UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERA ZONA VERACRUZ Copyright 2009 Universidad Veracruzana. Facultad de Ingeniera Veracruz. PROYECTO FILTROS DIGITALES. EXPERIENCIA EDUCATIVA PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEALES. Profesor: M.C. Alexandro Castellanos Mier UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERA ZONA VERACRUZ Copyright 2009 Universidad Veracruzana. Facultad de Ingeniera Veracruz. 2 INTRODUCCIN. La finalidad de un filtro es procesar una seal presente a su entrada, de forma que la seal desalidapresenteunascaractersticasfrecuencialescambiadasconformeaciertas especificaciones. Este objetivo de todo filtro es independiente de su realizacin, sea sta digital o analgica, y su comportamiento selectivo en frecuencias puede manifestarse en el mdulo de la seal de salida, en la fase, o en ambos. Losfiltrosanalgicosestnconstituidosporelementosreactivos,fcilesdeconseguirenel mercadoycuyaimpedanciavaraconlafrecuencia(condensadoreseinductores);pudiendo haber, adems, elementos resistivos u otros componentes activos. Segn las especificaciones del filtro(frecuenciasdecorte,transicionesentrebandasdepasoybandasatenuadas,etc.),su realizacin puede serms omenos compleja.Filtros sencillos, como pueden serfiltros pasivos de orden reducido, son soluciones cuya realizacin ptima se halla, habitualmente, en el dominio analgico;surealizacindigitalencareceraelcostesituvieraqueimplementarseunsistema digital, con sus correspondientes conversores A/D y D/A, slo para ello. Otro de los atractivos de los filtros analgicos es su capacidad para manejar niveles de potencia importantes,aspectodifcilo,enmuchoscasos,imposibledeconseguirsolamenteconfiltros digitales.Y,finalmente,losfiltrosanalgicospermitentrabajarconbandasfrecuencialesmuy altas, aspecto que en los filtros digitales se ve limitado por la velocidad del procesado. Si a esto seaadeelhechoque,porcursosbsicosdeteoradecircuitosodeelectrnicaanalgica,el lector ya puede estar familiarizado con la realizacin de sencillos filtros analgicos, la pregunta quesurgeessielestudiodelosfiltrosdigitalesaportanuevassolucionesdefiltradoo simplementeesunaformaalternativa,quizsmselegante,derealizacindelosfiltros analgicos. Unfiltrodigital esunalgoritmo matemtico, expresable como unaecuacin en diferencias e implementadoenhardwarey/oensoftware,cuyoobjetivoeselmismoqueeldelosfiltros analgicos: ofrecer un procesado selectivo en frecuencias de la seal de entrada. Al ser digital, ya se pueden intuir algunas de sus ventajas - Caractersticas imposibles con filtros analgicos (fase lineal) - No cambian cualquiera que sea el entorno (condiciones ambientales). - Procesamiento de varias seales con un nico filtro - Posibilidad de almacenar datos - Repetitividad de resultados (menor tolerancia a valores de los componentes) - Uso en aplicaciones de muy bajas frecuencias sin necesidad de voluminosos condensadores ni decompensarderivasdetensionesocorrientesendispositivosactivos,comoocurreconlos filtros analgicos. - Su pequeo tamao gracias a tecnologas VLSI - Su menor coste para filtros de orden elevado Su versatilidad para efectuar diversos tipos de filtrado sin tener que modificar el hardware. De estasventajas tecnolgicas, conelfiltrado digitalse pueden conseguirfiltros defaselineal, imposibles con filtrado analgico (la fase lineal, propia de los filtros FIR, slo es aproximable en unalimitada bandafrecuencial en el caso analgico), y se pueden efectuar filtrados nolineales, prediccionesdelcomportamientodesealesuoptimizacionesdelcomportamientodelfiltro UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERA ZONA VERACRUZ Copyright 2009 Universidad Veracruzana. Facultad de Ingeniera Veracruz. 