Presentacion PDS 2

download Presentacion PDS 2

of 153

  • date post

    06-Jul-2018
  • Category

    Documents

  • view

    216
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Presentacion PDS 2

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    1/153

    Señales y Sistemas de TiempoDiscreto

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    2/153

    Cap. 1

    Conceptos básicos de señales y sistemas detiempo discreto

    Tipos y representación de señales

    Propiedades importantes de los sistemas

    Convolución

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    3/153

    Cap. 1

    Señales de Tiempo Discreto

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    4/153

    Cap. 1

    En ingeniería electrónica: trabajar consistemas y con señales

    Las señales: informaciónSistemas: modifican o procesan la

    información

    Las señales en general pueden ser de dostipos: analógicas y discretas

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    5/153

    Cap. 1

    Las señales analógicas serán denotadascomo

    Una señal de tiempo discreto serádenotada como

    También se denominan: secuencias y se

    pueden denotar como:

    t  xa

    n x

    ,2,1,0,1,   x x x xn xn x

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    6/153

    Cap. 1

    Secuencias en MATLAB

    en MATLAB, hacemos:

    >> n=[-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4];

    >> x=[2, 1, -1, 0, 1, 4 ,3, 7];

     

    7,3,4,1,0,1,1,2n x

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    7/153

    Cap. 1

    Operaciones sobre secuencias

    1. Suma: Se refiere a la suma muestrapor muestra entre dos secuencias, serepresenta como:

    n xn xn xn x 2121  

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    8/153

    Cap. 1

    Multiplicación de señales: Se refiere alproducto muestra por muestra entre dos

    secuencias, se representa como:

    n xn xn xn x 2121  

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    9/153

    Cap. 1

    Escalamiento: En esta operación cadamuestra es multiplicada por un escalar.

     x xn x       

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    10/153

    Cap. 1

    Corrimiento: En esta operación cadamuestra de es corrida un número k

    de muestras para obtener

    n x

    n y

    k n xn y  

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    11/153

    Cap. 1

    Reflejo por el origen: En esta operacióncada muestra de es reflejada

    alrededor de para obtener lasecuencia reflejada

    n x

    0n n y

    n xn y  

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    12/153

    Cap. 1

    Energía: La energía de una secuenciaestá dada por

     

    2

    *   n xn xn x x

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    13/153

    Cap. 1

    Potencia: La potencia promedio de unasecuencia periódica con periodo

    fundamental N está dada por

    1

    0

    21   N 

     x   n x

     N 

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    14/153

    Sistemas de tiempo discreto

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    15/153

    Cap. 1

    Un sistema de tiempo discreto es descritopor un operador que toma una

    secuencia y la transforma en otrasecuencia

    n y n x

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    16/153

    Cap. 1

    Clasificación de sistemas de tiempo discreto

    Lineales y no linealesInvariantes y variantes en el tiempo

    Causales y no causales

    Estáticos y dinámicosEstables e inestables

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    17/153

    Cap. 1

    Causales y no causales

    Un sistema es causal si su salida solo

    depende de entradas y salidas pasadas ypresentes. Si la salida depende de algunaseñal futura, es no causal

    0,0     nnh

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    18/153

    Cap. 1

    Estáticos y dinámicos

    Un sistema es dinámico si para suimplementación se requiere de algúnelemento de memoria. De lo contrario, es

    estático

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    19/153

    Cap. 1

    Estables e inestables

    Un sistema es estable en el sentido BIBO

    (Bounded Input Bounded Output), si anteuna entrada acotada, la salida también

    está acotada

      y xn yn x ,,

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    20/153

    Cap. 1

    Sistemas lineales. Es lineal si satisface elprincipio de superposición. Supongamos

    que un sistema es un operador , estees lineal si y solo si satisface:

     L

        n x Lan x Lan xan xa L 22112221  

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    21/153

    Cap. 1

    Sistemas invariantes en el tiempo

    Un sistema es invariante en el tiempo siante una entrada dada que ocurra encualquier tiempo, la salida es siempre

    igual.

