SENALES Y SISTEMASClase 10

Carlos H. Muravchik

9 de Abril de 2018

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Habıamos visto:

I Sistemas en generalI Generalidades. Propiedades. Invariancia. Linealidad.

Y se vienen hoy:

I Sistemas grales: Causalidad. Estabilidad. Combinacion.I Sistemas Lineales.I Convolucion discreta.I Convolucion continua.I Invariancia, causalidad,I Estabilidad EA/SA. (si entra)

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Sistemas variantes

Vimos invariantes en el tiempo e invariantes al desplazamientoSi no son invariantes, son variantes: SVT y SVD.

I El operador de un SVT cambia segun el instante en que seaplica la senal.

I Por ejemplo, se debe denotar y [n] = Hk{x(·)}[n] indicandoque se aplico la secuencia x [·] en el instante k y seobserva su respuesta y [·] en el instante n.

De manera similar para sistemas IT.

Ejemplo 1: Celular - enlaces ascendente (movil a base) ydescendente (base a movil): camino variable de las ondas EM.

Ejemplo 2: Guiado - vehıculo con masa variable por consumode combustible (recordar F = d(m~v)

dt ).

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Causalidad

Intuicion: dado un cambio a la entrada, la respuesta al mismoaparece en la salida de un sistema causal solamente despuesdel cambio en la senal de entrada.

I Sistemas fısicos: son causales.I Sistemas con senales VIC o VID que no son tiempo

pueden dar sistemas anticipativos o no-anticipativos.I En la computadora es facil tener sistemas anticipativos.

Por ejemplo:

y [n] = x [n − 1] + x [n] + x [n + 1]

o en imagenes.

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Estabilidad 1Intuicion: Un sistema es estable si para una perturbacion deentrada de pequena amplitud, no se aparta demasiado delpunto donde estaba y/o retorna a el, mas o menos lentamente.

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Estabilidad 2I Hay varios tipos de estabilidad (se vera mas en Control,

Control moderno) asintotica, exponencial, uniforme, etc.I Usaremos una forma simple: estabilidad en sentido

entrada-acotada/salida-acotada, denotada EA/SA.I Estabilidad EA/SA – intuicion: para cualquier entrada

acotada la salida tambien resulta acotada.I Entrada acotada: significa que existe 0 < Ke <∞ tal que|x [n]| < Ke, ∀n ∈ Z.

I x [n] = en no es acotada; x [n] = cos(2πf0n + φ) es acotadapues cualquier Ke ≥ 1 es una cota.

I Estabilidad EA/SA: Un sistema es estable EA/SA si aplicarcualquier entrada acotada causa que exista un0 < Ks <∞ tal que |y [n]| < Ks, ∀n ∈ Z; o sea, que lasalida sea acotada.

I Igualmente para sistemas continuos.

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Estabilidad – ejemplosEjemplo 1: y(t) = y2(t) + x(t), con condicion inicialy(0) = y0 > 0 y entrada nula x(t) = 0

yy2 = 1 ⇒

∫ y(t)

y0

dyy2 =

∫ t

0dτ ⇒ −1

y

]y(t)

y0

= t

Luego t = 1y0− 1

y(t) y finalmente y(t) = y01−y0t que vale para

0 ≤ t < 1/y0 y explota para t → 1/y0. ¿Y si y0 < 0?

Ejemplo 2: y(t)− ay(t) = x(t) con condicion inicial y(0) = y0,a > 0 y entrada nula x(t) = 0.

yy

= a ⇒ logy(t)y0

= at ⇒ y(t) = y0eat

1/y0

y0

0 t

y0e

y0

0 t

tEj. 1 Ej. 2

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Estabilidad – ejemplo discreto

Ejemplo 3: y [n]: balance de una cuenta bancaria; α: tasa diariade interes; x [n]: depositos diarios.Entonces

y [n + 1] = (1 + α)y [n] + x [n]

Si comienzo el dıa cero con y [0] = y0 y nunca deposito nada,

y [1] = (1 + α)y0 + 0

y [2] = (1 + α)y [1] = (1 + α)2y0

y [n] = (1 + α)ny0

... como α es positivo, sere rico si vivo lo suficiente!

