las transformaciones entre el marco de referencia y lasuniones. Para mayor información acerca de esta convención, así como su metodologíaremitirse al apéndice B o [Craig 89] [Spong 89] [Barrientos 97] [Fu 88] [Ollero 01].

La tabla 2-2 que aparece a continuación muestra esta convención aplicada alScorbot-ER V plus (D-H).

Tabla 2-2 Parámetros D-H obtenidos del Scorbot ER-V plus.

De acuerdo a la tabla 2-2, las matrices homogéneas (la definición de esta matriz se puede apreciar en el apéndice B) para el Scorbot-ER V plus quedarían como:


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……… 2-1

……… 2-2

……… 2-3

……… 2-4

……… 2-5


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Donde por simplicidad se utiliza:C = cosenoS = senoPor lo que la matriz de transformación homogénea T queda dada por:

……… 2-6

Por lo tanto la información de la posición y orientación del efector final conrespecto hacia el marco de referencia considerado anteriormente, está dada por laevaluación de la matriz T que se expresa en la ecuación 2-6.

La ecuación 2-6 está desplegada en matriz de cofactores que nos proporciona lasposiciones del efector final dados por Px, Py, Pz, situado en un espacio cartesiano.Los términos de los cofactores de la matriz de la ecuación 2-6 son:

2-7a2-7b2-7c2-7 d2-7e2-7f2-7g2-7h2-7i

Por lo que las coordenadas de la posición del efector final en el punto TCP (ToolCenter Point) de la figura 2-2a y tomando como punto de origen el inicio del primer eslabón también mostrado en la misma figura, se tiene:

PX = ((C1C2C3 – C2S2S3)C4 + (- C1C2S3 - C1S2C3)S4)l3 +(C1C2C3 - C1S2S3) l2 + C1C2l1 2-7j


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PY = ((S1C2C3 – S1S2S3)C4 + (- S1C2S3 - S1S2C3)S4)l3 +(S1C2C3 - S1S2S3) l2 + S1C2l1 2-7k

PZ = ((–S2C3 - C2S3) C4 + (S2S3 - C2C3) S4) l3 +(- S2C3 – C2S3) l2 - S2l1 + d1 + d2 2-7l

Para determinar la orientación del efector final se empleó la matriz de rotaciónque se encuentra dentro de la ecuación 2-6.

2-8

Donde la ecuación 2-8 representa los vectores de orientación dados por n, s y a:

2-9

Los tres vectores n,s,ay TCP son definidos como se ilustra en la figura 2-3. Elvector de aproximación del efector final es “a”; el vector de orientación “s” es la direcciónque especifica la orientación de la mano entre los dedos; el vector normal “n” esseleccionado para completar la definición del sistema coordinado usando la regla de lamano derecha. [Fu 88]

Figura. 2-3 Robot y efector final, mostrando la definición de n, s, a y TCP.


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2.1.2 Cinemática inversa

Con la cinemática inversa se tiene el caso contrario a la cinemática directa, es decir,ahora con las coordenadas x, yyz, se desea determinar los ángulos θ1, θ2, θ3 para cadaarticulación sin considerar la parte de orientación (θ4, θ5). Las figura 2-4 muestra unmodelo tipo de alambre para simplificar el análisis.Para la solución de la cinemática inversa se optó por el método geométrico queemplea relaciones geométricas y trigonométricas (resolución de triángulos) este método sepuede consultar en [Barrientos 97], [Fu 88] entre otros. Por la estructura que conforma alrobot Scorbot-ER V plus es posible tener dos soluciones para el mismo punto, por lo que sehizo el análisis de las configuraciones codo abajo y codo arriba el cual se desarrolla acontinuación (para mayor información ver apéndice B):

Figura. 2-4 DCL de la cinemática inversa.


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En la figura 2-5 se muestra la solución de la cinemática inversa con el métodogeométrico para la configuración codo abajo y a continuación su desarrollo matemático:

Cálculo de θ1 para el giro en la cintura

2-10

Cálculo de θ2 para el giro en el hombro

2-11

2-12

2-13

Por ley de cosenos

2-14

2-15


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Cálculo de θ3 para el giro en el codo

2-16

2-17

2-18

2-19

2-20

2-21

2-22

2-23

2-24


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Figura. 2-5 Proyección en un plano para la configuración codo abajo.

