Cap 3 Convolucion

7/26/2019 Cap 3 Convolucion

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Analisis de Seales y Sistemas

Hector Pea M EIE-UCV

CAPITULO 3

CONVOLUCION DE SEALES DE

TIEMPO CONTINUO

Y

TIEMPO DISCRETO


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Convolucin 49

3.1 Convolucin de seales de tiempocontinuo

Dada dos seales de tiempo continuo x(t) y

v(t), la convolucin de ellas esta definida

como:

!"

"#

#$ !!! dtvxtvtx )()()(*)(


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Convolucin 50

La integral del lado derecho de la ecuacin se

denomina integral de convolucin.

Six(t) y v(t) son cero para t


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Convolucin 51

Para calcular x(t)*v(t) es de ayuda graficar lasfunciones del integrando de la integral de

convolucin.

Paso 1: Grafque x(!) y v(-!) como funciones de !.

Paso 2: Sea [0,a] el conjunto de todo t tal que

, donde a es un nmero positivo.Para t igual a un

punto arbitrario en el intervalo, grafque v(t-!) yel producto x(!)v(t- !) como funciones de !.

ato ++


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Convolucin 52

Observar que:a) v(t- !) es igual a v(-,) desplazada a derecha ent unidades de tiempo.

b) el valor de a en el intervalo [0,a] es el mayorvalor de a para el cual el producto x(,)v(t-,) tienela misma forma analtica para todos los valores det-[0,a].

Paso 3: Integre el productox(!)v(t- !) como funcinde !, con lmites!=0 hasta !=t.

Paso 4: Para t igual a un punto arbitrario en elintervalo [a,b], grafique v(t-,) y el productox(,)v(t-,) como funciones de ,....etc.


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Convolucin 53

Ejemplo 1: Convoluci

n de pulsosSean x(t)=s(t)-2s(t-1)

v(t)=s(t)-s(t-1)

Paso 1: grafico de x(,) y v(-,)

X(,) V(-,)

-1

,

1

1 2

, -1-2

FIGURA 1


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Convolucin 54

Paso 2: el grafo y el producto para t-[0,1]X(,) V(t-,)

-1

,

1

1 2

,

-1-2

t-1t

x

=

t

,

1

-1

1

x(,)v(t-,)

Observar que entre 0 y 1 la

forma analtica es la misma,

luego a=1.

FIGURA 2


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Convolucin 55

Para t-[1,2] la forma del producto cambia como semuestra a seguir:

Paso 3: integrando el producto de la Figura 2 se

obtiene

FIGURA 3

1

-1

0 1 2 , , ,

x(,) v(t-,)x = x(,)v(t-,)

t-1 t t-1

t

0 011

2

2

! $$ tdtvtx !1)(*)(


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Convolucin 56

Paso 4: t-[2,3] el producto x(,)v(t-,) cambia como:

De las figuras 3 y 4 la forma analtica cambia delintervalo [1,2] al [2,3]. Valor de b es 2.

1

-1

0 1 2, , ,

x(,) v(t-,)x = x(,)v(t-,)

t-1 t

t-1

0 0

1

12

2

FIGURA 4


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Convolucin 57

Paso 5: Integrando el producto de la figura 3

obtenemos:

Repitiendo el paso 5 para el intervalo t=[2,3]

tenemos, de la figura 4

finalmente para t%3, el producto es cero (0) ya queno existe sobre posicin entre x(,) y v(t-,).

32)1)(1()1(1

)1()1()(*)(1

1

1

.#$##.##$

#.$ !!#

ttt

ddtvtx

t

t

!!

3)]1(2)[1(

)1()(*)(

2

1

#$###$

$ !#

tt

dtvtxt

!


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Convolucin 58

As, el grfico de la convolucin x(t)*v(t) es el

siguiente:

En forma analtica se expresa como:

)]3()2()[3(..

)]..2()1()[32(..

)]....1()([)(*)(

####.

###.#.