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Combinacion de sistemas en general

I Serie o cascadaSistema 1 Sistema 2- -

I ParaleloSistema 1

Sistema 2

- -

I RealimentacionSistema 1

Sistema 2

- i+ -

6

-

�

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Sistemas LinealesRecordamos al operador que representa a un sistema:{

y(t) = H{x(·)}(t) VICy [n] = H{x [·])}[n] VID

Sistema Lineal: esI homogeneo yI aditivo.

O de manera equivalente, satisface el

Principio de Superposicion: para 2 constantes cualesquieraa,b ∈ R y dos entradas arbitrarias x1(t), x2(t) ∈ Ce, se formax(t) = ax1(t) + bx2(t). Sean y1(t) = H{x1(·)}(t) ey2(t) = H{x2(·)}(t), entonces H satisface el principio desuperposicion si cumple

y(t) = H{x(·)}(t) = ay1(t) + by2(t)

I Similar para sistemas discretos.13 / 36

Incrementalmente lineales

Recordar el Ejemplo 2 de Sistemas con Memoria.

y(t) = vC(0)e−t/RC +1

RC

∫ t

0e−(t−σ)/RCx(σ) dσ

El sistema no es homogeneo ni aditivo; no es lineal!!

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Incrementalmente lineales

¿A que se debe? Al termino con las condiciones iniciales. Esomotiva

Definicion: sistemas en los que la diferencia de las salidas paracualesquiera dos funciones de entrada es una funcion lineal.

Forma general de sistemas incrementalmente lineales

sistema lineal-x(t) -y(t) i+ -y(t)?

y0

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Invariancia en el tiempo

Sistema VIC.1. Se aplica x1(t) y se obtiene y1(t) = H{x1(·)}(t).2. Si se aplica la misma senal en el instante t0, se aplica una

x2(t) = x1(t − t0). La salida es y2(t) = H{x2(·)}(t).3. El sistema es invariante en el tiempo si se cumple que

y2(t) = y1(t − t0).4. Interpretacion: la respuesta que da el sistema a una

entrada es la misma, pero desplazada acordemente, noimporta en que instante se la aplica.

5. Un sistema lineal, que es invariante en el tiempo, sedenota abreviadamente SLIT.

6. Nota: Esta propiedad es la que le permite considerar enlos circuitos RLC que la llave siempre se cierra en t = 0

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Invariancia al desplazamiento

Sistema VID.1. Se aplica x1[n] y se obtiene y1[n] = H{x1(·)}[n]

2. Si se aplica la misma senal desplazada en n0, se aplicauna x2[n] = x1[n − n0]. La salida de denominay2[n] = H{x2(·)}[n].

3. El sistema es invariante al desplazamiento si se cumpleque y2[n] = y1[n − n0]

4. Interpretacion: la respuesta que da el sistema a unaentrada es la misma, pero desplazada acordemente, noimporta en que momento se la aplica

5. Un sistema lineal discreto, que es invariante aldesplazamiento, se denota abreviadamente SLID

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Convolucion discreta 1Ingredientes:

I Sistemas lineales discretos (manejan SVID) con operadorH que satisface el principio de superposicion. Tanto paraSLID como SLVD.

I Representacion de SVID en terminos de impulsos

x [n] =∞∑

k=−∞x [n − k ]δ[k ] =

∞∑k=−∞

x [k ]δ[n − k ]

I Aplicando H, en la igualdad de la derecha se puedeinterpretar a x [k ]δ[n − k ] como una secuencia con unimpulso en k de amplitud x [k ].

y [n] = H

∞∑

k=−∞x [k ]δ[n − k ]

[n] =∞∑

k=−∞x [k ]Hk{δ[·]}[n]

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Convolucion discreta 2

y [n] =∞∑

k=−∞x [k ]Hk{δ[·]}[n] =

=∞∑

k=−∞x [k ]h[n, k ]

donde h[n, k ] es la respuesta impulsional: la respuestaobservada en el instante n a un impulso (de Kronecker)aplicado en el instante k .

