Programacion Lineal Grafico Simplex Tora

download Programacion Lineal Grafico Simplex Tora

of 21

  • date post

    16-Oct-2015
  • Category

    Documents

  • view

    709
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Programacion Lineal Grafico Simplex Tora

  • ESCUELA PROFESIONAL DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS - UNSA -

    GUA DE PRCTICAS AO 2010

    ASIGNATURA: INVESTIGACIN DE OPERACIONES TEMA: PROGRAMACIN LINEAL

    PROFESOR: Mario Bravo Chacn M.A. ESAN.

    El propsito de esta gua es exponer la manera cmo asumir el planteamiento de los problemas o ejercicios susceptibles de ser resueltos usando el modelo de programacin lineal. De principio, se requiere ejercitar nuestras capacidades mentales para ponernos en el lugar de quien pudiera afrontar el problema, quiero decir, que si se trata del problema de un agricultor, tenemos que fungir de agricultores, pensar como lo hara un agricultor. Esta predisposicin del pensamiento, por lo dems, no es ajena a la metodologa de enseanza de las escuelas de negocios del mundo, que dentro de su instrumental didctico incluyen el juego de roles. En cada caso se ha seguido el siguiente esquema:

    Enunciado del problema Planteamiento del problema Solucin por el programa TORA1 Interpretacin del reporte del programa TORA

    Problema 1.- En un da de feria, por la maana, el dueo de un pequeo restaurante debe ordenar al cocinero cuntas porciones de adobo y de chicharrn debe preparar. Consulta al mozo y este le comenta que siempre se vende ms adobo que chicharrn. Ante esto, el dueo le exige precisar cuntos platos de adobo ms que de platos de chicharrn? Las dudas del mozo no tardan en reducirse, hasta desaparecer, ante la presin del dueo: por cada 10 platos de adobo se venden alrededor de 6 platos de chicharrn, casi nunca ms de 6. Al cabo, el dueo constata que tiene en existencia 55 Kg. de carne de cerdo y bastante de otros ingredientes. Consultado el cocinero sobre el tiempo necesario de empleo de las cocinas para preparar la comida, fija en 2 horas para la elaboracin de 30 porciones de adobo y 2,5 horas para otras 30 porciones de chicharrn. En relacin con la capacidad de fuego el dueo supone que el tiempo que se pueden emplear las cocinas no debe superar las 10 horas. Asimismo, el cocinero dice necesitar 500 gramos de carne para un plato de adobo y 400 para el chicharrn. Si los precios de venta por plato son S/. 10 por adobo y S/. 8 por chicharrn, determine el programa ptimo de produccin. Procedimiento de solucin.-

    a) Planteamiento del problema:

    1 A excepcin de los Problema 1 y 2, cuyas respuestas las encontramos por los mtodos grfico, simplex (manualmente) y usando el programa para computadora TORA.

  • Razonamos: Al dueo le interesa recibir la mayor cantidad de dinero, tal es su objetivo. Entonces Cuntos platos de adobo y cuntos de chicharrn se deben preparar? Tales son las variables del problema, que designaremos por A y Ch, respectivamente. Si por un plato de adobo se recibe 10 soles y 8.5 soles por uno de chicharrn, al cabo de atender al ltimo cliente, el dueo habr acumulado tantas veces 10 soles como platos de adobo se hayan vendido y tantas veces 8,5 soles como platos de chicharrn se hayan vendido, es decir, la venta del da ascender al valor de la venta de adobos ms el valor de la venta de chicharrones. Esta relacin de dependencia entre el ingreso del da y las cantidades de platos de adobo y chicharrn se expresa matemticamente, en lo que denominamos funcin objetivo:

    F.O.: Ingreso = 10 A + 8,5 Ch Donde: A = Cantidad de platos de adobo Ch = Cantidad de platos de chicharrn Al hecho de elaborar esta funcin matemtica, que expresa que el ingreso o venta del da depende de las cantidades que se vendan de adobo o de chicharrn, se conoce como la identificacin de la Funcin Objetivo. Hasta aqu hemos concretado matemticamente la preocupacin del dueo del restaurante: Vender!. Y cuando se trata de vender procuramos obtener la mxima cantidad de dinero, es decir, maximizar las ventas o ingreso. En este caso, administrativamente diremos que ser eficaz para el dueo es vender y ser eficiente es alcanzar el mximo valor de venta. Pues bien, queda claro que todo depende de cunta cantidad de adobos y chicharrones debemos preparar para vender. Tales son las interrogantes que debemos responder. Cuntos platos de adobo y cuntos de chicharrn se han de preparar? En trminos de programacin lineal diremos Cul es la mezcla que maximiza el ingreso del dueo? Pero si queremos preparar adobos y chicharrones no debemos olvidar que se requieren carne de cerdo y cocinas, los dems insumos no nos preocupan, as como tener en cuenta que son ms los clientes que prefieren el adobo. Tampoco nos preocupa la demanda, suponemos que no hay problema para vender todo lo que preparemos. Queda establecido que las cantidades de platos a elaborar estarn limitadas por las disponibilidades de carne y capacidad de fuego, tales son las restricciones que van a condicionar el resultado final: maximizar el valor de ventas. Cunto de carne y de capacidad de fuego, tenemos? y, cul es la combinacin de platos de adobo y platos de chicharrn que los clientes acostumbran consumir? Para escribir las restricciones se debe tener claro que la unidad de medida de nuestros productos es un plato, como ha quedado establecido en la funcin objetivo, en la que, a la letra A (un plato de adobo) se le asocia el precio correspondiente y, del mismo modo para el chicharrn. En consecuencia, las precisiones que se hagan a partir de ahora, debern tener en cuenta que todo debe estar referido a un plato de adobo y un plato de chicharrn. Ocupmonos de las restricciones, en el siguiente orden: carne y cocinas. Comenzando por anotar los lmites de las restricciones de insumos: 55 Kg. de carne y 10 de horas de cocina Dejamos para el final el tratamiento de la tercera restriccin que es de naturaleza diferente. - Primera restriccin.- Tenemos 55 Kg. de carne, que se deben distribuir entre platos de adobo y platos de chicharrn. Si para un plato de adobo se necesita 500 gramos de carne y para un plato de chicharrn 400 gramos, entonces: en la produccin se utilizarn 500 gramos de carne tantas veces como platos de adobo se preparen y 400 gramos de carne tantas veces como platos de

