PROFESOR: CARLOS MARTÍN ARTEAGA UNIDAD DIDÁCTICA 10 … · 1 – F 2 = 18 N – 8 N = 10 N...

U.D. 10 - DINÁMICA UD 10 -

FISICA Y QUÍMICA. 1º BACHILLERATO. PROFESOR: CARLOS M. ARTEAGA

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FÍSICA Y QUÍMICA. 1º DE BACHILLERATO

PROFESOR: CARLOS MARTÍN ARTEAGA

UNIDAD DIDÁCTICA 10

LAS FUERZAS: DINÁMICA

1.- LA ACCIÓN DE LAS FUERZAS

¿QUÉ TENEMOS QUE APRENDER?

La definición de fuerza atendiendo a los efectos que puede causar.

Por qué decimos que una fuerza es una magnitud vectorial.

FUERZA es toda aquella acción que, aplicada sobre un cuerpo, causa sobre éste un cambio de velocidad, o bien, una deformación.

Cuando las fuerzas actúan sobre algo, pueden cambiar: a) su forma; b) el valor de su velocidad; c) su dirección.

La fuerza es una magnitud vectorial. Decimos que es magnitud porque es una propiedad que se puede medir, y que es vectorial porque, para conocer el efecto producido, además de su valor numérico necesitamos conocer su dirección y su sentido.

Cuando varias fuerzas actúan sobre el mismo cuerpo, para conocer el efecto causado hay que calcular la RESULTANTE de las mismas, es decir hay que aplicar el cálculo de vectores.

CONTESTA Y REPASA

10.1. ¿Qué efectos puede producir una fuerza al ser aplicada sobre un objeto?

2.- LAS LEYES DE NEWTON


El enunciado y la explicación de las tres leyes de Newton.

El concepto de inercia.

La fórmula que relaciona fuerza masa y aceleración (ecuación fundamental de la dinámica).

A qué llamamos fuerza resultante.

Qué es la acción y la reacción y por qué no causan el mismo efecto.

Las LEYES DE NEWTON nos explican la relación que existe entre fuerza y movimiento.

1ª LEY DE NEWTON O PRINCIPIO DE INERCIA

"Todos los cuerpos se mantienen en reposo o con velocidad constante en valor numérico y en dirección y sentido (movimiento rectilíneo y uniforme) mientras no actúe sobre ellos una fuerza; o lo que es lo mismo, para que un cuerpo cambie su velocidad (tenga aceleración), bien sea en valor numérico o en dirección y sentido, es necesario aplicarle una fuerza."

Es importante hacer dos aclaraciones acerca de esta ley:

Se comprende fácilmente que cuando un cuerpo está en reposo continuará así mientras no actúen fuerzas sobre él. Sin embargo, ¿existe realmente algún cuerpo sobre el que no actúen fuerzas? La verdad es que no existe ningún cuerpo que se vea libre de la acción de las fuerzas. Pero la primera ley sigue siendo válida ya que, cuando decimos que un cuerpo está en reposo si no actúan fuerzas sobre él, queremos decir que la resultante de todas las fuerzas que ejercen su acción en el cuerpo es nula, que es como decir que no actúa ninguna.



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Por otra parte, se dice también en la ley que los cuerpos que se mueven con velocidad constante continúan en este estado mientras no se ejerzan fuerzas sobre ellos. En realidad, si estudiamos los movimientos que se producen en la Tierra, ningún cuerpo puede mantenerse en movimiento rectilíneo y uniforme (MRU) si no es por la acción de alguna fuerza, ya que siempre existen fuerzas de rozamiento que se oponen al movimiento y que es preciso neutralizar.

El rozamiento, como verás más adelante, es un tipo de fuerza que se produce cuando dos cuerpos rozan, como por ejemplo la superficie de una caja al arrastrarla por el suelo. El rozamiento se opone al movimiento y hace que disminuya la velocidad.

Podemos decir que, según nos dice la primera ley de Newton, los cuerpos no pueden modificar por sí mismos el estado de movimiento en que se encuentran: se quedarán en reposo o con movimiento rectilíneo uniforme (si es que ya estaban en movimiento) hasta que actúe alguna fuerza externa sobre ellos. En resumen: la materia presenta una cierta resistencia a los cambios de movimiento. Eso es lo que se llama INERCIA.

Llamamos INERCIA a la oposición de los cuerpos a cambiar la velocidad.

Esta resistencia de los cuerpos a modificar su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme puede comprobarse con los siguientes ejemplos:

Cuando un vehículo parado arranca bruscamente hacia adelante, los pasajeros son impulsados hacia atrás, ya que su tendencia es permanecer en reposo.

Cuando un vehículo en marcha se detiene bruscamente, los pasajeros son impulsados hacia adelante, ya que tienden a seguir en movimiento

El tiempo requerido para cambiar de velocidad (acelerar o decelerar) depende de la masa del objeto: Un camión tardará más que un coche pequeño.

Recordemos que la velocidad es una magnitud vectorial y por tanto posee módulo, dirección y sentido. Decir que la velocidad se mantiene constante implica que se mantienen constantes su módulo, su dirección y su sentido. Un cambio en cualquiera de los tres sólo puede ser producido por una fuerza.

2ª LEY DE NEWTON O PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA

Ya sabemos que para modificar la velocidad de un cuerpo debe actuar una fuerza sobre él. En otras palabras: para que aparezca una aceleración (positiva o negativa) debe existir una fuerza externa.

Newton descubrió que un cuerpo aumenta de velocidad (acelera) más rápidamente si la fuerza que recibe es mayor.

El principio fundamental de la dinámica CUANTIFICA un hecho conocido: es más difícil acelerar a los objetos que tienen más masa. Esta afirmación sirve tanto para las aceleraciones positivas como para las negativas (frenado). Este principio dice lo siguiente:

"La aceleración producida sobre un cuerpo por una fuerza es directamente proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa del cuerpo."

Esta ley se puede escribir mediante la fórmula que relaciona a estas tres magnitudes:

Hay que destacar que si sobre el cuerpo actúan varias fuerzas, es la RESULTANTE de todas ellas la que produce la aceleración real del objeto.

Cuando sobre un objeto en movimiento no actúa ninguna fuerza o la resultante de las que actúan es nula decimos que el objeto está en EQUILIBRIO DINÁMICO pues la aceleración es cero.

Como ya ha quedado indicado para que un cuerpo cambie su velocidad es necesario aplicarle una fuerza. Pero para conseguir el mismo cambio de velocidad (la misma aceleración) en dos cuerpos de características diferentes es necesario, por lo general, aplicarles fuerzas de valor diferente. Así, si tenemos dos vehículos que llevan la misma velocidad y queremos detenerlos a la vez es necesario aplicar una fuerza mayor sobre el que posee mayor masa (para nosotros, el más pesado). O lo que es lo mismo es más difícil cambiar la velocidad de un móvil cuanta mayor sea su masa.

Por tanto, el concepto de INERCIA es EQUIVALENTE al de MASA.

F = m · a



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3ª LEY DE NEWTON O PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACCIÓN

"Siempre que un cuerpo produce una fuerza sobre otro (acción), recibe sobre él mismo una fuerza igual pero de sentido contrario”.

Así, si golpeamos un clavo con una piedra, la piedra sufre una reacción idéntica que le devuelve el clavo; como consecuencia de ella la piedra puede llegar a romperse. Si apretamos con el dedo sobre la mesa, la mesa aprieta a su vez sobre el dedo con la misma fuerza. Cuando el fusil dispara una bala, la bala "empuja" al fusil hacia atrás; la "reacción" se aprecia perfectamente en el hombro. Una persona que empuja a otra que está en el hielo sobre un trineo sale despedida hacia atrás al salir el trineo hacia delante... Podríamos seguir poniendo infinitos ejemplos de las fuerzas de acción y reacción.

Tan importante como el enunciado de este principio es recordar que ambas fuerzas, la acción y la reacción, están aplicadas sobre cuerpos distintos y, por tanto, no se anulan mutuamente.

