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Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2011 1 / 42

AutocorrelaciónConvolución Deconvolución

Convolucion discretaConvolucion discreta

15 de setiembre de 2011

Procesamiento Digital de Señales

Licenciatura en Bioinformática

FI-UNER



Organización

1 Convolución

2 Deconvolución

3 Autocorrelación



y[n]x[n]h[n]

x[n]: entrada al sistema.

h[n]: respuesta al impulso del sistema.

y[n]: salida del sistema a la entrada x[n].

Sistema LTI

DefiniciónDefinición

Convolucion



x1[n] → y1[n]

x2[n] → y2[n]

a.x1[n] + b.x2[n] → a.y1[n] + b.y2[n] Linealidad

x[n]→ y[n]

x[n-k] → y[n-k]Invariancia temporal


Convolucion

Propiedades de sistemas LTIPropiedades de sistemas LTI



x[n]

n

∑∞

−∞=

−δ=k

]kn[].k[x]n[x


Convolucion

Sumatoria de impulsosSumatoria de impulsos



∑−

=

−=1

0

)][()()(N

k

knhkxny


Convolucion



• Conmutativa

si existe x ∗ y → x ∗ y = y ∗ x

• Asociativa

si existe (x ∗ y) ∗ z → (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)

• Distributiva

si existen x ∗ y y x ∗ z → x ∗(y+z) = x ∗ y + x ∗ z

• Conmutativa con respecto al producto por un escalar

si existe x ∗ y → a.(x ∗ y) = (a.x) ∗ y = (a.y) ∗ x

PropiedadesPropiedades

Convolucion



Sistema: y[n] = 0,5. y[n-1] +2. x[n]

Entrada: x[n] = [1, 2, 2]

x[n]h[n]

1

2 2 2

1

0,5

n n

CálculoCálculo

Convolucion

n



• Multiplicación término a término

• Sumatoria de convolución

• Matricialmente

CálculoCálculo

Convolucion



CálculoCálculo

h[n]

h1[n] = h[n-1].x[1] = [0, 4, 2, 1, 0]

h2[n] = h[n-2].x[2] = [0, 0, 4, 2, 1]

x[n]

x [1].δ[n-1]

x[2].δ[n-2]

x [0].δ[n]

y[n] = h0[n] + h1[n] + h2[n]

y[n] = [2, 5, 6.5, 3, 1]

h0[n] = h[n].x[0] = [2, 1, 0.5, 0, 0]

Convolucion

Multiplicación término a términoMultiplicación término a término



CálculoCálculo

y[-2] = x[-n-2] . h[n] = 0

y[-1] = x[-n-1] . h[n] = 0

y[0] = x[-n] . h[n] = 2

y[1] = x[1-n] . h[n] = 5

y[2] = x[2-n] . h[n] = 6.5

y[3] = x[3-n] . h[n] = 3

y[4] = x[4-n] . h[n] = 1

y[5] = x[5-n] . h[n] = 0

y[6] = x[6-n] . h[n] = 0

x[-n]

x[1-n]

x[2-n]

x[3-n]

x[4-n]

h[n]

Convolucion

Sumatoria de convoluciónSumatoria de convolución



y[0] = h[0].x[0]

y[1] = h[1].x[0] + h[0].x[1]

y[2] = h[2].x[0] + h[1].x[1] + h[0].x[2]

y[3] = h [3].x[0] + h[2].x[1] + h[1].x[2] + h[0].x[3]

...

(0) (0) 0 0 0 .. (0)

(1) (1) (0) 0 0 .. (1)•

(2) (2) (1) (0) 0 .. (2)

...... ................................. .......

y h x

y h h x

y h h h x

=

y = H.x

CálculoCálculo

Convolucion

MatricialMatricial



TF

x(t) ∗ y(t) → X(f) . Y(f)

TDF

x[n] ∗ y [n] → X [k] . Y[k]x

Convolucion circularConvolucion circular

Convolucion



h[n]xp[-n]

n

xp[1-n]

n

xp[2-n]

xp[3-n]

y[-2] = xp[-n-2] . h[n] = 6.5

y[-1] = xp[-n-1] . h[n] = 3

y[0] = xp[-n] . h[n] = 3

y[1] = xp[1-n] . h[n] = 5

y[2] = xp[2-n] . h[n] = 6.5

y[3] = xp[3-n] . h[n] = 3

y[4] = xp[4-n] . h[n] = 3

y[5] = xp[5-n] . h[n] = 5

y[6] = xp[6-n] . h[n] = 6.5n

n n


Convolucion



x1[n] → N muestras

x2[n] → N muestras

x1m[n] → N+(N-1) ceros

x2m[n] → N+(N-1) ceros

x1[n] → x1m[n] → X1m[k]

→ X1m[k].X2m[k] → x1m[n] x2m[n] → x1[n] ∗ x2[n]

x2[n] → x2m[n] → X2m[k]


Convolucion

Convolucion lineal vía TDFConvolucion lineal vía TDF



Problema inverso

Identificación

Control

h [n] ?y [n]x [n]

h [n]y [n]x [n] ?


