Materia Física 2da Unidad

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8/17/2019 Materia Física 2da Unidad http://slidepdf.com/reader/full/materia-fisica-2da-unidad 1/34  Universidad de las Fuerzas Armadas “ESPE -L” UNIDAD 2 DINÁMICA DE LA PARTICULA 2.1. Leyes del Movimiento de Newton Primera Ley Una partícula originalmente en reposo moviéndose en línea recta con velocidad constante permanecerá en ese estado siempre que no esté sometida a una fuerza desbalanceadora. Segunda Ley Una partícula sobre la cual actúa una fuerza   balanceadora, experimenta con fuerza denominada que tiene la misma dirección que la fuerza y la magnitud directamente  proporcional a la fuerza. Tercera Ley Las fuerzas mutuas de acción y reacción entre dos partículas son originales, opuestas y colineales. La segunda y tercera ley constituye la mayor parte de estudio en dinámica ya que relaciona el movimiento, aceleración de la partícula con las fuerzas que actúa sobre ella. Si la masa de la partícula es m, la segunda ley del movimiento de newton puede ser expresada en forma matemática como: =   No valido cuando: - Las partículas tienen tamaño de un átomo y se mueven una cerca de otra. -  La rapidez de la partícula se acerca a la rapidez de la luz. Ecuación de movimiento una de las fórmulas más importantes de la mecánica.

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Universidad de las Fuerzas Armadas

“ESPE -L” UNIDAD 2

DINÁMICA DE LA PARTICULA

2.1. Leyes del Movimiento de Newton

Primera Ley

Una partícula originalmente en reposo moviéndose en línea recta con velocidadconstante permanecerá en ese estado siempre que no esté sometida a una fuerzadesbalanceadora.

Segunda Ley

Una partícula sobre la cual actúa una fuerza    balanceadora, experimenta con fuerzadenominada que tiene la misma dirección que la fuerza y la magnitud directamente proporcional a la fuerza.

Tercera Ley

Las fuerzas mutuas de acción y reacción entre dos partículas son originales, opuestas ycolineales.

La segunda y tercera ley constituye la mayor parte de estudio en dinámica ya que

relaciona el movimiento, aceleración de la partícula con las fuerzas que actúa sobre ella.

Si la masa de la partícula es m, la segunda ley del movimiento de newton puede serexpresada en forma matemática como:

=  

 No valido cuando:

-  Las partículas tienen tamaño de un átomo y se mueven una cerca de otra.

La rapidez de la partícula se acerca a la rapidez de la luz.

Ecuación de movimientouna de las fórmulas másimportantes de la mecánica.

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“ESPE -L” Ley de Atracción Gravitatoria de Newton

Ley que rige la atracción mutua entre dos partículas cualesquiera.

= 1 2²  

Dónde:

F = fuerza de atracción entre dos partículas

G = constante universal de gravitación formula (G = 66.73x10− /  )

m1 m2 = masa de cada partícula

r = distancia entre los centros de las dos partículas

Una partícula ubicada en cero cerca de la superficie de la tierra la única fuerzagravitatoria que tiene magnitudes considerables es aquella existente entre la tierra y la

 partícula (peso) W.

Para este estudio será la única fuerza gravitatoria que consideremos.

Masa y Peso

Masa.- propiedad de la materia por medio de la cual podremos comparar la respuesta deun cuerpo con la de otro. Cantidad absoluta su medición pude efectuarse en cualquiersitio.

Peso.-  no es absoluto es medido en un campo gravitatorio, su magnitud depende dedonde se efectué la medición.

Sea m2 la masa de la tierra y r la distancia entre el centro de la tierra y la partícula si:

= 22  

= 1 2²   = 1 2

²  

1 =   =  

=  

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g esta media en un puto sobre la superficie de la tierra localizado a nivel del mar y a una

latitud de ubicación estándar.

Sistema de Unidades

Masa PesoKilogramos F = m a

W = mg N = kg (m/s²) Newton = (J . l)

Si el cuerpo está situado en la ubicación estándar g = 9.8065 m/s² para cálculos se usarag = 9.81 m/s².

= [] = 9.81 /² 

Masa Peso

F = m a  Libras (lb) W = m g m = lb/(ft/s²) Slug 

Cuando mas de una fuerza actua sobre una particula, la fuerza resultante es determinadamediante la suma vectorial de fuerzas.