CONTESTA Y REPASA

10.2. Si la primera ley de Newton dice que un objeto que está en movimiento no cambia de velocidad mientras no se le aplique una fuerza ¿cómo es posible que un coche que circula por una carretera llana vaya disminuyendo su velocidad (cambio de velocidad) si lo dejamos en punto muerto?

10.3. Escribe la sensación que experimentas en un autobús cuando arranca, frena, toma una curva... Explica en cada caso porqué ocurre así.

10.4. ¿Qué relación hay entre la fuerza aplicada a un objeto y la aceleración producida por la fuerza sobre el objeto? ¿Y entre la masa del objeto y la aceleración adquirida?

3.- LA MEDIDA DE LAS FUERZAS.


La unidad de fuerza en el S.I. y su definición.

Ejercicios de aplicación de la ecuación fundamental de la dinámica.

La fuerza es una magnitud y como tal se puede medir.

La unidad de medida de fuerza en el S.I. es el NEWTON (N).

Un NEWTON es la fuerza que aplicada de forma constante sobre un cuerpo que esté inicialmente en reposo y cuya masa sea de 1kg le produce una aceleración de 1m/s2.

1N = 1kg · 1m/s2

Un Newton es una fuerza relativamente débil. Para hacernos una idea de su valor diremos que cuando levantamos del suelo un objeto cuya masa es de un kilogramo estamos realizando una fuerza superior a 9,8 Newton.

EJERCICIO RESUELTO

Sobre un cuerpo de 5 kg de masa actúa una fuerza de 15 N. Calcular la aceleración que adquiere el cuerpo. DATOS: m =5 kg

F = 15 N Aplicamos la segunda ley de Newton: F = m · a Despejamos la aceleración:

2

2

m15kg

F 15N msa 3m 5kg 5kg s

APLICACIÓN DE LAS LEYES DE NEWTON A CASOS SENCILLOS Para resolver un problema de dinámica en los que intervenga más de una fuerza aplicando las leyes de

Newton se siguen los siguientes pasos:

1º Se dibuja un esquema del problema con especial atención a las fuerzas que en él intervienen.

2º Se calcula la resultante de las fuerzas que actúan.

3º Se calcula la aceleración del movimiento aplicando la ecuación fundamental de la dinámica (R = m a), siendo R la fuerza resultante.



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EJERCICIO RESUELTO

Sobre un cuerpo de 4 kg de masa actúan dos fuerzas, una de 18 N y otra de 8 N en la misma dirección y en sentido contrario. Calcular la aceleración que adquiere el cuerpo teniendo en cuenta que la fuerza de rozamiento es nula.

1º Dibujamos el diagrama de fuerzas

2º Calculamos la resultante: R = F1 – F2 = 18 N – 8 N = 10 N

Teniendo en cuenta el diagrama que hemos realizado, la resultante tendrá sentido hacia la derecha

3º Aplicamos la segunda ley de Newton a la fuerza resultante:

R = m a Despejamos la aceleración:

2

2

m10kg

R 10N msa 2,5m 4kg 4kg s

Es importante que observes que al trabajar en los problemas con unidades del Sistema Internacional nos sale siempre en la solución una unidad del Sistema Internacional, lo que facilita los cálculos. Así en este problema conocíamos la fuerza que la hemos dado en N y la masa en kg que son unidades de S.I.; como puedes comprobar la aceleración aparece en m/s2 que es la unidad de aceleración en el S. I.

EJERCICIO RESUELTO

Tres niños ejercen cada uno de ellos una fuerza de 8 N sobre un cajón de madera moviéndolo por el suelo de una habitación. Si la fuerza de rozamiento vale 10 N, calcular: a) la aceleración que adquiere el cajón si su masa es de 40 kg, b) la velocidad que tiene a los 2s si partió del reposo. Las tres fuerzas se ejercen en la misma dirección y sentido.

a)

1º Dibujamos el diagrama de fuerzas:

2º Calculamos la resultante: R.

Como la fuerza de rozamiento Fr es una fuerza que se opone al movimiento producido por las fuerzas ejercidas por los tres niños, tal y como aparece en el diagrama, la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo será:

R = fuerzas a favor del movimiento — fuerzas en contra del movimiento

R = F1 + F2 + F3 - Fr

R = (3 · 8N) - 10N = 14 N

3º Aplicamos la segunda ley de Newton a la fuerza resultante:

R = m a

Despejamos la aceleración:

2

2

m14kg

R 14N msa 0,35m 40kg 40kg s

b) Para calcular la velocidad utilizaremos la siguiente ecuación: v = v0 + a t

Puesto que el cajón parte del reposo, v0 = 0 v=at

Luego: v = 0,35 m/s2 · 2 s = 0,70 m/s



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EJERCICIO RESUELTO

Un coche de 600 kg que avanza por una carretera horizontal a 100 km/h frena, siendo la fuerza total de frenado de 3.000N.

A) ¿Qué aceleración adquiere?

B) ¿Qué distancia recorre hasta que se para?

En primer lugar, se dibuja un esquema del problema indicando las fuerzas que intervienen. Te habrás preguntado qué es lo que ocurre con la fuerza “peso” y porqué hasta ahora no la hemos dibujado en los diagramas. Esto es porque la fuerza del peso se anula con la fuerza de reacción del suelo (que es la fuerza que ejerce el suelo hacia arriba y que hace que el móvil no se hunda por la acción del peso) y, en este caso concreto sólo queda la fuerza de frenada como fuerza resultante.

La fuerza resultante es una fuerza de frenada que, por tanto, se opone al movimiento; cuando esto ocurre la fuerza resultante es negativa:

R = – 3000N

A) Para calcular la aceleración se aplica la ecuación fundamental de la dinámica: R = m a

Despejamos la aceleración:

2

2

m3000kg

R 3000N msa 5m 600kg 600kg s

B) El movimiento que describe el coche es rectilíneo uniformemente acelerado con velocidad inicial y aceleración negativa:

v0=100km/h; a= –5m/s2

Expresamos las velocidades en m/s:

Para pasar km/h a m/s las equivalencias son: 1km=1000m; 1h=3600s

km km 1h 1000m m100 100 28

h h 3600s 1km s

Escribimos las ecuaciones del MRUA que nos sirven para realizar este apartado:

f ov v at

2

o o

1s s v t at

2

En la primera fórmula despejamos el tiempo que tarda en pararse:

f 0

2

v v 0 28m/ st 5,6s

a 5m/ s

El espacio recorrido en este tiempo lo calculamos sustituyendo los datos en la fórmula:

s= 0 + (28 m/s · 5,6s) + [½ (– 5 m/s2 · 5,62s2)] = 156,8 m – 78,4 m = 78,4 m

CONTESTA Y REPASA

10.5. A un cuerpo de 1000 kg de masa que se encuentra en reposo se le somete a una fuerza de 300 N durante 5 s. Calcular: a) su aceleración, b) su velocidad al cabo de los 5 s.

10.6. Una fuerza constante actúa sobre un objeto de 8 kg y reduce su velocidad de 7 m/s a 3 m/s en un tiempo de 5 s. Calcular el valor de la fuerza aplicada sobre el objeto.

10.7. Un cuerpo de 80 kg se desplaza por una pista horizontal aplicándole una fuerza constante de 100 N. Suponiendo que existe una fuerza constante de rozamiento de 20 N, calcular la aceleración que adquiere.



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4.- FUERZA DE ROZAMIENTO


El concepto de fuerza de rozamiento y los perjuicios y beneficios que puede llegar a causar.

A qué llamamos coeficiente de rozamiento y los factores de que depende su valor.

La resolución de problemas en los que intervenga la fuerza de rozamiento.

Cuando el movimiento de un cuerpo se realiza mediante un deslizamiento sobre una superficie, esta superficie ejerce una fuerza sobre el cuerpo contraria a su movimiento, cuyo valor depende de las características de las superficies en contacto.

A esta fuerza de oposición al movimiento la llamamos FUERZA DE ROZAMIENTO.

