Inecuaciones trigonometricas

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1 PRESENTACIÓN Este trabajo de investigación constituye un aporte del autor hacia la comunidad de estudiantes y demás interesados, en especial a los que necesitan alcances de cómo resolver inecuaciones trigonométricas, ojalá y, fuera posible, sea acogido por los estudiantes de distintas partes del mundo. En este texto se podrá encontrar los aspectos teóricos básicos que se tienen en cuenta en la resolución de inecuaciones trigonométricas. Este trabajo modesto busca llenar el vacío que existe en la falta de bibliografía bien ilustrada referente a la resolución de inecuaciones trigonométricas, pues es muy escasa la bibliografía a este respecto. El proceso de resolución para cada inecuación ha sido el más claro posible, porque se busca que el lector no encuentre mayores dificultades durante la resolución de una inecuación trigonométrica. Como cualquier esfuerzo humano, este trabajo es perfectible, pues, es probable que tenga algunas deficiencias; sin embargo se espera que éstas sean resueltas con las valiosas contribuciones que, en su contundente interés, demuestren los dignos lectores. Ingº M.Sc. Juan Julca Novoa AUTOR

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Aquí se ilustra como se resuelven las inecuaciones trigonométricas.

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Page 1: Inecuaciones trigonometricas

1

PRESENTACIÓN

Este trabajo de investigación constituye un aporte del autor hacia la

comunidad de estudiantes y demás interesados, en especial a los que necesitan

alcances de cómo resolver inecuaciones trigonométricas, ojalá y, fuera posible,

sea acogido por los estudiantes de distintas partes del mundo. En este texto se

podrá encontrar los aspectos teóricos básicos que se tienen en cuenta en la

resolución de inecuaciones trigonométricas.

Este trabajo modesto busca llenar el vacío que existe en la falta de bibliografía

bien ilustrada referente a la resolución de inecuaciones trigonométricas, pues es

muy escasa la bibliografía a este respecto.

El proceso de resolución para cada inecuación ha sido el más claro posible,

porque se busca que el lector no encuentre mayores dificultades durante la

resolución de una inecuación trigonométrica.

Como cualquier esfuerzo humano, este trabajo es perfectible, pues, es

probable que tenga algunas deficiencias; sin embargo se espera que éstas sean

resueltas con las valiosas contribuciones que, en su contundente interés,

demuestren los dignos lectores.

Ingº M.Sc. Juan Julca Novoa

AUTOR

Page 2: Inecuaciones trigonometricas

2

CAPÍTULO 1

Objetivo formativo capítulo 1 Aprender cuestiones previas de nivel teórico que son necesarios tener en cuenta para la resolución de inecuaciones trigonométricas Título Capítulo 1: Cuestiones previas a la resolución de inecuaciones trigonométricas Contenido Capítulo 1

CAPÍTULO I: CUESTIONES PREVIAS A LA RESOLUCIÓNDE

INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o

más funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el

ángulo común de las funciones trigonométricas. No puede especificarse un método

general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un

procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en

transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las

funciones que aparecen allí en una sola función (en lo posible, es recomendable

pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de

una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de

ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte

trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un

ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo.

Cabe indicar que en las soluciones pueden aparecer valores extraños (debido

a la manipulación de las ecuaciones al tratar de reducirlas), por ejemplo, puede ser

al caso en que resulte un cosx = 2, que obviamente se debe descartar, pues el

rango del coseno se limita al intervalo [-1, 1]. También, se debe verificar todas las

respuestas obtenidas y aceptar sólo aquellas que satisfacen la ecuación original.

Además, luego de calculada la solución principal, se establecerá la solución

general de la ecuación trigonométrica, según corresponda.

Page 3: Inecuaciones trigonometricas

3

Algunas fórmulas útiles de trigonometría

Page 4: Inecuaciones trigonometricas

4

Expresiones del conjunto de arcos con un mismo valor para una de sus funciones trigonométricas (Soluciones Generales)

Solución General para expresiones que provienen una función Seno o Cosecante

p

n xnx )1(º180 ó p

n xnx )1(

Solución General para expresiones que provienen una función Coseno o Secante

pxnx º360 ó pxnx 2

Solución General para expresiones que provienen una función Tangente o Cotangente

pxnx º180 o pxnx

Ejercicios Resueltos

1) Resolver: 03tan34tan.4 22 xxsenxxsen

Resolución

Como x=45º 1Tan de resulta que x proviene de una función Tangente, entonces la primera solución general es:

º45º180 nx ó 4

nx

Como x=60º

2

3 de resulta que Senx proviene de una función Seno, entonces la

primera solución general es:

º60)1(º180 nnx ó 3

)1(

nnx

Como x=120º

2

3 de resulta que Senx proviene de una función Seno, entonces la

primera solución general es:

º120)1(º180 nnx ó 3

2)1(

nnx

Page 5: Inecuaciones trigonometricas

5

Luego el Conjunto Solución General de la ecuación es:

ZnnxnxnxRxSC nn ,3

2)1(

3)1(

4/..