  • chicharrn, a su vez, se preparen. Esta relacin entre cantidades usadas de carne y stock de carne disponible se expresa matemticamente de la siguiente manera:

    .Kg55Ch4.0A5.0

    ;gramos55000Ch400A500

    Podemos optar por cualquiera de las inecuaciones anteriores. Vemoslo, en trminos de kilos

    55Ch4.0A5.0 Donde: 0,5 A, representa la cantidad total de carne que se utilizar en la produccin de adobos; 0,4 Ch, representa la cantidad total de carne que se utilizar en la produccin de chicharrones. Y, 55 Kg. es la mxima cantidad de carne que se puede usar. - Segunda restriccin.- Requerimientos de fuego de las cocinas: 2 horas de fuego para preparar 30 porciones de adobo y 2,5 para preparar 30 de chicharrones. Como en la funcin objetivo se ha dejado establecido que A es la variable que representa unidades de platos de adobo ( puede ser 1,2,3,....) y otro tanto en el caso del chicharrn, determinamos cuntas horas se necesita para elaborar un plato de adobo y cuntas para un plato de chicharrn, cantidades que sern los coeficientes que acompaen a las variables A y Ch. El lmite de 10 horas de fuego nos impone que el tiempo empleado en la elaboracin de adobos ms el tiempo empleado en los chicharrones debe ser menor o igual a 10. De modo que la restriccin es:

    utosmin600Ch5A4

    horas10Ch0833.0A0666.0

    Para no perder informacin nos quedamos con la segunda expresin:

    utosmin600Ch5A4 . - Tercera restriccin.- Veamos la combinacin recomendada por el mozo y que tiene que ver con las preferencias de los clientes. Dice l que por cada 10 platos de adobo se venden alrededor de 6 platos de chicharrn, casi nunca ms de 6. Primera precisin: se debe preparar ms adobos que chicharrones. Cunto ms? La propuesta del mozo nos indica que por cada 10 platos de adobo podemos preparar de chicharrn 6 platos o alguna cantidad inferior. Al traducir estas expresiones a trminos matemticos, lo primero que dejamos establecido es la siguiente relacin: ChA . Que quiere decir que debemos preparar ms adobos que chicharrones.

    Cunto ms? Para precisarlo usamos la razn 6

    10

    Ch

    A , que significa que si A es como 10, Ch es

    como 6. Desarrollando la razn tenemos: 6A = 10Ch. Pero, como ya vimos, el nmero de adobos

    debe ser mayor, por tanto, la ecuacin se convierte en una inecuacin Ch10A6 , en ella podemos comprobar que si producimos 10 adobos los platos de chicharrn podrn ser 6, 5 menos, que es lo que quiso decirnos el mozo: por cada 10 platos de adobo se venden alrededor de 6 platos de chicharrn, casi nunca ms de 6 Esta inecuacin debe ser reformulada para que adopte el orden de presentacin de las variables (A y Ch) que tiene la funcin objetivo. Trasladamos 10Ch hacia el

    lado izquierdo de la inecuacin (pasa restando) y queda 0Ch10A6 , o lo que lo mismo: 0ChA6.0 . Razonando de otro modo: Segn la expresin Ch10A6 , el lado izquierdo de la

    inecuacin (6A) es mayor o igual que la expresin del lado derecho (10Ch), entonces, si restamos este ltimo del primero resultar un valor mayor o igual a cero. O generalizando, si a un valor le

  • restamos otro menor o igual, el resultado ser positivo o cero. As, queda la restriccin :

    0ChA6.0 que transformamos en 0ChA6.0 Ahora reunimos funcin objetivo y restricciones:

    aspreferenci0ChA6.0

    cocina.de.utosmin600Ch5A4

    carne.de.Kg55Ch4.0A5.0:.a.s

    )Maximizar(IngresoCh5.8.A10:.O.F

    Resolveremos el problema por el mtodo grfico, el mtodo simplex manualmente y por computadora con el programa TORA. A) Mtodo grfico Hay que dibujar en un cuadrante de los ejes cartesianos los lmites de las restricciones, es decir, las rectas que constituyen las fronteras de cada semiplano. Para ello asumimos cada restriccin como una recta (obviamos el signo de desigualdad

  • B) Mtodo simplex (manualmente y con aproximacin a dos decimales)

    Nota: Los elementos encerrados en crculos punteados se denominan pivote son la interseccin entre la columna que va a entrar en la mezcla y la fila que va a salir. La fila que va a salir se identifica en la ltima columna y corresponde al menor valor positivo o cero y que satisfaga todas las restricciones, nunca un nmero negativo o indefinido. La regla general es que se escoge como pivote el elemento para el cual el cociente resultante en la ltima columna satisface todas las restricciones. Ni cero ni 150 satisfacen las tres restricciones, as no puede ser cero, porque no pueden dejarse de producir adobos (del que puede prescindirse es el chicharrn) y no puede ser 150 porque no es posible producir tal cantidad de adobos, no alcanzara la carne.

