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PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES Ing. Juan Salvador Palacios Fons

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PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

Ing. Juan Salvador Palacios Fonseca

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2Rev. 05/2009

Objetivo

Familiarizar al alumno en las técnicas y algoritmos usados en el tratamiento digital de señales y sus aplicaciones en tiempo real.

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3Rev. 05/2009

Temario• Unidad 1: Conceptos generales

• 1. Introducción• 1.1Clasificación de señales• 1.1.1 Señal determinista y aleatoria• 1.1.2 Tiempo continuo, tiempo discreto• 1.1.3 Propiedades de la señal sinusoidal en tiempo continuo• 1.1.4 Propiedades de la señal sinusoidal en tiempo discreto• 1.1.5 Señales de energía y señales de potencia• 1.1.6 Señales simétricas (pares) y antisimétricas (impares)• 1.1.7 Señales periódicas y no periódicas• 1.2Conversión analógico – digital• 1.2.1 Teorema del muestreo• 1.2.2 Frecuencias alias o solapamiento

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4Rev. 05/2009

Temario• Unidad 2: Señales y sistemas en tiempo discreto

• 2.1Sistemas en tiempo discreto• 2.1.1 Representación de sistemas discretos mediante diagramas de

bloques• 2.1.2 Clasificación de los sistemas discretos• 2.2Sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo• 2.2.1 La convolución• 2.2.2 Propiedades de la convolución• 2.2.3 Correlación de señales discretas

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5Rev. 05/2009

Temario• Unidad 3: La transformada z y sus aplicaciones

• 3.1La Transformada z• 3.1.1 La transformada z bilateral• 3.1.2 R.O.C.• 3.1.3 Propiedades de la transformada z• 3.1.4 Polos y ceros• 3.2La transformada z inversa• 3.2.1 Cálculo directo mediante integración de contorno• 3.2.2 Método de inspección• 3.2.3 Expansión en serie de potencias• 3.2.4 Descomposición en fracciones simples• 3.2.5 Descomposición de transformadas z racionales• 3.3La transformada z unilateral• 3.4Análisis en el dominio z de sistemas lineales e invariantes en el tiempo

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6Rev. 05/2009

Temario• Unidad 4: Análisis frecuencial

• 4.1Análisis frecuencial de señales en tiempo discreto• 4.1.1 Transformada de Fourier de señales periódicas• 4.1.2 Densidad espectral de potencia de señales periódicas• 4.1.3 Transformada de Fourier de señales no periódicas• 4.1.4 Densidad espectral de potencia de señales no periódicas• 4.1.5 Relación de la transformada de Fourier con la transformada z• 4.2Propiedades de la transformada de Fourier de señales en tiempo

discreto• 4.2.1 Propiedades de simetría• 4.2.2 Teoremas• 4.3Características en el dominio de la frecuencia• 4.4Sistemas lineales e invariantes en el tiempo como filtros selectivos en

frecuencia

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7Rev. 05/2009

Temario• Unidad 5: Transformada de Fourier discreta

• 5.1Muestreo en el dominio de la frecuencia• 5.2Transformada de Fourier discreta• 5.2.1 DFT como una transformación lineal• 5.3Relación de la DFT con otras transformadas• 5.4Propiedades de la DFT• 5.5Métodos de filtrado lineal basados en la DFT• 5.5.1 Filtrado de secuencias de larga duración• 5.6Análisis frecuencial usando la DFT

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8Rev. 05/2009

Temario• Unidad 6: Transformada rápida de Fourier

• 6.1Introducción• 6.1.1 Cálculo directo de la DFT• 6.1.2 Cálculo de la DFT mediante el método “divide y venceras”• 6.1.3 Algoritmos para la FFT base-2• 6.1.4 Algoritmos para la FFT base-4• 6.1.5 Algoritmos para la FFT de base partida• 6.2Aplicaciones de los algoritmos para la FFT• 6.2.1 FFT de dos secuencias reales• 6.2.2 FFT de una secuencia real de 2N puntos• 6.2.3 Uso de la FFT en el filtrado lineal y la correlación• 6.3La DFT como una operación de filtrado lineal• 6.3.1 El algoritmo de Goertzel• 6.3.2 El algoritmo de la transformada z chirp• 6.4Efectos de la cuantificación en el cálculo de la DFT