##$

tstst

tstst

tststtvtx

1

-1

1 2 3

t

t -2t+3

t-3

FIGURA 5


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Convolucin 59

Ejemplo 2: Convolucin de segmentos

exponenciales:

Sean las seales:

La seales se grafican en la figura 6

()

* ++

$/+

/+

'(

')

*

$

##

totro

te

tvotros

t

t

e

e

tx

t

t

t

40

0)(t

21

10

0

)(2


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Convolucin 60

FIGURA 6

a0

1

2

3

1 2 3 4

te

te #2

x(t)

d

1

2

3

0

1

2

3

1 2 3

te #

v(t)

b

tt

-40 -3 -2 -1

1

2

3

!! ee $## )(

1 2 3 4

!e

!#2e

x(,) v(-,)

0c

, ,


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Convolucin 61

FIGURA 7

0 1 2 3 4

!e

!#2e

x(,) v(t-,)

-4c,

t-4

x

=

)( !! ## tee-3 -2 -1

1

2

3

)( !## te

0 ,t

1

1 t

)()( !! #tvx

!2 3

Intervalo [0,1]


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Convolucin 62

FIGURA 8

Para intervalo [2,4]



-3 -2 -1

1

2

3

)( !## te

0 ,t

1t-4

)( !! ## t

ee )(2 !! ### tee

t

1

2

3

1 2 3 -4

)( !#tv

)()( !! #tvx

Intervalo [1,2]

teee

tvtx #001

2334

5.

#$ 2

2

2

1)(*)(

tt

eeetvtx

##

#$ ]3[2

1

)(*)(

)4(22

tetetvtx ##$ )6()(*)( 2


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Convolucin 63

3.2 Propiedades de la Convolucin

a) ASOCIATIVIDAD:

b) CONMUTATIVIDAD:

Para la definicin de convolucin

c) DISTRIBUTIVA:

)](*)([*)()(*)](*)([ twtvtxtwtvtx $

)(*)()(*)( txtvtvtx $

! !"

"#

"

"#

#$# !!!!!! dtxvdtvx )()()()(

)(*)()(*)()]()([*)( twtxtvtxtwtvtx .$.


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Convolucin 64

d) PROPIEDAD DEL DESPLAZAMIENTO:

e) PROPIEDAD DE LA DERIVADA:

)()(y)()(Sea ctvtvctxtx cc #$#$

)(*)()(donde

)(*)()(*)()(

:Entonces

tvtxtw

tvtxtvtxctw cc

$

$$#

)(*)()](*)([

:entonces,existe)(de)(Si

tvtxtvtxdtd

txtx

6

6

$


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Convolucin 65

Si ambas seales tienen primera derivada, entonces:

f) PROPIEDAD DE INTEGRACION:

Entonces:

)(*)()](*)([2

2

tvtxtvtxdt

d 66$

!

!

"#

#

"#

#

$

$

t

t

dvtv

dxtx

!!

!!

)()(Sea

)()(Sea

)1(

)1(

)1()1()1( **)*( ### $$ vxvxvx


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Convolucin 66

g) CONVOLUCION CON EL IMPULSO

UNITARIO:

Sea 7(t) el impulso unitario en el origen, entonces:

)(

)()(

)()()(*)()(*)(

tx

dtx

dtxtxtttx

$

$

#$$

!

!"

"#

"

"#

!!"

!!!"""


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Convolucin 67

h)CONVOLUCION CON EL IMPULSO

UNITARIO DESPLAZADO:

Sea

Entonces:

)()( cttc #$""

)()(*)( ctxttx c #$"


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Seales 68

3.3 Convolucin de seales de tiempo discreto

Dadas dos seales de tiempo discreto x[n] y v[n],

su convolucin esta definida como:

Y se le conoce como la suma de convolucin.

Si para enteros negativos las seales de tiempo

discreto son nulas

Entonces: (a)

8"

#"$

#$i

invixnvnx ][][][*][

'(

')* #$ 8$

n

i

invixnvnx

0

][][0

][*][


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Seales 69

Ejemplo: Convolucin de pulsos rectangulares

Suponga que x[n] y v[n] son iguales al pulso

rectangularp[n] definido como:

Figura 9

(

)* ++

$

n

50

0

1][

otrotodo

nnp


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Seales 70

Visto que ambas seales discretas son nulas para n


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Seales 71

Para cualquier valor positivo de n, v[n-i] es igual a

v[-i] desplazada a derecha en n pasos. El grfico

de v[n-i] como funcin de i para n#5 se presenta

en la figura 11(b) y x[i] en la figura 11(a). Se

presenta tambin el producto x[i]v[n-i] en la

figura 11(c). El producto es un pulso rectangularde amplitud 1 desde i=0 a i=n, luego la suma de

los valores del producto anterior es igual a

(n+1)(1)=n+1. Es decir

50para1][*][ ++.$ nnnvnx


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Seales 72

Figura 11 (a) Figura 11 (b)

