Macroeconoma: Enfoques y Modelos Flix Jimnez/Profesor Principal de la PUCP

MACROECONOMIA: ENFOQUES Y MODELOS

Ejercicios resueltosPhD. Flix Jimnez[footnoteRef:1] [1: El autor agradece a Alexander Quispe por su excelente trabajo en la edicin de este texto.]

Con la asistencia de Jefferson Martnez

I. INTRODUCCIN A LA TEORA MACROECONMICA

1. Conceptos previos de PBI y PNB

a. Producto Bruto Interno (PBI)

El producto bruto interno se define como el valor de mercado de los bienes y servicios finales producidos en un pas en un periodo de tiempo determinado.

b. Producto Nacional Bruto (PNB)

El producto nacional bruto (PNB) es el valor total del ingreso percibido por los residentes de un pas en un perodo dado. De esta manera, el producto nacional bruto (PNB) es la suma del producto bruto interno (PBI) y la renta neta de factores (RNF).

c. Cul es la diferencia entre el PBI y el PNB?

La diferencia entre elPBI y PNB procede de la medicin de la produccin que hacen ambos: mientras que el PBI cuantifica la produccin total llevada a cabo en un pas, independientemente de la residencia del factor productivo que la genera; en el PNB, por el contrario, solo se incluyen los productos o servicios obtenidos por factores productivos residentes en el pas de medicin. A partir de esto, la diferencia entre el PBI y el PNB es la renta neta de factores RNF.

2. Mtodos de medicin del PBI

Existen tres distintos mtodos para la medicin del Producto Bruto Interno.a. Mtodo de Medicin a travs de la Produccin

Por el mtodo de la produccin, el PBI se entiende como la agregacin de los aportes a la produccin total de todos los agentes productores del sistema econmico. Para hacer posible la medicin, los agentes econmicos se clasifican en diferentes categoras homogneas; que permite establecer diferentes grados y niveles de desagregacin.

Uno de los niveles ms agregados en que se ordenan las actividades econmicas es el siguiente:

Agricultura, Ganadera, Caza y SilviculturaPescaExplotacin de Minas y CanterasManufacturaProduccin y Distribucin de Electricidad y AguaConstruccinComercioTransportes y ComunicacionesProductores de Servicios GubernamentalesOtros Servicios.

El aporte de cada unidad productiva o sector de produccin est constituido por el valor aadido en el proceso de produccin al valor de los productos ya existentes en el sistema econmico. Por ejemplo, la fabricacin de zapatos implica la utilizacin de bienes (materias primas) como cuero, clavos, hilo, entre otros; y servicios como telfono, luz, transporte, etc. En el proceso de transformacin de estos bienes y servicios en otro producto final (zapatos), se aade valor (valor agregado) mediante el uso de factores de produccin.

b. Mtodo de Medicin a travs del Gasto

De acuerdo a este segundo mtodo, todos los bienes que una economa produce se gastan. Incluso si no se vende un producto y se guarda para venderlo despus, esta corresponder a una forma de gasto involuntario en que incurren las empresas en forma de acumulacin de inventarios.Asimismo si una empresa no puede vender sus productos y estos se destruyen (por ejemplo, bienes agrcolas) la empresa ha realizado un gasto.De acuerdo al agente econmico que realiza el gasto (hogares, empresas, gobierno o extranjeros) y la naturaleza de este gasto, el PBI por el lado del gasto se puede escribir como:

Donde Y es PBI, C es consumo, I inversin, G gasto de gobierno y XN exportaciones netas de importaciones (exportaciones, X, menos importaciones, M).

c. Mtodo de Medicin a travs del Ingreso

El tercer mtodo para cuantificar el PBI parte de los ingresos recibidos por todos los agentes econmicos en forma de retribucin por su participacin dentro del proceso productivo de los bienes y servicios.

Los componentes del clculo del valor agregado son los siguientes:

Remuneraciones de los asalariados (R)

Comprende todos los pagos en efectivo o en especie, efectuados por los empleadores en contrapartida por el trabajo desarrollado por sus empleados durante un perodo de tiempo determinado. En otras palabras, son los sueldos y salarios antes de su deduccin. Por tal motivo, incluye las contribuciones a la seguridad social a cargo de los empleadores, las contribuciones reales o imputadas de los empleadores a los regmenes privados de pensiones.

Consumo de Capital Fijo (CKF)

Representa el valor al costo corriente de reposicin de los activos fijos reproducibles tales como maquinaria, instalaciones y equipos consumidos durante un perodo productivo como resultado de su desgaste normal, y se constituye por las reservas que hacen los productores por este concepto.

Impuestos a la produccin e importacin (Ipm)

Considera el aporte que corresponde al Estado en el valor agregado generado en el proceso de produccin cuando se evala a precios de mercado.

Excedente de Explotacin (EE)

Es la retribucin al riesgo empresarial (ganancias y prdidas empresariales), derivadas de la actividad productiva de la unidad econmica. Comprende, tanto las utilidades de las empresas constituidas en sociedad como el ingreso de los trabajadores independientes o ingresos empresariales de las empresas no constituidas en sociedad. En trminos de ecuacin, se define como:

3. Contabilidad de la Balanza de Pagos

a. Cules son las dos cuentas que conforman la Balanza de Pagos y cules son los principales componentes de cada una de estas cuentas?

Cuenta Corriente (CC)

Es la cuenta de la Balanza de Pagos (BP) que agrupa las transacciones por conceptos de bienes, servicios, renta y transferencias corrientes que realiza un pas con el resto del mundo. Su valor o resultado es la suma del saldo registrado en las balanzas comercial, de servicios, renta y transferencias unilaterales. A su vez, la cuenta corriente se subdivide en cuatro cuentas: comercial (bienes), servicios, rentas y transferencias.

Balanza Comercial (BC)

Es una subcuenta de la Cuenta Corriente que permite establecer la comparacin del valor de las importaciones y exportaciones de mercancas de un pas en un determinado perodo de tiempo, generalmente un ao. Debido a que la balanza comercial no engloba todas las operaciones con el exterior (servicios, crditos, etc.) la simple observacin de esa balanza no permite llegar a ninguna conclusin sobre la situacin econmica exterior de un pas; sin embargo puede ser tomado como referencia.

Balanza de Servicios (BS)

Es la cuenta de la BP que permite establecer la comparacin del valor al cual ascienden, por un lado, los servicios prestados al extranjero y, por el otro, los servicios recibidos del exterior durante un perodo (generalmente un ao). Comprende principalmente: turismo y viajes, transportes, comunicaciones, construccin, seguros, servicios financieros, culturales y recreativos, prestados a las empresas, personales, gubernamentales, etc.

Renta de factores (RF)

De acuerdo con el Glosario de Trminos del BCRP, la Renta de Factores es la cuenta de la Balanza de Pagos que registra el valor de los ingresos y egresos de la renta relacionada con los activos y pasivos financieros de la economa residente frente a no residentes. De este modo, el rubro incluye las utilidades y dividendos (renta de la inversin directa y de cartera) y los intereses (renta de los prstamos de largo y corto plazo, de los bonos, de los activos de corto plazo y de los activos de reserva).

Transferencias corrientes (TrC)

Incluye las remesas de emigrantes, los impuestos, las prestaciones y cotizaciones a la seguridad social, donaciones destinadas a la adquisicin de bienes de consumo, retribuciones a personal que presta servicios en el exterior en programas de ayuda, pensiones alimenticias, herencias, etc.

Cuenta Financiera

Es la cuenta de la BP que refleja los flujos de ingresos y egresos por concepto de inversiones extranjeras directas, cartera o portafolio y otras transacciones financieras como prstamos, depsitos y crditos comerciales.

Posicin financiera del Sector Privado

Toma en consideracin la posicin neta entre activos y pasivos repartidos entre inversin extranjera directa, inversin en cartera y prstamos de largo plazo.

Posicin financiera del Sector Pblico

Registra los desembolsos y la amortizacin de la deuda pblica externa y la variacin de otros activos externos netos de largo plazo.

Capitales de corto plazo

De acuerdo con el Glosario de Trminos del BCRP es el Rubro de la balanza de pagos que registra los flujos (excluyendo al BCRP) de activos y pasivos de corto plazo de las entidades financieras, de las empresas no financieras (pblicas y privadas) y de las unidades familiares residentes. Los flujos de activos comprenden principalmente los depsitos en divisas de las entidades financieras y los depsitos en el exterior de las empresas no financieras y de las unidades familiares. Los flujos de pasivos comprenden el endeudamiento externo por comercio exterior y capital de trabajo. Por corto plazo se entiende un plazo igual o menor a un ao.

Financiamiento excepcional

En este rubro se registran bsicamente transacciones correspondientes al sector pblico. Actualmente comprende los conceptos de la amortizacin y los intereses no atendidos condonaciones de la deuda.

Errores y omisiones netos

Es una cuenta residual que permite preservar el principio de la partida doble en la balanza de pagos.

b. Si la variacin de las Reservas Internacionales Netas (RIN) no estuvieran incluidas en la Cuenta Financiera y de Capitales, Cul sera la composicin de la Balanza de Pagos?

El saldo o resultado de la Balanza de Pagos puede variar dependiendo de si se incluye la variacin de las RIN. En tal sentido, si se incluye la variacin de las RIN dentro de la Cuenta Financiera y de Capitales se tendra como consecuencia que el resultado de la balanza de pagos es igual a cero. Es decir, que en este caso: .

Si, por el contrario, se excluye las variaciones de las RIN de la Cuenta Financiera y de Capitales, el saldo de la balanza de pagos ya no sera cero, sino que podra tomar un valor positivo o negativo dependiendo de la posicin neta del pas. Si este saldo resulta positivo, ello implica que, en neto, han ingresado capitales (dlares) y por tanto se han incrementado las RIN. Si el resultado de la BP es negativo, ocurre todo lo opuesto: en neto habran salido capitales y, por tanto, se habran reducido las RIN.

c. A partir de la informacin del cuadro N 1:

Halle la Cuenta Corriente y sus principales componentes para el ao 2014.

Balanza Comercial (BC)

Cuadro N 1: Balanza de Pagos de Per para el periodo 2012-2014(US$ Millones)

Fuente: BCRP

Balanza de Servicios (BS)

Renta de factores

Entonces, el valor de la Cuenta Corriente para el ao 2013 sera:

Halle la Cuenta financiera y de capitales.

Halle el flujo de reservas netas[footnoteRef:2]. [2: Esto viene de la siguiente identidad: ]

Analice, haciendo los clculos respectivos, el caso de una cuenta financiera que incluye la variacin de RIN y el caso de una Cuenta financiera que la excluye.

