RESUMEN: DINAMICA ESTRUCTURAL:

La Dinámica de Estructuras es un área del análisis mecánico de las construcciones que estudia el efecto de las acciones externas que producen vibraciones.

Actualmente esta área de la Mecánica presenta un estado avanzado de desarrollo pues se ha logrado establecer métodos de cálculo para estructuras lineales y no lineales sometidas a acciones deterministas o aleatorias

El análisis dinámico de estructuras consiste en determinar la respuesta (desplazamientos, velocidades y aceleraciones) de estructuras sometidas a excitaciones (acciones dinámicas). • Los parámetros más significativos de la respuesta son los desplazamientos relativos máximos y aceleraciones absolutas.

Las principales acciones dinámicas que actúan sobre las estructuras son las siguientes: – Motores y equipos mecánicos. – Terremotos. – Vientos. – Oleaje. – Otras: • Impacto. • Paso de vehículos o personas. • Explosiones

ESTRUCTURA SIMPLE

Una estructura simple es aquella que se puede idealizar como un sistema que está constituido por una masa concentrada “en la parte superior” soportada por un elemento estructural que proporciona rigidez en la dirección considerada.

GRADO DE LIBERTAD

El grado de libertad es definido como el número de desplazamientos independientes requerido para definir las posiciones desplazadas de todas las masas relativas a sus posiciones originales.

Un grado de libertad corresponde a cualquier movimiento posible de los nodos de los elementos en una dirección no restringida.

En el caso dinámico el modelo empleado aquí está basado en la suposición de que la rigidez se concentra en un resorte que carece de masa mientras que la masa se ubica en un cuerpo rígido que no se deforma.

Para un marco plano básico tenemos:

–Análisis estático: 3 DOF

–Análisis dinámico: 1 DOF

Sistemas elásticos

•Un material es elástico cuando recupera su forma original después de retirar la carga aplicada si además existe una proporcionalidad entre fuerzas y desplazamientos se dice que el material es lineal

Amortiguamiento

•El amortiguamiento es el proceso por el cual la vibración libre disminuye en amplitud; en este proceso la energía del sistema en vibración es disipada por varios mecanismos los cuales pueden estar presentes simultáneamente.

•En sistemas simples la mayor parte de la disipación de la energía proviene de efectos térmicos causados por repetidos esfuerzos elásticos del material y de la fricción interna cuando el sólido es deformado.

En las estructuras actuales el amortiguamiento es representado de forma idealizada; para efectos prácticos el amortiguamiento actual en estructuras SDF puede ser idealizado satisfactoriamente por un amortiguamiento lineal viscoso.

A diferencia de la rigidez, el coeficiente de amortiguamiento no puede ser calculado a partir de las dimensiones de la estructura y del tamaño de los elementos estructurales, debido a que no es factible el identificar todos los mecanismos disipadores de energía vibracional en las estructuras actuales.

Vibraciones libres de sistemas con un grado de libertad

El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos.

•Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad, son capaces de vibrar

Periodo de vibración: Es el intervalo de tiempo necesario para que el sistema efectúe un ciclo completo de movimiento.

•Frecuencia: Es el número de ciclos por unidad de tiempo.

•Amplitud de vibración: Es el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de equilibrio.

Definición de vibración libre

Una estructura está en vibración libre cuando es perturbada de su posición estática de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitación de fuerza externa alguna.

Vibración libre no amortiguada

•El sistema de marco mostrado es sacado de su posición de equilibrio por la aplicación de una fuerza o un desplazamiento, debido a las fuerzas de restitución el sistema entra en vibración.

Este sistema puede reducirse a un solo grado de libertad para el análisis dinámico, si se desprecian las deformaciones axiales y se supone una viga de gran rigidez.

La ecuación que representa el movimiento de un sistema lineal SDF sin amortiguamiento y que no está sometido a la acción de una fuerza externa es:

Donde por conveniencia ωn es la frecuencia natural o frecuencia circular natural en vibración libre del sistema y es igual a:

El efecto del amortiguamiento en las vibraciones libres puede apreciarse en el siguiente esquema:

A partir de estas figuras se observa que el tiempo requerido de un sistema no amortiguado para completar un ciclo de vibración libre es denominado periodo natural de vibración:

La frecuencia cíclica natural de vibración, es definida como el número de ciclos que se repiten en 1 segundo de tiempo y su valor es:

Las propiedades de vibración natural, dependen de la masa y rigidez de la estructura.

Vibración libre amortiguada

Si en el sistema anterior consideramos la perdida de energía en el tiempo, lo que tenemos será un sistema con amortiguación viscosa:

El cual puede representarse por el siguiente modelo:

La ecuación de movimiento para un sistema lineal amortiguado en vibración libre es

Dividiendo la ecuación por la masa se obtiene

Además se ha introducido la razón de amortiguamiento crítico:

Y el coeficiente de amortiguamiento crítico:

Las soluciones de la ecuación diferencial anterior dependerá de los valores que tome la razón de amortiguamiento. Así tenemos:

–Sistema con amortiguamiento crítico ξ=1 (c=ccr): El sistema retorna a su posición inicial de equilibrio sin oscilar.