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    22/153

    Cap. 1

     A los sistemas que al mismo tiempo son

    lineales e invariantes en el tiempo, se lesconoce como Sistemas LTI

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    23/153

    Cap. 1

    Si y son la entrada y la salida de unsistema LTI, entonces:

    Donde es la respuesta al impulso delsistema

    n x   n y

     

    k nhk  xn x LTI n y

    nh

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    24/153

    Cap. 1

    La operación matemática indicada seconoce como   suma de convolución 

    lineal  y es denotada como:

    n yn xn y *

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    25/153

    Cap. 1

    Un sistema de tiempo discreto es

    completamente caracterizado en eldominio del tiempo por su respuesta alimpulso nh

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    26/153

    Cap. 1

     Análisis de Sistemas LTI

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    27/153

    Existen dos métodos de analizar un sistemaLTI:

    Suma de Convolución

    Resolver la(s) ecuacione(s) de diferencias

    que lo modelan

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    28/153

    Cap. 1

    La suma de convolución

    Se obtiene sabiendo que cualquier señal detiempo discreto se puede representarcomo:

    k nk  xn x     

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    29/153

    Si la señal anterior entra a un sistema LTI,entonces la salida es:

    k nhk  xn y

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    30/153

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    31/153

    Propiedad Asociativa

    )(*)](*)([)](*)([*)( 2121   nhnhn xnhnhn x  

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    32/153

    Propiedad Distributiva

    )(*)()(*)()]()([*)( 2121   nhn xnhn xnhnhn x  

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    33/153

    Cap. 1

    En Matlab, se tiene a la función conv

    solo considera a los vectores de amplitudno toma en cuenta la información temporal

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    34/153

    Cap. 1

    Ejemplo del uso de conv

    >> x = [3, 11, 7, 0, -1, 4, 2];>> h = [2, 3, 0, -5, 2, 1];

    >> y = conv(x, h)

     y =6 31 47 6 -51 -5 41 18 -22 -3 8 2

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    35/153

    Cap. 1

    Cuando las secuencias finitas no comienzanen n=0 es fácil obtener el punto de inicioy de culminación del resultado de laconvolución

     Así, si

    y   xf   xi   nnnn x   ;     hf  hi   nnnnh   ;

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    36/153

    Cap. 1

    los puntos extremos de , serán

    y

    n y

    hi xi yi   nnn     hf   xf   yf     nnn  

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    37/153

    Cap. 1

    function [y, ny] = conv_mej(x, nx, h, nh)

    %Función mejorada para determinar la convolución

    %-------------------------------------------------------------

    %[y, ny] = resultado de la convolución%[x, nx] = primera señal

    %[h, nh] = segunda señal

    nyi = nx(1)+nh(1);

    nyf = nx(length(x)) + nh(length(h));ny = [nyi:nyf];

     y = conv(x, h);

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    38/153

    Ecuaciones de diferencias

    En tiempo continuo:

    Ecuaciones diferencialesContienen derivadas

    En tiempo discreto:

    Ecuaciones de diferenciasContienen diferencias

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    39/153

    Ecuación diferencial

    Ecuación de diferencias

    dt 

    t dxbn xb

    dt 

    t  yd a

    dt 

    t dyat  ya

    )()(

    )()()( 102

    2

    210  

    )1()()2()1()( 10210     n xbn xbn yan yan ya

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    40/153

    Trabajaremos con ecuaciones dediferencias:

    Coeficientes constantes

    LTI

    CausalesEstables

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    41/153

    Es decir, de la forma general:

    El orden de la ecuación es N, normalmenteocurre que N>M

    )()1()()()1()(

    10

    10

     M n xbn xbn xb N n yan yan ya

     M 

     N 

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    42/153

    que se puede escribir como

     N 

     N 

    k    k n xbk n ya00

    )()(

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    43/153

    Los métodos de solución de lasecuaciones de diferencias son similares a

    los métodos de solución de ecuacionesdiferenciales

    En Matlab: filter

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    44/153

    Bloques para representar sistemas

    Forma natural de representación

    Flujo de las señales

    Operaciones sobre las señales paragenerar la señal de salida

    Representan los algoritmos que se deben

    realizar para procesar ala señal

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    45/153

    Suma de señales

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    46/153

    Producto de señales

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    47/153

    Elemento de retardo

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    48/153

    Multiplicación por una constante

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    49/153

    Análisis de Fourier para

    señales de tiempo discreto

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    50/153

    Transformada de Fourier para

    señales de tiempo discreto

    Si es absolutamente sumable, es decirsi

    entonces, su transformada de Fourier detiempo discreto está dada por

    n x

     

    n x

       

    n

    n j j en xn x F e X      

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    51/153

    La transformada inversa de Fourier de

    está dada por

      je X 

       

