Inecuaciones trigonometricas
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1
PRESENTACIÓN
Este trabajo de investigación constituye un aporte del autor hacia la
comunidad de estudiantes y demás interesados, en especial a los que necesitan
alcances de cómo resolver inecuaciones trigonométricas, ojalá y, fuera posible,
sea acogido por los estudiantes de distintas partes del mundo. En este texto se
podrá encontrar los aspectos teóricos básicos que se tienen en cuenta en la
resolución de inecuaciones trigonométricas.
Este trabajo modesto busca llenar el vacío que existe en la falta de bibliografía
bien ilustrada referente a la resolución de inecuaciones trigonométricas, pues es
muy escasa la bibliografía a este respecto.
El proceso de resolución para cada inecuación ha sido el más claro posible,
porque se busca que el lector no encuentre mayores dificultades durante la
resolución de una inecuación trigonométrica.
Como cualquier esfuerzo humano, este trabajo es perfectible, pues, es
probable que tenga algunas deficiencias; sin embargo se espera que éstas sean
resueltas con las valiosas contribuciones que, en su contundente interés,
demuestren los dignos lectores.
Ingº M.Sc. Juan Julca Novoa
AUTOR
2
CAPÍTULO 1
Objetivo formativo capítulo 1 Aprender cuestiones previas de nivel teórico que son necesarios tener en cuenta para la resolución de inecuaciones trigonométricas Título Capítulo 1: Cuestiones previas a la resolución de inecuaciones trigonométricas Contenido Capítulo 1
CAPÍTULO I: CUESTIONES PREVIAS A LA RESOLUCIÓNDE
INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o
más funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el
ángulo común de las funciones trigonométricas. No puede especificarse un método
general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un
procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en
transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las
funciones que aparecen allí en una sola función (en lo posible, es recomendable
pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de
una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de
ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte
trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un
ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo.
Cabe indicar que en las soluciones pueden aparecer valores extraños (debido
a la manipulación de las ecuaciones al tratar de reducirlas), por ejemplo, puede ser
al caso en que resulte un cosx = 2, que obviamente se debe descartar, pues el
rango del coseno se limita al intervalo [-1, 1]. También, se debe verificar todas las
respuestas obtenidas y aceptar sólo aquellas que satisfacen la ecuación original.
Además, luego de calculada la solución principal, se establecerá la solución
general de la ecuación trigonométrica, según corresponda.
3
Algunas fórmulas útiles de trigonometría
4
Expresiones del conjunto de arcos con un mismo valor para una de sus funciones trigonométricas (Soluciones Generales)
Solución General para expresiones que provienen una función Seno o Cosecante
p
n xnx )1(º180 ó p
n xnx )1(
Solución General para expresiones que provienen una función Coseno o Secante
pxnx º360 ó pxnx 2
Solución General para expresiones que provienen una función Tangente o Cotangente
pxnx º180 o pxnx
Ejercicios Resueltos
1) Resolver: 03tan34tan.4 22 xxsenxxsen
Resolución
Como x=45º 1Tan de resulta que x proviene de una función Tangente, entonces la primera solución general es:
º45º180 nx ó 4
nx
Como x=60º
2
3 de resulta que Senx proviene de una función Seno, entonces la
primera solución general es:
º60)1(º180 nnx ó 3
)1(
nnx
Como x=120º
2
3 de resulta que Senx proviene de una función Seno, entonces la
primera solución general es:
º120)1(º180 nnx ó 3
2)1(
nnx
5
Luego el Conjunto Solución General de la ecuación es:
ZnnxnxnxRxSC nn ,3
2)1(
3)1(
4/..
2) Resolver: 3cotcsc xx Resolución
Luego el Conjunto Solución General de la ecuación es:
ZnnxRxSC ,3
2/..
Como x=60º
2
1Cos de resulta que x proviene de una función Coseno, entonces la
solución general es:
º60º360 nx ó 3
2
nx
6
3) Resolver: 1cos32cos4 xx Resolución
Luego el Conjunto Solución General de la ecuación es:
Znnx
arcCos
nxRxSC ,22180
8
5.
2/..
Como
8
5arcCosx
8
5Cos de resulta que x proviene de una función Coseno,
entonces la solución general es:
8
5º360 arcCosnx ó
180
8
5.
