Respuesta Al Impulso y Convolucion

RESPUESTA AL IMPULSO Y CONVOLUCIÓN

CARLOS ZEPITA

𝑥 𝑛 =

𝑘=−∞

∞

𝑥 𝑘 𝛿[𝑛 − 𝑘]

LAS SEÑALES DE TC & TD Y SU REPRESENTACIÓN POR IMPULSOS• Todas las señales pueden ser representadas como la suma de

impulsos unitarios escalados y desplazados.

CUALQUIERSEÑAL

DISCRETA

LA SUMA DE

ESCALADOS DESPLAZADOS

UNIVERSIDAD CATOLICA BOLIVIANACARLOS ZEPITA

• En señales continuas es más difícil de ver, pero es el mismo concepto:


𝑥(𝑡) =

−∞

∞

𝑥 𝜏 𝛿 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏CUALQUIER

SEÑALCONTINUA

LA SUMA DE


DEFINICIÓN DE RESPUESTA AL IMPULSO

• ℎ(𝑡) y ℎ[𝑛] son la salida de un sistema cuando la entrada es un impulso.

• ℎ(𝑡) y ℎ[𝑛] se denominan respuesta al impulso.


DEFINICIÓN DE RESPUESTA AL IMPULSO

• Siempre y cuando se trate de un SLIT la respuesta la impulso (de cualquier tamaño, en cualquier tiempo) se obtiene al escalar y desplazar ℎ(𝑡) o ℎ[𝑛].

• Como cualquier señal es una serie de impulsos, la rpta. de un SLIT a cualquier señal de entrada arbitraria es simplemente la suma de impulsos escalados y desplazados.

• Si no se trata de un SLIT, NO FUNCIONA.


CONVOLUCIÓN INTEGRAL Y SUMA

• La ℎ(𝑡) o ℎ[𝑛] caracteriza un SLIT.

• Una vez conocida ℎ se puede conocer la respuesta del sistema a cualquier señal a través de la CONVOLUCIÓN.

𝑦(𝑡) =

−∞

∞

𝑥 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏SALIDA,

RESPUESTA DEL

SISTEMA

LA SUMA DE



𝑦 𝑛 =

𝑘=−∞

∞

𝑥 𝑘 ℎ[𝑛 − 𝑘]SALIDA,

RESPUESTA DEL

SISTEMA

LA SUMA DE



• Es común representar sistemas como diagramas de bloque, los nombres de los bloques son las respuesta al impulso de dicho bloque.


REGRESEMOS A LAS EIGENFUNCIONES

• Ahora tenemos las suficientes herramientas para demostrar porqué exponenciales complejas son eigenfunciones de SLITs.

• Convolución:

• Sustituyendo:

• Moviendo fuera:

• Transformada inversa:

𝑦 𝑡 = −∞

∞

ℎ 𝜏 𝑥 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏

𝑦 𝑡 = −∞

∞

ℎ 𝜏 𝑒𝑠(𝑡−𝜏)𝑑𝜏

𝑦 𝑡 = 𝑒𝑠𝑡 −∞

∞

ℎ 𝜏 𝑒−𝑠𝜏𝑑𝜏

𝑦 𝑡 = ℒ−1 𝑒𝑠𝑡𝐻(𝑠)


RELACIÓN ENTRE EL DOMINIO DEL TIEMPO Y DOMINIO DE LA FRECUENCIA• La convolución es una herramienta para el análisis de sistemas en el

Dominio del Tiempo.

• La función del sistema 𝐻(𝑠) es simplemente la TdL de la respuesta al impulso ℎ(𝑡).

• La función del sistema 𝐻(𝑧) es simplemente la TZ de la respuesta al impulso ℎ[𝑛].

• De la convolución se puede derivar la relación entre el dominio del tiempo y el de la frecuencia.


• Considere un SLIT con entrada 𝑥(𝑡), respuesta al impulso ℎ(𝑡) y salida 𝑦(𝑡).