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9Rev. 05/2009

Temario• Unidad 7: Diseño de filtros digitales

• 7.1Introducción• 7.2Diseño de filtros FIR• 7.2.1 Filtros Simétricos y antisimétricos• 7.2.2 Diseño de filtros de fase lineal usando ventanas• 7.2.3 Diseño de filtros de fase lineal mediante el método de

muestreo en frecuencia• 7.2.4 Diseño de filtros óptimos de fase lineal y rizado constante• 7.3Diseño de filtros IIR• 7.3.1 Diseño de filtros IIR mediante la aproximación de derivadas• 7.3.2 Diseño de filtros IIR mediante la invarianza impulsional• 7.3.3 Diseño de filtros mediante la transformación bilineal• 7.4Diseño de filtro digitales basado en el método de mínimos cuadrados• 7.4.1 Método de aproximación de Padé• 7.4.2 Método de diseño de mínimos cuadrados• 7.4.3 Diseño de filtros IIR en el dominio de la frecuencia

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10Rev. 05/2009

Temario• Unidad 8: Densidad espectral de potencia

• 8.1Introducción• 8.2Estimación de espectros a partir de observaciones de señales de

duración finita• 8.3Métodos no paramétricos para estimación espectral de potencia• 8.4Métodos paramétricos de estimación espectral de potencia• 8.5Estimación espectral de mínima varianza

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Prácticas

1. Generación de señales Matlab: Sinusoidal Simple Matlab: Sinusoidal Compleja Matlab: Exponencial Matlab: Impulso

2. Muestreo Matlab: Muestreo de sinusoide Matlab: Simulación A/D Matlab: Simulación D/A C++: Muestreo de señal sinusoidal C++: Muestreo de voz

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Prácticas...

1. Sistemas LTI Matlab: Respuesta en el dominio del tiempo de un filtro

IIR Matlab: Respuesta de un filtro IIR al impulso Matlab: Respuesta de un filtro IIR al escalón Matlab: Respuesta en el dominio de la frecuencia de un

filtro IIR2. Transformada discreta de Fourier

Matlab: Propiedades de la DFT Matlab y C++: La DFT como una matriz Matlab y C++: Convolución Matlab y C++: La FFT

3. Diseño de filtros de tiempo discreto Matlab: Filtros FIR Matlab: Filtros Chebyshev Matlab: Filtros IIR C++: Diseño de filtros para tiempo real

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13Rev. 05/2009

Bibliografía

PROAKIS, John G., Tratamiento digital de señales, Ed. Prentice Hall, Tercera Edición.

OPPENHEIM, Alan V., Tratamiento de señales en tiempo discreto, Ed. Prentice Hall, Segunda Edición.

AMBARDAR, Ashok, Procesamiento de señales analógicas y digitales, Ed. Thomson, Segunda Edición.

ACEBAL, Jose B. Mariño, Tratamiento digital de la señal, Ed. Alfaomega, Segunda Edición.

BURRUS, C. Sidney, Ejercicios de tratamiento de la señal utilizando Matlab V.4, Ed. Prentice Hall

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14Rev. 05/2009

Proyectos

Radar Analizador de espectro digital Detección de voz Ecualizador Sintetizador Compresión de audio Demodulador programable digital

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Equipos para las Prácticas

Computadora con tarjeta de sonido instalada Software Matlab y C++ Fuente de voltaje Generador de Tonos Osciloscopio Analizador de espectro Convertidor A/D y D/A de 8 bits y 48 Khz para

puerto paralelo

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16Rev. 05/2009

Evaluación

Laboratorio: 35 %Laboratorio reprobado a cursoEntrega de prácticas durante la sesiónEntrega de reporte por escrito siguiente semana

Proyecto: 35 % Dos exámenes parciales: 20 % Portafolio: 10 %

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17Rev. 05/2009

Proyecto

Semanas1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Definición de proyecto: 1%Investigación teórica: 3%Desarrollo de código: 10%Desarrollo de electrónica: 6%Pruebas de laboratorio: 6%Estética: 3%Manual del usuario: 2%Presentación: 4%

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Unidad 1

•Conceptos generales

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19Rev. 05/2009

1 Introducción

• El procesamiento de señales trata de la representación, transformación y manipulación de señales y de la información

que contienen.

