Programaci n Din Mica Determinista

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  • PROGRAMACIN DINMICA DETERMINISTA

  • EL G

    RA

    N

    RO

    MPE

    CA

    BEZA

    La Programacin Dinmica es una tcnica empleada para resolver un sinnmero de problemas de optimizacin. Consistente en fragmentar un problema mayor en pequeos fragmentos llamados etapas. Lo tedioso de este modelo est en aquellos problemas que requieren de un nmero de etapas excesivamente alto.

    La programacin dinmica determinista se caracteriza porque los datos son valores

    determinados o conocidos. Teniendo que recurrir a la utilizacin sistemtica de combinaciones

    factibles para un problema dado, hasta encontrar la solucin ptima que logre satisfacer las

    condiciones dadas.

    Este algoritmo tuvo sus inicios en Richard Bellman, quien realiz una serie de estudios

    relacionados con misiles dirigidos.

    1. MODELOS DE PROGRAMACIN DINMICA CON VALORES DISCRETOS

    Para la solucin de los problemas emplearemos el mtodo de recursin hacia delante y

    acumulacin hacia atrs. Para comprenderlo veamos algunos ejemplos.

    Ejemplo N 1:

    Dada la siguiente funcin objetivo sujeta a la restriccin mostrada, encontrar la solucin

    ptima.

    enteroXXXX

    XXXMaxZ

    i 0632

    423

    321

    321

    ++

    ++=

  • Se subdivide en etapas, donde cada etapa deber ser optimizada. Veamos el diagrama de

    las etapas que resultaran:

    1

    2

    3

    S1 = 6 S3 = S2 X2S2 = S1 2 X1

    r3 = 4 X3

    f3 = r3*

    r2 = 2 X2

    f2 = r2 + f3*

    r1 = 3 X1

    f1 = r1 + f2*

    d3 = Valor de X3d2 = Valor de X2d1 = Valor de X1

    Definiremos algunos trminos antes de entrar en el algoritmo solucin:

    di : decisin a tomar en cada etapa

    ri : rendimiento en cada etapa mide la decisin

    fi : rendimiento acumulado

    Si : variable de estado (cantidad de recurso disponible al inicio de la etapa.

    Para cada etapa, en este problema, no se puede exceder del recurso disponible. Por lo

    tanto las variables de decisin estn sujetas a los siguientes intervalos de valores:

    0 X1 S1 / 2 ; es decir que X1 = {0, 1, 2, 3}

    0 X2 S2 ; es decir que X2 = {0, 1, 2, 3, 4, 5,6}

    0 X3 S3 / 3 ; es decir que X3 = {0, 1, 2}

  • Esta misma suposicin se puede aplicar para encontrar las combinaciones de valores que

    puede tomar cada variable de estado:

    S1 = {6}

    S2 = {0, 2, 4, 6}

    S3 = {0, 1, 2, 3,4, 5, 6}

    Se inicia el algoritmo de programacin mediante tabla, partiendo desde la ltima etapa y

    acumulado los resultados hasta llegar a la primera.

    ETAPA N 3

    d3 = X3

    S3 0 1 2 X3*

    f3*

    0 0 --- --- 0 0

    1 0 --- --- 0 0

    2 0 --- --- 0 0

    3 0 4 --- 1 4

    4 0 4 --- 1 4

    5 0 4 --- 1 4

    6 0 4 8 2 8

    Para la etapa mostrada, se debe cumplir los siguientes criterios:

    i) f3 = max {4 X3} ii) X3 S3 / 3 iii) S3 = S2 X2

    ETAPA N 2

    d2 = X2

    S2 0 1 2 3 4 5 6 X2*

    f2*

    0 0 + 0 --- --- --- --- --- --- 0 0

    2 0 + 0 2 + 0 4 + 0 --- --- --- --- 2 4

    4 0 + 4 2 + 4 4 + 0 6 + 0 8 + 0 --- --- 4 8

    6 0 + 8 2 + 4 4 + 4 6 + 4 8 + 0 10 + 0 12 + 0 6 12

    Para la etapa mostrada, se debe cumplir los siguientes criterios: i) f2 = max {2 X2 + f3*} ii) X2 S2 iii) S2 = S1 2X1

  • Para la etapa mostrada, se debe cumplir los siguientes criterios:

    i) f1 = max {3 X1 + f2*}ii) X1 S1 / 2 iii) S1 = 6

    ETAPA N 1

    d1 = X1

    S1 0 1 2 3 X1*

    f1*

    6 0 + 12 3 + 8 6 + 4 9 + 0 0 12

    Para el problema en cuestin la solucin ptima est dada por:

    SOLUCIN PTIMA

    Z = 12

    X1 = 0

    X2 = 6

    X3 = 0

    Ejemplo N 2 (Problema Propuesto N 4 / Seccin 10.4a / Extrado del Libro Investigacin de

    Operaciones Una Introduccin , Sexta Edicin, Editorial Prentice Hall)

    Un estudiante debe seleccionar 10 cursos electivos de 4 diferentes departamentos y por lo menos

    un curso de cada departamento. Los 10 cursos se han asignado a los 4 departamentos en una

    forma que maximice los conocimientos. El estudiante mide los conocimientos en una escala de

    100 puntos y traza la siguiente grfica:

    NMERO DE CURSOS

    DEPARTAMENTO 1 2 3 4 5 6 7

    I 25 50 60 80 100 100 100

    II 20 70 90 100 100 100 100

    III 40 60 80 100 100 100 100

    IV 10 20 30 40 50 60 70

    Cmo debe seleccionar los cursos el estudiante?

  • Partiremos por definir el problema grficamente:

    S2 = S1 X1 S3 = S2 X2S1 = 10

    d1 = Valor de X1 d2 = Valor de X2 d3 = Valor de X3

    1

    2

    3

    4

    S4 = S3 X3

    d4 = Valor de X4

    r4 = f(X4)

    f4 = r4*

    r3 = f(X3)

    f3 = r3 + f4*

    r2 = f(X2)

    f2 = r2 + f3*

    r1 = f(X1)

    f1 = r1 + f2*

    Para cada etapa, en este problema, se deber tener en cuenta que hay que asignar por lo

    menos un curso a cada departamento. Por lo tanto las variables de decisin estn sujetas a los

    siguientes intervalos de valores:

    1 X1 S1 3 ; es decir que X1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

    1 X2 S2 2 ; es decir que X2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

    1 X3 S3 1 ; es decir que X3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

    1 X4 S4 ; es decir que X4 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

    Esta misma suposicin se puede aplicar para encontrar las combinaciones de valores que

    puede tomar cada variable de estado:

    S1 = {10}

    S2 = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

    S3 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

    S4 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

  • Se inicia el algoritmo de programacin mediante tabla, partiendo desde la ltima etapa y

    acumulado los resultados hasta llegar a la primera.