En las preguntas anteriores se ha considerado el caso de una Cuenta Financiera que excluye la variacin de las RIN. El otro caso, que s las incluye, sera:

De esta manera, se puede apreciar que en este ltimo caso se cumple que:

O de manera anloga:

Considerando la informacin del cuadro N 2, se pide graficar:

La evolucin de los principales componentes de la Cuenta Corriente.

La evolucin de la Cuenta Corriente, Cuenta Financiera y Variacin de RIN.

Macroeconoma: Enfoques y Modelos Flix Jimnez/Profesor Principal de la PUCP

6

Cuadro N 2: Balanza de Pagos 1995-2014(US$ Millones)

4. Ahorro e Inversin

a. En el cuadro N 3 se muestra informacin sobre la economa peruana para el ao 2014 (en miles de millones de dlares).

Cuadro N 3: Indicadores Macroeconmicos del Per, 2014(US$ Miles de Millones)

Fuente: BCRP

Hallar los tres tipos de ahorro (privado, pblico y externo). Qu valor tomara la inversin?

En el ao 2014 hubo inversiones extranjeras en el pas por 20 mil millones de dlares y se produjo una salida de capitales de corto plazo equivalente a 3.5 mil millones de dlares. Se pide calcular la variacin de las RIN.

b. Considerando la informacin de la cuadro N 4:

Cuadro N 4: Componentes del PBI y la Balanza de PagosPer (Millones S/. 2007)

Fuente: BCRPSe pide calcular:

El PBI por sectores.

La inversin bruta interna.

Primero calculamos la inversin fija en cada ao:

Ahora calculamos la inversin bruta interna:

La demanda interna.

El PBI por el lado del gasto.

El PNB.

El ingreso nacional bruto y el ingreso nacional disponible.

La absorcin.

El impuesto.

El ahorro privado.

El ahorro externo.

El ahorro nacional y el ahorro total.

c. Complete los cuadros de oferta y demanda global (cuadro N 5) y los flujos macroeconmicos para el Per en el 2014 (cuadro N6).

Cuadro N 5: Oferta y Demanda Global(Millones de nuevos soles de 2007)

Fuente: BCRP

Cuadro N 6: Flujos Macroeconmicos, 2014(% PBI)

Fuente: BCRP

5. Ciclo y tendencia

Toda serie macroeconmica contiene informacin de largo y corto plazo. En este sentido, responda:

a. Qu es la tendencia de una serie macroeconmica y qu rama de la teora econmica se encarga de estudiarla?

La tendencia de una serie macroeconmica es el componente que expresa los procesos de largo plazo que afectan a la serie. La rama de la economa que estudia dichos procesos de largo plazo es la Teora del Crecimiento Econmico.

b. Qu es el ciclo econmico de una serie macroeconmica y qu rama de la teora econmica se encarga de estudiarla?

El ciclo de una serie macroeconmica es el componente que expresa los procesos de corto plazo que afectan al PBI. La rama de la economa que estudia dichos procesos de corto plazo es la Macroeconoma de las Fluctuaciones.

c. Cules son los elementos del ciclo?

En el grfico a continuacin se muestran los elementos que componen un ciclo econmico estndar.

Fuente: Berumen (2012)[footnoteRef:3] [3: Berumen, Sergio. Lecciones de economa para no economistas, ESIC Editorial, 2012.]

d. En qu consiste el filtro moving-average simple? Aplique dicho filtro a las series del PBI real de los pases de Amrica Latina para el periodo 1950-2014 y muestre grficamente los resultados. Las series deben ser extradas a travs del siguiente link:https://www.conference-board.org/data/economydatabase/

El filtro moving average se obtiene a partir de la siguiente frmula:

Ciclo conformado por un nmero de aos par:

Ciclo conformado por un nmero de aos impar:

Con este mtodo es posible extraer la tendencia de una serie macroeconmica. Finalmente, la diferencia entre dicha serie y el componente tendencial capturara los movimientos cclicos de la serie. Cabe resaltar que antes de iniciar el procedimiento se necesita transformar la serie a logaritmos.

Grficamente tenemos las tendencias de cada PBI:

Figura 1: PBI potencial de pases de Amrica Latina usando el Moving Average. Periodo 1950-2014 1/

1/ Las series se encuentran en logaritmos.Fuente: Conference BoardElaboracin propia

Luego, tenemos el ciclo econmico de cada pas a travs del mtodo Moving-Average.

Figura 2: Ciclo econmico de pases de Amrica Latina usando el Moving Average. Periodo 1950-2014 1/

1/ Las series se encuentran en logaritmos.Fuente: Conference BoardElaboracin propia

e. Para qu se utiliza el filtro Hodrick-Prescott? En qu consiste esta metodologa?

El filtro de Hodrick-Prescott es un mtodo de suavizacin que se utiliza ampliamente entre los macroeconomistas para obtener una estimacin del componente tendencial de una serie. El mtodo fue utilizado por primera vez en un documento de trabajo (distribuido a principios de 1980 y publicado en 1997) por Hodrick y Prescott para analizar los ciclos econmicos de Estados Unidos de la posguerra.

Tcnicamente, el filtro de Hodrick-Prescott (HP) es un filtro lineal que calcula las series y suavizadas al minimizar la varianza respecto del componente tendencial Es decir, se escoge aquella tendencia que minimiza la siguiente expresin:

El parmetro se interpreta como un parmetro que tiende a suavizar la tendencia que se obtenga (cuando la serie se representa como una tendencia lineal). Los valores del parmetro lambda tienen la siguiente tipologa segn la frecuencia de la data:

Cdigo en E-Views para obtener la descomposicin del ciclo y la tendencia:

Se convierte la serie a logaritmos para poder aplicar el siguiente cdigo:

hpf(options) nombre_serie nombre_tendencia [@ nombre_ciclo]

A partir de dicho cdigo se puede extraer el componente tendencial de una serie. En el espacio de opciones se debe determinar el valor de lambda que se quiere segn la frecuencia de los datos que se maneja, por ejemplo:

hpf(lambda=100) nombre_serie nombre_tendencia [@ nombre_ciclo]

En el espacio de nombre_serie se debe poner el nombre de la serie a la cual se le aplicar el filtro, en el espacio de nombre_tendencia se agrega el nombre que se quiere poner a la tendencia que obtenga el filtro. Finalmente, se puede obtener la serie del ciclo (que es la diferencia entre la serie original y la tendencia) especificndose el nombre:

hpf(lambda=100) pbi_peru pbi_tr_peru [@ pbi_cy_peru]

Para el presente ejemplo, se utiliza la serie de PBI real del Per con ao base 1990 e incorporando como informacin la duracin promedia del ciclo econmico en el Per (la duracin promedio fue de ocho aos) se escoge un lambda igual a 32.

Grficamente:

Figura 3: Tendencia del PBI de pases de Amrica Latina usando el Filtro Hodrick-Prescott. Periodo 1950-2014 1/

1/ Las series se encuentran en logaritmos.Fuente: Conference BoardElaboracin propia

Luego, obtenemos tambin el ciclo econmico a travs del filtro Hodrick-Prescott:

Figura 4: Ciclo econmico de pases de Amrica Latina usando el filtro Hodrick-Prescott. Periodo 1950-2014 1/

1/ Las series se encuentran en logaritmos.Fuente: Conference BoardElaboracin propia

f. Utilice las series del Banco Central de las variables macroeconmicas de consumo privado, consumo pblico, inversin privada, exportaciones e importaciones para y PBI de 1950 a 2014 y las series del Conference board de empleo y productividad del trabajo desde 1950 a 2014 para Per y realice el filtro HP para determinar si las variables mencionadas son procclicas, contracclicas o acclicas.

Consumo privado

El consumo privado es altamente procclico.

Consumo Pblico

El consumo pblico es procclico pero menos procclico que el consumo privado.

Inversin Bruta Fija

La inversin bruta fija privada es procclica pero ms voltil que el consumo.

Exportaciones

Las exportaciones son procclicas a partir de los 90s.

Importaciones

Las importaciones son procclicas y ms voltil que el consumo.

Empleo

Segn datos de la Conference Board el empleo (medido como millones de personas empleadas es acclica.

Productividad del empleo

Segn datos de la Conference board la productividad del trabajo de personas empleadas es altamente procclico.

Importaciones e inversin bruta fija

Las importaciones y la inversin bruta fija privada son igual de voltiles para todo el perodo.

6. Desempleo

a. Poblacin en Edad de Trabajar (PET)

Poblacin en Edad de Trabajar (PET) es aquella que al encontrarse en edad productiva es potencialmente demandante de empleo (poblacin de 14 y ms aos de edad).

b. Poblacin Econmicamente Activa (PEA)

Personas en edad de trabajar que en la semana de referencia se encontraban trabajando (ocupados) o buscando activamente trabajo (desocupados). Estan aptas en cuanto a edad para el ejercicio de funciones productivas. (Per, rango de edad va de 14 a 65 aos).

c. Poblacin Inactiva

Son todas las personas que pertenecen a la poblacin en edad de trabajar que en la semana de referencia no han trabajado ni buscado trabajo y no desean trabajar (amas de casa, estudiantes, rentistas y jubilados)

d. PEA Ocupada

PEA que trabaja en una actividad econmica, sea o no en forma remunerada en el periodo de referencia.

e. PEA Subempleada

Trabajadores cuya ocupacin no es adecuada cuantitativa y cualitativamente, respecto a determinadas normas. En el caso del Per se considera dos grupos de subempleo, por horas y por ingresos.

En Lima Metropolitana existen 7 millones 162 mil 400 personas que tienen edad para desempear una actividad econmica (PET). De este total, el 69,6% (4 millones 984 mil 600) integran la Poblacin Econmicamente Activa (PEA) y el restante 30,4% (2 millones 177 mil 900) la Poblacin Econmicamente Inactiva (PEI), que agrupa a las personas que no participan en la actividad econmica ni como ocupados ni desocupados.

7. Breve Repaso e Historia de las Corrientes Macroeconmicas

Cuadro N 7: Principales Corrientes Macroeconmicas

PerodosCorrientesAutoresAportes a la teora econmica

1665-1776Precursores de la macroeconomaW. Petty (1665)Estudio de los fenmenos sistemticos o regulares para entender el comportamiento del sistema econmico en su conjunto.

R. Cantillon (1755)Ensayo sobre la naturaleza del comercio en general.

1776-1870ClsicosAdam Smith(1776)Investigaciones sobre la naturaleza y causa de la Riqueza de las naciones

David Ricardo(1817)Teora de la Distribucin. Principios de Economa Poltica y Tributacin.

1870-1914NeoclsicosWalras (1874)Teora del bienestar social

Wicksell (1901)Teora de la Productividad Marginal

1914-1929Primera Guerra Mundial, hiperinflacin y Gran Depresin

1929-1939Keynes y Sntesis NeoclsicaJ. M. Keynes(1936)La Teora General de la ocupacin, el inters y el dinero.