Procesamiento de señal

+

+

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20Rev. 05/2009

(cont…) Introducción…• El tratamiento digital de señales se basa en el

procesamiento de secuencias de muestras discretas en tiempo y amplitud.

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21Rev. 05/2009

(cont…) Introducción...

• Aplicaciones: Radar Sonar Comunicaciones satelitales Telefonía Electrocardiogramas Ultrasonidos Terremotos Fotografía Video Simulación ...

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22Rev. 05/2009

1.1 Clasificación de señales

• Señal: se define como una cantidad física que varía con el tiempo, el espacio, o cualquier otra variable o variables independientes

Unidimensional Bididimensional

tts 5)(1 21023),( yxyxyxs

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23Rev. 05/2009

1.1.1 Señal determinista y aleatoria

Señal determinista Señal aleatoria

Determinista: cualquier señal que pueda ser definida por una forma matemática explícita, un conjunto de datos o una regla determinada.

Aleatoria: cualquier señal que no se puede describir con un grado de precisión razonable mediante fórmulas matemáticas explícitas, o cuya descripción es demasiado complicada para ser de utilidad práctica.

sen(wt)y

1

θ(t))F(t)tA(t)sen(2π

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24Rev. 05/2009

1.1.2 Tiempo continuo, tiempo discreto

Tiempo continuo, amplitud continua.

Tiempo discreto, amplitud continua

Tiempo continuo, amplitud discreta

Tiempo discreto, amplitud discreta

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25Rev. 05/2009

1.1.3 Propiedades de la señal sinusoidal en tiempo continuo

• Para todo valor fijo de la frecuencia fo, es periódica.

ttfAtx ),2cos()( 0

)()( txTtx P )(tx

0

1fTP donde es el periodo fundamental

• Las señales en tiempo continuo con frecuencias diferentes, son diferentes.

• El aumento en la frecuencia fo resulta en un aumento en la tasa de oscilación de la señal en un intervalo de tiempo dado.

)(2

)(2)cos()( tjAtjA eetAtx

Fasores de una señal sinusoidal con frecuencias positivas y negativas.

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1.1.4 Propiedades de la señal sinusoidal en tiempo discreto

1. Una sinusoide en tiempo discreto es periódica solo si su frecuencia Fo es un número racional. )()( nxNnx para todo n

kNF 22 0 Nk

F 0 k: número entero

nnFAnx ),2cos()( 0

02 Fw

w : frecuencia en tiempo continuo expresada en radianesf0: frecuencia de señal en tiempo continuo

fs: frecuencia de muestreoN: periodo fundamental en tiempo discretoFo: frecuencia de señal en tiempo discreto, normalizada o relativaW: frecuencia en tiempo discreto expresada en radianes

sfF 0f0

121

0 F

3

Periodo fundamental, N

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27Rev. 05/2009

(cont…) Propiedades de la señal sinusoidal en tiempo discreto

2. Las sinusoides en tiempo discreto cuyas frecuencias están separadas por un múltiplo de son idénticas.2

)cos()2(cos WnnW

3. Para un tamaño de muestra dado, la mayor tasa de oscilación en una sinusoide en

tiempo discreto se alcanza cuando ó ó, equivalente, W W

21

0 F

ó21

0 F

Ejercicios: 1. Demostrar la segunda propiedad. 2. Demostrar que el denominador de F0 es igual al número de muestras por ciclo.

