Calculo 3: 2013-2

INCREMENTOS Y DIFERENCIALES

En esta parte generalizaremos el concepto de incrementos y diferenciales a funciones de

dos o más variables. Recordemos que dada ( )y f x se define el incremento de la variable

dependiente y como

( ) ( ) y f x x f x

De manera análoga para una función de dos variables ( , )z f x y , definimos el incremento de

la variable dependiente z como

( , ) ( , )z f x x y y f x y

Como podemos observar, z produce la cantidad de cambio en la función cuando ( , )x y cambia

de ( , ) x x y y .

Definición de diferenciabilidad

Una función f dada por ( , )z f x y es diferenciable en 0 0( , )P x y si z puede expresarse en la

forma

0 0 0 0 1 2( , ) ( , )x yz f x y x f x y y x y

donde 1 2 y 0 cuando ( , ) (0,0)x y . La función f es diferenciable en una región R si

es diferenciable en todo punto de R.

Ejemplo Mostrar que la siguiente función es diferenciable en todo punto

2( , ) 3f x y x y

En efecto Haciendo ( , )z f x y , el incremento de z en un punto arbitrario ( , )x y en el plano es

2 2 2

2

1 2

( , ) ( , )

( 2 ) 3( ) ( 3 )

2 3

2 3 ( ) 0( )

( , ) ( , ) ( ) ( )x y

z f x x y y f x y

x x x x y y x y

x x x y

x x y x x y

f x y x f x y y x y

donde 1 2y 0x . Como

1 20y 0 cuando ( , ) (0,0)x y , se sigue que f es

diferenciable en todo punto en el plano. La gráfica de f se muestra en la figura siguiente

Debemos de tener en cuenta que el hecho de que existan las derivadas parciales de f no garantiza

que la función sea diferenciable. El teorema siguiente proporciona una condición suficiente para la

diferenciabilidad. A continuación presentamos un teorema que proporciona una condición

suficiente para la diferenciabilidad de una función de dos variables.

Definición de diferencial total

Si ( , )z f x y y x y y son los incrementos en x y en y, entonces las diferenciales de las

variables independientes x e y son

dx x y dy y

y la diferencial total de la variable dependiente z es

( , ) ( , )x y

z zd z dx dy f x y dx f x y dy

x y

Esta definición puede extenderse a una función de tres o más variables. Por ejemplo, si

( , , , )w f x y z u entonces dx x , dy y , dz z y du u y la diferencial total de w es

w w w wd w d x d y d z d u

x y z u

Ejemplo Hallar la diferencial total de cada función

a) 2 22 3z xsen y x y b) 2 2 2w x y z

Solución

a) La diferencial total dz de 2 22 3z xsen y x y es

2 2(2 6 ) (2 6 ) .

z zdz d x d y

x y

sen y xy d x xcos y x y d x

b) La diferencial total dw de 2 2 2w x y z es

2 2 2 .

w w wdw d x d y d z

x y z

xd x yd y zd z

TEOREMA 1 Condiciones suficientes para la diferenciabilidad

Si f es una función de e x y , para la que y x yf f son continuas en una región abierta R , entonces

f es diferenciable en R.

Interpretación del teorema 1

El teorema 1 nos dice que se puede elegir ( , )x x y y suficientemente cerca de ( , )x y para

hacer que 1 2 y x y sean insignificantes. En otros términos, para y x y pequeños, se

puede usar la aproximación

z dz

lo cual lleva a la siguiente aproximación

( , ) ( , ) ( , ) ( , )z z z z

f x x y y f x y dx dy f x x y y f x y dx dyx y x y

Ejemplo 1 Uso de la diferencial como aproximación

Utilizar la diferencial dz para aproximar el cambio en 2 24z x y cuando ( , )x y se desplaza

del punto (1,1) al punto (1.01,0.97) . Comparar esta aproximación con el cambio exacto en z .