J. Hicks (1937)Modelo IS-LM

R. Harrod(1939)Ensayo de la Teora Dinmica

1939-1945Segunda Guerra mundial

1946-1973Keynesianos, neoclsicos y Sistema de Bretton WoodsE. Domar(1946)Teora de la tasa de expansin del capital en el crecimiento y empleo

Modigliani(1944)Teora del inters y el dinero.

R. Solow(1956)Una contribucin a la teora del crecimiento econmico

W. Phillips(1958)La relacin entre desempleo y la tasa de variacin de los salarios.

Friedman(1968)El rol de la Poltica Monetaria

1971-1973Crisis de Bretton Woods. Inconvertibilidad del dlar en oro.

1973-1980La nueva macroeconoma Clsica (el anti-keynesianismo)R. Lucas(1972)Expectativas y la neutralidad del dinero

Sargent y Wallance(1975)Expectativas racionales, el instrumento ptimo de poltica monetaria y la regla de oferta de dinero ptima

1980-1989La teora del RBCKydland y Prescott (1982)Teora del Ciclo econmico real (RBC)

1973-1991La teora Nuevo KeynesianaS. Fischer (1977)Contratos, expectativas racionales y oferta ptima de dinero

1991-2004Sntesis Nuevo Keynesiana Nuevo ClsicaJ. Taylor (1993)Discrecin vs. Regla de Poltica

J. Gal, R. Clarida y M. Gleter (1999)La ciencia de la Poltica Monetaria: Un nueva perspectiva keynesiana

8. Repaso matemtico

a. Matrices

Considere las siguientes matrices:

Cules son las condiciones necesarias para poder realizar suma de matrices? Obtenga la suma de ambas matrices.

La condicin para que dos matrices puedan ser sumadas es que tengan la misma dimensin en filas y columnas. Para las dos matrices que se presentan ambas matrices tienen 3 filas y 3 columnas, es decir, son de dimensin 3X3. Por lo tanto, es posible realizar la suma de ambas matrices:

Cmo se realiza la multiplicacin de una matriz con un escalar? Cmo se realiza la multiplicacin entre matrices? Obtenga el producto de ambas matrices.

Producto de un escalar

Definicin:

Se debe multiplicar cada nmero de la matriz por el escalar.

Ejemplo:

Operar 2A

Calculamos el producto de E y F:

Qu es la matriz identidad?

La matriz identidad tiene 1 en la diagonal principal y 0 en las otras posiciones.

Ejemplos de matrices identidad de diferentes rdenes.

Qu es una matriz transpuesta? Obtenga la transpuesta de ambas matrices.

Es la matriz que obtenemos de cambiar las filas por las columnas. La transpuesta de se representa por .

A qu llamamos matriz adjunta? Obtenga la matriz adjunta de la matriz E.

Si A es una matriz cuadrada de orden n y es la matriz de sus cofactores, entonces la matriz adjunta de A, denotada por , se encuentra definida como la matriz transpuesta de la matriz . En otras palabras, una matriz adjunta se define como la matriz transpuesta de la matriz de cofactores.

Para ilustrar el concepto se calcula la adjunta de una matriz 2x2.

Ejemplo 1: Matriz 2x2

Calcular :

Primero, se calculan los cofactores de la matriz.

Luego, con los cofactores, se forma la matriz B y se obtiene , que es la matriz adjunta de A.

Para el caso de la matriz se tiene:

Qu es una matriz inversa? Cul es la condicin para que una matriz sea invertible? Obtenga la inversa de la matriz E.

La frmula de la inversa de una matriz es la siguiente:

Sea E una matriz definida anteriormente:

Obtenga las races caractersticas de la siguiente matriz y afirme si es estable o no:

Las races caractersticas se obtienen a partir de la siguiente expresin:

Para el caso de la matriz

De esta ecuacin de segundo orden se obtienen las siguientes races caractersticas:

Dado que las races caractersticas son ambas positivas, se entiende que la matriz D es inestable. Para que exista estabilidad ambas races tienen que ser negativas.

b. Ecuaciones diferenciales y en diferencias

Obtenga la solucin general del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

En primer lugar, expresamos el sistema matricialmente:

As, podemos apreciar que el sistema es de la forma . Por tal motivo, solo basta con obtener la solucin homognea del sistema[footnoteRef:4]. [4: Demostracin de la solucin homognea en Lomel (2009).]

Nota:Solucin general homognea de un sistema de ecuaciones diferencialesSi se tiene un sistema de la forma:Las posibles soluciones linealmente independientes del sistema son:Donde y son los valores y vectores propios asociados a la matriz A, respectivamente.La solucin general de este sistema viene dada por una combinacin lineal de todas las soluciones linealmente independientes:Esto es:Donde son constantes.

Luego, obtenemos los valores propios de la matriz A, a partir de la ecuacin caracterstica:

Obtenemos los valores propios asociados:

Ahora, procedemos a encontrar los vectores propios asociados a cada valor propio:

Para :

Debe cumplirse que:

Si definimos , tenemos:

A partir de este sistema, obtenemos[footnoteRef:5]: [5: Este sistema nos brinda ecuaciones linealmente dependientes por construccin. Por tal motivo, procederemos solo a utilizar una de las ecuaciones.]

De aqu que:

Por lo tanto, un vector propio asociado a es .

Anlogamente, siguiendo el mismo procedimiento, se obtiene que el vector propio asociado a es .

A partir de este resultado, obtenemos que las dos soluciones linealmente independientes:

De aqu que, la solucin general viene dada por:

Si asumimos que la condicin inicial del sistema es conocida y viene dada por:

Evaluamos la solucin general cuando :

De aqu que:

Resolviendo este sistema de ecuaciones, tenemos que:

De esta manera, la solucin general del sistema de ecuaciones diferenciales viene dada por:

Obtenga la solucin general del siguiente sistema de ecuaciones en diferencia:

En primer lugar, expresamos el sistema matricialmente:

As, podemos apreciar que el sistema es de la forma . Por tal motivo, solo basta con obtener la solucin homognea del sistema[footnoteRef:6]. [6: Demostracin en Lomel (2009).]

Nota:Solucin general homognea de un sistema de ecuaciones en diferenciasSi se tiene un sistema de la forma:Las posibles soluciones linealmente independientes del sistema son:Donde y son los valores y vectores propios asociados a la matriz A, respectivamente.La solucin general de este sistema viene dada por una combinacin lineal de todas las soluciones linealmente independientes:Esto es:Donde son constantes.Luego, obtenemos los valores propios asociados de la matriz a travs de la ecuacin caracterstica:

De aqu que los valores propios asociados son:

Ahora, obtenemos los vectores propios asociados a cada valor propio:

Para :

Tenemos que debe cumplirse que:

Si definimos :

De aqu que un vector asociado a es . Anlogamente, para , se tiene que un vector asociado es .

De esta manera, la solucin del sistema viene dada por:

Si asumimos que la condicin inicial es conocida y viene dada por:

Evaluamos la solucin general cuando :

De aqu que:

Resolviendo este sistema de ecuaciones tenemos que:

De esta manera, la solucin general del sistema de ecuaciones en diferencia viene dada por:

Considere la siguiente ecuacin diferencial:

Encuentre la solucin general y particular que verifique .

En primer lugar, se halla la solucin homognea de la ecuacin; esto es:

Aplicamos la integral indefinida a ambos lados:

Donde es una constante.

Tomamos exponencial a ambos lados:

Si definimos constante, tenemos que la solucin homognea de la ecuacin diferencial es:

En segundo lugar, se halla la solucin particular de la ecuacin. Para esto se asume que

De esta manera, la solucin general de la ecuacin diferencial es:

Se tiene que para :

Dado que , se tendr que:

Reemplazando en la solucin general, se tiene que:

Halle la solucin del siguiente sistema dinmico lineal:

Expresamos el sistema en forma matricial:

La solucin tendr la forma:

Donde y son los valores propios, y y son los vectores propios, respectivamente, de la matriz A.

Los valores propios[footnoteRef:7] de la matriz A se obtienen a travs de: [7: Nota: Para cualquier matriz A de 2x2, los valores propios pueden obtenerse a travs de la resolucin de la siguiente ecuacin caracterstica: .]

De esta manera, se tiene que los valores propios son:

Ahora, es necesario obtener los vectores propios. Para se debe cumplir que:

A partir de la segunda ecuacin se tiene que:

Si definimos , se tiene que:

Por lo tanto, se tiene que el vector asociado a es .

Realizando el mismo proceso para el otro valor propio asociado, se tiene que el vector asociado a es .

De esta manera, la solucin ser:

Con y constantes.

En un modelo de crecimiento econmico el capital y el consumo satisfacen las siguientes ecuaciones diferenciales:

Construya un diagrama de fases asumiendo que y .

Debemos hallar y graficar las curvas que representan los puntos de estado estacionario de las respectivas variables igualando a cero ambas ecuaciones diferenciales:

De esta manera, cuando se tiene una funcin cuadrtica, mientras que cuando se tiene una funcin constante.

Analizando: para los puntos encima de la curva , para los puntos por debajo de la curva para los puntos a la derecha de la recta , para los puntos a la izquierda de la recta .

Por lo tanto, el diagrama de fase ser:

Vemos que el equilibrio ser del tipo punto de silla.

c. Tasas de crecimiento

Demuestre que las tasas de crecimiento en tiempo continuo y discreto pueden ser expresadas como:

Tiempo continuo:

Tiempo discreto:

Caso continuo:

La obtencin de dicha frmula es consecuencia de la resolucin de la siguiente ecuacin diferencial:

Tomamos integrales a ambos lados respecto del tiempo:

Aplicamos el operador exponencial a ambos lados y obtenemos:

Donde .

Analizando la expresin en el perodo

Finalmente, se obtiene que:

De esta expresin, si diferenciamos a respecto al tiempo:

Por lo tanto, se demuestra que:

Caso discreto:

La obtencin de dicha frmula es consecuencia de la definicin de una tasa de crecimiento en tiempo discreto:

Esto es equivalente a:

Si definimos :

As, tenemos un sistema de ecuaciones en diferencias. La solucin homognea de este sistema viene dada por[footnoteRef:8]: [8: Ver Lomel (2009).]

Evaluamos cuando :

Reemplazamos este resultado en la solucin general y obtenemos que:

Nota: Mtodo Iterativo

Podemos obtener el mismo resultado a travs de un proceso iterativo. Si realizamos el siguiente proceso iterativo:

Iterando t periodos hacia atrs, se obtiene:

Encuentre la tasa de crecimiento de la variable , si se sabe que:

En tiempo continuo: En tiempo discreto:

Para cada uno de los siguientes casos:

1.