Rango de frecuencias únicas: W ó 21

21 oF

Rango de frecuencias alias:

WóF 21

0

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N

F

W

0

0

0

1616

18

0

N

F

W

44

12

0

N

F

W

22

10

N

F

W

(cont…) Propiedades de la señal sinusoidal en tiempo discreto

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1.1.5 Señales de energía y señales de potencia

n

nxE2

)(

N

NnNnx

NP

2)(

121lim

La energía de una señal x(n) se define como:

La potencia media de una señal discreta en el tiempo x(n) se define como:

Si P es finita (y distinta de cero), la señal se denomina señal de potencia. Por otra parte, si E es infinita, la potencia media P puede ser tanto finita como infinita.

La energía de una señal puede ser finita o infinita. Si E es finita (es decir, ), entonces se dice que x(n) es una señal de energía.

E0

Ejemplo: Determine la potencia y energía de la secuencia escalón unidad.

21

/12/11

121

0

212

1 limlim)(lim

NN

NNN

N

N

nNN

nuP

La secuencia escalón unidad es una señal de potencia. Su energía es infinita. Todas las señales periódicas son señales de potencia.

1

0

21 )(N

nN nxP

Para señales periódicas y para señales aperiódicas

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1.1.6 Señales simétricas (pares) y antisimétricas (impares)

)()( nxnx Se denomina simétrica o par:

Se denomina antisimétrica, o impar:

)()( nxnx

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1.1.7 Señales periódicas y señales no periódicas

Una señal periódica se define como:

)()( nxNnx Para todo n

Si la relación anterior no se verifica para ninguna N, entonces se dice que es aperiódica.La energía de una señal periódica en un periodo finito es finita. Cuando toma valores desde su energía es infinita. Por otra parte, la potencia media de una señal periódica es finita y es igual a la potencia media sobre un único periodo.

n

1

0

21 )(N

nN nxP

Potencia media de una señal periódica con periodo fundamental N y de valores finitos:

Las señales periódicas son señales de potencia.

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1.2 Conversión analógico-digital

1. Muestreo: Conversión de una señal en tiempo continuo en una señal en tiempo discreto obtenida tomando “muestras” de la señal en tiempo continuo en instantes de tiempo discreto.

2. Cuantificación: Conversión de una señal en tiempo discreto con

valores continuos a una señal en tiempo discreto con valores

discretos.

3. Codificación: En el proceso de codificación, cada valor discreto se

representa mediante una secuencia binaria de bits.

Muestreador

Cuantificador Codificador

Señal analógica

Señal en tiempodiscreto

Señal cuantificada

Señal digital

)(txa x(n) (n)xq 0101100…

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(cont..) Conversión analógico-digital

sfnnT t sfFf 00

sTW

xa(t)

x(n)=xa(nt)

n

TsPeriodo de muestreo ointervalo de muestreo

fs = 1/T, frecuencia de muestreo (hertzios)

Las relaciones entre las variables de tiempo continuo y las de tiempo discreto son:

θ)tπf((t)xa 02cosA

sfn

sa AnTAnTx 0f0f

2cos)2cos()(

Señal en tiempo continuo

Señal muestreada

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1.2.1 Teorema de muestreo

• Teorema del Muestreo: la frecuencia de muestreo de una señal cualquiera debe ser al menos dos veces la frecuencia mas alta conocida.

Bf max0Frecuencia de Nyquist:

max022 fBf s

El concepto central en el procesamiento digital de señales analógicas es que la señal muestreada debe ser una representación única de la señal analógica.

A la frecuencia de Nyquist se toman dos muestras por periodo de la señal analógica.

Tarea: Desarrollar el teorema de muestreo.

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(cont…) Teorema de muestreo

)20cos()(1 ttx

)100cos()(2 ttx

Dos señales son muestreadas a una velocidad de 40 Hz.

Determinar las señales resultantes.

Ejercicio:

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1.2.2 Frecuencias alias o solapamiento

• Solapamiento (aliasing): distorsión provocada debido a que la frecuencia de muestreo es menor al doble de la frecuencia de la señal a muestrear y su efecto reside en la perdida de información a estas frecuencias.