La fuerza de rozamiento es siempre una fuerza de "frenado" y, por tanto debe ser compensada si queremos conseguir que el cuerpo se ponga en movimiento.

Las fuerzas de rozamiento aparecen también entre las piezas móviles de las máquinas produciendo siempre calentamientos innecesarios y perjudiciales. Por ello, el aceite, que es muy viscoso y por tanto pegajoso y difícil de verter, se pone entre las superficies metálicas a fin de que no haya gran rozamiento entre las piezas de metal.

Pero el rozamiento es también muy útil, pues entre otras cosas, lo necesitamos para andar; cualquier movimiento que dependa de una superficie que está en contacto con otra, sería imposible sin rozamiento; sin rozamiento es imposible correr, andar, ir en bicicleta..., un coche en marcha es imposible pararlo o conducirlo sin rozamiento. Las correas de transmisión funcionan gracias a la existencia del rozamiento.

Cuanto más grande es la fuerza con la que se empujan las dos superficies más grande es el rozamiento.

El aire opone también una resistencia al avance de los cuerpos en su seno lo que da lugar también a una fuerza de rozamiento que, aunque generalmente de menor entidad, conviene conocer puesto que todos nos movemos dentro de este "océano" de aire que nos rodea. Cuando un paracaidista salta de un avión, al principio acelerará hacia abajo. De la misma forma que su velocidad aumenta, también aumentará el rozamiento del aire, hasta que sea exactamente igual a su peso. A partir de ese instante se desplazará a una velocidad constante, denominada VELOCIDAD LÍMITE. Al estar en contacto con el aire una gran superficie en movimiento (la superficie del paracaídas desplegado) el rozamiento se hace mucho mayor y la velocidad límite es mucho menor.

La fuerza de rozamiento que se produce cuando un objeto se desliza sobre el suelo no depende del tamaño de las superficies que estén en contacto, sino de las características del suelo y la superficie del objeto (da lo mismo que se deslice sobre una superficie muy grande que sobre una pequeña si el material en contacto es el mismo).

Por otra parte la fuerza de rozamiento es directamente proporcional a la “reacción que opone” el plano por el que se mueve el objeto (el plano puede ser el suelo, la mesa, un tablero, o, en general, la superficie sobre la que se arrastre el objeto). Esa “reacción” es lo mismo que decir la fuerza que hace el plano hacia arriba y perpendicular a él para que el objeto no se hunda (se llama “REACCIÓN NORMAL AL PLANO” = N).

En el caso de superficies horizontales la reacción normal al plano es exactamente igual al peso del objeto que esté sobre él, pues para que se anule el peso la superficie tiene que hacer una fuerza igual pero de sentido contrario.

Por tanto si la fuerza de rozamiento para superficies horizontales es proporcional a N diremos que es proporcional al peso del objeto. A la constante de proporcionalidad se le llama coeficiente de rozamiento:

Para superficies horizontales:

N = P Fr = N = P

es el COEFICIENTE DE ROZAMIENTO y depende de la rugosidad de las dos superficies en contacto. EL

VALOR DE ESTARÁ SIEMPRE ENTRE 0 Y 1.

Al hacer problemas en los que interviene la fuerza de rozamiento recuerda que ésta es contraria al movimiento.

Cuando hagamos un diagrama la lógica nos dice que si las fuerzas hacia delante son mayores que las fuerzas hacia atrás, el vehículo acelerará hacia delante. Si las fuerzas hacia delante y hacia atrás son iguales, o están equilibradas, el vehículo permanecerá parado o seguirá a una velocidad constante. Si las fuerzas hacia atrás son mayores que las fuerzas hacia delante, el vehículo aminorará la velocidad, es decir desacelerará.



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EJERCICIO RESUELTO

A un objeto de 2 kg situado sobre un plano horizontal sin rozamiento se le aplica una fuerza de 6 N paralela al plano:

A) Calcular la aceleración que adquiere. B) Calcular el espacio recorrido en 5 s.

En la figura se representan las fuerzas que actúan.

La fuerza del peso, P, se anula con la fuerza de reacción del plano, N, la fuerza resultante R, por tanto, es la fuerza aplicada de 6N

A) Para calcular la aceleración se aplica la ecuación fundamental de la dinámica: R = m a

Despejamos la aceleración: 2

2

m6kg

R 6N msa 3m 2kg 2kg s

B) El movimiento que describe el objeto es rectilíneo uniformemente acelerado con velocidad inicial cero y aceleración positiva:

v0=0 ; a= 3m/s2 ; t = 5s

Escribimos la ecuación del MRUA que nos sirven para realizar este apartado:

2

o o

1s s v t at

2

El espacio recorrido en 5 segundos lo calculamos sustituyendo los datos en la fórmula:

s = [½ (3 m/s2 · 52s2)] = 37,5 m

EJERCICIO RESUELTO

Resolver el problema anterior en el caso de que exista rozamiento y el coeficiente de rozamiento valga 0,2. El diagrama de fuerzas se representa en la figura.

Ahora hay que tener en cuenta también la fuerza de rozamiento.

El peso se anula con la fuerza de reacción del plano.

La fuerza resultante, R, será la diferencia entre la fuerza aplicada de 6N y la fuerza de rozamiento:

Cálculo de la fuerza de rozamiento:

Fr = N = P = mg = 0,2 · 2 kg · 9,8 m/s2 = 3,92N

Cálculo de la fuerza resultante: R = F1 — Fr = 6 N — 3,92 N = 2,08 N

A) Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica (F = m a), podemos calcular la aceleración:

2,08 N = 2 kg a

a = 1,04 m/s2

B) Vamos a calcular el espacio recorrido en 5 segundos.

El movimiento que describe el objeto es rectilíneo uniformemente acelerado con velocidad inicial cero y aceleración positiva:

v0 = 0 ; a = 1,04 m/s2 ; t = 5s

Escribimos la ecuación del MRUA que nos sirven para realizar este apartado:

2

o o

1s s v t at

2

El espacio recorrido en 5 segundos lo calculamos sustituyendo los datos en la fórmula:

s = [1/2 (1,04 m/s2 · 52s2)] = 13 m



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EJERCICIO RESUELTO

Se lanza un cuerpo de masa m = 20kg con velocidad inicial smv 100

, de manera que deslice sobre una

mesa horizontal. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el cuerpo y la mesa es 0,4, calcula el valor de la fuerza de rozamiento y el espacio que recorrerá el cuerpo antes de detenerse.

La fuerza de rozamiento se opone al movimiento, luego hay que dibujarla con sentido contrario a la velocidad. Como no existe ninguna fuerza que arrastre el cuerpo, y el peso y la normal al plano se anulan, la fuerza resultante coincide con la fuerza de rozamiento.

Al ser una fuerza de valor constante y contraria al movimiento hará que la velocidad disminuya de forma progresiva, por lo que la aceleración será negativa y constante:

Tenemos:

RY = N – mg = 0 N = m · g

RX = – FR = – N = – mg = – (0,4 20 9,8) = – 78,4 N

RX = – FR = m · a

2RF 78,4Na 3,92m s

m 20kg

El cuerpo posee un MRUA con aceleración negativa. Al final, v = 0: s = s0+v0t+1/2at2

v = v0+at Y despejando s (que es lo que se nos pide):

2 2 2 2 2

0

2

v v 10 m ss 12,75m

2a 2 ( 3,92)m s

CONTESTA Y REPASA

10.8. ¿Para qué se fabrican coches con un “perfil aerodinámico”? ¿Por qué los ciclistas se colocan los cascos aerodinámicos en las pruebas contrarreloj?

10.9. ¿Por qué es más difícil frenar en superficies mojadas que en superficies secas?

10.10. Un ciclista cuya masa (incluida la de su máquina) es de 85 kg, marcha por una carretera horizontal a 20 km/h. Si el coeficiente de rozamiento es 0,07: a) ¿Cuánto tiempo tardará en pararse si deja de dar a los pedales? b) ¿Qué espacio habrá recorrido desde que deja de dar a los pedales hasta que se para?