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Convolucion discreta SLVT

Ejemplo:x [n] =

∑1k=−1 x [k ]δ[n − k ] con x [−1] = −2, x [0] = 5, x [1] = 2

y [n] =1∑

k=−1

x [k ]h[n, k ]

−2 0 2 40

5

−2 0 2 40

5

−2 0 2 40

5

−2 0 2 40

5

n

n

n

n

5

45

4

23

5

2

1

x[n] h[n,-1]

h[n,0] h[n,1]

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Convolucion discreta SLVT

y [n] =1∑

k=−1

x [k ]h[n, k ]

−2 0 2 4

−10

−5

0

5

−2 0 2 40

20

−2 0 2 40

10

20

−2 0 2 40

10

20

30

n

n

n

n

20

−10

8

1525

4 2

9

23

12

x[-1] h[n,-1]

x[0] h[n,0]

x[1] h[n,1]

y[n]

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Especializacion a SLID:Operador basico para todo SL: convolucion.

SLVD: Convolucion discreta - recordar:

y [n] =∞∑

k=−∞x [k ]Hk{δ[·]}[n] =

=∞∑

k=−∞x [k ]h[n, k ]

SLID:

h[n, k ] = h[n − 1, k − 1] = h[n − k ,0] , h[n − k ]

y [n] =∞∑

k=−∞x [k ]h[n − k ] =

∞∑m=−∞

x [n −m]h[m]

Notacion: SLID y [n] = {x ∗ h}[n]

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Convolucion graficaPapeles deslizantes

y [n] =∞∑

k=−∞x [k ]h[n − k ]

1. Dibujar x [k ] y dejar fija.2. Obtener h[·].3. Reflejar h[·].4. Desplazar el origen de h al punto de observacion n.5. Multiplicar muestra a muestra y sumar, da y [n].6. Repetir 4) y 5) hasta tener todos los puntos deseados.

Notar: roles intercambiables de x y h

y [n] =∞∑

m=−∞x [n −m]h[m]

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Convolucion grafica

Ejemplo: x y h

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−2−1

012345

k

x[k]

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6012345

k

h[k]

n−4 n−1 n n+1012345

k

h[n−

k]

Por ejemplo, queremos y [−3]

0−2−1

012345

k

x[k]

−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0012345

k

h[−

3−k]

y[−3]=0

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Convolucion grafica – cont.Si queremos y [0]

0−2−1

012345

k

x[k]

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3012345

k

h[−

k]

y[0]=23

Si queremos y [5]

0−2−1

012345

k

x[k]

−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8012345

k

h[5−

k]

y[5]=2

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Duracion

x y h de duracion finita;

0−2−1

012345

kx[

k]

−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0012345

k

h[−

3−k]

y[−3]=0

Duracion de y : duracion de x mas duracion de h menos 1.

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Causalidad

Aplicando δ[n] (impulso en cero); la respuesta esh[n] = 0; n < 0. El SLID es causal⇔ respuesta impulsionalunilateral a derecha.

y [n] =∞∑

m=−∞x [n −m]h[m] =

∞∑m=0

x [n −m]h[m]

=∞∑

m=−∞h[n −m]x [m] =

n∑m=−∞

h[n −m]x [m]

Si ademas, x [n] fuera unilateral a derecha (x [n] ≡ 0; n < 0)

y [n] =n∑

m=0

h[n −m]x [m]

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Convolucion continuaIngredientes:

I Sistemas lineales continuos (manejan SVIC) con operadorH que satisface el principio de superposicion. Tanto paraSLIT como SLVT.

I Representacion de SVIC en terminos de impulsos

x(t) =

∫ ∞−∞

x(σ)δ(t − σ)dσ

I Aplicando H se puede interpretar a x(σ)δ(t − σ) como unasenal con un impulso (Dirac) en σ de area x(σ)

y(t) = H{x(·)} (t) = H{∫ ∞−∞

x(σ)δ(t − σ) dσ}

(t)

I Mas hipotesis adicionales, definiendoh(t , σ) = Hσ{δ(·)}(t).

