Procesamiento de SealesIngeniera ElectrnicaM.C. Carlos Alejandro de Luna Ortega 20 de Mayo de 2008

Convolucin y Sus PropiedadesComo muchas otras operaciones bsicas, la convolucin goza de algunas propiedades: Conmutativa: Asociativa: x[n]*h[n] = h[n]*x[n] x[n]*(h1[n] *h2[n]) = (x[n]*h1[n] )*h2[n]

Distributiva respecto a la suma: x[n]*(h1[n] +h2[n]) = x[n]*h1[n] +x[n]*h2[n] Elemento neutro: x[n]*[n] = x[n]

Respuesta de un sistema discreto a un Impulso unitario.Los sistemas que cumplen los requerimientos de linealidad e invarianza satisfacen una amplia gama de aplicaciones DSP. Tales sistemas se encuentran completamente caracterizados por su respuesta al impulso, denotada por h[n]. h[n] = T{[n]} Una vez que se ha determinado dicha respuesta, la salida del sistema para cualquier entrada est dada por:

y[n] = T{x[n]} =

x ( k ) h(n k )Unidad II: Seales y Sistemas Discretosk =

que es la convolucin entre la seal de entrada y la respuesta al impulso del sistema. Lo establecido anteriormente se basa en lo siguiente. Dado que cualquier secuencia se puede representar por una combinacin lineal de deltas, tenemos:

y[n] = T{

x(k ) (n k )}k =

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debido a que el sistema se asume lineal, la respuesta del sistema a una suma de entradas es igual a la suma de las respuestas de cada entrada individual. As, la respuesta total tambin puede calcularse como la suma del producto de los escalares x[k] con las respuestas al los impulso delta desplazado:

y[n] =

T{[n-k]} x[k ]k =

definiendo T{[k]}=h(k) y dado que si el sistema es invariante la respuesta a una versin desplazada de la entrada T{[n-k]} es equivalente a la salida desplazada h[n-k], podemos sustituir en la ecuacin anterior:

y[n] =

x ( k ) h(n k )k =

y por la propiedad conmutativa de la convolucin:

y[n] =

h( k ) x( n k )k =

A continuacin se encuentra la respuesta al impulso de algunos sistemas populares: Multiplicador: y[n] = a x[n] Retardador: y[n] = x[n-m]n

h[n] = a[n] h[n] = [n-m]n

Acumulador: y[n] =

x[k ]h[n] = [k] =k = k =

u[n]

Promediador: y[n] =

pL[n]

La convolucin y los sistemas. Los sistemas podemos ahora describirlos adicionalmente a T{x[n]}, por su respuesta al impulso y, en base a este concepto y sus propiedades, establecer una serie de relaciones de interconexin de sistemas.

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Unidad II: Seales y Sistemas Discretos

1 L 1 x[n k ] L k =0 1 L1 [n k ] 1/L h[n] = = L k =0

Las figuras siguientes nos indican cmo podemos combinar sistemas basados en las respuestas impulsionales.

1) Por la propiedad asociativa:

h1[n]

h2[n]

h1[n]*h2[n]

2) Por la propiedad conmutativa:

h1[n]

h2[n]

h2[n]

h1[n]

3) Por la propiedad distributiva:

h1[n] h1[n]+h2[n]

h2[n]

Las propiedades de causalidad y estabilidad, que se refieren nicamente a la relacin entre excitacin y respuesta, son expresables para un sistema L.I. en trminos de su respuesta impulsional.

Causalidad:

h[n]=0

n