     

     

        

     d ee X e X  F n x   n j j j

    2

    11

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    52/153

    Transformada Discreta de Fourier

    La transformada Discreta de Fourier estádada por

      10,1

    0

     

     N k W n xn x DFT k  X  N 

    nk 

     N 

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    53/153

    La transformada discreta de Fourier inversaes

    donde

      10,1 10

     

     N nW k  X  N 

    k  X  IDFT n x N 

    kn

     N 

     N kn jW  /2exp    

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    54/153

    La DFT aplicada sobre una secuencia de Nelementos, da como resultado una secuenciatambién de N elementos

    La secuencia que resulta depende de la variable k 

    Los puntos que resultan están separados entre sí a igual distancia en frecuencia y repartidos a lolargo de un rango de frecuencias de extensión

     2

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    55/153

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    56/153

    En MATLAB, la implementación de la DFT esrelativamente simple

    Suponiendo que los vectores y seescriben como vectores columnas y

    n x   k  X x   X

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    57/153

    La DFT y la IDFT se pueden escribir como

    XWx

    xWX

    *1

     N 

     N 

     N 

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    58/153

    Donde

    Se conoce como matriz DFT

    211

    11

    1

    1

    111

    1,0,

     N 

     N 

     N 

     N 

     N 

     N  N 

    kn

     N  N 

    W W 

    W W  N nk W W

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    59/153

    function [Xk] = dft(xn, N)

    % Calcula la Transformada Discreta de Fourier%--------------------------------------------------------

    % [Xk] = dft(xn, N)

    % Xk = Coeficientes DFT sobre 0

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    60/153

    function [xn] = idft(Xk, N)

    % Calcula la Transformada Discreta de Fourier Inversa%----------------------------------------------------------------

    % [xn] = idft(Xk, N)

    % Xk = Coeficientes DFT sobre 0

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    61/153

    Transformada Rápida de Fourier FFT)

    Para calcular DFT´s se requieren una grancantidad de operaciones

    El cálculo es poco eficiente

    Consume mucho tiempo de máquina o muchoespacio de silicio

    En 1965, Cooley y Tukey mostraron unprocedimiento para reducir sustancialmente lacantidad de cálculos involucrados en laobtención de la DFT

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    62/153

    Esto llevó a una explosión en lasaplicaciones de la DFT, incluyendo el áreade procesamiento digital de señales

    Desarrollo de algoritmos más eficientes

    Todos estos algoritmos son conocidoscolectivamente con el nombre de

    Transformada Rápida de Fourier (FFT ensus siglas en inglés)

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    63/153

    MATLAB, fft para calcular la DFT de unvector

    La función es llamada como X = fft(x, N)calcula una DFT de N puntos

    Si la longitud de x es menor que N,entonces x es rellenada con ceros

    Si el argumento de N es omitido, entoncesla longitud de X es la longitud de x

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    64/153

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    65/153

    Convoluciones Rápidas

    La función conv se implementa en MATLABusando la función filter

    es muy eficiente para pequeños valoresde N (

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    66/153

    Esta aproximación usa la convolucióncircular para implementar la convolución

    lineal, y la FFT para implementar laconvolución circular

    El algoritmo resultante es llamadoconvolución rápida

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    67/153

    function [y] = convrapida(x, h, N)

    % Convolución rápida usando FFT

    %--------------------------------------------------------

    % [y] = convrapida(x, h, N)

    % y = secuencia de salida

    % x = secuencia de entrada% h = respuesta al impulso

    % N = longitud del bloque (debe ser una potencia de 2)

    N = 2^(ceil(log10(N)/log10(2));

    Lenx = length(x); M = length(h);M1 = M-1; L= N-M1;

    h = fft(h, N);

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    68/153

    x = [zeros(1, M1), x, zeros(1, N-1)];

    K = floor((Lens+M1-1)/(L)); % # de bloques

     Y = zeros(K+1, N);

    for k = 0:K

    xk = fft(x(k*L+1:k*L+N));

     Y(k+1,:) = real(ifft(xk(.*h));

    End

     Y = Y(:,M:N)’; y = (Y(:))’;