3 segndeterminadoscriteriosqueelpropioalgoritmopuedeirsupervisando.Porello,sonmuy atractivos en aplicaciones de procesado de voz y de imagen, de control y de comunicaciones. Conestaintroduccinsehanexpuestoalgunasventajasdelfiltradodigital,peroellonodebe llevar a concluir que es siempre "mejor" que el analgico. El concepto "mejor" es muy relativo, pues depende de la infraestructura para el desarrollo, del coste y de las prestaciones exigibles al filtro. Aparte de las ventajas de los filtros analgicos en el procesado de potencia y de seales de muyaltafrecuencia,losfiltrosdigitalespuedenpresentarproblemas(ciertamentereducibles utilizando tecnologas adecuadas) debidos aefectos delaaritmtica finita(longitud finitadelaspalabrasdigitalesenlosprocesadoresyenlasmemorias),queproducenuncierto tipode ruido a la salida del filtro, o incluso inestabilidades si el nmero de bits con que se opera obliga a truncamientos o redondeos inaceptables de los resultados. Tambin aspectos ms internos de los sistemasbasadosenmicroprocesadoresoDSP,comoposibilidadesdesaltosdeloscontadores deprogramafrenteainterferenciaselctricasenlosbusesdedatosodedirecciones,yque puedenalterarlaejecucincorrectadelassubrutinas,sonproblemaspotencialesdelosfiltros digitales. Desventajas que se pueden reducir en: - Limitacin de velocidad - Efectos de la longitud finita de las palabras - Tiempos de diseo y desarrollo Losriesgosqueseacabandeexponerdelosfiltrosdigitalessonsuperablesutilizando tecnologas adecuadas, lo que supone disponer de los oportunos presupuestos. Adems, hay otro aspecto relevante para el presupuesto: el tiempo de diseo y desarrollo de un filtro digital es algo mslargoqueeldeunfiltroanalgico,aspectoqueloshacedesaconsejablesparafiltrados sencillos(exceptosiseaprovechaunainfraestructuradigitalyaexistenteparaprogramarla ecuacin en diferencias del filtro). Como en todo trabajo de ingeniera, es el diseador quien, a la vista del presupuesto, del material de laboratorio disponible para el desarrollo y de la complejidad del problema, ha de decidir qu solucin tomar, enfuncin dela complejidad delfiltro, losniveles de potenciaylos anchos de banda. OBJETIVO GENERAL Elalumnoanalizarlasprincipalestcnicasdeldiseodefiltrosdigitales,obtendraunavisin global del diseo electrnico digital, aunando los conocimientos de electrnica digital aprendidos en los cursos precedentes. Utilizaraherramientasdediseodigitalydispositivoselectrnicosprogramablescomoson MATLAB y LABVIEW. Disearaestrategiasdecomprobacinyverificacindelossistemas,delfuncionamientodel programa as como de los filtros del sonido grabado en tiempo real. Establecerla comunicacin entre los distintos componentes del sistemay con el exterior, y alo largo del desarrollo del trabajo aprendern a trabajar en equipo. UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERA ZONA VERACRUZ Copyright 2009 Universidad Veracruzana. Facultad de Ingeniera Veracruz. 4 FILTRO DIGITAL. Se emplea en procesado de seales para eliminar partes no deseadas de la misma, tales como ruido o slo permitir el paso de cierto rango de frecuencias, es decir, hacer un filtro divisor. El siguiente diagrama ilustra esta idea bsica. Haydostiposprincipalesdefiltros:analgicoydigital.Sonbastantesdiferentestantoensu aspecto fsico como en su modo de funcionamiento. Unfiltroanalgicoempleacircuitoselectrnicosconcomponentesdiscretostalescomo resistencias, condensadores, amplificadores operacionales que sean requeridos para elfiltrado deseado.Talesfiltrossonmuyempleadosparareduccinderuido,mejoradesealesdevideo, ecualizadores grficos y muchas otras reas. Haytcnicasestndaresbienasentadasparadisearunfiltroanalgicoconunrequerimiento dado.Entodaslasdiversasetapaslasealestsiendofiltradacomounvoltajeocorriente elctrica, es decir, se involucra una magnitud fsica y real directamente de la seal analgica. Unfiltrodigitalempleaunprocesadordigitalqueefectaoperacionesmatemticasenvalores muestreadosdeseal.Elprocesadorpuedeserdepropsitogeneral,talcomocualquier ordenadorpersonal,unchipDSP(ProcesadorDigitaldeSeales)especializadoounaFPGA programable. LasealdeentradaanalgicadebesermuestreadaydigitalizadausandounADC(conversor analgico-digital).Elresultadosonnmerosbinariosquerepresentanlosvaloressucesivos muestreados.Estossontransferidosalprocesador,elcualefectaoperacionesmatemticasen ellos. Las operaciones pueden ser desde filtros de promediado de la muestra actual con alguna de lasanterioreshastamultiplicacionesporconstantesdelosvaloresdeentradaodeinstantes anterioresalmacenadosenmemoriaparaposteriormentesumarestosresultadosdela multiplicacinydarunasalida.Esdecir,operacionespropiasdeteorasistemaslineales: convoluciones enel dominio temporal (multiplicacin de el dominio delafrecuencia) con otras sealesprefijadasqueconsistenenunacadenadecoeficientes.Paradisearestosfiltrossuele usarseunimpulsoydesplazarlosucesivasvecesmultiplicadosporalgunaconstante,esdecir, usando la transformada z. Finalmente,siesnecesario,losresultadosdeestosclculos,queestnrepresentandovalores muestreados de la seal filtrada, son enviados a travs de un DCA (conversor digital- analgico) para devolver la seal a una forma analgica. Por tanto, en un filtrodigitalla seal esta siempre representada por una secuencia de nmeros, en vez que un voltaje o una corriente. UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERA ZONA VERACRUZ Copyright 2009 Universidad Veracruzana. Facultad de Ingeniera Veracruz. 