Raices de ecuaciones

UNIVERSIDAD TÉCNICAPARTICULAR DE LOJA

La Universidad Católica de Loja

Escuela de Ingeniería CivilÁrea de Física y Matemáticas

Solución de Ecuaciones de una Variable

MATLAB 7.1.lnk

Raíces de Ecuaciones no lineales

Dada una ecuación de una variable independiente x,

f(x) = 0, (1)

se desea encontrar el valor o valores de x que hacenque se cumpla la igualdad, donde en general, f es unafunción no lineal de x. A los valores de x que hacen quese cumpla la igualdad se les denomina raíces de laecuación 1

Dada una ecuación de una variable independiente x,

f(x) = 0, (1)

se desea encontrar el valor o valores de x que hacenque se cumpla la igualdad, donde en general, f es unafunción no lineal de x. A los valores de x que hacen quese cumpla la igualdad se les denomina raíces de laecuación 1

Escuela de Ingeniería CivilEscuela de Ingeniería CivilÁrea deÁrea de Física y MatemáticasFísica y Matemáticas Ing. Carmen Esparza V.Ing. Carmen Esparza V.MATLAB 7.1.lnk

Método de Interpolación Lineal

Si se tiene los valores f(x1) y f(x2) (obtenidos por tanteos omediante un grafico) y de signos contrarios, esto significa queentre x1 y x2 hay una raíz.


P1(x1, y1)

C(x3, 0)

A(x1, 0)

P3(x3, y3)

P2(x2, y2)

B(x2 ,0)

12

21123 yy

xyxyx


1.) Con x1, x2, y1, y2, se calcula x3

2.) Se realiza a continuación una interpolación entre P1 y P2 para obtener unamejor aproximación a x3,

3.) x3 es una mejor aproximación de la raíz buscada. Con x3 se obtiene y3

4.) Se realiza a continuación una interpolación entre P2 y P3 para obtener unamejor aproximación a x4.

5.) El proceso se repite hasta cuando dos valores sucesivos de x difieran enuna cantidad menor que cierto valor de prueba de precisión ε (epsilon).

6.) Si f (x) tiene más de unas raíz, el proceso se repite para cada una de ellas.

1.) Con x1, x2, y1, y2, se calcula x3

2.) Se realiza a continuación una interpolación entre P1 y P2 para obtener unamejor aproximación a x3,

3.) x3 es una mejor aproximación de la raíz buscada. Con x3 se obtiene y3

4.) Se realiza a continuación una interpolación entre P2 y P3 para obtener unamejor aproximación a x4.

5.) El proceso se repite hasta cuando dos valores sucesivos de x difieran enuna cantidad menor que cierto valor de prueba de precisión ε (epsilon).

6.) Si f (x) tiene más de unas raíz, el proceso se repite para cada una de ellas.



Texto: Análisis Numérico; Autor: R. Burden; Ejercicio 2.1:

6) Aplique Interpolación Lineal para encontrar la solución exacta dentro de 10-3 , siendof(x) = 2+ cos(ex – 2) - ex , en [0.5, 1.5]. Datos: x1 = 0.5; x2 = 1.5; y1 = 1.29; y2 = -3.27; = 0.001.

Solución: Con x1 = 0.5; x2 = 1.5; y1 = 1.29; y2 = -3.27 , se obtiene x3 con ;

x3 = 0.7828

n xn xn+1 yn yn+1 error

12

21123 yy

xyxyx


n xn xn+1 yn yn+1 error

1 0.5 1.5 1.2902122 -3.27174041

2 1.5 0.78282017 -3.27174041 0.79481544 4.06655585

3 0.78282017 0.92299422 0.79481544 0.35258233 0.44223311

4 0.92299422 1.03475177 0.35258233 -0.12810812 0.48069045

5 1.03475177 1.00496743 -0.12810812 0.01214232 0.14025044

6 1.00496743 1.00754604 0.01214232 0.00035724 0.01178508

7 1.00754604 1.0076242 0.00035724 -1.051E-06 0.00035829

8 1.0076242 1.00762397 -1.051E-06 9.0503E-11 1.0511E-06

Método de Interpolación Lineal - Matlab>> x0=[0.2,0.3];

>> x=fzero('x*cos(x)-2*x^2+3*x-1',x0)

x =

0.2975

>> x0=[0.2,0.3];

