Cap07 Programaci+¦n Lineal (Completo)

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Programación lineal Ingeniería de operaciones

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Programacin linealIngeniera de operacionesContenidoRequisitos de un problema de programacin linealFormulacin de problemas de programacin lineal

Resolucin grfica de problemas de programacin linealRepresentacin grfica de las restriccionesMtodo de solucin basado en la lnea iso-beneficiosMtodo de solucin basado en los vrticesAplicaciones de la programacin lineal:Ejemplo del mix de produccin Ejemplo de un problema diettico Ejemplo de programacin de la produccin Ejemplo de programacin de trabajo El mtodo Simplex de PL2Objetivos de aprendizajeCuando acabe este captulo, debe ser capaz de:Identificar o definir:Funcin objetivoRestriccionesConjunto de soluciones posiblesMtodo de la lnea iso-beneficios (o iso-costos)Solucin de los vrtices Precio sombra3Qu es la programacin lineal?Es una tcnica matemtica determinstica diseada para ayudar a los responsables de operar el sistema a planificar y tomar decisiones relacionadas con el equilibrio necesario para la distribucin ms adecuada de los recursos No es un programa de computador. Reparte los escasos recursos para alcanzar los objetivos.Fue creado por George Dantzig durante la Segunda Guerra Mundial:Desarroll una solucin prctica en 1947.Se denomin mtodo Simplex.4Qu es la programacin lineal?Conceptos bsicos:Funcin objetivo: expresin matemtica en el modelo que indica lo que se quiere optimizar (maximizar utilidades, minimizar desperdicios)Variables de decisin: variables que representan las opciones del modelo y que estn bajo control de quien toma las decisionesRestricciones: limitaciones que restringen las opciones permitidas para las variables de decisinRegin factible: regin que representa todas las combinaciones permisibles de las variables de decisin en un modelo PL Parmetro: valor que el responsable de tomar decisiones no puede controlar y que no cambia cuando se implementa la solucin.5Qu es la programacin lineal?Conceptos bsicos:Certidumbre: nivel de veracidad de un acontecimientoLinealidad: caracterstica de un modelo PL que implica proporcionalidad y aditividadNo negatividad: suposicin para las variables de decisin que implica que deben ser positivas o cero6Qu es la programacin lineal?Por qu este modelo es un programa lineal?Porque todas sus funciones , restricciones y objetivo son linealesLa linealidad implica que se cumplen las propiedades de proporcionalidad y aditividadPropiedad de proporcionalidad: requiere que la contribucin de cada variable en la funcin objetivo o su uso en los recursos sea directamente proporcional al nivel (valor) de la variablePropiedad de aditividad: requiere que la funcin objetivo sea la suma directa de las contribuciones individuales de las variables.7Ejemplos de algunas aplicaciones de PL Programar los autobuses escolares para minimizar la distancia total que se recorre cuando se transporta a los estudiantes. Asignar unidades de patrulla de la polica a las zonas con un mayor nivel de criminalidad para minimizar el tiempo de respuesta a las llamadasProgramar los cajeros de los bancos para que se cubran las necesidades durante todo el da mientras que se minimiza el costo total de mano de obra. 8Ejemplos de algunas aplicaciones de PL Elegir materias primas en procesos de alimentacin para obtener mezclas con unas determinadas propiedades al mnimo costo. Seleccionar el mix de producto en una fbrica para utilizar las horas del trabajo las mquinas y de mano de obra disponibles de la mejor forma posible, maximizando el beneficio de la empresa.Desarrollar un plan de produccin que, satisfaciendo las demandas futuras de los productos de una empresa, minimice al mismo tiempo los costos totales de produccin e inventarios.9Requisitos de un problema de PLLos problemas de PL deben buscar maximizar o minimizar una cantidad (la funcin objetivo). La presencia de restricciones limita el grado en que podemos perseguir el objetivo. Deben existir diferentes alternativas donde poder elegir. La funcin objetivo y las restricciones de la PL deben ser expresadas en ecuaciones lineales.10Formulacin de problemas de PL: un modelo de dos variablesSC Electronics fabrica dos productos: (1) un walkman AM/FM y (2) un reloj TV . El proceso de produccin de cada producto es similar, ya que ambos requieren de un cierto nmero de horas de trabajo en electrnica y unas determinadas horas de mano de obra en el departamento de montaje. Cada walkman necesita de 4 horas de trabajo en el departamento de electrnica y 2 horas de en el departamento de montaje. El proceso de produccin del reloj TV es de 3 horas de trabajo en el departamento de electrnica y de 1 hora en el departamento de montaje.En el perodo de produccin actual, se disponen de 240 horas en el departamento de electrnica y de 100 horas en el montaje.Cada walkman vendido reporta un beneficio de 7 dlares, mientras que para un reloj TV el beneficio es de 5 dlares. El problema para SC Electronics estriba en determinar la mejor combinacin posible en cuanto al nmero de walkman y de relojes-TV fabricados, de modo que se obtenga el mximo beneficio.

