UNIDAD 2.0

PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA

2.1 MECÁNICA CLÁSICA. • Conceptos importantes en Termodinámica: El Trabajo. La energía. Ambos conceptos tienen su origen en la mecánica clásica. LA MECÁNICA CLÁSICA. Fue formulada por primera vez por el alquimista, teólogo, físico y matemático Isaac Newton y estudia las leyes del movimiento de cuerpos macroscópicos, cuyas velocidades son pequeñas comparadas con la velocidad de la luz. Para cuerpos cuyas velocidades no son pequeñas comparadas con c, se debe usar la mecánica relativista de Einstein.

Los sistemas termodinámicos que consideramos no se mueven a velocidades altas, por lo que no necesitamos preocuparnos por los efectos relativistas.

Para objetos no macroscópicos (por ejemplo, electrones), debe utilizarse la mecánica cuántica. Sin embargo, ésta no es necesaria para los sistemas termodinámicos, debido al tamaño macroscópico de los mismos.

2ª LEY DE NEWTON.

La ecuación fundamental de la mecánica clásica es la segunda ley de Newton del movimiento:

F = ma

Donde:

F: vector suma de todas las fuerzas que actúan sobre él en un instante determinado.

m: masa de un cuerpo.

a: es la aceleración que lleva el cuerpo en ese instante.

F y a: vectores. (Tienen magnitud y dirección).

m: escalar (solo tiene magnitud).

Si se tiene:

r: es el vector (posición o desplazamiento) que va desde el origen de coordenadas a la partícula.

La velocidad v de la partícula será:

𝑣 ≡𝑑𝑟

𝑑𝑡

Celeridad: magnitud (longitud) del vector r.

Aceleración a: 𝑎 ≡𝑑𝑣

𝑑𝑡=𝑑2𝑟

𝑑𝑡2

F = ma equivale a 3 ecuaciones.

𝐹𝑥=𝑚𝑎𝑥; 𝐹𝑦=𝑚𝑎𝑦; 𝐹𝑧=𝑚𝑎𝑧

Y 𝑎𝑥=𝑑2𝑥

𝑑𝑡2

𝐹𝑥=m𝑑2𝑥

𝑑𝑡2; 𝐹𝑦= m

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2; 𝐹𝑧= m

𝑑2𝑧

𝑑𝑡2

W: peso de un cuerpo, es la fuerza gravitacional ejercida por la tierra sobre él.

W = mg.

TRABAJO.

d𝑤 ≡ 𝐹𝑥𝑑𝑥

Un desplazamiento en la dirección x.

Si es en las tres dimensiones:

d𝑤 = 𝐹𝑥𝑑𝑥+𝐹𝑦𝑑𝑦+𝐹𝑧𝑑𝑧

Si hay un desplazamiento finito y supongamos que la partícula se mueve en una sola dimensión.

F(x)

𝑋1 𝑋2

El trabajo será la suma de las cantidades infinitesimales de trabajo, realizado durante el desplazamiento:

W= 𝐹 𝑥 𝑑𝑥

Pero esta suma de las cantidades infinitesimales es la definición de una integral definida:

• 𝑊 = 𝐹 𝑥 𝑑𝑥𝑥2𝑥1

Si F es constante durante el desplazamiento:

𝑊 = (𝑥2-𝑥1)

Unidad de trabajo: Fuerza x longitud

SI: Julio (J) o Joule.

cgs: ergio (erg)

1 J≡ 1 𝑁𝑚= 1kg𝑚2

𝑠2

1 erg ≡ 1 dina cm

1 J = 107ergs

Potencia (P): Se define como la velocidad a la que se realiza el trabajo.

𝑃 ≡𝑑𝑊

𝑑𝑡

Unidad SI de potencia es el watt (vatio) (W):

1W≡ 1𝐽

𝑠

ENERGÍA MECÁNICA

Teorema importante en mecánica clásica:

El teorema de trabajo-energía.

Sea F la fuerza total que actúa sobre una partícula que se desplaza desde el punto 1 hasta el punto 2.

Entonces:

W= 𝐹𝑥𝑑𝑥2

1 + 𝐹𝑦𝑑𝑦

2

1 + 𝐹𝑧𝑑𝑧

2

1

Es el trabajo total realizado sobre la partícula.