5 El siguiente diagrama muestra el esquema bsico de uno de estos sistemas: Un filtro digital es un sistema que, dependiendo de las variaciones de las seales de entrada en el tiempoyamplitud,serealizaunprocesamientomatemticosobredichaseal;generalmente mediante el uso de la Transformada rpida de Fourier; obtenindose en la salida el resultado del procesamiento matemtico o la seal de salida. Losfiltros digitales tienen como entrada unasealanalgica o digitalyen su salida tienen otra sealanalgicaodigital,pudiendohabercambiadoenamplitud,frecuenciaofasedependiendo de las caractersticas del filtro digital. El filtrado digital es parte del procesado de seal digital. Se le da la denominacin de digital ms porsufuncionamientointernoqueporsudependenciadeltipodesealafiltrar,aspodramos llamar filtro digital tanto a un filtro que realiza el procesado de seales digitales como a otro que lo haga de seales analgicas. Comnmenteseusaparaatenuaroamplificaralgunasfrecuencias,porejemplosepuede implementar un sistema para controlar los tonos graves y agudos del audio del estreo del auto. La gran ventaja de los filtros digitales sobre los analgicos es que presentan una gran estabilidad de funcionamiento en el tiempo. El filtrado digital consiste en la realizacin interna de un procesado de datos de entrada. Engeneralelprocesodefiltradoconsisteenelmuestreodigitaldelasealdeentrada,el procesamiento considerando el valor actual de entrada y considerando las entradas anteriores. El ltimo paso es la reconstruccin de la seal de salida. En general la mecnica del procesamiento es: 1.Tomarlasmuestras actualesy algunasmuestras anteriores (que previamente habansido almacenadas) para multiplicadas por unos coeficientes definidos.2.Tambinsepodratomarvaloresdelasalidaeninstantespasadosymultiplicarlospor otros coeficientes.UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERA ZONA VERACRUZ Copyright 2009 Universidad Veracruzana. Facultad de Ingeniera Veracruz. 6 3.Finalmentetodoslosresultadosde todasestasmultiplicacionessonsumados,dandouna salida para el instante actual.El procesamiento interno y la entrada del filtro sern digitales, por lo que puede ser necesario una conversinanalgica-digitalodigital-analgicaparausodefiltrosdigitalesconseales analgicas. Un tema muy importante es considerar las limitaciones del filtro de entrada debido a Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon que en pocas palabras; si quiero procesar hasta unafrecuencia de 10KHz, debo muestrear a por lo menos 20 KHz. Losfiltrosdigitalesseusanfrecuentementeparatratamientodigitaldelaimagenopara tratamiento del sonido digital. Otro ejemplo comn de filtros digitales son los programas para retocar imgenes. VENTAJAS DE USAR FILTROS DIGITALES SOBRE LOS ANALGICOS. Tenemos principalmente las siguientes: 1.Unfiltrodigitalesprogramable,esdecir,sufuncionamientoestterminadoporun programa almacenado en la memoria contigua al procesador. Esto significa que puede ser variadofcilmentesinafectaralhardware,mientrasquelanicamaneradevariarun filtro analgico es alterando el circuito. 2.Losfiltrosdigitalespuedenserfcilmentediseados,probadoseimplementadosenun ordenador. Los analgicos pueden ser simulados, pero siempre hay que implementarlos a travsdecomponentesdiscretosparaversufuncionamientoreal. 3.Lascaractersticasdelosfiltrosanalgicos,particularmentelosquecontienen componentesactivos,estnsujetosaalteracionesydependendelatemperatura.Los filtrosdigitalesnosufrenestosproblemasysonextremadamenteestablesantefactores externos. 