Frecuencia

fundamental f0 = 50

Hz

1er Alias a f0 = 150

Hz

2do Alias a f0 = 350

Hz

Frecuencia de

muestreo fs = 200 Hz Tarea: Investigar la aplicaciones del solapamiento.

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Hzfs 8000

02 ffS

(cont…) Frecuencias alias o solapamiento

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38Rev. 05/2009

hzfs 8000

0ffS

(cont…) Frecuencias alias o solapamiento

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39Rev. 05/2009

hzf s 8000

0ffS

(cont…) Frecuencias alias o solapamiento

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40Rev. 05/2009

Falta figura con los espectros de las señales con solapamiento Seccion 4.2.9 “el teorema de muestreo revisado

(cont…) Frecuencias alias o solapamiento

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41Rev. 05/2009

Considere la siguiente señal:

ttxa 100cos3)( • Determine la velocidad de muestreo mínima para evitar el alias.

• Suponga que la señal se muestrea a una velocidad fs = 200 Hz, ¿Cuál es la

señal en tiempo discreto obtenida tras el muestreo?

• Suponga que la señal se muestrea a una velocidad fs = 75 Hz. ¿Cuál es la

señal en tiempo discreto obtenida tras el muestreo?

• ¿Cuál es la frecuencia 0<f0<fs /2 de una sinusoide que produce muestras

idénticas a las obtenidas en el apartado c)?

(cont…) Frecuencias alias o solapamientoEjercicio:

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42Rev. 05/2009

• Ejercicio con Matlab

)2sin()( 0 tfAtx

b) Utilizando los siguientes parámetros, representar 25 puntos de la función:

Hzf 17500 Hzfs 4000 o45

a) ¿cuál es la frecuencia de muestreo mínima si fo=1500 Hz?

c) Utilizar los mismos parámetros y graficar una ventana de 25 ms de la señal.

(cont…) Frecuencias alias o solapamiento

Dada la siguiente función:

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Ejercicios: Unidad 11. Determine si cada una de las señales siguientes es periódica. En caso

afirmativo, especifique su periodo fundamental.a)b)c)d)e)

1. Considere la siguiente señal sinusoidal analógica:

a) Dibuje la señal xa(t) para 0 ≤ t ≤ 30 ms.

b) La señal xa(t) se muestrea con una tasa de fs=300 muestras/seg. Determine la frecuencia de la señal en tiempo discreto x (n)=xa (nT), T=1/fs, y demuestre que es periódica.c) Calcule los valores de las muestras de un periodo de x (n). Dibuje x (n) en el mismo diagrama de xa(t ). ¿Cuál es el periodo en milisegundos de la señal en tiempo discreto?

d) ¿Podría encontrar una tasa de muestreo fs tal que la señal alcance su valor de pico x (n ) de 3?. ¿Cuál es el valor mínimo de fs adecuado, para esta tarea?

)6/5cos(3)( ttxa

)6/5cos(3)( nnx

)6/(exp2)( nn jx

)8/cos()8/cos()( nnn x

)3/4/co s(3)8/()2/co s()( nnsennnx

)100(3)( tsentxa

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44Rev. 05/2009

…Ejercicios: Unidad 1

1. Una señal analógica contiene frecuencias hasta los 10 Khz.a) ¿Qué intervalo de frecuencias de muestreo permite su reconstrucción exacta a partir de sus muestras?b) Suponga que muestreamos esta señal con una frecuencia de muestreo fs = 8 Khz. Examine lo que ocurre con la frecuencia fo = 5 Khz.

c) Repita el apartado b) para una frecuencia fo = 9 Khz.

1. Una señal analógica xa(t) = sen (480πt) + 3 sen ( 720πt) se muestrea 600 veces por segundo.a) Determine la tasa de Nyquist para xa (t).b) Determine la máxima frecuencia a la que se puede muestrear para que no exista ambigüedad al reconstruir la señal original.c) ¿Cuáles son las frecuencias, en radianes, de la señal resultante x (n )?d) Si x (n ) se pasa a través de un conversor D/A ideal, ¿Cuál es la señal reconstruida ya (t) que se obtiene?