TALLER METODOS CUANTITATIVOSAPLICADO AL PROGRAMA TORA

ALVARO JOSE ARTEAGA CASTAÑOJEFFRY ARTEAGA RODRÍGUEZ

JULIAN VALENCIA MORALESJOSE EDELMAR OBANDO

CORPORACIÓN UNIVERSITARIA CENTRO SUPERIORFACULTAD DE INGENIERIAS

PROGRAMA DE INGENIERIA INDUSTRIALSANTIAGO DE CALI

2015

TALLER METODOS CUANTITATIVOSAPLICADO AL PROGRAMA TORA

ALVARO JOSE ARTEAGA CASTAÑOJEFFRY ARTEAGA RODRÍGUEZ

JULIAN VALENCIA MORALESJOSE EDELMAR OBANDO

Docente: Jhon Jairo Salazar Arenas Ing. Esp. en Automatización

CORPORACIÓN UNIVERSITARIA CENTRO SUPERIORFACULTAD DE INGENIERIAS

PROGRAMA DE INGENIERIA INDUSTRIALSANTIAGO DE CALI

2015

INTRODUCCIÓN

En el siguiente Taller de programación lineal a través de la herramienta informática TORA, se realizaron varios ejercicios que buscan minimizar costos o maximizar las ganancias, cuando se tienen dos o más variables para la solución de un problema.

Lo anterior, incentiva al personal estudiantil a colocar en práctica herramientas útiles para el desarrollo de problemas donde se necesite la declaración de variables y se pueda obtener una solución óptima.

Para desarrollar este taller se aplicaron los conceptos vistos en clase y utilización de una herramienta diferente a las anteriormente aplicadas, dicha herramienta agiliza y facilita los cálculos para hallar los valores de cada variable, aplicando en tiempo más breve los conceptos de programación lineal y obteniendo la solución óptima al problema planteado.

1. En una productora de dulces, se preparan dos surtidos para lanzarlos al mercado. El primero se vende a $450 y contiene 150 gramos de manjar blanco,100 gramos de uvas pasas y 80 gramos de mermelada. El segundo surtido se vende a $560 y contiene 200 gramos de manjar blanco, 100 gramos de uvas pasas y 100 gramos de mermelada. Se dispone de un total de 200 kilogramos de manjar blanco, 130 kilogramos de uvas pasas y 104 kilogramos de mermelada. Una empresa de embalajes sólo le puede suministrar 1200 cajas. ¿Cuántos surtidos de cada tipo convendrían fabricar para que el beneficio sea máximo?.

Solución Ejercicio 1

X1 = Cantidad de surtidos tipo 1X2 = Cantidad de surtidos tipo 2

Maximizar:Z= 450X1 + 560X2

Restricciones:150X1 + 200X2 ≤ 200.000100X1 + 100X2 ≤ 130.00080X1 + 100X2 ≤ 104.000X1 + X2 ≤ 1200X1, X2 ≥ 0

R// Conviene fabricar 800 surtidos tipo 1 y 400 surtidos tipo 2 para obtener un beneficio máximo de $584.000.

2. Una empresa de pulpa de papel cuenta con dos regiones forestales, una región I y la región II y a su vez dos molinos, A y B. Las capacidades de suministro mensual de madera que poseen las regiones I y II son 120 y 250 toneladas, respectivamente. El molino A necesita de por lo menos 200 toneladas de madera al mes y el B al menos 150 al mes. Los costes de transporte en unidades monetarias por tonelada de cada región a cada molino son los siguientes: 5 de la región I al molino A, 4 desde la región I al molino B, 5 desde la región II al molino A, y 6 desde la región II al molino B. ¿Qué cantidad de madera debe transportarse desde cada región I y II a cada molino A y B para que se minimice el coste total de transporte? ¿Cuál ese coste mínimo? ¿Hay algún trayecto que no debe realizarse para conseguir dicho coste mínimo?.

X1 = Toneladas de transporte de Región I a molino AX2 = Toneladas de transporte de Región I a molino BX3 = Toneladas de transporte de Región II a molino AX4 = Toneladas de transporte de Región II a molino B

Minimizar:Z = 5X1 + 4X2 + 5X3 + 6X4

Restricciones:X1 + X2 ≤ 120X3 + X4 ≤ 250X1 + X3 ≥ 200X2 + X4 ≥ 150X1, X2, X3, X4≥ 0

¿Qué cantidad de madera debe transportarse desde cada región I y II a cada molino A y B para que se minimice el coste total de transporte?

R// La cantidad de madera que debe transportarse desde cada region hacia los diferentes molinos para que el costo sea minimo, es la siguiente:- De la región I al molino A se deben transportar o toneladas.- De la región I al molino B se deben transportar 120 toneladas.- De la región II al molino A se deben transportar 200 toneladas.- De la región II al molino B se deben transportar 30 toneladas.

¿Cuál ese coste mínimo?

R// Con las cantidades de transporte mencionadas anteriormente lograremos minimizar el coste de transporte a 1660 unidades monetarias.

¿Hay algún trayecto que no debe realizarse para conseguir dicho coste mínimo?

R// Si, para que el coste de transporte sea mínimo, no se debe realizar la ruta de la región I al molino A.