Taller N 1: Formulacin de problemas de programacin lineal

PMC debe determinar para el siguiente ao la mezcla de productos a manufacturar. La empresa produce dos lneas principales de productos para la industria de la construccin comercial: una lnea de sierras circulares porttiles para uso pesado y una lnea de sierras de mesa de precisin. Las dos lneas comparten una misma capacidad de produccin y se venden a travs de los mismos canales logsticos. Aunque dentro de la lnea de productos existe alguna diversidad, la utilidad promedio es de 900 $ por cada sierra circular y de 600$ por cada sierra de mesa. La capacidad de produccin est limitada de dos maneras: capacidad de fabricacin y capacidad de ensamble. Todos los meses est disponible un mximo de 4000 horas de capacidad de fabricacin; cada sierra circular requiere dos horas y cada sierra de mesa requiere una hora. Hay disponible al mes un mximo de 5000 horas de capacidad de ensamble y cada sierra circular requiere una hora y cada sierra de mesa requiere dos horas. El departamento de comercializacin estima que existir en el mercado para el ao que viene una demanda mxima de 3500 sierras al mes para ambas lneas de productos combinadas cuntas sierras circulares y cuntas sierras de mesa debern producirse mensualmente el prximo ao para maximizar la utilidadFormular el problema, considerando las siguientes preguntas y siguiendo los siguientes pasos:Existe un objetivo gerencial nico?Existen cursos alternos de accin gerencial?Est restringido el logro total del objetivo por recursos escasos u otras restricciones?Pasos:Defina el objetivoDefina las variables de decisinEscriba la funcin objetivoCon una o dos palabras describa cada una de las restriccionesEscriba el lado derecho de cada restriccin, incluyendo las unidades de medidaEscriba , = 0 para cada restriccinEscriba todas las variables de decisin en lado izquierdo de cada restriccinEscriba en cada restriccin el coeficiente de cada variable de decisinTaller N 1: Formulacin de problemas de programacin linealLa GCF est desarrollando un plan estratgico a largo plazo para adquirir chatarra para sus operaciones de fundicin. La fundicin puede comprar chatarra en cantidades ilimitadas de dos fuentes: A y B, y la recibe todos los das en carros de ferrocarril. La chatarra se funde y el plomo y el cobre se extraen para uso en los procesos de fundicin. Cada carro de ferrocarril chatarra de la fuente A rinde una tonelada de cobre y una de plomo y cuesta 10000$. Cada carro de ferrocarril de chatarra de la fuente B rinde una tonelada de cobre y dos de plomo y cuesta 15 000$. Si en el futuro predecible la fundicin necesita por lo menos 2,5 ton de cobre y un mnimo de cuatro toneladas de plomo al da, cuntos carros de ferrocarril de chatarra deben comprarse diariamente de la fuente A y de la fuente B para minimizar el costo de chatarra a largo plazo?Formular el problema, considerando las siguientes preguntas y siguiendo los siguientes pasos:Existe un objetivo gerencial nico?Existen cursos alternos de accin gerencial?Est restringido el logro total del objetivo por recursos escasos u otras restricciones?Pasos:Defina el objetivoDefina las variables de decisinEscriba la funcin objetivoCon una o dos palabras describa cada una de las restriccionesEscriba el lado derecho de cada restriccin, incluyendo las unidades de medidaEscriba , = 0 para cada restriccinEscriba todas las variables de decisin en lado izquierdo de cada restriccinEscriba en cada restriccin el coeficiente de cada variable de decisinAnlisis grfico de problemas de PLFactible cuando existen dos variables de decisin.