En la figura 2-6 se muestra la solución de la cinemática inversa con el métodogeométrico para la configuración codo arriba y a continuación su desarrollo matemático:

Cálculo de θ1 para el giro en la cintura

Como este ángulo es el mismo para la configuración codo abajo y codo arriba, setoma la ecuación 2-10 para su determinación.

Cálculo de θ2 para el giro en el hombro

θ2 = β + α 2-25

Para el cálculo deβy αse retoma de la ecuación 2-11 a la 2-14 para sudeterminación.

Cálculo de θ3 para el giro en el codo

θ3 = θ2 - ω 2-26

Para el cálculo deωse retoma de la ecuación 2-16 a la 2-23 para su determinación.


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Figura. 2-6 Proyección en un plano para la configuración codo arriba.


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2.2 DinámicaUn robot manipulador es básicamente un dispositivo posicionador. Para controlar

laposición se deben conocer las propiedades dinámicas del manipulador en orden paraconocer las fuerzas ejercidas sobre él, que son las causantes de su movimiento.

Tal como la cinemática, en la dinámica también existen las dinámicas directa einversa y su relación se puede apreciar en la figura 2-7.

Figura 2-7 Relación entre las dinámicas directa e inversa.

2.2.1 Consideraciones dinámicasEl modelado dinámico inverso se realizó bajo los siguientes criterios:

Para el desarrollo del modelo se omitieron los dos últimos grados de libertad, ya quepertenecen a la orientación del efector final y sus efectos no son significativos para elcomportamiento dinámico del robot. En general se consideró al manipulador como unsistema rígido, concentrando las masas en el centro de cada eslabón tal y como lo muestrala figura 2-8; fueron considerados los efectos de fricción provocados por las transmisionesmecánicas que en este caso se da por engranajes (esta consideración es importante ya queestos efectos pueden alcanzar un orden de un 25% del par requerido para mover almanipulador en situaciones típicas). Esto hace que el sistema sea noconservativo, sin embargo, el sistema puede ser resuelto por medio de la formulación deLagrange y finalmente aplicando la función de disipación de Rayleigh (apéndice C) sepermite adicionar los efectos de fricción al modelo dinámico. En el análisis de cadaeslabón, los efectos de las Energías Cinética y Potencial de los eslabones anteriores (siexisten) repercuten en el análisis del eslabón en cuestión. Las pérdidas debidas a loshuelgos y excentricidades en los engranajes, así como la eficiencia del motor fuerondespreciadas dentro del análisis de la ecuación de movimiento de Lagrange.

2.2.2 Dinámica inversaResolver las ecuaciones dinámicas de movimiento para el robot no es una

tareasimple debido a los grandes números de grados de libertad y sistemas no lineales que locomponen; para poder definir dichas ecuaciones se empleó la formulación de movimientode Lagrange. El método se encuentra en el apéndice C o en [Lewis 93].

Como lo representa la figura 2-7, el modelo dinámico inverso expresa las fuerzas ypares que intervienen, en función de la evolución temporal de las coordenadas articulares ysus derivadas.

Como se comentó anteriormente, el método para la solución de la dinámica inversafue la formulación de movimiento de Lagrange; este método se eligió entre otros


MATEMATICA III

tantos porque representaba menos complejidad al aplicarlo al Scorbot ER-V plus, debido a sus gradosde libertad. La figura 2-8 muestra las condiciones dinámicas del manipulador y en la figura2-9 se muestran estas condiciones en un plano de dos dimensiones; donde cada variableestá definida de la siguiente manera:

W = Carga aplicadami= Masa del i-ésimo eslabóng = Constante de gravedadl = Radio de giro para la masa de la basea = Longitud del primer eslabónb = Longitud del segundo eslabónIi= Inercia i-ésima del eslabónVi = Velocidad lineal del i-ésimo eslabónKi = Energía cinética del i-ésimo eslabónPi = Energía potencial del i-ésimo eslabón

Figura. 2-8 DCL de la dinámica inversa.


MATEMATICA III

A continuación se muestra el desarrollo del modelo dinámico inverso2.2.2.1 Análisis de la articulación en la base

Kb = Energía cinética de la base

2-27

2-28

2-29

Pb= Energía potencial de la baseLa energía potencial es cero debido a que un posible cambio en el ángulo θ1

noaltera la altura de la masa mb sobre la vertical. Para comprender mejor este análisis de laenergía potencia de la base, se puede comparar con el análisis de un péndulo horizontalmostrado en el apéndice D.