=   = Σ  

P = partícula

F1 F2 = Fuerzas

m1 = masa de la partícula

S.I.

FPS

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“ESPE -L” Diagrama de Cuerpo Libre

Representa la magnitud y dirección de cada fuerza que actúa

sobre la partícula.

Diagrama Cinético

Por su parte el diagrama cinético me indica la magnitud y dirección de la resultante.

Entonces: Reposo 0, se mueve  constante.

En una condición de equilibrio estático o primera ley del movimiento.

En el siguiente sistema siguiente la partícula i-esima con masa m está sometida a unsistema de fuerzas internas y a una fuerza resultante externa.

F. internas: determina las fuerzas que otras partículas ejercen sobre la partícula i-esima.

F. externas: representa fuerza gravitatoria, magnética, eléctrica.

La suma de las fuerzas externas que actúa sobre elsistema de partículas es igual a la masa total de las

 partículas multiplicando por la aceleración de sucentro de masa.

Σ F =  

+ =  

Si   es un veedor de

 posición que se localiza en elcentro de masa G de las partículas.

Para todas lasartículas

Σ Fi +Σ = Σ  

Sera igual a cero.

Todas las fuerzasinternas ocurren enopuestos colineales

Σ Fi = Σ  

Derivando 2 veces 

Entonces

Σ F =  

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“ESPE -L” 

2.2. Ecuación de Movimiento Coordenadas Rectangular

Marco de referencia

x,y,z ----- i, j, k

Σ F =  

Σ Fx i + Σ Fy j + Σ Fz k = + +  

Igualando i, j , k

Σ Fx =  

Σ Fy =  

Σ Fz =  Además para los ejercicios

Ecuación de fricción  Resorte

= µ  =  

Dónde: Dónde:

F = Fuerza Fs = Fuerza en resorteµ= coeficiente de fricción cinética = rigidez del resorte

 N = fuerza normal d = elongación resorte

=  

Longitud deformadamenos longitud inicial

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“ESPE -L” 

Cinemática

-  Si a es una función del tiempo, usa =   y =   para obtener aceleración

y velocidad.-  Si  es una función de desplazamiento usa = -  Si  o  constantes = +  

= + + 12  

Ejemplos:

El camión de equipaje A mostrado en la imagen tiene un peso de 900 lb y si jala un

carro B de 150 lb por corto tiempo, por la fuerza desarrolla por la rueda del camión esigual a Fa = (40t) lb donde t esta en segundos. Si se generara cual sería la fuerzahorizontal de acoplamiento y entre el cambio y el carro B y t = 2s calcule la rapidez eneste instante.

Ecuación del Movimiento:

Σ Fx =  

Fa = +

+  

40 = 900+550+22532.2  

= 0.7256  

= 40  

Fuerza impulsiva que da a loscarros y al camión unaaceleración

=0  

t = 2 s

Es la aceleración del movimiento

(movimiento en el eje horizontal)

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“ESPE -L” De cinemateca:

=

  = 0.3628 ² 

= 0.7256   = 1.46 / 

= 0.7256

 

Σ Fx =  

=

= 39.41  

Una caja de 50 kg mostrada en la figura descansa sobre un plan horizontal, para lo cualel coeficiente de fricción cinética es de 0.3. Si la caja esta cometida a una fuerza de 400

 N como se indica. Determine su velocidad con 3 segundos partiendo del reposo.

Diagrama de cuerpo libre:

Datos:m = 50 kg

µk = 0.3

F = 400 N

t = 3s

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=   La velocidad actúa en la dirección del moviente entonces la sumatoria de

todas las fuerzas t actuaran en dirección del movimiento.A mayor fuerza mayor rapidez.

= ²   Siempre  es positiva.

Entonces sumatoria de todas las fuerzas n actúa en esta dirección positiva

Ejercicios:El disco de la pista de salto para esquiadores requiere reconocer el tipo de fuerzas queserán ejercidas sobre el esquiador y si en este caso la pista puede aproximarse por la

 parábola de la figura, determine la Fn sobre el esquiador de 150 lb de peso, en elinstante en el que llega al extremo de la pista.

a)  Su velocidad a 65 ft/s b)  ¿Cuál es la aceleración en ese punto?