Dibuje una grfica con el eje de abscisas y el eje de ordenadas (slo el primer cuadrante).Trace las lneas de las restricciones en el plano:Utilice (X1,0), (0,X2) para la lnea.Encuentre el conjunto de soluciones posibles. Encuentre la soluciones ptimas:Mtodo de solucin basado en los vrtices.Mtodo de solucin basado en la lnea iso-beneficio.14Mtodo de solucin a partir de la curva isobeneficioEn la representacin grfica obtener la solucin ptima del problema, es decir, el punto del conjunto de soluciones factibles que produzcan el mximo beneficio.

Mtodos:Mtodo de la curva de isobeneficioMtodo a partir de los vrtices

15Mtodo de solucin a partir de los vrticesTcnica que supone buscar beneficios en cada vrtice del conjunto de soluciones factibles

Se encuentra slo los valores de las variables en los vrtices: el mximo beneficio o solucin ptima estar en uno ( o ms)Para el problema anterior, la regin de factibilidad es un polgono de cuatro lados con cuatro vrtices o extremosPara encontrar los valores (X1 ; X2 ) que reporten el mximo beneficio, se determinan las coordenadas de cada vrtice y se calculan all sus niveles de beneficioEl mximo beneficio es la solucin ptima

16Los cuatro vrtices del conjunto de soluciones posibles02040608010012001020304050607080Nmero de Walkmans (X1)Nmero de televisores (X2)Electrnica(Restriccin A)Montaje(Restriccin B)Vrtice de soluciones posibles Solucin ptima17Taller N 2: Formulacin de problemas de programacin linealRM Company posee una pequea fbrica de pinturas para interiores y exteriores de casas para su distribucin al mayoreo. Se utilizan dos materiales bsicos, A y B, para producir las pinturas. La disponibilidad mxima de A es de 6 ton diarias; la de B es de 8 ton por da. L necesidad diaria de materia prima por tonelada de pintura para interiores y exteriores se resumen en la tabla que sigue:

Un estudio de mercado ha establecido que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que la pintura para exteriores en ms de una tonelada. Asimismo, el estudio seala que la demanda mxima de pintura para interiores est limitada a dos toneladas diarias.El precio al mayoreo por tonelada es 3 000$ para la pintura de exteriores y 2 000 $ para la pintura de interiores. Cunta pintura para exteriores e interiores debe producir la compaa todos los das para maximizar el ingreso bruto?

TONELADAS DE MATERIA PRIMA POR TONELADA DE PINTURAEXTERIORINTERIORDISPONIBILIDAD MXIMA (TON)MATERIA PRIMA A126MATERIA PRIMA B218Formulacin de problemas de PL (Programacin de autobuses): Utilizacin de WinQSBPC estudia la factibilidad de introducir un sistema de autobuses de trnsito masivo que aliviar el problema del smog, reduciendo el trnsito en la ciudad. El estudio inicial busca determinar el nmero mnimo de autobuses que pueden manejar las necesidades de transporte. Despus de recolectar la informacin necesaria, el ingeniero advierte que el nmero de autobuses que se necesita para cubrir la demanda flucta con la hora del da. Estudiando los datos ms a fondo, descubri que el nmero necesario de autobuses se puede suponer constante en intervalos sucesivos de 4 horas de cada uno. La figura presenta un resumen de los hallazgos del ingeniero. Se decidi que para facilitar la transportacin, cada autobs poda operar slo 8 horas sucesivas al da. Se debe determinar le nmero de autobuses que operarn durante diversos turnos (variables) que cubrirn la demanda mnima (restricciones) al mismo tiempo que se minimiza el nmero diario total de autobuses en operacin (objetivo)19Formulacin de problemas de minimizacinAlgunos problemas de PL tratan de minimizar un objetivo, generalmente reflejado en trminos de costos:La distribucin de productos que minimice los costos respectivosLa planificacin de personal que satisfaga las necesidades de los clientes, al menor costo, al mismo tiempo que minimiza el nmero de empleados