Figura. 2-9 Proyección en un plano para la dinámica inversa.


MATEMATICA III

2.2.2.2 Análisis de la articulación en el primer eslabón

K1= Energía cinética del eslabón 1

2-30

2-31

Aplicando la identidad a la ecuación 2-31 se obtiene:

2-32

2-33

P1 = Energía potencial del eslabón 1

2-34

2.2.2.3 Análisis de la articulación en el segundo eslabón

K2 = Energía cinética del eslabón 2

2-35

2-36


MATEMATICA III

2-37

2-38

2-39

2-40

2-41

2-42

Sustituyendo 2-39 y 2-42 en 2-36:


MATEMATICA III

2-43

Aplicando identidades trigonométricas (ver apéndice E) a la suma de las ecuaciones2-39 y 2-42 se obtiene:

2-44

2-45

2-46

2-47

2-48

2-49


MATEMATICA III

P2 = Energía potencial del eslabón 2

2-50

2.2.2.4 Análisis de la articulación en el segundo eslabón respecto a la carga

Kc = Energía cinética con respecto a la carga

2-51

2-52

2-53

2-54

2-55

2-56

2-57


MATEMATICA III

2-58

Sustituyendo 2-55 y 2-58 en 2-52:

2-59

Aplicando identidades trigonométricas (ver apéndice E) a la ecuación 2-59 seobtiene:

2-60

2-61

2-62

2-63

2-64

PC = Energía potencial con respecto a la carga

2-652.2.2.5 Ecuación de LagrangeLa ecuación de movimiento de Lagrange se obtiene con la sumatoria de las energíascinéticas y potenciales en el manipulador (El método se puede consultar en el apéndice C)

L = ΣKi−ΣPi 2-66DondeΣKi representa la sumatoria de las energías cinéticas,


MATEMATICA III

ΣPi representa la sumatoria de las energías potenciales

Por lo que el Lagrangiano quedaría como:

L = Kb + K1 + K2 + Kc – Pb – P1 – P2 – Pc 2-67

2-68

Para obtener el par aplicado a partir de la ecuación de movimiento de Lagrange, seemplea:

2-69

El siguiente desarrollo resulta de aplicar la ecuación de movimiento de Lagrange(ecuacion 2-69) a el Lagrangiano (ecuación 2-68).


MATEMATICA III

2-70

2-71

2-72

2-73


MATEMATICA III

2-74

2-75

2-76

2-77


MATEMATICA III

2-78

2.2.2.6 FricciónUna vez obtenido el modelo del manipulador para sus tres primeros grados

delibertad, se expresa de forma general, como se muestra en la ecuación 2-80, dentro de lacual se incluyó un modelo simple de fricción viscosa siendo el par proporcional a lavariable generalizada θ&, es decir τvθ&Fricción = dondeves una constante de fricción viscosa. Por lo tanto, el par de fricción viscosa puede expresarse como:

2-79

Donde:vi Es un coeficiente constante conocido de fricciónFv Matriz diagonal con términos viVec Denota vectorqi=θi Vector de velocidades angulares

Se sabe que la formulación de movimiento de Lagrange sólo hace referencia asistemas conservativos, sin embargo, a través de la función de disipación de Rayleighsepueden incluir pérdidas como la fricción en un sistema conservativo (Ver apéndice C). Un modelo en el que se incluyen estos efectos de fricción quedaría de lasiguiente manera:

2-80Donde:

M(q) Matriz de inerciaV (q,qi) Vector de las fuerzas centrífugasFvq Vector de las fuerzas de fricciónG(q) Vector de las fuerzas gravitacionalesτ Par requerido

Expresando la ecuación 2-80 en forma matricial se tiene:

2-81

Donde:

2.2.2.7 Par de la articulación 1 (cintura)


MATEMATICA III

2-82

Inercias

2-82

B = 0 2-84

C = 0 2-85

Fuerzas centrífugas y de Coriolis

2-86

Efectos gravitacionales

M = 0 2-87

Efectos de fricción

2-88


MATEMATICA III

2.2.2.8 Par de la articulación 2 (hombro)

2-89Inercias

D = 0 2-90

2-91

2-92


2-93

Efectos Gravitacionales

2-94


2-95

2.2.2.9 Par de la articulación 3 (codo)

2-96


MATEMATICA III

Inercias

G = 0 2-97

2-98

2-99


2-100

Efectos gravitacionales

2-101


2-102

2.2.2.10 Modelo dinámico inverso para un robot manipulador articulado

Tomando en cuenta los cofactores nulos mostrados en las ecuaciones 2-84, 2-85, 2-87, 2-90 y 2-97; finalmente se puede rescribir la ecuación 2-81 como:


MATEMATICA III

2-103

Por lo que la ecuación 2-103 representa el modelo dinámico inverso del robotmanipulador articulado que se aplica para el “Scorbot-ER V plus”“Caracterización de un robot manipulador articulado”

2.2.3 Dinámica directaEl modelo dinámico directo expresa la evolución temporal de las coordenadasarticulares y sus derivadas, en función de la fuerzas y pares que interviene.Para la obtención del modelo dinámico directo; se emplea el modelo dinámicoinverso, partiendo de la ecuación 2-81; y aplicando la regla de Cramer para las ecuaciones2-82, 2-89 y 2-96; empezando por sustituir los cofactores nulos mostrados en la ecuación 2-103, se tiene:

2-104

2-105

2-106

Utilizando un cambio de variables para comodidad en el manejo de términos seemplea:

2-107

2-108

2-109

Aplicando el cambio de variables en las ecuaciones 2-104, 2-105 y 2-106:

2-110

2-111


MATEMATICA III

2-112

Si se dice que AX = T, EY + FZ = Q y que HY + IZ = S; además de despejar en lasecuaciones 2-110, 2-111 y 2-112 queda como:

2-113

2-114

2-115

Sustituyendo los pares en las ecuaciones 2-113, 2-114 y 2-115, sufren la siguientemodificación:T = AX 2-116

Q = EY + FZ 2-117

S = HY + IZ 2-118

Resolviendo las ecuaciones por el método de determinantes o regla de Cramer setiene:

2-119

2-120


MATEMATICA III

2-121

2-122

2.2.3.1 Modelo dinámico directo par un robot manipulador articulado.Finalmente de la ecuación 2-104 a la 2-122 se puede determinar las

aceleracionesangulares para cada articulación, dadas por las siguientes ecuaciones:

2-123

2-124

2-125

Por lo que las ecuaciones 2-119, 2-120 y 2-121 representan el modelo dinámicodirecto del robot manipulador articulado que se aplica para el “Scorbot-ER V plus”.


MATEMATICA III

CONCLUSIONES

sobre todo lo principal de este trabajo es el de entender como la matemática es una herramienta fundamental para poder plasmar los proyectos que se pretender realizar dar comprensión, estimaciones, máximos alcances, resistencias de los materiales, razón de cambio, etc.

En nuestro caso en el modelamiento de un brazo robot se utilizan la cinemática, la dinámica, las ecuaciones de lagrange.etc que fueron desarrolladas hojas atrás.

Es muy importante el uso de materiales livianos para la construcción de un brazo mecánico, ya que todo peso redundara en una


MATEMATICA III

complejidad mecánica y económica, debido a que obligaría utilizar motores de mayor potencia.

Un buen material para la construcción de un brazo es el aluminio, es fácil de conseguir, relativamente económico y extremadamente liviano.

BIBLIOGRAFIA

www.univalle.edu/publicaciones/journal/journal18/pagina08.htm

http://www.cenidet.edu.mx/subaca/web-mktro/submenus/investigacion/tesis/3-4%20Salomon%20Abdala%20Castillo%20-%20Raul%20%C3%91eco%20Caberta.pdf

http://ie.cankaya.edu.tr/labs/CADMLab/Equipment.htm

http://www.google.com.pe/url?sa=t&rct=j&q=modelacion%20matematica%20en%20los%20engranajes&source=web&cd=7&ved=0CEwQFjAG&url=http%3A%2F%2Fwww.ctrl.cinvestav.mx%2F~coordinacion%2Fdocuments%2Fmodelado_matematico.pdf&ei=D7SgTv-cJebn0QHhlZnaBA&usg=AFQjCNGH1VQBLem2lFJyF8h1ELVZZZXqMA





http://ie.cankaya.edu.tr/labs/CADMLab/Equipment.htm



http://www.univalle.edu/publicaciones/journal/journal18/pagina08.htm

MATEMATICA III


Modelacion Matematica en Brazo Robot

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