Σ Fn =  

 

1 5 0 = 15032.2 65

 

= 347  

Σ Ft =   = 0 

= 1 + 1100 ²/ 1100  

= 100  

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“ESPE -L” 

2.5. Ecuación de Movimiento Coordenadas Cilíndricas

,, 

Σ F =  

Σ Fr ur + Σ Fθ uθ + Σ Fz uz = +  

P= fuerza que hace que la partícula se mueva a lo largo de la trayectoria

Fr= fuerza de fricción, actúa a lo lardo de la tangente en dirección contraria almovimiento

Ψ= ángulo para especificas dirección de N y Fr

Σ Fr =  

Σ F θ =  

Σ Fz =  

=  

= ∗ ²    

θ =    +2    

=  

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“ESPE -L” Ejercicio:

El cilindro C liso de 2 kg tiene un pasador P a través de su centro el cual para por la

ranura en el brazo OA. Si se hace que el brazo gire en el plano vertical a una razón de0.5 rad/s. Determine la fuerza que ejerce el brazo sobre la clavija en el instante θ = 60°.

Datos:

m = 2kg W = mg

θ = 0.5 rad/s W = (2kg)(9.81m/s²)

θ = 60°  W = 19.62 N

r = 0.4/senθ 

Ec. del movimiento:

Σ Fr =   =  

= ²   

= 0.4 = 0.4 csc   

= .04 (   ) +  

 

=  

=  

=  

=   Σ Fθ =  

+ = 2  

=    +2   

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“ESPE -L” 

=0.4(   ) +   csc +

)

=0.4(   ) ᶟ( )

² ²)

|=60° 

|  = 0.5|   = 0

|=60°  

|  = 0.5|   = 0

|=60°  |  = 0.5|   = 0

= ²    =    +2    

= (0.192)-(0.462)(0.5)² = 2(-0.133)(0.5)= 0.077 m/s² = -0.133 m/s²

En la Ec. del movimiento:

Wr –  Nr = m ar Wθ +Fp-Nθ = 2aθ 

19.62 sen60° - N sen60°= 210.077 19.62cos60°+Fp-19.5 cos 60°= 2(-0.133)

 N= 19.5N Fp = -0.356 N

La fuerza se encuentra al sentido

direccionado al sentido contrario.

2.6. Trabajo Realizado por una Fuerza

Se denomina trabajo cuando una fuerza moviliza un cuerpo y libera energía potencialdel mismo.

Se dice que una fuerza realiza un trabajo cuando altera el estado de movimiento de un

cuerpo.

0.4sec60°=0.462 

0.4csc 60° 60°0.5= 0.133 

0.4 csc 60° 60°0 60°0.5 60° 60° 0.5² 

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“ESPE -L” Una fuerza F vector efectúa trabajo sobre una partícula solo cuando experimenta undesplazamiento en su dirección de la fuerza

Trabajo = Fuerza * segmento diferencial a lo largo de la trayectoria * ángulo de

formación entre dv y la .

= cos  

=  

Positivo: 0° menor igual θ menor igual 90° } fuerza y desplazamiento mismo sentido

 Negativo: 90° menor igual θ menor igual 180° } fuerza y desplazamiento sentido

contrario

Si θ = 90° entonces Cos 90° = 0, dw = 0 y la fuerza es perpendicular al desplazamiento.

Unidad

Trabajo Joule S.I. (Newton * metro)

1J = Nm (fuerza longitud)

Trabajo, FPS, pies –  lb (fuerza –  longitud)

El trabajo es una cantidad escalar

Por su parte el movimiento es una cantidad vectorial y representa al igual que el trabajola fuerza por longitud.

Unidad S.I. FPS

 N.m lb *ft

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“ESPE -L” 

Trabajo de Una Fuerza Variable

Si la partícula experimenta un desplazamiento finito a lo largo de su trayectoria des 1 vector a r2 vector, desde s1 a s2 el trabajo se determina por integración.

Trabajo de Una Fuerza Constante que se Mueve a lo largo de una recta.

Si

 tiene magnitud constante y θ es un ángulo constante el trabajo realizado por la

fuerza  cuando la partucla es desplzada des s1 a s2 es determinado por:

Si F = F(s)

F es en función de s.