Solución

Se hace ( , ) (1,1)x y y ( , ) (1.01 ,0.97)x x y y y se obtiene 0.01d x x y

0.03d y y . Por tanto, el cambio en z puede aproximarse mediante

2 2 2 24 4

z z x yz dz dx dy x y

x y x y x y

Cuando 1 y 1x y , se tiene 1 1 0.02

(0.01) ( 0.03) 2(0.01) 0.0141.2 2 2

z

con

respecto al cambio exacto se tiene

2 2 2 21.01

(1.01,0.97) (1,1)

4 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 0.010 3.97 1 1 7

z f f

(Proceso solucionado con calculadora)

En la figura siguiente se puede observar el cambio exacto corresponde a la diferencia entre las

alturas de dos puntos sobre la superficie de un hemisferio

Ejemplo2 Estimar 3 22(2.02) (2.97)

Solución

Estimar 3 2( , ) 2( ) ( )f x y x y , 2 , 3.a b Después es fácil calcular el valor exacto de

(2,3) 2.8 9 25 5f . A continuación, 2

3 2 3 2

3

2 2

df x df yy

dx dyx y x y

Por lo que

12 3(2,3) (2,3)

5 5x yf y f

En este caso utilizando 0.02 0.03x yy tenemos

2 22(2.02) (2.97) (2.02,2.97)

(2,3) (2,3).(0.02) (2,3).( 0.03)

12 35 .(0.02) .(0.03) 5.03

5 5

x y

f

f f f

El valor real con cuatro decimales es 5.0305 Ejemplo 3

Un envase metálico cerrado tiene la forma de cilindro circular recto, 6 pulgadas de altura

interior, 2 pulgadas de radio interior y 0.1 pulgadas de grosor. Si el costo del metal es de 40

centavos por pulgadas cúbica. Aproxime mediante diferenciales el costo total del metal

empleado en la elaboración del envase.

Solución

La figura muestra el envase. Si V pulgadas cúbicas es el volumen de un cilindro circular

recto que tiene un radio de r pulgadas y una altura de h pulgadas, entonces

V r h 2

El volumen exacto del metal empleado en el envase es la diferencia entre los volúmenes de

dos cilindros circulares rectos para los cuales 2 1r . , 6 2h . y 2r y 6h

respectivamente. El incremento V proporciona el volumen exacto del metal, pero como

únicamente se desea un valor aproximado, se calcula dV que es el diferencial total de V.

22

V VdV dr dh

r h

hdr r dh

Con 2, 6, 0.1 0.2,r h dr y dh

0.1pulg

0.1pulg

22 (2)(6)(0.1) (2) (0.2)

3.2

dV

De este modo, 3.2 ,V por lo que el metal empleado en el envase es aproximadamente

3.2 pulg3. Puesto que el costo del metal es de 40 centavos por pulgada cúbica, entonces el

número aproximado de centavos del costo aproximado es 128 402 .

Conclusión El costo aproximado del metal empleado en el envase es $4.02.

Ejemplo 4 El punto (1,2) está sobre la curva cuya ecuación es

3 3( , ) 2 5 0f x y x y xy ……………………. (1)

Aproxime la coordenada y del punto cercano ( , )x y sobre dicha curva para el que 1.2.x

Solución

El incremento entre (1,2) 0f y ( , ) 0f x y sobre esta curva es ( , ) 0 ,f x y df por lo que

cuando se calculan las diferenciales en la ecuación (1) se obtiene

2 2(6 5 ) (3 5 ) 0

f fdf dx dy x y dx y x dy

x y

Ahora al sustituir 1, 2x y y 0.2dx , se obtiene la ecuación ( 4)(0.2) 7 0dy . De donde se

sigue que 0.8

0.114 0.17

dy . Esto deja a (1.2;2.1) como las coordenadas aproximadas del

punto cercano.

Nota Una función de tres variables ( , , )w f x y z se dice que es diferenciable en ( , , )x y z si

( , , ) ( , , )w f x x y y z z f x y z

puede expresarse en la forma

1 2 3x y zw f x f y f z x y z

donde 1 2 3, y 0 cuando ( , , ) (0,0,0)x y z . Con esta definición de diferenciabilidad el

teorema 1 pude generalizarse y lo podemos utilizar en el siguiente ejercicio.

