SUSTENTACION CONVOLUCION

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UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CUENCA SEDE AZOGUES Cátedra de: Control Moderno II. Nombre: Eduardo Pacheco. Docente: Ing. Martin Ortega Fecha: 8 de Diciembre de 2013

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UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CUENCA SEDE AZOGUES

Cátedra de: Control Moderno II.

Nombre: Eduardo Pacheco.

Docente: Ing. Martin Ortega

Fecha: 8 de Diciembre de 2013

TEMA: CONVOLUCIÓN

1. OBJETIVOS

General: Investigar y analizar la aplicación y calculo

de convoluciones en señales.

Específicos: Realizar ejemplos del tema a investigar. Aplicar los conocimientos adquiridos en

simulaciones de Matlab

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Operaciones con señales:

• Desplazamiento en el tiempo: x(t-2), desplazamiento a la derecha

• Compresión en el tiempo: x(2t)

• Dilatación en el tiempo: x(t/2)

• Reflexión: x(-t)

Convolución de señales Continuas

• Podremos calcular la respuesta y(t) de un sistema a una entrada cualquiera x(t).

𝑦 (𝑛)=𝑥 (𝑡 )∗h (𝑡 )=∫−∞

𝑥 (𝜏 )h (𝑡−𝜏 )𝑑𝜏

• Se debe hacer un cambio de variable• La operación es conmutativa es decir nosotros podríamos cambiar el x(t) por el h(t) a la hora de realizar el cambio de variable

PROPIEDADES

CONMUTATIVA

𝑥 (𝑡 )∗h (𝑡 )=h (𝑡 )∗𝑥 (𝑡)

ASOCIATIVA

𝒙 (𝒕 )∗ [𝒉𝟏 (𝒕 )∗𝒉𝟐 (𝒕 ) ]=[𝒙 (𝒕 )∗𝒉𝟏 (𝒕 ) ]∗𝒉𝟐 (𝒕 )=[𝒙 (𝒕 )∗𝒉𝟐 ( 𝒕 )]∗𝒉𝟏 (𝒕 )

DISTRIBUTIVA

x(t)*

EJEMPLOS

EJEMPLO 1

𝒙 (𝒕 )=𝒆−𝒂𝒕𝒖 (𝒕 ) ,𝒂>𝟎

𝒉 (𝒕 )=𝒖(𝒕)

𝒚 (𝒕 )=𝒙 (𝒕 )∗𝒉 (𝒕 )=∫−∞

𝒙 (𝝉 )𝒉 (𝒕−𝝉 )𝒅𝝉

CAMBIO DE VARIABLE

𝑷𝒂𝒓𝒂𝒕<𝟎 , 𝒚 (𝒕 )=𝟎

𝑷𝒂𝒓𝒂𝒕 ≥𝟎 , 𝒚 (𝒕 )=∫𝟎

𝒕

𝒆−𝒂𝝉 𝒅𝝉=𝟏−𝒆−𝒂𝒕

𝒂

𝒚 (𝒕 )=𝟏−𝒆−𝒂𝒕

𝒂𝒖 (𝒕 )

