RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 30º,

45º y 60º

1.1. R.T. DE 30º y 60ºR.T. DE 30º y 60º

2.2. R.T. DE 45ºR.T. DE 45º

2

R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (1)

A B

CSea ABC un triángulo equilátero

H

ll

l

l/2

x

B

C

H

l

60º

30º

Es decir, cada uno de sus tres ángulos mide

En el triángulo CHB, rectángulo en H el ángulo B mide

Trazamos una altura CH

60º

Podemos calcular CH=x en función de l, aplicando el

22

2 l2lx

Tª de Pitágoras

4llx2

22

4ll4x22

2

4l3x2

2

4l3x2

23lx

60º y el ángulo HCB mide

30º El lado BH mide l/2

3

B

C

H

l

l/2

23l

60º

30º

23

l23l

l23l

º60sen

2º60cos

1º60sec

32

º60sen1º60eccos

33

31

º60tg1º60gcot

21

l2l

l2l

º60cos

3232

2123

º60cosº60senº60tg

21

l2l

l2l

º30sen

23

l23l

l23l

º30cos

33

31

322

23

21

º30tg

2º30sen

1º30eccos

32

º30cos1º30sec

33

333

3º30tg

1º30gcot

R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (2)

Observa que:

sen 60º = cos 30º

cos 60º = sen 30º

tg 60º = cotg 30º

cotg60º = tg 30º

sec 60º =cosec30º

Cosec 60º =sec30º

4

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (1)

Sea ABCD un cuadrado

l

l

x45º

Es decir, cada uno de sus cuatro ángulos mide

En el triángulo ABC, rectángulo en B, el ángulo A mide

Trazamos la diagonal AC

90º

Podemos calcular x en función de l, aplicando el

222 llx

Tª de Pitágoras

22 l2x

2l2x

2lx

45º y el ángulo ACB mide 45º

A B

CD

lA B

C

l

45º

5

22

21

2llº45sen

22

222

2º45cos

1º45sec

111

º45tg1º45gcot

1llº45tg

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (2)

45º

lA B

C

l

45º

2l22

21

2llº45cos

22

2º45sen

1º45eccos

Observa que:

sen 45º = cos 45º

tg 45º = cotg 45º

sec 45º =cosec45º

6

R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A

α

Si el ángulo B mide α grados,

el ángulo C mide º90

º90y

º90

AB

C

ba

c

cosac)º90(sen

senabº90cos

gcotbcº90tg

eccossen

1º90cos

1º90sec

seccos

1º90sen

1º90eccos

tggcot

1º90tg

1º90gcot

7

R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A

Si el ángulo B mide α radianes,

el ángulo C mide

2

y

2

α

AB

C

ba

c

2

cos

ac)

2(sen

sen

ab

2cos

gcot

bc

2tg

eccos

sen1

2cos

12

sec

sec

cos1

2sen

12

eccos

tg

gcot1

2tg

12

gcot

8

RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA

α

AB

C

ba

c

222 acb

Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos:

Si dividimos la expresión anterior por a2

2

2

2

2

2

2

aa

ac

ab

Expresándolo de otra forma:

1ac

ab 22

1cossen 22 O lo que es lo mismo:

1cossen 22

1cossen 22

Que normalmente expresaremos de la forma:

9

Si dividimos la expresión anterior por b2 o por c2

2

2

2

2

2

2

ba

bc

bb

Expresándolo de otra forma:

22 eccosgcot1

22 sectg1

α

AB

C

ba

c

222 acb

Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos:

2

2

2

2

2

2

ca

cc

cb

22 sectg1

22 eccosgcot1

OTRAS RELACIONES FUNDAMENTALES

10

R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º

sen

cos

sen

sen

sen

sen

1

Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto

sen 90º = 1A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0

cos 90º = 0

Observa que al ir disminuyendo el ángulo hasta 0º el seno va disminuyendo, hasta llegar a ser 0, mientras que el coseno va aumentando hasta valer 1. Es decir,

sen 0º = 0

cos 0º = 1radio=1

1

P(x,y)

O X

Y