Departamento de Ciencias Exactas

Regla de la CadenaCarrera: Ingeniera MecatrnicaParalelo: ANivel: SegundoUnidad Didctica: SegundaGrupo: 1

Integrantes: Barreno Daniel Barrera Kevin Canchignia Daniel Cruz Christyan Viteri Francisco

Tema: Regla de la Cadena

Objetivo General El objetivo de este informe es dar a conocer la regla de la cadena para derivadas de funciones compuestas y demostrar la utilidad de esta regla en distintas situaciones.

Objetivos Especficos Entender la extensin de los conceptos de diferenciacin y regla de la cadena para funciones de varias variables. Dar a conocer la notacin de LEIBNITZ y la manera de su utilizacin ya que casi siempre es ms fcil de recordar.

Marco TericoClculo vectorialEl clculo vectorial es un campo de las matemticas referidas al anlisis real multivariable de vectores en 2 o ms dimensiones. Es un enfoque de la geometra diferencial como conjunto de frmulas y tcnicas para solucionar problemas muy tiles para la ingeniera y la fsica.La mayora de los resultados analticos se entienden ms fcilmente usando la maquinaria de la geometra diferencial, de la cual el clculo vectorial forma un subconjunto.

Isaac Newton (1642-1727).Sus aos ms fecundos fueron durante el periodo 1665-1666 cuando cerraron la Universidad de Cambridge, donde era estudiante, debidoa la peste bubnica. Newton se recluy en su casa natal y all descubri el Teorema del binomio, el clculo diferencial e integral, la ley de gravitacin universal y la Teora de los colores. Prcticament e todos los descubrimientos importantes de su vida.Newton tard mucho en publicar sus trabajos ya que no le gustaban las controversias y quera evitar la crtica de sus contemporneos. Enlos ltimos aos de su vida fue miembro del parlamento britnico y presidente de la Royal Society y considerado como un tesoro nacional.Tal como hemos indicado, Newton concibi su clculo durante los aos 1665-1666. Despus lo describi en numerosas cartas personalesy en un pequeo tratado no publicado,De Analysi(1669) que circul entre los matemticos ingleses de la poca y que fue en parte includoen el tratadoDe Algebrade John Wallis en 1669. Luego organiz y describi todos sus trabajos anteriores sobre el clculo enDe Methodis Serierum et Fluxionumque escribi en 1671, pero que no fue publicado hasta despus de su muerte en 1736. La principal obra de NewtonesPhilosophiae Naturalis Principia Mathematicaque fue publicada en 1687 y donde expone muchsimas propiedades sobre las seccionescnicas y su famosa ley de gravitacin universal. En este ltimo no muestra realmente su clculo, ya que los argumentos de Principia son principalmente de geometra sinttica.El ltimo tratado que escribi, pero el primero que se public, fueDe Quadratura Curvarum.Escrito entre los aos 1691-1693 aparecicomo un apndice de suOpticksde 1704. Cabe sealar tambin las dos cartas, donde expone su teorema del binomio, laepistola priordeJunio de 1676 y laepistola posteriorde Octubre de 1676, que mand al secretario de la Royal Society of London, Henry Oldenburg, paraque ste se las transmitiera a Leibniz.