Los problemas de minimizacin se pueden resolver grficamente fijando el conjunto de soluciones factibles y utilizando el mtodo del vrtice, o de la curva de isocostos para encontrar los valores de X1 y X2 que proporcionan el costo mnimoEjemplo: Formulacin de problemas de minimizacinCCH Inc. produce dos tipos de lquidos de revelado de fotografa. El primero, un reactivo qumico para revelar fotografas en blanco y negro, cuya produccin cuesta a CCH Inc 2500 $/ton. El segundo, un reactivo qumico para revelar fotografas en color, que cuesta 3000$/ton.A partir del anlisis de los actuales niveles de inventario y de los pedidos pendientes, el director de produccin ha estimado que se deben producir durante el prximo mes al menos 30 ton del reactivo qumico revelador en blanco y negro y al menos 20 ton del reactivo qumico revelador en color. Adems, el director se ha dado cuenta de que est inventariada una materia prima altamente perecedera necesaria para fabricar ambos reactivos qumicos, y que, debe usarse en un perodo de 30 das. Con el fin de no desperdiciar una materia prima cara, CCH Inc debe fabricar en el prximo mes un total de, al menos 60 ton de los reactivos qumicos para el revelado fotogrfico.Cul es la cantidad de cada reactivo que debe producir para minimizar los costos de produccin?Aplicaciones de la PL: Modelo de produccin mixtaProduccin mixta: Se debe distribuir los recursos limitados entre varios de los productos que produce una empresa. El objetivo global de la empresa es la fabricacin de los productos seleccionados en las cantidades adecuadas para conseguir maximizar los beneficios totalesEjemplo 1: FEC Corporation fabrica principalmente cuatro productos de alta tecnologa, con los que abastece a empresas areas que tienen contratos con AIRS. Cada uno de estos productos, antes de que se transporten, debe pasar a travs de los siguientes departamentos: cableado, perforacin, montaje e inspeccin. En la tabla siguiente se resume, para cada unidad producida, los valores de tiempo requerido en cada departamento (en horas) y su correspondiente beneficio

El tiempo de produccin disponible cada mes en cada departamento y la produccin mensual mnima necesaria para cumplir con los contratos, se especifican a continuacin:

El director de produccin tiene la responsabilidad de concretar los niveles de produccin de cada producto para el prximo mes

DepartamentoProductoCableadoPerforacinMontajeInspeccinBeneficio por unidad ($)J0,5320,59M1,514112R1,5210,515B1,0320,511DepartamentoCapacidad (h)ProductoNivel mnimo de produccinCableado1500J150Perforacin1700M100Montaje2600R300Inspeccin1200B40022Aplicaciones de la PL: Modelo de mezclasModelo de mezclas: Son problemas de carcter real, utilizadas principalmente en hospitales, industrias farmacuticas, industrias de pinturas, en agroindustria, etc, para determinar la mezcla ms econmica. En problemas agrcolas se conoce como el problema de la combinacin alimentaria, que implica especificar una comida o una combinacin de ingredientes alimentarios que satisfagan los requisitos nutritivos establecidos a un costo mnimoLa empresa FNShip tiene unas instalaciones en las que se encarga de engordar ganado para los granjeros locales, y una vez cebado el ganado se transporta los mercados de carne en las ciudades OT y OM . Los dueos de las instalaciones de cebado quieren determinar la cantidad de comida que deben comprar para alimentar el ganado, ara satisfacer lar normas nutritivas mnimas y, al mismo tiempo, minimizar los gastos totales de comida. La alimentacin en conjunto debe contener tres cereales en las siguientes tres proporciones por libra de comida

El costo por libra de los cereales X, Y y Zes de 0,02$; 0,04$ y 0,025$, respectivamente. La necesidad mnima por vaca y por mes es de 64 onzas del ingrediente A, 80 onzas del ingrediente B, 16 onzas del ingrediente C, y 128 onzas del ingrediente D. La empresa enfrenta una restriccin adicional: a pesar de su necesidad solo puede obtener de los suministradores de semilla 500 lb de la textura Z por mes. Debido a que FNShip tiene normalmente en cualquier poca, 100 vacas es sus instalaciones de engorde, esta restriccin limita la cantidad de textura Z en la alimentacin de cada vaca a no ms de 5 libras, (u 80 onzas )por mes.ComidaIngredienteTextura X (onzas)T2extura Y (onzas)Textura Z (onzas)A324B231C102D68423Aplicaciones de la PL: Modelo de Programacin de la produccinProgramacin de la Produccin: La resolucin de un problema de programacin de la produccin permite al director fijar, para un producto un programa de produccin eficiente y con bajo costo de produccin a lo largo de varios perodos. Los niveles de produccin deben permitir a la empresa satisfacer la demanda de cada producto teniendo en cuenta las restricciones de la mano de obra e inventario. El objetivo es maximizar los beneficios, o minimizar los costos totales (de produccin ms inventario)La empresa TECAP Company est pensando en fabricar y vender compactadores de basura de forma experimental durante los prximos seis meses. Se estima que los costos de fabricacin y los precios de venta de los compactadores varan cada mes, segn indica la tabla.

