Pds 2da Unidad 2015

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Ing. Lucy Delgado Barra Procesamiento Digital de Seales

SEGUNDA UNIDAD

SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO

2.1 SEALES Y SISTEMAS

Los conceptos de seales y sistemas se utilizan de manera cotidiana para ilustrar el comportamiento de

una gran cantidad de sistemas fsicos, asociados a las comunicaciones, la electrnica, medicina,

aeronutica, acstica, ptica, sismologa, etc. An cuando estos sistemas sean de naturalezas diferentes,

pueden a travs de estos conceptos, ser tratados de manera semejante. As definimos una seal como

aquella cantidad fsica que vara con el tiempo, espacio o cualquier otra variable o variables

independientes, pero lo ms importante es que conllevan en s mismas, informacin de algn fenmeno

particular. De manera semejante, podemos definir los sistemas como las estructuras organizadas que

transforman las seales de entrada, generando seales de salida, tal como se ilustra en la figura 2.1

Figura 2.1. Diagrama de bloques de un sistema

Por ejemplo en una computadora las seales son voltajes en funcin del tiempo, que aplicados a los

circuitos electrnicos, generan nuevos valores de voltajes, dependiendo de la funcin que est siendo

implementada. Se entiende entonces que las seales pueden ser de diferentes naturalezas (elctricas,

neumticas, hidrulicas, etc.), variacin en el tiempo (continuas, discontinuas) y rango (analgicas y

discretas).

2.1.1. Seales

Las seales son representadas por funciones matemticas de una o ms variables. Una seal de voz, por

ejemplo, puede representarse como una funcin de una variable temporal f(t), mientras que imgenes se

pueden considerar como funciones de dos variables espaciales f(x, y). Aunque las seales se pueden

representar de muchas maneras, en todos los casos la informacin contenida en una seal se refiere a un

conjunto de variaciones de algn tipo.

Figura 2.2 Electroencefalograma con tres derivaciones (seal unidependiente)

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Figura 2.3 Ejemplos de seales bidimensionales

2.1.2 Seales continuas y seales discretas

En funcin a la variabilidad con relacin al tiempo, las seales se dividen segn:

a) Dependencia temporal

Seales de tiempo continuo: una seal continua o seal de tiempo continuo x(t), la variable independiente (tiempo) es una variable continua y por ello estas seales estn definidas para

cualquier instante de tiempo.

Seal de tiempo discreto: x(k) solamente est definida en ciertos instantes discretos de tiempo. Una seal de tiempo discreto tambin se puede por lo tanto representar como una lista o secuencia

de valores {x(1), x(2), x(3),...}. k denota la variable independiente.

Seal tiempo continuo

Seal tiempo discreto

Figura 2.4 Seales continua y discreta

b) Segn los valores que puede tomar: del estudio de los posibles valores que puede tomar la seal surge otro tipo de clasificacin independiente de la anterior.

Seal analgica: los valores que puede adoptar la seal pertenece a un conjunto de valores continuo (real o complejo). La mayora de las seales producidas por sistemas puramente fsicos son de este

tipo.

Seal discreta con amplitud continua: seal analgica muestreada, la amplitud puede tomar infinitos valores, pero no est definida para todo tiempo.

Seal discreta con amplitud discreta o digital: de uso frecuente en los sistemas electrnicos, son las nicas capaces de ser almacenadas en ordenadores.

c) Segn la cantidad de seales de entrada: pueden ser escalares o vectoriales, si la seal tiene un solo valor (ej.: micrfono) o se requiere un conjunto o vector de seales elctricas para tener la informacin

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completa (ej.: imgenes en color, en las que cada pixel se representa como un vector en un espacio

de color, por ejemplo los colores primarios rojo, verde y azul). A cada una de las componentes se le

denomina canal y por lo tanto la seal es multicanal.

d) Segn su naturaleza estadstica: sern deterministas si puede especificarse con precisin la forma de la funcin y sern aleatorias si solo permiten una descripcin aproximada de la forma de su funcin,

por tener asociado un comportamiento impredecible (ej.: ruido, seal ssmica)

Figura2.5 Seal aleatoria

Tipos de seal

2.1.3 Seales bsicas de tiempo discreto.

a) Escaln unitario de tiempo discreto como:

Figura 2.6 Secuencia escaln unitario

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b) Muestra unitaria de tiempo discreto o Impulso unitario (Delta de Dirac) as:

Figura2.7 Secuencia impulso unitario

Propiedades:

En general dada una secuencia cualquiera x[n], podemos representarla en la forma siguiente:

El escaln unitario de tiempo discreto es la sumatoria de la muestra unitaria.