4.Adiferenciadelosfiltrosanalgicos,losdigitalespuedenmanejarconmuchaprecisin lasbajasfrecuencias.ComolatecnologadelosDSPvamejorando,elaumentodesu velocidadpermitequetambinseanaplicadosenelcampodelaradiofrecuencia(muy altasfrecuencias),lacualenelpasadoeraexclusivamentedominiodelatecnologa analgica. UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERA ZONA VERACRUZ Copyright 2009 Universidad Veracruzana. Facultad de Ingeniera Veracruz. 7 5.Los filtros digitales son mucho ms verstiles a la hora de manipular la seal, que pueden llegaravariarlaytratarlaradicalmentecambiandosuscaractersticas. 6.LosprocesadoresDSPmsrpidospuedenmanejarcombinacionescomplejasdefiltros en paralelo o en serie (en casada), haciendo los requerimientos de hardware relativamente simples y compactos en comparacin con la circuitera analgica equivalente.EXPRESIN GENERAL DE UN FILTRO. Hay muchas formas de representar un filtro. Por ejemplo, en funcin de w (frecuencia digital), en funcin dezyenfuncin de n (nmero demuestra). Todas son equivalentes, pero alahora de trabajar a veces conviene ms una u otra. Como regla general se suele dejar el trmino a0=1. Si se expresa en funcin de z y en forma de fraccin: Y en dominio de n: Loscoeficientessonlosaybysonlosquedefinenelfiltro,porlo tantoeldiseoconsisteen calcularlos. UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERA ZONA VERACRUZ Copyright 2009 Universidad Veracruzana. Facultad de Ingeniera Veracruz. 8 TIPOS DE FILTROSHay varios tipos de filtros as como distintas clasificaciones para estos filtros: yDe acuerdo con la parte del espectro que dejan pasar y que atenan hay:oFiltros pasa alto.oFiltros pasa bajo.oFiltros pasa banda.Banda eliminada.Multibanda.Pasa todo.Resonador.Oscilador.Filtro peine (Comb filter).Filtro ranura o filtro rechaza banda (Notch filter).yDe acuerdo con su orden:oprimer ordenosegundo ordenyDe acuerdo con el tipo de respuesta ante entrada unitaria:oFIR (Finite Impulse Response)oIIR (Infinite Impulse Response)oTIIR (Truncated Infinite Impulse Response)yDe acuerdo con la estructura con que se implementa:oLaticceoVarios en cascadaoVarios en paraleloCLASIFICACIN DE LOS FILTROS DIGITALES UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERA ZONA VERACRUZ Copyright 2009 Universidad Veracruzana. Facultad de Ingeniera Veracruz. 9 FILTROS RECURSIVOS Y NO RECURSIVOS Unfiltro no-recursivo es aquelcuya salida est calculada exclusivamente a partir de valores de entrada (Yn = Xn + Xn-1 + Xn-2...), mientras que uno recursivo es aquel que adems de los valores de entrada emplea valores previos de salida (Yn-1, Yn-2...), los cuales se almacenan en la memoria delprocesador.Lapalabrarecursivosignificaliteralmente"volverhaciaatrs"yserefiereal hecho de que valores de salida previamente calculados vuelven de nuevo para calcular los nuevos valores de salida. Explicndoloas,puedeparecerquelosfiltrosrecursivosrequierenmsclculosparaser ejecutados.Perolarealidadesqueunfiltrorecursivogeneralmenterequieremuchomenos coeficientes para que evale e procesador, es decir, que es de menor orden y es ms corto, que un filtro no-recursivo que persiga una caracterstica en frecuencia dada. Hay quien prefiere una terminologa alternativa, por lo que losfiltros no-recursivos se conocen como filtroFIR (Respuesta al ImpulsoFinita)ylosrecursivoscomo filtrosIIR (Respuesta al Impulso Infinita). Estostrminos serefierenalasdiferentesrespuestasalimpulsodeambostiposdefiltros.La respuestaalimpulsodeunfiltrodigitaleslasecuenciadesalidacuandoseaplicaunimpulso unidad a su entrada (un impulso unidad es muy simple, tan slo una secuencia consistente en un valor 1 en el instante de tiempo t=0, seguido de ceros para todas las muestras siguientes, lo que se llama tambin una Delta de Kronecker. Un filtro FIR es uno cuya respuesta es de una duracin finita. Uno IIR es aquel cuya respuesta al impulsotericamentecontinuaparasiempredebidoalarecursividadconvalorespreviosde salida que constantemente estn siendo devueltos ala entrada. Pero realmente el trmino IIR no es muy afortunado dado que casi todos los filtros IIR reducen virtualmente su salida a cero a un tiempodado,dehecho,antesquelosFIR.Detodasformasambosacrnimossonmuy coloquiales y de uso frecuente. UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERA ZONA VERACRUZ Copyright 2009 Universidad Veracruzana. Facultad de Ingeniera Veracruz. 