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    69/153

    Transformada Z

    La transformada Z es la equivalente a la

    transformada la Laplace para señales detiempo discreto

    Z es, al igual que s, una variable compleja

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    70/153

    Usaremos transformada Z para:

    obtener funciones de sistema

    manipular señales y sistemas en eldominio de la frecuencia

    mantener todas las características de lasseñales y sistemas de tiempo discreto

    diseñar filtros digitales colocando polos yceros

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    71/153

    La transformada Z se define como:

    donde hay que indicar región deconvergencia (ROC), es decir, los puntosdel plano z donde esta es válida

    n

    n

     z n x z  X 

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    72/153

    La transformada de Fourier para señales detiempo discreto es un caso particular de la

    transformada Z Así:

      je z  

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    73/153

    Capítulo 3

    Filtros Digitales

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    74/153

    Dos tipos importantes de sistemas

    filtro digital : Dominio del tiempo 

    analizadores espectrales : Dominio de la

    frecuencia 

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    75/153

    Métodos para el diseño de filtros digitales

    FIR : Respúesta al impulso finita

    IIR : Respuesta al impulso infinita

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    76/153

    . Los filtros selectivos en frecuencia:

    pasbajas pasaaltas

    pasabanda

    rechazabanda.

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    77/153

    Pasos en el diseño de un filtro digital

    Especificaciones

     Aproximación

    Implementación

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    78/153

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    79/153

    Diseño de filtros FIR por el método de

    ventanas

    Idea básica :

    elegir un filtro ideal apropiado selectivo enfrecuencia

    truncar su respuesta al impulso paraobtener un filtro de fase lineal y causalfiltro FIR 

    la importancia radica en la elección deuna ventana adecuada

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    80/153

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    81/153

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    82/153

    Para obtener un filtro FIR a partir detenemos que truncar esta respuesta al

    impulso en ambos extremos

    nhi

     

    1,0,0

    10,

     M nn

     M nnhnh

      i

    2

    1 M 

     

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    83/153

     Así, puede pensarse como resultadodel producto de y una función

    ventana como

    nh nhi

    nw

    nwnhnh i

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    84/153

    Con las especificaciones dadas se observa la tabla1, para determinar cual tipo de ventanasatisface As

     Así, si As=46 dB, se elige la ventana Hamming

    Se iguala su correspondiente ancho de la bandade transición con el ancho de la banda detransición de las especificaciones

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    85/153

    Tendríamos:

     M  p s

         6.6

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    86/153

    function hi = filtroideal(wc, M);

    % Cálculo de M muestras de un filtro ideal pasabajas

    %--------------------------------------------------------------

    % [hi] = filtroideal(wc, M)

    % hi = respuesta al impulso ideal entre 0 y M-1% wc = frecuencia de corte en radianes

    % M = longitud del filtro ideal

    alfa = (M-1)/2;

    n = [0:1:(M-1)];

    m = n –  alfa +eps; % agrega un número pequeñopara evitar /0

    hi = sin(wc*m)./(pi*m);

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    87/153

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    88/153

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    89/153

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    90/153

    Diseño de Filtros IIR 

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    91/153

    los filtros IIR tienen respuestas al impulsoinfinitas

    pueden acoplarse a filtros analógicos

    también con respuestas al impulsoinfinitas

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    92/153

    pueden acoplarse a filtros analógicos

    también con los filtros IIR tienenrespuestas al impulso infinitas

    respuestas al impulso infinitas

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    93/153

    técnica básica de diseño de filtros IIR:

    transformación de filtros analógicos en filtrosdigitales

    usando transformaciones A/D

    Existen dos aproximaciones para atacar elproblema de diseñar un filtro IIR 

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    94/153

     Aproximación 1:

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    95/153

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    96/153

    Filtros prototipos analógicos

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    97/153

    Las técnicas de diseño de filtros IIR se

    basan en las aproximaciones de los filtrosanalógicos para obtener los filtrosdigitales

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    98/153

    Tres tipos de filtros prototipos son usadosen la práctica:

    Butterworth

    Chebyshev

    Elípticos

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    99/153

     Aproximación Butterworth

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    100/153

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    101/153

    La magnitud de la respuesta en frecuenciaal cuadrado de un filtro pasabajasButterworth de orden N, es

     N 

    c

    a   j H  22

    1

    1

     

     

     

     

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    102/153

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    103/153

    De la figura podemos observar las siguientespropiedades:

    En , para todo N.