Todos los compactadores que se han fabricado a lo largo de un mes se transportan al final de dicho mes. La empresa puede vender hasta 300 unidades al mes, pero su operacin se ve limitada por el tamao de su almacn, que puede albergar un mximo de 100 compactadores.El director de operaciones tiene que determinar el nmero de compactadores que hay que fabricar y vender cada mes con el fin de maximizar el beneficio de la empresa. La empresa no tiene compactadores disponibles al inicio del mes de julio y no desea tener compactaores disponibles al final del perodo experimental, en diciembre.MesCostos de fabricacin ($)Precio de venta (durante el mes)Julio60-Agosto6080Septiembre5060Octubre6070Noviembre7080Diciembre-9024Aplicaciones de PL: Modelo de la Programacin de la Mano de ObraProgramacin de la Mano de Obra: Se relaciona con la necesidad de personal a lo largo de un perodo de tiempo, y el mtodo es til cuando existe flexibilidad para asignar a los trabajadores a puestos que requieran habilidades intercambiables o que se traslapan (bancos y hospitales)ABC Bank es un banco con mucho movimiento que requiere entre 10 y 18 cajeros, dependiendo de la hora del da. La hora del almuerzo, desde el medioda hasta las dos de la tarde, es normalmente el momento con mayor influencia de gente. El siguiente cuadro indica los trabajadores que son necesarios durante las diferentes horas en las que el banco est abierto

El banco emplea a hora a 12 cajeros a tiempo completo, pero hay muchos empleados disponibles a tiempo parcial. Un empleado a tiempo parcial debe trabajar exactamente 4 horas al da pero puede empezar a cualquier hora entre las 9 de la maana y la 1 de la tarde. Los empleados a tiempo parcial son una mano de obra bastante barata, debido a que no tienen prestaciones por comidas y jubilacin. Sin embargo, los empleados a tiempo completo tienen una jornada desde las 9 de la maana hasta las 5 de la tarde, pero disponen de una hora libre para el almuerzo (la mitad de los empleados a tiempo completo come a las 11 de la maana y la otra mitad al medioda). Por tanto, los empleados a tiempo completo tienen 35 h semanales de tiempo productivo de trabajo.Por poltica empresarial, el banco limita las horas de trabajo a tiempo parcial hasta un mximo del 50% de las necesidades totales del da.Los empleados a tiempo parcial ganan una media de 6$/h ( o 24 $/da) mientras que los empleados a tiempo completo ganan una media de 75$/ da sumando prestaciones y salario. Al banco le gustara fijar una programacin que minimiza los costos totales de mano de obra. El banco despedira a uno o ms de sus empleados a tiempo completo si le fuera rentable hacerlo.Perodo de tiempoNmero de cajeros necesariosPerodo de tiempoNmero de cajeros necesarios9-101013-141810-111214-151711-121415-161512-131616-171025El mtodo Simplex de Programacin LinealEl mtodo se utiliza cuando en un problema de PL existen ms de dos variables (problemas multivariables) donde el mtodo grfico no sirve.

Es un algoritmo, o conjunto de instrucciones, con el cual se examinan los puntos en las esquinas de una manera metdica hasta conseguir la mejor solucin:La mayor utilidad, oEl menor costo

En la resolucin de problemas con muchas variables es recomendable el uso de programas de computadora.26Formulacin de un problema de PL con el mtodo SimplexConsidere le problema de la mezcla de productos de SC Electronics que fabrica dos productos: (1) un walkman AM/FM y (2) un reloj TV, para resolver mediante el mtodo Simplex .Crear la funcin objetivo en trminos de X1 y X2:7X1 + 5X2 = beneficioMaximizar los beneficios, sujeta a las restriccionesX1 + 1X2 100:4X1 + 3X2 240X1 = nmero de walkmans producidos; X2 = nmero de relojes TV producidos27Pasos del Simplex para problemas de mximosDeterminar la variable que entrar en base e identificar la columna (y por tanto la variable) con el valor Cj- Zj mayor de los positivos.Determinar la fila que va a ser reemplazada seleccionando la variable de la fila con un cociente menor entre los valores de la columna cantidad y los de la columna del pivote que sean estrictamente mayores que cero. Calcular los nuevos valores de la fila del pivote. Calcular los nuevos valores para cada una de las filas restantes.Calcular las filas de la Zj y de las Cj-Zj. Si todas las Cj Zj son superiores a cero, se vuelve al paso 1.28Precios sombraExactamente, cunto debe estar dispuesta a pagar la compaa para hacer disponible el uso de los recursos adicionales?:

vale una hora ms de tiempo-mquina con un costo de 0,50; 1 ; 0 $5?vale la pena pagar a los trabajadores una cuota de tiempo extra para quedarse una hora extra cada noche con el fin de aumentar la tasa de salida?