Caso continuo

Caso discreto

Se quiere conocer la tasa de crecimiento de la variable a partir del conocimiento que se tiene de las tasas de crecimiento de las variables y

2.

Caso continuo

Caso discreto

3.

Caso continuo

Caso discreto

4.

Caso continuo

Caso discreto

5.

Caso continuo

Caso discreto

i. Obtenga la tasa de crecimiento del producto agregado y del producto per cpita para la siguiente funcin de produccin[footnoteRef:9]: [9: Para trabajar esta pregunta se tomar el supuesto de que la poblacin es igual a la fuerza laboral.]

Donde representa el stock de capital y representa la fuerza laboral. Asimismo, considere que la fuerza laboral crece la tasa de 2% y que el capital per cpita crece a la tasa 6% .

A partir de la funcin de produccin, tenemos:

Tomamos logaritmos:

Derivamos respecto al tiempo:

Se sabe que . Reemplazando, tenemos:

A partir de este ltimo resultado, se puede observar que es necesario obtener la tasa de crecimiento del capital agregado. Para esto utilizaremos la definicin de capital per cpita y los datos proporcionados.

Se sabe que el capital per cpita es el capital promedio por trabajador. Es decir, es el ratio entre el capital agregado y la fuerza laboral:

De aqu que:

Tomamos logaritmos:

Derivamos respecto al tiempo:

Dado que conocemos la tasa de crecimiento del capital per cpita y la de la fuerza laboral , podemos obtener la tasa de crecimiento del capital agregado:

Si reemplazamos este ltimo resultado para el producto, podremos saber la tasa a la cual crece el producto agregado:

Para el producto per cpita, utilizaremos este ltimo resultado. Se sabe que el producto per cpita se define como el producto promedio por trabajador:

Tomamos logaritmos:

Derivamos respecto al tiempo:

Reemplazamos los datos obtenidos:

ii. Utilizando la informacin del cuadro N 8, se solicita:

Cuadro N 8: PBI de distintas economas(Miles de millones unidades monetarias domsticas constantes)

Fuente: FMI

Halle las tasas de crecimiento promedio anuales para el periodo 2000-2008, 2010-2014 y 2000-2014 en Brasil, Colombia y Per.

En tiempo discreto

Partimos de la siguiente definicin en tiempo discreto:

Despejamos la tasa de crecimiento:

Donde es la distancia entre el periodo y el periodo inicial .

Periodo 2000-2008:

Brasil

Colombia

Per

Periodo 2010-2014:

Brasil

Colombia

Per

Periodo 2000-2014:

Brasil

Colombia

Per

En tiempo continuo

Partimos de la siguiente definicin obtenida anteriormente:

Tomamos logaritmo a la expresin anterior y tenemos:

Despejamos la tasa de crecimiento :

Periodo 2000-2008:

Brasil

Colombia

Per

Periodo 2010-2014:

Brasil

Colombia

Per

Periodo 2000-2014:

Brasil

Colombia

Per

Suponga que las tres economas crecern, a partir del 2015, el doble de la tasa promedio hallada para el periodo 2000-2008. Cunto tardar cada economa en duplicar su PBI? Explique sus resultados.

Partimos de la siguiente frmula:

Despejando el valor final del PBI:

En este caso particular, nosotros buscamos que el valor final del PBI sea el doble del valor inicial. Esto es:

Reemplazando:

Tomando logaritmo natural a ambos lados:

Usando las propiedades del logaritmo natural:

Despejando :

Dado que , se tiene que:

Utilizamos esta frmula para responder la pregunta:

Brasil

Se sabe que

Por lo tanto:

Colombia

Se sabe que

Per

Se sabe que

Como es de esperarse, existe una relacin inversa entre la tasa de crecimiento (promedio) de la economa y el tiempo que le tome alcanzar un determinado valor. En este caso especfico, a la economa peruana le tomara un menor tiempo duplicar su PBI debido a que se consider la primera dcada del Siglo XXI, conocida como la dcada dorada para los pases de Latinoamrica, en donde Per estuvo a la vanguardia en tasa de crecimiento econmica.

9. Repaso de conceptos microeconmicos

a. Usando la siguiente funcin de produccin neoclsica:

Se le pide demostrar que se cumple:

Dicha funcin es homognea de grado 1.

Se demuestra que dicha funcin es homognea de grado uno pues si se multiplica cada uno de sus factores por una constante se obtiene un incremento proporcional de la produccin. Es decir:

Si bien la funcin muestra retornos constantes a escala, los factores tienen rendimientos marginales decrecientes.

En la funcin neoclsica se cumple que los retornos marginales de cada factor al nivel de produccin son positivos pero a tasas decrecientes. Esto se demuestra utilizando la primera y segunda derivada respecto de cada factor:

Se cumplen las condiciones de Inada?

Segn las condiciones de Inada, la productividad marginal de un factor de produccin tiende a cero cuando la cantidad utilizada de ste tiende a infinito. De manera equivalente, la productividad marginal del factor tiende a infinito cuando la cantidad utilizada del factor tiende a cero.

b. Una firma opera en un mercado con un nivel de precios y tiene un nivel de produccin la cual obtiene a un costo Responda las siguientes preguntas:

Encuentre el ingreso total y el ingreso marginal de la firma si sta operara en competencia perfecta.

En competencia perfecta la firma es tomadora de precios, por lo tanto, sus decisiones no tienen efecto en la determinacin del precio haciendo a esta variable exgena en las decisiones que la firma toma.

Encuentre el ingreso total y el ingreso marginal de la firma si sta operara en competencia imperfecta y la demanda de la firma es igual a .

En competencia imperfecta la firma tiene poder para afectar el precio de mercado, por lo tanto, sus decisiones si tienen efecto en la determinacin del precio haciendo a esta variable endgena en las decisiones que la firma toma.

Encuentre el costo medio y el costo marginal de la firma si sus costos totales son:

Los costos marginales y los costos medios de la firma son los siguientes:

El primero se define como el incremento en el costo que tiene lugar ante un incremento en las unidades producidas. El segundo hace referencia al costo promedio de una unidad producida o costo por unidad producida.

Grafique ambos costos en el plano .

Plantee la funcin de beneficios de la firma y establezca lo siguiente:

Cul es la condicin de equilibrio de la firma en competencia perfecta (resuelva la condicin para )?

La funcin de beneficios para una firma que opera en un mercado de competencia perfecta es:

Cul es la condicin de equilibrio de la firma en competencia imperfecta (resuelva la condicin con la informacin dada en las preguntas anteriores)?

La funcin de beneficios para una firma que opera en un mercado de competencia imperfecta es:

10. Condiciones de estabilidad para Sistemas de ecuaciones

a. Considere el siguiente modelo Neoclsico Prekeynesiano diferenciado:

(1)

(2)

(3)

(4)

Exprese el modelo matricialmente e indique las condiciones que deben cumplirse para que el modelo sea estable.

Expresando el modelo matricialmente:

De acuerdo con Gandolfo (1976)[footnoteRef:10], las condiciones que deben cumplirse para que el sistema sea estable son: [10: Gandolfo (1976). Mtodos y modelos matemticos de dinmica econmica. Para las condiciones de estabilidad vea el captulo 8, pginas 234-236.]

La traza que es igual a la suma de todos los elementos de la diagonal principal de la matriz debe ser negativa. El determinante de la matriz debe tener el signo de , donde es el orden de la matriz . La suma de menores principales es positivo.

Obtenemos las condiciones de estabilidad del modelo:

Traza

Determinante

Suma de menores principales de la diagonal principal

b. Considere el siguiente modelo de la Sntesis Neoclsica diferenciado:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Exprese el modelo matricialmente e indique las condiciones que deben cumplirse para el modelo sea estable.

El modelo matricial sera:

Para que el modelo sea estable, los valores propios de la matriz deben ser todos negativos. Esto ocurre cuando:

La traza de la matriz es negativa.

El determinante de la matriz es negativo.

La suma de los menores principales es positiva.

II. CONCEPTOS PREVIOS A LA TEORA DEL CRECIMIENTO ECONMICO

1. Contabilidad del Crecimiento Econmico

a. Utilice la funcin neoclsica: y los siguientes supuestos: y para verificar si la contabilidad del crecimiento se da de manera exacta o si existe un residuo. En el caso de que existiera un residuo, modificar la funcin de produccin para explicar este residuo.

Para la funcin de produccin:

Tomamos logaritmos:

Segn el dato del ejercicio y dado que la contabilidad que se ha realizado tomando en cuenta los factores capital y trabajo no coincide podemos decir que existe un residuo.

Lo que se necesita hacer para incorporar el residuo es modificar la funcin de produccin . La existencia del residuo puede deberse a la omisin de factores relevantes como la educacin o el aprendizaje en el trabajo que eleva su calidad. Supondremos que el residuo se explica de manera endgena.

Este residuo corresponde a un cambio tcnico a la Harrod debido a que el cambio tcnico hace ms productivo el trabajo (effiency), como por ejemplo los cambios en la organizacin del trabajo (capacitacin o calificacin).

b. Considere los datos del PBI, stock de capital y PEA ocupada de la economa peruana, descritos en la Cuadro N 9:

Cuadro N 9: Per: PBI y sus determinantes (1950-2009)[footnoteRef:11] [11: El PBI y el stock de capital se encuentran medidos en millones de dlares de 1979, mientras que, la PEA ocupada se encuentra medida en miles de personas.]

Fuente: Seminario (2013)

Considerando la siguiente funcin de produccin y asumiendo , se tiene que la contabilidad del crecimiento ser:

A partir de la informacin de la Tabla N 1 y de la frmula anterior, se tiene que el crecimiento de cada factor y su contribucin, por dcada, durante el periodo 1950-2009 fue:

Cuadro N 10: Crecimiento y contribucin de los determinantes del PBI de Per sin crecimiento tcnico (1950-2009)

Elaboracin propia

En este caso, se puede apreciar que la suma de las contribuciones de los factores de produccin no alcanza a ser igual a la tasa de crecimiento del PBI. Existe un residuo que no recogen los factores productivos, el cual puede ser entendido como un nivel de tecnologa o eficiencia de la economa.

c. Ahora se toma en cuenta la siguiente funcin de produccin , pero la misma participacin del capital .