2
arcCos
nx
Como x=180º 1Cos de resulta que x proviene de una función Coseno, entonces la solución general es:
º180º360 nx ó 22 nx
8
5arcCosx
7
CAPÍTULO 2 Objetivo formativo capítulo 2 Resolver ejercicios preliminares de afianzamiento previos a la resolución de inecuaciones trigonométricas. Título Capítulo 2: Ejercicios preliminares de afianzamiento para resolver inecuaciones trigonométricas
Contenido Capítulo 2
CAPÍTULO 2: EJERCICIOS PRELIMINARES DE AFIANZAMIENTO PARA
RESOLVER INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
1) ¿ A qué funciones puede representar la expresión a
b
b
a , si 0 ba ?
Resolución
Como 0 ba 0a y 0b , es decir que:
)(a y que )(b ----------------------------------------------(1)
en base a esto, se tiene:
Si ba 1b
a , pero )(es
b
a ----------------------------(2)
Si ba a
b1 , pero )(es
a
b -----------------------------(3)
De (1), (2) y (3), se deduce que:
1a
b
b
a ----------------------------------------------------(4)
Analizando, se observa que las funciones trigonométricas que pueden tomar valores mayores que 1 son la Tangente, Cotangente,
Secante y Cosecante.
Luego la respuesta es: la expresión a
b
b
a , si 0 ba puede representar a
las funciones trigonométricas Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante.
8
2) ¿En qué cuadrantes se cumple que tgxCosxSenx . ?
Resolución
Para visualizar objetivamente, se trazan las gráficas por cuadrantes:
9
En el Cuadrante I se observa que
tgxCosxSenx . equivale a ))(()1)().(1)(( decimalquemenordecimalquemenordecimal , de modo que el
producto CosxSenx . es (+) pero más pequeño que tgx que también es
(+) debido al criterio de comparación de números decimales
positivos.
Conclusión: No se cumple tgxCosxSenx .
En el Cuadrante II se observa que
tgxCosxSenx . equivale a ))(()1)().(1)(( decimalquemenordecimalquemenordecimal , de modo que el
producto CosxSenx . es (-) pero más grande que tgx que también es
(-) debido al criterio de comparación de números negativos.
Conclusión: Se cumple tgxCosxSenx .
En el Cuadrante III se observa que
tgxCosxSenx . equivale a ))(()1)().(0)(( decimalquemenordecimalquemenordecimal , de modo que el
producto CosxSenx . es (-) y tgx es (+).
Conclusión: No se cumple tgxCosxSenx .
En el Cuadrante IV se observa que
tgxCosxSenx . equivale a ))(()1)().(0)(( decimalquemenordecimalquemenordecimal , de modo que el
producto CosxSenx . es (-) pero más grande que tgx que también es
(-) debido al criterio de comparación de números negativos.
Conclusión: Se cumple tgxCosxSenx .
La respuesta es:
La expresión tgxCosxSenx . se cumple en los cuadrantes II y IV.
10
¶
¶
¶
¶
2
3) Resolver: 01
xtg
xCos, si 2,0x
Resolución
Para resolver esta inecuación bastará con analizar el comportamiento
de las expresiones según los cuadrantes del círculo trigonométrico.
01
xtg
xCos 01 xCos 0xtg
Es decir que: )(1 xCos y que )(xtg
Nótese que )(1 xCos si )(xCos
Se observa el círculo trigonométrico y se deduce que:
)(xCos y )(xtg el cuadrante II,
es decir cuando
,2
x
Además, también se observa que )(1 xCos , es decir que )(xCos pero
1xCos (por extensión del coseno) y que )(xtg precisamente en
el cuadrante IV. Es decir cuando
2,2
3x
Luego el conjunto solución es:
22
3
2/.. xxRxSC
11
CAPÍTULO 3 Objetivo formativo capítulo 3 Aprender a resolver inecuaciones trigonométricas Título Capítulo 3: Resolución de inecuaciones trigonométricas
Contenido Capítulo 3
CAPÍTULO 3: RESOLUCIÓN DE INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
ALGUNOS CRITERIOS QUE SE DEBEN CONSIDERAR PARA RESOLVER INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
A manera de establecer un criterio claro para el proceso de
resolución de cualquier inecuación trigonométrica, el autor considera lo siguiente:
1) Ordenar, acomodar y/o resolver la inecuación de modo que se observe una última inecuación más elaborada en la que se pueda
apreciar la presencia de dos funciones (una trigonométrica y la
otra una función elemental conocida), en lo posible, claras y graficables manualmente.