Ejemplo 5 Estimar

Solución

Tomamos , como ; así 0,02h ; 0,01k ; 0,05r ;

luego tenemos que 2 2 2(2,2,1) 2 2 1 3f ; además 2 2 2

(2,2,1)(2,2,1)

2

3

f x

x x y z

;

; 2 2 2

(2,2,1)(2,2,1)

1

3

f z

z x y z

; finalmente se tiene que

2 2 2 2 2 11,98 2,01 1,05 3 ( 0,02) (0,01) (0,05) 3,01

3 3 3 .

Ejemplo 6 El error producido al medir cada una de las dimensiones de una caja rectangular es 0.1

milímetros. Las dimensiones de la caja son 50x centímetros, 20y centímetros y 15z

centímetros, como se muestra en la figura. Utilizar dV para estimar el error propagado.

Solución

El volumen de la caja está dado por V xyz , y por tanto

.

V V VdV dx dy dz

x y z

yzdx xzdy xydz

2 2 21,98 2,01 1,05

2 2 2( , , )f x y z x y z 0 0( , , ) (2,2,1)oP x y z

2 2 2(2,2,1)

(2,2,1)

1

3

f y

y x y z

Utilizando 0.1 milímetros = 0.01centímetros, se tiene 0.01dx dy dz , y el error propagado

es aproximadamente

(20)(15)(0.01) (50)(15)(0.01) (50)(20)(0.01)

300(0.01) 750(0.01) 1000(0.

centímetros cúbico

01)

2 s0.5 .

dV

Derivada de la Función Compuesta

Teorema.- Sea 2:f D una función diferenciable, definida por ( , )u f x y y

( , ) y ( , )x h r s y g r s , y existen las derivadas parciales , , , , ,u u x x y y

x y r s r s

; Entonces

las derivadas parciales de la función compuesta ( ( , ), ( , ))u f x r s y r s se pueden calcular mediante:

u u x u y

r x r y r

;

u u x u y

s x s y s

.

Caso Particular: Si ( , )z f x y , donde ( )x x t ; ( )y y t , entonces la derivada total de z respecto

de x se puede calcular: o bien haciendo la sustitución, o bien, aplicando la siguiente fórmula:

dz z dx z dy

dt x dt y dt

………………….. (1)

Ejemplo 7 Dada la función z=2xy donde 2 2x s t ; s

yt

; hallar ;z z

s t

Solución

Como 2

12 ; 2 ; 2 2 ; ;

z z x x y y sy x s t

x y s t s t t t

entonces

2 21 2 2(3 )(2 )(2 ) (2 ) 4

z z x z y x s ty s x ys

s x s y s t t t

2 3

2 2 2

2 2 2(2 )(2 ) (2 )( ) 4

z z x z y s xs st sy t x yt

t x t y t t t t

Ejemplo 8 Si 2 43z x y xy , donde 2x sen t y cosy t . Determine dz dt cuando 0t .

Solución

Por la regla de la cadena tenemos

4 2 3(2 3 )(2cos2 ) ( 12 )( )

dz z dx z dyxy y t x xy sent

dt x dt y dt

No es necesario escribir las expresiones para y x y en términos de t simplemente observemos

que cuando 0t tiene 0 0x sen y cos0 1y . Por lo tanto

0

(0 3)2cos0 (0 0)( 0) 6t

dz z dx zsen

dt x dt t

La derivada del ejemplo 2 se puede interpretar como la razón de cambio de z con respecto a t

cuando el punto ( , )x y se desplaza por la curva C cuyas ecuaciones parametricas son 2x sen t ,

y cost . Ver figura

En particular, cuando 0t , el punto ( , )x y es (0,1) y 6dz dt es la razón del incremento

cuando uno se desplaza por la curva C que pasa por el punto (0,1) . Por ejemplo si 2 4( , ) 3z T x y x y xy representa la temperatura en el punto ( , )x y , entonces la función compuesta

( 2 , )z T sen t cost representa la temperatura en los puntos sobre C y la derivada dz dt representa

la razón a la cual la temperatura cambia a lo largo de C .