2) Resolver: 3cotcsc xx Resolución

Luego el Conjunto Solución General de la ecuación es:

ZnnxRxSC ,3

2/..

Como x=60º

2

1Cos de resulta que x proviene de una función Coseno, entonces la

solución general es:

º60º360 nx ó 3

2

nx

Page 6: Inecuaciones trigonometricas

6

3) Resolver: 1cos32cos4 xx Resolución

Luego el Conjunto Solución General de la ecuación es:

Znnx

arcCos

nxRxSC ,22180

8

5.

2/..

Como

8

5arcCosx

8

5Cos de resulta que x proviene de una función Coseno,

entonces la solución general es:

8

5º360 arcCosnx ó

180

8

5.

2

arcCos

nx

Como x=180º 1Cos de resulta que x proviene de una función Coseno, entonces la solución general es:

º180º360 nx ó 22 nx

8

5arcCosx

Page 7: Inecuaciones trigonometricas

7

CAPÍTULO 2 Objetivo formativo capítulo 2 Resolver ejercicios preliminares de afianzamiento previos a la resolución de inecuaciones trigonométricas. Título Capítulo 2: Ejercicios preliminares de afianzamiento para resolver inecuaciones trigonométricas

Contenido Capítulo 2

CAPÍTULO 2: EJERCICIOS PRELIMINARES DE AFIANZAMIENTO PARA

RESOLVER INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

1) ¿ A qué funciones puede representar la expresión a

b

b

a , si 0 ba ?

Resolución

Como 0 ba 0a y 0b , es decir que:

)(a y que )(b ----------------------------------------------(1)

en base a esto, se tiene:

Si ba 1b

a , pero )(es

b

a ----------------------------(2)

Si ba a

b1 , pero )(es

a

b -----------------------------(3)

De (1), (2) y (3), se deduce que:

1a

b

b

a ----------------------------------------------------(4)

Analizando, se observa que las funciones trigonométricas que pueden tomar valores mayores que 1 son la Tangente, Cotangente,

Secante y Cosecante.

Luego la respuesta es: la expresión a

b

b

a , si 0 ba puede representar a

las funciones trigonométricas Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante.

Page 8: Inecuaciones trigonometricas

8

2) ¿En qué cuadrantes se cumple que tgxCosxSenx . ?

Resolución

Para visualizar objetivamente, se trazan las gráficas por cuadrantes:

Page 9: Inecuaciones trigonometricas

9

En el Cuadrante I se observa que

tgxCosxSenx . equivale a ))(()1)().(1)(( decimalquemenordecimalquemenordecimal , de modo que el

producto CosxSenx . es (+) pero más pequeño que tgx que también es

(+) debido al criterio de comparación de números decimales

positivos.

Conclusión: No se cumple tgxCosxSenx .

En el Cuadrante II se observa que

tgxCosxSenx . equivale a ))(()1)().(1)(( decimalquemenordecimalquemenordecimal , de modo que el

producto CosxSenx . es (-) pero más grande que tgx que también es

(-) debido al criterio de comparación de números negativos.

Conclusión: Se cumple tgxCosxSenx .

En el Cuadrante III se observa que

tgxCosxSenx . equivale a ))(()1)().(0)(( decimalquemenordecimalquemenordecimal , de modo que el

producto CosxSenx . es (-) y tgx es (+).

Conclusión: No se cumple tgxCosxSenx .

En el Cuadrante IV se observa que

tgxCosxSenx . equivale a ))(()1)().(0)(( decimalquemenordecimalquemenordecimal , de modo que el

producto CosxSenx . es (-) pero más grande que tgx que también es

(-) debido al criterio de comparación de números negativos.

Conclusión: Se cumple tgxCosxSenx .

La respuesta es:

La expresión tgxCosxSenx . se cumple en los cuadrantes II y IV.

Page 10: Inecuaciones trigonometricas

10

2

3) Resolver: 01

xtg

xCos, si 2,0x

Resolución

Para resolver esta inecuación bastará con analizar el comportamiento

de las expresiones según los cuadrantes del círculo trigonométrico.