Ejemplo

Si deseamos visualizar mediante Matlab un intervalo

de la secuencia impulso unitario entre los instantes 0

n 31, una posible secuencia de comandos ser: >>n = 0:31;

>>u = [1 zeros(1,31)];

>>stem(n,u);

>>xlabel('n');ylabel('Amplitud');

>>title('Unit Sample Sequence');

>>axis([0 31 0 1]);

>>grid

Ejemplo

Si deseamos visualizar mediante Matlab un

intervalo de la secuencia escaln unitario

entre los instantes 50 n 49, una posible secuencia de comandos ser:

>> n = -50:49; >> x = zeros(100,1); >> x(51:100) = ones(50,1); >> stem(n,x) >> title(u(n)), xlabel(n), (replot)

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Ejemplo

Representar grficamente las siguientes funciones:

c) Secuencia exponencial real: dadas las constantes reales C y , definimos una secuencia exponencial

como:

[] =

La exponencial ser decreciente en amplitud a lo largo del tiempo siempre que || < 1, mientras que

ser creciente cuando || > 1. Para el caso en que = 1 tenemos una secuencia constante . Si es positiva todos los valores de son del mismo signo, pero si es negativa, entonces se alterna el

signo de . Si = 1, es constante, mientras que si = -1 el valor de se alterna entre C y -C.

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Figura 2.8 Secuencias exponenciales reales

d) Cosenoidales o senoidales

Figura 2.9 Secuencia cosenoidal

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e) Exponenciales complejas: otras exponenciales importantes son las complejas que se obtienen cuando

y forzando que sea imaginaria pura. Sea, como en el caso continuo, esta seal est muy relacionada con

Si se escribe ; se obtiene:

As para , las partes real e imaginaria de una secuencia exponencial compleja son senoidales.

Para corresponden a secuencias senoidales multiplicadas por una exponencial decreciente; para

son secuencias senoidales multiplicadas por una exponencial creciente.

Figura 2.10 Secuencias exponenciales complejas

En cuanto las propiedades de periodicidad de . Consideremos la exponencial compleja con

frecuencia:

O sea, que en tiempo discreto la seal con frecuencia es idntica a las seales con frecuencia

, , etc. Por tanto, al considerar las exponenciales de tiempo discreto se necesita tomar

en cuenta solamente un intervalo de longitud 2 dentro del cual se escoge . Por lo general:

Ahora, para que sea peridica con perodo N > 0 se debe cumplir que:

Es decir que o sea que debe ser mltiplo de Por tanto,

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Por lo anterior, no es peridica para valores arbitrarios de ; slo es peridica si

es un nmero racional. Como en el caso continuo se definir la frecuencia fundamental como o

sea que

Perodo fundamental es . Veamos en una tabla las siguientes diferencias entre y

m y N no tienen factores en comn.

Ejemplo. Represente grficamente las siguientes funciones de variable discreta.

1. x(n) = 2n( u(n) - u(n - 5)).

2. y(n) = 2n u(n).

3. z(n) = (-1)n (0.8)n u(n).

4. w(n) = z(n 2).

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Ejemplo Considere la siguiente funcin de variable discreta:

Represente grficamente: magnitud, fase, parte real y parte imaginaria.

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Observe que tanto la parte real como la parte imaginaria son sinusoidales amortiguadas similares a las que

se manejan en variable continua. Para representar la parte imaginaria dibujamos la funcin y la

multiplicamos por la magnitud.

2.1.4 Clasificacin de las Seales en Tiempo Discreto

Los mtodos matemticos empleados en el anlisis de sistemas y seales en tiempo discreto dependen de

las caractersticas de las seales. En esta seccin se realiza la clasificacin de las seales en tiempo discreto

que atiende a diferentes caractersticas.

a) Seales de Energa y Seales de Potencia

La energa E de una seal x(n) se define como

Como se considera el mdulo cuadrado de x(n); esta definicin se aplica tanto a seales reales como a

seales complejas. La energa de una seal puede ser finita o infinita. Si E tiene energa finita ( < ),

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entonces se dice que x(n) es una seal de energa. Algunas veces se aade un subndice x a E y se escribe

Ex para hacer hincapi en que Ex es la energa de la seal x(n).

