Raices de Ec

7/24/2019 Raices de Ec

1/40

Modelado y simulacin en Ingeniera Qumica. Manuel Rodrguez

1

Ecuaciones algebraicas lineales

Ecuaciones algebraicas no lineales

Mtodos para una variable Mtodos para multivariable

3. Mtodos de resolucin


2/40


2

Ecuaciones Algebraicas

Lineales No lineales

Interval Halving(o bisection)

Succesive

Substitution(o fxed-point)

FalsePosition(o regula alsi)

NewtonRap son

Wegstein

!ro"den

MetodosAnaliticos

MetodosNumericos

Secant

Ridder

Brent

#uller

$ogleg stepHoo% step

Para problemas multidimensionales

Ho&otop"


3/40


Systems of Linear Algebraic Equations

General Representation

a s are constant coefficients, bs are constants, x arethe unknown ariables, an! n is the number ofequations

nnnnnn

nn

nn

b xa xa xa

b xa xa xa

b xa xa xa

=+++

=+++

=+++

2211

22222121

11212111

Analysis of System LAE

Consistent, independent equations " #f equations are not contra!ictory an! not simply multiplies of

the other, then solution to LAE problems will be unique$ " E%ample&

Inconsistent equations " #f equations are contra!ictory, then no solution e%ists$ " E%ample&

12

423

=+=+

y x

y x

12

22

=+=+

y x

y x

Analysis of System LAE '()

Dependent equations " #f equations are multiplies of others, many solutions can be

foun!

" E%ample&

Ill-conditioned equations " #f a small change in any of the coefficients will change the

solution set from unique to either infinite or empty, thesystem of LAE is calle! to be ill*con!itione!$

" +umerical solution will be !ifficult " E%ample&

22424

=+=+

y x y x

12

42)4(=+

=++ y x

y x



4/40


!

Gauss Elimination * Concept

If two equations have a point in common, then that point alsosatisfies any linear combination of the two equations $ " Suppose that are the solutions to linear

equations

then also satisfies the linear combination of theselinear equations&

[ ]nr r r r ,,, 21 =

0:

0:

2211

2211 =++++=++++

nno

nno xb xb xbbT

xa xa xaaS

[ ]nr r r r ,,, 21 =

T mS m 21 +

0222211221221111 =+++++++++ nnonno xbm xbm xbmbm xam xa xamam

Gauss Elimination Algorithm

$ A!! a multiple of row onto row to form a new row

($ Repeat ' ) until we get an upper 'or lower) triangular matri% of LAE coefficients-

.$ Apply back substitution to sol e for each ariable

m i R j R j R

ji j RmR R +

Step & /orwar! elimination until we get the upper 'or lower)triangular matri% of LAE coefficients

Step (& 0ackwar! substitution

1itfalls of the Gauss Elimination

2hen !oes the Gauss elimination get solution3 " 2hen in erse of e%ists

" 2hen equations are consistent an! in!epen!ent " Satisfy the following rank con!ition&

Limitation of algorithm " 2hen pivot element equals zero " 2hen pi ot element is significantly smaller than the coefficient

being use! to eliminate 'or #ll*con!itione!) " Roun!*off errors

b A x

b x A1=

=

)dim()( A Arank =



5/40


"

L4 5ecomposition * Concept

A matri% A is !ecompose! 'or factorise!) into lower an! uppermatri% factors, for e%ample if A is a .%. matri%&

6etho!s to fin! L4 factors " Gauss elimination '5oolittle form) " 5irect computation

Crout form ' ) Cholesky form ' )

==

333231

232221

131211

33

2322

131211

333231

2221

11

00

0.0

00

.

aaa

aaa

aaa

u

uu

uuu

U L A

1=iiuiiiiu = 6oti ation for L4 5ecomposition

Sol e the LAE 1roblems in a more efficient way

Algorithm for sol ing an LAE 1roblem using the L45ecomposition

" /in! the L4 factor of the A matri%& A 7 L4 Algebraic problem is transforme! from A x 7 b to L4 x 7 b

" 5efine y 7 4 x " Sol e for y using the 8forwar! substitution9 " Sol e for x using the 8backwar! substitution9



6/40


#Ecuaciones algebraicas lineales

Step 2 & Rows an! ( are unchange!$ Rows . an! : aretransforme! by

to yiel!&

Step 3 & ;he fourth row is mo!ifie! to complete the forwar!eliminating stage by&

to yiel!&


7/40Modelado y simulacin en Ingeniera Qumica. Manuel Rodrguez

$

L4 5ecompositionusing =rout 6etho!