    ETAPA N 4

    d4 = X4S4 1 2 3 4 5 6 7 X4* f4*

    1 10 --- --- --- --- --- 1 10

    2 10 20 --- --- --- --- --- 2 20

    3 10 20 30 --- --- --- --- 3 30

    4 10 20 30 40 --- --- --- 4 40

    5 10 20 30 40 50 --- --- 5 50

    6 10 20 30 40 50 60 --- 6 60

    7 10 20 30 40 50 60 70 7 70

    Para la etapa mostrada, se debe cumplir los siguientes criterios:

    i) f4 = max { r4*} ii) X4 S4 iii) S4 = S3 X3

    ETAPA N 3

    d3 = X3S3 1 2 3 4 5 6 7 X3* f3*

    2 40 + 10 --- --- --- --- --- --- 1 50

    3 40 + 20 60 + 10 --- --- --- --- --- 2 70

    4 40 + 30 60 + 20 80 + 10 --- --- --- --- 3 90

    5 40 + 40 60 + 30 80 + 20 100 + 10 --- --- --- 4 110

    6 40 + 50 60 + 40 80 + 30 100 + 20 100 + 10 --- --- 4 120

    7 40 + 60 60 + 50 80 + 40 100 + 30 100 + 20 100 + 10 --- 4 130

    8 40 + 70 60 + 60 80 + 50 100 + 40 100 + 30 100 + 20 100 + 10 4 140

  • Para la etapa mostrada, se debe cumplir los siguientes criterios:

    i) f3 = max {r3 + f4*} ii) X3 S3 1 iii) S3 = S2 X2

    ETAPA N 2

    d2 = X2S2 1 2 3 4 5 6 7 X2* f2*

    3 20 + 50 --- --- --- --- --- --- 1 70

    4 20 + 70 70 + 50 --- --- --- --- --- 2 120

    5 20 + 90 70 + 70 90 + 50 --- --- --- --- 2,3 140

    6 20 + 110 70 + 90 90 + 70 100 + 50 --- --- --- 2,3 160

    7 20 + 120 70 + 110 90 + 90 100 + 70 100 + 50 --- --- 2,3 180

    8 20 + 130 70 + 120 90 + 110 100 + 90 100 + 70 100 + 50 --- 3 200

    9 20 + 140 70 + 130 90 + 120 100 + 110 100 + 90 100 + 70 100 + 50 3,4 210

    Para la etapa mostrada, se debe cumplir los siguientes criterios:

    i) f2 = max {r2 + f3*} ii) X2 S2 2 iii) S2 = S1 X1

  • ETAPA N 1

    d1 = X1S1 1 2 3 4 5 6 7 X1* f1*

    3 25 + 210 50 + 200 60 + 180 80 + 160 100 + 140 100 + 120 100 + 70 2 250

    Para la etapa mostrada, se debe cumplir los siguientes criterios:

    i) f1 = max { r1 + f2*} ii) X1 S1 3 iii) S1 = 10

    Para el problema en cuestin la solucin ptima est dada por:

    SOLUCIN PTIMA

    Z = 250

    X1 = 2

    X2 = 3

    X3 = 4

    X4 = 1

    Ejemplo N 3 (Problema Propuesto N 7 / Seccin 10.4a / Extrado del Libro Investigacin de

    Operaciones Una Introduccin , Sexta Edicin, Editorial Prentice Hall)

    El alguacil Bassam se ha postulado para su reeleccin en el condado de Washington. Los fondos

    disponibles para la campaa son de alrededor de 10 000 dlares. An cuando al comit de

    reeleccin le gustara iniciar la campaa en los cinco distritos del condado, los fondos limitados

    dictan lo contrario. La siguiente tabla enumera la poblacin votante y la cantidad de fondos

    necesaria para iniciar una campaa efectiva en cada distrito. La eleccin para cada distrito es qe

    reciban todos los fondos asignados , o ninguno. Cmo se deben asignar los fondos?

  • Distrito Poblacin Fondos

    Requeridos ($)

    1 3 100 3 500

    2 2 600 2 500

    3 3 500 4 000

    4 2 800 3 000

    5 2 400 2 000

    Para este problema veremos un caso particular, las variables de decisin sern del tipo binaria.

    Es decir, para el caso de no asignar fondos tomar el valor de 0, de lo contrario ser 1.

    d1 = X1 d2 = X2 d3 = X3 d4 = X4 d5 = X5

    S2 = S1 3 500 X1S1 = 10 000

    1 2 3

    S4 = S3 4 000 X3

    S3 = S2 2 500 X2

    4

    S5 = S4 3 000 X4

    5

    r1 = f(X1)

    f1 = r1 + f2*

    r2 = f(X2)

    f2 = r2 + f3*

    r3 = f(X3)

    f3 = r3 + f4*

    r4 = f(X4)

    f4 = r4 + f5*

    r5 = f(X5)

    f5 = r5*

    Para cada etapa, en este problema, se deber tener en cuenta que la variable de decisin

    slo podr tomar dos valores {0, 1}. Por lo tanto las variables de decisin estn sujetas a los

    siguientes intervalos de valores:

  • 0 X1 S1 / 3 500

    0 X2 S2 / 2 500

    0 X3 S3 / 4 000

    0 X4 S4 / 3 000

    0 X5 S5 / 2 000

    Las combinaciones de valores que puede tomar cada variable de estado sern:

    S1 = {10 000}

    S2 = {6 500, 10 000}

    S3 = {4 000, 6 500, 7 500, 10 000}

    S4 = {0, 2 500, 3 500, 4 000, 6 000, 6 500, 7 500, 10 000}

    S5 = {0, 500, 1 000, 2 500, 3 000, 3 500, 4 000, 4 500, 6 000, 6 500, 7 000, 7 500, 10 000}

    ETAPA N 5

    d5 = X5S5 0 1 X5* f5*

    0 0 --- 0 0

    500 0 --- 0 0

    1 000 0 --- 0 0

    2 500 0 2 400 1 2 400

    3 000 0 2 400 1 2 400

    3 500 0 2 400 1 2 400

    4 000 0 2 400 1 2 400

    4 500 0 2 400 1 2 400

    6 000 0 2 400 1 2 400

    6 500 0 2 400 1 2 400

    7 000 0 2 400 1 2 400

    7 500 0 2 400 1 2 400

    10 000 0 2 400 1 2 400

  • Para la etapa mostrada, se debe cumplir los siguientes criterios:

    i) f5 = max { r5*} ii) X5 S5 / 2 000 iii) S5 = S4 3 000 X4

    ETAPA N 4

    d4 = X4S4 0 1 X4* f4*

    0 0 + 0 --- 0 0

    2 500 0 + 2 400 --- 0 2 400

    3 500 0 + 2 400 2 800 + 0 1 2 800

    4 000 0 + 2 400 2 800 + 0 1 2 800

    6 000 0 + 2 400 2 800 + 2 400 1 5 200

    6 500 0 + 2 400 2 800 + 2 400 1 5 200

    7 500 0 + 2 400 2 800 + 2 400 1 5 200

    10 000 0 + 2 400 2 800 + 2 400 1 5 200

    Para la etapa mostrada, se debe cumplir los siguientes criterios:

    i) f4 = max {r4 + f5*} ii) X4 S4 / 3 000 iii) S4 = S3 4 000 X3

    ETAPA N 3

    d3 = X3S3 0 1 X3* f3*

    4 000 0 + 2 800 3 500 + 0 1 3 500

    6 500 0 + 5 200 3 500 + 2 400 1 5 900

    7 500 0 + 5 200 3 500 + 2 800 1 6 300

    10 000 0 + 5 200 3 500 + 5 200 1 8 700

  • Para la etapa mostrada, se debe cumplir los siguientes criterios:

    i) f3 = max {r3 + f4*} ii) X3 S3 / 4 000 iii) S3 = S2 2 500 X2

    ETAPA N 2

    d2 = X2S2 0 1 X2* f2*

    6 500 0 + 5 900 2 600 + 3 500 1 6 100

    10 000 0 + 8 700 2 600 + 6 300 1 8 900

    Para la etapa mostrada, se debe cumplir los siguientes criterios:

    i) f2 = max {r2 + f3*} ii) X2 S2 / 2 500 iii) S2 = S1 3 500 X1

    ETAPA N 1

    d1 = X1S1 0 1 X1* f1*

    10 000 0 + 8 900 3 100 + 6 100 1 9 200

    Para la etapa mostrada, se debe cumplir los siguientes criterios:

    i) f1 = max {r1 + f2*} ii) X1 S1 / 3 500 iii) S1 = 10 000

  • Para el problema en cuestin la solucin ptima est dada por:

    Z = 9 200

    SOLUCIN PTIMA

    X1 = 1

    X2 = 1

    X3 = 1

    X4 = 0

    X5 = 0

    Ejemplo N 4

    Un vendedor tiene que decidir cuntas unidades de 3 artculos llevar en su recorrido por varios

    ciudades del interior a fin de maximizar ventas. Slo se vende hasta una unidad de cada artculo

    en cada lugar. Una regla de venta es que en cada lugar se venda al menos un artculo. En la

    tabla se muestran los artculos, los lugares donde se venden, los precios para cada lugar, el

    espacio por unidad que ocupan y la capacidad del vehculo del vendedor.

    LUGAR

    ARTCULO AGUADULCE CHITR DAVID

    ESPACIO POR

    UNIDAD (p3)

    1 100 120 140 1

    2 200 180 230 2

    3 300 350 260 3

    CAPACIDAD DEL VEHCULO: 10 p3

    SUGERENCIA: Considere los lugares como etapas y las 7 posibles combinaciones de artculos

    a llevar en cada lugar como variables de decisin de cada etapa.

  • 1

    2

    3

    S1 = 10 S3 = S2 X2IS2 = S1 X1I

    r3 = f(X3)

    f3 = r3*

    r2 = f(X2)

    f2 = r2 + f3*

    r1 = f(X1)

    f1 = r1 + f2*

    d3 = Valor de X3Id2 = Valor de X2Id1 = Valor de X1I

    En este problema nos encontramos nuevamente que se trata tipo binario, llevar o no llevar.

    COMBINACIONES

    ARTCULO

    FORMA 1 2 3 e (p3)

    A 1 0 0 1

    B 0 1 0 2

    C 0 0 1 3

    D 1 1 0 3

    E 1 0 1 4

    F 0 1 1 5

    G 1 1 1 6

    Los posibles valores de combinaciones para los estado sern:

    S1 = {10}

    S2 = {4, 5, 6, 7, 8, 9}

    S3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

  • ETAPA N 3 (DAVID)

    d3 = X3 I ; X3 I S3 ; S3 = S2 X2 I ; f3 = max { r3*}

    S3 A (1) B (2) C (3) D (3) E (4) F (5) G (6) X3 I* f3*

    1 140 --- --- --- --- --- --- A 140

    2 140 230 --- --- --- --- --- B 230

    3 140 230 260 370 --- --- --- D 370

    4 140 230 260 370 400 --- --- E 400

    5 140 230 260 370 400 490 --- F 490

    6 140 230 260 370 400 490 630 G 630

    7 140 230 260 370 400 490 630 G 630

    8 140 230 260 370 400 490 630 G 630

    ETAPA N 2 (CHITR)

    d2 = X2 I ; X2 I S2 1 ; S2 = S1 X1 I ; f2 = max { r2 + f3*}

    S2 A (1) B (2) C (3) D (3) E (4) F (5) G (6) X2 I* f2*

    4 120 + 370 180 + 230 350 + 140 300 + 140 --- --- --- A, C 490

    5 120 + 400 180 + 370 350 + 230 300 + 230 470 + 140 --- --- E 610

    6 120 + 490 180 + 400 350 + 370 300 + 370 470 + 230 530 + 140 --- C 720

    7 120 + 630 180 + 490 350 + 400 300 + 400 470 + 370 530 + 230 650 + 140 E 840

    8 120 + 630 180 + 630 350 + 490 300 + 490 470 + 400 530 + 370 650 + 230 F 900

    9 120 + 630 180 + 630 350 + 630 300 + 630 470 + 490 530 + 400 650 + 370 G 1 020

    ETAPA N 1 (AGUADULCE)

    d1 = X1 I ; X1 I S1 2 ; S1 = 10 ; f 1 = max { r 1 + f 2*}

    S1 A (1) B (2) C (3) D (3) E (4) F (5) G (6) X1 I* f1*

    10 100 + 1 020 200 + 900 300 + 840 300 + 840 400 + 720 500 + 610 600 + 490 C, D 1 140

  • La solucin ptima para este problema es:

    OPCIN N 1: OPCIN N 2:

    LUGAR

    ARTICULOS

    A LLEVAR

    LUGAR

    ARTICULOS

    A LLEVAR

    AGUADULCE 3 AGUADULCE 1, 2

    CHITR 1, 3 CHITR 1, 3

    DAVID 1, 2 DAVID 1, 2

    ZMX = $ 1 140. 00 ZMX = $ 1 140. 00

    Ejemplo N 5

    Dada la siguiente funcin objetivo sujeta a la restriccin mostrada, encontrar la solucin

    ptima.