10.11. Resuelve el problema anterior en el caso de que el coeficiente de rozamiento sea 0,15

5.- TIPOS DE FUERZAS


A qué llamamos Fuerzas a Distancia.

Los tres tipos de fuerza a distancia que existen.

El concepto de campo de una fuerza y los nombres de los campos de fuerzas atendiendo al tipo

de fuerza a distancia que lo crea.

Para que un cuerpo actúe con una fuerza sobre otro no es necesario que siempre haya un contacto físico entre ambos. Podemos observar según esta apreciación que existen dos tipos de fuerzas: aquellas en las que se produce contacto físico entre los cuerpos que interactúan (FUERZAS DE CONTACTO), y aquéllas en que este contacto no existe (FUERZAS A DISTANCIA).

Dentro de las fuerzas a distancia distinguimos tres tipos: las fuerzas GRAVITATORIAS (debidas a la masa de los cuerpos), las fuerzas MAGNÉTICAS (de los imanes) y las fuerzas ELÉCTRICAS (entre cargas eléctricas). Mientras que las fuerzas magnéticas y eléctricas pueden ser de atracción y de repulsión, las fuerzas gravitatorias son únicamente de atracción.



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A la zona o espacio donde actúa una de estas fuerzas a distancia lo llamamos CAMPO DE ESA FUERZA.

Llamamos CAMPO MAGNÉTICO a la zona donde un imán ejerce su fuerza,

CAMPO ELÉCTRICO a la zona donde una carga eléctrica ejerce su fuerza y

CAMPO GRAVITATORIO a la zona donde un objeto, por el hecho de poseer masa ejerce su fuerza.

Recuerda que a la zona donde se nota la fuerza que ejerce la tierra debido a la masa que ésta posee o fuerza de gravedad, la llamamos CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE.

Existen otras dos fuerzas a distancia que se detectan a nivel subatómico: la fuerza nuclear débil y la fuerza nuclear fuerte.

CONTESTA Y REPASA

10.12. Decimos que la fuerza de la gravedad es una fuerza a distancia por ser una fuerza de atracción ¿qué significado crees que tendrá el concepto de “fuerza a distancia“? ¿Conoces otras fuerzas a distancia? ¿son también fuerzas de atracción?

6.- LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL.

CAMPO GRAVITATORIO


La ley de Newton de la gravitación universal y la fórmula establecida por dicha ley.

Las características de las fuerzas gravitatorias.

El concepto de intensidad de campo gravitatorio y su representación: las líneas de campo.

Los cuerpos por el mero hecho de tener masa ejercen una fuerza de atracción a distancia sobre otros cuerpos con masa. A esa interacción entre los cuerpos a distancia se le denomina interacción gravitatoria y a la fuerza de atracción, fuerza gravitatoria. La fuerza es tan débil que es muy difícil de apreciar a menos que las masas sean enormes (como por ejemplo, la de los planetas). De ahí que nos encontremos "pegados" a la Tierra, pero no te confundas... la Tierra nos atrae pero nosotros también la atraemos a ella, y es que en cada cuerpo nace una fuerza de igual módulo y dirección aunque de sentido contrario, que cumple el Principio de Acción Reacción. Ley de Newton de la Gravitación Universal: Dos cuerpos cualesquiera del Universo se atraen mutuamente con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r que existe entre sus centros.

2

M mF G

r

F es la fuerza gravitatoria (N)

G es la constante de gravitación universal

M y m son las masas de los 2 cuerpos que se atraen

r es la distancia que separa el centro de ambos cuerpos

Valor de la constante G: 2

11

2

NmG 6,67 10

kg

G es la fuerza con que se atraen dos masas de 1 kg cada una cuando están situadas a 1 m de distancia.

EJERCICIO RESUELTO Calcular la fuerza con que se atraen dos masas de 100 y 1000 kg situadas a una distancia de 20 m.

11 8

2 2

8

M m 100 1000F G 6,67 10 1,67 10 N

r 20

F 1,67 10 N

Como puedes observar debido a la pequeñez de la constante de gravitación, la fuerza de atracción es muy débil, prácticamente inapreciable.



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EJERCICIO RESUELTO

Sabiendo que la masa de la Tierra es 5.98 · 1024 kg y la de la Luna 7.34 · 1022 kg, ¿Con qué fuerza atrae la

Tierra a la Luna (y viceversa) si la distancia entre ambas es de 3,84·105 Km?

Datos MT = 5.98 · 1024 kg ML = 7.34 · 1022 kg R = 3,84·105 Km = 3,84 · 108 m G = 6.67 · 10-11 N·m2/kg2

SOLUCIÓN

Para calcular la fuerza de atracción entre la Tierra y su satélite debemos aplicar la expresión de la ley de gravitación universal, empleando los datos que nos proporcionan:

24 2211 20T L

2 28

20

M m 5,98 10 7,34 10F G 6,67 10 1,98 10 N

r 3,84 10

F 1,98 10 N

Deducimos por tanto que la fuerza de atracción entre masas muy grandes sí tiene un valor apreciable.

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUERZAS GRAVITATORIAS

Las fuerzas gravitatorias tienen las características siguientes:

La dirección del vector fuerza es la de recta que une las dos masas. Las fuerzas gravitatorias siempre son atractivas.

Son fuerzas a distancia. No es preciso que existan ningún medio material entre las masas para que dichas fuerzas actúen.

Siempre se presentan a pares. Si la partícula 1 atrae a la partícula 2 con una fuerza F12, la partícula 2, a su vez, atrae a la partícula 1 con una fuerza F21. Ambas fuerzas tienen el mismo módulo y la misma dirección, pero sentidos contrarios. Son fuerzas de acción y reacción. F12=-F21 (Usamos negrita para indicar que son vectores)

La constante de proporcionalidad G que aparece en la ley se llama constante de gravitación universal y su valor es constante en todo el universo. Su valor es tan pequeño que, a menos que una de las masas sea muy grande, la fuerza de atracción es inapreciable.

Las fuerzas gravitatorias son centrales y conservativas. La fuerza gravitatoria es una fuerza central porque está dirigida constantemente hacia el mismo punto, centro del campo, independientemente de la posición de la masa m, y su módulo depende sólo de la distancia r de la masa m a la masa M que crea el campo. La fuerza gravitatoria es conservativa porque el trabajo realizado por el campo gravitatorio para trasladar una masa m de un punto a otro depende sólo de las posiciones inicial y final de dicha masa.

Las fuerzas gravitatorias cumplen el principio de superposición, si varias masas ejercen fuerzas gravitatorias sobre otra, la fuerza total será la suma vectorial de todas ellas.

CAMPO GRAVITATORIO

CAMPO GRAVITATORIO: Región del espacio donde una masa experimenta una fuerza gravitatoria.

Es, por tanto, la perturbación que un cuerpo produce en el espacio que lo rodea por el hecho de tener masa.

INTENSIDAD DEL CAMPO GRAVITATORIO EN UN PUNTO: Fuerza que ejerce el campo sobre la unidad de

masa colocada en dicho punto. Se representa por “g ” y su unidad en el S.I. es el N/kg o también m/s2.

2

Mg G

r

REPRESENTACIÓN DEL CAMPO GRAVITATORIO

LÍNEAS DE CAMPO: Líneas vectoriales imaginarias que se utilizan como representación gráfica de los campos de fuerzas.

Cada línea representa el camino que seguiría la partícula sobre la que actúa la fuerza cuando es colocada, partiendo del reposo, en un punto de la línea.

En los lugares donde las líneas estén más juntas, más intenso es el campo de fuerzas.

Las líneas de fuerza nunca se cortan porque la fuerza en cualquier punto sólo puede tener una dirección.



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CONTESTA Y REPASA

10.13.- Aplica la ley de la gravitación universal en cada uno de los casos que se plantean a continuación, para calcular:

a) La fuerza con que se atraen dos masas de 3 toneladas separadas 10 cm.

b) La distancia entre dos masas de 4·107 kg y 7·106 kg que se atraen con una fuerza de 0,2 N.

c) La masa que, separada una distancia de 3 m de otra masa de 10000 kg, ejerce sobre ella una fuerza de atracción de 0,004 N.