3. Una empresa produce sofás y camas para los que se requiere de dos secciones de producción: la sección de montaje y la sección de pintura. La producción de un sofá requiere 1 hora de trabajo en la sección de montaje y de 2 horas en la de pintura. Por su parte, la fabricación de una cama requiere de 3 horas en la sección de montaje y de 1 hora en la de pintura. La sección de montaje sólo labora 9 horas diarias, mientras que la de pintura 8 horas. El beneficio produciendo camas es el doble que el de sofás. ¿Cuál ha de ser la producción diaria de camas y sofás para que el beneficio sea máximo?.

X1 = Producción de sofás.X2 = Producción de camas.

Maximizar:Z = 1X1 + 2X2

Restricciones:1X1 + 3X2 ≤ 92X1 + 1X2 ≤ 81X1 + 1X2 ≥ 0

R// La producción diaria de camas y sofás para que el beneficio sea máximo debe ser de 3 sofás y 2 camas obteniendo un beneficio de 7 veces el valor de la venta de un sofá.

4. Un empresario posee 100 hectáreas de terreno y desea destinarlo para cultivar dos tipos de cereal: arroz y arveja, plantar dos tipos de frutas mangos y lulos y reforestar: para lo cual se plantarán trufas y arboles llamados chopos. Los beneficios que se obtienen por cada hectárea cultivada de arroz y arveja son respectivamente 3 y 2.5 unidades monetarias; así mismo, así mismo para cada hectárea de mangos se obtienen 3.5 unidades monetarias y por cada hectárea de lulos, 4 unidades monetarias.Por otro lado, se obtiene una subvención por la reforestación y se otorgan 5 unidades monetarias por cada hectárea de trufa y 4.5 unidades monetarias por cada hectárea de chopos. De acuerdo a las normas de la explotación, se obliga a utilizar al menos el 40% del total de la tierra en el cultivo de los cereales y como máximo un 35% de la tierra en cualquiera de las otras dos labores, ya sea siembra de frutas o reforestación. Calcular cómo ha de repartirse la tierra para obtener un máximo beneficio.

X1 = hectáreas cultivadas de Arroz.X2 = hectáreas cultivadas de ArvejaX3 = hectáreas plantadas de MangosX4 = hectáreas plantadas de LulosX5 = hectáreas plantadas de TrufasX6 = hectáreas plantadas de Chopos

Maximizar:Z = 3 X1 + 2,5 X2 + 3,5 X3 + 4 X4 + 5 X5 + 4,5 X6

Restricciones:X1 + X2+ X3 + X4 + X5 + X6 ≤ 100X1 + X2 ≥ 0,40 (100) X1 + X2 ≥ 40X3 + X4 ≤ 0,35 (100) X3 + X4 ≤ 35X5 + X6 ≤ 0,35 (100) X5 + X6 ≤ 35 X1 + X2+ X3 + X4 + X5 + X6 ≥ 0

R// Para obtener un máximo beneficio, la tierra debe repartirse de la siguiente manera: Se debe cultivar 40 hectáreas de Arroz, plantar 25 hectáreas de Lulos y reforestar 35 hectáreas de trufas para obtener un beneficio máximo de 395 unidades monetarias, de acuerdo a esto, no se debe contemplar la opción de cultivar arveja, plantar mangos y reforestar chopos ya que nos disminuirá el beneficio.

5. En una granja, se tienen 20 cerdos que consumen 90 kilogramos de comida especial todos los días. Dicha comida se prepara mezclando maíz y harina de soya con las siguientes composiciones:

Alimento Calcio Proteína Fibra Costo

Maíz 0.01 0.09 0.02 200Harina de

Soya0.02 0.60 0.06 300

Las cantidades de calcio, proteínas y fibra mostradas en la tabla, están en kilogramos y son las presentes en cada kilogramo de alimento correspondiente, el costo del alimento está representado en unidades monetarias.Los requisitos diarios de alimento de los cerdos son:Como mínimo el 1% de calcioComo mínimo 30% de proteínasMáximo 5% de fibraDetermine la mezcla con el mínimo de costo diario.

Para resolver el problema, primero pasamos las unidades de Kilogramos a gramos y así poder introducir las variables en el TORA.

X1 = Cantidad de maíz en gramos por gramo de alimentoX2 = Cantidad de Harina de soya en gramos por gramo de alimento

Minimizar:Z = 200X1 + 300X2

Restricciones:10X1 + 20X2 ≥ 0,01 (90.000) 10X1 + 20X2 ≥ 90090X1 + 600X2 ≥ 0,30 (90.000) 90X1 + 600X2 ≥ 27.00020X1 + 60X2 ≤ 0,05 (90.000) 20X1 + 60X2 ≤ 4.500X1, X2 ≥ 0

R// Para obtener una mezcla con el mínimo costo diario se debe utilizar 45 gramos de Harina de Soya, obteniendo un mínimo costo de 13500 unidades monetarias.

CONCLUSIONES

En el desarrollo del presente taller se pudo aplicar lo aprendido en programación lineal aplicando el método gráfico y algebraico a través del software TORA, se puede precisar que esta herramienta es útil en la solución de problemas cuando se tienen dos o más variables a estudiar.

El uso del TORA aumenta la credibilidad en las respuestas obtenidas en cada ejercicio, además disminuye el tiempo requerido para la solución de estos.

Al resolver los ejercicios planteados se encontró la mejor opción para maximizar o minimizar el problema y optimizar los recursos solicitados en cada ejercicio.