• Convolución

• TdL

• Cambiando orden

• Corrimiento temporal

• Finalmente, se obtiene la definición:

𝑦 𝑡 = −∞

∞

𝑥 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏

𝑌 𝑠 = −∞

∞

−∞

∞

𝑥 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡

𝑌 𝑠 = −∞

∞

𝑥 𝜏 −∞

∞

ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 𝑑𝜏

𝑌 𝑠 = −∞

∞

𝑥 𝜏 𝑒−𝜏𝑠𝐻(𝑠)𝑑𝜏 = 𝐻(𝑠) −∞

∞

𝑥 𝜏 𝑒−𝜏𝑠𝑑𝜏

𝑌 𝑠 = 𝐻 𝑠 𝑋(𝑠)


CONCLUSIÓN FINAL• Convolución en tiempo

• Convolución en frecuencia

• La convolución proporciona la relación entre el dominio de la frecuencia y tiempo para el análisis de SLIT.

𝑦 𝑡 = ℎ 𝑡 ∗ 𝑥(𝑡)

𝑌 𝑠 = 𝐻 𝑠 𝑋(𝑠)


LO QUE LO SABE…

• ¿Cuál es la salida de un sistema conociendo 𝑥(𝑡) (entrada) y su respuesta al impulso ℎ(𝑡)?• Convolucione 𝑥(𝑡) con ℎ(𝑡). Ó:

• Encuentre 𝑋(𝑠) y 𝐻(𝑠) (TdL, TZ, TdF) multiplíquelas y encuentre su transformada inversa.

• El segundo método es mas fácil de computar aunque exige un procedimiento más largo.


RELACIÓN CON EL PASO UNITARIO

• En teoría de control se hace énfasis en la respuesta del sistema al paso unitario, que se acostumbra denotar por 𝑠(𝑡) o 𝑠[𝑛].

• La respuesta al paso unitario es como se espera que sea la respuesta del sistema cuando la entrada es el paso unitario.

• EL PASO UNITARIO ES LA INTEGRAL DEL IMPULSO.

• Como la convolución es una operación lineal, la respuesta al paso unitario es la integral de la respuesta al impulso.


PARA TENERLO MAS CLARO

ENTONCES…

𝑠 𝑡 = 𝑢 𝑡 ∗ ℎ(𝑡)

𝑠 𝑡 = −∞

𝑡

ℎ 𝜏 𝑑𝜏

𝑠 𝑛 = 𝑢 𝑛 ∗ ℎ[𝑛]

𝑠 𝑛 = 𝑘=−∞

𝑛

ℎ[𝑘]

ℎ 𝑡 =𝑑

𝑑𝑡𝑠(𝑡) ℎ 𝑛 = 𝑠 𝑛 − 𝑠[𝑛 − 1]


PROPIEDADES DE LA CONVOLUCIÓN• LINEALIDAD

• Cualquier operación lineal sobre 𝑥(𝑡) o sobre ℎ(𝑡)producirá la misma operación lineal en la salida. Ej. Duplicar la entrada, duplicara la salida. Tomar la derivada de ℎ(𝑡) producirá la derivada de la salida, etc.

• INVARIANZA EN EL TIEMPO• Cualquier corrimiento o desplazamiento en el tiempo en 𝑥(𝑡) o ℎ(𝑡) producirá el mismo corrimiento en la salida. Es decir, retrasar o adelantar la entrada ocasionara que la salida se retrase o se adelante.


PROPIEDADES DE LA CONVOLUCIÓN

• CONMUTATIVIDAD• Se puede introducir una señal 𝑥(𝑡) en un sistema ℎ(𝑡), o introducir una señal ℎ(𝑡) en un sistema 𝑥(𝑡) y se obtendrá la misma salida.

• ASOCIATIVIDAD• Se puede agrupar o desagrupar la operación de convolución.

• DISTRIBUTIVIDAD• Sistemas en paralelo pueden ser combinados por adición.


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