10.14.- Dos cuerpos de igual masa se atraen con una fuerza de 5,3 ·106 N cuando se encuentran a una distancia de 75 cm. Calcular:

a) El valor de la masa de los cuerpos.

b) La fuerza con que se atraería si se separaran hasta 3m.

10.15.- Calcula el valor de g a una altura de 1000 km sobre la superficie de la Tierra.

Datos: MTierra= 5,98· 1024 kg; RTierra = 6371 km

7.- CONCEPTO DE PESO


El concepto de peso.

Qué es la aceleración de la gravedad y porqué se produce.

La diferencia entre masa y peso.

Cómo varía el valor de la aceleración de la gravedad.

La fórmula que permite el cálculo del peso de un cuerpo y su aplicación para la resolución de

problemas.

Como hemos visto las fuerzas gravitatorias son prácticamente nulas dada la masa de la mayoría de los cuerpos, pero se hacen notoriamente importantes cuando la masa de un cuerpo es muy grande como ocurre con los planetas, las estrellas y otros cuerpos del espacio (agujeros negros...).

Así, la Tierra ejerce una fuerza de atracción sobre todos los cuerpos que están en su entorno debido a la masa que estos poseen. A esta fuerza la llamamos fuerza gravitatoria terrestre o PESO y su valor depende de la masa de los cuerpos y de la distancia a la que estos se encuentren de la tierra.

Cuanto mayor es la masa de los cuerpos mayor es la fuerza de atracción o, lo que es lo mismo, mayor es el peso de los cuerpos. Cuanto más nos vayamos alejando de la superficie terrestre menor se va haciendo la fuerza de atracción, y por tanto los cuerpos van perdiendo peso.

Como toda fuerza cuando se le aplica sobre un cuerpo produce una aceleración sobre éste, la fuerza de atracción de la tierra o fuerza gravitatoria terrestre provoca una aceleración en el movimiento de caída de los cuerpos hacia su superficie a la que llamamos ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD.

Esta aceleración gravitatoria es independiente de la masa del objeto atraído y equivale a la intensidad del campo gravitatorio en cada punto. La intensidad del campo gravitatorio en cada punto viene pues dada por la aceleración que experimenta un objeto colocado en dicho punto.

A todo punto del espacio que rodea a la Tierra se le puede asociar un vector g.

En las proximidades de la superficie terrestre esta aceleración tiene un valor igual para todos los cuerpos que es de 9,8 m/s2.

Esto significa que en su caída hacia la superficie terrestre todos los cuerpos van aumentando su velocidad de igual manera y que no hay ninguna diferencia en el movimiento de caída sea cual sea la masa de los cuerpos que caen, si no tenemos en cuenta la oposición que a todo movimiento representa el aire que nos rodea como ya indicamos anteriormente. La fuerza de rozamiento del aire tiene poco efecto cuando las velocidades de caída son pequeñas pero, como ya quedó explicado, se van haciendo más importantes a medida que esta velocidad de caída es mayor. (El tamaño de la superficie del cuerpo que contacta en su movimiento con el aire así como la forma de esta superficie hace que la oposición que presenta el aire a la caída sea mayor o menor).



12

El valor de la aceleración de la gravedad se va haciendo más pequeño a medida que la distancia al centro de la tierra es mayor. Por eso el mismo objeto tiene mayor peso en la orilla del mar que en lo alto de una montaña.

El término PESO se usa normalmente en la conversación diaria como si significara lo mismo que masa. Esto es totalmente incorrecto. En Física se define peso de un objeto como la medida de la fuerza gravitatoria que actúa sobre el cuerpo. En el espacio interestelar, lejos de las estrellas y los planetas, el peso del cuerpo es cero mientras que la masa sigue siendo la misma.

Los kilogramos miden la masa, es decir la "cantidad de materia" que tiene un cuerpo. Cuando utilizamos una balanza la masa se compara con unas masas ya "estandarizadas" o conocidas. (Es decir la balanza se ha graduado conociendo la masa de diferentes objetos teniendo en cuenta que en un mismo lugar masas iguales son atraídas por la gravedad por fuerzas iguales, es decir tienen pesos iguales).

El peso se mide en Newtons por ser una fuerza. Para saber el peso de una masa determinada hay que utilizar la fórmula que relaciona la fuerza y la masa, donde la aceleración será el valor de la aceleración de la gravedad en ese lugar (g):

F = m · g

EJERCICIO RESUELTO

Recuerda la 2ª ley de Newton y teniendo en cuenta que el peso es la fuerza que actúa sobra un cuerpo en un campo gravitatorio, calcula el peso en la Tierra de un objeto cuya masa es de 50kg. (g = 9,8m/s2)

Aplicamos la fórmula que determina la 2ª Ley de Newton: F = m · a.

En este caso F = Peso y a = g

Peso = m · g = 50kg · 9,8m/s2 = 490N

EJERCICIO RESUELTO

¿Cuánto vale la fuerza de rozamiento contra el aire del paracaídas de un paracaidista que pesa con su equipo 85 kg y que desciende con una velocidad constante de 4 m/s? (g = 9,8m/s2)

Si el paracaidista desciende con una velocidad constante significa que la suma de las fuerzas que actúan sobre él es cero (1ª Ley de Newton)

Las fuerzas que actúan sobre el paracaidista son dos: el peso (vertical y hacia abajo) y el rozamiento del aire que se opone al movimiento (vertical hacia arriba). Esto significa que el peso y el rozamiento tienen exactamente el mismo valor:

Peso = Fr

Peso = m · g = 85kg · 9,8m/s2 = 833N

Fr = 833N

LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y PESO:

Hasta ahora hemos calculado el peso de un cuerpo aplicando la expresión:

F m g

Pero ya sabemos que también la podemos calcular con la ley de gravitación universal.

2

M mF G

r

Las dos fórmulas deben darnos el mismo resultado, por lo que llegamos a la conclusión de que el valor de la gravedad, g, es igual a la intensidad del campo gravitatorio que, no por casualidad, identificamos con la misma letra:

2

2

M mm g G

r

Mg G

r

Esta fórmula nos permite calcular la gravedad a cualquier distancia del centro de la Tierra. Si calculamos su valor en la superficie (g0), sustituyendo los datos (M = 5,98 ·1024 kg; r = RT = 6,37 ·106 m) obtendremos el valor conocido de g0 = 9,8 m/s2 aproximadamente:

2411T

0 2 2 26

T

M 5,98 10 N mg G 6,67 10 9,8 9,8

kgR s6,4 10



13

Para cualquier planeta, basta sustituir su masa y su radio.

Una característica importante que observamos de la gravedad (g), es que su valor disminuye con la altura.

Cuanto más alejado esté un objeto del centro del planeta, menor será la atracción que se ejercerá entre ambos cuerpos (menos pesará el objeto).

Aunque el peso de un cuerpo disminuye con la altura, para alturas de pocos km sobre la superficie terrestre, puede considerarse que la gravedad, g, se mantiene constante en g = 9,8 ms-2 ~ 10 ms-2.

El punto de aplicación del peso es el centro de gravedad del cuerpo.

EJERCICIO RESUELTO

Calcular la fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo de 50 kg situado en su superficie.

Datos: MTierra= 6 · 1024 Kg ; RTierra = 6400 km

Como se puede apreciar en la figura, siempre que la altura a la que se encuentre el cuerpo sea despreciable frente al valor del radio de la Tierra, se puede tomar r = RTierra

En este caso, y debido a que la masa de la Tierra es muy grande, la fuerza de atracción es considerable.

2411

2 26

M m 5,98 10 50F m g G 6,67 10 490N

r 6,4 10

Si utilizamos el valor ya conocido g = 9,8 m/s2 para los objetos situados en la superficie de la Tierra obtendremos el mismo valor:

F m g 50 9,8 490N

Como indicamos antes, con esta fórmula podemos calcular el valor de g para la superficie de cualquier planeta si conocemos sus datos.