    ( ) ( )enteroY

    YYYYYYYYMaxZ

    i 05

    52

    4321

    2432

    21

    +++

    +++=

    S4 = S1 Y1 S2 = S4 Y4S1 = 5

    d1 = Valor de Y1 d4 = Valor de Y4 d2 = Valor de Y2

    1

    4

    2

    3

    S3 = S2 Y2

    d3 = Valor de Y3

    r3 = Y3

    f3 = r3*

    r2 = Y2

    f2 = r2 f3*

    r4 = (Y4 5)2

    f4 = r4 + f2*

    r1 = (Y1 + 2)2

    f1 = r1 + f4*

  • Los posibles valores de combinaciones para los estado sern:

    S1 = {5}

    S2 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

    S3 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

    S4 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

    ETAPA N 3

    d3 = Y3 ; Y3 S3 ; S3 = S2 Y2; f 3 = max { r3* }

    S3 0 1 2 3 4 5 Y3* f3*

    0 0 --- --- --- --- --- 0 0

    1 0 1 --- --- --- --- 1 1

    2 0 1 2 --- --- --- 2 2

    3 0 1 2 3 --- --- 3 3

    4 0 1 2 3 4 --- 4 4

    5 0 1 2 3 4 5 5 5

    ETAPA N 2

    d2 = Y2 ; Y2 S2 ; S2 = S4 Y4; f 2 = max { r2 f3* }

    S2 0 1 2 3 4 5 Y2* f2*

    0 (0) (0) --- --- --- --- --- 0 0

    1 (0) (1) (1) (0) --- --- --- --- 0, 1 0

    2 (0) (2) (1) (1) (2) (0) --- --- --- 1 1

    3 (0) (3) (1) (2) (2) (1) (3) (0) --- --- 1, 2 2

    4 (0) (4) (1) (3) (2) (2) (3) (1) (4) (0) --- 2 4

    5 (0) (5) (1) (4) (2) (3) (3) (2) (4) (1) (5) (0) 2, 3 6

  • ETAPA N 4

    d4 = Y4 ; Y4 S4 ; S4 = S1 Y1 ; f 4 = max { r4 + f2*} S4 0 1 2 3 4 5 Y4* f4*

    0 25 + 0 --- --- --- --- --- 0 25

    1 25 + 0 16 + 0 --- --- --- --- 0 25

    2 25 + 1 16 + 0 9 + 0 --- --- --- 0 26

    3 25 + 2 16 + 1 9 + 0 4 + 0 --- --- 0 27

    4 25 + 4 16 + 2 9 + 1 4 + 0 1 + 0 --- 0 29

    5 25 + 6 16 + 4 9 + 2 4 + 1 1 + 0 0 + 0 0 31

    ETAPA N 1

    d1 = Y1 ; Y1 S1 ; S1 = 10 ; f 1 = max { r1 + f4*} S1 0 1 2 3 4 5 Y1* f1*

    5 4 + 31 9 + 29 16 + 27 25 + 25 36 + 25 49 + 25 5 74

    Para el problema en cuestin la solucin ptima est dada por:

    SOLUCIN PTIMA

    Z = 74

    Y1 = 5

    Y2 = 0

    Y3 = 0

    Y4 = 0

  • Ejemplo N 6

    ABC Tech, una escuela privada de ingeniera, acaba de recibir una donacin de un antiguo

    alumno por un monto de $ 100 000. El vicepresidente financiero del ABC Tech planea invertir

    el dinero para financiar un conjunto de becas. Puede invertir de tres formas con diferentes

    rendimientos. Los tres esquemas de inversin y sus rendimientos despus de tres aos

    (incluyendo el capital) se muestra en la tabla para diferentes niveles de inversin. Sugirale al

    vicepresidente una cartera de inversiones que produzca el mayor rendimiento para becas y

    reinversin utilizando la programacin dinmica.

    Rendimientos sobre la Inversin

    Inversin

    (en miles Plan X Plan Y Plan Z

    0 0 0 0

    25 50 60 40

    50 110 90 100

    100 150 130 175

    1

    2

    3

    S1 = 100 S3 = S2 X2S2 = S1 X1

    r3 = f(X3)

    f3 = r3*

    r2 = f(X2)

    f2 = r2 + f3*

    r1 = f(X1)

    f1 = r1 + f2*

    d3 = Valor de X3d2 = Valor de X2d1 = Valor de X1

  • Los posibles valores de combinaciones para los estado sern:

    S1 = {100}

    S2 = {0, 50, 75, 100}

    S3 = {0, 25, 50, 75, 100}

    ETAPA N 3

    d3 = X3 ; X3 S3 ; S3 = S2 X2 ; f3 = max { r3*}

    S1 0 25 50 100 X1* f1*

    0 0 --- --- --- 0 0

    25 0 40 --- --- 25 40

    50 0 40 100 --- 50 100

    75 0 40 100 --- 50 100

    100 0 40 100 175 100 175

    ETAPA N 2

    d2 = X2 ; X2 S2 ; S2 = S1 X1 ; f2 = max { r2 + f3*}

    S2 0 25 50 100 X2* f2*

    0 0 + 0 --- --- --- 0 0

    50 0 + 100 60 + 40 90 + 0 --- 0, 25 100

    75 0 + 100 60 + 100 90 + 40 --- 25 160

    100 0 + 175 60 + 100 90 + 100 130 + 0 50 190

    ETAPA N 1

    d1 = X1 ; X1 S1 ; S1 = 100 ; f1 = max { r1 + f2*}

    S1 0 25 50 100 X1* f1*

    100 0 + 190 50 + 160 110 + 100 150 + 0 25 , 50 210

  • Para el problema en cuestin la solucin ptima est dada por:

    SOLUCIN 1 SOLUCIN 2 SOLUCIN 3

    Z = 210

    X1 = 25

    X2 = 25

    X3 = 50

    Z = 210

    X1 = 50

    X2 = 25

    X3 = 25

    Z = 210

    X1 = 50

    X2 = 0

    X3 = 50

    Ejemplo N 7:

    La Dra. Kathy Mireya may, Que recin obtuvo su doctorado en psicologa, acaba de aceptar un

    empleo en Hays State University y debe mudarse pronto a ese lugar. Para hacerlo, utilizar su

    nico automvil, dado que su esposo Ernesto P., llevar despus el resto de sus artculos

    domsticos. Kathy ha determinado que tiene 9 pies cbicos disponible para transportar artculos

    necesarios a Hays. En la tabla se muestra que est pensando llevar, junto con su volumen en pies

    cbicos y su prioridad en una escala de 1 a 10, de acuerdo con la opinin de Kathy.

    ARTCULO VOLUMEN PRIORIDAD

    Ropa 2 8

    TV 6 3

    Horno Microonda 6 5

    Libros 3 9

    Artculos Personales 1 9

    Determine que artculos debe transportar Kathy para maximizar sus prioridades, utilizando la

    programacin dinmica.

  • d1 = X1 d2 = X2 d3 = X3 d4 = X4 d5 = X5

    S2 = S1 2 X1S1 = 9

    1 2 3

    S4 = S3 6 X3

    S3 = S2 6 X2

    4

    S5 = S4 3 X4

    5

    r1 = 8 X1

    f1 = r1 + f2*

    r2 = 3 X2

    f2 = r2 + f3*

    r3 = 5 X3

    f3 = r3 + f4*

    r4 = 9 X4

    f4 = r4 + f5*

    r5 = 9 X5

    f5 = r5*

    Las combinaciones de valores que puede tomar cada variable de estado sern:

    S1 = {9}

    S2 = {7, 9}

    S3 = {1, 3, 7, 9}

    S4 = {1, 3, 7, 9}

    S5 = {0, 1, 3, 4, 6, 7, 9}

    ETAPA N 5

    d5 = X5 ; X5 S5 ; S5 = S4 3 X4 ; f5 = max { r5*}

    S5 0 1 X5* f5*

    0 0 --- 0 0

    1 0 9 1 9

    3 0 9 1 9

    4 0 9 1 9

    6 0 9 1 9

    7 0 9 1 9

    9 0 9 1 9

  • ETAPA N 4

    d4 = X4 ; X4 S4 / 3; S4 = S3 6 X3 ; f4 = max { r4 + f5*}

    S4 0 1 X4* f4*

    1 0 + 9 --- 0 9

    3 0 + 9 9 + 0 0, 1 9

    7 0 + 9 9 + 9 1 18

    9 0 + 9 9 + 9 1 18

    ETAPA N 3

    d3 = X3 ; X3 S3 / 6; S3 = S2 6 X2 ; f3 = max { r3 + f4*}

    S3 0 1 X3* f3*

    1 0 + 9 --- 0 9

    3 0 + 9 --- 0 9

    7 0 + 18 5 + 9 0 18

    9 0 + 18 5 + 9 0 18

    ETAPA N 2

    d2 = X2 ; X2 S2 / 6; S2 = S1 2 X1 ; f2 = max { r2 + f3*}

    S2 0 1 X2* f2*

    7 0 + 18 3 + 9 0 18

    9 0 + 18 3 + 9 0 18

    ETAPA N 1

    d1 = X1 ; X1 S1 / 9; S1 = 9 ; f1 = max { r1 + f2*}

    S1 0 1 X1* f1*

    9 0 + 18 8 + 18 1 26

  • Para el problema en cuestin la solucin ptima est dada por:

    SOLUCIN PTIMA

    Z = 26

    X1 = 1

    X2 = 0

    X3 = 0

    X4 = 1

    X5 = 1

    Ejemplo N 8:

    La campaa poltica para la rectora de la Universidad ABC se encuentra es su ltima etapa y las

    preliminares indican que la eleccin est pareja. Uno de los candidatos tiene suficientes fondos

    para comprar tiempo en TV por un total de 5 comerciales en las horas de mayor audiencia en

    estaciones localizadas en cuatro centros regionales diferentes. Con base a la informacin

    preliminar se hizo una estimacin del nmero de votos adicionales que se pueden ganar en los

    diferentes centros segn el nmero de comerciales que se contraten. Estas estimaciones se dan

    en la tabla en miles de votos:

    Centro Regional

    Comerciales Chiriqu Azuero Cocl Veraguas

    0 0 0 0 0

    1 4 5 3 6

    2 7 9 7 8

    3 9 11 12 10

    4 12 10 14 11

    5 15 9 16 12

    Determinar cmo deben distribuirse los comerciales entre los centros regionales, utilizando la

    herramienta de programacin dinmica.

  • S2 = S1 X1 S3 = S2 X2S1 = 5

    d1 = Valor de X1 d2 = Valor de X2 d3 = Valor de X3

    1

    2

    3

    4

    S4 = S3 X3

    d4 = Valor de X4

    r4 = f(X4)

    f4 = r4*

    r3 = f(X3)

    f3 = r3 + f4*

    r2 = f(X2)

    f2 = r2 + f3*

    r1 = f(X1)

    f1 = r1 + f2*

    Las combinaciones de valores que puede tomar cada variable de estado sern:

    S1 = {5}

    S2 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

    S3 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

    S4 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

    ETAPA N 4

    d4 = X4 ; X4 S4 ; S4 = S3 X3 ; f 4 = max { r4*} S4 0 1 2 3 4 5 X4* f4*

    0 0 --- --- --- --- --- 0 0

    1 0 6 --- --- --- --- 1 6

    2 0 6 8 --- --- --- 2 8

    3 0 6 8 10 --- --- 3 10

    4 0 6 8 10 11 --- 4 11

    5 0 6 8 10 11 12 5 12

  • ETAPA N 3

    d3 = X3 ; X3 S3 ; S3 = S2 X2 ; f 3 = max { r3 + f4*} S3 0 1 2 3 4 5 X3* f3*

    0 0 + 0 --- --- --- --- --- 0 0

    1 0 + 6 3 + 0 --- --- --- --- 0 6

    2 0 + 8 3 + 6 7 + 0 --- --- --- 1 9

    3 0 + 10 3 + 8 7 + 6 12 + 0 --- --- 2 13

    4 0 + 11 3 + 10 7 + 8 12 + 6 14 + 0 --- 3 18

    5 0 + 12 3 + 11 7 + 10 12 + 8 14 + 6 16 + 0 3, 4 20

    ETAPA N 2

    d2 = X2 ; X2 S2 ; S2 = S1 X1 ; f 2 = max { r2 + f3*} S2 0 1 2 3 4 5 X2* f2*

    0 0 + 0 --- --- --- --- --- 0 0

    1 0 + 6 5 + 0 --- --- --- --- 0 6

    2 0 + 9 5 + 6 9 + 0 --- --- --- 1 11

    3 0 + 13 5 + 9 9 + 6 11 + 0 --- --- 2 15

    4 0 + 18 5 + 13 9 + 9 11 + 6 10 + 0 --- 0, 1, 2 18

    5 0 + 20 5 + 18 9 + 13 11 + 9 10 + 6 9 + 0 1 23

    ETAPA N 1

    d1 = X1 ; X1 S1 ; S1 = 5 ; f 1 = max { r1 + f2*} S1 0 1 2 3 4 5 X1* f1*

    5 0 + 23 4 + 18 7 + 15 9 + 11 12 + 6 15 + 0 0 23

  • Para el problema en cuestin la solucin ptima est dada por:

    SOLUCIN PTIMA

    Z = 23

    X1 = 0

    X2 = 1

    X3 = 3

    X4 = 1

    Ejemplo N 9:

    Una empresa tiene $ 10,000.00 para invertir en cualquiera de 4 riesgos de duracin anual. El

    dinero no invertido en estos riesgos puede colocarse a inters anual del 10 % anual. Cmo

    deben emplearse los fondos?

    RIESGO CANTIDAD PARA

    INVERTIR

    VALOR NETO AL FINAL

    DEL AO

    1 2 000 2 500

    2 3 000 3 800

    3 6 000 7 500

    4 7 000 8 200

    d1 = X1 d2 = X2 d3 = X3 d4 = X4 d5 = X5

    S2 = S1 2 000 X1S1 = 10 000

    1 2 3

    S4 = S3 6 000 X3

    S3 = S2 3 000 X2

    4

    S5 = S4 7 000 X4

    5

    r1 = f(X1)

    f1 = r1 + f2*

    r2 = f(X2)

    f2 = r2 + f3*

    r3 = f(X3)

    f3 = r3 + f4*

    r4 = f(X4)

    f4 = r4 + f5*

    r5 = f(X5)

    f5 = r5*

  • Las combinaciones de valores que puede tomar cada variable de estado sern:

    S1 = {10 000}

    S2 = {8 000, 10 000}

    S3 = {5 000, 7 000, 8 000, 10 000}

    S4 = {1 000, 2 000, 4 000, 5 000, 7 000, 8 000, 10 000}

    S5 = {0, 1 000, 2 000, 3 000, 4 000, 5 000, 7 000, 8 000, 10 000}

    ETAPA N 5

    d5 = X5 ; X5 = S5 ; S5 = S4 7 000 X4 ; f5 = max { r5*}

    S5 0 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 7 000 8 000 10 000 X5* f5*

    0 0 0 0

    1 000 1 100 1 000 1 100

    2 000 2 200 2 000 2 200

    3 000 3 300 3 000 3 300

    4 000 4 400 4 000 4 400

    5 000 5 500 5 000 5 500

    7 000 7 700 7 000 7 700

    8 000 8 800 8 000 8 800

    10 000 11 000 10 000 11 000

  • ETAPA N 4

    d4 = X4 ; X4 S4 / 7 000; S4 = S3 6 000 X3 ; f4 = max { r4 + f5*}

    S4 0 1 X4* f4*

    1 000 0 + 1 100 --- 0 1 100

    2 000 0 + 2 200 --- 0 2 200

    4 000 0 + 4 400 --- 0 4 400

    5 000 0 + 5 500 --- 0 5 500

    7 000 0 + 7 700 8 200 + 0 1 8 200

    8 000 0 + 8 800 8 200 + 1 100 1 9 300

    10 000 0 + 11 000 8 200 + 3 300 1 11 500

    ETAPA N 3

    d3 = X3 ; X3 S3 / 6 000; S3 = S2 3 000 X2 ; f3 = max { r3 + f4*}

    S3 0 1 X3* f3*

    5 000 0 + 5 500 --- 0 5 500

    7 000 0 + 8 200 7 500 + 1 100 1 8 600

    8 000 0 + 9 300 7 500 + 2 200 1 9 700

    10 000 0 + 11 500 7 500 + 4 400 1 11 900

    ETAPA N 2

    d2 = X2 ; X2 S2 / 3 000; S2 = S1 2 000 X1 ; f2 = max { r2 + f3*}

    S2 0 1 X2* f2*

    8 000 0 + 9 700 3 800 + 5 500 0 9 700

    10 000 0 + 11 900 3 800 + 8 600 1 12 400

    ETAPA N 1

    d1 = X1 ; X1 S1 / 2 000; S1 = 10 000 ; f1 = max { r1 + f2*}

    S1 0 1 X1* f1*

    10 000 0 + 12 400 2 500 + 9 700 0 12 400

  • Para el problema en cuestin la solucin ptima est dada por:

    Z = 12 400

    X1 = 0

    X2 = 1

    X3 = 1

    X4 = 0

    X5 = 1 000

    SOLUCIN PTIMA

    2. MODELOS DE PROGRAMACIN DINMICA CON VALORES CONTINUOS

    2.1 PROBLEMAS DE UNA RESTRICCIN Ilustraremos este modelo a travs de una serie de ejemplos.

    Ejemplo N 1:

    010324

    567

    321

    232

    21

    ++

    ++=

    iXXXX

    XXXMaxZ

    1

    3

    2

    S1 = 10 S2 = S3 3X3S3 = S1 4X1

    r2 = 6 X2

    f2 = r2*

    r3 = 5 X32

    f3 = r3 + f2*

    r1 = 7 X12

    f1 = r1 + f3*

    d2 = Valor de X2d3 = Valor de X3d1 = Valor de X1

  • Iniciamos desde la ltima etapa definida en el diagrama, para este caso es la etapa 2.