    En , para todo N, lo cual implica

    3 dB de atenuación en en

    0   102

     j H a

    c   212

    ca   j H 

    ccccc

    c

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    104/153

    s una función monotónicamente

    decreciente de

    se aproxima a un filtro pasabajas

    ideal cuando

    2 j H a

    2 j H a

     N 

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    105/153

    La función de transferencia de un filtro deeste tipo de orden n, se puede escribircomo

    1

    1

    2

    2

    2

    2

    1

    1

    0

     sa sa sa sa s

     H  s H 

    nnn

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    106/153

    Para implementar este tipo de filtros enMATLAB, se cuenta con las funciones

    Butter

    buttord

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    107/153

     Aproximación Chebyshev.

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    108/153

    Existen dos tipos de filtros Chebyshev

    los filtros Chebishev tipo I tienen rizosuniformes en la banda de paso

    los filtros Chebyshev tipo II tienen rizos

    uniformes en la banda de rechazo

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    109/153

    Para las mismas especificaciones, los filtrosChebyshev requieren funciones deórdenes menores que las funciones de los

    filtros Butterworth

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    110/153

    La magnitud de la respuesta en frecuenciaal cuadrado de un filtro pasabajasChebyshev de orden N, es

     

     

     

     

    c

     N 

    a

     j H 22

    2

    1

    1

     

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    111/153

    0 0.5 1 1.5 2 2.5-8

    -7

    -6

    -5

    -4

    -3

    -2

    -1

    0

    1

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    112/153

    donde es el factor de rizo en la bandade paso, el cual está relacionado con

    es el polinomio de Chebyshev deorden N, el cual está dado por

    donde

     

     p A

     xT  N 

     

    x1 ,coshcosh

    1x0 ,coscos

    1

    1

     x

     x N  xT  N 

    c

     x

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    113/153

     Algunas de las propiedades que se observanen , son:

    En ,

    para impar

    para par

    2 j H a

    1 x 0

    102 j H a

    2

    2

    1

    10

      j H a

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    114/153

    En ,

    para todo N

    Para , oscila entre 1 y

    Para , decrecemonotónicamente a 0

    1 x   c

    2

    2

    1

    11

      j H a

    10    x   c0 21

    1

     

    1 x c   2 jx H a

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    115/153

    En ,r  x     22 1

     A jx H a  

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    116/153

    La función de transferencia de un filtro deeste tipo de orden n, se puede escribircomo

    1

    2

    1

    2

    2

    1

    1

    0

     sa sa sa sa s

     H  s H 

    nn

    nnn

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    117/153

    Para implementar este tipo de filtros enMATLAB, se cuenta con las funciones

    cheb1ord

    cheb2ord

    cheby1cheby2

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    118/153

    Aproximación Elíptica

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    119/153

    Estos filtros presentan rizos tanto en la banda depaso como en la banda de rechazo

    Logran el mínimo orden para unas

    especificaciones dadasSon difíciles de analizar y de diseñar

    No es posible diseñarlos usando herramientas

    simples, por lo que siempre se requieren tablaso programas

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    120/153

    La magnitud de la respuesta en frecuenciaal cuadrado de un filtro pasabajas Elípticode orden N, es

     

     

     

     

    c N 

    a

     j H 22

    2

    1

    1

     

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    121/153

    donde es el factor de rizo en la banda de

    paso, el cual está relacionado con

    es una función elíptica Jacobiana de

    orden N

     

     p A

     xU  N 

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    122/153

    0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-70

    -60

    -50

    -40

    -30

    -20

    -10

    0

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    123/153

    Para implementar este tipo de filtros enMATLAB, se cuenta con las funciones

    ellip

    ellipord

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    124/153

    Transformaciones analógico-digital

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    125/153

    Estas transformaciones son mapeos complejosque han sido estudiados extensamente en laliteratura

    Se derivan de la preservación de diferentesaspectos de los filtros analógicos

     Así, si deseamos preservar la forma de larespuesta al impulso del filtro analógico en el

    filtro digital, se obtiene la técnica de latransformación denominada de invarianza al impulso 

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    126/153

    Si deseamos convertir la representación deuna ecuación diferencial en sucorrespondiente representación en unaecuación de diferencias, entonces seobtiene la técnica conocida comoaproximación de diferencias finitas 

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    127/153

    otra técnica llamada invariancia al escalón,preserva la forma de la respuesta al escalón delfiltro analógico

    otras muchas técnicas son posiblesla más popular en la práctica es la que se conoce

    como transformación bilineal , la cual preserva la

    representación de la función de sistema del filtroanalógico en el filtro digital.