Así para Marte:

RMarte= 3400 km; MMarte = 6,5·1023 kg

2311Marte

2 2 26

Marte

M 6,5 10 mg G 6,67 10 3,5

R s3,4 10

CONTESTA Y REPASA

10.16. Define los siguientes conceptos: Peso, Campo Gravitatorio, Campo Gravitatorio Terrestre, Aceleración de la gravedad.

10.17. ¿Qué diferencias existen entre peso y masa?

10.18. La fuerza de atracción que ejerce la tierra sobre un martillo es 20 veces mayor que la fuerza de atracción sobre un clavo ¿Cómo explicarías que el martillo y el clavo caigan con igual aceleración?

10.19. Calcula la aceleración de la gravedad en la luna y compárala con la aceleración de la gravedad en la Tierra. (MTierra= 5,98· 1024 kg; RTierra = 6371 km; MLuna= 7,35· 1022 kg; RLuna = 1737 km ¿Cuánto pesaría en la Luna una persona cuya masa fueran 75kg? ¿Cambiaría la masa de esa persona por el hecho de estar en la luna?

10.20. Calcula el peso en la Tierra, utilizando la fórmula de la ley de la gravitación universal, de una persona cuya masa es de 65kg.

10.21. Un astronauta de 70 kg se pesa un planeta extrasolar y observa sorprendido que el aparato marca 1030 N. Señala que afirmaciones son verdaderas: a) El aparato de medida está mal. b) La gravedad en ese planeta este 1,5 veces el valor de g (1,5g). c) La gravedad en el planeta vale 1030 N /70 kg



14

8.- REGLAS PARA LA APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA EN NUEVOS PROBLEMAS


Los pasos que hay que ir dando para la resolución de problemas en los que hay que aplicar la 2ª

Ley de Newton.

Cómo se calcula la fuerza resultante, la aceleración y la fuerza normal al plano en el movimiento

de cuerpos que se deslizan, sometidos a alguna fuerza, sobre un plano horizontal.

Hemos visto que la segunda ley de Newton establece que la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual al producto de su masa por su aceleración.

F m a

En el apartado 3 ya aprendimos a resolver problemas en los que las fuerzas aplicadas sobre el objeto tenían la misma dirección o, en las que las fuerzas con sentidos opuestos, perpendiculares al movimiento, se anulaban. En estos casos el cálculo de la resultante se hacía realmente sencillo. El problema que se nos plantea en esta Unidad Didáctica es: ¿Qué ocurre cuando sobre un cuerpo actúan varias fuerzas, y éstas tienen diferentes direcciones? La respuesta es lógica: se trata de averiguar, mediante el cálculo vectorial,

cuál es la fuerza resultante R

de todas ellas y aplicar posteriormente la segunda ley de Newton.

APLICACIÓN DE LAS LEYES DE NEWTON A CASOS MÁS COMPLEJOS De todas formas es necesario que, para realizar este tipo de problemas, apliquemos la segunda ley de Newton siguiendo siempre el mismo método. Los pasos que tenemos que ir dando son, en este orden:

1.- Determinar cuál es el cuerpo cuyo movimiento queremos estudiar.

2.- Establecer cuáles son los cuerpos vecinos que ejercen alguna fuerza sobre él.

3.- Determinar qué tipo de fuerzas ejercen dichos cuerpos vecinos sobre el cuerpo a estudiar.

4.- Como dichas fuerzas son magnitudes vectoriales (con módulo, dirección y sentido), dibujar todas esas fuerzas (diagrama de fuerzas) de la forma más clara posible.

5.- Elegir los ejes de coordenadas que nos resulten más sencillos para poder calcular la fuerza resultante.

6.- Determinar las componentes de cada una de las fuerzas con respecto al sistema de coordenadas elegido.

7.- Calcular la fuerza resultante de forma vectorial (cálculo de la componente de las abscisas y la de las ordenadas)

8.- Aplicación de la segunda ley de Newton (para calcular el valor de la aceleración).

Para entenderlo mejor vamos a ayudarnos de un par de ejemplos sencillos: dos problemas semejantes a los que ya vimos en el apartado 3 y que además nos sirven para repasar los conceptos aprendidos:

Ya sabemos que cuando un cuerpo se mueve apoyado sobre una superficie dentro del campo gravitatorio terrestre, dicha superficie evita que el cuerpo caiga por la acción de la atracción de dicho campo. Ejerce por tanto una fuerza perpendicular al plano y de sentido contrario al peso. A esta fuerza la llamábamos REACCIÓN

NORMAL DEL PLANO y recuerda que la representamos por N

. Estos ejemplos los vamos a aprovechar para deducir cómo es dicha fuerza en diferentes situaciones.

PRIMER EJEMPLO:

Vamos a estudiar el movimiento de una caja sobre un plano horizontal sin rozamiento empujado por una

fuerza F

de la misma dirección que el plano y vamos a averiguar cuál es el valor de N

. Para estudiar el movimiento aplicamos los pasos antes señalados:


Aunque parezca obvio en ocasiones no lo es, y tenerlo identificado nos ahorra posibles errores. En este ejemplo es el cuerpo que se mueve en el plano horizontal liso.


En este apartado nos tenemos que fijar que los posibles tipos de fuerzas que actúan sobre un cuerpo se clasifican en fuerzas de contacto (por estar el cuerpo apoyado sobre una superficie o unido a una cuerda tensa), y fuerzas a distancia (entre las que se encuentra el peso debido a la acción gravitatoria de la Tierra, o también la atracción y la repulsión tanto eléctrica como magnética)



15

En el caso en que nos encontramos, los únicos que ejercen fuerzas a considerar sobre el cuerpo son: la persona que tira de él con una fuerza F horizontal, la Tierra (debido a la acción gravitatoria) y el plano horizontal sobre el que está apoyado (que evita que el cuerpo se precipite debido a su peso).


Para simplificar la situación, suponemos despreciable la fuerza de rozamiento (plano liso). Las fuerzas que

actúan sobre el cuerpo son la fuerza F, su peso, mg, y la fuerza de reacción normal del plano N.

4.- Como dichas fuerzas son magnitudes vectoriales (con módulo, dirección y sentido), dibujar todas esas fuerzas (diagrama de fuerzas) de la forma más clara posible:


Como el movimiento va a ser siempre en la misma dirección (movimiento rectilíneo) elegimos esta dirección como uno de los ejes de coordenadas, en este caso, al ser horizontal, el eje será el de abscisas y la vertical el de ordenadas.


La fuerza F

será horizontal y de sentido positivo, luego )0,(FF

.

El peso P

será vertical y de sentido negativo, luego ),0( mgP

.

La reacción normal del plano N

será vertical y de sentido positivo, luego ),0( NN

.

7.- Calcular la fuerza resultante de forma vectorial (cálculo de la componente de las abscisas y la de las ordenadas):

R F P N (F,0) (0, m g) (0,N) (F, N m g)

Como la caja se va a mover en la dirección del eje horizontal, la componente vertical de la resultante tiene que ser 0, por lo que: R (F,0) F

Lo que nos indica que N – m·g = 0 N = m·g

8.- Aplicación de la segunda ley de Newton.

• La fuerza F en dirección horizontal produce aceleración a

horizontal al cuerpo: F = m a F

am

… y para calcular el valor de la fuerza normal al plano:

• Las dos fuerzas verticales deben ser iguales, ya que en caso contrario el cuerpo, o bien aplastaría la mesa (si m g > N) o bien tendría una aceleración hacia arriba (si N > m g), cosa que no se observa, luego:

N = m·g

Deducimos, por tanto, que cuando un cuerpo se mueve por un plano horizontal liso (sin rozamiento) empujado por una fuerza también horizontal, la reacción normal del plano es igual al peso.

SEGUNDO EJEMPLO

Vamos a resolver un problema similar al anterior, pero en el que la fuerza causante del

movimiento F

, con la que se empuja la caja, forma un ángulo con la horizontal.

Vamos además a comprobar que en este caso la reacción normal del plano no es igual al peso.