Esta informacin est disponible en la ltima tabla simplex de un problema de PL.Cj-Zj : los negativos de los nmeros en su variable de holgura (Sj) ofrecen en sus columnas lo que se llaman los precios sombra

Precio sombra (o precio dual): es el valor de una unidad adicional de un recurso en la forma de una hora ms de tiempo de mquina, tiempo de mano de obra u otro recurso escaso29Precios sombraLa ltima tabla indic que la solucin ptima es de X1 = 30 walkmans y X2 = 40 watch-TV, S1 = 0 (holgura del primer recurso), S2 = 0 (holgura del segundo recurso) y utilidad 410 $

S1: es la holgura en el departamento de electrnicaS2: es la holgura en el departamento de ensamblado no utilizadoAnlisis de la situacin: si se est considerando la posibilidad de usar ensambladores extra con un salario de 4$/h, debe hacerlo la compaa?

La respuesta es NO, los precios sombra del recurso del departamento de ensamble es de solo 0,50 $/h (-3/2), y la empresa perdera 3,50 $/h30Anlisis de sensibilidadLos precios sombra son una forma de anlisis de sensibilidadEs el estudio de cmo es de sensible la solucin ptima a errores o cambios de los parmetros iniciales del programa lineal. Los precios sombra (doble): valor de una unidad adicional perteneciente a un recurso. 31Anlisis de sensibilidadQu tanta variacin se permite en los coeficientes de la funcin objetivo?La variacin de los coeficiente afecta a la pendiente de la rectaLa meta es determinar el intervalo de variacin de cada uno de los coeficientes, que mantenga invariante el punto ptimo (esquina)32Anlisis de sensibilidadSi la funcin objetivo esZ = ceXe+ciXiLa variacin de ce y ci es una rotacin alrededor de punto CAl rotar la recta en torno a C, la pendiente debe mantenerse entre la de las rectas DC y CB (se mantiene la solucin ptima)Algebraicamente

33Anlisis de sensibilidadCualquier cambio en Ce y Ci es tal que y mantiene a C como punto ptimo Casos:Fijamos a Ci= 2; C ser ptimo mientras se encuentre en el intervalo indicadoFijamos a Ci= 2; C ser ptimo mientras se encuentre en el intervalo indicado

34Anlisis de sensibilidadMtodo 1: Grfico o GeomtricoEjemplo: Suponga la siguiente situacin:Max: z = 500oX1 + 4000X2Sa: 10X1 + 15 X2 150 RA: Restriccin (A) 20X1 + 10 X2 160 RB: Restriccin (B) 30X1 + 10 X2 135 RC: Restriccin (C) X1 3 X2 0 RD: Restriccin (D) X1 + X2 5 RE: Restriccin (E) X1; X2 0

35Anlisis de sensibilidadMtodo 1: Grfico o GeomtricoLa regin factible se indica en la figura, en la cual, el punto ptimo es (4,5; 7), y la funcin z alcanza el valor mximo de 50500 $

Notas: La restriccin E es redundanteLas rectas A= C1 y B = C2 que contienen al ptimo son las restricciones activas;Las restantes son restricciones inactivas36Anlisis de sensibilidadProblema de sensibilidad 1: qu tanta variacin se permite en los coeficientes de la funcin objetivo?Una variacin de los coeficientes C1 y C2 solo afecta a la pendiente de la recta que representa a Z

La pendiente de Z debe mantenerse dentro de los lmites de la pendiente de la recta A y de la recta B (contienen al ptimo OP, que seguir siendo ptimo):

Situacin a: girando a la recta de z en sentido horario, el lmite es la recta BmB= -20/10 = -2Situacin b: girando a la recta de z en sentido antihorario, el lmite es la recta AmA= -10/15 = -2/3Consecuentemente:

37Anlisis de sensibilidadCaso 1: variamos C1 manteniendo fijo a C2 en 4000

Intervalo de sensibilidad para C1 es :

