Departamento de Ciencias

DERIVADA DE UNA FUNCION COMUESTA

Regla de la cadena. Recta tangente.

CASO 01: COSTO DE PRODUCCIN

El costo de produccin de x unidades de cierto producto es dlares, y el nivel de la produccin durante t horas en una lnea de produccin particular es unidades. A qu razn est cambiando el costo con respecto al tiempo despus de cuatro horas?

2( ) 4 53C x x x

2( ) 0,2 0,03x t t t

UPN

Segn el anlisis cinemtico del Movimiento Armnico Simple (M.A.S.), la ecuacin de la elongacin es La amplitud del movimiento es de 100 m y el

periodo de 3 a) Obtener las funciones velocidad y aceleracin para el M.A.S. b) Calcular velocidad y aceleracin si t=2s.

( ) cosx t A t

CASO 02: MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

UPN

LOGRO DE SESIN

Al finalizar la sesin de aprendizaje, el

estudiante resuelve ejercicios en los que

calcula la derivada de funciones compuestas;

la recta tangente y normal a una curva,

haciendo uso del clculo de derivadas de las

funciones que son representadas por las

curvas en estudio.

CONTENIDOS

LA RECTA TANGENTE

REGLA DE LA CADENA

x

y

0 x

) ( 0 x f

ECUACION DE LA RECTA TANGENTE

x

y

EJEMPLO DE RECTA TANGENTE

7. Ecuacin de la Recta Tangente y Recta Normal

Sea f : R R una funcin derivable en x=a, considerando la interpretacin geomtrica de f(a) se dan las siguientes definiciones:

Recta tangente:

))(()( axafafy

Recta Normal:

1( ) ( )

( )y f a x a

f a

Recta tangente

Recta normal

Ejemplo: Dada la funcin: f(x)= x - 2x + 3, obtener las ecuaciones de la

recta tangente y normal a la grfica de f en el punto P (2,3).

Solucin:

La pendiente de la recta tangente: m= f(x)=2x-2 m=f(2)=2(2)-2 = 2 Recta tangente: y-3=2(x-2) y-2x+1=0

Recta normal: y-3=-(1/2)(x-2) x+2y-8=0

a

f(a) y= f(x)

x UPN

Teorema. La Regla de la Cadena

TEOREMA.

Si y = f(u) es una funcin derivable de u

Y u = g(x) es una funcin derivable de x

Entonces:

y = f(g(x) es una funcin derivable de x y

O su equivalente:

.dy dy du

dx du dx

'( ( )) '( )d

f g x f g x g xdx

UPN

REGLA DE LA CADENA

xx gfgfxhObs )(:

xgxgfhxgfhSea ''')(

Ejemplo 1:

21 :Sea f x x y g x x hallar

)a h f g f g x

b) 'h

21 :Sea f x x y g x x hallar

2 2) 1a h f g f x x

1

2 21

b) ' 1 22

h x x

SOLUCION:

2'

1

xh

x

Observacin : Derivada de f n(x)

1[ ( )]' ( ). '( )n nf x n f x f x

10)23()( xxf Derivar

]')23[()(' 10xxf )'23()23(109 xx

99 )23(20)2()23(10)(' xxxf

Ejemplo 1:

Solucion:

( ) '( )x xSi f x e f x e

2.1 FUNCION EXPONENCIAL:

1

( ) '( ) ; 0Si f x Ln x f x xx

2.2 FUNCION LOGARITMO:

DERIVADA DE FUNCIONES ESPECIALES

OBSERVACION: DERIVADA DE ef(x)

( ) ( )[ ]' . '( )f x f xe e f x

3 4( ) xf x e

Ejemplo:

Solucin:

3 4'( ) 3 4 'xf x e x

3 4'( ) 3 xf x e

OBSERVACION : DERIVADA DE Ln(f(x))

)(

)('))]'([ln(

xf

xfxf

Derivar )12ln()( 2 xxxf

Ejemplo:

Solucin:

2

2

1'( ) (2 1) '

(2 1)f x x x

x x

2

4 1'( )

2 1

xf x

x x

Funciones Trigonomtricas y la Regla de la Cadena

2

cos '

tan sec '

sec sec tan '

dsen u u u

dx

du u u

dx

du u u u

dx

2

cos '

cot csc '

csc csc tan '

du sen u u

dx

du u u

dx

du u u u

dx

Sea u=u(x) una funcin diferenciable, entonces:

UPN

Ejemplos:

3( ) 4f t sen t

3( ) ( 4 )f t sen t

2'( ) 3( 4 ) 4d

f t sen t sen tdt

2'( ) 3( 4 ) (cos 4 ) 4d

f t sen t t tdt

2'( ) 3( 4 ) cos 4 4f t sen t t

2'( ) 12 4 cos 4f t sen t t

UPN

Derivar las siguientes funciones

431) ( ) (3 2)f x x

22) ( ) (3 2)e xf x Ln x

3 12 1

3) ( )

x

x

Ln ef x

e

EJERCICIOS

Forme grupos de 4 estudiantes.

Desarrolle los ejercicios impares de la HT 05 niveles :I y II.

TRABAJO EN EQUIPO

QU HAS APRENDIDO EN LA SESIN DE CLASE?

Qu tipo de problemas cotidianos se podran resolver aplicando la regla

de la cadena?

Qu dificultades se presentaron en la resolucin de ejercicios?,

Qu he aprendido en esta sesin?

BIBLIOGRAFA

N Cdigo Autor Ttulo Paginas

[1] 515

STEW/D

JAMES

STEWART

CALCULO

DIFERENCIAL E

INTEGRAL

139 155

157 - 203

[3] 515

STEW/C

JAMES

STEWART

CALCULO DE UNA

VARIABLE

143 183

184 - 212