0ase! on equating the elements of the pro!uct with thecorrespon!ing elements of , where the !iagonal elements ofare s $ /or a . % . matri%

Algorithm " Step & Set , then sol e for the remaining elements in

the first row of an! the first column of $ " Step (& /in! , then sol e for the remain!er of the secon!

row of an! the secon! column of " =ontinue for the rest

LU A U

=

333231

232221

131211

23

1312

333231

2221

11

100

10

1

0

00

aaa

aaa

aaa

u

uu

1111 a=

U L22

U L

General /ormula for =routs 6etho!

General formula for the first column of L, the first row of 4 an! the!iagonal element of 4

General formula for the >*th row of L an! the >*th column of 4& " /or >7 (, ., ?, n* - i 7 >, >@ , ?, n- an! k 7 >@ , >@(, ?, n

General formula for the last row of L

1;;11

111,1 === ii

j jii uaua

=

=

1

1

j

k kjik ijij ua

jj

j

iik ji jk

jk

uau

=

=

1

1

=

=

1

1

j

k knnk nnnn ua




%

L4 5ecompositionusing =holeskys 6etho!

;he matri% is symmetric an! positi e !efinite$

/or a . % . matri%&

Algorithm& " /in! , then sol e for the remaining elements in the

first row of an! the first column of $ " /in! , then sol e for the remain!er of the secon! row of

an! the secon! column of " =ontinue for the rest$

AT T LL AU L ==

=

333231

232221

131211

3

232

13121

33231

221

1

00

00

00

aaa

aaa

aaa

x

u x

uu x

x

x

x

2/1111 )(a x =

U L2 x U

L

GeneraliAation of =holeskys 6etho!

/or the " *th row

=

=

=

=

=

1

1

2

1

1 1,,2,1

k

jkjkk k

ii

i

jkjijki

ki

a x

k ia




&

function [L,U] = Cholesky(A)%

% A is assumed to be symmetric%[n,m] = size(A)L = zeros(n,n)for k=!"n,

L(k,k) = s#rt(A(k,k)$L(k,!"k$!) L(k,!"k$!)&)for i=k'!"n,

L(i,k) = (A(i,k) $ L(i,!"k$!) L(k,!"k$!)&) L(k,k)end

endU = L&

==

64325

32204

541

00

0.0

00

64325

32204

541

3

232

13121

33231

221

1

x

u x

uu x

x

x

x

A

First row of U a d first !o"#m of $

%ot& t'at d#& t'& s mm&tri!:

&!o d row of U a d s&!o d !o"#m of $

*& +&t:

5.;4.

5.;4.;1.

31311312121121

1313131121212111111

==========

a xa x

uau xuau x xa x x

j j j j uaa 1111 ==

=6432532204

541

000

541

.5

04

001

3

232

332

2

xu x

x x

;632)4).(5(

;632)5).(4(

;220)4).(4(

21232

23232

222

==+==+

==+

x

uu x

x x

=64325

32204

541

00

620

541

.

65

024

001

33 x x

;364)6).(6()5).(5( 3323

==++ x x

==

300

620

541

;

365

024

001

U L

MATLABsCode



1'

- / - 1 /

( 1)2( 2*!2( 1)( 2*1

3 22 1

1 02 1

1 02 1

1 00 1

41

21

21

25

+ 1,*+ 1-2+ 2

+ 1,*-+ 1

+ 2,*-2+ 1)+ 2

- 1 2 -2 5

escomposicin de /auss

Inversa de la matriz

E0emplo



11

Bariations of Algorithm

Jacobi Method " 0ase! on the transformation of to , in which the

matri% has eros on the !iagonal$ ;he ector is up!ate! usingthe pre ious estimate for all components of to e aluate the righthan! si!e of the equation ' simultaneous up#atin$ )$

Gauss-Seidel Method " 0ase! on the transformation of to , in which the

matri% has eros on the !iagonal as in Cacobi metho!, but eachcomponent of the ector is up!ate! imme!iately as each iterationprogresses ' sequential up#atin$ )$

Successive ver !ela"ation #S !$ Method " Like Gauss*Sei!el metho!, but we intro!uce an a!!itional

parameter , that may accelerate the con ergence of iteration$ /or, the metho! is known as successi e un!er rela%ation,

while for is known as successi e o er rela%ation$

b Ax = d Cx x +=C x

x

b Ax = d Cx x +=C

x

10



12

SDR 6etho!