10 FILTROS DIGITALES FIR FIResunacrnimoeninglsparaFiniteImpulseResponseoRespuestafinitaalimpulso.Se tratadeuntipodefiltrosdigitalesenelque,comosunombreindica,silaentradaesunaseal impulso, la salida tendr un nmero finito de trminos no nulos. Para obtener la salida slo se basan en entradas actuales y anteriores. Su expresin en el dominio n es: En la expresin anterior N es el orden del filtro, que tambin coincide con el nmero de trminos no nulos y con el nmero de coeficientes del filtro. Los coeficientes son bk. Lasalidatambinpuedeexpresarsecomolaconvolucindelasealdeentradax(n)conla respuesta impulsional h (n): Aplicando la transformada Z a la expresin anterior: La estructura bsica de un FIR es: UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERA ZONA VERACRUZ Copyright 2009 Universidad Veracruzana. Facultad de Ingeniera Veracruz. 11 Sepuedeverqueeslamismaentradaretardadacadavezmseneltiempo,multiplicadapor diversos coeficientes y finalmente sumada al final. Hay muchas variaciones de esta estructura. Si tenemos una respuesta de frecuencia como objetivo, conseguiremos que la respuesta del filtro se asemeje ms a ella cuanto ms largo sea o nmero de coeficientes tenga. Los filtros FIR son estables puesto que slo tienen polos, es decir, elementos en el numerador en su funcin de transferencia. VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE FILTROS FIR. yLos filtros FIR tienen una respuesta lineal en fase (no se introduce distorsin por fase en la seal).yLos filtros FIR que son realizados sin recursividad son siempre estables porque no tienen polos.yLos FIR requieren ms procesamiento y memoria.yLos filtros FIR no tienen equivalente analgico.yLos filtros FIR son ms difciles de sintetizar. ySe requiere un nmero de puntos N alto para aproximar filtros de transicin brusca.yEl retardo de fase puede no ser entero. UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERA ZONA VERACRUZ Copyright 2009 Universidad Veracruzana. Facultad de Ingeniera Veracruz. 12 METODOS DE DISEO DE FILTROS FIR FILTROS FIR SIMETRICOS Y ANTISIMETRICOS Caso simtricoCuando puede ser expresado como: Donde es una funcin real de w y puede ser expresada como ,Si M es par ,Si M es par La fase caracteristica del filtro para ambos casos de M es: ,Si Hr(w)0 ,Si Hr(w)0 Caso anti simtrico Cuando , entonces la respuesta al impulso unitario es antisimtrica. Para M impar, el punto central de h(n) es n=(M-1)/2. Consecuentemente, Sinembargo,cuandoMespar,cadatrminodeh(n)tienesuopuestoidntico.Peroconsigno contrario. Una manera diracta de representar la respuesta en frecuencia de un filtro FIR con una respuesta al impulso antisimtrica es expresndola como: UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERA ZONA VERACRUZ Copyright 2009 Universidad Veracruzana. Facultad de Ingeniera Veracruz. 13 Donde , si M es impar , Si M es par La fase caracteristica del filtro para ambos casos de M es: , si , si Estasfrmulasgeneralmentederespuestaenfrecuanciapuedenserusadasparadisearlafase lineal de filtros FIR con respuesta a impulso simtrica y antisimtrica. Escoger uan respuesta alimpulso unitario simtrica o antisimtrica depende dela aplicacin del filtro.El problema de disear un filtro FIR consiste en determinar los M coeficioentes de h(n) para una especificacin de una respuesta en frecuencia deseada. UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERA ZONA VERACRUZ Copyright 2009 Universidad Veracruzana. Facultad de Ingeniera Veracruz. 14 FILTROS FIR DE FASE LINEAL USANDO VENTANASLas ventanas ms utilizadas son vonHann, Hamming y Kaiser. A la hora de escoger la ventana adecuada tendremos un cuenta dos criterios principales de diseo: 1.-AsegurarsequeelparmetroPSdelaventanaestporencimadelaatenuacinAs especificadaparalaparabandadelfiltro.Comomuchopuedeestarunos8dBporencima.Es decir Ps As-8. 2.