MATE 3013 LA REGLA DE LA CADENA · PDF fileLa regla para funciones exponenciales - extendida...

LA REGLA DE LA CADENA

MATE 3013

DEFINICION:

La composición función , de f con g, se define

f g

( ( ))f g f g x

La composición de funciones

Ejemplo : Para y

Hallar y

f (x) x3 g(x) 1 x2 ,

( )( )f g x ( )( ).g f x

2 4 61 3 3x x x

2 3(1 )x

2(1 )f x

( )( ) ( ( ))f g x f g x ( )( ) ( ( ))g f x g f x

3( )g x

3 21 ( )x

61 x


Ejemplo : Para and

Hallar y

f (x) x g(x) x 1,

( )( )f g x ( )( ).g f x

( )( ) ( ( ))f g x f g x

( 1)f x

( )( ) 1f g x x

( )( ) ( ( ))g f x g f x

( )g x

( )( ) 1g f x x


Práctica adicional

Para las funciones en el Ejemplo anterior, hallar:

a.)

b.)

f f x

g g x

( )( ) ( ( ))f f x f f x ( )f x x 4 x

g g x g g x ( 1)g x 1 1x 2x


Suponer que g(x) es una función en x diferenciable.

Entonces, para cualquier número real k,

d

dxg x

k k g x

k1d

dxg x

La regla para potencias - extendida

Dicho en palabras, la derivada de una función

cualquiera elevada a una potencia es la

derivada de la potencia multiplicada por la

derivada de la función que se eleva a la

potencia.

Ejemplo 1: Derivar

f x 1 x3 1

2 .


2

3

3

2 1

x

x

𝑓(𝑥) = 1 + 𝑥3

𝑓′(𝑥) = 𝑑

𝑑𝑥1 + 𝑥3

=1

21 + 𝑥3 −

12 ∙ 3𝑥2

Ejemplo 2:

Derivar:

Si no existiera otra forma tendríamos que expandir el

binomio y aplicar la regla para sumas de términos y

potencias. El éxito depende de que te acuerdes de como

expandir un cubo, o en este caso multiplicar

1 − 3𝑥 1 − 3𝑥 1 − 3𝑥 = 1 − 9x + 27𝑥2 − 27𝑥3


𝑓 𝑥 = 1 − 3𝑥 3

𝑓′ 𝑥 − 9 + 54𝑥 − 81𝑥2

Hallar la derivada de esta forma es fácil si somos

buenos en álgebra básica. Sino…

Ejemplo 2: (continuación)

Derivar:

Usando la regla de cadena tenemos que:


𝑓 𝑥 = 1 − 3𝑥 3

𝑓′ 𝑥 = −9 + 54𝑥 − 81𝑥2

Llegamos al mismo resultado que anterior.

𝑓′ 𝑥 = (1 − 3𝑥)3 ′ ∙ 1 − 3𝑥 ′

En palabras decimos, la derivada de la potencia

por la derivada de la base.

𝑓′ 𝑥 = 3(1 − 3𝑥)2 ∙ −3

𝑓′ 𝑥 = −9(1 − 6𝑥 + 9𝑥2)

Ejemplo 2:

Derivar:

Primero aplicaremos primeramente la regla del producto.


𝑓′ 𝑥 = 𝑥3 ′ ∙ 5 − 2𝑥 5 + 𝑥3[ 5 − 2𝑥 5]′

Ahora, en cada término en el que hay que derivar, usaremos la

regla para potencias o la regla extendida para potencias, según

sea necesario.

𝑓′ 𝑥 =𝑑

𝑑𝑥[𝑥3] ∙ 5 − 2𝑥 5 + 𝑥3

𝑑

𝑑𝑥[ 5 − 2𝑥 5](5 − 2𝑥)′

𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 ∙ 5 − 2𝑥 5 + 𝑥3 ∙ 5 5 − 2𝑥 4 ∙ (−2)

𝑓′ 𝑥 = 𝑥2 ∙ 5 − 2𝑥 4 [3 5 − 2𝑥 − 10𝑥]

𝑓 𝑥 = 𝑥3 5 − 2𝑥 5

𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 ∙ 5 − 2𝑥 5 − 10𝑥3 5 − 2𝑥 4

𝑓′ 𝑥 = 𝑥2 ∙ 5 − 2𝑥 4 (15 − 16𝑥)

Aquí, buscamos la derivada de la potencia,

dejando la base igual, y luego derivamos la base.

Respuesta correcta sin simplificar.

Respuesta completamente simplificada.

Ejemplo 3:

Derivar:

Primero aplicaremos la regla del producto.


𝑓′ 𝑥 = 3𝑥 − 5 3 ′ ∙ 7 − 𝑥 2 + 3𝑥 − 5 3 7 − 𝑥 2 ′

Ahora, en cada derivada que vamos a buscar, usaremos

la regla para potencias - extendida.

𝑓′ 𝑥 =𝑑

𝑑𝑥[ 3𝑥 − 5 3] ∙ 3𝑥 − 5 ′ ∙ 7 − 𝑥 2 + 3𝑥 − 5 3

𝑑

𝑑𝑥[ 7 − 𝑥 2](7 − 𝑥)′

𝑓′ 𝑥 = 3 3𝑥 − 5 2 ∙ 3 ∙ 7 − 𝑥 2 + 3𝑥 − 5 3 ∙ 2 7 − 𝑥 ∙ −1

𝑓′ 𝑥 = 9 3𝑥 − 5 2 ∙ 7 − 𝑥 2 − 2 3𝑥 − 5 3 ∙ 7 − 𝑥

𝑓′ 𝑥 = 3𝑥 − 5 2 ∙ 7 − 𝑥 [9 7 − 𝑥 − 2 3𝑥 − 5 ]

𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 5 3 7 − 𝑥 2

𝑓′ 𝑥 = 3𝑥 − 5 2 ∙ 7 − 𝑥 73 − 15𝑥

Respuesta correcta sin

simplificar.

