RAÍCES DE UNA FUNCIÓNCésar Guerra

PUCP

Interpolación Inversa• Dados el conjunto de datos {xi , yi=fi(x)}/ i={1,n} se busca el

valor de x* para un valor dado de y*.

• No siempre es posible intercambiar los roles de x e y en la tabla de entrada. Esto es posible sólo en casos en que f(x) sea suave y monótonamente creciente o decreciente.

• Buscar el valor de x tal que f(x)=c es equivalente a encontrar la raíz de la función f(x) - c, pues buscamos resolver

• En algunos casos particulares la interpolación inversa nos da una solución aceptable. Sin embargo, en general su uso es limitado.

( ) 0f x c

Una primera aproximación …Sea la ecuación

2( ) sin( ) 2 0y x x x x

Primera aproximación Hacer un gráfico

Casos que un gráfico puede revelar

El método de Bisección

Sea la ecuación f(x)=0 y supongamos que posee una raíz en el intervalo [a,b].

Supongamos que en particular se cumple que: f(a)<0 y f(b)>0

Luego, evaluamos f(xm) en el punto medio xm=(a+b)/2

Si f(xm0) < 0, el cero se encuentra en [xm,b] y este se toma como nuevo intervalo.

Si f(xm) > 0, el cero se encuentra en [a,xm] y este se toma como nuevo intervalo.

Se repite iterativamente este procedimiento para cada nuevo intervalo, hasta que este sea suficientemente pequeño.

Diagrama de flujo: Bisección2

1

( )

( )

fmid f x

f f x

* 0f fmid

0f sino

no

2

1 2

rt x

dx x x

1

2 1

rt x

dx x x

0.5

( )

dx dx

xmid rt dx

fmid f xmid

0fmid

rt xmid

0

dx acc

fmid

si

no no

R

si

R

R

Si después de n iteraciones la raíz se encuentra en un intervalo de tamaño en, después del siguiente paso el tamaño será

1 / 2n ne e

El número de pasos necesarios para llegar a un intervalo de tamañoe está dado por

0log( / )n e e

1 2( ) / 2M x x

Convergencia del método

El error que se puede lograr se puede tomar como:

Métodos de la Secante y de Falsa Posición

Usados para funciones suaves cerca de la raíz. Estos métodos convergen más rápido que el método de biseccíon.

En ambos casos se asume que la función es aproximadamente lineal en la región de interés.

Las sucesivas aproximaciones de la raíz se calculan usando polinomios de interpolación de grado uno.

El método de la secante retiene la última estimación de la raíz.

El método de falsa posición retiene las estimaciones que mantienen encerrada a la raíz

Fórmulas de aproximación a la raíz

2 11 2

2 1 2 1

x x x xy y y

x x x x

Sean los puntos 1 1 2 2( , ) ( , )x y y x y

2 11 2

2 1 2 1

y y y yx x x

y y y y

Interpolación Lineal Interpolación Lineal Inversa

Resolviendo cualquiera de los dos ecuaciones:

1 21 1

1 2

x xx x y

y y

2 12 2

1 2

x xx x y

y y

Método de la secante Método de falsa posición

Ilustración de los algoritmos

Diagrama de flujo: Falsa posición1

2

( )

( )

fl f x

fh f x

* 0fl fh

0fl sino

no

2

1

xl x

xh x

fl fh

1

2

xl x

xh x

R

* /( )

( )

rt xl dx fl fl fh

f func rt

del xh rt

xh rt

fh f

del xl rt

xl rt

fl f

dx xh xl | |

0

del acc

f

dx xh xl

R

R

0f

En este caso a ambos métodos les tomaría muchos pasos llegara la raíz.

El algoritmo de bisección se comporta mejor.

Observación

Una función para la cual la interpolación lineal converge muy lentamente.

Método de Van Wijngaarden–Dekker–Brent

Combina la convergencia superlineal de la interpolación con la seguridad del algoritmo de bisección.

Para realizar la interpolación inversa se usa un polinomio cuadrático, cuyo valor en y = 0 da una estimación de la siguiente raíz.

