Programaci n lineal_m_todo_gr_fico

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PROGRAMACIN LINEALUn modelo de programacin lineal, es un tipo particular de modelo matemtico, en el cual las restricciones que involucran las variables son lineales y hay una medida de desempeo o funcin objetiva lineal que ser maximizada o minimizada.Todas las variables de decisin son no negativas. Formular un modelo de programacin lineal significa traducir un problema de decisin de negocios en uno de programacin lineal, mediante la definicin de variables, la especificacin de una funcin objetivo y la expresin de todas las restricciones como igualdades o desigualdades.CARACTERSTICAS DE LA PROGRAMACIN LINEAL.1.- Linealidad: Todas las condiciones que se den estarn expresadas en trminos de ecuaciones o inecuaciones de primer grado, es decir que el mximo exponente de as variables es 1.2.- Anlisis de las funciones: La linealidad est representada por los signos: igual, menor que, mayor que, menor o igual que, mayor o igual que por tanto:= representa el lmite entre dos reas.> representa el rea sobre el lmite o sobre la recta, se utiliza para minimizacin.< representa el rea bajo el lmite o bajo la recta, se utiliza en maximizacin. > representa el lmite ms el rea que esta sobre la recta.< representa el lmite ms el rea que esta bajo la recta.3.- Divisibilidad.- Un proceso de maximizacin, minimizacin o combinado puede subdividirse en etapas de tipo sistemtico es decir que hay una interdependencia entre elementos, esto significa que si falla un elemento fallar todo el proceso.4.- Finitud.- Significa que en Investigacin Operativa los datos son reales y alcanzables por lo tanto las soluciones tambin lo sern, finitud da un significado de trminos prcticos y de factibilidad real es decir que el nmero de procesos como los recursos disponibles debern corresponder a cantidades finitas, esto es conocidas y cuantificadas en forma determinstica.5.- No negatividad.- Al analizar un problema en Investigacin Operativa los trminos negativos no tienen sentido por tanto solamente se considerarn valores positivos.Si en un proceso aparecen cantidades negativas se considerarn variables auxiliares que durante el proceso tendrn que eliminarse hasta obtener la respuesta en trminos reales y positivos.6.- Algoritmo.- Se refiere a todos los procedimientos que se utilizan en la Investigacin operativa y estos pueden ser de tipo mecnico, matemtico, prctico, funcional.Ejemplo: Graficacin de una condicin.SOLUCIN GRFICA PARA PROBLEMAS DE PROGRAMACIN LINEALLas soluciones ptimas de los problemas de programacin lineal siempre se encuentran en un vrtice de la regin bsica factible. Pueden existir varias soluciones ptimas, las cuales presentan el mismo nmero de vrtices (o puntos crticos en las lneas que se conectan).ANLISIS DE SENSIBILIDAD DE LAS RESTRICCIONES.Es importante para el gerente entender que tan sensible es la solucin ante los cambios en los supuestos y en los factores exgenos.En la programacin lineal una de las mejores caractersticas es que gran parte de este anlisis de sensibilidad procede directamente de la solucin; estas afirmaciones se las aplicar de manera grfica.PRECIOS SOMBRA.Un precio sombra o dual representa el valor marginal asociado con el cambio de una unidad en el lado derecho de una restriccin.COSTO REDUCIDODe manera similar, un costo reducido representa el valor marginal de incluir una unidad en una variable de decisin en la solucin. Los costos reducidos pueden considerarse como precios sombra de las restricciones no negativas. Si una restriccin no es obligatoria su precio sombra es cero.EVALUACIN DE UN NUEVO PRODUCTO.El costo de oportunidad para un nuevo producto se calcula como la suma de: (precio sombra) * (unidades requeridas) para todas las restricciones afectadas. Si el costo de oportunidad es menor que la utilidad de una unidad para el nuevo producto, entonces es rentable y por tanto debe incluirse alguna cantidad en la solucin ptima. Si el costo de oportunidad es mayor que la utilidad por unidad, entonces no debe fabricarse el producto.COEFICIENTES DE LA FUNCIN OBJETIVO.Los rangos de los coeficientes del lado derecho y de la funcin objetivo tienen gran importancia para interpretar la solucin de programacin lineal. Los rangos del lado derecho determinan los lmites dentro de los cuales se mantiene el precio sombra de cada restriccin. Los rangos del coeficiente de la funcin objetivo determinan los lmites dentro de los cuales la solucin sigue siendo la misma.CASO DE MAXIMIZACIN.Una fbrica produce dos tipos de chaquetas A y B. Las chaquetas tipo requieren 5 minutos para cortarlas y 10 minutos para confeccionarlas, las de tipo 9 requieren de 8 minutos para cortarlas y 8 minutos para confeccionarlas. Se necesita 3 horas y 20 minutos para corte y 4 horas para confeccin. El beneficio es de $ 50 por cada chaqueta tipo A y $ 60 por cada chaqueta tipo B.Si el objetivo es maximizar la utilidad.1.- Cuntas unidades del producto A y cuntas del producto B podran elaborarse para obtener la mxima ganancia?Paso 1.- Identificacin de las variables de decisin:La fbrica puede manufacturar dos tipos de chaquetas A y B. Estas representan las variables de decisin que las representaremos por:PRODUCTOSNMERO PRODUCIDOChaquetas tipo AX1Chaquetas tipo 9X2Paso 2.- Identificar la funcin objetivo:Z(MAX) = 5OX1 + 60X2Paso 3.- Identificar las restricciones de recursos:

RECURSOUTILIZACIN DEDISPONIBILIDAD(TIEMPO)RECURSOSDE RECURSOS

Corte5 X1 + 8X2200Confeccin 10 X1 + 8 X2240

X1; X2> OPaso 4.- Realizar la grfica con todas las restricciones.5 X1 + 8 X210 X1 + 8 X2

Paso 5.- Determinacin de los valores de los puntos crticos:Clculo del punto BPara calcular las coordenadas de este punto se forma un sistema de ecuaciones entre la ecuacin 1 y 2

5X1 + 8X2 = 200 / (-1)- 5 X 8 X2 = -2001OX1 + 8 X2 = 240 / (1) 10 X + 8 X2 = 240

5X1= 40X1 = 40/ 5X1 = 8Reemplazo el valor de X1 en la Ecuacin 1

5X1 + 8X2 = 2005(8) + 8x2 = 200 40 + 8X2 = 200X2 = 16 / 8X2 = 20

B (8; 20)Los puntos A y C no se los toma en cuenta porque si se tomara uno de esto no se cumplira con el objetivo de la empresa que es producir los dos productos ya que en estos puntos uno de ellos no se produce.Paso 6.- Determinar la solucin ptima.Para determinar la solucin ptima reemplazamos los valores del punto B en la funcin objetivo.Z (MAX) = 50X1 + 60X2

B (8; 20)Z (MAX) = 5O (8) + 60 (20) = 1600Paso 7.- Interpretacin de la solucinLa mxima utilidad se presenta cuando X1 = 8 y X2 = 20 es decir cuando se manufactura 8 chaquetas tipo A y 20 chaquetas tipo B.

2.- El gerente de la fbrica desea saber cual es la mxima utilidad que se puede obtener si el mercado limita a 24 unidades la cantidad que se puede vender del producto B.La formulacin del problema ahora se convierte en: Z (MAX) = 5OX1 + 60X2

Sujeta a: 5X1 + 8X2 < 2001OX1+ 8X20 y X2>0 lo que lleva a considerar que una unidad de la solucin cambia una restriccin no negativa a X1>1 y X2>1. Los valores para hacerlos se llaman costos reducidos.Considerando el problema bsico la solucin ptima tiene X1=8 y X2=20. Ambos valores son positivos y por eso ninguna de las restricciones no negativas es obligatoria (es decir el costo reducido) asociado con cambios es cero al igual que para otras restricciones no obligatorias.Sin embargo a manera de ejemplo si la funcin objetivo fuera:Z (MAX)= 90X1 + 20X2 como aparece en la siguiente figura.

El punto D sera la solucin ptima con coordenadas X1=24 y X2=0 que produce una utilidad de 1680 (aqu X2=0); es decir que la restriccin X2>O es obligatoria.Ahora si se tuviera que producir por lo menos una unidad del producto B debido a un compromiso con un cliente habitual, la restriccin se convertira en X2>1. Lo que ocasionara que la solucin ptima del problema cambie al punto de coordenadas Xl =23,2 y X2=1 como se muestra en el grfico siguiente:

Calculo de la utilidadZ (MAX)= 90X1 + 20X2Z (MAX)= 90(23,2) + 20(1) = 2108Con este punto se obtiene una disminucin de $ 52 con respecto a la utilidad anterior, por consiguiente en este caso el costo reducido asociado con la restriccin no negativa es de $ 52, el costo de mantener la opinin favorable del cliente o goodwill.9.- Considerar de nuevo la restriccin correspondiente al departamento de corte que tiene una disponibilidad de 200 minutos.El siguiente grfico muestra lo que sucede cuando se dispone de horas adicionales sin olvidar que en el anlisis inicial de los precios sombra se indic que cada 10 minutos adicionales lleva a una disminucin de 2 unidades del producto A y a un aumento de 2,5 unidades del producto B. El precio sombra de cada 10 minutos incrementales fue de $ 50.Con el siguiente grfico se va ha determinar cual es el aumento permitido en la restriccin del departamento de corte.Con 216 minutos disponibles el punto ptimo de la solucin tiene coordenadas X1=4,8 y X2=24. Ms halla de este punto los minutos adicionales del departamento de corte no tiene efecto ya que la restriccin X2>24 ahora es obligatoria. Dadas las otras restricciones del problema 216 minutos en el departamento de corte es lo mximo que se puede utilizar. Por tanto este aumento de 16 minutos para llegar a 216 disponibles representa el lmite superior en el rango sobre el cual el precio sombra o dual de $ 50 es vlido.Para la restriccin correspondiente al departamento de confeccin se puede hacer el mismo anlisis.Lo cual se lo deja para que el lector lo demuestre con la respuesta que se da a continuacin.

10.- Suponga que se desea producir alguna cantidad de un tipo de chaqueta nueva (C) y que se requiere para producirla de 1 minuto en el departamento de corte y 2 minutos en el departamento de confeccin. Este producto es muy rentable y tiene una utilidad de $ 90. Calcule el costo de oportunidad del nuevo producto.El costo de oportunidad del producto nuevo es:(Precio sombra en el departamento de corte) * (Minutos requeridos en el departamento de corte) + (Precio sombra