E%ample

" SDR #terati e Scheme

#t can be seen that if , it becomes the iterati e scheme forGauss*Sei!el metho!$ ;he parameter is selecte! to impro e thecon ergence of algorithm$

3333232131

2323222121

1313212111

b xa xa xa

b xa xa xa

b xa xa xa

=++=++=++

( )

( )

( )newnewold new

old newold new

old old old new

xa xaba

x x

xa xaba

x x

xa xab

a

x x

232131333

33

323121222

22

3132121

11

11

)1(

)1(

)1(

+=

+=

+=

1=

#mplementation for 5ifferent 6etho!s

Jacobi Method " #terati e Scheme&

" #nitial con!ition guess& " Stopping criteria

Gauss-Seidel Method " #terati e Scheme

" #nitial con!ition guess " Stopping criteria

+

=

5.1

3

5.0

05.05.0

5.005.0

5.05.00

13

12

11

3

2

1

k

k

k

k

k

k

x

x

x

x

x

x

5.15.05.0

35.05.0

5.05.05.0

213

312

321

+=

++==

newnewnew

old newnew

old old new

x x x

x x x

x x x

[ ]T o x 000=

[ ]T o x 000=

001.01



1

Simple E%ample of ;ransformation

32

62

12

321

321

321

=+=+

=+

x x x

x x x

x x x

5.15.05.0

35.05.0

5.05.05.0

213

312

321

+=++=

=

x x x

x x x

x x x

b Ax = d Cx x +=



1!

Objetivo

Sea !"# una uncin no lineal en ". $allar el %alorde "& x *& tal 'ue se cumple f(x*)=0 .

x* se suele denominar el cero o ra() de !"#

x* se puede determinar por medios anal(ticos!solucin e"acta# o por medios numricos!solucin apro"imada#

La eleccin del mtodo numrico depende delproblema a resol%er !estructura del problema& tipode ecuaciones& precisin re'uerida& r*pide) del

c*lculo&....#.Por tanto no existe un mejor mtodo universalmenteaplicable.


Mtodos acotados !brac+eting met,ods# Mtodos abiertos !open met,ods#

-ipos de mtodos



1"

Mtodosacotados

Base /na uncin cambia de signo en la pro"imidad de

una ra() /na ra() est* acotada en el inter%alo 0a&b1 si el signo de

!a# es di erente al signo de !b#

a b

f ( x)

xid oi t

+e%t estimate of 0isection

0isection 6etho!

f (a)

f (b)

0a&b1

0nue%opunto1

2. Selecciona un inter%alo 0a&b1 donde,alla un cero

. 4alcula el punto medio como nue%o

punto3. 4omprueba si ,a5 cambio de signo

en 0a&p1 o en 0p&b1. 4omprobacin!a#6 !p#.

7. Si el producto es cero& entonces p esuna raz . Si no es cero %ol%er alpunto .

Algoritmo

Mtodo de la biseccin (o intervalomedio)



1#

Ejemplo Mtodo biseccin ( ntervalo medio)

042

= x

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ]25.2,875.1875.1,5.125.2,5.1

3,25.23,5.1

5.1,03,0

6,36,0

signocambiano

signocambiano

signocambiano

1$



1$Ecuaciones algebraicas no lineales

Mtodo de la posicin falsa

a b

f ( x)

xt&rs&!tio oi t

+e%t estimate of /alse*position

/alse*1osition 6etho!

f (a)

f (b)

0nue%opunto1

0a&b1

2. Selecciona un inter%alo 0a&b1 donde,alla un cero

. 4alcula un punto interseccin comonue%o punto

3. 4omprueba si ,a5 cambio de signoen 0a&p1 o en 0p&b1. 4omprobacin

!a#6 !p#.