38Anlisis de sensibilidadCaso 2: variamos C2 manteniendo fijo a C1 en 5000

Intervalo de sensibilidad para C2, a partir del valor actual de 4000:

39

Anlisis de sensibilidadProblema de sensibilidad 2: cunto vale una unidad de recurso?Se relaciona con el estudio de la sensibilidad de la solucin ptima frente a cambios en las restricciones

Variacin de la restriccin A: cualquier cambio en la cantidad bA, del lado derecho de A, ocasiona que la lnea de restriccin asociada se mueva en forma paralela a s misma

Caso 1: La recta A se desplaza hacia abajo: el lmite inferior es el punto B (48/7; 16/7)

40Anlisis de sensibilidadCaso 2: La recta A se desplaza hacia arriba: para que el punto ptimo se alcance en la interseccin de A y de B, el lmite es el punto (0;16)

Entonces, el intervalo de sensibilidad para el lado derecho de la restriccin A es

41Anlisis de sensibilidadLos valores de z que corresponden a las variaciones del recurso A son: Z = 5000X1 + 4000 X2

Precio Sombra PS del recurso A:

bX1X2z102,856,862,2943428,571504,5750500,00Optimo24001664000,00Z = 50004000Valor objetivoLado derecho de la restriccin

42Anlisis de sensibilidad utilizando SolverInforme de sensibilidad:Celdas cambiantes: es la sensibilidad de los coeficientes Ci de la funcin objetivoValores 1E+30: significa valores muy altos o muy pequeos, indica que el coeficiente puede aumentar o disminuir indefinidamente

43Anlisis de sensibilidad utilizando WinQSB

44Taller: Anlisis de sensibilidad

1. Obtener el precio sombra del recurso B2. Dar una interpretacin econmica del PSB

45Variables artificiales y excedentesLas relaciones en las restricciones del tipo se deben manejar en un problema de PL en el mtodo simplex, en una forma especial

Una variable artificial es una variable que No tiene significado fsico en trminos de un problema de PL del mundo real. Simplemente permite crear una solucin factible bsica para aplicar el algoritmo simplex (no se le permite aparecer en la solucin final)

Un variable excedente Si tiene un significado fsico, es la cantidad arriba del mnimo requerido que se establece en lado derecho de la restriccin del tipo .

Cuando se suma una variable artificial o excedente a una de las restricciones, tambin se debe incluir en las otras ecuaciones y en la funcin objetivo del problema (similar a las variables de holgura)46Ejemplo 1: Variables artificiales y excedentesDadas las siguientes restricciones, convertirlas cada una de ellas para su utilizacin con el algoritmo simplex:Restriccin 1 : 25 X1+ 30 X2 900 Sumar una variable artificial A1 a la restriccin25 X1+ 30 X2 +A1 = 900

Restriccin 2 : 5 X1+ 13 X2 + 8X3 2100 Primero restar una variable excedente (S1)Luego sumar una variable artificial A2 para formar una nueva ecuacin 5 X1+ 13 X2 S1 +A1 = 2100

47Taller N 3: Variables artificiales y excedentesLa MCH Corp debe producir 1000 lb de una mezcla especial de fosfato y potasio para un cliente. El fosfato cuesta 5 $/lb y el potasio 6$/lb. No se pueden utilizar ms de 300 lb de fosfato, y se deben utilizar cuando menos 150 lb de potasioSe desea formular esto como un problema de PL y convertir las restricciones y funcin objetivo en la forma necesaria para utilizar el algoritmo simplex

Solucin: Suponer que:

X1 = # de libras de fosfato en la mezclaX2= # de libras de potasio en la mezclaFuncin objetivo: minimizar el costo Z = 5X1 + 6X2Funcin objetivo en la forma simplex: minimizar el costo Z = 5X1 + 6X2 + 0S1 +0S2 + MA1 + MA2

Forma regularForma simplexRestriccin 11X1 + 1X2 = 10001X1 + 1X2 + 1 A1 = 1000Restriccin 21X1 3001X1 + 1S1 = 300Restriccin 3 1X2 150 1X2 - 1S2 +1A2 = 15048Formulacin de problemas de minimizacin con algoritmo simplexSon similares a los problemas de maximizacin

La nica diferencia radica en el rengln Cj- Zj,

Dado que ahora el objetivo es minimizar los costos, la nueva variable que participar en la solucin de cada tabla ( la columna pivote) ser aquella con el nmero negativo ms grande en el rengln Cj- Zj

La eleccin del paso anterior permite elegir la variable que disminuya los costos lo ms posible

Se logra una solucin ptima cuando todos los nmeros en el rengln Cj- Zj son cero o positivosPasos del Simplex para el mnimoElegir la variable con mayor Cj- Zj negativa para que entre en base.