2) Las gráficas de las funciones deben estar superpuestas en el mismo sistema coordenado cartesiano.
3) Establecer y/o calcular los puntos de intersección de las gráficas.
Éstos se obtienen usando la solución general de la ecuación que resulta de igualar las funciones graficables (dicha solución ya
comprende la solución principal de dicha ecuación).
4) A partir de los puntos de intersección de las gráficas, establecer
la(s) región(es) (o mejor dicho el(los) intervalo(s)) principal(es)
que cumplan con la última inecuación indicada en el criterio 1). Dicho(s) intervalo(s) representan la(s) solución(es) principal(es)
de la inecuación propuesta.
5) A partir de la solución principal de la inecuación, teniendo en
cuenta el período de la función trigonométrica presente en la
última inecuación indicada en el criterio 1) se indica la solución general de la inecuación original (también puede utilizarse el
conjunto solución general de todos los arcos que contienen a dicha función trigonométrica).
12
¶ (pa r a K = 1 )¶ (pa r a K = -1 )
¶/6
5¶/6
13¶/6
17¶/6
-11¶/6
-7¶/6
¶ (pa r a K = 2 )
25¶/6
Ejercicios Resueltos
1) Resolver: 02
1Senx
Resolución
02
1Senx
2
1Senx --------------------------------------------(1)
Considérese: Senxy 1 2
12 y
Gráfica conjunta de 1y con 2y
fig.(*)
Para intersecar 1y con 2y , se tiene:
2
1Senx --------------------------------------------------------------(2)
6
x --------------------------------------------------------------(3)
La expresión (3) es la solución principal de la ecuación dada en (2).
La solución general para la ecuación (2), cuyo arco proviene de una expresión Seno, es:
13
6)1(
nnx ---------------------------------------------------------(4)
Haciendo 1n en (4), se obtiene:
6
5
66)1()1( 1
x
6
5x ---------------------------(5)
La expresión (5) representa el otro punto de intersección del
intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. (*).
De la gráfica dada en la fig. (*) y de lo que se ha obtenido en (4) y
(5), se establece que la solución principal de la inecuación 2
1Senx es
6
5
6
x ---------------------------------------------(6)
Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período generalizado será k2 donde ,3,2,1,0 k
Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la
inecuación 2
1Senx , o lo que es lo mismo, de la inecuación 0
2
1Senx
se obtiene sumando el período generalizado, así:
,26
52
6kxk
,3,2,1,0 k
Luego, el Conjunto Solución de la inecuación propuesta es:
,3,2,1,0,26
52
6/.. kkxkRxSC
O también:
ZkkxkRxSC ,26
52
6/..
2)Resolver: 03
1Cosx
Resolución
14
¶ (para K=1)¶ (para K= -1)
arc
Co
s(1
/3)
¶ (para K=2)
-arc
Co
s(1
/3)
¶ (para K=1)
2¶+
arc
Co
s(1
/3)
2¶-a
rcC
os(1
/3)
4¶-a
rcC
os(1
/3)
-2¶+
arc
Co
s(1
/3)
-2¶-a
rcC
os(1
/3)
¶ (para K= -1)
03
1Cosx
3
1Cosx --------------------------------------------(1)
Considérese: Cosxy 1
3
12 y
Gráfica conjunta de 1y con
2y
fig.(**)
Para intersecar 1y con 2y , se tiene:
3
1Cosx -------------------------------------------------------------------(2)
)3
1( arcCosx ----------------------------------------------------------- (3)
O también, como Coseno es función par, se tiene que:
)3
1(arcCosx ----------------------------------------------------------------(4)
La expresión (4) es la solución principal de la ecuación dada en (2).