Ejemplo 9 La figura anterior muestra un bloque de hielo cilíndrico que se funde. Debido al calor del

Sol que le llega desde arriba, su altura h decrece con más rapidez que su radio r . Si su

altura disminuye a 3cm/h y su radio a 1cm/h cuando 15r cm y 40h cm ¿Cuál es la tasa de

cambio del volumen V del bloque en ese instante?

Solución

Con 2V r h , la regla de la cadena ofrece

22 .dV V dr V dh dr dh

rh rdt r dt h dt dt dt

Al sustituir los valores de 15r cm , 40h cm , 1dr

dt y 3

dh

dt se encuentra que

22 (15)(40)( 1) (15) ( 3) 1875 5890.49dV

dt (cm

3/h).

Así en el instante en cuestión, el volumen del bloque cilíndrico disminuye a poco menos de

6 litros por hora.

Ejemplo 10 Dos objetos recorren trayectorias elípticas dadas por las ecuaciones

parametricas siguientes

1 1

2 2

4cos y 2 (Primer objeto)

2 2 y 3cos2 (Segundo objeto)

x t y sent

x sen t y t

¿A qué velocidad o ritmo cambia la distancia entre los dos objetos cuando t ?

Solución

En la figura siguiente se puede ver que la distancia s entre los dos objetos está dada por

2 2

2 1 2 1( ) ( )s x x y y

y que cuando t , se tiene 1 1 2 24 , 0 , 0 , 3x y x y y

2 2(0 4) (3 0) 5s .

Cuando t , las derivadas parciales de s son las siguientes.

2 1

2 21 2 1 2 1

2 1

2 21 2 1 2 1

2 1

2 22 2 1 2 1

2 1

2 22 2 1 2 1

( ) 1 4(0 4)

5 5( ) ( )

( ) 1 3(3 0)

5 5( ) ( )

( ) 1 4(0 4)

5 5( ) ( )

( ) 1 3(3 0)

5 5( ) ( )

x xd s

d x x x y y

y yd s

d y x x y y

x xd s

d x x x y y

y yd s

d y x x y y

Cuando t , las derivadas de 1 1 2 2, , y x y x y son

1 1

2 2

4 0 , 2 2

4 2 4 , 6 2 0

x ysent cost

t t

x ycos t sen t

t t

Por tanto, usando la regla de la cadena apropiada, se sabe que la distancia cambia a una velocidad o

ritmo

1 1 2 2

1 1 2 2

4 3 4 3(0) ( 2) (4) (0)

5 5 5 5

22.

5

dx dy dx dyds s s s s

dt x dt y dt x dt y dt

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Evaluar (1,2)f y (1.05,2.1)f y calcular z y b) utilizar la diferencial total dz para aproximar

z :

a) 2 2( , ) 9f x y x y b) 2 2( , )f x y x y c) ( , )f x y xsen y

d) ( , ) yf x y xe e) ( , ) 3 4f x y x y f) ( , )x

f x yy

2. En los ejercicios siguientes hallar ( , )z f x y y utilizar la diferencial total para aproximar la

cantidad

a) 2 2 2((1.95) (2.01) )

b) 2 2 2 2(5.05) (3.1) 5 3

c) 2 3 2 3(2.03) (1 8.9) (2) (1 9)

d)

2 2

2 2

1 (3.05) 1 3

(5.95) 6

e) 2 2 2 2[(1.05) (0.95) ] (1 1 )sen sen

f) 2 2 2(3.1) (4.2) 11.7

g) 2 2 23 (5.1) 2(5.2) 2(5.3)

3. Aproximar la coordenada y del punto P cerca de (1; 2) que se encuentra sobre la curva 3 32 2 9 ,x y xy si la coordenada x de P es 1.1.

4. Aproximar la coordenada x del punto P cerca de (2; 4) que se encuentra sobre la curva 4 4 2 24 4 17x y x y si la coordenada y de P es 3.9.

5. Volumen El radio r y la altura h de un cilindro circular recto se miden con los posibles errores

de 4% y 2%, respectivamente. Aproximar el máximo error porcentual posible al medir el

volumen.