- Una transicin ms ancha permite utilizar un filtro de menor orden, pero a costa de una menor atenuacin en los lbulos. DISEO DE FILTROS FIR CON VENTANASO POR ENVENTANADOEsta mtodo se basa en obtener la hd[n] a la longitud escogida para el filtro FIR, ya se tendria el diseoconcluidosinofueraporlosobreimpulsosyrizadosqueaparecenenlarespuesta frecuencial como consecuencia del truncamiento o fenomeno de Gibbs. Estos rizados pueden reducirse seleccionando adecuadamente la ventana con la que se efecte el truncamiento de hd[n]. asi como en la DFT la seleccin de la ventana era un compromiso entre la resolucinfrecuencialylafiabilidad delasamlitudes dela transformada, en el diseo defiltros FIR es un compromiso entre el rizadop eadidi a la respuesta frecuencial deseada y la pendiente del filtro ElmtododediseodefiltrosFIRporenventanadocomienzasuponiendoquetenemosuna expresin de la respuesta al impulso del filtro ptimo. Por ejemplo, la respuesta al impulso de un filtro paso bajo ideal se puede escribir como: Como sabemos, sta es una respuesta alimpulsoinfinita que esirrealizable en un tiempofinito. Parapoderrealizarunfiltroparecidoaldefinidoporestarespuestaalimpulsoempleamosuna aproximacin desplazada y truncada de la misma: UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERA ZONA VERACRUZ Copyright 2009 Universidad Veracruzana. Facultad de Ingeniera Veracruz. 15 Donde L eslalongitud dela respuesta alimpulso que empleamos (habitualmenteimpar)yM = (L-1)/2 es el desplazamiento de la respuesta al impulso. Estaformadetruncarlarespuestaalimpulsosepuedeinterpretarcomolamultiplicacindela respuestaalimpulsodesplazadaporunaventanarectangulardelongitudL.Estanoeslamejor aproximacin al filtro ideal. Los cambios abruptos (de 1 a 0 y de 0 a 1) en la ventana rectangular setraducenenunespectrodelaventanaconlbulossecundariosgrandes.Estoslbulos secundarios grandes se transformarn en oscilaciones importantes en el filtro aproximado. Para tratar de reducir dichas oscilaciones,lo habitual es emplear un tipo de ventana que suavice lastransicionesentre0y1yentre1y0.Existencuatroventanascosenoidalesqueseemplean muy frecuentemente y que quedan definidas mediante estas frmulas: Bartlett (funcin en MATLAB: bartlett): Hanning (funcin en MATLAB: hanning): Hamming (funcin en MATLAB: hamming): Blackman (funcin en MATLAB: blackman): UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERA ZONA VERACRUZ Copyright 2009 Universidad Veracruzana. Facultad de Ingeniera Veracruz. 16 Existe otra ventana mucho ms flexible, porque tiene un parmetro () que controla el grado de suavidad de las transiciones, y por tanto el compromiso entre la anchura del lbulo principal y la alturadeloslbulossecundarios.EstaotraventanaeslaventanadeKaiser(funcinde MATLAB: kaiser), y queda definida por la siguiente frmula: EntodasestasdefinicionesdeventanasLeslalongituddelaventanaqueempleamos (habitualmente impar) y M = (L-1)/2. Kaiserderivunafrmulaempricaparacalcularelvalordenecesarioparaconseguirun cierto valor de tolerancia () en la banda de paso y en la banda de corte (al emplear el mtodo de diseo de enventanado esta tolerancia es siempre la misma en ambas bandas): Donde A = -20log10. Latoleranciaeslamximadesviacinenlabandadefrecuenciasentreelvalorrealdela respuestaenamplitud(enunidadeslineales)ylarespuestaenamplituddeseadaenesabanda (tambin en unidades lineales). Kaisertambinobtuvoelvalormnimodeltamaodelaventananecesarioparaobteneruna banda de transicin inferior a un cierto valor Donde es la anchura de la banda de transicin. Cada ventava tiene sus propias ventajas e inconvenientes (ancho de banda y amplitud del lbulo principaldesutransformadadefourier,facilidaddecalcular,etc.)porloquenoexiste,una UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERA ZONA VERACRUZ Copyright 2009 Universidad Veracruzana. Facultad de Ingeniera Veracruz. 17 ventanamejorqlasdems.Encadacasoconcretohabrdeprobarentrecadaventanapara encontrarlamsidnea.Enlatablasiguientesemuestranaspectoscomparativosentrealgunas ventanas Tipo de ventana Bamda de transicin normalizasa (Hz) Rizado de la banda de paso (dB) Atenuacin del lbulo secundario (dB) Rectangular0.9/M0.741613 De Hanning3.1/M0.054631 De Hamming3.3/M0.001757 De Blackman5.5/M0.0275 De kaiser2.93/M ( =4.454)0.0275 5.71/M ( =8.96)0.000275 Comopuedecomprobarseunaumentoenlabandadetransicinsetraduceenunadisminucin del rizo del filtro y viceversa. DISEO DE FILTROS FIR A TRAVS DE LA FRECUENCIA DE MUESTREO Un diseo alterno de filtros FIR es basado en el uso de la IDFT de un filtro normal. Diferentealatcnicadelventaneo,estatcnicapuededisearunfiltroconunarespuestaen frecuenciaarbitraria,nosolopasabajos,pasaaltos,etc.Larespuestadelfiltrodeseadaes especificadaenNpuntosigualmenteespaciadosenelintervalode[02].Estoconstituyeel espectro de magnitud: w kN k n Un trmino de fase es agregado para asegurar una fase lineal: ()= j( 1)/2 para obtener los coeficientes de la DFT del filtro deseado Hdes[k]