1 2 = ∫   ∗  

1 2 = ∫ cos  

Área bajo la curva desdela posición S1 hasta S2

1 2 =

 

cte (sale de la integral) 

1 2 = 21 

1 2 = 2 1 

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“ESPE -L” 

Trabajo de Peso de Rozamiento y de la Fuerza del Resorte

a) 

Trabajo de PesoConsidere una partícula que se mueve hacia arriba a lo largo de la trayectoria Sdesde la posición S1 a S2 en un punto intermedio el desplazamiento es:

= + +  

Trabajo:

1 2 =   

1 2 =

  + +  

1 2 =

 

1 2 =

 

1 2 = {21 

1 2 =  Ʌy

Peso W = - W  (Dirigido hacia abajo)

Des lazamiento vertical

Magnitud del peso

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“ESPE -L” 

b)  Trabajo de la Fuerza de un ResorteLa magnitud de la fuerza desarrollada en un resorte elástico lineal cuando el

resorte es desplazado una distancia S desde su posición no alargada es:

=  

Si el resorte es alargado o comprimido desde S1 el trabajo realizado sobre elresorte por Fs es positivo. Cuando la fuerza y el desplazamiento tienen la mismadirección.

1 2 =

 

1 2 =

 

1 2 =

2 2

1

 

1 2 = 2  2

2 1 

Si una partícula (o un cuerpo) está unido a un resorte entonces la fuerza Fsejercida sobre la partícula es puesta ala ejercida sobre el resorte.

La fuerza realizara un trabajo negativo sobre la partícula cuando esta se muevamás (cuando alarga o comprime el resorte).

1 2 = 2 1  Trabajo negativo

Fuerza del resorteRi idez resorte Des lazamiento

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“ESPE -L” 

2.7. Energía Cinética de una Partícula

Energía: capacidad de los cuerpos para realizar un trabajo, acción y producir cambiosen ellos mismos o en otros cuerpos.

Energía Cinética:  la energía cinética de un cuerpo es energía que posee un cuerpodebido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo demasa determinado desde el reposo hasta la velocidad indicada.

Sistema de Coordenadas Inerciales

S = trayectoria

n = eje normalt = eje tangencial

 p = partícula

 = fuerzas externas

La ecuación del movimiento será:

Σ Ft =  

=  

Reemplazando: Integrando

Σ Ft =   Σ ∫

= ∫  

Σ Ft ds =  

Σ ∫ cos

=

21

 

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“ESPE -L” 

Como U 1 2 = ∫    

Σ U 1 2 = 2

1² 

La ecuación representa el principio del trabajo y energía para la partícula.

Tiene las mismas unidades que el trabajo [J] [ft * lb]

Σ U 1 2 = 2

1² 

T2 T1

Σ U 1 2 = T2 T1 

T1 + Σ U 1 2 = T2 

+ =

Anotaciones

El principio del trabajo y la energía T1 + Σ U 1 2= T2

-  La energía cinética en los puntos inicial y final siempre es positiva

= ² 

-  Una fuerza realiza un trabajo cuando se desplaza en la dirección de la fuerza.-  El trabajo es positivo cuando actúa en el mismo sentido de la fuerza.-  Las fuerzas que son funciones del desplazamiento deben integrarse para obtener

trabajo.

Sumatoria del trabajorealizado por todas lasfuerzas que actúan sobrela partícula cuando esta semueve del punto 1 al punto 2.

Energía Cinéticafinal de la partícula

Energía Cinética

inicial de la partícula

Ecuación inicialde la partícula

Trabajo realizado por todas lasfuerzas

Ecuación final dela partícula

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“ESPE -L” El trabajo del peso es Uw = ± Wy

Hacia abajo + hacia arriba - magnitud del peso desplazamiento vertical

-  El trabajo de un resorte tiene la forma Us = ½ K S²

Ejercicios:

Durante un breve tiempo una grúa levanta una viga de 2.5 Mg con una fuerza de F= (28+ 3s²) KN. Determine la velocidad de la viga cuando alcanza 3 metros.

Principio de trabajo y energia:

T1 + Σ U 1 2= T2

= 12 2²

 

2.8+3

2.510ᶟ9.81 =12 2.510ᶟ²

 

2810ᶟ + 10ᶟᶟ24.52510ᶟ = 1 . 2 510ᶟ² 

= 2.78 + 0.8 ᶟ 

Cuando s = 3m

= 5.47 /

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“ESPE -L” 

Fuerzas Conservativas

Fuerzas conservitas se denomina así cuando el trabajo realizado por una al mover una partícula de un punto a otro es independientemente de la trayectoria seguido por la partícula.