6. Viento la fórmula para la frialdad producida por el viento C (en grados Fahrenheit) es

0.16 0.1635,74 0.6215 35.75 0.4275C T T

donde es la velocidad del viento en millas por hora y T es la temperatura en grados

Fahrenheit. La velocidad del viento es 23 3 millas por hora y la temperatura es o o8 1 .

Utilizar dC para estimar el posible error propagado al calcular la frialdad producida por el

viento.

7. Péndulo El periodo T de un péndulo de longitud L es 2T L g , donde g es la

aceleración de la gravedad. Un péndulo se lleva de la zona del canal, donde 232.09piesg s ,

a Groenlandia, donde 232.23piesg s . Debido al cambio en la temperatura, la longitud del

péndulo cambia de 2.5 pies a 2.48 pies. Aproximar el cambio en el periodo del péndulo.

8. Área En un triángulo, dos lados adyacentes miden 3 y 4 pulgadas de longitud, y entre ellos

forman un ángulo de 4 . Los posibles errores de medición son 1

16pulgadas en los lados y 0.02

radianes en el ángulo. Aproximar el máximo error posible al medir el área.

9. Volumen Un abrevadero tiene 16 pies de largo (ver la figura A). Sus secciones transversales

son triángulos isósceles en los que los dos lados iguales miden 18 pulgadas.

a) Expresar el volumen del abrevadero en función de y determinar el valor de para el que el

volumen es máximo.

b) El error máximo en las mediciones lineales es de media pulgada y el error máximo en

la medida del ángulo es 02 . Aproximar el cambio a partir del volumen máximo.

10. Deportes Un jugador de béisbol en el jardín central se encuentra aproximadamente a 330 pies de

una cámara de televisión que está en la base. Un bateador golpea una pelota que sale hacia una

valla situada a una distancia de 420 pies de la cámara (ver figura B).

a) La cámara gira 09 para seguir la carrera. Aproximar el número de pies que el jugador central

tiene que correr para atrapar la pelota.

b) La posición del jugador central podría tener un error hasta de 6 pies y el error máximo al

medir la rotación de la cámara de 01 . Aproximar el máximo error posible en el resultado del

apartado a).

Figura A Figura B

11. Las dimensiones de una caja son 10 cm, 12 cm y 15cm, con un posible error de 0.02 en cada

medición. Aproxime mediante diferenciales el máximo error si el volumen de la caja se calcula a

partir de estas medidas.

12. La función 0,425 0,7250,1091S w h da el área de la superficie corporal de una persona, en

términos del peso w y la estatura h . Si el error en la medida de w es a lo sumo 3%, y el error

en la medida de h es a lo más 5%, ¿Cuál es el porcentaje máximo de error aproximado en la

medida de S ?

13. En un experimento para hallar la rapidez promedio, un ingeniero usa la formula svt

, donde

s es la distancia recorrida, t el tiempo, y v la rapidez promedio. Si existe un 1% de error al

medir s , y un 2% al medir t , ¿qué tan grande es el porcentaje de error en el cálculo de v?

14. Dos lados de un triángulo miden 150 y 200 metros y el ángulo que forman es de 600. Sabiendo

que los errores en la medición son de 0.2 metros en la medida de los lados y de 10 en la del

ángulo. Hallar el máximo error probable que se puede cometer al evaluar su área.

15. El sistema cardiovascular humano es similar a circuitos eléctricos en serie y en paralelo. Por

ejemplo, cuando la sangre circula a través de dos resistencias en paralelo, como se muestra en la

figura , entonces la resistencia equivalente R de la red es

R1

R2

1 2

1 2 1 2

R R1 1 1o R

R R R R R

Si los errores porcentuales en la medición de 1R y 2R son 0.2% y 0.6% , respectivamente,

encuentre el error porcentual máximo aproximado en .

16. La presión P , en Kilopascales, el volumen V , en litros y la temperatura T en Kelvin, de un mol

de un gas ideal, están relacionados mediante la ecuación 8.31PV T . Determine la razón a la

cual la presión cambia cuando la temperatura es de 300K y se incrementa a razón de 0.1K s y

el volumen es de 100 L y se incrementa a razón de 0.2L s .