K kN e k N La DFT inversa del filtro es tomada para obtener la respuesta al impulso del filtro deseado, h[n]. UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERA ZONA VERACRUZ Copyright 2009 Universidad Veracruzana. Facultad de Ingeniera Veracruz. 18 FILTRO DIGITAL IIR. Infinite Impulse Response (Respuesta al Impulso Infinita) Es un tipo de filtro digital que si su entrada es un impulso (una delta de Kronecker) la salida ser unnmeroilimitadodetrminosnonulos,esdecir,quenuncavolveraunestadodereposo. Para obtener la salida se emplean valores de la entrada actual y las anteriores y, adems, valores desalidaanterioresquesonalmacenadosenmemoriayrealimentadosalaentrada.Tambinse llaman filtros digitales recursivos. Su expresin en el dominio discreto es: El orden del filtro est dado por el mximo entre P y Q. Una de las posibles estructuras para un filtro IIR es la siguiente: Sepuedevercmolasaliday(k)esintroducidadenuevoenelsistema.LatransformadaZdel mismo es: UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERA ZONA VERACRUZ Copyright 2009 Universidad Veracruzana. Facultad de Ingeniera Veracruz. 19 Vemosqueahoratenemosundenominador,esdecir,cerosademsdepolos,quesonlos causantes de las posibles inestabilidades que pueden comprometer la estabilidad y causalidad del sistema. Lasventajas delosfiltros IIR respecto alos FIRes que pueden conseguir unamisma respuesta empleando un nmero de coeficientes en el filtro mucho menor, requiriendo un menor tiempo de clculo.Elinconvenientees,ademsdelainestabilidadyacomentada,laintroduccinde desfasesenlaseal,quepuedensercompensadosperoacostadeaadirmscoeficientesal filtro. TIPOS DE FILTROS IIR FiltrosButterworth:Maximizaunaamplitudplanaenlabandadepaso(e=0.7041).Nose restringelarespuestaenfaseoelretrasoengrupo,sinembargoelretrasoengrupoes razonablementeconstanteenlamayorpartedelabandadepaso.Eselfiltromssimple,esto dado a su configuracin polo/cero directa de la funcin de transferencia en el plano s, pero es el querequieredemayororden.Todoslospolosestnsobreuncrculocentradoenelorigendel plano s y todos los ceros estn en el infinito, por eso los filtros Butterworth son filtros todo polo. Lamagnitud delosfiltros Butterworth decrecemonotonicamente amedida quelafrecuenciase incrementa. La respuesta en fase se aproxima a -Np/2 para frecuencias altas. Filtros Chebyshev: El filtro Chebyshev tiene la banda de transicin ms pequea, el Chebyshev I maximiza la pendiente fuera de la banda de paso, tiene rizo en la banda de paso y es monoltico fuera de ella. El Chebyshev II tiene una respuesta monoltica en la banda de paso y rizo en la de rechazo. DadalacomplejidadparaelcalculodelospolinomiosdeChebyshevserecomiendaelusode tablas.SideseapartirdeunButterworth,seconservalaparteimaginariadelospolosysolose calcula la real (pasar del crculo a la elipse). FiltroElptico:EsunacombinacindelChebyshevIyII,maximizaelanchodelabandade transicin.Permiterizoenlabandadepasoyunaatenuacinmnimaenlarechazo. Analticamente es ms complicado, pero es el que requiere el menor orden. FiltroBessel:Maximizaunarespuestaenfaselineal(implicaunretrasoengrupoconstante). TieneunamenoratenuacinenlabandaderechazoqueunfiltroButterworthdeigualordeny ancho de banda. Estos filtros conservan la forma de onda. UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERA ZONA VERACRUZ Copyright 2009 Universidad Veracruzana. Facultad de Ingeniera Veracruz. 20 Veremos dos variaciones de este tipo de filtros: AR y ARMA Filtros AR (Autoregresivo) yLa ecuacin diferencia que describe un filtro AR es: Lo que da lugar a una funcin de transferencia yLa funcin de transferencia contiene solo polos.yEl filtro es recursivo ya que la salida depende no solo de la entrada actual sino adems de valores pasados de la salida (Filtros con retroalimentacin).yEltrminoautoregresivotieneunsentidoestadsticoenquelasaliday[n]tieneuna regresin hacia sus valores pasados.yLa respuesta al impulso es normalmente de duracin infinita, de ah su nombre.Filtros ARMA (Autoregresivo y Media en Movimiento) yEselfiltromsgeneralyesunacombinacindelosfiltrosMAyARdescritos anteriormente. La ecuacin diferencia que describe un filtro ARMA de orden N es Y la funcin de transferencia yUn filtro de este tipo se denota por ARMA(N,M), es decir es autoregresivo de orden N y Media en Movimiento de orden M.ySu respuesta a impulso es tambin de duracin infinita y por tanto es un filtro del tipo IIR. UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERA ZONA VERACRUZ Copyright 2009 Universidad Veracruzana. Facultad de Ingeniera Veracruz. 