–Sistema sobreamortiguadoξ >1(c>ccr): El sistema no oscila pero retorna a su posición de equilibrio lentamente.

–Sistema subamortiguadoξ <1(c<ccr): El sistema oscila alrededor de la posición de equilibrio con una amplitud que decrece progresivamente.

El coeficiente de amortiguamiento crítico, ccr, es llamado así debido a que es un valor pequeño de cque inhibe completamente la oscilación y representa la línea de división entre el movimiento oscilatorio y mono oscilatorio.

•Las estructuras civiles poseen una relación de amortiguamiento ξ <1la cual las cataloga como sistemas subamortiguados.

•En mediciones experimentales se han identificado valores de ξentre 0.02y 0.05para los materiales estructurales típicos.

El efecto del amortiguamiento en las vibraciones libres puede apreciarse en el siguiente esquema

Vibraciones forzadas armónicas de sistemas con un grado de libertad

En vibraciones libres, las oscilaciones se inician por una perturbación que da lugar a un desplazamiento inicial o una velocidad inicial o ambas cosas. Sin necesidad de fuerzas externas al sistema durante el movimiento.

•En vibración forzada, una fuente externa sostenida es responsable de mantener la vibración.

Las vibraciones forzadas ocurren cuando un sistema es sujeto a una fuerza que cambia con el tiempo o un desplazamiento que cambia con el tiempo.

Se estudiará primero el caso de fuerzas que tienen comportamiento periódico, es decir vibraciones forzadas armónicas.

Un sistema bastante general puede ser representado de la siguiente manera

El sistema aunque posea amortiguamiento no puede regresar a su posición de equilibrio por la presencia de la fuerza externa que siempre esta presente en el sistema

Frecuencia Resonante y Respuesta Resonante

•La frecuencia resonante está definida como la frecuencia de excitación en la cual ocurre la amplitud máxima de respuesta.

•La frecuencia resonante es determinada estableciendo la primera derivada igual a cero en las respuestas dinámicas respecto a la relación de frecuencias para un ξ<1/√2.

ESPECTROS DE RESPUESTA

De forma similar que en el análisis estático de estructuras, en dinámica estructural también resulta de interés las respuestas máximas de los sistemas, dado que estas gobiernan los diseño.

•Los espectros de respuesta son gráficos que recogen las respuestas máximas de sistemas sencillos de un grado de libertad para diferentes períodos con igual fracción de amortiguamiento ante una excitación dada.

Las respuestas que se grafican contra el período (o ya sea contra la frecuencia) puede ser cualquier respuesta, aunque las más usuales son desplazamiento, velocidad y aceleración

SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

Un sistema de varios grados de libertad es aquel en el cual su movimiento se caracteriza por un numero finito de puntos o nodos, con los cuales dicho movimiento puede ser definido o representado.

Análisis modal

•Para determinar la respuesta dinámica de una estructura de varios grados de libertad se puede utilizar el procedimiento de análisis modal.

El método consiste en obtener la respuesta máxima por separado para cada modo, modelando cada uno como un sistema de simple grado de libertad.

•Dado que los valores máximos no ocurren simultáneamente, estos son combinados estadísticamente para obtener la respuesta total (SRSS, CQC, etc.)

•El análisis modal puede ser enfocado mediante métodos matriciales, numéricos o métodos iterativos.

Como la respuesta dinámica de una estructura depende de la frecuencia o periodo de vibración y de la forma desplazada (forma modal), el primer paso en un análisis de un sistema de varios grados de libertad es encontrar las frecuencias y las formas modales de vibración libre.

•En este caso no existen fuerzas externas y no hay amortiguamiento, es decir, tenemos un sistema de varios grados de libertad en vibración libre sin amortiguamiento.

Parámetros que definen a un sistema de 1 GDL

Un sistema de un grado de liberta elástico queda completamente definido por medio de solo dos parámetros:

1.El periodo de vibración, Tn

2.La fracción del amortiguamiento critico, ζ

El periodo de vibración del sistema, Tn a su vez es función de los siguientes dos parámetros:

1.La rigidez lateral del sistema, k

2.La masa, m o el peso del sistema, W

La fracción de amortiguamiento critico, ζ es función de dos parámetros:

1.El coeficiente de amortiguamiento, c

2.El coeficiente de amortiguamiento crítico, cr

Respuesta pico

Estamos especialmente interesados en conocer el valor pico de la respuesta, o en forma más abreviada simplemente respuesta pico, la cual se define como el valor máximo absoluto del parámetro de respuesta:

Influencia de la fracción del amortiguamiento critico

Para un determinado movimiento de terreno, al hacer cambios en la fracción del amortiguamiento critico se producen cambios en la respuesta del sistema

En general, un incremento en la fracción del amortiguamiento critico producirá en el sistema una disminución de la respuesta de desplazamiento relativo pico