La solución general para la ecuación (2), cuyo arco proviene de una expresión Coseno, es:
15
3
12 arcCosnx ---------------------------------------------------------- (5)
De modo que el intervalo que representa la solución principal de la
inecuación 3
1Cosx y que se ha identificado en la gráfica dada en la
fig. (**) es:
3
1
3
1arcCosxarcCos ---------------------------------------------(6)
Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período generalizado será k2 donde ,3,2,1,0 k
Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la
inecuación 3
1Cosx , o lo que es lo mismo, de la inecuación
03
1Cosx se obtiene sumando el período generalizado, así:
,23
12
3
1karcCosxkarcCos
,3,2,1,0 k
Luego, el Conjunto Solución de la inecuación propuesta es:
,3,2,1,0,2
3
12
3
1/.. kkarcCosxkarcCosRxSC
O también:
,2
3
12
3
1/.. ZkkarcCosxkarcCosRxSC
16
3) Resolver la inecuación: 018 tgx
Resolución
018 tgx 8
1tgx ---------------------------------------------(1)
Pero 8
1tgx implica
8
1
8
1 tgx ---------------------------------(2)
Considérese: tgxy 1
8
12 y
Gráfica conjunta de 1y con 2y
fig.(α)
arc
tg(1
/8)
-arc
tg(1
/8)
¶+
arc
tg(1
/8)
¶-a
rctg
(1/8
)
2¶+
arc
tg(1
/8)
2¶-a
rctg
(1/8
)
-¶+
arc
tg(1
/8)
-¶-a
rctg
(1/8
)
¶/2 3¶/2 5¶/2-¶/2-3¶/2
¶ para k=1
¶ para k=2
¶ para k= -1
¶ para k= -2
-2¶+
arc
tg(1
/8)
¶ para k=1
¶ para k=2
¶ para k= -1
Para intersecar 1y con 2y , se tiene:
17
8
1tgx ----------------------------------------------------------- -----(3)
)8
1(arctgx ----------------------------------------------------------(4)
La expresión (4) es la solución principal de la ecuación dada en (3).
La solución general para la ecuación (2), cuyo arco proviene de una
expresión tangente, es:
8
1arctgnx ---------------------------------------------------- --------(5)
Nótese que el signo en la expresión (5) se debe al valor absoluto
presente en la ecuación dada en (3), es decir, éste implica dos soluciones.
De modo que el intervalo que representa la solución principal de la
inecuación 8
1tgx y que se ha identificado en la gráfica dada en la
fig. (α) es:
8
1
8
1arctgxarctg -----------------------------------------------(6)
O También como la función arcotangente es impar entonces la expresión dada en (6) es equivalente a:
8
1
8
1arctgxarctg ---------------------------------------------(7)
Como el período de la función Tangente es , entonces el período generalizado será k donde ,3,2,1,0 k
18
Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la
inecuación8
1tgx , o lo que es lo mismo, de la inecuación 018 tgx
se obtiene sumando el período generalizado, así:
,8
1
8
1karctgxkarctg
,3,2,1,0 k
Luego, el Conjunto Solución de la inecuación propuesta es:
,3,2,1,0,
8
1
8
1/.. kkarctgxkarctgRxSC
O también:
,
8
1
8
1/.. ZkkarctgxkarctgRxSC
4) Resolver la inecuación: CosxSenx
Resolución
CosxSenx 0 CosxSenx 02
1
2
1
2
1
CosxSenx ------(1)
Como 2
1
44
CosSen , entonces la expresión (1) queda así:
044
CosxSenSenxCos
04
xSen -----------------------(2)
Sea 4
xq , entonces la inecuación (2) queda así:
0qSen --------------------------------------------------------- (3)
19
¶ (pa r a K = 1)¶ (pa r a K = -1 )
0 ¶
¶ (pa r a K = 2)
2¶ 3¶ 4¶-¶-2¶
¶ (pa r a K = 1)¶ (pa r a K = -1)
Considérese: qSeny 1 02 y
Gráfica conjunta de 1y con
2y
fig.(β)
Para intersecar 1y con 2y , se tiene:
0qSen -----------------------------------------------------------(4)
0q -----------------------------------------------------------(5)
La expresión (5) es la solución principal de la ecuación dada en (4).
La solución general para la ecuación (4), cuyo arco proviene de una
expresión Seno, es:
0)1( nnq nq ----------------------------------------(6)
Haciendo 1n en (4), se obtiene:
)1(q q ----------------------------------------(7)
La expresión (7) representa el otro punto de intersección del intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. (β).