21 DISEO DE FILTROS IIR. El proceso de diseo de un filtro digital requiere de los siguientes pasos yEstablecerlasespecificacionesdelfiltroparaunasdeterminadasprestaciones.Estas especificaciones son las mismas que las requeridas por un filtro analgico: frecuencias de rechazabanda y pasabanda, atenuaciones, ganancia dc, etc.yDeterminar la funcin de transferencia que cumpla las especificaciones.yRealizar la funcin de transferencia en hardware o software.yLos filtros IIR producen en general distorsin de fase, es decir la fase no es lineal con la frecuencia.yElordendeunfiltroIIResmuchomenorqueeldeunfiltroFIRparaunamisma aplicacin. Las formas habituales de disear este tipo de filtros son: yIndirecta (a partir de prototipos analgicos)oImpulso invarianteoAproximacin de derivadasoTransformacin bilinealyDirectaoAproximacin de PadoAproximacin de mnimos cuadradosEn el diseo se presenta una similitud con los analgicos Proceso: Especificaciones filtro digital Especificaciones filtro analgico Funcin de transferencia analgica h(s) Funcin de sistema h(z) UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERA ZONA VERACRUZ Copyright 2009 Universidad Veracruzana. Facultad de Ingeniera Veracruz. 22 APROXIMACIN AL DISEO DE FILTROS ANALGICOSLaformaclsicadedisearunfiltrodiscretoIIRconsisteentransformarunfiltroanalgicoen unodigitalquecumplalasespecificacionesprescritas,porloqueharemosunrepasogeneral sobre el diseo de filtros analgicos.Se trata de determinar la H(s) de un sistema LIT cuya correspondiente respuesta frecuencial caiga dentrodelmargendetoleranciasespecificado.Estoconstituyeunproblemadeaproximacin funcional,porloqueveremosacontinuacindistintostiposdeaproximacin: APROXIMACINBUTTEWORTH Lo ms simplesera considerar:|H(jS)|2 = k/P(S2)La aproximacin de Butterworth consiste en: Siendo N en orden del filtro, Sc la frecuencia de corte del filtro, (que representa una atenuacin de 3dB). Se define el filtro Butterworth normalizado como: The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then openthe file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears,you may have to delete the image and then insert it again.The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have beencorrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERA ZONA VERACRUZ Copyright 2009 Universidad Veracruzana. Facultad de Ingeniera Veracruz. 23 Caractersticas:* Esta aproximacin es la que presenta una respuesta mas plana en S=0. ( Para un filtro de orden N, las 2N-1 primeras derivadas de |H(jS)|son nulas en S =0.* Para altas frecuencias presenta una pendiente asinttica de -20N dB/dcada.* En general, la ganancia es montona decreciente con S. El diseo analgico se realiza a partir de unas especificaciones como las dadas en la figura.1 es el rizado de pasabanda.2 es el rizado de parabandafp es la frecuencia lmite de pasabanda.fs es la frecuencia lmite de parabanda. A partir de 1 (en v=1) y 2 (en v=vs), podemos calcular los valores de y n. log log The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer,and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again. UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERA ZONA VERACRUZ Copyright 2009 Universidad Veracruzana. Facultad de Ingeniera Veracruz. 24 APROXIMACIN DE CHEBYSHEVPresenta las siguientes caractersticas:*GananciaenpasobandamasbalanceadaquelaButterworth.*Lagananciaenpasobandaoscilaconrizado*constante.*La ganancia en rechazo de banda decrece montonamente y es similar a la Butterworth.* La aproximacin es:

Controla la amplitud del rizado en paso banda.k: Controla el nivel de ganancia.TN(S): Polinomio de Chebyshev de 10 clase y orden N definido por:TN(S)=cos(Ncos-1S),|S|=1 PROPIEDADES DE LOS POLINOMIOS DE CHEBYSHEV: 1) TN(0) =(-1)N/2 si N es par,0 si N es impar 2) TN(1) = 1N 3) T N(-1) = 1 si N es par, -1 si N es impar 4) TN (S) oscila con rizado constante entre +1 y -1 para |S|