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    128/153

    Transformación bilineal

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    129/153

    Para obtener una función de sistema detiempo discreto a partir de unafunción de sistema analógica usandola transformación bilineal, tenemos quesustituír en la función el valor de

    como

     z  H   s H 

     s H  s

    1

    1

    112

     z  z  s

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    130/153

    lo cual implica que

    21

    21

     s

     s

     z 

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    131/153

    Sustituyendo en la ecuaciones anterioresy obtenemos:   j s        je z  

     

      

       

    22 1tan   

     

      

     

    22

       tan

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    132/153

    la relación entre las variables de frecuenciaen tiempo continuo y tiempo discreto esno lineal

    por lo que todas las cracterísticas enfrecuencia deben predistorsionarse

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    133/153

    Proceso de diseño de un filtro IIR 

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    134/153

    Dadas las especificaciones de diseño de unfiltro digital pasabajas

     P   S    P  A   S  A

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    135/153

    Los pasos a seguir para obterlo, son:

    1. Predistorsionar las frecuenciascaracterísticas:

     

     

     

     

    22  P 

     P    tan   

     

     

     

     

    22  S 

    S    tan

       

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    136/153

    2. Diseñar el filtro prototipo analógico

    cuyas especificaciones son ,

    Esto involucra utilizar las diferentes

    aproximaciones y transformaciones.

     s H a

     P  S 

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    137/153

    3. Aplicar la transformación bilineal.

      

      

    1

    1

    112

     z  z  H  z  H  a

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    138/153

    4.2. Transformaciones en la variable defrecuencia compleja

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    139/153

    Hasta ahora solo se hanpresentadofunciones que representanaproximaciones pasabajas

    Para obtener filtros de los otros tipos(pasaaltas, pasabanda y rechazabanda),se necesita realizar transformaciones

    adecuadas sobre las funciones pasabajas

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    140/153

    Transformación pasabajas-pasabajas

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    141/153

    también se le conoce como desnormalización enfrecuencia

    traslada la función de respuesta en frecuencia

    de una frecuencia a otrapodemos considerar cualquier frecuencia

    característica (frecuencia de corte, frecuenciacentral de un pasabanda, frecuencia wp de un

    pasabajas, etc.) para trasladarla a otro valor defecuencia.

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    142/153

    Para hacer esto, primero se halla el factorde desnormalización en frecuencia, que sedefine como

    deseasequeticacaracterísfrecuencia

     tienesequeticacaracterísfrecuencia

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    143/153

    por ejemplo, si queremos trasladar lafrecuencia wpn=1 rad/seg de un filtropasabajas a la frecuencia wp=1000rad/seg, el factor de desnormalización es

    10001

    1000

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    144/153

    Si la función de transferencia del filtronormalizado es , la función detransferencia del filtro después detrasladar la frecuencia se obtienehaciendo

            s H  s H  n

     s H n

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    145/153

    Transformación pasabajas-pasaaltas

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    146/153

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    147/153

    La frecuencias y del pasaaltasque resulta se obtienen de las frecuencias

    y del filtro pasabajas, como

     PH   SH  

     PL  SL 

     PL

     PH  

     1

    SL

    SH 

     

     1

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    148/153

    Si la función de transferencia del filtropasabajas es , la función detransferencia del filtro pasaaltas

    se obtiene haciendo

     s H  LP 

     s H  HP 

       

     

     

     

     s H  s H  LP  HP 

    1

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    149/153

    Transformación pasabajas-pasabanda

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    150/153

     Al aplicar esta transformación a una función

    de transferencia pasabajas con una

    característica , se obtiene la funciónde transferencia de un filtro pasabanda con

    un ancho de banda y una

    frecuencia central c

     PL 

     PL BW     

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    151/153

    La frecuencia central se mide a lo largo de

    las frecuencias donde la curva de la

    respuesta en frecuencia se cruza con el

    valor de Ap, lo cual ocurre en dos puntos

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    152/153

    Los dos puntos que se cruzan con As

    definen otro ancho de banda que

    denotaremos como y que es igual al

    valor de del filtro pasabajas

    S  BW 

    S  

  • 8/17/2019 Presentacion PDS 2

    153/153