Facultad de Ingeniería Electrónica y Telecomunicaciones

LABORATORIO 3: Transformada discreta de Fourier + Convolución - aplicaciones básicas

CURSO: Procesamiento Digital de Señales

Laboratorio Nº 3

ALUMNO :ROQUE GONZALES, ELVIS JOEL

CODIGO : 2008100024

PROFESOR : Gustavo Paz

SEMESTRE ACADEMICO : 2013-I

NOTA :

1. Marco teórico:

La Transformada de Fourier

En matemática, la transformada de Fourier, denominada así por Joseph Fourier, es una aplicación que hace corresponder a una función f, con valores complejos y definidos en la recta, con otra función g definida de la manera siguiente:

Sea f (t) una función localmente integrable cuya integral valor absoluto esta acotada en R. Se define su transformada de Fourier como:

Siendo la anti-transformada o transformada inversa:

Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F (w) (dominio de la frecuencia) apartir de f (t) (dominio del tiempo) y viceversa.

Aplicaciones del Análisis de Fourier:

Se aplica para:

- Analizar contenido de frecuencia de las señales.- Determinar cómo cambia la amplitud y la fase de las señales sinusoidales cuándo

estas pasan a través de un sistema lineal e invariante en el tiempo.

Se utiliza en mucha áreas de la ingeniería tales como:

- Comunicaciones- Ingeniería mecánica.- Ingeniería de control- Campos electromagnéticos.- Procesamiento de señales de audio.- Procesamiento de imágenes.- En el área médica.

En comunicaciones:

- Para analizar contenido de frecuencia de las señales.- Diseñar los sistemas de transmisión de señales para transmitir información.- Analizar los cambios que ocurren cuando las señales viajan a través de un medio de

transmisión.- Diseñar sistemas para compensar la distorsión de las señales en los sistemas de

transmisión.- Para diseñar supresores y canceladores de eco en líneas telefónicas.

En ingeniería mecánica:

- Para estudiar los problemas relacionados con vibraciones mecánicas en los motores, generadores y equipos rotatorios en general.

- Para balancear rotores y eliminar la vibración que generan cuando no están balanceados.

- Para diseñar sistemas para absorber vibraciones y eliminar sus efectos.

En ingeniería de control:

- Para estudiar la estabilidad de los sistemas de control utilizados en diversos equipos.

- Para análisis y diseño de sistemas de control que satisfagan los requerimientos establecidos.

- Para compensar sistemas de control que tienen problemas de estabilidad.

En campos electromagnéticos:

- Para resolver ecuaciones diferenciales parciales con condiciones de frontera para determinar la distribución de los campos electromagnéticos en un espacio dado.

En procesamiento de señales y audio:

- Para compactar señales de audio (mp3 y mp4)- Para producir efectos de sonido.- Para diseñar sintetizadores de audio.- Para diseñar ecualizadores.

En procesamiento de imágenes:

- Para filtrar imágenes.- Para extraer características de interés sobre la imágenes.- Para realizar transformaciones de imágenes.- Para compactar imágenes.

En el área médica:

- Para procesar las imágenes generadas por ecogramas, resonancia magnética, tomografía axial, etc.

- Para extraer características de interés sobre las imágenes.- Para acondicionar las señales para equipos médicos de adquisición de datos.

En diversas áreas de ingeniería:

- Para analizar el comportamiento de los sistemas en relación a las frecuencias de las señales de entrada.

- Para modelar sistemas en el dominio de la frecuencia.- Para análisis y diseño de sistemas que satisfagan los requerimientos establecidos.

Filtrado de una imagen aplicando transformada de Fourier

La Transformada discreta de Fourier

En matemáticas, la transformada discreta de Fourier o DFT es un tipo de transformada discreta utilizada en el análisis de Fourier. Transforma una función matemática en otra, obteniendo una representación en el dominio de la frecuencia, siendo la función original una función en el dominio del tiempo. Pero la DFT requiere que la función de entrada sea una secuencia discreta y de duración finita. Dichas secuencias se suelen generar a partir del muestreo de una función continua, como puede ser la voz humana. Al contrario que la transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT), esta transformación únicamente evalúa suficientes componentes frecuenciales para reconstruir el segmento finito que se

analiza. Utilizar la DFT implica que el segmento que se analiza es un único período de una señal periódica que se extiende de forma infinita; si esto no se cumple, se debe utilizar una ventana para reducir los espurios del espectro. Por la misma razón, la DFT inversa (IDFT) no puede reproducir el dominio del tiempo completo, a no ser que la entrada sea periódica indefinidamente. Por estas razones, se dice que la DFT es una transformada de Fourier para análisis de señales de tiempo discreto y dominio finito. Las funciones sinusoidales base que surgen de la descomposición tienen las mismas propiedades.