20
De la gráfica dada en la fig. (β) y de lo que se ha obtenido en (5) y
(7), se establece que la solución principal de la inecuación 0qSen es
q0 -------------------------------------------(8)
Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período generalizado será k2 donde ,3,2,1,0 k
Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la inecuación 0qSen se obtiene sumando el período generalizado, así:
,220 kqk ,3,2,1,0 k
,22 kqk ,3,2,1,0 k -----------------------------(9)
Reemplazando 4
xq , hecho anteriormente, en (9):
,24
2 kxk
,3,2,1,0 k
,24444
2 kxk
,3,2,1,0 k
,24
5
42 kxk
,3,2,1,0 k
Luego, el Conjunto Solución de la inecuación propuesta CosxSenx
es:
,3,2,1,0,24
5
42/.. kkxkRxSC
O también:
ZkkxkRxSC ,24
5
42/..
21
5) Resolver: 123225 SenxxCos
Resolución
Como xSenxCos 2212 entonces la inecuación propuesta queda así:
123)21(25 2 SenxxSen 12347 2 SenxxSen ---------------(1)
Sea: Senxq , entonces la expresión (1) queda así:
12347 2 qq ---------------------------------------------------(2)
Hallando punto crítico: 012 q 2
1q , luego debe analizarse
para 2
1q q
2
1
a) Para q2
1 120 q 1212 qq --------------------(3)
reemplazando (3) en (2), se tiene:
12347 2 qq 3647 2 qq 10640 2 qq
5320 2 qq )1)(52(0 qq , entonces:
qq 12
5 ---------------------------------------------------(4)
22
Intersecando el conjunto solución parcial obtenido en (4) con la
condición a), se tiene:
qqq
2
11
2
5 ,1[1 qS --------------------(5)
b) Para 2
1q 012 q qq 2112 --------------------(6)
reemplazando (6) en (2), se tiene:
qq 21347 2 qq 6347 2 4640 2 qq
2320 2 qq )2)(12(0 qq
qq 22
1 ------------------------------------------------(7)
Intersecando el conjunto solución parcial obtenido en (4) con la
condición a), se tiene:
2
12
2
1
qqq
2
1,2 qS ----------------(8)
Luego, el conjunto solución para y que resulta de reunir el resultado
obtenido en (5) con el resultado obtenido en (8), es:
,1[2
1,.. qSC qq 1
2
1 ----------------------(9)
De este conjunto solución obtenido en (9), analizamos cada componente.
23
¶ (pa r a K = -1 )
0
¶ (pa r a K = 2 )
¶ (pa r a K = 2 )
¶ (pa r a K = 1 )
¶ (pa r a K = 1 )
-5
¶/6
-¶/6
7¶/6
11
¶/6
19
¶/6
23
¶/6
-1
7¶/6
-1
3¶/6
¶ (pa r a K = -1 )
i) Para 2
1q
Como antes de la expresión (2) se hizo Senxq , se tiene:
2
1q
2
1Senx
Considérese: Senxy 1 2
12 y
Gráfica conjunta de 1y con 2y
fig.(¥)
Para intersecar 1y con 2y , se tiene:
2
1Senx -------------------------------------------------------------(10)
6
x ----------------------------------------------------------- (11)
La expresión (11) es la solución principal de la ecuación dada en (10).
24
La solución general para la ecuación (10), cuyo arco proviene de una
expresión Seno, es:
6)1(
nnx ---------------------------------------------------------- (12)
Haciendo 1n en (4), se obtiene:
6
5
66)1()1( 1
x
6
5x ---------------------(13)
La expresión (13) representa el otro punto de intersección del
intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. (¥).