>> option=optimset('DIS','ITER');

>> x=fzero(inline('x*cos(x)-2*x^2+3*x-1'),x0,option);

Func-count x f(x) Procedure

2 0.3 0.00660095 initial

3 0.297728 0.000530775 interpolation

4 0.29753 -2.02949e-007 interpolation

5 0.29753 3.6575e-011 interpolation

6 0.29753 0 interpolation

Zero found in the interval [0.2, 0.3]

>> x0=[0.2,0.3];

>> x=fzero('x*cos(x)-2*x^2+3*x-1',x0)

x =

0.2975

>> x0=[0.2,0.3];

>> option=optimset('DIS','ITER');

>> x=fzero(inline('x*cos(x)-2*x^2+3*x-1'),x0,option);

Func-count x f(x) Procedure

2 0.3 0.00660095 initial

3 0.297728 0.000530775 interpolation

4 0.29753 -2.02949e-007 interpolation

5 0.29753 3.6575e-011 interpolation

6 0.29753 0 interpolation

Zero found in the interval [0.2, 0.3]


Método de Bisección



Entrada Proceso

Una “f”continua enun intervalo[a, b]

Numeromáximo de

iteraciones n

Error oTolerancia ()

Salida


Una “f”continua enun intervalo[a, b]

Numeromáximo de

iteraciones n

Para determinar el numero de iteraciones, se puedeaplicar la siguiente ecuación:

2ln

ln)abln(n

Método de Bisección - Proceso1.) a1 = a y b1 = b

2.) Sea i = 1

3.) Calcule f(a1) y f(b1)

4.) Si f(a1)*f(b1) < = 0, ir a (5); Fin del proceso (Salida M1)

5.) Si i<=n, calcule pi usando: , determine f(pi) y si n = 1 ir a (7); calculef(ai) y vaya al paso (6)

6.) Si ; , vaya al paso (7); Fin del proceso (Salida M2)

7.) Si f(ai)*f(pi)>0, ai+1 = p1 y bi+1 = b1; ai+1 = a y bi+1 = pi

8.) sea i = i+1, ir a paso (5)

9.) Fin del proceso (Salida M3)

2ii

i

bap


1.) a1 = a y b1 = b

2.) Sea i = 1

3.) Calcule f(a1) y f(b1)


5.) Si i<=n, calcule pi usando: , determine f(pi) y si n = 1 ir a (7); calculef(ai) y vaya al paso (6)





01 p

i

ii

p

pp 1


Entrada Proceso

M1:No es posibledeterminar la

raíz en elintervalo

M2:El valor de laraíz pedida es

p

M3:No se puedoencontrar laraíz luego den iteraciones

Salida


M1:No es posibledeterminar la

raíz en elintervalo

M2:El valor de laraíz pedida es

p

M3:No se puedoencontrar laraíz luego den iteraciones

Método de Bisección - EjemploTexto: Análisis Numérico; Autor: R. Burden; Ejercicio 2.1:

4) Aplique Bisección para las soluciones exactas dentro de 10-2 para, siendof(x) = x4-2x3-4x2+4x+4 en a. [-2,-1]. c. [2,3]. Datos: a =-2; b = -1; = 0.01.Solución: El numero de iteraciones se calcula con:

Para este ejemplo n = 6.64, que debe redondearse a 7 iteraciones.

1.) a1 = -2 y b1 = -1 2.) Sea i = 1

3.) f(a1) = ? y f(b1) = ?, donde f(-2) = -2 y f(-1) = -1


5.) Si i<=n, calcule pi usando: , determine f(pi) y si n = 1 ir a (7); calcule f(ai) yvaya al paso (6)

2ln

ln)abln(n

n a b pn f(a) f(pn) Error

1 -2 -1 -1.5 12 0.8125



4) Aplique Bisección para las soluciones exactas dentro de 10-2 para, siendof(x) = x4-2x3-4x2+4x+4 en a. [-2,-1]. c. [2,3]. Datos: a =-2; b = -1; = 0.01.Solución: El numero de iteraciones se calcula con:

Para este ejemplo n = 6.64, que debe redondearse a 7 iteraciones.