Análisis espectral de señales. La transformada discreta/rápida de Fourier se usa de modo masivo en multitud de temas relacionados con el procesamiento digital de señales analógicas. De obligada mención son los análisis y síntesis espectrales de señales, la correlación cruzada de señales o la convolución de señales. Una señal analógica es una

función continua del tiempo t ∈ R −→f (t) ∈ R que representa información, como el sonido de una voz, la presión sanguínea, etc. Para procesar esta información con un computador, se toma una muestra de la señal cada T segundos y así se genera una cierta señal digitalizada. Puesto que tomamos muestras cada T segundos, hay T−1 muestras por segundo y, se dice, entonces que la frecuencia de muestreo es de T−1 Hz.

En la práctica, puede asumirse que las señales más utilizadas son las aperiódicas de banda limitada y las periódicas finitas, es decir, formadas por un número finito de armónicos. Si la correspondiente muestra consta de un total de N valores, entonces el n-ésimo valor es:

La transformada discreta/rápida de Fourier permite convertir la señal digital anterior ( yn) en

el dominio del tiempo en un conjunto de puntos (βn) que representan el contenido en frecuencia. Puesto que los puntos en los que tomamos las muestras están igualmente espaciados en el intervalo temporal [0, NT], los coeficientes calculados con la transformada

discreta correspondiente a frecuencias separadas por (NT )−1 Hz.

Convolución

La convolución de 2 señales f y g se denota por f*g. Se define como la integral del producto de ambas funciones después de que una sea invertida y desplazada una distancia τ.

Para las funciones discretas se puede usar una forma discreta de la convolución. Esto es:

Aplicaciones de la Convolución:

La convolución y las operaciones relacionadas se encuentran en muchas aplicaciones de ingeniería y matemáticas:

- En estadística, un promedio móvil ponderado es una convolución.- En teoría de la probabilidad, la distribución de probabilidad de la suma de dos

variables aleatorias independientes es la convolución de cada una de sus distribuciones de probabilidad.

- En óptica, muchos tipos de "manchas" se describen con convoluciones. Una sombra (ejemplo: la sombra en la mesa cuando tenemos la mano entre ésta y la fuente de luz) es la convolución de la forma de la fuente de luz que crea la sombra y del objeto cuya sombra se está proyectando. Una fotografía desenfocada es la convolución de la imagen correcta con el círculo borroso formado por el diafragma del iris.

- En acústica, un eco es la convolución del sonido original con una función que represente los objetos variados que lo reflejan.

- En ingeniería eléctrica y otras disciplinas, la salida de un sistema lineal (estacionario o bien tiempo-invariante o espacio-invariante) es la convolución de la entrada con la respuesta del sistema a un impulso.

- En física, allí donde haya un sistema lineal con un "principio de superposición", aparece una operación de convolución.

2. Desarrollo del laboratorio:

1. La sintaxis típica para el cálculo de la TRANSFORMADA DISCRETADE FOURIER (DFT) de una señal fft(x, N) donde x es la señal discreta de la forma x[n], que desea transformar, y N es el número de puntos de la DFT. N debe ser al menos tan grande como el número de muestras en x[n].

Para demostrar el efecto de cambiar el valor de N, consideremos una señal discretizada de tipo cosenoidal con 30 muestras y aplicaremos la DFT, con un valor de N igual a 10 muestras por periodo:N = [0:29];x = cos (2*pi*n/10);

Definir 3 valores diferentes de N. Luego tomar la transformada de x[n] para cada uno de los 3 valores que han sido definidos. Considere:N1 = 64;N2 = 128;N3 = 256;X1 = abs (fft(x, N1));X2 = abs (fft(x, N2));X3 = abs (fft(x, N3));

La escala de frecuencias comienza en 0 y se extiende a N-1 para un punto N de la DFT. A continuación, la normalización de la escala de modo que se extiende de 0 a 1-1/N:F1 = [0:N1-1]/N1; F2 = [0:N2-1]/N2;F3 = [0:N3-1]/N3;

Graficar cada una de las transformadas utilizando el comando Plot de MATLAB:

Plot (F1, X1,’-x’), title (‘N=64’), axis ([0 1 0 20])

Plot (F2, X2,’-x’), title (‘N=128’), axis ([0 1 0 20])

Plot (F3, X3,’-x’), title (‘N=256’), axis ([0 1 0 20])

Al examinar las gráficas anteriores, se puede ver que cada una de las transformadas discretas, sólo difieren en el número de muestras utilizando para la aproximación de esa forma. ¿Qué pasa si N es el mismo que el número de muestras en x[n]? Para averiguarlo, repita los pasos anteriores con N4 = 30.