Deconvolucion



h [n]

x [n]

h-1 [n]


Deconvolucion

y[n] = x[n] ∗ h[n] x[n] = y[n] ∗ h-1[n]



• Matricialmente

• División término a término

• Vía Transformada Discreta de Fourier

CálculoCálculo

Deconvolucion



Identificación: y[n] = X[n].h [n] → h [n] = X [n] -1..y[n]

Control: y[n] = H[n].x[n] → x[n] = H[n] -1.y[n]

CálculoCálculo

Deconvolucion

MatricialMatricial



2 5 6.5 3 1 2 1 0.5

2 5 6.5 3 1 2 1 0.5

Derecha a izquierda:

Izquierda a derecha:

y[n] h[n]

y[n] h[n]

CálculoCálculo

Deconvolucion

División término a términoDivisión término a término



x[n] N muestras ⇒ X[k] N muestras

h[n] M muestras ⇒ H[k] M muestras

y[n] N+M-1muestras ⇒ Y[k] N+M-1 muestras

Convolucion circular

CálculoCálculo

Deconvolucion

Vía TDFVía TDF



Paso 1: calcular la respuesta al impulso del sistema inverso h-1[n]

Paso 2: modificar h-1[n] agregando N-1 ceros

Paso 4: multiplicar Y[k] con H-1[k]

Paso 3: calcular H-1[k]

Paso 5: antitransformar con TDFI

CálculoCálculo

Deconvolucion

Vía TDFVía TDF



h [n]

y[n] = -0,8231.y[n-2] + 1,7959.y[n-1] + 0,0272.x[n]

y [n]x [n]

Efectos del ruidoEfectos del ruido

Deconvolucion



x[n]

h[n]

y[n]


Deconvolucion




Deconvolucion



r[n]

x[n] y[n] xd[n]h[n] -1h[n]


Deconvolucion

Ruido en la entradaRuido en la entrada



r[n]

x[n] y[n] xd[n]h[n] -1h[n]

r[n]= sin(2.π.1.T)

r[n]= sin(2.π.5.T)

r[n]= sin(2.π.10.T)


Deconvolucion

Ruido en la salidaRuido en la salida




Deconvolucion

Ruido en la salidaRuido en la salida



Electroencefalograma

Electromiograma

Potenciales evocados auditivos


Autocorrelación



Proceso aleatorio

)]2t(X)1t(X[E)(xx =τγ , τ = t2 - t1

t1 t2

X1[n]

X2[n]

XM[n]


Autocorrelación



Asumiendo que X(n) es estacionario y ergódico

∫∞

∞−

∗ τ+=τ dt)t(x)t(x)(Rxx

[ ] [ ]∑∞

−∞=

∗+=

n

xx knx.nx)k(r

Función de autocorrelación

[ ] [ ]∑∞

−∞=

∗+=

n

xy kny.nx)k(r

∫∞

∞−

∗ τ+=τ dt)t(y)t(x)(R xy

Función de correlación cruzada


Autocorrelación



Espacio de señales + Producto interno

[ ] [ ]∑−−

=

+=1mN

0n

knxnxN

1)k(xxr , para 0 ≤ k ≤ N-1

[ ] [ ]∑∞

−∞=

+=

n

knxnx)k(xxr , para -∞ ≤ k ≤ ∞

InterpretaciónInterpretación

Autocorrelación



• x[n], y[n] son reales ⇒ rxx(k), ryy(k), rxy(k) son reales.

• |rxx(k)| ≤ rxx(0)

• si x[n] = x[n+T], T ∈ N ⇒ rxx(k) = rxx(k+T)

• rxx(k) = rxx(-k)

• rxy(k) = ryx(-k)

PropiedadesPropiedades

Autocorrelación



AplicacionesAplicaciones

Autocorrelación

Medición de tiemposMedición de tiempos




Autocorrelación

Detección de señalesDetección de señales




Autocorrelación



0 0 . 0 2

0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 1 1 . 2 1 . 4

T i e m p o ( s e g )

- 1

- 0 . 5

0

0 . 5

1

2

2 . 5

3

Am

pli

tud (

mV

)

Artefacto del estímulo Onda MSEMG voluntario


Autocorrelación

Detección de señalesDetección de señales




Autocorrelación

Extracción de señalesExtracción de señales



2

22

2

1τ=ττ= π−

−

π−

−∫∫ d.e).t(x

Td.e).(R)f(P ftj

To

Too

ftjTo

To

xxxx

Teorema de Wiener – Khintchine

Método de Bartlett

Método de Welch

Método de Blackman - Tukey

[ ]∑−

−−=

π−=1

1

2N

)N(m

mfjxxxx e.mr)f(P


Autocorrelación

Estimación espectralEstimación espectral



[ ] [ ]∑∞

−∞=

+=

n

xy kny.nx)k(r Correlación cruzada de y[n] y x[n].

∑∞

−∞=

−=

k

xy ]kn[y].k[x]n[conv Convolución lineal de y[n] y x[n].

Correlación - ConvolucionCorrelación - Convolucion

Autocorrelación



Paso 1: desplazamiento de una secuencia.

Paso 2: producto de las secuencias.

Paso 3: suma de la secuencia producto.

Correlación

Paso 1: reflejar una de las secuencias.

Paso 2: desplazamiento de una secuencia.

Paso 3: producto de las secuencias.

Paso 4: suma de la secuencia producto.

Convolución

rxy(k) = x(k)∗y(-k)

Correlación - ConvolucionCorrelación - Convolucion

Autocorrelación



Fin de la claseFin de la clase

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