Gottfried Wilhelm LeibnizGottfried Wilhelm Leibniz naci en Leipzig en 1646, dos aos antes de que se firmara la Paz de Westfalia, que puso fin a la Guerra de los Treinta Aos. El hecho de quedarse hurfano muy pronto no le impidi adquirir una buena formacin, lo que le permiti entrar en la universidad de Leipzig con apenas quince aos, donde se familiariz con el pensamiento aristotlico, platnico y escolstico, as como con la filosofa de Descartes. A los veinte aos se doctor en Derecho en la universidad de Altdorf, tras ver rechazado su examen de doctorado en Leipzig a causa de su juventud.Leibniz declin la oferta de dedicarse a la enseanza en la universidad y orient su vida a la carrera poltica y diplomtica. Comisionado por el prncipe elector de Maguncia, Von Boineburg, Leibniz fue a Pars con el objetivo de convencer al rey Luis XIV de que dejara de amenazar a los Pases Bajos y Alemania y dirigiera sus afanes expansionistas hacia el mundo no cristiano, Egipto en concreto. Leibniz no tuvo xito en esta misin, pero durante su residencia en Francia conoci los trabajos matemticos de Pascal, estudio a Descartes y ley el manuscrito de la tica de Spinoza, a quien conocera ms tarde en Holanda. En Pars, en 1676, Leibniz invent el clculo diferencial, que Newton haba desarrollado poco antes, aunque de forma distinta y menos perfecta, sin que Leibniz tuviera conocimiento de ello.Poco antes de su muerte, ocurrida el ao 1716, Leibniz perdi el favor de los prncipes electores; cay en desgracia y muri solo y desencantado, aunque no dej de escribir hasta el ltimo da de su vida.Leibniz ha dejado una amplia e interesante correspondencia, as como innumerables opsculos y pequeos tratados, entre los cuales merecen destacarse: Nuevo sistema de la naturaleza, publicado el ao 1695. Monadologa y Principios de la naturaleza y de la gracia, escritos hacia el final de su vida. Nuevos ensayos sobre el entendimiento humano, obra publicada despus de su muerte, en la que analiza y critica el Ensayo de Locke. Teodicea, sobre la bondad de Dios, la libertad del ser humano y el origen del mal.Aqu expone Leibniz su nocin de sustancia, distinta de la de Descartes, su distincin entre verdades de hecho y verdades de razn, la concepcin de Dios como mnada suprema, la idea de la armona prestablecida, y todos los dems conceptos que constituyen el ncleo de su pensamiento.

Notacin de LeibnizExisten varias formas distintas de representar la operacin matemtica derivada de una funcin en un punto o funcin derivada. Una de las formas ms cmodas de representar esta operacin es haciendo uso de la notacin de Leibniz.Definicin de la notacinEn esta notacin se representa la operacin de diferenciar mediante el operador , es decir, la operacin "derivada de la funcin f respecto de x" se representara de este modo como un cociente de diferenciales. La belleza y utilidad de esta notacin consiste en que permite recordar intuitivamente varios conceptos bsicos del clculo tales como la regla de la cadena, que con esta notacin parece obvia debido a la cancelacin de diferenciales (a pesar de que este razonamiento es incorrecto) ; o bien el concepto de separacin de variables en la resolucin de ecuaciones diferenciales .Aparicin en los PrincipiosEn la primera edicin americana del libro se hace una introduccin a la vida de Newton. En esta introduccin, redactada por N. W. Chittenden, se comenta en una de las pginas queel mtodo diferencial es nico y el mismo que el mtodo de las fluxiones, excepto en el nombre y en la notacin; el seor Leibniz llama a estas cantidades diferencias, a las cuales el seor Newton llama momentos, o fluxiones; y [Leibniz] las nota con una letra d, una notacin no usada por el seor Newton.AplicacionesLa notacin de Leibniz tambin es especialmente til cuando se trabaja con derivadas parciales de funciones multivariables y sus operadores derivados (gradiente, palaciano, rotacional, divergencia, etc.) ya que indica en cada momento la variable de la funcin que se considera independiente, dejando el resto de variables como constantes en lo que se refiere a la derivacin parcial

}

Regla de la CadenaRegla de la cadenaEn las reglas bsicas de derivacin se aplican frmulas apropiadas para calcular las derivadas de las funciones f C g (suma), f g (diferencia), fg (producto) y f/g(cociente). Pero no se present en esa seccin una regla que nos diga cmo calcular la derivada de una composicin de funciones; esto es, no sabemos cmo calcular la derivada de f g (g compuesta con f o bien g seguida de f ).Es, precisamente, la regla de la cadena la que nos dice cmo obtener la derivada de y y=(f o g)(x)

Demostracin de la regla de la CadenaSea

Esto es entonces

Aplicando la definicin de derivada se tiene

Donde queda

Equivalentemente, multiplicando y dividiendo entre

Conclusiones Se a determinado que la regla de la cadena se implementa en funciones compuestas ya que gracias a ella su resolucin es mas eficaz y confiable. Mediante la utilizacin de la notacin de LEIBNITZ se puede recordar de una manera ms sencilla la regla de la cadena. La regla de la cadena se utilizan en funciones que dependen de otras funciones ya que en la practica nos vamos a encontrar con estos casos.

Recomendaciones Se recomienda realizar ejercicios de este tema ya que es de mucha utilidad para el clculo diferencial ya que permite resolver una funcin de una funcin.

Bibliografa:http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_de_Leibnizhttp://boehmiano.blogia.com/2012/041501-aproximacion-a-la-idea-de-realidad-en-leibniz.php

Anexos:

Demostracion de la regla de la cadena:www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=1pkYhhv6wEw