01

xtg

xCos 01 xCos 0xtg

Es decir que: )(1 xCos y que )(xtg

Nótese que )(1 xCos si )(xCos

Se observa el círculo trigonométrico y se deduce que:

)(xCos y )(xtg el cuadrante II,

es decir cuando

,2

x

Además, también se observa que )(1 xCos , es decir que )(xCos pero

1xCos (por extensión del coseno) y que )(xtg precisamente en

el cuadrante IV. Es decir cuando

2,2

3x

Luego el conjunto solución es:

22

3

2/.. xxRxSC

Page 11: Inecuaciones trigonometricas

11

CAPÍTULO 3 Objetivo formativo capítulo 3 Aprender a resolver inecuaciones trigonométricas Título Capítulo 3: Resolución de inecuaciones trigonométricas

Contenido Capítulo 3

CAPÍTULO 3: RESOLUCIÓN DE INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

ALGUNOS CRITERIOS QUE SE DEBEN CONSIDERAR PARA RESOLVER INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

A manera de establecer un criterio claro para el proceso de

resolución de cualquier inecuación trigonométrica, el autor considera lo siguiente:

1) Ordenar, acomodar y/o resolver la inecuación de modo que se observe una última inecuación más elaborada en la que se pueda

apreciar la presencia de dos funciones (una trigonométrica y la

otra una función elemental conocida), en lo posible, claras y graficables manualmente.

2) Las gráficas de las funciones deben estar superpuestas en el mismo sistema coordenado cartesiano.

3) Establecer y/o calcular los puntos de intersección de las gráficas.

Éstos se obtienen usando la solución general de la ecuación que resulta de igualar las funciones graficables (dicha solución ya

comprende la solución principal de dicha ecuación).

4) A partir de los puntos de intersección de las gráficas, establecer

la(s) región(es) (o mejor dicho el(los) intervalo(s)) principal(es)

que cumplan con la última inecuación indicada en el criterio 1). Dicho(s) intervalo(s) representan la(s) solución(es) principal(es)

de la inecuación propuesta.

5) A partir de la solución principal de la inecuación, teniendo en

cuenta el período de la función trigonométrica presente en la

última inecuación indicada en el criterio 1) se indica la solución general de la inecuación original (también puede utilizarse el

conjunto solución general de todos los arcos que contienen a dicha función trigonométrica).

Page 12: Inecuaciones trigonometricas

12

¶ (pa r a K = 1 )¶ (pa r a K = -1 )

¶/6

5¶/6

13¶/6

17¶/6

-11¶/6

-7¶/6

¶ (pa r a K = 2 )

25¶/6

Ejercicios Resueltos

1) Resolver: 02

1Senx

Resolución

02

1Senx

2

1Senx --------------------------------------------(1)

Considérese: Senxy 1 2

12 y

Gráfica conjunta de 1y con 2y

fig.(*)

Para intersecar 1y con 2y , se tiene:

2

1Senx --------------------------------------------------------------(2)

6

x --------------------------------------------------------------(3)

La expresión (3) es la solución principal de la ecuación dada en (2).

La solución general para la ecuación (2), cuyo arco proviene de una expresión Seno, es:

Page 13: Inecuaciones trigonometricas

13

6)1(

nnx ---------------------------------------------------------(4)

Haciendo 1n en (4), se obtiene:

6

5

66)1()1( 1

x

6

5x ---------------------------(5)

La expresión (5) representa el otro punto de intersección del

intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. (*).

De la gráfica dada en la fig. (*) y de lo que se ha obtenido en (4) y

(5), se establece que la solución principal de la inecuación 2

1Senx es

6

5

6

x ---------------------------------------------(6)

Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período generalizado será k2 donde ,3,2,1,0 k

Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la

inecuación 2

1Senx , o lo que es lo mismo, de la inecuación 0

2

1Senx

se obtiene sumando el período generalizado, así:

,26

52

6kxk

,3,2,1,0 k

Luego, el Conjunto Solución de la inecuación propuesta es:

,3,2,1,0,26

52

6/.. kkxkRxSC

O también:

ZkkxkRxSC ,26

52

6/..

2)Resolver: 03

1Cosx

Resolución

Page 14: Inecuaciones trigonometricas

14

¶ (para K=1)¶ (para K= -1)

arc

Co

s(1

/3)

¶ (para K=2)

-arc

Co

s(1

/3)

¶ (para K=1)

2¶+

arc

Co

s(1

/3)

2¶-a

rcC

os(1

/3)

4¶-a

rcC

os(1

/3)

-2¶+

arc

Co

s(1

/3)

-2¶-a

rcC

os(1

/3)

¶ (para K= -1)

03

1Cosx

3

1Cosx --------------------------------------------(1)

Considérese: Cosxy 1

3

12 y

Gráfica conjunta de 1y con

2y

fig.(**)

Para intersecar 1y con 2y , se tiene:

3

1Cosx -------------------------------------------------------------------(2)

)3

1( arcCosx ----------------------------------------------------------- (3)

O también, como Coseno es función par, se tiene que:

)3

1(arcCosx ----------------------------------------------------------------(4)

La expresión (4) es la solución principal de la ecuación dada en (2).