1.) a1 = -2 y b1 = -1 2.) Sea i = 1

3.) f(a1) = ? y f(b1) = ?, donde f(-2) = -2 y f(-1) = -1


5.) Si i<=n, calcule pi usando: , determine f(pi) y si n = 1 ir a (7); calcule f(ai) yvaya al paso (6)

1 -2 -1 -1.5 12 0.8125

2ii

i

bap

Método de Bisección - EjemploTexto: Análisis Numérico; Autor: R. Burden; Ejercicio 2.1:

4) Aplique Bisección para las soluciones exactas dentro de 10-2 para, siendof(x) = x4-2x3-4x2+4x+4 en a. [-2,-1]. c. [2,3]. Datos: a =-2; b = -1; = 0.01.






1 -2 -1 -1.5 12 0.8125

2 -1.5 -1 -1.25 0.8125 -0.90234375 0.5








2 -1.5 -1 -1.25 0.8125 -0.90234375 0.5

01 p

i

ii

p

pp 1

Método de Bisección - Ejemplo




1 -2 -1 -1.5 12 0.8125


1 -2 -1 -1.5 12 0.8125

2 -1.5 -1 -1.25 0.8125 -0.90234375 0.5

3 -1.5 -1.25 -1.375 0.8125 -0.28881836 0.25

4 -1.5 -1.375 -1.4375 0.8125 0.195327759 0.125

5 -1.4375 -1.375 -1.40625 0.195327759 -0.06266689 0.0625

6 -1.4375 -1.40625 -1.421875 0.195327759 0.062262595 0.03125

7 -1.421875 -1.40625 -1.4140625 0.062262595 -0.00120812 0.015625

8 -1.421875 -1.4140625 -1.41796875 0.062262595 0.030274373 0.0078125

Método de Bisección - Archivo.m (Matlab)function [p,err,yp] = bisect(fun,a,b,delta)% Datos% fun es la función, introducida como una cadana de caracteres ‘fun’;% a y b son el estremo izquierdo y el extremo derecho;% delta es la tolerancia;% Resultados% p es el cero ;% yp=f(p);% err es el error estimado de la aproximación a pya=feval('f', a);yb=feval('f', b)if ya*yb>0, return, endmax1 = 1+round((log(b-a)-log(delta))/log(2));for k=1:max1

p=(a+b)/2;yp=feval(f, p);if yp==0

a=p;b=p;

elseif yb*yc>0b=p;yb=yp;

elsea=p;ya=yp;

endif b-a < delta, break, end

endp=(a+b)/2 ;err=abs(b-a)yp=feval(f, p)

Ing. Carmen Esparza V.Ing. Carmen Esparza V.MATLAB 7.1.lnk

function [p,err,yp] = bisect(fun,a,b,delta)% Datos% fun es la función, introducida como una cadana de caracteres ‘fun’;% a y b son el estremo izquierdo y el extremo derecho;% delta es la tolerancia;% Resultados% p es el cero ;% yp=f(p);% err es el error estimado de la aproximación a pya=feval('f', a);yb=feval('f', b)if ya*yb>0, return, endmax1 = 1+round((log(b-a)-log(delta))/log(2));for k=1:max1

p=(a+b)/2;yp=feval(f, p);if yp==0

a=p;b=p;

elseif yb*yc>0b=p;yb=yp;

elsea=p;ya=yp;

endif b-a < delta, break, end

endp=(a+b)/2 ;err=abs(b-a)yp=feval(f, p)

Método de Bisección - AplicaciónTexto: Análisis Numérico; Autor: R. Burden; Ejercicio 2.1:

17) Un abrevadero de longitud L tiene una sección transversal en forma desemicírculo con radio r (ver figuras). Cuando se llena el agua hasta unadistancia h de la parte superior, el volumen del agua es

V = L[0.5 r2-r2 arcsen(h/r) – h(r2- h2)1/2]Suponga que L = 10 pies , r = 1 pie, y que V = 12.4 pies3 . Determine laprofundidad (D) del agua en el abrevadero hasta 0.01 pies.


17) Un abrevadero de longitud L tiene una sección transversal en forma desemicírculo con radio r (ver figuras). Cuando se llena el agua hasta unadistancia h de la parte superior, el volumen del agua es

V = L[0.5 r2-r2 arcsen(h/r) – h(r2- h2)1/2]Suponga que L = 10 pies , r = 1 pie, y que V = 12.4 pies3 . Determine laprofundidad (D) del agua en el abrevadero hasta 0.01 pies.


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