17. La tensión T en la cuerda del yo-yo que se muestra en la figura es

2 22

RT mg

r R

donde mg es su peso constante. Determine el cambio aproximado en la tensión si R y r se

incrementan de 4cm y 0.8 cm a 4.1 cm y 0.9cm, respectivamente. ¿La tensión aumenta o

disminuye?

18. Movimiento de proyectiles. Se dispara un proyectil a un ángulo con velocidad v a través de

un abismo de ancho D hacia el muro del acantilado vertical que es esencialmente infinito tanto

en la altura como en profundidad, ver figura.

a) Si el proyectil sólo está sujeto a la fuerza de la gravedad, demuestre que la altura H a la

cual golpea el muro del acantilado como una función de las variables v y está dada por

22

2

1tan sec

2

DH D g

v .

b) Calcule la diferencial total de H.

c) Suponga que 2100 , 32 , 100D pies g pies s v pies s y

045 . Calcule H.

d) Suponga, para los datos del inciso c), que el error en la medición de v es a lo sumo

1 pies s y que el error en la medición de es a lo sumo 01 . Calcule el error máximo

aproximado en H.

e) Al dejar que D varíe, H también puede considerarse como una función de tres variables.

Encuentre la diferencial total de H. Empleando los datos de los incisos c) y d) y suponiendo

que el error en la medición D es a lo sumo 2 pies s , calcule el error máximo

aproximado en H.

19. La temperatura en un punto ( , )x y es ( , )T x y , medida en grados Celsius. Un animalito se arrastra

de tal modo que su posición después de t segundos está definida por 1x t , 1

23

y t ,

donde y x y se miden en centímetros. La función de la temperatura cumple con (2,3) 4xT y

(2,3) 3yT . ¿Qué tan rápido se eleva la temperatura en la trayectoria del animalito después de 3

segundos?

20. La altura de un cono circular es de 30 pulg. En un cierto instante y crece a razón de 2 pulg./seg,

el radio de la base en ese mismo instante es de 20 pulg./seg y crece a razón de 1 pulg/seg. A qué

velocidad crece el volumen en aquel instante.

21. El radio de un cilindro circular recto se incrementa a razón de 6 pulgadas por minuto y la altura

decrece a razón de 4 pulgadas por minuto. ¿Cuál es la velocidad o el ritmo de cambio del

volumen y del área superficial cuando el radio es 12 pulgadas y la altura 36 pulgadas?

22. La longitud , ancho w y la altura h de una caja cambia con el tiempo. En un cierto instante, las

dimensiones son 1 m y 2 mw h , y y w se incrementan a razón de 2m s , en tanto que

h disminuye a razón de 3 m s . Encuentre en ese instante las razones a las cuales las siguientes

magnitudes cambian.

a) El volumen

b) El área superficial

c) La longitud de la diagonal.

23. El automóvil A viaja hacia el norte por la carretera 16 y el automóvil B viaja hacia el oeste por la

carretera 83. Los vehículos se aproximan a la intersección de dichas carreteras. En un cierto

momento, el automóvil A está a 0.3 km de la intersección y se desplaza a 90km h mientras que

el automóvil B está a 0.4 km de la intersección y viaja a 80 km/h. ¿Qué tan rápido cambia la

distancia entre los automóviles en ese momento?

24. El radio de una esfera disminuye a razón de 2cm s y el radio de un cono recto inscrito en dicha

esfera aumenta a razón de 1cm s . Calcular la rapidez con que varía el volumen del cono cuando

el radio de la esfera es de 10 cm y el radio de la base del cono 6 cm .

25. Una pared hace un ángulo de 1200 con el suelo, una escalera de 20 cm. de longitud está

recargada contra la pared y su parte superior esta resbalando a la rapidez de 3cm/seg. Que rápido

está cambiando el área del triangulo formado por la escalera, la pared y el suelo cuando la

escalera hace un ángulo de 300 con el suelo.