Ejemplo:

Peso = trabajo depende solo del desplazamiento

Conservativa

F en un resorte elástico = depende de la extensión o compresión delresorte.

Fuerza de fricción = depende de la trayectoria (no conservativa)

El trabajo se disipa en forma de calor. (Entre más larga latrayectoria mayor es el trabajo)

Energía Potencial

Es la capacidad de efectuar trabajo.

Energía Cinética.- Cuando la energía proviene del movimiento.

Energía Potencial.- Cuando proviene de la posición de la partícula medida desde un plano de referencia

La energía potencial representa una medida de la cantidad de trabajo que una fuerzaconservativa realizara cuando se mueva desde una posición dada hasta un punto fijo.

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“ESPE -L” 

Energía Potencial Gravitatoria

Energía Potencial Elástica (Ve)

Cuando el resorte es alargado o comprimido una distancia S desde su posición no

alargada entonces:

= ²  (Es positivo)

La fuerza del resorte siempre tiene la capacidad de efectuar trabajo positivo sobre la partícula cuando el resorte retorna a su posición noalargada.

Función Potencial

Si una partícula está sometida a fuerzas gravitacionales y elásticas, su energía potencial puede ser expresada domo una suma algebraica (Fuerza Potencial)

= +  

Depende de la ubicación de la partícula V(x,y,z)

El trabajo realizado por una fuerza conservativa al mover la partícula desde (x,y,z) a(x2,y2,z2) es medido por la diferencia de:

1 2 = 1 2 

= +  

=  

Energía potencial gravitacional

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“ESPE -L” 

CONSERVACION DE LA ENERGIA

Si solo fuerzas conservativas son aplicadas al cuerpo entonces:

1 + 1 = 2 + 2 

Conservación de la conservación de la energía mecánica

Durante el movimiento la suma de las energías cinéticas y potencial permanececonstante.

Para que esto ocurra la energía cinética debe transformarse en energía potencial yviceversa.

Para un Sistema de Partículas

Σ T1 + ΣV1 = Σ T2 + ΣV2 

La suma de las energías cinética y potencial iniciales del sistema es igual a la suma delas energías finales cinética y potencial del sistema.

Peso

Conservatorio Resorte

Fricción

 No Conservatorio Fuerzas resistentes al arrastre porque se disipa en forma decalor.

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“ESPE -L” 

Ejercicios:

El pórtico que aparece en la figura se usa para probar la respuesta de un avión duranteun choque, el avión tiene una masa 8 Mg y es levantado hacia atrás hasta un ángulo de60° y luego el cable AC que lo ha alado se libera.

Determine la rapidez del avión justo antes de estr ellarse contra el suelo con θ  = 15°¿Cuál es la tensión máxima desarrollada en el cable del soporte durante el movimiento?Desprecie el tamaño del avión y el efecto de elevación causado por las alas en elmovimiento.

Conservación de la Energía:

+ = +  

08000 9.81 20cos 60° = 1

2 8000²8000 9.81 20cos15°  

=13.52 / 

Ecuación del movimiento:

Σ Fn = m an 

80009.81 cos15°=800013.52/20  

= 149  

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“ESPE -L” 

2.14. Principio de Impulso y Cantidad de Movimiento

Se obtiene integrando la ecuación del movimiento respeto al tiempo.

Σ   = 2

1  

Principio de impuso y momento lineal

Reescribiendo

1 + Σ   = 2

 

Momento Lineal

Es un vector de la forma

=  

Impulso Lineal

Mide el efecto de una fuerza durante el tiempo que esta actúa.

=

 

Impulso actúa en la misma dirección a la fuerza de unidades

Unidades = N S Lb S

Momento linealde la partícula en

el t1Suma de todos losimpulsos aplicadosa la partícula desde

t1 a t2

Momento final de la partícula en t2

Tiene la mismadirección que la

velocidad.

Unidades kg m/sslug ft/s

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“ESPE -L” 

Ecuación Escalares

1 + Σ   = 2

 

Si cada vector se coloca en sus componentes escalares x,y,z.