    Buscamos los mximos, ya que el criterio es maximizar.

    f2 = 6 X2 y 0 2 X2 S2Por tratarse de la ecuacin de una recta el mximo se dar en el extremo derecho,

    sustituyendo este:

    f2* = 6 (S2 / 2) = 3 S2 y X2* = S2 / 2

    Recordemos que

    f3 = r3 + f2* = 5 X32 + f2* y S2 = S3 3X3

    f3 = 5 X32 + 3 S2 = 5 X32 + 3 (S3 3X3)

    f3 = 5 X32 + 3 S3 9 X3 y 0 3 X3 S3

    Si se observa en detalle la funcin f3 corresponde al tipo de las cuadrticas, para encontrar el

    valor de X3 que hace que la funcin sea mxima es necesario emplear las tcnicas de derivadas

    para criterios de mximos y mnimos.

    1090910 33

    3

    3 === XXXf

    1023

    32

    +=Xf

    lo que representa un mnimo

    Para ello lo que hacemos es evaluar los extremos de los valores de X3 para encontrar la serie de

    combinaciones para los que representa un mximo.

    f3 ( X3 = 0 ) = 3 S3 y f3 ( X3 = S3 / 3) = 5 / 9 S32

    Como en ambos casos se depende de la variable de estado se igualarn ambas funciones para

    definir en que casos especficos una representa un mximo y la otra un mnimo.

    3 S3 = 5 / 9 S32 5 S32 - 27 S3 = 0

    Para este caso las races son S3 = 0 y S3 = 5.4

    FUNCIN VALOR PRUEBA

    0 S3 5.4 (S3 = 3)

    VALOR PRUEBA

    S3 5.4 (S3 = 9)

    INTERVALO

    ES MXIMO

    f3 = 3 S3 9 27 0 S3 5.4

    f3 = 5 / 9 S32 5 45 S3 5.4

  • Si usted observa en detalle S3 = S1 4X1 lo que permite que 0 S3 10

    Por esta razn definiremos dos intervalos de anlisis

    f3* ( X3* = 0 ) = 3 S3 para S3 5.4

    f3* ( X3* = S3 / 3 ) = 5 / 9 S32 para S3 5.4

    Pasaremos ahora a la etapa 1

    f1 = r1 + f3* = 7 X12 + f3*

    4.595

    4.537

    323

    332

    1*

    1

    +=

    SS

    SSXf

    Sustituyendo S3 = S1 4X1 = 10 4X1 en las expresiones anteriores se obtiene

    ( )( ) 15.141095

    15.141037

    12

    1

    112

    1*

    1

    +=

    XX

    XXXf

    Adems el valor mximo que puede tomar X1 es de 2.5

    Para esta etapa analizaremos cada caso en particular:

    a) f1* = 7 X12 + 3 (10 4 X1) 1.15 X1 2.5

    Mnimo en X1 = - b / 2a = -(-12) / (2 (7)) = 6 / 7; como es un mnimo y adems est fuera del

    intervalo de la funcin dada se evalan los extremos.

    f1* ( X1* = 1.15 ) = 25.4575 y f1* ( X1* = 2.5 ) = 43.75

    b) f1* = 7 X12 + 5 / 9 (10 4 X1)2 0 X1 1.15

    Mnimo en X1 = - b / 2a = -(-40/9) / (2 (143/9)) = 40 / 143; como representa un mnimo se

    calculan los extremos.

    f1* ( X1* = 0 ) = 55.56 y f1* ( X1* = 1.15 ) = 25.4575

    Solucin final del problema:

    ZMAX = 55.56 X1* = 0 X2* = 0 X3* = 10 / 3

  • Ejemplo N 2:

    01

    7243

    321

    3222

    211

    ++

    ++=

    iXXXX

    XXXXXMaxZ

    1

    2

    3

    S1 = 1 S3 = S2 X2S2 = S1 X1

    r3 = 7 X3

    f3 = r3*

    r2 = 4 X2 2 X22

    f2 = r2 + f3*

    r1 = 3 X1 X12

    f1 = r1 + f2*

    d3 = Valor de X3d2 = Valor de X2d1 = Valor de X1

    Iniciamos desde la ltima etapa definida en el diagrama, para este caso es la etapa 3.

    Buscamos los mximos, ya que el criterio es maximizar.

    f3 = 7 X3 y 0 X3 S3Por tratarse de la ecuacin de una recta el mximo se dar en el extremo derecho,

    sustituyendo este:

    f3* = 7 (S3) = 7 S3 y X3* = S3Recordemos que

    f2 = r2 + f3* = 4 X2 2 X22 + f3* y S3 = S2 X2

    f2 = 4 X2 2 X22 + 7 S3 = 4 X2 2 X22 + 7 (S2 X2)

    f2 = 2 X22 3 X2 + 7 S2 y 0 X2 S2

    Si se observa en detalle la funcin f2 corresponde al tipo de las cuadrticas, para encontrar el

    valor de X2 que hace que la funcin sea mxima es necesario emplear las tcnicas de derivadas

    para criterios de mximos y mnimos.

  • 43034 22

    2

    2 === XXXf

    422

    22

    =Xf

    lo que representa un mximo

    An cuando el valor de X2 encontrado representa un mximo, por ser negativo no est dentro del

    rango de factibilidad (valores positivos). Para ello lo que hacemos es evaluar los extremos de los

    valores de X2 para encontrar la serie de combinaciones para los que representa un mximo.

    f2 ( X2 = 0 ) = 7 S2 y f2 ( X2 = S2) = 2 S22 + 4 S2

    Como en ambos casos se depende de la variable de estado se igualarn ambas funciones para

    definir en que casos especficos una representa un mximo y la otra un mnimo.