De la gráfica dada en la fig. (¥) y de lo que se ha obtenido en (11) y
(13), se establece que la solución principal de la inecuación 2
1Senx
es:
66
5 x ---------------------------------------------(14)
Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período generalizado será k2 donde ,3,2,1,0 k
Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la
inecuación2
1Senx , se obtiene sumando el período generalizado, así:
,26
26
5kxk
,3,2,1,0 k
lego, el Conjunto Solución de la inecuación2
1Senx es:
,3,2,1,0,26
26
5/.. kkxkRxSC
O también:
ZkkxkRxSC ,26
26
5/.. )1(
---------------------------(15)
25
ii) Para q1
Como antes de la expresión (2) se hizo Senxq , se tiene:
q1 Senx1
Es decir que del proceso de resolución resulta : Senx1 ----(*)
Del rango de la función seno se tiene: 11 Senx ------------(**)
De modo que intersecando (*) y (**) resulta:
1Senx -------------------------------------------------(16)
La expresión (16) es una ecuación, cuya solución principal es:
2
x
La solución general para la ecuación (16), a fin de que se acople al
conjunto solución obtenido en (15) se obtendrá sumando el período generalizado de la función Seno, así:
kx
22 , ,3,2,1,0 k
Luego el conjunto solución de dicha ecuación dada en (16) es
,3,2,1,0,22
/.. )2( kkxRxSC
O lo que es lo mismo:
ZkkxRxSC ,22
/.. )2(
-----------------------------------(17)
26
Finalmente, el conjunto solución de la inecuación 123225 SenxxCos , será la reunión de los resultados obtenidos en
(15) y (17), así:
ZkkxRxZkkxkRxSCSCSC ,22
/,26
26
5/...... )2()1(
es decir:
ZkkxRxkxkRxSC ,22
/26
26
5/..
6) Resolver: 01222 SenxxCos
Resolución
01222 SenxxCos 012)21(2 2 SenxxSen
01242 2 SenxxSen 0124 2 SenxxSen
0124 2 SenxxSen --------------------------------------------(1)
Sea: qSenx ---------------------------------------------(2)
Reemplazando (2) en (1), se tiene:
0124 2 qq ----------------------------------------------(3)
Los puntos críticos de la inecuación dada en (3) son:
4
51
)4(2
)1)(4(422 2
q
27
de lo que resulta que:
4
15 q q
4
15 --------------------(4)
Revirtiendo el cambio hecho en (2): qSenx
Entonces, (4) queda así:
4
15 Senx Senx
4
15 -----------------------(5)
i) Resolviendo 4
15 Senx
Considérese: Senxy 1 4
152
y
28
¶ (pa r a K = -1 )
0
¶ (pa r a K = 2 )
¶ (pa r a K = 2 )
¶ (pa r a K = 1 )
¶ (pa r a K = 1 )
-7
¶/1
0
-3
¶/1
0
13¶/1
0
17¶/1
0
33¶/1
0
23
¶/6
-27¶/1
0
-23¶/1
0
¶ (pa r a K = -1 )
¶ (para K=1)¶ (para K= -1)¶/1
0
9¶/1
0
¶ (pa r a K = -1 )
-11¶/1
0
-19¶/1
0
21¶/1
0
29¶/1
0
41¶/1
0
¶ (pa r a K = 1 )
Gráfica conjunta de 1y con
2y
fig.(Ω)
Para intersecar 1y con 2y , se tiene:
4
15 Senx -------------------------------------------------------(6)
10
3x -----------------------------------------------------------(7)
La expresión (7) es la solución principal de la ecuación dada en (6).
La solución general para la ecuación (6), cuyo arco proviene de una
expresión Seno, es:
10
3)1(
nnx ------------------------------------------------------(8)
Haciendo 1n en (4), se obtiene:
10
7
10
3
10
3)1()1( 1
x
10
7x ---------------(9)
La expresión (9) representa el otro punto de intersección del intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. (Ω).
29
De la gráfica dada en la fig. (Ω) y de lo que se ha obtenido en (7) y
(9), se establece que la solución principal de la inecuación
4
15 Senx es:
10
3
10
7 x -------------------------------------(10)
Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período generalizado será k2 donde ,3,2,1,0 k
Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la
inecuación4
15 Senx , se obtiene sumando el período generalizado,
así:
10
32
10
72
kxk , ,3,2,1,0 k
Luego, el Conjunto Solución de la inecuación 4
15 Senx es:
,3,2,1,0,10
32
10
72/.. )1( kkxkRxSC
O también:
ZkkxkRxSC ,10
32
10
72/.. )1(
--------------------------(11)
ii) Resolviendo Senx
4
15
Considérese: Senxy 1 4
153
y
Obsérvese la gráfica conjunta de 1y con 3y en la pág. Anterior de la
fig.(Ω)
Para intersecar 1y con 3y , se tiene:
30
4
15 Senx ------------------------------------------------------- (12)
10
x --------------------------------------------------- --------(13)
La expresión (13) es la solución principal de la ecuación dada en
(12). La solución general para la ecuación (12), cuyo arco proviene
de una expresión Seno, es:
10)1(
nnx ------------------------------------------------------(14)
Haciendo 1n en (14), se obtiene:
10
9
1010)1()1( 1
x
10
9x --------------------(15)
La expresión (15) representa el otro punto de intersección del intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. (Ω).