Si se define a la energa de una seal x(n) en un intervalo definido entre N (seal finita) entonces, la energa es

La potencia media de una seal discreta en el tiempo x(n) se define como

La potencia media de una seal finita x(n) ser

Se puede apreciar que si EN es finita, P= 0. Adems, si EN es infinita, la potencia media puede ser tanto finita como infinita. Si es finita (y diferente de cero), la seal se denomina seal de potencia Muchas

seales que poseen energa infinita tienen potencia media finita.

Ejemplo Definir la energa de

E = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + = 2

Ejemplo: Determinar la energa y potencia de

Como

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b) Seales Peridicas y No-Peridicas

Una seal x(n) es peridica con periodo N (N > 0) si y solo si x(n + N) = x(n)

Ejemplo Determine si la siguiente seal discreta es una seal peridica o no peridica

( ) = como

( ) = cos = cos (2

)

Por lo tanto, para cualquier valor de n = 0, 1, 2, la seal x(n) es peridica

c) Seales Simtricas (Par) y No-Simtricas (impar)

Una seal real x(n) se denomina simtrica (par) si y solo si

x(n) = x(n)

por otra parte, una seal x(n) se denomina antisimtrica (impar) si y solo si

x(n) = x(n)

En la figura se representan seales con simetra par e impar. Una seal arbitraria puede expresarse como

la suma de dos componentes, una de las cuales es par y la otra impar. La componente par de la seal se

construye sumando x(n) y x(n) y dividiendo entre dos, es decir

= 1

2[() + ()]

Claramente, xp(n) satisface la condicin de simetra. De forma similar, se forma la componente impar de

la seal de acuerdo a la siguiente relacin

= 1

2[() ()]

Se cumple que

() = [() + ()]

Ejemplo determine si la seal () = cos es par o impar

() = cos( ) = cos = () luego es par

2.1.5 Operaciones sobre seales en tiempo discreto

a) Transformacin de la variable independiente (desplazamiento temporal)

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Una seal x(n) puede ser desplazada en el tiempo remplazando la variable independiente n por n k, donde k es un entero. Si k es un entero positivo, el desplazamiento temporal es un retraso del origen de la seal

en k unidades de tiempo. Por el contrario si k es negativo, el desplazamiento temporal resulta en un

adelanto del origen de la seal en k unidades de tiempo.

y(n) = x(n k) < n <

Ejemplo se tiene una seal discreta x(n) = {0, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 0, 0, 0, 0} hallar

() = ( 3) = {0, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 0, 0, 0, 0}

() = ( + 2) = {0, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 0, 0, 0, 0}

b) Inversin temporal. Hay que remplazar a la variable independiente n por n. El resultado de esta operacin es un pliegue o una reflexin de la seal con respecto al origen de tiempo n = 0

y(n) = x( n)

Ejemplo sea x(n) = {0, 0, 0, 2, 2, 2, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 0} hallar y1(n) = x(n) y y2(n) = x(n + 2)

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c) Escalado

Una tercera modificacin de la variable independiente implica remplazar a n por n, siendo un entero. Se conoce a esta modificacin de la base como escalado temporal o submuestreo, es decir,

() = () < <

Ejemplo sea x(n) = {0, 0, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 0, 0, 0, 0, 0} hallar y(n) = x(2n)

y(n) = {0, 2, 0, 2, 4, 4, 4, 4, 0, 0}

d) Escalado de Amplitud. El escalado de amplitud de una seal por una constante A se obtiene multiplicando el valor de cada muestra

de la seal por la constante.

() = () < < e) Suma. La suma de dos seales x1(n) y x2(n) es una seal y(n) cuyo valor en cualquier instante es igual a la

suma de los dos valores en ese instante de las dos seales iniciales

() = 1 () + 2 () < <

f) Multiplicacin. El producto de dos seales x1(n) y x2(n) es una seal y(n) cuyo valor se define en cada instante de tiempo

como

() = 1 ()2 () < <

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Ejemplo: Sea

Hallar 1() = 1() + 2(), 2() = 1()2() y 3() = 21()

2.2 SISTEMAS.

Como se indic es un conjunto organizado de elementos que se encargan de transformar la entrada, para

generar la salida, luego es cualquier proceso que produce una transformacin de seales. Puede a su vez

formar parte de un sistema ms grande, en cuyo caso recibe el nombre de subsistema. Si la entrada es x(t)

y la salida y(t), estas se relacionan mediante una transformacin y(t) = f(x(t)). Tambin se clasifican en

funcin a su comportamiento temporal con relacin a las seales: tendremos sistemas de tiempo continuo

y sistemas de tiempo discreto.

