RACES MLTIPLES

Prof.: Ing. Marvin Hernndez

Raz mltipleUna raz mltiple corresponde a un punto donde una funcin es tangencial al eje x. Por ejemplo, una raz doble resulta de

Grfico1

-0.625

0

-0.375

-1

-1.125

0

3.125

Hoja1

xf(x)

-3-96

-2-45

0.5-0.625

10

1.5-0.375

2-1

2.5-1.125

30

3.53.125

Hoja1

Hoja2

Hoja3

La ecuacin tiene una raz doble porque un valor de x hace que dos trminos de la ecuacin sean iguales a cero.

Grficamente, esto significa que la curva toca en forma tangencial al eje x en la raz doble.

Raz Doble

Grfico1

-0.625

0

-0.375

-1

-1.125

0

3.125

Hoja1

xf(x)

-3-96

-2-45

0.5-0.625

10

1.5-0.375

2-1

2.5-1.125

30

3.53.125

Hoja1

Hoja2

Hoja3

Raz TripleUna raz triple corresponde al caso en que un valor de x hace que tres trminos en una ecuacin sean iguales a cero, como en

Raz TripleAdvierta que la representacin grfica, figura 2, indica otra vez que la funcin es tangente al eje en la raz, pero que en este caso s cruza el eje.

Raz Triple

Grfico2

3

0.3125

0

-0.1875

-1

-1.6875

0

7.8125

Hoja1

xf(x)

0.5-0.625

10

1.5-0.375

2-1

2.5-1.125

30

3.53.125

xf(x)

03

0.50.3125

10

1.5-0.1875

2-1

2.5-1.6875

30

3.57.8125

Hoja1

Hoja2

Hoja3

En general;La multiplicidad impar de races cruza el eje.

Mientras que la multiplicidad par no lo cruza.

Raz Cudruple

Grfico3

-3

-0.8701171875

-0.15625

-0.0087890625

0

-0.0068359375

-0.09375

-0.3955078125

-1

-1.8310546875

-2.53125

-2.3447265625

0

6.4072265625

Hoja1

xf(x)

0.5-0.625

10

1.5-0.375

2-1

2.5-1.125

30

3.53.125

xf(x)

03

0.50.3125

10

1.5-0.1875

2-1

2.5-1.6875

30

3.57.8125

xf(x)

0-3

0.25-0.8701171875

0.5-0.15625

0.75-0.0087890625

10

1.25-0.0068359375

1.5-0.09375

1.75-0.3955078125

2-1

2.25-1.8310546875

2.5-2.53125

2.75-2.3447265625

30

3.256.4072265625

Hoja1

Hoja2

Hoja3

Dificultades del mtodo de races mltiples;El hecho de que la funcin no cambie de signo en races mltiples pares impide confiarse de los mtodos cerrados.

Tanto f(x) como f(x) se aproxima a cero en la raz: Esto afecta a los mtodos de Newton-Raphson y de la secante, los cuales contienen derivadas en el denominador de sus frmulas respectivas.

Dificultades del mtodo de races mltiples;Esto provocar una divisin entre cero cuando la solucin converge muy cerca de la raz. Pero, f(x) siempre alcanzar un valor cero antes que f(x). Por lo tanto, si se compara f(x) contra cero, dentro del programa, entonces los clculos se pueden terminar antes de que f(x) llegue a cero.

Dificultades del mtodo de races mltiples;3. El mtodo de Newton-Raphson y el mtodo de la secante convergen en forma lineal, en vez de cuadrtica, cuando hay races mltiples.

Se han propuesto algunas modificaciones para atenuar el problema;Cambio en la formulacin para que se regrese a la convergencia cuadrtica

Atenuacin del problemadonde m es la multiplicidad de la raz;m = 2 para una raz doblem = 3 para una raz triple, etctera. Alternativa poco satisfactoria, porque depende del conocimiento de la multiplicidad de la raz.

Otra alternativaConsiste en definir una nueva funcin u(x), que es el cociente de la funcin original entre su derivada:

Otra alternativa

EJEMPLO 1: Mtodo de Newton-Raphson modificado para el clculo de races mltiplesUitilizar los dos mtodos, el estndar y el modificado de Newton-Raphson; evale la raz mltiple de la ecuacin, use un valor inicial de xi = 0.

Por Newton-Raphson

Por Newton-Raphson modificado

Tabla de iteraciones

EJEMPLO 2: Ejercicio 6.10 La funcin tiene una raz doble en x = 1 y x0 = 0.2

El mtodo estndar de Newton-Raphson El mtodo de Newton-Raphson modificado (m)El mtodo de Newton-Raphson modificado u(x)

Mtodo estndar de Newton-Raphson

Mtodo de Newton-Raphson modificado (m)

El mtodo de Newton-Raphson modificado u(x)

EJEMPLO 3:La funcin tiene una raz doble en x = 1 y x0 = 0.5

El mtodo estndar de Newton-Raphson El mtodo de Newton-Raphson modificado u(x)

Mtodo estndar de Newton-Raphson

El mtodo de Newton-Raphson modificado u(x)