1 + Σ =

1 + Σ =

1 + Σ = 2 

Generalmente el impulso es igual al área bajo la curva Fuerza –  Tiempo

Ejercicio:

La piedra de 100 kg esta originalmente en reposo sobre la superficie lisa horizontal. Siuna fuerza de 200 N que actúa a un ángulo de 45° se aplica a la piedra durante 10segundos. Determine la Fuerza normal de la superficie y la velocidad final sobre la

 piedra durante el intervalo de tiempo.

W = mg

W = 100kg * 9.81m/s²

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“ESPE -L” 

Principio del impulso y del momentum:

En X ----> +

1 + Σ =

Σ 200 cos 45° = 100 2

 

200cos45° 100 =1002 

2 = 14.4 / 

1 + Σ =

0 + 10 98110 +200 45° 10 = 0 

= 840  

2.15. Impacto Central Directo, Impacto Central Oblicuo

El impacto ocurre cuando dos cuerpos chocan. Durante el periodo corto, lo que hace quese ejerzan fuerzas impulsadoras relativamente grandes ante lo cuerpos, ejemplo, elgolpe de un martillo sobre un clavo.

Tipos

Central: Cuando la dirección del movimiento de los centros de masa de las partículasvan a lo largo de una línea recta que pasa a través de los centros de masa de las

 partículas. (La línea del impacto es perpendicular al plano de contacto)

Línea de impacto

Plano de contacto

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“ESPE -L” Oblicuo: cuando el movimiento de una de las dos partículas forman un ángulo con lalínea de impacto.

Plano de contacto

Impacto Central

Antes del impacto

  >  Para la deformación

Impuso de Deformación

Durante la colisión las partículas se consideran

deformadas. 

Impulso de deformación ∫   efecto B enA

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“ESPE -L” Deformación Máxima

Ambas partículas se desplazan con velocidad constante.

Restitución

Las partículas recuperan su forma original o permanecerán deformadas permanentemente.

Impulso de resituación ∫   

Después del impacto

Subíndice 2 indica después del impactoSubíndice 1 indica antes del impacto

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“ESPE -L” Coeficiente de Restitución

= −−  Velocidad de la separación de las perticulas justo despuésdel impacto.

Velocidad relativa de aproximación de las partículas justoandes del impacto.

e = valor entero

Impacto Plástico Impacto Elástico

Irrestitución = 0 Ideformación = Irrestitución

Ambas partículas se acoplano permanecen en contacto ose mueven en una velocidaden común.

Pérdida de Energía Σ U 1 2 = Σ T2 Σ T1 

Es la diferencia de energía cinética de las partículas

Se genera perdida por:

-  Se transforma en energía térmica-  Se genera ruido-  Se genera deformaciones

Impacto Elástico: no se pierde energía en la colisión

Impacto Plástico: la pérdida de energía es máxima

Impacto Central: la conservación de la cantidad de movimiento es aplicable al sistemade partículas.

Σ m V1 = Σ m V2 

Si V da negativo, la V actúa en sentido contrario

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“ESPE -L” 

Impacto Oblicuo: las fuerzas impulsadoras de deformaciones y restitución actúa en la

dirección de x.Σ m Vx1 = Σ m Vx2 

Ejercicio:

La bola A con peso de 6 lb es liberada del reposo en la posición de θ = 0° después de

caer a θ = 90° la bolsa golpee una caja B de 18 lb de forma central si el coeficiente derestitución entre la bolsa y la caja es de e = 0.5. Determine las velocidades de la bolsa yda la caja justo después del impacto y la perdida de energía durante la colisión.

Conservación de la energía:

+ = 1 + 1 

=    

= +   (No hay resorte)

= (Está en el punto de referencia)

1 = 12 ² 

1=  

1=1+1 (No hay resorte)

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“ESPE -L” 

Reemplazo 2 en 1:

6. 95= 13. 9 32 

42=13.9+6.93 

2 = 5.21 /  Sentido correcto a la izquierdo

Coloco (VB)2 en 2 para hallar (WA)2

(VA)2 = 5.21 - 6.93(VA)2 = -1.74 ft/s (Sentido incorrecto es a la derecha)

Pérdida de Energía:

Σ U 1 2 = T2 T1 

Σ U 1 2 = 12 6

32.2 1.74 + 12  18

32.2 5.21 12 6

32.2 13.9² 

Σ U 1 2 = 18.165+488.5931159.2664.4  

Σ U 1 2 = 10.5 ft . lb