2.2.1 Propiedades de los sistemas.

A continuacin se describen algunas de las propiedades ms importantes de los sistemas. Estas

propiedades tienen interpretaciones tanto fsicas como matemticas y son propiedades muy generales, es

decir no atienden a la naturaleza fsica del sistema en s, el cual puede ser elctrico, qumico, mecnico,

etc. sino ms bien al tipo de transformacin que realiza el sistema sobre las seales de entrada.

a) Sistemas con y sin memoria Un sistema se dice sin memoria si su salida en un instante dado depende de su entrada solamente en ese

instante, (un sistema de este tipo en ocasiones es llamado sistema esttico). Un sistema cuya salida puede

depender de entradas en instantes anteriores al actual, se denomina sistema con memoria. Este tipo de

sistemas tambin suele llamarse sistema dinmico. El ejemplo ms sencillo de un sistema con memoria

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es el sistema retardo unitario que produce la salida () como una copia de la entrada () en el instante anterior al actual, es decir () = ( 1), este sistema suele representarse por el operador retardo z-1 de la siguiente manera

1( ) ( ) ( 1)y k z x k x k

Un segundo ejemplo es el algoritmo computacional que se encarga de acumular en una sumatoria todos

los valores de la entrada x(k) desde que empez a contar el tiempo hasta el instante actual

0

( ) ( )k

j

y k x k j

Es fcil ver que este algoritmo puede ser visto como la implementacin de la ecuacin de diferencias

( ) ( ) ( 1)y k y k y k , con la condicin inicial y(0) = 0.

b) Causalidad. Un sistema es causal si su salida en cualquier instante depende slo de los valores de la entrada en el

instante actual o en instantes anteriores. A este tipo de sistemas tambin se le llama no anticipativo, ya

que la salida del sistema no anticipa valores futuros de la entrada. Una consecuencia fundamental de que

un sistema sea causal es el hecho de que si dos entradas a un sistema causal son idnticas desde las

condiciones iniciales hasta un instante to las salidas correspondientes tambin sern iguales hasta ese

mismo instante. Otro tipo de sistemas que normalmente no son causales son los sistemas en que la variable

independiente no es el tiempo, tales como las imgenes, as, el procesamiento de ellas no tiene porque ser

causal.

c) Estabilidad. Intuitivamente, un sistema estable es aquel en que entradas pequeas producen salidas que no divergen,

es decir, salidas acotadas. Una de las mejores maneras de ilustrar la diferencia entre sistemas estables e

inestables es considerando la Figura 2.6. En dicha figura se muestra una pelota descansando sobre dos

tipos diferentes de terreno. Si se considera que la entrada es un pequeo empujn (fuerza impulsiva)

horizontal y la salida es la posicin vertical de la pelota se puede intuir fcilmente que la figura 2.6(a) es

un sistema inestable, mientras que 2.6(b) es estable.

Figura 2.12 a) Sistema inestable. b) sistema estable

Aunque el prrafo precedente presenta una idea intuitiva de la estabilidad, una idea ms formal de

estabilidad es muy similar, de hecho una de las maneras formales de definir estabilidad, es la estabilidad

entrada acotada - salida acotada o estabilidad en el sentido B.I.B.O. (Bounded Input - Bounded Output)

que nos define un sistema estable como aquel sistema cuya salida esta acotada siempre y cuando su entrada

est acotada. La manera de definir el acotamiento de una seal depende del tipo de anlisis que se quiera

realizar, de esta manera, se puede usar el concepto de norma para introducir diferentes tipos de cotas.

Algunos ejemplos de normas tiles para seales discretas, son las llamadas normas lp. Dada una seal

discreta (), la norma lp de x se denota y se define como

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d) Invariancia en el tiempo. Un sistema se dice invariante en el tiempo si un retardo en la seal de entrada produce una seal de salida

retardada en la misma cantidad de tiempo, es decir, si () es la salida correspondiente a la entrada () en un sistema invariante en el tiempo, la entrada ( ) producir la salida ( ).

e) Linealidad. Un sistema lineal es aquel que posee la propiedad de superposicin. Dicha propiedad se refiere a que si

una entrada es la combinacin lineal (suma ponderada) de varias seales, entonces la salida

correspondiente es la combinacin lineal de las salidas correspondientes a cada una de dichas entradas.

Es decir, si 1() es la salida de un sistema lineal cuando la entrada es 1() y 2() es la salida correspondiente a la entrada 2() entonces la salida correspondiente a la combinacin lineal 1() +2() ser 1() + 2(), donde , son constantes complejas cualesquiera.