De la gráfica dada en la fig. (Ω) y de lo que se ha obtenido en (13) y
(15), se establece que la solución principal de la inecuación
Senx
4
15 es:
10
9
10
x -------------------------------------(16)
Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período generalizado será k2 donde ,3,2,1,0 k
Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la
inecuación Senx
4
15, se obtiene sumando el período generalizado,
así:
10
92
102
kxk , ,3,2,1,0 k
Luego, el Conjunto Solución de la inecuación Senx
4
15 es:
31
,3,2,1,0,10
92
102/.. )2( kkxkRxSC
O también:
ZkkxkRxSC ,10
92
102/.. )2(
--------------------------(17)
El conjunto solución de la inecuación 01222 SenxxCos , se obtiene
de reunir los resultados obtenidos en (11) y (17), así:
ZkkxkkxkRxSCSCSC ,10
92
102
10
32
10
72/...... )2()1(
Es decir que el conjunto solución buscado es:
ZkkxkkxkRxSC ,10
92
102
10
32
10
72/..
7) Resolver: 12213
2 xCosLog Cosx
Resolución
12213
2 xCosLog Cosx -------------------------------------------------------- (1)
pero 122 2 xCosxCos , entonces la inecuación (1) se convierte en:
1)12(21 2
3
2 xCosLog Cosx 114 2
3
2 xCosLog Cosx -------------------(2)
En la inecuación (2) hágase el reemplazo qCosx -------------------(3)
Reemplazando (3) en (2) se obtiene:
32
114 2
3
2 qLog q ------------------------------------------------(4)
Se procede a encontrar el universo de la inecuación:
Condición dela raíz: 014 2 q ---------------------------------------------(5)
Condición del logaritmo 014 2 q -------------------------------------------------------(6)
De intersecar (5) y (6) resulta: 014 2 q
014 2 q 04
12 q 02
1
2
1
2
1q q
2
1 ------------------------------------------(7)
Condición de la base del logaritmo:
3
20
q q0 ----------------------------------(8)
y que : 13
2
q
2
3q -----------------------------------(9)
de intersecar (8) y (9) se tiene:
2
30 q q
2
3 -----------------------------------(10)
33
Intersecando (7) con (10) se tiene que el universo de la inecuación
es:
2
3
2
1 q q
2
3 -----------------------------------(11)
La inecuación dada en (4) se resolverá en de acuerdo al universo obtenido en (11):
i) Para 2
3
2
1 q ----------------------------------------------------------(A)
2
3
2
1 q 2140 2 q
2
3
2
1 q 1
3
2
3
1
q
Si 13
2
3
1
q , es decir que la base del logaritmo es menor que 1, y
que 2140 2 q , es decir que esta expresión es mayor que 0,
entonces se tendrá que:
114 2
3
2 qLog q 3
214 2 q
q
Como 0q 3
214 2 q
q 2
2
3
214
4
6q --------(B)
Hallando la intersección de (A) con (B), se obtiene la solución
parcial para q:
2
3
2
1 q
4
6q
2
3
4
6 q
1S
2
3
4
6/ qRq =
2
3
4
6 q -------------------------------------------(C)
34
ii) Para q2
3 2
4
3q -----------------------------------------(D)
q2
3 142 2 q
q2
3
3
21
q
Si 3
21
q , es decir que la base del logaritmo es mayor que 1, y
que 142 2 q , es decir que esta expresión es mayor que 0 e
inclusive mayor que 1, entonces se tendrá que:
114 2
3
2 qLog q 143
2 2 qq
Como 0q 143
2 2 qq
143
2 2
2
q
q
8
32 q --------(E)
Intersecando (D) con (E) se tiene que:
2
4
3q
8
32 q
2S
Luego el conjunto solución para q será la reunión de las
soluciones parciales 1S con 2S , así:
21)(.. SSsc q
2
3
4
6/ qRq
)(.. qsc
2
3
4
6/ qRq =
2
3
4
6 q -----------------------------------------(F)
Reemplazando (3) en (F), es decir revirtiendo el cambio Cosxq
se tiene:
2
3
4
6 q
2
3
4
6 Cosx Cosx
4
6
2
3Cosx ------(G)
35
0
-arcC
os( 6
/4)
-¶/6
arcC
os( 6 /4
)
¶/6
2¶-arcC
os(
6 /4
)
11¶/6
2¶+
arcC
os( 6 /4
)
13¶/6
-2¶-arcC
os(
6 /4
)
-13¶/6
-2¶+
arcC
os(
6 /4
)
-11¶/6
¶ (pa r a K = 1)
¶ (pa r a K = 1 )
¶ (pa r a K = 2 )
4¶-arcC
os(
6 /4
)
¶ (pa r a K = 1 )
¶ (pa r a K = 1 )
¶ (pa r a K = -1 )
¶ (pa r a K = -1 )
¶ (pa r a K = -1 )
¶ (pa r a K = -1 )
Sea: 4
61 y Cosxy 2
2
33 y
Gráfica conjunta de 1y con 2y y con
3y
fig. (µ)
Para intersecar 1y con 2y , se tiene:
4
6xCos ---------------------------------------------------------------(a)
4
6arcCosx -----------------------------------------------------(b)
La expresión (b) es la solución principal de la ecuación dada en (a).