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Convolucion continua 2Resulta la convolucion para SLVT:

y(t) = {x ∗ h}(t) =

∫ ∞−∞

x(σ)h(t , σ)dσ

I Para SLIT: h(t , σ) , h(t − σ) luego

y(t) =

∫ ∞−∞

x(σ)h(t − σ)dσ =

∫ ∞−∞

h(λ)x(t − λ)dλ

I Agregando Causalidad: h(t) ≡ 0; t < 0 luego

y(t) =

∫ t

−∞x(σ)h(t − σ)dσ =

∫ ∞0

h(λ)x(t − λ)dλ

I Si ademas la senal de entrada se aplica en cero, o sea esunilateral a derecha desde t = 0, x(t) ≡ 0; t < 0

y(t) =

∫ t

0x(σ)h(t − σ)dσ =

∫ t

0h(λ)x(t − λ)dλ

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SLIT - Convolucion graficaPapeles deslizantes

y(t) =

∫ −∞−∞

x(σ)h(t − σ)dσ

1. Dibujar x(t) y dejar fija.2. Obtener h(·).3. Reflejar h(·).4. Desplazar el origen de h al punto de observacion t .5. Multiplicar punto a punto e integrar, da y(t).6. Repetir 4) y 5) hasta tener todos los puntos deseados.

Notar: roles intercambiables de x y h

y(t) =

∫ ∞0

h(σ)x(t − σ)dσ

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Propiedades de la Convolucion y CombinacionesValidas tanto para SLIT como SLID (con los cambios obvios):

I Conmutativa: y = {x ∗ h} = {h ∗ x}. Intercambiabilidadentre respuesta impulsional y entrada.

I Asociativa:y2 = {x ∗ h1 ∗ h2} = {{x ∗ h1}︸ ︷︷ ︸

y1

∗h2} = {x ∗ {h1 ∗ h2}︸ ︷︷ ︸h

}.

h = h1 ∗ h2 = h2 ∗ h1 es el sistema equivalente a uno serie.I Distributiva: y = {x ∗ {h1 + h2}︸ ︷︷ ︸

h

} = {x ∗ h1}︸ ︷︷ ︸y1

+{x ∗ h2︸ ︷︷ ︸y2

}.

h = h1 + h2 es el sistema equivalente a un paralelo.

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Estabilidad de SLID 1Teorema: Un SLID es estable en sentido EA/SA sii surespuesta impulsional es absolutamente sumable; es decir

existe 0 < Kh <∞ tal que∞∑

k=−∞|h[k ]| ≤ Kh

Demostracion: 1) “ida” y 2) “vuelta”.1) h abs. sumable es suficiente:Sea una entrada acotada por 0 < Ke <∞, o sea |x [n]| ≤ Kepara todo n. El modulo de la salida es

|y [n]| =

∣∣∣∣∣∣∞∑

k=−∞x [k ]h[n − k ]

∣∣∣∣∣∣ ≤∞∑

k=−∞|x [k ]||h[n − k ]| ≤

≤ Ke

∞∑k=−∞

|h[n − k ]|

≤ KeKh

tomando Ky = KeKh la salida resulta acotada.32 / 36

Estabilidad de SLID 2

2) h abs. sumable es necesaria: sistema EA/SA⇒ h es abs.sumable.⇔ h NO es abs. sumable⇒ sistema NO es EA/SA.Mostraremos una entrada acotada que, suponiendo que h NOes abs. sumable, dara y [n] no acotada.Sea x [n] , h[−n]/|h[−n]| luego |x [n]| ≤ Ke = 1 para todo n. Lasalida en n = 0 es

y [0] =∞∑

k=−∞x [k ]h[−k ] =

∞∑k=−∞

h[−k ]h[−k ]

|h[−k ]|=

=∞∑

k=−∞|h[−k ]| → ∞

que no esta acotada por hipotesis. Luego y no esta acotada yentonces el sistema no es EA/SA.

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Estabilidad de SLIT 1

Paralelo a SLID:

Teorema: Un SLIT es estable en sentido EA/SA sii surespuesta impulsional es absolutamente integrable, es decir,

existe un 0 < Kh <∞ tal que∫ ∞−∞|h(τ)|dτ ≤ Kh

Demostracion: similar a la de SLID.

Repase las ideas de la demostracion para SLID, haciendo estapara SLIT.

¿Y si el sistema fuera VT (tanto C como D)?

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Proximas Clases

I Otras representaciones de SLIT y SLID: diagramas debloques, estados

I Sistemas Lineales con entradas aleatoriasI Analisis frecuencial: Transformada de Fourier. Inicio

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