    Como en el rengln Z c ya no quedan valores positivos, hemos llegado a la respuesta, que pasamos a interpretar. Respuesta.- a) Mezcla ptima: Se deben elaborar 44,59 platos de chicharrn y 74,33 de adobo. b) El ingreso mximo es S/. 1 122,32 c) Se agota la existencia de carne y se cumple exactamente el lmite de la restriccin referida a las

    preferencias de los consumidores. Sobran 79,74 minutos de capacidad de fuego de las cocinas. d) Si tuviera 1 Kg. ms de carne, el ingreso aumentara en S/.20,39, porque la produccin de

    chicharrn aumentara en 0,81 platos y de adobos en 1,35 platos, por consiguiente bajara el sobrante de capacidad de fuego en 9,46 minutos.

    e) Si las preferencias por el chicharrn aumentaran en 1 plato, es decir, si por cada 10 platos de adobo se demandasen como mximo 7 platos de chicharrn, el ingreso aumentara en S/. 0,34 como efecto de un reajuste en la produccin: aumentara la produccin de chicharrn en 0,68 platos y bajara la produccin de adobos en 0.544 platos, y bajaran los excedentes de fuego en 1.22 minutos.

  • C) Por computadora: El reporte del programa TORA:

    *** OPTIMUM SOLUTION SUMMARY *** -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Title: adobo Final iteration No: 3 Objective value (max) = 1122.2974 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Variable Value Obj Coeff Obj Val Contrib Reduced Cost -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x1 adobo 74.3243 10.0000 743.2433 0.0000 x2 chicha 44.5946 8.5000 379.0540 0.0000 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Constraint RHS Slack(-)/Surplus(+) Dual Price -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 (

  • i) Anlisis de sensibilidad. Por cada incremento de 1 plato de chicharrn en las preferencias del pblico aumentara el ingreso mximo en S/.0,3378 hasta el lmite de 65,5556 platos. Por cada descenso de 1 plato de chicharrn en las preferencias del pblico bajara el ingreso mximo en S/.0,3378.

    Problema 2. Un granjero especializado en avestruces, tiene que atender para dentro de 5 meses un pedido consistente en 2,8 toneladas de carne, 280 kilos de plumas seleccionadas y 700 huevos, todo a precios superiores a los de mercado. El granjero debe decidir cuntos avestruces machos y cuntos avestruces hembras deber adquirir y criar. Sabe que un ejemplar macho por adquisicin y cra demanda un gasto de 500 soles y una hembra 450 soles. Si al cabo de los 5 meses un macho logra un peso de 25 kilos en carne y 2 kilos de plumas, mientras que una hembra alcanza 18 kilos en carne, 1.9 kilos de plumas y 40 huevos; determinar el plan ptimo de produccin. Procedimiento de solucin.- a) Planteamiento del problema: Razonamos: Al granjero le interesa cubrir el pedido con el mnimo gasto, tal es su objetivo. Entonces, Cuntos avestruces machos y cuntos avestruces hembras deber adquirir y criar? Tales son las variables del problema, que designaremos por M y H, respectivamente. La funcin objetivo:

    F.O.: 500 M + 450 H = Costo Las restricciones:

    huevos700H40

    plumasdekilos280H9.1M2

    carnedekilos2800H18M25

    Resolveremos el problema por el mtodo grfico, el mtodo simplex manualmente y por computadora con el programa TORA. A) Mtodo grfico Dibujamos en un cuadrante de los ejes cartesianos los lmites de las restricciones, es decir, las rectas que constituyen las fronteras de cada semiplano. Para ello asumimos cada restriccin como una recta (obviamos el signo de desigualdad >), y fijamos dos puntos para trazar cada una de ellas.

  • Respuesta: a) Mezcla ptima: Deben adquirirse 121,74 hembras y 24,35 machos b) Costo mnimo: S/. 66 958 c) Se cubre exactamente los requerimientos de carne y plumas d) La produccin de huevos excede a lo solicitado en 4 169,6 unidades

  • B) Mtodo simplex (manualmente y con aproximacin a dos decimales). Vamos a representar la variable cantidad de avestruces machos por la letra Y y la variable cantidad de hembras por la letra X.

    Nota: Para la minimizacin seguimos la misma rutina que para la maximizacin, previa transformacin de la funcin objetivo (multiplicamos ambos miembros por 1). Al interpretar la ltima tabla simplex hay que tener cuidado con algunos signos, como veremos a continuacin.