2. En el último ejemplo, la longitud de x[n] se limita a un periodo de duración. Ahora, vamos a elegir un gran valor para N (para una transformación con muchos puntos), y lo aplicaremos para diferentes periodos:

n = [0:29];x1 = cos (2*pi*n/10); %3 periodosx2 = [x1 x1]; %6 periodsx3 = [x1 x1 x1]; %9 periodsN = 2048;X1 = abs (fft(x1, N));X2 = abs (fft(x2, N));X3 = abs (fft(x3, N));F = [0: N-1]/N;subplot (3, 1, 1)plot (F, X1), title ('3 periods'), axis ([0 1 0 50])subplot (3, 1, 2)plot (F, X2), title ('6 periods'), axis ([0 1 0 50])subplot (3, 1, 3)plot (F, X3), title ('9 periods'), axis ([0 1 0 50])

(Considere usted para X2 con 6 periodos y 9 periodos en 30 muestras). Mostrar sus gráficas. Ubicar las 3 gráficas según las siguientes posiciones:

X1%subplot (3, 1, and 1) X2%subplot (3, 1, 2) X3%subplot (3, 1, 3)

3. Al utilizar la FFT para calcular la DFT de una señal discreta, observamos que directamente no nos da el espectro de una señal. Como hemos visto los dos últimos experimentos, la FFT puede variar enormemente dependiendo del número de muestras N de la FFT, y el número de periodos de la señal de que están representados. Hay otro problema también.La FFT contiene información que está entre 0 y la frecuencia de muestreo fs., sin embargo, sabemos que la frecuencia de muestreo debe ser de al menos dos veces el componente de mayor frecuencia. Por lo tanto, la señal del espectro debe estar por debajo de fs/2.Recordamos también que una verdadera señal presenta en su transformada una magnitud simétrica para las frecuencias positivas y negativas. Así que en vez de tener un espectro de –fs/2 a fs/2. Esto puede ser logrado mediante el uso de Matlabfftshift:

n = [0:149];x1 = cos (2*pi*n/10);N = 2048;X = abs (fft(x1, N));X = fftshift(X);F = [-N/2: N/2-1]/N;plot (F, X)xlabel ('frecuency/fs')

4. Programar en Matlab la convolución de las siguientes señales:

x (t) = u (t) -2<t<2;

0 Otro valor

h (t) = 2u (t-2) -4<t<4;

0 Otro valor

Programa:

t = -5: 0.001: 5;x = 1.*(t>=0)-1.*(t>=2);h = 2.*(t>=2)-2.*(t>=4);y = conv(x, h);Plot (y)

x = 1.*(t>=0)-1.*(t>=2);

h = 2.*(t>=2)-2.*(t>=4)

y = conv(x, h);

3. Conclusiones:

- La transformada de Fourier es una herramienta importante en procesamiento de imágenes la cual es utilizada para descomponer una imagen en sus componentes senos y cosenos. La salida de la transformación representa la imagen en el dominio de la frecuencia, mientras que la imagen de entrada está en el dominio espacial.

- El Análisis de Fourier tiene muchas aplicaciones tales como: Comunicaciones, Ingeniería mecánica, Ingeniería de control, Campos electromagnéticos, Procesamiento de señales de audio, Procesamiento de imágenes. área médica, etc.

- En matlab, la transformada de Fourier unidimensional se puede calcular mediantela función predefinida “fft”, que calcula la transformada de Fourier discreta mediante el algoritmo FFT.

- Para el caso de una imagen digital se aplica la transformada discreta de Fourier (DFT). La transformada discreta/rápida de Fourier permite convertir una señal digital en el dominio del tiempo en un conjunto de puntos que representan el contenido en frecuencia.

- La transformada discreta/rápida de Fourier se usa de modo masivo en multitud de temas relacionados con el procesamiento digital de señales analógicas. Para procesar esta información con un computador, se toma una muestra de la señal cada T segundos y así se genera una cierta señal digitalizada. Puesto que se toman muestras cada T segundos, hay T−1 muestras por segundo y, se dice, entonces que la frecuencia de muestreo es de T−1 Hz.

- En matlab, el comando para hallar la transformada de Fourier (fft) no nos da directamente el espectro de la señal, por lo tanto para obtener un correcto resultado se hace uso del comando “fftshift” el cual reorganiza la salida de “fft” moviendo el componente de frecuencia cero hasta el centro de la matriz. Es útil para la visualización de una transformada de Fourier con el componente de frecuencia cero en el centro del espectro.

- La Convolución es una matriz que se aplica a una imagen. Los elementos de este arreglo son valores enteros. El resultado de esta operación es una imagen nueva que ha sido filtrada. La Convolución modifica el color de un pixel en función del color de los pixeles circundantes. Para cada canal, el valor de color para cada pixel se calcula del color original y del color de los pixeles que lo rodean.