En este ejemplo es el cuerpo que se mueve en el plano horizontal.


Al igual que en el ejemplo anterior: la persona que tira de él con una fuerza F que forma

el ángulo con la horizontal, la Tierra y el plano horizontal sobre el que está apoyado


Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son la fuerza F, su peso, mg, y la fuerza de reacción normal del plano N.



16

4.- Como dichas fuerzas son magnitudes vectoriales (con módulo, dirección y sentido), dibujar todas esas fuerzas (diagrama de fuerzas) de la forma más clara posible: (figura de la página anterior)


Como el movimiento va a ser siempre en la misma dirección (movimiento rectilíneo) elegimos esta dirección como uno de los ejes de coordenadas, en este caso, al ser horizontal, el eje será el de abscisas y la vertical el de ordenadas.


Al formar la fuerza F un ángulo con la horizontal podemos descomponer F con respecto al eje de abscisas y al de ordenadas lo que me permite indicar cuáles son las componentes de F

Sus componentes en las direcciones de los ejes cartesianos son:

Fx = F · cos

Fy = F · sen

En este caso, la fuerza vertical resultante debe valer cero; por tanto:

N + FY = 0 N + F · sen = m · g

N = m · g – F · sen

En este caso, la fuerza de reacción normal N ejercida por el plano es menor que el peso. La fuerza responsable

de la aceleración será ahora F · cos ; por tanto:

F · cos = m · a

7.- Calcular la fuerza resultante de forma vectorial (cálculo de la componente de las abscisas y la de las ordenadas):

X YR F F P N (F cos ,0) 0,F sen (0, m g) (0,N) (F cos ,F sen N m g)

Como la fuerza causante del movimiento es la componente del eje de abscisas, el valor de la componente de la resultante sobre el eje de ordenadas debe ser cero, luego:

R (F cos ,0)

8.- Aplicación de la segunda ley de Newton (para calcular la aceleación).

• La fuerza FX en dirección horizontal produce aceleración a

: FX = m a

XF F cos

am m

… Y para calcular el valor de la fuerza normal al plano:

• Las fuerzas verticales se deben anular, como vimos anteriormente:

F sen N P 0

De donde podemos deducir el valor de la fuerza normal al plano en el caso de que la fuerza causante del

movimiento forme un ángulo con el plano horizontal sobre el que se mueve el objeto:

N P F sen

EJERCICIO RESUELTO

Calcular la aceleración del objeto de la figura y la fuerza de reacción normal del plano.

La Fuerza Resultante es R = F

Y aplicando la segunda ley de Newton:

F = ma

2

2

F F 20N ma 16,33s12Nm P g

9,8m s

Como N = P N = 12N



17

EJERCICIO RESUELTO

Calcular la aceleración del objeto de la figura y la fuerza de reacción normal del plano.

X YR F F P N (F cos ,0) 0,Fsen (0, mg) (0,N)

(F cos ,Fsen N mg)

Como la componente vertical tiene que ser 0, la resultante es:

R (F cos ,0)

Y es FX = Fcosla causante de la aceleración:

2X

2

F F cos 20Ncos 30ºa 14,15m s

12Nm m9,8m s

Como Fsen N P 0 N P Fsen 12N (20 sen30º)N 2N

CONTESTA Y REPASA

10.22. Se arrastra un cuerpo de 40 kg por una mesa horizontal sin rozamiento tirando de una cuerda sujeta a él con una fuerza de 60N ¿Con qué aceleración se mueve el cuerpo si:

a) La cuerda se mantiene horizontal

b) La cuerda forma un ángulo de 30º con la horizontal?

c) ¿Cuánto vale en cada caso la reacción normal del plano?

10.23. Se arrastra un cuerpo de 20 kg por una mesa horizontal con rozamiento (=0,1) tirando de una cuerda sujeta a él con una fuerza de 30N ¿Con qué aceleración se mueve el cuerpo si la cuerda forma un ángulo de 25º con la horizontal?

9.- MOVIMIENTO DE UN CUERPO SOBRE UN PLANO INCLINADO LISO


La resolución de problemas de movimiento de un cuerpo sobre un plano inclinado liso (sin

rozamiento)

Un cuerpo situado sobre un plano inclinado sin rozamiento (liso) desciende sin necesidad de empujarlo. Si queremos que el cuerpo ascienda o permanezca en reposo, hay que ejercer una fuerza sobre él. Para resolver problemas de movimiento de planos inclinados tenemos que seguir los pasos indicados en el apartado 1.

Suponemos que el ángulo que forma el plano con la horizontal tiene un valor .

Es importante tener presente la figura e ir dibujando en la misma las fuerzas, ejes y descomposiciones de fuerzas que se vayan indicando.


En este ejemplo es el cuerpo que se mueve en el plano inclinado.


Sólo la Tierra y el plano inclinado sobre el que está apoyado.


Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son: su peso, P = mg, y la fuerza de reacción normal del plano N (perpendicular al plano inclinado).

4.- Como dichas fuerzas son magnitudes vectoriales (con módulo, dirección y sentido), dibujar todas esas fuerzas (diagrama de fuerzas) de la forma más clara posible. (Figura)



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En los casos de movimientos sobre planos, elegimos siempre como eje de abscisas (X) el plano inclinado, y como eje de ordenadas (Y) el perpendicular al mismo.


En este caso la fuerza normal al plano N no hay que descomponerla porque tiene la misma dirección que el eje de ordenadas pero sentido contrario.

Sin embargo el peso sí hay que descomponerlo en las dos direcciones de los ejes de coordenadas.

Teniendo en cuenta que el ángulo del plano inclinado es el mismo que forma el peso con el eje negativo de ordenadas, aplicando nuestros conocimientos de trigonometría, podemos concluir que la componente del peso con respecto al eje de abscisas es:

Px = P · sen = m·g·sen

Y la componente con respecto al eje de ordenadas (sentido negativo) es:

Py = – P · cos = – m·g·cos

7.- ¿Cuál es el valor de la fuerza resultante?

Como el cuerpo se mueve en la dirección del plano inclinado que coincide con el eje de abscisas (X), significa que la resultante de las componentes sobre el eje de ordenadas (Y) debe valer cero, y que la resultante sólo tiene componente con respecto al eje de abscisas, que es la componente Px del peso, antes calculada.

Por tanto: Componente de abscisas:

Px = mgsen

Componente de ordenadas N + Py = 0

La Fuerza Resultante R

tendrá como módulo:

R mgsen

… Para calcular el valor de la fuerza normal al plano en planos inclinados:

Este último dato nos sirve, además para calcular el valor de la fuerza normal al plano (reacción normal del plano) en el caso de planos inclinados:

N + Py = 0 N – m·g·cos = 0 N = m·g·cos

8.- Aplicamos la segunda ley de Newton (para calcular el valor de la aceleración):

En la dirección del eje X actúa la fuerza productora de aceleración:

R = m g sen = ma

Por tanto el valor de la aceleración de caída será:

m g sena g sen

m



19

EJERCICIO RESUELTO

Un cuerpo de masa m = 4kg desciende sobre un plano inclinado un ángulo = 300 sin rozamiento. ¿Cuánto vale la fuerza normal al plano? ¿Cuál es la aceleración de descenso? ¿Qué espacio recorre en 10 segundos?

Cálculo de N:


N = m·g·cos = 4kg 9,8m/s2 cos30º = 33,95N

Cálculo de a:

R = PX = m · g · sen = m · a

2m g sena g sen 9,8m s sen30º

m

2a 4,9m s

Cálculo de s:

El cuerpo posee un MRUA:

s = s0 +v0t + 1/2at2

s = ½ 4,9m/s2 102s2 = 245m

CONTESTA Y REPASA

10.24. Un cuerpo de masa m = 10kg desciende sobre un plano inclinado un ángulo = 450 sin rozamiento y cuya longitud es de 50m. ¿Cuánto vale la fuerza normal al plano? ¿Cuál es la aceleración de descenso? ¿Con qué velocidad llega al final del mismo?