    Hemos desarrollado 5 tablas simplex, en el rengln Z c de la ltima tabla ya no quedan valores positivos, hemos llegado a la respuesta, que pasamos a interpretar. (194 M es negativo porque M nos representa un valor elevado con respecto a los costos de los avestruces machos o hembras, por ejemplo M sera 1000 una cantidad mayor) Respuesta.- a) Mezcla ptima: Se deben adquirir 24,35 avestruces machos y 121,74 hembras. b) El costo mnimo es S/. 66 958 c) Se cumplen exactamente las cantidades pedidas de carne y plumas d) Se tiene en exceso 4 169,56 huevos e) Si la carne exigida aumentara en un kilo, el costo subira en S/.4,35, como efecto del reajuste

    consiguiente en la produccin: Se compraran 0,165 avestruces machos ms y se reducira la compra de hembras en 0,174 unidades y se reducira en 6,96 la produccin de huevos.

    e) Si las plumas exigidas aumentaran en un kilo, el costo subira en S/.195,8, como efecto del consiguiente reajuste en la produccin: Se compraran 2,174 hembras adicionales y se dejara de comprar 1,565 machos, a su vez que la produccin de huevos aumentara en 86,96 unidades.

  • C) Por computadora: El reporte del programa TORA: *** OPTIMUM SOLUTION SUMMARY *** --------------------------------------------------------------------------------------------------- Objective value (min) =66956.5234 ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Variable Value Obj Coeff Obj Val Contrib Reduced Cost ---------------------------------------------------------------------------------------------------- x1 macho 24.3478 500.0000 12173.9053 0.0000 x2 hembra 121.7392 450.0000 54782.6172 0.0000 ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Constraint RHS Slack(-)/Surplus(+) Dual Price ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 1 (>) 2800.0000 0.0000+ 4.3478 2 (>) 280.0000 0.0000+ 195.6522 3 (>) 700.0000 4169.5659+ 0.0000 *** SENSITIVITY ANALYSIS *** ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Variable Current Coeff Min Coeff Max Coeff Reduced Cost ------------------------------------------------------------------------------------------------------ x1 macho 500.0000 473.6842 625.0000 0.0000 x2 hembra 450.0000 360.0000 475.0000 0.0000 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Constraint Current RHS Min RHS Max RHS Dual Price ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 (>) 2800.0000 2652.6317 3399.3751 4.3478 2 (>) 280.0000 232.0500 295.5555 195.6522 3 (>) 700.0000 -infinity 4869.5659 0.0000 Interpretamos este reporte, al que se llega luego de tres iteraciones (tablas de simplex). a) Mezcla ptima: Se deben adquirir y criar 24,3478 avestruces machos y 121,7392 hembras. b) Costo mnimo: S/. 66 956,5234 c) Se cubren exactamente las cantidades solicitadas de carne y plumas. d) Se produce en exceso 4 169, 5659 huevos. e) Si aumentara en un kilo la carne exigida, entonces, el costo aumentara en S/.4,3478. f) Si aumentara en un kilo la pluma exigida, entonces, el costo aumentara en S/.195,6522 g) Anlisis de sensibilidad de los costos de adquisicin de los avestruces. La mezcla ptima o

    programa de produccin no cambiar mientras el costo de un avestruz macho flucte entre 473.6842 y 625 soles. La mezcla ptima no cambiar mientras el precio de un avestruz hembra flucte entre 360 475 soles

    h) Anlisis de sensibilidad de las cantidades solicitadas de carne. Mientras la cantidad solicitada de carne flucte entre 2652.6317 y 3399.3751 kilos el precio dual no cambiar, es decir, por cada kilo de carne adicional (o de menos) solicitado el costo aumentar (disminuir) en 4.3478 soles mientras los cambios no superen los lmites indicados.

    i) Anlisis de sensibilidad de las cantidades solicitadas de plumas. Mientras la cantidad solicitada de plumas flucte entre 232.0500 y 295.5555 kilos el precio dual no cambiar, es decir, por cada kilo de plumas adicional (o de menos) solicitado el costo aumentar (disminuir) en 195.6522 soles mientras los cambios no superen los lmites indicados.

    j) Anlisis de sensibilidad de las cantidades solicitadas de huevos. Mientras la cantidad solicitada de huevos flucte entre infinity y 4 869,5659 el costo no se modificar, es decir, por cada huevo adicional solicitado el costo no se altera mientras no se supere el lmite mayor indicado, ni se

  • reduce por mucho que disminuya la cantidad de huevos solicitada. O lo que es lo mismo la mezcla no vara.

    Problema 3. Una familia de granjeros posee 100 topos de tierra y tiene S/. 30 000 en fondos disponibles para inversin. Sus miembros pueden producir un total de 3 500 horas-hombre de mano de obra durante los meses de invierno y 4 000 horas-hombre durante el verano. Si no se necesitan cualesquiera de estas horas-hombre, los miembros ms jvenes de la familia las usarn para trabajar en una granja vecina por S/. 4,00 la hora durante los meses de invierno y S/. 4,50 la hora durante el verano. El ingreso de efectivo puede obtenerse a partir de 3 cultivos y 2 tipos de animales: vacas lecheras y gallinas ponedoras. No se necesita invertir para los cultivos. Sin embargo, cada vaca requerir un desembolso de S/. 900,00 y cada gallina requerir S/. 7,00 Cada vaca requerir 1,5 topos de tierra, 100 horas-hombre de trabajo durante los meses de invierno y 50 horas hombre durante el verano. Cada vaca producir un ingreso anual en efectivo de S/. 800,00 para la familia,. Los valores correspondientes para las gallinas son: nada de tierra, 0,6 horas-hombre durante el invierno, 0,3 horas-hombre durante el verano y un ingreso anual neto en efectivo de S/. 5,00 por gallina. El gallinero puede acomodar un mximo de 3 000 gallinas y el tamao del granero limita el rebao a un mximo de 32 vacas. Las horas-hombre y los ingresos estimados por topo plantado en cada uno de los 3 cultivos son:

    Frijol de soya Maz Avena

    Horas-hombre en invierno Horas-hombre en verano Ingreso anual neto en efectivo

    20 50

    S/. 375

    35 75

    S/. 550

    10 40

    S/. 250 Planteamiento del problema.- La familia de granjeros puede obtener ingresos por el cultivo de frijol, maz y avena, tambin por la crianza de vacas y gallinas, as como por la venta de su fuerza de trabajo. En estos trminos planteamos la funcin objetivo: 375 F + 550 M + 250 A + 800 V+ 5 G + 4 I + 4,5 E = ingresos (maximizar) Las restricciones.- Tienen 100 topos de terreno que son requeridos por los cultivos y por las vacas.

    100V5.1AMF Tienen 30000 soles que deben financiar la compra de vacas y gallinas

    30000G7V900 Tienen en invierno 3500 horas de trabajo para dedicarlas a las labores de la granja y para trabajar en la granja vecina

    3500IG6.0V100A10M35F20 Tienen en verano 4000 horas de trabajo para dedicarlas a las labores de la granja y para trabajar en la granja vecina

    4000EG3.0V50A40M75F50

  • El gallinero puede albergar a 3000 gallinas

    3000G El granero slo puede contener el alimento para 32 vacas

    32V En conjunto la funcin objetivo y las restricciones:

    granero32V

    gall inero3000G

    veranoH/H4000EG3.0V50A40M75F50

    inviernoH/H3500IG6.0V100A10M35F20

    Soles30000G7V900

    Topos100V5.1AMF:.a.s

    (max)IngresoE5.4I4G5V800A250M550F375:.O.F

    El reporte del programa TORA: *** OPTIMUM SOLUTION SUMMARY *** ---------------------------------------------------------------------------------------------- Objective value (max) =40693.7500 ----------------------------------------------------------------------------------------------- Variable Value Obj Coeff Obj Val Contrib Reduced Cost ----------------------------------------------------------------------------------------------- x1 frijol 56.2500 375.0000 21093.7500 0.0000 x2 maiz 0.0000 550.0000 0.0000 39.0625 x3 avena 0.0000 250.0000 0.0000 18.1250 x4 vacas 5.7500 800.0000 4599.9990 0.0000 x5 gallina 3000.0000 5.0000 15000.0000 0.0000 x6 inviern 0.0000 4.0000 0.0000 1.3125 x7 verano 0.0000 4.5000 0.0000 0.8750 ----------------------------------------------------------------------------------------------- Constraint RHS Slack(-)/Surplus(+) Dual Price ----------------------------------------------------------------------------------------------- 1 (

  • x6 inviern 4.0000 -infinity 5.3125 1.3125 x7 verano 4.5000 -infinity 5.3750 0.8750 ----------------------------------------------------------------------------------------------- Constraint Current RHS Min RHS Max RHS Dual Price ----------------------------------------------------------------------------------------------- 1 (
  • de menos) el ingreso aumentar (disminuir) en 5,375 soles mientras los cambios no superen los lmites indicados

    - La capacidad del gallinero puede fluctuar entre 0 y 3.958,333 gallinas y no vara el precio dual 0,20, es decir, por cada gallina que se puede acomodar adicionalmente (o de menos) el ingreso aumentar (disminuir) en S/.0,20 mientras los cambios no superen los lmites indicados.

    - La capacidad del granero puede fluctuar entre 5,75 e infinity vacas y el ingreso no vara o, lo que es lo mismo, la mezcla no cambia. La razn: est sobrando capacidad para atender 26,25 vacas (32 5,75 = 26,25). No pagara nada por ampliar la capacidad del granero.

    Problema 4.- Un granjero tiene 50 acres de campo que puede utilizar indistintamente para sembrar trigo o maz. Los rendimientos son de 60 bushels por acre de trigo y 95 bushels por acre de maz. Los requerimientos de mano de obra son de cuatro horas anuales por acre, con un adicional de 0,15 horas por acre de maz. El trigo se vende a 1,75 dlares por bushels y el maz 0,95 dlares por bushels. A su vez el trigo y el maz pueden comprarse a 1,80 dlares y 1,30 dlares por bushels, respectivamente. El granjero puede dedicarse tambin a criar cerdos y/o vacas. Los cerdos se venden a 80 dlares cuando tienen un ao de edad y las vacas a 100 dlares. Los requerimientos alimenticios de un cerdo son de 25 bushels de trigo 20 bushels de maz por ao; tambin requiere 25 horas de trabajo y 25 pies cuadrados de espacio cubierto. Una vaca requiere 25 bushels de trigo 20 bushels de maz, 40 horas de trabajo y 30 pies cuadrados de espacio cubierto. El granjero dispone de 10.000 pies cuadrados de espacio cubierto y puede utilizar 420 horas de trabajo de su familia. Puede contratar personal adicional a 1,50 dlares la hora, debiendo dedicar en este caso 0,15 horas de su tiempo a tareas de supervisin de cada hora contratada. Se desea averiguar cul ser la distribucin de recursos del granjero que maximice sus ingresos y la consiguiente cantidad de acres sembrados de cada producto y la produccin anual de cerdos y vacas. Planteamiento del problema: La lectura del problema nos permite hacer las siguientes precisiones: - El propietario del fundo puede obtener ingresos por el cultivo de trigo y maz y la cra de cerdos y vacas. El programa de produccin se complica porque los cerdos y vacas pueden consumir trigo y/o maz producido en la granja, como tambin trigo y/o maz adquiridos externamente; por consiguiente, hay que distinguir los ingresos que puede obtener la granja por dedicar acres de tierra a la produccin de trigo y maz para vender, los ingresos por vender cerdos y vacas alimentados con trigo y/o maz producidos en acres de tierra de la granja y los ingresos por vender cerdos y vacas alimentados con trigo y maz adquiridos externamente. La funcin objetivo sera:

    .(max)IngVm74Vt55Cm54Ct35VM100VT100CM80CT80MN25.90TN105

    donde: TN : Acres cultivados con trigo para vender o hacer negocio (105 = 60 x 1,75) MN: Acres cultivados con maz para vender o hacer negocio (90,25 = 95 x 0,95) Ct: Cerdos criados con trigo producido en la granja. (80 : precio de venta de 1 cerdo) CM: Cerdos criados con maz producido en la granja. (Idem) VT: Vacas criadas con trigo producido en la granja. (100: precio de venta de 1 vaca) VM: Vacas criadas con maz producido en la granja. (Idem) Ct: Cerdos criados con trigo adquirido. (35 = 80 25 x 1,80) Cm: Cerdos criados con maz adquirido. (54 = 80 20 x 1,30) Vt: Vacas criadas con trigo adquirido. (55 = 100 25 x 1,80) Vm: Vacas criadas con maz adquirido. (74 = 100 20 x 1,30)

  • Vamos por las restricciones: - Para sembrar trigo y maz para vender o alimentar cerdos y vacas tiene disponibles 50 acres. Este es el lmite o restriccin para las 6 primeras variables del listado anterior (desde TN, acres cultivados con trigo para vender o hacer negocio, hasta VM, vacas criadas con maz producido en la granja). Si slo a una de estas variables le dedicamos los 50 acres de la granja, la produccin de cada una de las dems variables es igual a cero y la variable escogida asumir el valor mximo que puede producirse de ella. Este enunciado se cumplir en la restriccin si determinamos correctamente los coeficientes de las variables. Por ejemplo, Cul debe ser el coeficiente de TN? Debe ser 1, si las dems variables son ceros queda TN = 50 que es el mximo de acres que se pueden dedicar a cultivar trigo. Otro ejemplo, el enunciado los requerimientos alimenticios de un cerdo son de 25 bushels de trigo 20 bushels de maz por ao, implica que la variable cerdos criados con trigo producido en la granja tendr el coeficiente 1/2,4 (dado que si un acre puede producir 60 Bushels de trigo puede sostener 2,4 cerdos, 2,4= 60/25 ), as, si la granja slo se dedicara a criar estos cerdos obtendr 120 cerdos; la variable Cerdos criados con maz producido en la granja tendr el coeficiente 1/4,75 (dado que un acre puede producir 95 Bushels de maz puede sostener 4,75 cerdos, 4,75= 95/20 ), por tanto, si la granja slo se dedicara a criar estos cerdos obtendr 237,5 cerdos.

    50VM75.4

    1VT

    4.2

    1CM

    75.4

    1CT

    4.2

    1MNTN

    - Se tienen 10,000 pies cuadrados de espacio cubierto para criar cerdos o vacas, cada cerdo requiere 25 pies y cada vaca 30 pies, cualquiera sea el trigo y maz con que son alimentados. La restriccin ser:

    10000Vm30Vt30Cm25Ct25VM30VT30CM25CT25 - La granja tiene 420 horas de mano de obra familiar y puede contratar personal ajeno (w) si faltara mano de obra, sin olvidar que deber dedicar 0,15 horas de su tiempo a la supervisin de cada hora contratada. As, el total de mano de obra de que puede disponer la granja es igual a 420 + w 0,15w, y la restriccin ser:

    420w85.0Vm40Vt40Cm25Ct25VM40VT40CM25CT25MN15.4TN4 Tenemos una nueva variable que debemos agregar a la funcin objetivo. La variable w (mano de obra contratada) requiere por hora un gasto de $1.5, en consecuencia la funcin objetivo queda:

    .(max)Ingw5.1Vm74Vt55Cm54Ct35VM100VT100CM80CT80MN25.90TN105

    Finalmente, como la cantidad de trabajo de la familia que se puede distraer en la supervisin de los contratados no puede ser mayor a 420, derivamos la restriccin 420W15.0 . As, queda planteado el problema:

  • 420w15.0

    420w85.0Vm40Vt40Cm25Ct25VM40VT40CM25CT25MN15.4TN4

    10000Vm30Vt30Cm25Ct25VM30VT30CM25CT25

    50VM21053.0VT41667.0CM21053.0CT41667.0MNTN:.a.s

    )Max(IngW5.1Vm74Vt55Cm54Ct35VM100VT100CM80CT80MN25.90TN105

    :.O.F

    Y el reporte del TORA: *** OPTIMUM SOLUTION SUMMARY *** ------------------------------------------------------------------------------------------------ Objective value (max) = 7280.8994 ------------------------------------------------------------------------------------------------- Variable Value Obj Coeff Obj Val Contrib Reduced Cost ------------------------------------------------------------------------------------------------- x1 TrigoN 27.3416 105.0000 2870.8723 0.0000 x2 MaizN 0.0000 90.2500 0.0000 15.1095 x3 CerTri 0.0000 80.0000 0.0000 19.6686 x4 CerMaiz 107.6253 80.0000 8610.0273 0.0000 x5 VacTrig 0.0000 100.0000 0.0000 35.6161 x6 VacMaiz 0.0000 100.0000 0.0000 15.9475 x7 Certrig 0.0000 35.0000 0.0000 24.9125 x8 CerMaiz 0.0000 54.0000 0.0000 5.9125 x9 Vactrig 0.0000 55.0000 0.0000 40.8600 x10 vacmaiz 0.0000 74.0000 0.0000 21.8600 x11 work 2800.0000 -1.5000 -4200.0000 0.0000 --------------------------------------------------------------------------------------------------- Constraint RHS Slack(-)/Surplus(+) Dual Price --------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 (

  • --------------------------------------------------------------------------------------------- Constraint Current RHS Min RHS Max RHS Dual Price ---------------------------------------------------------------------------------------------- 1 (
  • elevado y la mezcla no cambiar. Y si el precio de compra de un bushel de trigo no cambia, el precio de venta del cerdo puede variar entre un precio muy barato y 104,9125 dlares y la mezcla no vara.

    - El beneficio de un cerdo criado con maz comprado puede variar entre uno muy reducido y 59,9125 dlares y la mezcla no cambiar. Es decir, si el precio de venta de un cerdo no cambia, el precio de compra de un bushel de maz puede variar entre 1,004375 dlares y un precio muy elevado y la mezcla no cambiar. Y si el precio de compra de un bushel de maz no cambia, el precio de venta del cerdo puede variar entre un precio muy barato y 85,9125 dlares y la mezcla no vara.

    - El beneficio de una vaca criada con trigo comprado puede variar entre uno muy reducido y 95,86 dlares y la mezcla no cambiar. Es decir, si el precio de venta de una vaca no cambia, el precio de compra de un bushel de trigo puede variar entre 0,1656 dlares y un precio muy elevado y la mezcla no cambiar. Y si el precio de compra de un bushel de trigo no cambia, el precio de venta de la vaca puede variar entre un precio muy barato y 140,86 dlares y la mezcla no vara.

    - El beneficio de una vaca criada con maz comprado puede variar entre un precio muy barato y 95,86 dlares y la mezcla no cambiar. Es decir, si el precio de venta de una vaca no cambia, el precio de compra de un bushel de maz puede variar entre 0,207 dlares y un precio muy elevado y la mezcla no cambiar. Y si el precio de compra de un bushel de maz no cambia, el precio de venta de la vaca puede variar entre un precio muy barato y 121,86 dlares y la mezcla no vara.

    - El precio de la mano de obra contratada puede variar entre muy barato y 2,0370 dlares por hora y no cambia la mezcla.

    i) Anlisis de sensibilidad de los stocks de recursos. - El stock de tierra puede fluctuar entre 23,5794 y 700 acres y el precio dual no vara, es decir, por

    cada acre en que descienda el stock disponible el ingreso baja en $95,414; cuando el stock descienda por debajo de 23,5794 acres, entonces, cambiar (seguro subir, porque al escasear la tierra sube su valor) la reduccin en el ingreso atribuible a un acre. Y, a la inversa, por cada acre en que suba el stock disponible el ingreso subir en $95,414; cuando el stock suba por encima de 700 acres el incremento en el ingreso atribuible a un acre cambiar (seguro bajar, porque al abundar la tierra baja su valor)

    - El stock de espacio cubierto que actualmente es de 10.000 puede variar entre 2.690,6333 e infinito y no vara su precio dual que es cero. Quiere decir, si bajara en un pie el espacio cubierto no vara el ingreso, as hasta descender a 2690,6333 pies, porque abunda este espacio y la mezcla ptima slo requiere esta cantidad; pero, si sigue bajando entonces cambia este precio dual (seguro subir porque al escasear el espacio cubierto sube su valor). Inversamente, puede aumentar el stock de este recurso hasta el infinito y no sucede nada con el ingreso ptimo, porque este recurso es abundante y est sobrando, exactamente en 7.309,3667 pies.

    - El stock de mano de obra de la granja puede variar entre cero y 3.557,3962 horas y el precio dual no vara. Es decir, por cada hora de trabajo que se pierda (que no se utilice) el ingreso baja en $5,9767 y, a la inversa, por cada hora adicional disponible de trabajo de la granja el ingreso sube en esa misma cantidad hasta el lmite de 3.557,3962 horas. Superado este lmite el ingreso atribuible a una hora adicional de trabajo cambia (seguro baja porque al abundar mano de obra baja su valor)

    Problema 5.- Un productor de aluminio fabrica una aleacin especial que l garantiza que contiene 90% o ms de aluminio, entre 5% y 8% de cobre, y el resto de otros metales. La demanda para esta aleacin es muy incierta de modo que el productor no mantiene un stock disponible. El ha recibido una orden por 1000 libras a $0,45/libra. La aleacin debe hacerse a partir de barras de 2 tipos de materiales de desecho, de cobre puro y de aluminio puro. El anlisis de los materiales de desecho es el siguiente:

  • Al Cu Otros

    Material de desecho I Material de desecho II

    95% 85%

    3% 1%

    2% 14%

    Los costos son:

    $/lbs

    Material de desecho I Material de desecho II Aluminio puro Cobre puro

    0,15 0,05 0,50 0,60

    Cuesta $0,05 fundir una libra de metal. Se tienen ms de 1000 libras de cada tipo de metal disponible. Cmo debe el productor cargar su ahorro de modo que maximice su utilidad. Razonando: El dilema del productor es cmo va a producir la aleacin, a partir de la mezcla de qu barras? de desecho I, de desecho II, aluminio puro y/o cobre puro?. Barras que se diferencian por el costo y el contenido de aluminio y cobre. El costo por s mismo es importante y el contenido porque hay lmites o topes que se deben respetar: mnimo 90% de aluminio y mnimo 5% y mximo 8% de cobre. Hay informacin en el enunciado del problema que no es necesario utilizar en el modelo de programacin lineal, as: - El precio que le van a pagar por libra de la aleacin $ 0,45. Esta informacin podemos utilizarla luego de conocer la respuesta que resulte de resolver el programa lineal, entonces podemos determinar la utilidad, restando del valor recibido por las 1 000 libras de la aleacin el costo de la mezcla de las barras fundidas. Por tanto, ya que est dado el precio o ingreso por la aleacin lo que queda al productor es buscar como hacer la aleacin al mnimo costo. Nota: Este precio de $0,45 no se debe relacionar con los costos de adquisicin y de fundicin de cada material, porque as tendramos que maximizar beneficios, funcin objetivo que no correspondera (conducira a error) al problema presentado, en que aquel precio es lo que se recibe por la aleacin y no por cada material. - La disponibilidad de cada tipo de material para obtener la aleacin. Se tiene ms de 1000 libras de cada tipo de metal disponible, por tanto ninguna de las cantidades disponibles de barras resulta tener carcter crtico (a ser tomado en cuenta) para el productor. Planteamiento del problema: La funcin objetivo: Se deduce fcilmente, hay que producir una aleacin a partir de materiales cuyos costos son diferentes, por tanto, la funcin objetivo vendr especificada en trminos de costo de produccin (costo de adquisicin de cada material ms el costo de fundirlo), que depender (estar en funcin) de las cantidades que se empleen de cada tipo de material. Entonces, las variables son: Cantidad de material de desecho I (DI), cantidad de material de desecho II (DII), cantidad de aluminio puro (A) y cantidad de cobre puro (C). As, proponemos: F.O.: 0,20DI + 0,10DII + 0,55A + 0,65C = Costo (Minimizar) Las restricciones: - Que la aleacin contenga 90% o ms de aluminio, quiere decir que de las 1000 libras de peso de la aleacin, como mnimo 900 deben ser aluminio. Pues bien, tres de los ingredientes contienen aluminio, por ejemplo, desecho I contiene aluminio en un 95%, por tanto 0,95DI ser la cantidad de aluminio con que contribuir a la aleacin este ingrediente; La restriccin vendra a ser:

    900ADII85.0DI95.0

  • - Que la aleacin contenga entre 5% y 8% de cobre, quiere decir que la aleacin debe contener como mnimo 5% y como mximo 8% de cobre. Siguiendo el mismo razonamiento que en la restriccin anterior, la 2da. Y 3ra. restriccin seran:

    80CDII01.0DI03.0.......y.......50CDII01.0DI03.0

    - Dados los mnimos exigidos de aluminio y cobre debemos incluir el mximo de otros metales que debe contener la aleacin: 50DII14.0DI02.0 - Para garantizar exactamente la obtencin de la cantidad ordenada por el cliente, incluimos una cuarta restriccin:

    1000CADIIDI . En consecuencia, el problema queda planteado:

    .Lbs1000CADIIDI

    metalesOtros.Lbs50DII14.0DI02.0

    cobre.Lbs80CDII01.0DI03.0

    cobreLbs50CDII01.0DI03.0

    iominalu.Lbs900ADII85.0DI95.0:.a.s

    (min)CostoC65.0A55.0DII10.0DI20.0:.O.F

    Y, el programa TORA nos da el siguiente reporte: *** OPTIMUM SOLUTION SUMMARY *** ----------------------------------------------------------------------------------------------- Title: METAL Final iteration No: 6 Objective value (MIN) = 186.2069 ----------------------------------------------------------------------------------------------- Variable Value Obj Coeff Obj Val Contrib Reduced Cost ----------------------------------------------------------------------------------------------- x1 DI 719.8276 0.2000 143.9655 0.0000 x2 DII 254.3103 0.1000 25.4310 0.0000 x3 ALU 0.0000 0.5500 0.0000 -0.3483 x4 COBR 25.8621 0.6500 16.8103 0.0000 ----------------------------------------------------------------------------------------------- Constraint RHS Slack(-)/Surplus(+) Dual Price ----------------------------------------------------------------------------------------------- 1 (>) 900.0000 0.0000+ 0.0000 2 (>) 50.0000 0.0000+ 0.4483 3 (

  • x2 DII 0.1000 -1.9200 0.1907 0.0000 x3 ALU 0.5500 0.2017 infinity -0.3483 x4 COBR 0.6500 0.2167 5.0500 0.0000 ----------------------------------------------------------------------------------------------- Constraint Current RHS Min RHS Max RHS Dual Price ----------------------------------------------------------------------------------------------- 1 (>) 900.0000 -infinity 900.0000 0.0000 2 (>) 50.0000 25.0000 50.0000 0.4483 3 (