Determinar la variable que sale de la base, escogiendo aqulla que tenga un menor cociente entre los valores de la columna cantidad y los de la columna del pivote que sean estrictamente mayores que cero. Calcular los nuevos valores de la fila del pivote. Calcular los nuevos valores del resto de filas. Calcular Cj y Cj-Zj de la nueva tabla. Si existen algn nmero de Cj-Zj inferior a cero, se vuelve al paso 1.50La MCH Corp debe producir 1000 lb de una mezcla especial de fosfato y potasio para un cliente. El fosfato cuesta 5 $/lb y el potasio 6$/lb. No se pueden utilizar ms de 300 lb de fosfato, y se deben utilizar cuando menos 150 lb de potasio. Minimizar los costos de produccin

Solucin:La tabla inicial es:

Ejemplo de minimizacin

51Taller N 4: Problema de minimizacinCompletar el trabajo de resolver el problema de minimizacin de MCH Corp aplicando el mtodo simplex hasta que se logre una solucin ptima:Construir la tercera tablaConstruir la cuarta tabla (y final)Cul es la solucin?52Ejemplo de minimizacinSupongamos que trabaja como analista para una divisin de KDK, que produce lquido para revelado en blanco y negro y en color. Se tienen que producir al mes al menos 30 toneladas de lquido en B/N y 20 toneladas de lquido en color. El total de los productos qumicos debe ser como mnimo de 60 toneladas. Cuntas toneladas se tendran que producir de cada lquido para minimizar los costes?Use el mtodo grfico de PLUtilice el algoritmo simplex de PLUtilice WinQSBB/N: 2.500 dlares de costo de fabricacin al mes.Color: 3.000 dlares de costo de fabricacin al mes.

1995 Corel Corp.53Utilizacin de las hojas de clculo EXCEL para resolver los problemas de PLEl programa Excel dispone de una herramienta incorporada, denominada SOLVER, para encontrar las soluciones a la programacin lineal

La herramienta Solver (solucionador) se limita a 200 celdas que cambian (variables), cada una con dos restricciones de frontera y hasta 100 restricciones adicionales. Tiene capacidad para resolver problemas del mundo real54Ejemplo: Utilizacin de las hojas de clculo EXCELSC Electronics fabrica dos productos: (1) un walkman AM/FM y (2) un reloj TV . El proceso de produccin de cada producto es similar, ya que ambos requieren de un cierto nmero de horas de trabajo en electrnica y unas determinadas horas de mano de obra en el departamento de montaje. Cada walkman necesita de 4 horas de trabajo en el departamento de electrnica y 2 horas de en el departamento de montaje. El proceso de produccin del reloj TV es de 3 horas de trabajo en el departamento de electrnica y de 1 hora en el departamento de montaje.En el perodo de produccin actual, se disponen de 240 horas en el departamento de electrnica y de 100 horas en el montaje.Cada walkman vendido reporta un beneficio de 7 dlares, mientras que para un reloj TV el beneficio es de 5 dlares. El problema para SC Electronics estriba en determinar la mejor combinacin posible en cuanto al nmero de walkman y de relojes-TV fabricados, de modo que se obtenga el mximo beneficio.

Solucin:

X1 = nmero de walkmans.X2 = nmero de televisores.Las dos restricciones del problema en trminos de X1 y X2:4X1 + 3X2 240Restricciones en el departamento de electrnica.2X1 + 1X2 100 Restricciones en el departamento de montaje La funcin objetivo en trminos de X1 y X2:

7X1 + 5X2 = beneficioMaximizar los beneficios (Funcin objetivo)55mnimo

Mximo

Actual

Mx aumento = 7500-4000 = 3500

2500

4000

7500

Mx disminucin= 4000-25000 = 1500

OP

(48/7;16/7) = (6,86; 2,29)

Desplazamiento de A

A

B

102,85

OP

A

B

(0;16)

240

Desplazamiento de A

mnimo

Mximo

Actual

102,85

150

240

Mx disminucin