La solución general para la ecuación (2), cuyo arco proviene de una expresión Coseno, es:

Page 15: Inecuaciones trigonometricas

15

3

12 arcCosnx ---------------------------------------------------------- (5)

De modo que el intervalo que representa la solución principal de la

inecuación 3

1Cosx y que se ha identificado en la gráfica dada en la

fig. (**) es:

3

1

3

1arcCosxarcCos ---------------------------------------------(6)

Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período generalizado será k2 donde ,3,2,1,0 k

Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la

inecuación 3

1Cosx , o lo que es lo mismo, de la inecuación

03

1Cosx se obtiene sumando el período generalizado, así:

,23

12

3

1karcCosxkarcCos

,3,2,1,0 k

Luego, el Conjunto Solución de la inecuación propuesta es:

,3,2,1,0,2

3

12

3

1/.. kkarcCosxkarcCosRxSC

O también:

,2

3

12

3

1/.. ZkkarcCosxkarcCosRxSC

Page 16: Inecuaciones trigonometricas

16

3) Resolver la inecuación: 018 tgx

Resolución

018 tgx 8

1tgx ---------------------------------------------(1)

Pero 8

1tgx implica

8

1

8

1 tgx ---------------------------------(2)

Considérese: tgxy 1

8

12 y

Gráfica conjunta de 1y con 2y

fig.(α)

arc

tg(1

/8)

-arc

tg(1

/8)

¶+

arc

tg(1

/8)

¶-a

rctg

(1/8

)

2¶+

arc

tg(1

/8)

2¶-a

rctg

(1/8

)

-¶+

arc

tg(1

/8)

-¶-a

rctg

(1/8

)

¶/2 3¶/2 5¶/2-¶/2-3¶/2

¶ para k=1

¶ para k=2

¶ para k= -1

¶ para k= -2

-2¶+

arc

tg(1

/8)

¶ para k=1

¶ para k=2

¶ para k= -1

Para intersecar 1y con 2y , se tiene:

Page 17: Inecuaciones trigonometricas

17

8

1tgx ----------------------------------------------------------- -----(3)

)8

1(arctgx ----------------------------------------------------------(4)

La expresión (4) es la solución principal de la ecuación dada en (3).

La solución general para la ecuación (2), cuyo arco proviene de una

expresión tangente, es:

8

1arctgnx ---------------------------------------------------- --------(5)

Nótese que el signo en la expresión (5) se debe al valor absoluto

presente en la ecuación dada en (3), es decir, éste implica dos soluciones.

De modo que el intervalo que representa la solución principal de la

inecuación 8

1tgx y que se ha identificado en la gráfica dada en la

fig. (α) es:

8

1

8

1arctgxarctg -----------------------------------------------(6)

O También como la función arcotangente es impar entonces la expresión dada en (6) es equivalente a:

8

1

8

1arctgxarctg ---------------------------------------------(7)

Como el período de la función Tangente es , entonces el período generalizado será k donde ,3,2,1,0 k

Page 18: Inecuaciones trigonometricas

18

Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la

inecuación8

1tgx , o lo que es lo mismo, de la inecuación 018 tgx

se obtiene sumando el período generalizado, así:

,8

1

8

1karctgxkarctg

,3,2,1,0 k

Luego, el Conjunto Solución de la inecuación propuesta es:

,3,2,1,0,

8

1

8

1/.. kkarctgxkarctgRxSC

O también:

,

8

1

8

1/.. ZkkarctgxkarctgRxSC

4) Resolver la inecuación: CosxSenx

Resolución

CosxSenx 0 CosxSenx 02

1

2

1

2

1

CosxSenx ------(1)

Como 2

1

44

CosSen , entonces la expresión (1) queda así:

044

CosxSenSenxCos

04

xSen -----------------------(2)

Sea 4

xq , entonces la inecuación (2) queda así:

0qSen --------------------------------------------------------- (3)

Page 19: Inecuaciones trigonometricas

19

¶ (pa r a K = 1)¶ (pa r a K = -1 )

0 ¶

¶ (pa r a K = 2)

2¶ 3¶ 4¶-¶-2¶

¶ (pa r a K = 1)¶ (pa r a K = -1)

Considérese: qSeny 1 02 y

Gráfica conjunta de 1y con

2y

fig.(β)

Para intersecar 1y con 2y , se tiene:

0qSen -----------------------------------------------------------(4)

0q -----------------------------------------------------------(5)

La expresión (5) es la solución principal de la ecuación dada en (4).