En este caso, la contabilidad del crecimiento ser:

Igual que en el ejercicio anterior, A partir de la informacin de la Tabla N 1 y de la frmula anterior, se tiene que el crecimiento de cada factor y su contribucin, por dcada, durante el periodo 1950-2009 fue:

Cuadro N 11: Crecimiento y contribucin de los determinantes del PBI de Per con crecimiento tcnico (1950-2009)

Elaboracin propia

En este caso, la suma de las contribuciones de los factores, por construccin, es igual a la tasa de crecimiento de la economa. Lo relevante en este caso es calcular el residuo de Solow. A lo largo de la economa peruana se observa que ha venido creciendo con gran fuerza en la ltima dcada (2% promedio anual). Sin embargo, durante la dcada de los 70s y, sobre todo, de los 80s, este residuo se vio disminuido en 1% y 3%, respectivamente.

d. Explique los principales determinantes del crecimiento econmico para el Per.

Fuerza laboral

11. Determine la prociclidad de la PEA ocupada y la PEA desocupada usando el filtro HP.

Fuente: BCRP, INEIElaboracin propia

La PEA ocupada es acclica (no se mueve con el ciclo) y el desempleo es contracclico (en perodos de auge, la PEA desocupada disminuye mientras que en perodos de recesin la PEA desocupada aumenta).

12. Determine si la PEA ocupada manufacturera ha sido determinante para el crecimiento econmico en los ltimos cincuenta aos usando el filtro HP.

Fuente: BCRP, INEIElaboracin propia

El PBI manufacturero es altamente procclico (en perodos de expansin, el PBI de la manufactura se expande y en perodos de recesin, el PBI manufacturero se contare).

Asimismo la PEA ocupada del sector manufacturero es tambin muy procclica (en perodos de expansin, aumenta la PEA ocupada del sector manufacturero y en perodos de recesin, disminuye). Podemos inferir que en los ltimos cincuenta aos la manufactura ha sido el motor de crecimiento del pas.

Capital

13. Determine la prociclicidad del capital usando las series del PBI del BCRP y la del stock de capital de Seminario (2013) a travs del filtro HP.

Tal y como se puede apreciar, el capital muestra ser bastante procclico en mayor parte del periodo de anlisis. Sin embargo, hacia los ltimos aos esta prociclicidad ya no resulta tan evidente. El mismo problema se observa hacia fines de la dcada de los ochenta e inicios de la dcada de los noventa.

14. Determine la prociclidad de la inversin privada a travs del filtro HP.

La inversin privada es un componente muy procclico durante todo el periodo de anlisis para la economa peruana. En otras palabras, la economa se encuentra en auge cuando la inversin privada se encuentra tambin en auge.

2. Funcin de produccin de coeficientes fijos y funcin de produccin neoclsica

2.1. Funcin de produccin de coeficientes fijos

a. Considere la siguiente funcin de produccin de coeficientes fijos:

Explicar y graficar detalladamente la isocuanta de la funcin de produccin propuesta.

A este tipo de funcin se le conoce como de coeficientes fijos, y establece que el nivel de producto obtenido est determinado por el factor productivo utilizado en menor cantidad.

En este caso, un proceso productivo eficiente ser aquel que no utiliza factores de manera ociosa. Por lo tanto, siendo eficientes se cumple que:

Esta ltima relacin define el Proceso Tcnico ptimo, y con fines de graficarlo, puede ser expresado de la siguiente manera:

La representacin grfica es la siguiente:

Figura 5: Mapa de isocuantas de la funcin de produccin de coeficientes fijos

Del grfico anterior se pueden considerar dos casos distintos de produccin bajo utilizacin plena o eficiente de los factores.

Para poder graficar la funcin, es necesario expresarlo en trminos per cpita. Para esto, dividimos ambos lados de la funcin de produccin entre L:

Dado que la funcin mnimo es homognea de grado 1, es posible introducir el factor dentro de la funcin sin ningn problema:

De esta manera, tenemos los dos casos previamente mencionados:

Figura 6: Funcin de produccin de coeficientes fijos(En trminos per cpita)

Caso 1: Subutilizacin de L

Este caso ocurre en el tramo horizontal de la isocuanta. Aqu se da que la cantidad de trabajo (factor L) es mayor que bajo un nivel de produccin eficiente, mientras que el nivel de capital (factor K) permanece constante. De esta manera, la intensidad del capital (el ratio ) se reduce, lo cual implica que, en trminos relativos, existe menos capital para la cantidad de mano de obra existente.

Caso 2: Subutilizacin de K

Este caso ocurre en el tramo vertical de la isocuanta. Aqu se da que la cantidad de capital (factor K) es mayor que bajo un nivel de produccin eficiente, mientras que el nivel de trabajo (factor L) permanece constante. De esta manera, la intensidad del capital (el ratio ) se incrementa, lo cual implica que, en trminos relativos, existe ms capital para la cantidad de mano de obra existente.

b. Obtenga y explique la tasa marginal de sustitucin de la funcin de produccin de coeficientes fijos:

La Tasa Marginal de Sustitucin Tcnica (TMST) se define de la siguiente manera:

En otras palabras, la TMST es la proporcin en que un factor es sustituido por otro y que mantiene el nivel de produccin constante, es decir, permanecen en la misma ISOCUANTA.

En este tipo de funcin la tasa marginal de sustitucin tcnica entre los factores es 0 en el tramo horizontal de la isocuanta o infinito en el tramo vertical de la isocuanta.

c. Calcule la elasticidad de sustitucin para esta funcin de coeficientes fijos.

La elasticidad de sustitucin mide la curvatura de unaisocuantay, por tanto, la posibilidad de sustitucin entre factores, en este caso, los factores no son sustituibles, son complementarios

La elasticidad de sustitucin para una funcin de coeficientes fijos es igual a cero. Esto implica que no existe ningn grado de sustitucin entre los factores productivos.

d. Derive expresiones para asumiendo que ambos factores son plenamente utilizados. Qu sucede cuando es menor o mayor a ?

El hecho que ambos factores son plenamente utilizados, nos indica que nos encontramos en un nivel de produccin eficiente. En otras palabras, esto se cumple cuando ocurre lo descrito en ; esto es:

Utilizando esta expresin y la funcin de produccin de coeficientes fijos mencionada previamente, tenemos:

De esta expresin podemos obtener el valor del ratio producto-capital (), el producto per cpita () y la intensidad del capital o capital per cpita ():

Para esta ltima expresin, cuando existe mano de obra que no est siendo absorbida en el proceso productivo, por lo tanto, se encuentra desempleada (Caso 1 en la figura 5). En otras palabras, hay una escasez de capital en la economa lo que impide que toda la mano de obra este empleada. Por otro lado, cuando existe una subutilizacin de capital en la economa pues hay ms capital del necesario dada la mano de obra que existe (Caso 2 en figura 5). Desde otro punto de vista, hay una necesidad por ms trabajadores en la economa relativa al nivel de capital que existe.

2.2. Funcin de produccin neoclsica

a. Considere la siguiente funcin de produccin del tipo Cobb-Douglas:

Demuestre que dicha funcin de produccin cumple las condiciones de INADA.

Si se tiene que , podemos obtener las productividades marginales a travs de las Condiciones de Primer Orden:

Asimismo, se sabe que las Condiciones de INADA deben satisfacer:

Expresar la funcin de produccin en su forma intensiva, a partir de la funcin de Cobb-Douglas mencionada.

Expresar la funcin de produccin en su forma intensiva implica expresarla en trminos per cpita.

Partiendo de la funcin de produccin Cobb-Douglas dada en niveles, se tiene:

Dividimos entre el factor (trabajo):

Puesto que :

Si definimos y , tenemos:

Esta ltima expresin es la funcin de produccin en su forma intensiva.

A partir de la funcin de produccin Cobb-Douglas muestre que se cumple el Teorema de Euler.

Se tiene la siguiente funcin de produccin:

Se puede apreciar que esta funcin es homognea de grado 1 pues:

Partiendo de la siguiente expresin , podemos diferenciar respecto a , utilizando la derivada de un producto:

Reordenando esta expresin, se obtiene:

Asimismo, a partir de la maximizacin de beneficios de la firma, se sabe que, bajo competencia perfecta, en situacin de equilibrio la remuneracin de los factores es igual a su productividad marginal. En tal sentido, dada la funcin de produccin :

Reemplazando estas expresiones, se obtiene:

O mejor dicho:

Esto se comprueba partiendo de la expresin en :

Muestre que y son las participaciones del ingreso de los factores (capital) y (trabajo) en (el producto), respectivamente.

Nota: A partir de la maximizacin de beneficios de la firma, bajo competencia perfecta, se sabe que en equilibrio se cumple que la remuneracin de los factores es igual a su productividad marginal. Es decir:

Donde es la renta por unidad de capital y es el salario por unidad de trabajo.

Dada la funcin de produccin Cobb-Douglas y asumiendo una tasa de depreciacin () igual a cero, se tiene:

Participacin del Ingreso del Capital en el Producto

1 Calculamos el ingreso total del factor (capital).

2 Lo dividimos entre (el producto total).

3 Reemplazamos y .

Participacin del Ingreso de Trabajo en el Producto

1 Calculamos el ingreso total del factor (trabajo).

2 Lo dividimos entre (el producto total).

3 Reemplazamos y .

b. Considere la siguiente funcin de produccin:

Esta funcin de produccin est bien comportada? Qu sucede si ?

Para que esta funcin sea bien comportada debe cumplir 3 condiciones:

1 Rendimientos constantes a escala.

Para que una funcin tenga rendimientos constantes a escala debe cumplirse que:

En el caso de

Dada la funcin de produccin, , empezamos multiplicando a cada factor por :

En este caso no se cumple la primera condicin: rendimientos constantes a escala. En particular, esta funcin presenta rendimientos crecientes a escala y, por lo tanto, no es una funcin de produccin neoclsica bien comportada.

En el caso de

En este caso, tenemos que . Al igual que en el caso anterior multiplicamos a cada factor por :

En este caso esta funcin de produccin s cumple la primera condicin: rendimientos constantes a escala. Por lo tanto, cumple la primera condicin para ser una funcin de produccin neoclsica bien comportada. Regla: Para que una funcin de produccin del tipo Cobb-Douglas presente rendimientos a escala constante, la suma de las participaciones de cada factor debe ser igual a uno (). Si es mayor a uno la funcin presenta rendimientos a escala creciente y si es menor a uno, rendimientos a escala decrecientes.

La primera funcin de produccin no cumple la condicin de Rendimientos constantes a escala y la segunda funcin de produccin s la cumple.

2 Rendimientos marginales positivos pero decrecientes de los factores de produccin.

Para el factor trabajo:

De la funcin de produccin:

Para y

La funcin de produccin sera:

Calculamos el producto marginal del trabajo:

Se puede apreciar que ; es decir, que su producto marginal es positivo.

Ahora analizaremos si este producto marginal es creciente o decreciente.

Dado que la derivada del respecto al nivel de fuerza laboral es negativa, se prueba que el producto marginal del trabajo es positivo pero decreciente.