Respuesta no lineal de sistemas de 1 GDL

La diferencia principal entre el sistema lineal y el sistema elastoplástico es que en el sistema elastoplástico ocurre un cambio brusco de rigidez durante la carga, por lo tanto la rigidez del sistema ya no permanece constante y debe ser actualizada durante el proceso de integración numérica

DUCTILIDAD

La ductilidad es una propiedad que presentan algunos materiales, como las aleaciones metálicas o materiales asfálticos, los cuales bajo la acción de una fuerza, pueden deformarse sosteniblemente sin romperse,1 permitiendo obtener alambres o hilos de dicho material. A los materiales que presentan esta propiedad se les denomina dúctiles. Los materiales no dúctiles se califican como frágiles. Aunque los materiales dúctiles también pueden llegar a romperse bajo el esfuerzo adecuado, esta rotura sólo sucede tras producirse grandes deformaciones.

En otros términos, un material es dúctil cuando la relación entre el alargamiento longitudinal producido por una tracción y la disminución de la sección transversal es muy elevada

Ductilidad

La ductilidad es una medida de la cantidad de deformación plástica que puede darse en un material antes que éste se rompa. La ductilidad puede medirse de dos formas:

Una idea cualitativa de la ductilidad de un material puede obtenerse al ver la longitud de la curva esfuerzo – deformación unitaria en la dirección del eje ε.

En general, para un determinado periodo de vibración, una disminución en resistencia lateral resulta en un incremento en la demanda de ductilidad.

En diseño sismorresistente uno esta interesado en controlar las demandas de deformación no lineal (deformación plástica), esto es, tratar de limitar las demandas de deformación por debajo de las demandas de deformación máximas tolerables. Esto puede lograrse controlado la máxima demanda de ductilidad por debajo de un valor limite conocido como DEMANDA DE DUCTILIDAD MAXIMA TOLERABLE que en ocasiones también se le conoce como la CAPACIDAD DE DUCTILIDAD

Como uno modifica la resistencia lateral hasta que uno “le da” a la demanda de ductilidad deseada (la demanda de ductilidad máxima tolerable), entonces a la demanda de ductilidad máxima tolerable en ocasiones se le conoce como DUCTILIDAD OBJETIVO, pues representa “el blanco” al que le queremos “atinar”

Factor de reducción de resistencia

El cociente de la resistencia lateral necesaria para mantener al sistema elástico y la resistencia lateral necesaria para mantener la demanda de ductilidad por debajo de un valor máximo tolerable recibe el nombre de FACTOR DE REDUCCION DE RESISTENCIA

Para un determinado movimiento de terreno, el FACTOR DE REDUCCION DE RESISTENCIA es la máxima reducción de resistencia que se puede usar para mantener la demanda de ductilidad de desplazamiento por debajo de la ductilidad máxima tolerable. Si uno usa una reducción mayor (un factor de reducción mayor), entonces, la demanda de ductilidad excederá la ductilidad máxima tolerable

Efectos de sitio en factores de reducción de fuerzas (énfasis en suelos muy blandos

Los movimientos de terreno de depósitos de suelos blandos (depósitos de suelos con velocidades de onda de corte bajo, plasticidad alta, alto contenido de agua, y/o depósitos profundos) producen modificaciones muy grandes a los movimientos de terreno Por mucho tiempo se pensó que si los efectos de sitio eran tomados en cuenta en el espectro lineal, esto seria suficiente para establecer demandas de resistencia inelástica utilizando los mismos factores de reducción calculados a partir de movimientos registrados en roca o terreno firme. Sin embargo hoy se sabe que los factores de reducción también se ven fuertemente influidos en el caso de suelos blandos, por lo que en estos casos se requieren factores de reducción especiales

Análisis modal: es una técnica utilizada para determinar las características vibratorias de una estructura con comportamiento elástico y lineal, nos suministra las frecuencias y formas naturales de vibrar

Modos de vibrar: Es la vibración de la estructura debido a una excitación sometida y su frecuencia se llama frecuencia natural del sistema. Cada modo de vibrar tendrá una forma propia. Si realizamos esta operación con todos los posibles sistemas de un grado de libertad obtendremos todos los modos de vibrar así como sus frecuencias naturales.

La estructura al vibrar lo hacen como una combinación de modos fundamentales de vibración de sistemas de un grado de libertad, entonces, se entiende la estructura como una superposición de muchos sistemas de grado de libertad, la forma de vibrar de un sistema de n grados de libertad es una combinación de n sistemas de 1 GDL.

Espectro de respuesta: es una curva que representa la respuesta de un sistema idealizado ante una excitación, esta respuesta puede ser la fuerza, desplazamientos, velocidad o aceleración.

Periodo natural : depende de la masa, rigidez y condiciones de vinculo

El análisis dinámico apunta a determinar en primer término los desplazamientos de la estructura en función del tiempo, y a partir de ellos determinar los esfuerzos en la forma habitual (barra por barra) propia del método de rigidez tal como se lo ha visto para cargas estáticas.

Analisis modal espectral: es un método para análisis sísmico para estructuras mas utilizado por su simpleza pero no entrega la respuesta máxima real de la estructura