7. Si el producto es cero& entonces p esuna raz . Si no es cero %ol%er alpunto .

Algoritmo

( ) ( ) ( ) )

( ) ( )

f a f b f b a bm b

m a m b f a f b

89 : 9 8

8 8 8

1%



1%

0 1

2,6

3

18,6

15

;

? @

;

? @L

F,

(y @ : 7 % % 7

.

.( (F ( Hy @ 7 '% * ) % 7

I . . J

042

= x

Ejemplo mtodo de la posicin falsa (!e"#la $alsi)

1&E i l b i li l



1&

=on ergence Rate

%umber of iterations

& e

l a t i v e

' r r o r s

%alse-position method

&isection method

F


%imilaridades& Ambos mtodos necesitan DOS valores

iniciales Re'uieren un procedimiento para determinar

el cambio de signo. Acaban convergiendo a la ra() con cierta

tolerancia

'iferencias& El c*lculo del nue%o punto estimado se ,ace

con diferentes estrategias En general el mtodo de la posicin alsa

con%erge m*s r*pido 'ue el de la biseccin.

omparacin entre ambosmtodos

2'E i l b i li l



2'Ecuaciones algebraicas no lineales

Mtodos abiertos

Emplean una apro"imacin uncional para obtener el nue%o %alorestimado de la ra() !l(nea recta& cuadr*tica& polinomio# Mtodos

Punto8 o !sustitucin sucesi%a o directa# NeCton8Rap,son !l(nea recta empleando in ormacin del

gradiente# Secante !l(nea recta empleando dos puntos# Muller !apro". cuadr*tica empleando tres puntos#

21E i lg b i li l



21Ecuaciones algebraicas no lineales

Mtodos acotados

La ra() est* situada en un inter%alo !necesita dos puntos#.Acaba con%ergiendo dentro de una tolerancia.

Mtodos abiertosSlo emplean un punto inicial !o dos puntos 'ue no tienen

por 'u contener a la ra()# 5 una rmula para encontrar lara(). No siempre con%ergen & pero cuando lo ,acen sonmuc,o m*s r*pidos 'ue los mtodos acotados.

Metodos acotados %s. Mtodosabiertos





Rai)

xxx x

="(x)

=x

0+ ,

xx xx x

*

*="(x)

*=x

0 +- ,

Sustitucinsucesi%a Proble&a (x)'

2. -rans ormar a "9g!"#

. Seleccionar un punto inicial " D

3. 4alcular nue%o %alor " i 2 9g!" i#

7. Repetir ,asta llegar a la toleranciare'uerida

Si

."/

(x). , El algoritmo converge

linealmente

."/(x).1=, El algoritmo diverge

2



2

042 = x

(

(

(

% 7 % * : @ %

% 7 %'% * .)

g'%) 7 %'% *.)

K (F

(k@, k k

(,

((

g '% ) 7 .% * . 7 . * . 7 F

% 7 % '% * .)

% 7 ' * .) 7 *(

% 7 *(''*() * .) 7 *(

K (F

(,

((

g '% ) 7 .% * . 7 . M I * . 7 (: N ,

% 7 .'. * .) 7 ,H% 7 ,H',H * .) 7 JOOH

Ejemplo Mtodo p#nto 2jo (%#stit#cin directa3s#cesiva)

10 = x

30 = x

F4on%ergeG

F4on%ergeG

2!Ecuaciones algebraicas no lineales



2!Ecuaciones algebraicas no lineales

NeCton Rap,son Proble&a g(x)'2. Seleccionar un punto inicial " D

. 4alcular g!" i# 5 gH!" i#

3. Aplicar la tangente en ese punto 5 en el cortecon el e e de abcisas tenemos el nue%o puntoestimado

7. Repetir ,asta llegar a la tolerancia re'uerida

" i 2 9" i8g!" i#gH!"i#

xx xx 0+ ,

"(x) Necesita conocer la deri%ada de

la uncin 4on%ergencia cuadr*tica

!r*pida# Puede no con%erger !depende

de la uncin 5 de laestimacin inicial #

2"