10.- MOVIMIENTO DE UN CUERPO SOBRE UN PLANO INCLINADO RUGOSO (CON ROZAMIENTO)


La resolución de problemas de movimiento de un cuerpo sobre un plano inclinado rugoso (con

rozamiento)

Un cuerpo situado sobre un plano inclinado con rozamiento (rugoso) se verá siempre sometido, al descender, a una fuerza paralela al plano y de sentido contrario al movimiento (la fuerza de rozamiento FR).

Para resolver problemas de movimiento de planos inclinados con rozamiento seguiremos, como en todos los casos anteriores, los pasos indicados en el apartado 1.

Suponemos que el ángulo que forma el plano con la horizontal tiene un valor y que el coeficiente de

rozamiento cinético es (recuerda que la fuerza de rozamiento tiene como valor NFR

).


En este ejemplo, al igual que en el apartado anterior, es el cuerpo que se mueve en el plano inclinado.


Sólo la Tierra y el plano inclinado sobre el que está apoyado.


Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son:

su peso, P = mg,

la fuerza de reacción normal del plano N (perpendicular al plano inclinado) y

la Fuerza de Rozamiento en sentido ascendente (contraria al descenso)



20

4.- Como dichas fuerzas son magnitudes vectoriales (con módulo, dirección y sentido), dibujar todas esas fuerzas (diagrama de fuerzas) de la forma más clara posible.


En los casos de movimientos sobre planos, elegimos siempre como eje de abscisas (X) el plano inclinado, y como eje de ordenadas (Y) el perpendicular al mismo.


Al igual que en el apartado anterior la fuerza normal al plano N no hay que descomponerla porque tiene la misma dirección que el eje de ordenadas pero sentido contrario. En este caso tampoco hay que descomponer la Fuerza de Rozamiento porque tiene la misma dirección que el eje de abscisas (sentido contrario al movimiento)

Sin embargo el peso, como hicimos antes, sí hay que descomponerlo en las dos direcciones de los ejes de coordenadas, siendo el resultado de la descomposición el ya calculado:

Px = P · sen = m·g·sen

Py = P · cos = m·g·cos

7.- ¿Cuál es el valor de la fuerza resultante?

Como el cuerpo se mueve en la dirección del plano inclinado que coincide con el eje de abscisas (X), significa que la resultante de las componentes sobre el eje de ordenadas (Y) debe valer cero, y que la resultante sólo tiene componente con respecto al eje de abscisas, que es la componente Px del peso, antes calculada. , a la

que hay que restar el valor de la fuerza de rozamiento NFR

. Por tanto:

Componente de abscisas: Px – FR = m·g·sen – ·N

Componente de ordenadas: N + Py = 0

La Fuerza Resultante R

tendrá como módulo:

R m g sen N

y el sentido será el descendente

Como:


Podemos decir que

RF N m g cos

Y sustituyendo en la fórmula en la que hemos calculado la resultante:

R m g sen N m g sen m g cos m g (sen cos )

8.- Aplicamos la segunda ley de Newton

En la dirección del eje X actúa la fuerza productora de aceleración (tomamos a como valor positivo ya que la fuerza resultante tiene el mismo sentido que a)

R = m · g · (sen – cos ) = m · a

Por tanto el valor de la aceleración de caída será:

m g (sen cos )a g (sen cos )

m

a g (sen cos )



21

EJERCICIO RESUELTO

Un cuerpo de masa m = 10kg desciende sobre un plano inclinado un ángulo = 450 con un coeficiente de rozamiento de 0,2 y cuya longitud es de 50m. ¿Cuánto vale la fuerza normal al plano? ¿Cuál es la aceleración de descenso? ¿Con qué velocidad llega al final del mismo?

Cálculo de N:


N = m·g·cos = 10kg 9,8m/s2 cos45º = 69,30N

Cálculo de a:

R m g sen N

Luego:

m · g · sen – N = ma

2 2m g (sen cos )a g (sen cos ) 9,8m s (sen45º 0,2cos 45º) 5,54m s

m

2a 5,54m s

Cálculo de vf:

El cuerpo posee un MRUA:

s = s0 + v0t + ½ at2 s = 1/2 at2 2st

a

vf = v0 + at vf = at 2v 2s a 2 50m 5,54m s 23,54m s

CONTESTA Y REPASA

10.25. Un cuerpo de masa m = 4kg desciende sobre un plano inclinado un ángulo = 30º con un coeficiente de rozamiento de 0,15. ¿Cuánto vale la fuerza normal al plano? ¿Cuál es la aceleración de descenso? ¿Qué espacio recorre en 10 segundos?

11.- DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR


Cuál es la fuerza que produce el Movimiento Circular.

Cuál es el valor de la fuerza centrípeta.

Cuáles pueden ser los agentes causantes de la fuerza centrípeta.

La resolución de problemas.

El coche de la figura se mueve siguiendo una trayectoria circular. Aunque el módulo de su velocidad es constante, al tener que permanecer dicha velocidad tangente a la trayectoria en todo momento, ésta va cambiando de dirección lo que significa que el coche tiene aceleración.

La aceleración constante del cambio en la dirección de la velocidad se denomina aceleración normal o centrípeta, y está dirigida hacia el centro de la circunferencia trayectoria. Su valor viene dado por:

2

C

va

R

v es la velocidad del coche y R el radio de la circunferencia por la que circula.



22

Según el segundo principio, todo cuerpo acelerado debe estar sujeto a una fuerza F = ma en la misma dirección y sentido que la aceleración. En este caso la llamamos fuerza centrípeta, dirigida hacia el centro de la circunferencia:

2

C C

vF m a m

R

La fuerza centrípeta puede tener diferentes causantes: en el caso del coche que gira por una curva no peraltada, la fuerza centrípeta es debida a la fuerza de rozamiento entre las ruedas y la carretera; ¡si no existiera ese rozamiento sería imposible que el vehículo girara! En el caso de un tren la fuerza centrípeta la ejerce la vía sobre las ruedas del tren, y en el caso de un planeta que gira en torno al sol, la fuerza centrípeta es la fuerza gravitatoria de atracción que ejerce el sol sobre el planeta.

EJERCICIO RESUELTO

Una bola de masa m = 100g está sujeta a una cuerda de 1,5 metros de longitud de tal forma que se mueve sobre una mesa horizontal sin rozamiento describiendo una circunferencia y manteniendo constante el módulo de la la velocidad en 4m/s ¿Cuál es la tensión de la cuerda?

Siguiendo los pasos para la resolución de problemas, y teniendo en cuenta que lo que queremos es estudiar el movimiento de la bola, determinamos a continuación los objetos que ejercen algún tipo de fuerza sobre la bola: la tierra con su fuerza de atracción gravitatoria, la mesa con la fuerza de reacción del plano y la cuerda a la que está atada la bola con su tensión que la impide “escaparse” del movimiento circular.

Estas fuerzas quedan esquematizadas en la figura:

Si tomamos como ejes de referencia la vertical a la bola y la horizontal a la misma, podemos darnos cuenta que no es necesario descomponer las fuerzas establecidas. Las dos fuerzas verticales se anulan entre sí, es

decir gmPN

La Fuerza Resultante R es, pues, la tensión T, dirigida hacia el centro; y, por tanto, la tensión T es, en este caso, la fuerza centrípeta causante del movimiento circular uniforme:

2 2 2v 16m sR T m a m 0,1kg 1,07N

r 1,5m

CONTESTA Y REPASA

10.26. ¿De dónde sale la fuerza centrípeta para que la Luna pueda girar alrededor de la Tierra?

10.27. Un automóvil de 1200 kg de masa recorre, a una velocidad de 70 km/h, una curva circular cuyo radio es de 400 metros. Si suponemos que la curva no está peraltada, calcula la fuerza de rozamiento ejercida por las ruedas sobre la carretera, para que el coche siga el trazado de la curva.

PROFESOR: CARLOS MARTÍN ARTEAGA UNIDAD DIDÁCTICA 10 … · 1 – F 2 = 18 N – 8 N = 10 N...

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