Si se tienen 3 puntos: ( , ( )), ( , ( )), ( , ( )),a f a b f b c f c

( ( ))( ( )) ( ( ))( ( )) ( ( ))( ( ))

( ( ) ( ))( ( ) ( )) ( ( ) ( ))( ( ) ( )) ( ( ) ( ))( ( ) ( ))

y f a y f b c y f b y f c a y f c y f a bx

f c f a f c f b f a f b f a f c f b f c f b f a

El polinomio de interpolación inversa correspondiente es

Haciendo y = 0, obtenemos la estimación de la raíz:

/x b P Q

donde en términos de:

( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( )R f b f c S f b f a T f a f c

se han definido:

( ( )( ) (1 )( ))

( 1)( 1)( 1)

P S T R T c b R b a

Q T R S

Método de Van Wijngaarden–Dekker–Brent

En la práctica b es la mejor nueva estimación de la raíz y la razónP/Q es una pequeña corrección.

Interpolación .NE. Interpolación Inversa

Interpolación cuadrática

Interpolación cuadrática inversa

1 0 1 2 3 4 5x

1

0.5

0

0.5

1

y

Notas sobre el algoritmo de Brent

El algoritmo de Brent mantiene siempre a la raíz acotada entre dos estimaciones anteriores.

Cuando la corrección P/Q no cae dentro de los límites que acotan la raíz, o cuando los límites no están acercándose suficientemente rápido, el algoritmo realiza un paso del algoritmo de bisección.

Este algoritmo se recomienda para determinar las raíces de un función unidimensional usando sólo evaluaciones de la función.

El método de Newton-Rhapson

Sea la ecuación

( ) 0f x Cerca de la raíz realizamos una expansión de Taylor alrededor deun valor estimado xm

( ) ( ) ( )m

m mx x

dff x f x x x

dx

Una mejor estimación puede ser obtenida teniendo en cuenta quesi xm+1 es la raíz entonces

1 1( ) ( ) ( ) 0m

m m m mx x

dff x f x x x

dx

De la última ecuación se deduce:

1

( )

m

mm m df

dx x x

f xx x

El procedimiento se repite hasta que el segundo término sea menor que un pequeño valor predeterminado.

El método de Newton converge más rápido que cualquiera de los métodos anteriores. Cerca de la raíz, el número de cifras significativas es con muy buena aproximación el doble en cada paso.

A partir de la serie de Taylor:

El método de Newton-Rhapson

2( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2!i

i i i i

x xf x f x x x f x f x

Convergencia del método de Newton

Considerando dos términos e igualamos la función a cero:

1 ( ) / ( )i i i ix x f x f x

Obteniendo:

1 ( ) / ( )i i i if x f x i ix x

Si x es la raíz

De la serie de Taylor, se tiene a segundo orden

2( ) ( ) ( ) / 2i i i i if x f x f x

Reemplazando en la ecuación anterior se ve que la convergencia es cuadrática con el error:

2

1

( )

2 ( )i i

ii

f x

f x

Ilustración del método de Newton-Rhapson

Método de Newton-Rhapson Multidimensional

Consideremos la solución simultánea de N ecuaciones no linealesen N variables:

1 2( , , , ) 0 1,2, ,i Nf x x x i N

Expandiendo en serie de Taylor alrededor de

2

1

( ) ( ) ( )N

ii i j

j j

ff f x O

x

x x x x

1 2( , , , )Nx x x x

y usando notación vectorial tenemos

2( ) ( ) ( )( ) O f x x f x J x x x

iij

j

fJ

x

donde se definio el Jacobiano J con componentes

Método de Newton-Rhapson Multidimensional

Despreciando términos de segundo orden y mayores y haciendo

( ) 0 f x x

( ) - ( )J x x = f x

obtenemos un conjunto de ecuaciones lineales para los despla-zamientos que mueven cada función cerca de cero: x

( ) ( )(i+1) (i) -1 (i)x = x - fJ x x

Esta ecuación se puede resolver matricialmente e iterar hasta laconvergencia

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