2

042

= x

1223

5.12)45.1(5.1

5.112

)41(1

2)4(

2

2

2

1

0

20

01

=

=

=

=

=

x

x

x x

x x

006,21666.22

)41666.2(1666.2

1666.232

)43(3

2)4(

2

2

2

1

0

20

01

=

=

=

=

=

x

x

x x

x x

Ejemplo 4e5ton Met6od

30 = x10 = x

2#Ecuaciones algebraicas no lineales



2#Ecuaciones algebraicas no lineales

xxx xx 0+- ,

"(x)

Proble&a g(x)'

2. Seleccionar dos puntos iniciales " D&"2

. 4alcular la recta 'ue pasa por esos puntos

3. El corte con el e e de abcisas da el nue%opunto estimado. Iol%er a calcular la recta.

7. Repetir ,asta llegar a la tolerancia re'uerida

" i 2 9" i8" i 2 8"i

g !" i 2 #8g!" i#

g !" i 2 #

Secante

No Necesita conocer laderi%ada de la uncin !laapro"ima#.

Necesita dos puntos iniciales. Puede no con%erger.



27/40



8At the first iteration, both metho!s pro!uce the same estimate$ After that, each metho! has a !ifferent estimate9$

%,

%F%. %(

y

% %,%F

%.%(

y

%

/alse*position Secant metho!

La primera iteracin da el mismo resultado luegocada uno obtiene un nuevo punto estimadodiferente

2%



28/40


f ( x)

x x2

%&-t &stimat& of #""&r

ara o"i!

6ullers 6etho!

x0 x1

6ullers Algorithm

$ Select three points P x o,f ' x o)Q- P x ! ,f ' x ! )Q an! P x 2 ,f ' x 2 )Q($ =ompute the coefficients a , b an! c

.$ Apply a qua!ratic formula to calculate the nextestimate of the ero

:$ Repeat step (*. until satisfying the con ergentcriteria

acbb

c x x

4

2223

= Real an! comple% root=an be locate!

2hich point is !iscar!e! in 6uller Algorithm

;wo general strategies are typically use!&

" #f only real roots are being locate!, we choose the two originalpoints that are nearest the new root estimate, % .

" #f both real an! comple% roots are being e aluate!, a sequentialapproach is employe!$ ;hat is >ust like the secant metho!, % , %(an! % . take place of % F, % an! % ( $


2( ) ( ) ( )i i g x a x x b x x c9 8 8

6 Se computan obligando a 'ue g!"# pasepor los 3 puntos seleccionados.

6

2&Ecuaciones algebraicas no lineales


29/40


5ifficulties with multiple root problems

;he fact that the function !oes not change sign at e en multipleroots$ So, the bracketing strategy cannot be applie! ;he fact that not only f '%), but also f '%), goes to ero at the root$

1ossible problems for +ewton*Raphson an! Secant metho!s S '()I * & 4se the mo!ifie! +ewton*Raphson metho!s

" +lternative one & #f we ha e m multiple roots, the up!ate! estimatefollows&

" +lternative t,o & 4se the ratio of the function to its !eri ati e, an!then apply the +ewton*Raphson formula for this ratio function

)()(

1k

k k k x f

x f m x x =+

[ ] )()()()()(

)()(

)()(

)(

21k k k

k k k

k

k k k

k

k k

x f x f x f

x f x f x

xu xu

x x

x f x f

xu

=

=

=

+


'Ecuaciones algebraicas no lineales


30/40


1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

1 2 3

( , , , ..., ) 0

( , , , ..., ) 0

( , , , ..., ) 0

( , , , ..., ) 0

( ) 0

n

n

n

n n

f x x x x

f x x x x

f x x x x

f x x x x

F X

=

=

=

=

=

M

%istemas de ec#aciones al"ebraicas no

lineales




31/40


g

La sobrerela acin es una tcnica para acelerar la con%ergencia demtodos iterati%os en la solucin de ecuaciones lineales. La idea esaplicarlo al mtodo de sustitucin sucesi%a.

Se dan pesos a los %alores anteriores 5 a los pre%ios con el n de darpasos Jma5oresK ,acia la solucin.