EJEMPLO 2

𝒚 (𝒕 )=𝒙 (𝒕 )∗𝒉 (𝒕 )=∫−∞

𝒙 (𝝉 )𝒉 (𝒕−𝝉 )𝒅𝝉

𝒙 (𝒕 )={𝟏 ,𝟎<𝒕<𝑻𝟎 ,𝒓𝒆𝒔𝒕𝒐

h

CAMBIO DE VARIABLE

𝒕 ≤𝟎 , 𝒚 (𝒕)=𝟎

𝒚 (𝒕 )=∫𝟎

𝒕

𝝉𝒅𝝉= 𝒕𝟐

𝟐

𝒚 (𝒕 )= ∫𝒕−𝑻

𝒕

𝝉𝒅𝝉=𝒕𝑻 −𝟏𝟐𝑻𝟐

𝒚 (𝒕 )= ∫𝒕−𝑻

𝟐𝑻

𝝉𝒅𝝉=𝒕𝑻 −𝟏𝟐𝒕𝟐+𝟑

𝟐𝑻 𝟐

𝒚 (𝒕 )=𝟎

𝒚 (𝒕 )=𝒕𝟐

𝟐𝒖 (𝒕 )−𝟏

𝟐(𝒕−𝑻 )𝟐𝒖 (𝒕−𝑻 )+(𝟐𝑻 𝟐−

𝟏𝟐𝒕𝟐)𝒖 (𝒕−𝟐𝑻 )+(𝟏𝟐 𝒕𝟐−𝒕𝑻 −𝟑𝟐𝑻 𝟐)𝒖(𝒕−𝟑𝑻 )

CONVOLUCIÓN EN SEÑALES

DISCRETAS

MÉTODO DE LA TIRA DESLIZANTE

EJEMPLOSupongamos que tenemos las señales a[n] y b[n], de las cuales queremos obtener la Convolución: y[n]

* = ?

• Antes de comenzar con el método identificamos los valores de cada señal

a[n]=0,-1,-1,2,1,1 b[n]=1,-1,0,1

Una ves que tenemos identificado los valores de cada señal, comenzamos a resolver

♣Primero. Hacemos una tabla como la que veremos a continuación. La misma tiene:

oCantidad de columnas=cantidad de puntos de a[n]+1oCantidad de filas=cantidad de puntos de a[n]+cantidad de

puntos de b[n]♣En este ejemplo nos quedaría:oCantidad de Columnas=6+1=7oCantidad de Filas=6+4=10

# de filas=7

# de columnas=10

• Segundo. Hay que llenas la tabla• En la primera fila, colocamos los valores de a[n]

0 -1 -1 2 1 1a[n]

• Las Dos señales son:• a[n]=0,-1,-1,2,1,1• b[n]=1,-1,0,1• Hacemos el reflejo de la señal con menos muestras• b[-n]=1,0,-1,1• Alineamos la secuencia la sumamos y la desplazamos

sucesivamente

• Segundo. Hay que llenas la tabla• En la siguiente fila, colocamos los valores de b[n] de forma que

parezca que vamos desplazando los valores hacia la derecha: b[-n]=1,0,-1,1

0 -1 -1 2 1 1

1 0

-1 1 -1

0 .1 1 0

1 0 -1 1 3

1 0 -1 1 -2

1 0 -1 1 -1

1 0 -1 1

1 0 1

1 1

a[n]

b[n]

Entonces: y[n]={0,-1,0,3,-2,-1,1,1,1}

EJEMPLO 2

a[n]=1,1,1 b[n]=0.5,2

oCantidad de Columnas=3+1=4oCantidad de Filas=2+3=5

# de filas=7

# de columnas=10

• Segundo. Hay que llenas la tabla• En la primera fila, colocamos los valores de a[n]

a[n] 1 1 1

• Segundo. Hay que llenas la tabla• En la siguiente fila, colocamos los valores de b[n] de forma que

parezca que vamos desplazando los valores hacia la derecha b[n]=2,0.5

a[n]

b[n]

Entonces: y[n]={0.5,2.5,2.5,2}

1 1 1

0.5 0.5

2 0.5 2.5

2 0.5 2.5

2 2

Convoluciones en matlab• Y=conv(x,h)• Hace la Convolución de los vectores x y h

Conclusiones Convolución

• Mediante Convolución podemos determinar la respuesta del sistema a una señal de entrada a partir de la respuesta del sistema a una entrada impulso.

• La respuesta en t0 depende de los valores actual y pasados de la entrada y de la respuesta al impulso.

• Los valores más recientes de x(t) son multiplicados por sus correspondientes más antiguos (y más grandes) valores de h(t).

GRACIAS