La solución general para la ecuación (4), cuyo arco proviene de una

expresión Seno, es:

0)1( nnq nq ----------------------------------------(6)

Haciendo 1n en (4), se obtiene:

)1(q q ----------------------------------------(7)

La expresión (7) representa el otro punto de intersección del intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. (β).

Page 20: Inecuaciones trigonometricas

20

De la gráfica dada en la fig. (β) y de lo que se ha obtenido en (5) y

(7), se establece que la solución principal de la inecuación 0qSen es

q0 -------------------------------------------(8)

Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período generalizado será k2 donde ,3,2,1,0 k

Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la inecuación 0qSen se obtiene sumando el período generalizado, así:

,220 kqk ,3,2,1,0 k

,22 kqk ,3,2,1,0 k -----------------------------(9)

Reemplazando 4

xq , hecho anteriormente, en (9):

,24

2 kxk

,3,2,1,0 k

,24444

2 kxk

,3,2,1,0 k

,24

5

42 kxk

,3,2,1,0 k

Luego, el Conjunto Solución de la inecuación propuesta CosxSenx

es:

,3,2,1,0,24

5

42/.. kkxkRxSC

O también:

ZkkxkRxSC ,24

5

42/..

Page 21: Inecuaciones trigonometricas

21

5) Resolver: 123225 SenxxCos

Resolución

Como xSenxCos 2212 entonces la inecuación propuesta queda así:

123)21(25 2 SenxxSen 12347 2 SenxxSen ---------------(1)

Sea: Senxq , entonces la expresión (1) queda así:

12347 2 qq ---------------------------------------------------(2)

Hallando punto crítico: 012 q 2

1q , luego debe analizarse

para 2

1q q

2

1

a) Para q2

1 120 q 1212 qq --------------------(3)

reemplazando (3) en (2), se tiene:

12347 2 qq 3647 2 qq 10640 2 qq

5320 2 qq )1)(52(0 qq , entonces:

qq 12

5 ---------------------------------------------------(4)

Page 22: Inecuaciones trigonometricas

22

Intersecando el conjunto solución parcial obtenido en (4) con la

condición a), se tiene:

qqq

2

11

2

5 ,1[1 qS --------------------(5)

b) Para 2

1q 012 q qq 2112 --------------------(6)

reemplazando (6) en (2), se tiene:

qq 21347 2 qq 6347 2 4640 2 qq

2320 2 qq )2)(12(0 qq

qq 22

1 ------------------------------------------------(7)

Intersecando el conjunto solución parcial obtenido en (4) con la

condición a), se tiene:

2

12

2

1

qqq

2

1,2 qS ----------------(8)

Luego, el conjunto solución para y que resulta de reunir el resultado

obtenido en (5) con el resultado obtenido en (8), es:

,1[2

1,.. qSC qq 1

2

1 ----------------------(9)

De este conjunto solución obtenido en (9), analizamos cada componente.

Page 23: Inecuaciones trigonometricas

23

¶ (pa r a K = -1 )

0

¶ (pa r a K = 2 )

¶ (pa r a K = 2 )

¶ (pa r a K = 1 )

¶ (pa r a K = 1 )

-5

¶/6

-¶/6

7¶/6

11

¶/6

19

¶/6

23

¶/6

-1

7¶/6

-1

3¶/6

¶ (pa r a K = -1 )

i) Para 2

1q

Como antes de la expresión (2) se hizo Senxq , se tiene:

2

1q

2

1Senx

Considérese: Senxy 1 2

12 y

Gráfica conjunta de 1y con 2y

fig.(¥)

Para intersecar 1y con 2y , se tiene:

2

1Senx -------------------------------------------------------------(10)

6

x ----------------------------------------------------------- (11)

La expresión (11) es la solución principal de la ecuación dada en (10).

Page 24: Inecuaciones trigonometricas

24

La solución general para la ecuación (10), cuyo arco proviene de una

expresión Seno, es:

6)1(

nnx ---------------------------------------------------------- (12)

Haciendo 1n en (4), se obtiene:

6

5

66)1()1( 1

x

6

5x ---------------------(13)

La expresión (13) representa el otro punto de intersección del

intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. (¥).

