PROGRAMACIÓN LINEALProf. Gustavo Adolfo Bojórquez Márquez

MATEMÁTICA

5to de Secundaria

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Presentación

PresentaciónLa programación lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de inecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc.Función objetivoEn esencia la programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de varias variables:f(x,y) = ax + by.

George Bernard Dantzig nació el 8 de Noviembre de 1914 en Portland, Oregon, EEUU

Para atender a sus clientes, un almacén de frutas debe tener almacenado un mínimo de 10 toneladas de naranjas y 20 toneladas de sandia.El número de toneladas de sandías no debe ser inferior a la mitad del número de toneladas de naranjas. Si el gasto de almacenaje de una tonelada de naranjas es de S/. 200 y el de una tonelada de sandías es S/. 300, y la capacidad total del almacén es 80 toneladas, ¿cuántas toneladas de sandías habrá que almacenar para que el gasto sea mínimo?

P R O B L E M A

Variables de Decisión

x = nº de toneladas de naranjas a almacenary = nº de toneladas de sandias a almacenar

Función Objetivo. En el problema se quier tomar la decisión de la cantidad de toneladas de naranjas y sandias a almacenar de tal manera que el costo sea la mínima.

Min. F(x,y) = 200x + 300y

El objetivo es elegir valores de x e y para minimizar :200x + 300y.

En este problema de programación lineal (PPL) se quiere minimizar el gasto por almacenaje.

RestriccionesSon desigualdades que limitan los posibles valores de las variables de decisión.En este problema las restricciones vienen dadas por la capacidad máxima de almacenaje, por la cantidades minimas a almacenar de naranjas y sandias y la relación entre ellas.X + y ≤ 80X ≥ 10Y ≥ 20Y ≥ x/2

MÉTODO ALGEBRAICOCon las restricciones formamos sistemas de ecuaciones tomándolos de dos en dos, hallando sus respectivas soluciones.

10

80

x

y x

20

80

y

yx

Cuya solución es: (10; 70)

Cuya solución es: (60; 20)

2

80

xy

yxCuya solución es: (160/3; 80/3)

20

10

y

xCuya solución es: (10; 20)

2

10

xy

xCuya solución es: (10; 5)

2

20

xy

y

Cuya solución es: (40; 20)

Luego verificamos si las soluciones halladas cumplen con todas las restricciones.

X ≥ 10 Y ≥ 20 Y ≥ x/2 X + y ≤ 80

(10; 70) si si si si

(60; 20) si si no si

(160/3; 80/3) si si si si

(10; 20) si si si si

(10; 5) si no si si

(40; 20) si si si si

Finalmente se procede a evaluar la función objetivo con las soluciones que cumplen con todas las restricciones.

Min. F(x,y) = 200x + 300y

F(10; 70) = 200(10) + 300(70) = 23000

F(160/3; 80/3) = 200(160/3) + 300(80/3) = 18667

F(10; 20) = 200(10) + 300(20) = 8000

F(40; 20) = 200(40) + 300(20) = 14000

RESPUESTA

El menor gasto de almacenaje es de S/. 8000 y esto se da al almacenar 10 toneladas de naranja y 20 toneladas de sandias. Luego entonces se tiene que almacenar 20 toneladas de sandias.