    7 S2 = 2 S22 + 4 S2 2 S22 + 3 S2 = 0

    Para este caso las races son S2 = 0 y S2 = 0.5

    Como los valores de estado no pueden romper el principio de no negatividad se analizarn slo

    los positivos 0 S2 1

    FUNCIN VALOR PRUEBA

    0 S2 1 (S2 = 1) MXIMO

    f2 = 7 S2 7 X

    f2 ( X2 = S2) = 2 S22 + 4 S2 2

    Si usted observa en detalle no es necesario dividir esta funcin en dos intervalos. Lo que

    significa que la mejor combinacin para esta etapa es:

    f2* ( X2* = 0 ) = 7 S2 para 0 S2 1

    Pasaremos ahora a la etapa 1

    f1 = r1 + f2* = 3 X1 X12 + f2*

    f1 = 3 X1 X12 + 7 S2 = 3 X1 X12 + 7 (S1 X1)

    f1 = X12 4 X1 + 7 S1 y 0 X1 S1 = 1

    2042 111

    1 === XXXf

  • 221

    12

    =Xf

    lo que representa un mximo

    An cuando el valor de X1 encontrado representa un mximo, por ser negativo no est dentro del

    rango de factibilidad (valores positivos). Para ello lo que hacemos es evaluar los extremos de los

    valores de X1 para encontrar la serie de combinaciones para los que representa un mximo.

    f1 ( X1 = 0 ) = (0)2 4 (0) + 7 (1) = 7

    f1 ( X1 = S1 = 1) = (1)2 4 (1) + 7 (1) = 2

    Como podr observar el mejor valor resulta de cuando X1 = 0, de aqu podemos concluir

    Solucin final del problema:

    ZMAX = 7 X1* = 0 X2* = 0 X3* = 1

    2.2 PROBLEMAS DE DOS RESTRICCIONES

    En este caso en particular Usted notar que el procedimiento de optimizacin es similar al caso

    anterior, lo que le parecer nuevo es el hecho de que se debe satisfacer la dos condiciones

    restrictivas del problema al mismo tiempo. Para ello veremos algunos problemas para ilustrar al

    lector.

    Ejemplo N 1:

    8362

    1015

    21

    21

    21

    +++=

    XXXX

    XXMaxZ

    1

    2

    S11 = 6

    S21 = 8

    S21 = 6 X1

    S22 = 8 3 X1

    r2 = 10 X2

    f2 = r2*

    r1 = 15 X1

    f1 = r1 + f2*

    d2 = Valor de X2d1 = Valor de X1

  • Para dar inicio a la solucin del problema partiremos por establecer los rangos de las variables de

    decisin:

    R1: 0 X1 6 0 X2 S21 / 2

    R2: 0 X1 8 0 X2 S22

    Daremos inicio por la etapa 2:

    =

    222

    21222 0

    5.0010

    SXSX

    Xf

    En esta etapa pueden presentarse dos casos

    Caso A:

    S21 / 2 S22f2 ( X2 = S21 / 2 ) = 10 ( S21 / 2 ) = 5 S21

    Caso B:

    S22 S21 / 2

    f2 ( X2 = S22 ) = 10 ( S22 ) = 10 S22Para pasar a la etapa 1 tenemos que evaluar los valores de X1 para cada uno de los 2 casos antes

    expuestos, obteniendo:

    Caso A:

    S21 / 2 S22(6 X1) / 2 8 3 X1

    X1 2

    Caso B:

    S22 S21 / 2

    8 3 X1 (6 X1) / 2

    X1 2

    Adems el valor de X1 no debe exceder de 6 para satisfacer a R1 y R2 al mismo tiempo.

    Habiendo definido los valores de X1 para cada caso se proceder a optimizar la funcin para cada

    caso mostrado.

    ( )( )

    +=

    6220

    381065

    151

    1

    1

    111 X

    XXX

    Xf

  • Se analizar cada caso por separado, para luego comparar los mximos de cada uno

    Caso A:

    f1 = 30 + 10 X1 0 X1 2

    Esta funcin representa el Lugar Geomtrico de una recta, donde el mximo se dar en el

    extremo derecho, obtenindose:

    f1 ( X1 = 2) = 30

    Caso B:

    f1 = 80 15 X1 2 X1 6

    Se presenta nuevamente el Lugar Geomtrico de una recta con pendiente negativa, al contrario

    del Caso A, el mximo se presentar en el extremo izquierdo.

    f1 ( X1 = 2) = 50

    Solucin final del problema:

    ZMAX = 50 X1* = 2 X2* = 2

    Ejemplo N 2:

    21272172

    44

    21

    21

    21

    ++

    +=

    XXXX

    XXMaxZ

    1

    2

    S11 = 21

    S21 = 21

    S21 = 21 2 X1

    S22 = 21 7 X1

    r2 = 14 X2

    f2 = r2*

    r1 = 4 X1

    f1 = r1 + f2*

    d2 = Valor de X2d1 = Valor de X1

  • Para dar inicio a la solucin del problema partiremos por establecer los rangos de las variables de

    decisin:

    R1: 0 X1 21 / 2 0 X2 S21 / 7

    R2: 0 X1 21 / 7 0 X2 S22 / 2

    Daremos inicio por la etapa 2:

    =

    222

    21222 2/10

    7/1014

    SXSX

    Xf

    En esta etapa pueden presentarse dos casos

    Caso A:

    S21 / 7 S22 / 2

    f2 ( X2 = S21 / 7 ) = 14 ( S21 / 7 ) = 2 S21

    Caso B:

    S22 / 2 S21 / 7

    f2 ( X2 = S22 / 2 ) = 14 ( S22 / 2 ) = 7 S22Para pasar a la etapa 1 tenemos que evaluar los valores de X1 para cada uno de los 2 casos antes

    expuestos, obteniendo:

    Caso A:

    S21 / 7 S22 / 2

    (21 2 X1) / 7 (21 7 X1) / 2

    X1 7 / 3

    Caso B:

    S22 / 2 S21 / 7

    (21 7 X1) / 2 (21 2 X1) / 7

    X1 7 / 3

    Adems el valor de X1 no debe exceder de 21 / 7 = 3 para satisfacer a R1 y R2 al mismo tiempo.

    Habiendo definido los valores de X1 para cada caso se proceder a optimizar la funcin para cada

    caso mostrado.

    ( )( )

    +=

    33/73/70

    72172212

    41

    1

    1

    111 X

    XXX

    Xf

  • Se analizar cada caso por separado, para luego comparar los mximos de cada uno

    Caso A:

    f1 = 42 0 X1 7 / 3

    Esta funcin representa el Lugar Geomtrico de una recta horizontal, donde el mximo se dar

    en todo valor comprendido entre 0 y 7 / 3, obtenindose:

    f1 ( 0 X1 7 / 3 ) = 42

    Caso B:

    f1 = 147 45 X1 7 / 3 X1 3

    Se presenta nuevamente el Lugar Geomtrico de una recta con pendiente negativa, el mximo se

    presentar en el extremo izquierdo.

    f1 ( X1 = 7 / 3 ) = 42

    Solucin final del problema:

    ZMAX = 42 0 X1* 7 / 3 X2* = (21 2 X1) / 7