De la gráfica dada en la fig. (¥) y de lo que se ha obtenido en (11) y

(13), se establece que la solución principal de la inecuación 2

1Senx

es:

66

5 x ---------------------------------------------(14)

Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período generalizado será k2 donde ,3,2,1,0 k

Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la

inecuación2

1Senx , se obtiene sumando el período generalizado, así:

,26

26

5kxk

,3,2,1,0 k

lego, el Conjunto Solución de la inecuación2

1Senx es:

,3,2,1,0,26

26

5/.. kkxkRxSC

O también:

ZkkxkRxSC ,26

26

5/.. )1(

---------------------------(15)

Page 25: Inecuaciones trigonometricas

25

ii) Para q1

Como antes de la expresión (2) se hizo Senxq , se tiene:

q1 Senx1

Es decir que del proceso de resolución resulta : Senx1 ----(*)

Del rango de la función seno se tiene: 11 Senx ------------(**)

De modo que intersecando (*) y (**) resulta:

1Senx -------------------------------------------------(16)

La expresión (16) es una ecuación, cuya solución principal es:

2

x

La solución general para la ecuación (16), a fin de que se acople al

conjunto solución obtenido en (15) se obtendrá sumando el período generalizado de la función Seno, así:

kx

22 , ,3,2,1,0 k

Luego el conjunto solución de dicha ecuación dada en (16) es

,3,2,1,0,22

/.. )2( kkxRxSC

O lo que es lo mismo:

ZkkxRxSC ,22

/.. )2(

-----------------------------------(17)

Page 26: Inecuaciones trigonometricas

26

Finalmente, el conjunto solución de la inecuación 123225 SenxxCos , será la reunión de los resultados obtenidos en

(15) y (17), así:

ZkkxRxZkkxkRxSCSCSC ,22

/,26

26

5/...... )2()1(

es decir:

ZkkxRxkxkRxSC ,22

/26

26

5/..

6) Resolver: 01222 SenxxCos

Resolución

01222 SenxxCos 012)21(2 2 SenxxSen

01242 2 SenxxSen 0124 2 SenxxSen

0124 2 SenxxSen --------------------------------------------(1)

Sea: qSenx ---------------------------------------------(2)

Reemplazando (2) en (1), se tiene:

0124 2 qq ----------------------------------------------(3)

Los puntos críticos de la inecuación dada en (3) son:

4

51

)4(2

)1)(4(422 2

q

Page 27: Inecuaciones trigonometricas

27

de lo que resulta que:

4

15 q q

4

15 --------------------(4)

Revirtiendo el cambio hecho en (2): qSenx

Entonces, (4) queda así:

4

15 Senx Senx

4

15 -----------------------(5)

i) Resolviendo 4

15 Senx

Considérese: Senxy 1 4

152

y

Page 28: Inecuaciones trigonometricas

28

¶ (pa r a K = -1 )

0

¶ (pa r a K = 2 )

¶ (pa r a K = 2 )

¶ (pa r a K = 1 )

¶ (pa r a K = 1 )

-7

¶/1

0

-3

¶/1

0

13¶/1

0

17¶/1

0

33¶/1

0

23

¶/6

-27¶/1

0

-23¶/1

0

¶ (pa r a K = -1 )

¶ (para K=1)¶ (para K= -1)¶/1

0

9¶/1

0

¶ (pa r a K = -1 )

-11¶/1

0

-19¶/1

0

21¶/1

0

29¶/1

0

41¶/1

0

¶ (pa r a K = 1 )

Gráfica conjunta de 1y con

2y

fig.(Ω)

Para intersecar 1y con 2y , se tiene:

4

15 Senx -------------------------------------------------------(6)

10

3x -----------------------------------------------------------(7)

La expresión (7) es la solución principal de la ecuación dada en (6).

La solución general para la ecuación (6), cuyo arco proviene de una

expresión Seno, es:

10

3)1(

nnx ------------------------------------------------------(8)

Haciendo 1n en (4), se obtiene:

10

7

10

3

10

3)1()1( 1

x

10

7x ---------------(9)

La expresión (9) representa el otro punto de intersección del intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. (Ω).

Page 29: Inecuaciones trigonometricas

29

De la gráfica dada en la fig. (Ω) y de lo que se ha obtenido en (7) y

(9), se establece que la solución principal de la inecuación

4

15 Senx es:

10

3

10

7 x -------------------------------------(10)

Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período generalizado será k2 donde ,3,2,1,0 k

Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la

inecuación4

15 Senx , se obtiene sumando el período generalizado,

así:

10

32

10

72

kxk , ,3,2,1,0 k

Luego, el Conjunto Solución de la inecuación 4

15 Senx es:

,3,2,1,0,10

32

10

72/.. )1( kkxkRxSC

O también:

ZkkxkRxSC ,10

32

10

72/.. )1(

--------------------------(11)

ii) Resolviendo Senx

4

15

Considérese: Senxy 1 4

153

y

Obsérvese la gráfica conjunta de 1y con 3y en la pág. Anterior de la

fig.(Ω)

Para intersecar 1y con 3y , se tiene:

Page 30: Inecuaciones trigonometricas

30

4

15 Senx ------------------------------------------------------- (12)

10

x --------------------------------------------------- --------(13)

La expresión (13) es la solución principal de la ecuación dada en

(12). La solución general para la ecuación (12), cuyo arco proviene

de una expresión Seno, es:

10)1(

nnx ------------------------------------------------------(14)

Haciendo 1n en (14), se obtiene:

10

9

1010)1()1( 1

x

10

9x --------------------(15)

La expresión (15) representa el otro punto de intersección del intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. (Ω).