La solución general para la ecuación (a), cuyo arco proviene de una expresión Coseno, es:
36
4
62 arcCosnx ---------------------------------------------------- (c)
Haciendo 0n en (c), se obtiene:
4
6
4
6)0(2 arcCosarcCosx
4
6arcCosx ---------(d)
La expresión (d) indica los dos puntos de intersección identificados
en la gráfica dada en la fig. (µ) correspondiente a la ecuación dada en (a).
Para intersecar 2y con 3y , se tiene:
2
3xCos ---------------------------------------------------------------(e)
6
x --------------------------------------------------------------- (f)
La expresión (f) es la solución principal de la ecuación dada en (e).
La solución general para la ecuación (e), cuyo arco proviene de una
expresión Coseno, es:
62
nx --------------------------------------------------------------(g)
Haciendo 0n en (g), se obtiene:
66)0(2
x
6
x --------------------------------------(h)
La expresión (h) indica los dos puntos de intersección identificados en la gráfica dada en la fig. (µ) correspondiente a la ecuación dada
en (e).
37
De la gráfica dada en la fig. (µ) y de lo que se ha obtenido en (d) y
(h), se establece que las soluciones principales correspondientes a la
inecuación 2
3
4
6 Cosx son:
64
6
xarcCos -------------------------------(*)
4
6
6arcCosx
-------------------------------(**)
Como el período de la función Coseno es 2 , entonces el período generalizado será k2 donde ,3,2,1,0 k
Observando la gráfica dada en la fig. (µ), es obvio que la solución
general para la inecuación 2
3
4
6 Cosx se obtiene sumando el
período generalizado, así:
62
4
62
kxarcCosk , ,3,2,1,0 k ----------------------(*)
karcCosxk
24
62
6
, ,3,2,1,0 k ----------------------(**)
Luego, el Conjunto Solución de la inecuación propuesta es:
,3,2,1,0,2
4
62
662
4
62/.. kkarcCosxkkxarcCoskRxSC
O también:
ZkkarcCosxkkxarcCoskRxSC ,2
4
62
662
4
62/..
38
LISTA DE REFERENCIAS Y MATERIAL DOCUMENTAL CONSULTADO
1) V. B., Lidski y otros, “Problemas de Matemáticas Elementales ”. Editorial MIR.
Moscú 1972.
2) Colección de Matemática y Ciencias, “Trigonometría Plana y Esférica e
Introducción al Cálculo”. Lumbreras Editores S.R.L. Lima. 2000.
3) M. W., Piotr y G. B., Ana, “Introducción a las Matemáticas Universitarias”.
Editorial McGraw-Hill Interamericana. 2002.
4) C. A., Raul “Trigonometría Teoría y Problemas ”. Editorial CUZCANO. Lima.
2005.
5) http://www.loseskakeados.com/joomla/component/option,com_docman/ task,cat_view/gid,289/dir,EDS/order,name/limit,5/limitstart,5/ consultado el 10 de marzo del 2009.
6) http://www.vadenumeros.es/primero/formulas-trigonometricas.htm
consultado el 22 de abril del 2009.