Ahora, calculamos el producto marginal del capital:

Se puede apreciar que ; es decir, que su producto marginal del capital es positivo.

Ahora analizaremos si este producto marginal es creciente o decreciente.

Dado que la derivada del respecto al nivel de capital es negativa, se prueba que el producto marginal del capital es positivo pero decreciente.

Para y

De la funcin de produccin:

Calculamos el producto marginal del trabajo:

Se puede apreciar que ; es decir, que su producto marginal es positivo.

Ahora analizaremos si este producto marginal es creciente o decreciente.

Dado que la derivada del respecto al nivel de fuerza laboral es negativa, se prueba que el producto marginal del trabajo es positivo pero decreciente.

Ahora, calculamos el producto marginal del capital:

Se puede apreciar que ; es decir, que su producto marginal del capital es positivo.

Ahora analizaremos si este producto marginal es creciente o decreciente.

Dado que la derivada del respecto al nivel de capital es negativa, se prueba que el producto marginal del capital es positivo pero decreciente.

En ambos casos se cumple la segunda condicin (Productividad Marginal positiva y decreciente).

3 Cumple las condiciones de INADA.

En el caso de

De la funcin de produccin:

Sabemos que:

Las condiciones de INADA establecen que:

Cuando el trabajo tiende a cero, la productividad marginal de la mano de obra tiende a infinito.

Cuando el trabajo tiende a infinito, la productividad marginal de la mano de obra tiende a cero.

Cuando el capital tiende a cero, la productividad marginal del capital tiende a infinito.

Cuando el capital tiende a cero, la productividad marginal del capital tiende a infinito.

En el caso de

En este caso, la funcin de produccin es:

Sus productividades marginales son:

Las condiciones de INADA establecen que:

Cuando el trabajo tiende a cero, la productividad marginal de la mano de obra tiende a infinito.

Cuando el trabajo tiende a infinito, la productividad marginal de la mano de obra tiende a cero.

Cuando el capital tiende a cero, la productividad marginal del capital tiende a infinito.

Cuando el capital tiende a cero, la productividad marginal del capital tiende a infinito.

En ambos casos se cumple la tercera condicin (condiciones de Inada).

Conclusin: Dado que el primer caso no cumple la primera condicin, a pesar que ambos casos se cumplen la segunda y tercera condicin se infiere que solamente en el segundo caso la funcin de produccin est bien comportada.

c. Grafique la isocuanta para un nivel de produccin de 100 para la funcin de produccin neoclsica con la cantidad de trabajo variable igual a 10, 20 y 30 trabajadores segn la siguiente funcin de produccin .

Una isocuanta viene dado por la combinacin de factores dado un nivel de produccin fijo, en este caso es 100.

De la funcin de produccin:

Si:

Si:

Si:

d. Hallar la Tasa marginal de sustitucin tcnica segn la siguiente funcin de produccin .

La Tasa Marginal de Sustitucin Tcnica (TMST) se define de la siguiente manera:

En otras palabras, la TMST es la proporcin bajo la cual un factor productivo es sustituido por otro, considerando que el nivel de produccin se mantiene constante. Si definimos una isocuanta como todas las posibles combinaciones de ambos factores de produccin que aseguran un mismo nivel de producto, la TMST nos indica la pendiente de cada uno de los puntos en la misma isocuanta.

Utilizando las productividades marginales y el punto :

Utilizando las productividades marginales y el punto :

e. Hallar la elasticidad de sustitucin segn la siguiente funcin de produccin .

La elasticidad de sustitucin mide la curvatura de unaisocuantay, por tanto, la posibilidad de sustitucin entre factores, es decir, que tan fcil es sustituir un factor con otro. A mayor elasticidad de sustitucin, ms fcil es sustituir un factor productivo por otro.

La elasticidad de sustitucin para una funcin Cobb-Douglas es igual a uno.

f. Utilizando la funcin de produccin , se pide mostrar que, bajo competencia perfecta, las remuneraciones de los factores es igual a su producto marginal.

Si partimos del problema de maximizacin de beneficios de la firma bajo competencia perfecta[footnoteRef:12]: [12: En este caso representa los beneficios reales. Bajo competencia perfecta la funcin de produccin presenta rendimientos constantes a escala, pues esto asegura la existencia de un nico nivel de produccin de equilibrio de la firma.]

Sabemos que y que el costo total de la firma se define como el pago total a los factores productivos; esto es , donde es el salario recibido por cada trabajador y es la renta de cada unidad de capital utilizado.

Reemplazando, tenemos:

Obtenemos las condiciones de primer orden:

(1)

(2)

Despejando las ecuaciones (1) y (2), tenemos que:

Por lo tanto, tenemos:

g. Demuestre el teorema de Euler para una funcin de produccin neoclsica bien comportada. Repita el proceso para: y .

De manera general:

Partimos de una funcin de produccin neoclsica y asumimos que es bien comportada:

El teorema de Euler se cumple siempre que la funcin de produccin tenga rendimientos constantes a escala, es decir sea una funcin homognea de grado 1. Por lo tanto:

Derivamos ambos lados respecto a :

Como es un escalar:

Eliminamos los del lado derecho

Para

Partimos de la funcin de produccin:

Dado que es una funcin homognea de grado 1, tenemos que:

Derivando ambos lados respecto a :

Adems, de la pregunta anterior, se sabe que y , donde y es el pago por unidad de capital y trabajo, respectivamente. Reemplazando tenemos:

De esta manera, hemos probado que, partiendo de una funcin de produccin que cumple con ser homognea de grado 1, se cumple el Teorema de Euler. Este teorema nos dice que el producto agregado se reparte exactamente en el pago total de factores.

Para

En el caso de que la funcin de produccin viene dada por:

Si partimos de la expresin anterior:

Y derivamos ambos lados respecto a :

De esta manera, hemos probado que, partiendo de una funcin de produccin que no cumple con ser homognea de grado 1, no se cumple el Teorema de Euler. Hay un exceso del producto agregado.

3. Neutralidad de los progresos tcnicos

Explique en qu consisten los tres tipos de progresos tcnicos neutrales.

Se dicen que los progresos tcnicos son neutrales porque no alteran la distribucin del ingreso.

La neutralidad se refiere a un desplazamiento de la funcin de produccin que no altera la proporcin de los ingresos del trabajo y capital que son empleados. En otras palabras, no inclina la balanza del lado del trabajo ni del capital.

a. Progreso tcnico neutral a la Harrod

El progreso tcnico es neutral si las participaciones relativas del capital y del trabajo en el producto (es decir, el ratio ) permanecen inalteradas para una determinada relacin capital-producto (). La funcin de produccin puede analizarse como:

Siendo el factor trabajo medido en unidades de eficiencia (i. e. un hombre considerado en el momento realiza veces el trabajo que l mismo desarrollaba en un principio). El trabajo es ms eficiente. Mientras que se incrementa conforme avanza el tiempo. La relacin capital-producto () permanece constante.

Como ambas funciones de produccin pasan una misma recta que parte de cero, y adems la tangente en es igual a la tangente en por lo tanto:

Para demostrar la neutralidad del progreso tcnico a la Harrod, sabemos que un cambio tcnico a la Harrod aumenta la eficiencia del trabajo y por tanto la relacin capital producto permanece constante, y dado que la es constante y sta bajo competencia perfecta es igual a podemos verificar que:

Por lo tanto como todo es constante, se verifica la neutralidad del progreso tcnico a la Harrod.

b. Progreso tcnico neutral a la Solow

El progreso tcnico es neutral si las participaciones relativas del capital y del trabajo en el producto (es decir, el ratio ) permanecen inalteradas para una determinada relacin trabajo-producto (). La funcin de produccin puede analizarse como:

Siendo el factor capital medido en unidades de eficiencia (i. e. una maquina considerada en el momento t realiza veces la produccin que desarrollaba en un principio). El capital es ms eficiente. Mientras que se incrementa conforme avanza el tiempo. La relacin trabajo-producto () es constante.

Como ambas funciones tienen igual pendiente las productividades marginales tambin son iguales:

Para demostrar la neutralidad del progreso tcnico a la Solow, sabemos que un cambio tcnico a la Solow aumenta la eficiencia del capital y mantiene la relacin trabajo producto constante, y dado que el salario no puede cambiar debido a que un aumento del salario significara un aumento de la productividad del trabajo, y por ser factores sustitutos el capital y el trabajo, una disminucin de la productividad del capital, lo mismo ocurre si el salario disminuye. La productividad del capital es constante por lo tanto el salario es constante.

Por lo tanto como todo es constante, se verifica la neutralidad del progreso tcnico a la Solow.

c. Progreso tcnico neutral a la Hicks

El progreso tcnico es neutral si mantiene constante el ratio de productividades marginales para un ratio K/L dado. La funcin de produccin puede analizarse como:

Siendo el factor trabajo medido en unidades de eficiencia y el factor capital medido en unidades de eficiencia. Mientras que se incrementa conforme avanza el tiempo. La relacin capital-trabajo () es constante.

Para demostrar la neutralidad del progreso tcnico a la hicks, sabemos que un cambio tcnico a la hicks aumenta la eficiencia del capital y del trabajo y por tanto la relacin capital-trabajo permanece constante, y dado que el salario no puede cambiar debido a que un aumento del salario significara un aumento de la productividad del trabajo, y por ser factores sustitutos el capital y el trabajo, una disminucin de la productividad del capital, lo mismo ocurre si el salario disminuye. La productividad del capital es constante por lo tanto el salario es constante. Y dado que las productividades marginales del capital y del trabajo son iguales a la tasa de beneficio y el salario, respectivamente, estos tampoco pueden cambiar.

Por lo tanto como todo es constante, se verifica la neutralidad del progreso tcnico a la Hicks.

4. Ecuacin de Acumulacin del capital

Considere la siguiente informacin:

Inversin per cpita: Ahorro per cpita: Funcin de produccin:

Encuentre la ecuacin diferencial que describe la evolucin del capital en el tiempo y la solucin correspondiente a dicha ecuacin. La solucin del capital per cpita converge a algn valor en el largo plazo?

Partimos de la identidad ahorro-inversin en trminos per cpita:

Reemplazando la definicin de ahorro e inversin per cpita tenemos:

Dado que , en trminos per cpita, la funcin de produccin ser . Reemplazando esta expresin en la ecuacin diferencial, tenemos:

Reescribiendo esta ecuacin tenemos:

Tal y como se puede apreciar, la parte derecha de la ecuacin no es un valor constante. Por este motivo, no podremos proceder a resolverla como una ecuacin diferencial de primer orden.