Respuesta completamente simplificada.

Parte 1: Suponer que g(x) es una función en x

diferenciable. Entonces, para cualquier número real k,

La regla para funciones exponenciales - extendida

Dicho en palabras, la derivada de una

función cualquiera función exponencial

natural es la función exponencial

multiplicada por la derivada del

exponente.

𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑔 𝑥 = 𝑒𝑔 𝑥 ∙

𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥)

Ejemplo: Derivar:

𝑓 𝑥 = −5𝑒4𝑥


𝑑


𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥)

𝑓′(𝑥) = −5𝑒4𝑥 ∙𝑑

𝑑𝑥(4𝑥)

𝑓′(𝑥) = −5𝑒4𝑥 ∙ 4

𝑓′(𝑥) = −20𝑒4𝑥

Ejemplo: Derivar:

𝑓 𝑥 = 2𝑒3𝑥 −2


𝑑


𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥)

𝑓′(𝑥) = 2𝑒3𝑥−2 ∙𝑑

𝑑𝑥(3𝑥 − 2)

𝑓′(𝑥) = 2𝑒3𝑥−2 ∙ 3

𝑓′(𝑥) = 6𝑒3𝑥−2

Ejemplo: Derivar: 𝑓 𝑥 =𝑒𝑥3

𝑥4


𝑓′(𝑥) =𝑒𝑥3 ′

∙ 𝑥4 − 𝑒𝑥3(𝑥4)′

(𝑥4)2

𝑓′(𝑥) =𝑒𝑥3

(3𝑥2) ∙ 𝑥4 − 𝑒𝑥3(4𝑥3)

𝑥8

𝑓′(𝑥) =𝑒𝑥3

3𝑥6 − 4𝑥3

𝑥8

Aplicaremos dos reglas, primeramente la regla para

cocientes y luego la regla para potencias - extendida.

Parte 2: Suponer que g(x) es una función en x

diferenciable. Entonces, para cualquier número real k,


Dicho en palabras, la derivada de una función

cualquiera función exponencial es la función

exponencial multiplicada por el logaritmo

natural de la base multiplicada por la

derivada del exponente.

𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑔 𝑥 = ln (𝑎)𝑎𝑔 𝑥 ∙

𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥)

Ejemplo: Derivar: 𝑔 𝑥 = 3𝑥2


𝑑


𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥)

𝑔′(𝑥) = ln (3) ∙ 3𝑥2∙

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2)

𝑔′(𝑥) = ln (3) ∙ 3𝑥2(2𝑥)

𝑔′ 𝑥 = 2𝑥 ln 3 3𝑥2

Ejemplo: Derivar:

𝑔 𝑥 = 4(3𝑥2 −9𝑥)


𝑑


𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥)

𝑔′(𝑥) = 4 ∙ ln (3) ∙ 3𝑥2−9𝑥 ∙𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 − 9𝑥)

𝑔′(𝑥) = 4 ∙ ln (3) ∙ 3𝑥2−9𝑥(2𝑥 − 9)

𝑔′ 𝑥 = 4 ∙ ln 3 (2𝑥 − 9) 3𝑥2−9𝑥

La derivada de una composición , está dada por

o lo que es igual,

En otras palabras la derivada de una composición es la

derivada de la función que está afuera por la

derivada de la función de adentro.

f g

( )( ) ( ( )) '( ( )) '( )d d

f g x f g x f g x g xdx dx

La regla de la cadena - general

dy dy du

dx du dx

Ejemplo : Hallar 𝑓´(𝑥) para

dy dy du

dx du dx

𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 1

𝑑

𝑑𝑥𝑥3 + 1 = 𝑥3 + 1

′∙ [𝑥3 + 1]′

𝑑

𝑑𝑥𝑥3 + 1 = 1

2 ∙ 𝑥3 + 1 −12 ∙ 3𝑥2

𝑓′(𝑥) =3𝑥2

2 𝑥3 + 1

La regla de la cadena

Dice: la derivada de una composición es la derivada de la función

externa multiplicada por la derivada de la función interna.

Ejemplo : Hallar h´(𝑧) para .

dy dy du

dx du dx

Si cambiamos h(x) de forma

entonces podemos aplicar la regla de la cadena.

ℎ′(𝑥) = 3 ∙ 4𝑧 − 5 −3 ′(4𝑧 − 5) ′

La regla de la cadena - generalizada

ℎ′(𝑥) = 3 ∙ −3 4𝑧 − 5 −4 ∙ 4

ℎ 𝑧 =3

(4𝑧 − 5)3

ℎ′(𝑥) = −36 4𝑧 − 5 −4

ℎ′(𝑥) = −36

4𝑧 − 5 4

ℎ 𝑧 = 3(4𝑧 − 5)−3

Dice: la derivada de una composición es la derivada de la función

externa multiplicada por la derivada de la función interna.

MATE 3013 LA REGLA DE LA CADENA · PDF fileLa regla para funciones exponenciales - extendida...

Documents

Transcript of MATE 3013 LA REGLA DE LA CADENA · PDF fileLa regla para funciones exponenciales - extendida...