2.2.2 Sistemas LTI

Son sistemas que poseen dos propiedades: lineales e invariantes en el tiempo (LIT), si adems trabaja de

manera discreta, recibe el nombre de sistema discreto lineal e invariante en el tiempo.

Propiedades de los sistemas lineales invariantes.

a) Superposicin: si un sistema se excita con K veces una funcin, la respuesta es K veces la respuesta original. Adems si el sistema se excita con la suma de dos funciones, la respuesta es la suma de las

respuestas individuales.

Entrada Salida

[] [] [] []

1[] + 2[] 1[] + 2[]

b) Desplazamiento: si la excitacin de un sistema lineal invariante se traslada en el tiempo, entonces la respuesta se traslada en la misma cantidad:

Entrada Salida

[ 0] [ 0]

c) Respuesta natural: es la respuesta de un sistema cuando se excita con el impulso digital unitario. La

denotamos por (). Entrada Salida

[] []

d) Convolucin: cuando un sistema lineal invariante se excita con una seal cualquiera: (), la respuesta es la convolucin entre la entrada y la respuesta natural, as:

[] = ( [] , [] )

La convolucin de dos funciones de variable discreta: [] y [], se define de la siguiente manera:

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2.2.3. Diagramas de bloques

Un sistema est conformado por subsistemas, bloques de procesamiento de seal con tareas especficas

dentro del sistema total.

a) Sumador El sumador es un bloque sin memoria, su tarea es sumar dos seales o ms seales muestra por muestra.

Figura 2.12 Sumador

b) Multiplicador por constante El multiplicador por constante es un bloque sin memoria. Se utiliza para escalar toda una secuencia por

un mismo factor.

Figura 2.13 Multiplicador constante

c) Multiplicador de seal El multiplicador de seal es un bloque sin memoria, que genera una nueva secuencia a partir de los

productos entre muestras de las seales de entrada correspondientes a un mismo instante n.

Figura 2.14 Multiplicador de seal

d) Retardador de un elemento El retardador es un bloque con memoria de longitud 1. Es uno de los elementos de procesamiento digital

ms utilizados.

Figura 2.15 Retardador

e) Adelantador de un elemento El adelantador no es realizable fsicamente y solo existe en sistemas de tratamiento de seales fuera de

lnea.

Figura 2.16 Adelantador

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Ejemplo construya el diagrama de bloques de

2.2.4. Interconexin de sistemas.

Los diagramas de bloques nos permiten representar las operaciones bsicas entre sistemas, esto es, su

interconexin, la cual puede ser de tres tipos: interconexin en serie o cascada, en paralelo y de

retroalimentacin, estos tipos de interconexin son mostrados en la figura

Figura 2.17 Interconexin de sistemas.

a) Cascada. b) paralelo. c) Retroalimentacin

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Ejercicios Propuestos

1. Dibuje cada una de las siguientes seales discretas x(n) = {1, -2, 3, 0, 0,1,-1, 2, 1,} a) y(n)=x(n-3) b) y(n)=x(4-n) c) y(n)=x(n+3) d) y(n)=x(n-2)(n-4)

2. Sean [n] [n] 3 [n 2] [n 3] 2 [n 5]

[ ] [n 2] 2 [n 2]

x

h n

calcule las siguientes convoluciones:

x [n]* h[n]

x [n]* h[n-1]

x[n-2]* h[-n]

3. Considere una entrada y una respuesta al impulso unitario dado por

2

[n] 0.25 ( 1)

[n] u(n 1) [n]

nx u n

h

determine y dibuje la salida y[n] .

3. Calcule y dibuje y[n] = x[n] * h[n] donde

2 2 7( )

0 otro

nx n

n

, 1 4 12

( )0 otro

nh n

n

4. Sea

2 2 8

( ) h[n]0 otro

nx n

n

determine y[n] = x[n] * h[n]

5. Un sistema lineal invariante con el tiempo se excita con el impulso digital unitario y su respuesta

es ( ) (0.5) [u(k 1) u(k 10)]kh k Determine y[k] sabiendo que ( ) [u(k) u(k 5)]x k

6. Para los sistemas LTI descritos por su respuesta al impulso, determinar si son sistemas causales y estables

a)

11

( ) ( 1)2

n

h n u n

b)

11

( ) ( n)4

n

h n u

c) 1

( ) ( )5

n

h n n u n

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7. Determine la salida de los siguientes sistemas para la entrada

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Sumatorias y Series

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