En este caso, se tiene que el lado derecho es variable en el tiempo (pues el capital per cpita est cambiando continuamente en el tiempo). De esta manera, se proceder a utilizar la Ecuacin de Bernoulli para resolver la ecuacin diferencial del capital per cpita. Esta metodologa consiste en hacer un reemplazo de variable, a fin de reescribir la expresin como una tpica ecuacin diferencial de primer orden.

La forma general de una ecuacin de Bernoulli es la siguiente:

Donde y son funciones continuas en los reales. En este caso especfico, y .

Para resolver la ecuacin diferencial de Bernoulli en , dividimos ambos lados entre :

Realizamos un cambio de variable. Definimos:

Diferenciando esta variable respecto del tiempo, tenemos:

Reemplazamos en la ecuacin anterior:

La solucin de la ecuacin (+) es la suma de la solucin general de la ecuacin homognea asociada y la solucin particular.

Solucin general de la ecuacin homognea asociada

Para hallar esta solucin, suponemos que el trmino que no depende del tiempo en la ecuacin (*) es igual a cero. Es decir, que . Entonces, la expresin en (*) quedara de la siguiente manera:

Tomado exponencial a ambos lados de esta ltima expresin:

De esta manera, la solucin general ser:

Solucin Particular

Para hallar esta solucin, asumimos que :

Por lo tanto, la solucin de la ecuacin diferencial, descrita en (+), ser:

Si evaluamos esta expresin en el estado inicial :

Reemplazando esta expresin en la solucin de la ecuacin diferencial hallada, tenemos:

Reemplazando :

Para saber si la solucin converge a algn valor en especfico, se proceder a tomar el lmite a la solucin del capital per cpita:

Si definimos como el capital de estado estacionario o largo plazo, tenemos:

III. TEORIAS DEL CRECIMIENTO ECONMICO

1. Modelos de Crecimiento Keynesiano

1.1. Modelo de Harrod:

En primer lugar , en el modelo de Harrod la tasa de crecimiento garantizada es igual a :

Donde s es la tasa de ahorro , v es la velocidad capital producto deseada y la tasa de depreciacin.

El pas A tiene un PBI de 3 mil millones de dlares, una poblacin de 2 millones y su ingreso per cpita est creciendo a una tasa de 3% anual, mientras que la poblacin crece a 1%.

a. Cul es el ingreso per cpita actual?

El ingreso per cpita actual es:

b. Cunto ser su ingreso per cpita en 5 aos? En 10 aos?

Partimos de la siguiente frmula de crecimiento:

El ingreso per cpita en 5 aos ser:

El ingreso per cpita en 10 aos ser:

c. En cuntos aos se duplicar su ingreso per cpita?

A partir de la siguiente frmula:

Se desea obtener un tal que . De esta manera, se tiene que:

Simplificando, se obtiene:

Reemplazando los datos, se tiene:

Tomando logaritmos a ambos lados:

Por lo tanto, el ingreso per cpita se duplicar en 23.3 aos.

d. Si quisiramos que se duplique el ingreso per cpita en 10 aos, cul tendra que ser la tasa de crecimiento?

Nuevamente, se parte de la siguiente frmula:

En este caso, se desea hallar un valor de tal que donde . Con este fin, se tiene que:

Simplificando, se obtiene:

Tomando logaritmos:

Entonces la tasa de crecimiento requerida es aproximadamente 7% anual.e. La cantidad de capital en este pas es de 6 mil millones de dlares, y se deprecia una tasa de 10% por ao. Usando el modelo de Harrod, diga cul debe ser la tasa de ahorro actual. Si esta tasa disminuyera a la mitad, qu pasara con la tasa de crecimiento del ingreso per cpita?

El ratio capital-producto es:

Luego, recordemos del modelo de Harrod:

Luego:

Y usaremos esto para obtener la tasa de ahorro (s):

Donde:

Si la tasa de ahorro fuera la mitad entonces la tasa de crecimiento del ingreso per cpita sera:

f. Ahora suponga que el ratio capital-producto no ser constante para siempre: estar en su nivel actual hasta que el pas alcance un ingreso per cpita de 2000, pero aumentar despus. En el rango de 2000 a 3000 ser 10% mayor que el nivel actual (pero constante dentro de ese rango). De 3000 a 4000, ser otro 10% ms alto, y as sucesivamente.

De la pregunta anterior se sabe que la tasa de ahorro es , entonces:

Para el rango de 2000 a 3000 la tasa de crecimiento del ingreso per cpita sera:

Para el rango de 3000 a 4000 la tasa de crecimiento del ingreso per cpita sera:

Para el rango de 4000 a 5000 la tasa de crecimiento del ingreso per cpita sera:

g. Cul ser el nivel del ingreso per cpita en el largo plazo y cul la tasa de crecimiento en el largo plazo?

El hecho de aumentar el ratio capital trabajo para cada rango de ingreso hace que en el largo plazo el nivel de ingreso per cpita converja a 4000. Cuando el PBI es menor a 4000, la tasa de crecimiento () es positiva. Pero, cuando el PBI es mayor a 4000, la tasa de crecimiento se vuelve negativa, y el ingreso per cpita regresa hasta 4000. En el largo plazo se estabilizar en 4000.

Esto significa que si la relacin producto fuera variable (lo cual no ocurre en el modelo de Harrod) y se hiciera mayor para niveles cada vez mayores de ingreso per cpita habra convergencia hacia un nivel de ingreso per cpita de equilibrio. Ello ocurrir en el modelo de Solow que veremos ms adelante.

1.2. Modelo de Domar

Considere la siguiente informacin:

Ahorro agregado:

Productividad del capital constante:

Identidad ahorro-inversin:

Tasa de crecimiento de la poblacin constante:

A qu tasa crece el producto? Qu condiciones garantizaran que se crece establemente con pleno empleo (Edad de Oro)?

Se parte de la condicin de equilibrio agregado:

A partir de la productividad del capital constante, se tiene que:

Luego, a partir de la identidad ahorro-inversin y la definicin del ahorro agregado, se obtiene:

Reemplazando estas expresiones en la condicin de equilibrio agregado, se tiene:

Ello lleva a que:

El producto crece a la tasa . El producto crecer con pleno empleo si: .

1.3. Modelo de Harrod-Domar

a. Suponga dos pases, A y B, tienen la siguiente funcin de produccin[footnoteRef:13]: [13: Referencias: Ejercicio adaptado de Mankiw, Gregory. Macroeconomics. Captulo 8]

Cul es la funcin de produccin per cpita, ? Grafique.

En primer lugar es necesario reconocer los coeficientes de la funcin de produccin. Si la forma general de la funcin de produccin de coeficientes fijos es la siguiente:

De acuerdo a la funcin de produccin presentada en este problema , se deduce que:

Luego, se tiene que la cual puede ser escrita en trminos per cpita:

Por lo tanto se tiene:

Grficamente:

Ambos pases tienen una tasa de crecimiento de la poblacin de 5% cada ao. Por otro lado, asuma que el pas A ahorra 10% del producto cada ao, mientras que el pas B ahorra 20% de su producto anual. Con esta informacin se pide hallar los valores del capital per cpita, del ingreso per cpita y del consumo en el punto en el que el capital per cpita ya no crece.

Partiendo de la identidad Inversin igual a Ahorro, y asumiendo una tasa de depreciacin igual a cero:

Considerando que y . Podemos expresar la identidad anterior en trminos per cpita. Para esto, dividimos entre la fuerza laboral ambos lados de la ecuacin:

De esta manera, es necesario encontrar una expresin para . Para esto podemos utilizar la definicin de :

Reemplazando esta ltima expresin en :

Se pueden tener dos casos, dependiendo del valor que tome la funcin de produccin :

Caso 1:

El primer caso ocurre cuando:

Si ocurre esto, se tiene que:

Por lo tanto:

Caso 2:

El segundo caso ocurre cuando:

Si ocurre esto, se tiene que:

Por lo tanto:

En resumen, se tiene la expresin para la ecuacin de acumulacin del capital per cpita:

Caso 1: Subutilizacin del trabajo

En este caso, ocurre que la cantidad de trabajo (factor L) es mayor que bajo un nivel de produccin eficiente, mientras que el nivel de capital (factor K) permanece constante. De esta manera, la intensidad del capital (el ratio o capital per cpita ) se reduce, lo cual implica que, en trminos relativos, existe menos capital para la cantidad de mano de obra existente. En tal sentido, la cantidad de trabajo no se encuentra plenamente utilizada y se da una situacin de desempleo pues no hay suficiente capital para que toda la mano de obra pueda laborar.

Por lo tanto, cuando hay una subutilizacin del factor trabajo (Desempleo), se tiene que:

Caso 2: Subutilizacin del capital

En este caso ocurre que la cantidad de capital (factor K) es mayor que bajo un nivel de produccin eficiente, mientras que el nivel de trabajo (factor L) permanece constante. De esta manera, la intensidad del capital (el ratio o capital per cpita ) se incrementa, lo cual implica que, en trminos relativos, existe ms capital para la cantidad de mano de obra existente. En tal sentido, la cantidad de capital no se encuentra plenamente utilizada pues no existe suficiente mano de obra para hacer uso de todo el capital existente. En otras palabras, existirn unidades de capital que no se utilicen.

Por lo tanto, cuando hay una subutilizacin del factor capital, se tiene que:

Si reemplazamos los coeficientes propuestos por el ejercicio, y , tendramos:

En otras palabras, se tiene, en primer lugar, que el pleno empleo de los factores de produccin ocurre cuando . En segundo lugar, cuando se tiene una subutilizacin del trabajo y, por lo tanto, desempleo. En ltimo lugar, cuando se tiene subutilizacin del capital.

El grfico se divide en dos tramos que ocurren de acuerdo a los dos casos mencionados. Estos se dan cuando (Caso 1: subutilizacin del trabajo) y cuando (Caso 2: subutilizacin del capital).

Empezamos con el caso 1. Asumiendo que , en el primer caso, que parte desde el origen, la ecuacin de acumulacin del capital tiene una pendiente positiva igual a . Una vez alcanzado el punto , empieza el caso 2. En este segundo tramo de la ecuacin de acumulacin del capital per cpita, la pendiente se torna negativa igual a y pasar por el punto en donde . Esto es por el punto donde el capital alcanza su estado estacionario.

De esta manera, el estado estacionario del capital se alcanza en el segundo caso. Por lo tanto, para hallarlo consideraremos el caso 2 de la ecuacin de acumulacin del capital. Esto es, cuando :

Evaluando en el estado estacionario, definiendo el capital de estado estacionario como :

Cuando el capital per cpita de estado estacionario alcanza este nivel, el producto per cpita tambin alcanza su estado estacionario.

De acuerdo al modelo, a partir de este punto, el producto per cpita se mantendr constante. En otras palabras, cuando , el producto total crece a la tasa que crece el capital. Una vez alcanzado el estado estacionario, el producto total crecer a la misma tasa que crece la fuerza laboral.