7 89, =:7 8 9(,;:)"(7 8 )

'9D sustitucin sucesi%a ' D aceleracin de la con%ergencia D ' 2 estabili)acin de la con%ergencia por

amortiguamiento

Sustitucin sucesi%aacelerada



32/40


g


33/40


En los problemas de diagrama de !ujo las variables de iteracin no est"n todasmu# acopladas ni todas desacopladas nos podemos encontrar$

%& 'odas las especies dbilmente acopladas a travs de e(uilibrio L)* +no ideal&

,& Especies mu# acopladas si participan en una reaccin-& Si a# m"s de una corriente de rasgado a# un fuerte acoplamiento entre los

!ujos de cada corriente de rasgado.

/uando las variables est"n desacopladas o dbilmente acopladas es necesario un par"metro de aceleracin diferente para cada variable.

!Ecuaciones algebraicas no lineales


34/40


El mtodo de 0egstein es mu# bueno para particiones en las (uea# una 1nica corriente de rasgado. O cuando a# reciclo sin estar

los componentes mu# acoplados +presencia de reaccin&

"Ecuaciones algebraicas no lineales


35/40


1, 2, ,

1, 2, ,

1, 2, ,

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2

1 2

( )

i i n i

i i n i

i i n i

n x x x

n x x xi

n n n

n x x x

f f f x x x

f f f x x x J X

f f f x x x

=

L

M M

L

L

M

11 ( ) ( )i i i i X X J X F X

+ =

NeCton Rap,son En lugar de la deri%ada emplea el acobiano !matri) de

deri%adas parciales# La estimacin del nue%o con unto de ra(ces se computa

mediante la siguiente ecuacin

2acobiano

3/mo resolver4as laecuacin anterior sin tener

(ue calcular la inversa de lamatri5 jacobiana6

#Ecuaciones algebraicas no lineales


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1( )( ) ( )i i i i J X X X F X + =

( )( ) ( )i i J X X F X = AX b=

1

1

( )i i

i i

X X X

X X X +

+

= = +

NeCton Rap,son8 procedimiento de resolucin

*entajas$

a& :uena convergencia +cuadr"tica&b& :ueno para diagramas de !ujo con muc a interaccin #a (ue estainteraccin se tiene en cuenta en el 2acobiano.Desventajas$a& ;e(uiere unas estimaciones iniciales buenasb& /omo las funciones no se conocen expl4citamente el 2acobiano seaproxima de forma numrica.

$Ecuaciones algebraicas no lineales


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Mtodo de Bro5den No calcula el acobiano& lo apro"ima empleando %alores

pre%ios de " 5 !"#. W es la apro"imacin a la negati%a de la in%ersa del

acobiano. Es una e"tensin del mtodo de la secante !o mtodo 'uasi8

NeCton#

1 ( )i

i i i X X W F X

+ =

1 ( )T

T

i i i i ii i

i i i

W y W W W

W y+ +=

1

1( ) ( )

i i i

i i i

X X

y f X f X

+

+

= =

1mi i i

i i i

W W

W y

E 8

9

%


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*entajas$ Slo re(uiere una


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6A;LA0 0uilt in /unction ' )

;he built in f ero function ' (ptimization )oolbox ) is a hybri!metho! that combines bisection, secant an! re erse qua!raticinterpolation to a fin! the root of f ' x ) 7 F

" Synta%&

% 7f ero ' fun,%F)

TF can be scalar or a two element ector #f %F is a scalar, f ero tries to create its own b racket #f %F is a two element ector, f ero uses the ector as a bracket

6A;LA0 0uilt in /unction '()

;he built in fsolve function ' (ptimization )oolbox ) is an 6*filefunction to sol e a system of nonlinear equations&

" Synta%&

% 7 fsolve ' fun,%F)

%F is a ector of initial estimate of the roots

0),,,(

0),,,(

0),,,(

21

212

211

=

==

nn

n

n

x x x f

x x x f

x x x f

!'Ecuaciones algebraicas no lineales


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+solve

o" & a s st&m of o "i &ar & #atio s for x, w'&r& x is a &!tor a d F!x" is a f# !tio t'at r&t#r s a

&!tor a"#&.ynta(

" 9 sol%e! un&"D# " 9 sol%e! un&"D&options#" 9 sol%e! un&"D&options&P2&P & ... #0"& %al1 9 sol%e!...#0"& %al&e"it ag1 9 sol%e!...#0"& %al&e"it ag&output1 9 sol%e!...#0"& %al&e"it ag&output& acobian1 9 sol%e!...#

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