De la gráfica dada en la fig. (Ω) y de lo que se ha obtenido en (13) y

(15), se establece que la solución principal de la inecuación

Senx

4

15 es:

10

9

10

x -------------------------------------(16)

Como el período de la función Seno es 2 , entonces el período generalizado será k2 donde ,3,2,1,0 k

Observando la gráfica, es obvio que la solución general para la

inecuación Senx

4

15, se obtiene sumando el período generalizado,

así:

10

92

102

kxk , ,3,2,1,0 k

Luego, el Conjunto Solución de la inecuación Senx

4

15 es:

Page 31: Inecuaciones trigonometricas

31

,3,2,1,0,10

92

102/.. )2( kkxkRxSC

O también:

ZkkxkRxSC ,10

92

102/.. )2(

--------------------------(17)

El conjunto solución de la inecuación 01222 SenxxCos , se obtiene

de reunir los resultados obtenidos en (11) y (17), así:

ZkkxkkxkRxSCSCSC ,10

92

102

10

32

10

72/...... )2()1(

Es decir que el conjunto solución buscado es:

ZkkxkkxkRxSC ,10

92

102

10

32

10

72/..

7) Resolver: 12213

2 xCosLog Cosx

Resolución

12213

2 xCosLog Cosx -------------------------------------------------------- (1)

pero 122 2 xCosxCos , entonces la inecuación (1) se convierte en:

1)12(21 2

3

2 xCosLog Cosx 114 2

3

2 xCosLog Cosx -------------------(2)

En la inecuación (2) hágase el reemplazo qCosx -------------------(3)

Reemplazando (3) en (2) se obtiene:

Page 32: Inecuaciones trigonometricas

32

114 2

3

2 qLog q ------------------------------------------------(4)

Se procede a encontrar el universo de la inecuación:

Condición dela raíz: 014 2 q ---------------------------------------------(5)

Condición del logaritmo 014 2 q -------------------------------------------------------(6)

De intersecar (5) y (6) resulta: 014 2 q

014 2 q 04

12 q 02

1

2

1

qq

2

1q q

2

1 ------------------------------------------(7)

Condición de la base del logaritmo:

3

20

q q0 ----------------------------------(8)

y que : 13

2

q

2

3q -----------------------------------(9)

de intersecar (8) y (9) se tiene:

2

30 q q

2

3 -----------------------------------(10)

Page 33: Inecuaciones trigonometricas

33

Intersecando (7) con (10) se tiene que el universo de la inecuación

es:

2

3

2

1 q q

2

3 -----------------------------------(11)

La inecuación dada en (4) se resolverá en de acuerdo al universo obtenido en (11):

i) Para 2

3

2

1 q ----------------------------------------------------------(A)

2

3

2

1 q 2140 2 q

2

3

2

1 q 1

3

2

3

1

q

Si 13

2

3

1

q , es decir que la base del logaritmo es menor que 1, y

que 2140 2 q , es decir que esta expresión es mayor que 0,

entonces se tendrá que:

114 2

3

2 qLog q 3

214 2 q

q

Como 0q 3

214 2 q

q 2

2

3

214

qq

4

6q --------(B)

Hallando la intersección de (A) con (B), se obtiene la solución

parcial para q:

2

3

2

1 q

4

6q

2

3

4

6 q

1S

2

3

4

6/ qRq =

2

3

4

6 q -------------------------------------------(C)

Page 34: Inecuaciones trigonometricas

34

ii) Para q2

3 2

4

3q -----------------------------------------(D)

q2

3 142 2 q

q2

3

3

21

q

Si 3

21

q , es decir que la base del logaritmo es mayor que 1, y

que 142 2 q , es decir que esta expresión es mayor que 0 e

inclusive mayor que 1, entonces se tendrá que:

114 2

3

2 qLog q 143

2 2 qq

Como 0q 143

2 2 qq

143

2 2

2

q

q

8

32 q --------(E)

Intersecando (D) con (E) se tiene que:

2

4

3q

8

32 q

2S

Luego el conjunto solución para q será la reunión de las

soluciones parciales 1S con 2S , así:

21)(.. SSsc q

2

3

4

6/ qRq

)(.. qsc

2

3

4

6/ qRq =

2

3

4

6 q -----------------------------------------(F)

Reemplazando (3) en (F), es decir revirtiendo el cambio Cosxq

se tiene:

2

3

4

6 q

2

3

4

6 Cosx Cosx

4

6

2

3Cosx ------(G)

Page 35: Inecuaciones trigonometricas

35

0

-arcC

os( 6

/4)

-¶/6

arcC

os( 6 /4

)

¶/6

2¶-arcC

os(

6 /4

)

11¶/6

2¶+

arcC

os( 6 /4

)

13¶/6

-2¶-arcC

os(

6 /4

)

-13¶/6

-2¶+

arcC

os(

6 /4

)

-11¶/6

¶ (pa r a K = 1)

¶ (pa r a K = 1 )

¶ (pa r a K = 2 )

4¶-arcC

os(

6 /4

)

¶ (pa r a K = 1 )

¶ (pa r a K = 1 )

¶ (pa r a K = -1 )

¶ (pa r a K = -1 )

¶ (pa r a K = -1 )

¶ (pa r a K = -1 )

Sea: 4

61 y Cosxy 2

2

33 y

Gráfica conjunta de 1y con 2y y con

3y

fig. (µ)

Para intersecar 1y con 2y , se tiene:

4

6xCos ---------------------------------------------------------------(a)

4

6arcCosx -----------------------------------------------------(b)

La expresión (b) es la solución principal de la ecuación dada en (a).

La solución general para la ecuación (a), cuyo arco proviene de una expresión Coseno, es:

Page 36: Inecuaciones trigonometricas

36

4

62 arcCosnx ---------------------------------------------------- (c)

Haciendo 0n en (c), se obtiene:

4

6

4

6)0(2 arcCosarcCosx

4

6arcCosx ---------(d)

La expresión (d) indica los dos puntos de intersección identificados

en la gráfica dada en la fig. (µ) correspondiente a la ecuación dada en (a).

Para intersecar 2y con 3y , se tiene:

2

3xCos ---------------------------------------------------------------(e)

6

x --------------------------------------------------------------- (f)

La expresión (f) es la solución principal de la ecuación dada en (e).

La solución general para la ecuación (e), cuyo arco proviene de una

expresión Coseno, es:

62

nx --------------------------------------------------------------(g)

Haciendo 0n en (g), se obtiene:

66)0(2

x

6

x --------------------------------------(h)

La expresión (h) indica los dos puntos de intersección identificados en la gráfica dada en la fig. (µ) correspondiente a la ecuación dada

en (e).

Page 37: Inecuaciones trigonometricas

37

De la gráfica dada en la fig. (µ) y de lo que se ha obtenido en (d) y

(h), se establece que las soluciones principales correspondientes a la

inecuación 2

3

4

6 Cosx son:

64

6

xarcCos -------------------------------(*)

4

6

6arcCosx

-------------------------------(**)

Como el período de la función Coseno es 2 , entonces el período generalizado será k2 donde ,3,2,1,0 k

Observando la gráfica dada en la fig. (µ), es obvio que la solución

general para la inecuación 2

3

4

6 Cosx se obtiene sumando el

período generalizado, así:

62

4

62

kxarcCosk , ,3,2,1,0 k ----------------------(*)

karcCosxk

24

62

6

, ,3,2,1,0 k ----------------------(**)

Luego, el Conjunto Solución de la inecuación propuesta es:

,3,2,1,0,2

4

62

662

4

62/.. kkarcCosxkkxarcCoskRxSC

O también:

ZkkarcCosxkkxarcCoskRxSC ,2

4

62

662

4

62/..

Page 38: Inecuaciones trigonometricas

38

LISTA DE REFERENCIAS Y MATERIAL DOCUMENTAL CONSULTADO

1) V. B., Lidski y otros, “Problemas de Matemáticas Elementales ”. Editorial MIR.

Moscú 1972.

2) Colección de Matemática y Ciencias, “Trigonometría Plana y Esférica e

Introducción al Cálculo”. Lumbreras Editores S.R.L. Lima. 2000.

3) M. W., Piotr y G. B., Ana, “Introducción a las Matemáticas Universitarias”.

Editorial McGraw-Hill Interamericana. 2002.

4) C. A., Raul “Trigonometría Teoría y Problemas ”. Editorial CUZCANO. Lima.

2005.

5) http://www.loseskakeados.com/joomla/component/option,com_docman/ task,cat_view/gid,289/dir,EDS/order,name/limit,5/limitstart,5/ consultado el 10 de marzo del 2009.

6) http://www.vadenumeros.es/primero/formulas-trigonometricas.htm

consultado el 22 de abril del 2009.