Entonces para la economa A:

,

Para la economa B:

Suponga que ambos pases comienzan con un stock de capital per cpita de 0.45 unidades; esto es, k_0=0.45. Cul es el nivel de ingreso per cpita y consumo per cpita?

*Recordando que la variacin del capital es igual a la inversin menos la depreciacin (que se asume igual a cero), utilice una hoja de Excel para calcular cmo el stock de capital per cpita evoluciona con el tiempo en ambos pases. Para cada ao calcule el ingreso per cpita y el consumo per cpita. Cuntos aos pasarn antes de que el consumo en el pas A sea superior al consumo en el pas B de manera indefinida?

Economa A

En esta economa se observa que cuando se llega al ao 2, la restriccin de la produccin la impone el factor trabajo. Esto es cuando la produccin per cpita es igual a 3. En otras palabras, a partir del ao 2, el producto per cpita ya no crece pues la produccin total crece a la misma tasa que la fuerza laboral.

Economa B

En este caso, observamos que basta que transcurra un ao para que la produccin per cpita alcance un nivel igual a 3 y ya no siga creciendo. Esto significa que a partir del ao 1, la fuerza laboral es el factor restrictivo de la produccin en esta economa. En otras palabras, a partir del ao 1, la produccin per cpita ya no crece pues el producto total crece a la misma tasa que la fuerza laboral.

A partir del ao 2, el consumo de la economa A supera al de la economa B y esto se mantiene as de forma indefinida. Las diferencias en ahorro generan brechas en los niveles de consumo que se mantienen de forma permanente en este modelo.

b. Considere la siguiente informacin:

Economa 1:Funcin de produccin:

Inversin:

Equilibrio:

Economa 2:Funcin de produccin:

Inversin:

Equilibrio:

Se tiene la siguiente informacin sobre los parmetros de cada una de las economas:Parmetros \ EconomasEconoma 1Economa 2

Tasa de ahorro (s)25%22%

Ratio capital producto (v)3.02.5

Tasa de depreciacin ()5%5%

Stock de capital inicial (Ko)1240240

Poblacin inicial (Lo)21010

Ratio trabajo producto (u)11

Crecimiento de la poblacin (n)3%3%

1/ Capital medido en miles de millones de unidades monetarias a precios constantes. 2/ Poblacin medida en millones de personas.

Encuentre la ecuacin fundamental de acumulacin de capital. Cul de las dos economas tiene un mayor crecimiento econmico, por qu?

La resolucin para la segunda economa es la misma, se obtiene:

Las tasas de crecimiento sern:

La segunda economa tiene una mayor tasa de crecimiento econmico porque, a pesar de tener una tasa de ahorro menor, es una economa relativamente ms productiva pues necesita una menor cantidad de capital para producir el mismo nivel de produccin. Este efecto es mayor al efecto de tener una menor tasa de ahorro.

Resuelva la ecuacin de acumulacin del capital ( para cada economa. Encuentre la ecuacin , y el ratio .

Para ambas economas se calcula una expresin para Partimos de:

Iterando un periodo hacia atrs:

La ltima expresin es una ecuacin en diferencias cuya solucin coincide exactamente con la solucin homognea pues no aparece ningn trmino que no dependa del tiempo que requiera una solucin complementaria.

Nota: Solucin homognea de una ecuacin en diferenciaSea:La solucin homognea de esta ecuacin en diferencia es:

De esta manera, la solucin de la ecuacin ser:

Evaluando esta ltima expresin en el periodo inicial :

Reemplazando en la solucin de la ecuacin en diferencias:

Para hallar el nivel de produccin, partimos de la funcin de produccin:

Se sabe que bajo produccin ptima se cumple que:

De esta ltima expresin, se puede obtener el ratio producto-capital:

Tal cual afirma el modelo Harrod-Domar, esta relacin se mantiene constante siempre (para todo ).

Asimismo, de las ecuaciones (1) y (2) podemos obtener una expresin para :

Evaluando en el periodo inicial :

Reemplazando esta ltima expresin en la ecuacin para , tenemos:

De esta manera, se tiene:

Economa 1:

Para el Capital

Reemplazando los datos propuestos:

Para el ratio Producto-Capital

Reemplazando los datos propuestos:

Asimismo, evaluando en :

Para el Producto

Reemplazando los datos propuestos:

Economa 2:

Para el Capital

Reemplazando los datos propuestos:

Para el ratio Producto-Capital

Reemplazando los datos propuestos:

Asimismo, evaluando en :

Para el Producto

Reemplazando los datos propuestos:

Encontrar el nivel de producto per cpita y capital per cpita en el perodo inicial, en el perodo 20 y en el perodo 50 para ambas economas. Responda si las economas estn creciendo o decreciendo. A su vez, en el largo plazo, esta economa crecer con pleno empleo?

De la pregunta anterior, obtuvimos la ecuacin en diferencias para el capital en nivel. Esta es:

Para expresar esta ecuacin en trminos per cpita, dividimos ambos lados entre :

Multiplicando y dividiendo en el lado derecho de la ecuacin y definiendo

Definiendo :

La solucin de esta ecuacin, por lo explicado en la nota de la pregunta anterior, ser:

Evaluando en :

Reemplazando en la ecuacin anterior, obtenemos la solucin para la ecuacin en diferencias de acumulacin del capital en trminos per cpita:

Asimismo, la relacin producto-capital sigue siendo la misma:

De aqu, se puede obtener la expresin para el producto per cpita:

Evaluando en el periodo :

Reemplazando en la ecuacin para el producto per cpita:

En resumen, se tiene:

Economa 1:

:

Para el capital:

Hay un capital inicial per cpita de 24 mil unidades monetarias.

Para el producto:

Hay un producto inicial per cpita de 8 mil unidades monetarias.

:

Para el capital:

En el periodo 20, hay un capital per cpita de 25.48 mil unidades monetarias.

Para el producto:

En el periodo 20, hay un producto per cpita de 8.49 mil unidades monetarias.

:

Para el capital:

En el periodo 50, hay un capital per cpita de 27.88 mil unidades monetarias.

Para el producto:

En el periodo 50, hay un capital per cpita de 9.29 mil unidades monetarias.

Economa 2:

:

Para el capital:

Hay un capital inicial per cpita de 24 mil unidades monetarias.

Para el producto:

Hay un producto inicial per cpita de 9.6 mil unidades monetarias.

:

Para el capital:

En el periodo 20, hay un capital per cpita de 28.15 mil unidades monetarias.

Para el producto:

En el periodo 20, hay un producto per cpita de 11.26 mil unidades monetarias.

:

Para el capital:

En el periodo 50, hay un capital per cpita de 35.75 mil unidades monetarias.

Para el producto:

En el periodo 50, hay un capital per cpita de 14.30 mil unidades monetarias.

Grficamente, podemos evaluar la diferencia del capital y el producto per cpita para ambas economas:

Para ambas economas la evolucin del capital per cpita es explosiva. No alcanzando ninguna convergencia.

Para ambas economas la evolucin del producto per cpita es explosiva. No alcanzando ninguna convergencia.

Qu sucede con la tasa de crecimiento y el nivel de producto per cpita si la tasa de ahorro en ambas economas sube 5%? Muestre sus respuestas en el perodo 20 y 50.

Se sabe que las tasas de crecimiento del capital y del producto son las mismas y estn dadas por:

Entonces, ante el cambio en las tasas de ahorro para ambas economas se obtiene:

Economa 1Economa 2

s = 25%s = 30%s = 22%s = 27%

3.30%5.00%3.80%5.80%

Para hallar los niveles per cpita del capital y el producto utilizaremos las ecuaciones obtenidas en la pregunta anterior.

Se haba obtenido:

Considerando los nuevos datos propuestos; es decir, que la tasa de ahorro de la economa 1 es ahora 30% y la de la economa 2 es 27%, obtendremos:

Economa 1:

:

Para el capital:

En el periodo 20, hay un capital per cpita de 35.66 mil unidades monetarias.

Para el producto:

En el periodo 20, hay un producto per cpita de 11.89 mil unidades monetarias.

:

Para el capital:

En el periodo 50, hay un capital per cpita de 64.60 mil unidades monetarias.

Para el producto:

En el periodo 50, hay un capital per cpita de 21.53 mil unidades monetarias.

En la economa 1 para diferentes tasas de ahorro la evolucin del capital per cpita es explosiva. No alcanzando ninguna convergencia.

En la economa 1 para diferentes tasas de ahorro la evolucin del producto per cpita es explosiva. No alcanzando ninguna convergencia.

Economa 2:

:

Para el capital:

En el periodo 20, hay un capital per cpita de 43.35 mil unidades monetarias.

Para el producto:

En el periodo 20, hay un producto per cpita de 17.34 mil unidades monetarias.

:

Para el capital:

En el periodo 50, hay un capital per cpita de 105.21 mil unidades monetarias.

Para el producto:

En el periodo 50, hay un capital per cpita de 42.09 mil unidades monetarias.

En la economa 2 para diferentes tasas de ahorro la evolucin del capital per cpita es explosiva. No alcanzando ninguna convergencia.

En la economa 2 para diferentes tasas de ahorro la evolucin del producto per cpita es explosiva. No alcanzando ninguna convergencia.

2. Modelo de Crecimiento Neoclsico: modelo de Solow

a. Desarrolle el modelo de Solow-Swan para una economa como la descrita a continuacin:

Funcin de produccin: Inversin:Ahorro agregado:Equilibrio:

Adems se sabe que la tasa de ahorro de esta economa es de 40%, la tasa de depreciacin es 5% y que la poblacin crece a un tasa de 5%. Finalmente, el capital per cpita en el perodo inicial es 9. Esto es:

Encuentre la ecuacin fundamental de acumulacin de capital per cpita.

Partiendo de la identidad Inversin igual a Ahorro.

Considerando que y . Podemos expresar la identidad anterior en trminos per cpita. Para esto, dividimos entre la fuerza laboral ambos lados de la ecuacin:

De esta manera, es necesario encontrar una expresin para . Para esto podemos utilizar la definicin de :

Reemplazando esta ltima expresin en :

La ecuacin fundamental de acumulacin de capital per cpita est dada por:

Encuentre el nivel de capital per cpita de estado estacionario. Tambin encuentre el nivel de producto per cpita, consumo per cpita e inversin per cpita de estado estacionario.

Para hallar las variables en estado estacionario, es necesario partir de la ecuacin fundamental de acumulacin per cpita, la funcin de produccin per cpita, el consumo per cpita y la identidad Inversin = Ahorro:

En estado estacionario se cumple que . Reemplazando esto en la ecuacin (1) y definien