Figura 11(c)n-5

n

n

n


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Seales 73

Para un valor arbitrario de n entre 6 y 11 el calculo

del producto se presenta en la figura 12. En este

caso el producto es un pulso rectangular de

amplitud 1 desde i=n-5 hasta i=5. Luego la suma

de los valores del producto es igual a

[5-(n-5)+1](1)=11-n, luego

Finalmente para n>11 las seales de tiempo discreto

no se sobreponen entonces su producto es 0, luego

11611][*][ ++#$ nnnvnx

110][*][ 9$ nnvnx


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Seales 74

Figura 12(a) Figura 12(b)

Figura 12 (c )

n-5 n

n-5 5


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Seales 75

y la Convolucin de ambas seales de tiempo

discreto se muestra en la Figura 13.

Observar que el resultado es un pulso triangular conuna duracin igual al doble de la del pulsorectangular


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Seales 76

Ejemplo: Uso de formas analticas

Suponga quex[n]=ans[n] y que v[n]=bns[n] dondes[n] es la funcin escaln unitario de tiempo

discreto y a,b son nmeros reales fijos no nulos.

Entonces para la ecuacin (a) (transparencia 68)

insertando x[i]=ai

s[i] y v[n-i]=bn-i

s[n-i],n=0,1,2.. Obtenemos:

Como s[i]=1 y s[n-i]=1 para todo valor entero de i

de i=0 a i=n.se tiene

8$

# $#$n

i

ini ninsbisanvnx0

..2,1,0],[][][*][

8 8$ $

# $01

234

5$$

n

i

i

nini nb

abbanvnx

0

n

0i

..2,1,0][*][


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Seales 77

Si a=b

y

Si a:b

Asi,

..2,1,0),1()1(][*][

10

$.$.$

.$01

234

58$

nnanbnvnx

nb

a

nn

n

i

i

8$

.

01

234

5#

01

234

5#$0

1

234

5n

i

n

i

b

a

b

a

b

a

0

1

1

1

ababnvnx

nn

##$ ..

11][*][


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Seales 78

Para el caso cuandox[n] y v[n] no son cero para

n


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Seales 79

La operacin de convolucin puede se evaluada

utilizando de un arreglo que se define de lasiguiente manera:

1a fila los valores x[N], x[N+1], ....

2a fila los valores v[M], v[M+1],....

3a fila el producto del primer elemento de la segunda

fila con los elementos sucesivos de la primera fila.

4a fila el producto del segundo elemento de la

segunda fila con los elementos sucesivos de la

primera fila


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Seales 80

Es decir

Donde y[n]=x[n]*v[n]

v[M+3]

y[M+N+3]y[M+N+2]y[M+N+1]y[M+N]

..

..

x[N+1]v[M+2]x[N]v[M+2]

x[N+2]v[M+1]x[N+1]v[M+1]x[N]v[M+1]

x[N+3]v[M]x[N+2]v[M]x[N+1]v[M]x[N]v[M]

v[M+2]v[M+1]v[M]x[N+3]x[N+2]x[N+1]x[N]


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Seales 81

Ejemplo numrico: Suponga quex[n] y v[n] estn

dadas como:

1253-2142

3031

5-120

-1-21-1

0< -20< -1

v[n]nx[n]n


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Seales 82

Entonces el arreglo ser:

As: y[-3]=-1; y[-2]=3; y[-1]=10; y[0]=15.

y[n]=0 para n


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Seales 83

3.4 Propiedades de la Convolucin discreta

a) Asociatividad:

b) Conmutatividad:

c) Distributividad sobre la suma

])[*][(])[*][(])[][(*][ nwnxnvnxnwnvnx .$.

][*][][*][ nxnvnvnx $

][*][][*][])[][(*][ nwnxnvnxnwnvnx .$.


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Seales 84

e)Propiedad del desplazamiento

f) Convolucin con el pulso unitario

x[n]* "[n]=x[n]

Claramente el pulso unitario es el elemento identidad

de la operacin convolucin.

][][y][]]Sea qnvnvqnxnx qq #$#$

][*][][*][][

:Entonces

nvnxnvnxqnw qq $$#


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Seales 85

g) Convolucin con el pulso unitario desplazado

Es decir, la operacin es equivalente al

desplazamiento dex[n] en q pasos.

x[n]*"q[n]=x[n-q]

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