La segunda ley de Newton nos dice:

𝐹𝑥=𝑚𝑎𝑥= m(𝑑𝑣𝑥

𝑑𝑡)

Además: 𝑑𝑣𝑥

𝑑𝑡 =

𝑑𝑣𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡=

𝑑𝑣𝑥

𝑑𝑥𝑣𝑥

Por tanto:

𝐹𝑥=𝑚𝑣𝑥𝑑𝑣𝑥

𝑑𝑥

𝐹𝑥 𝑑𝑥= 𝑚𝑣𝑥(𝑑𝑣𝑥)

Con ecuaciones similares para 𝐹𝑦 y 𝐹𝑧, se tiene

que:

𝑊 = 𝑚𝑣𝑥2

1𝑑𝑣𝑥+ 𝑚𝑣𝑦

2

1𝑑𝑣𝑦+ 𝑚𝑣𝑧

2

1𝑑𝑣𝑧

W = 1

2m(𝑣𝑥2

2+𝑣𝑦22+𝑣𝑧2

2)- 1

2m(𝑣𝑥1

2+𝑣𝑦12+𝑣𝑧1

2)

Definimos ahora la energía cinética K de la partícula como:

K≡ 1

2m𝑣2=

1

2m(𝑣𝑥

2+𝑣𝑦2+𝑣𝑧

2)

W = 𝐸𝐾2- 𝐸𝐾1= ∆EK sistema de una partícula

El teorema de trabajo-energía establece que el trabajo realizado sobre la partícula por la fuerza que actúa sobre ella es igual a la variación de la energía cinética de la partícula.

En mecánica clásica el otro tipo de energía es la energía potencial.

Supongamos que las fuerzas que actúan sobre la partícula depende solamente de la posición de ésta (y no de su velocidad ni del tiempo ni de ninguna otra variable).

Una fuerza de este tipo recibe el nombre de fuerza conservativa, donde Fx = Fx(x,y,z), Fy = Fy(x,y,z), Fz = Fz(x,y,z). Ejemplos de fuerzas conservativas: Las fuerzas gravitacionales. Las fuerzas eléctricas La fuerza de la ley de Hooke de un muelle. Fuerzas no conservativas: Resistencia del aire El rozamiento La fuerza que se ejerce al golpear un balón Para una fuerza conservativa, definimos la energía potencial Ep(x,y,z) como una función de x,y,z, cuyas derivadas parciales satisfacen: 𝜕𝐸𝑝

𝜕𝑥≡ −𝐹𝑥;

𝜕𝐸𝑝

𝜕𝑦≡ −𝐹y;

𝜕𝐸𝑝

𝜕𝑧≡ −𝐹z

Luego:

W= - 𝜕𝐸𝑝

𝜕𝑥𝑑𝑥

2

1 -

𝜕𝐸𝑝

𝜕𝑦𝑑𝑦

2

1 -

𝜕𝐸𝑝

𝜕𝑧𝑑𝑧

2

1

Ya que:

d𝐸𝑝= 𝜕𝐸𝑝

𝜕𝑥dx +

𝜕𝐸𝑝

𝜕𝑦dy +

𝜕𝐸𝑝

𝜕𝑧dz

Se tiene:

W = - 𝑑𝐸𝑝2

1= -(𝐸𝑝2- 𝐸𝑝1)= 𝐸𝑝1- 𝐸𝑝2

Por otra parte de la ecuación de K: W = 𝐸𝐾2- 𝐸𝐾1

Por tanto:

𝐸𝐾2- 𝐸𝐾1= 𝐸𝑝1- 𝐸𝑝2

ó 𝐸𝐾1+ 𝐸𝑝1= 𝐸𝐾2+ 𝐸𝑝2

Cuando solo actúan fuerzas conservativas, la suma de la energía cinética de la partícula y de la energía potencial permanece constante durante el movimiento.

Esta es la ley de la conservación de la energía mecánica.

Si llamamos Emec a la energía mecánica total, tenemos:

Emec =EK + 𝐸𝑝

Sisolo actúan fuerzas conservativas, la Emec permanece constante.

Energía potencial en el campo gravitatorio terrestre.

Si el eje x se sitúa verticalmente apuntando hacia afuera de la tierra, con su origen en la superficie del mismo:

Fx = -mg, Fy = Fz = 0 𝜕𝐸𝑝

𝜕𝑥 = mg ;

𝜕𝐸𝑝

𝜕𝑦 = 0

𝜕𝐸𝑝

𝜕𝑧

La integración da como resultado: Ep = mgx + c, donde c es una constante. Si se elige el valor cero para la cte. Arbitraria, se obtiene: Ep = mgh Donde h es la altura del objeto situado sobre la superficie de la tierra. Cuando un objeto cae al suelo, su energía potencial mgh disminuye y su energía cinética

1

2m𝑣2 aumenta.

Suponiendo que el efecto del rozamiento del aire es despreciable , la energía mecánica total EK + 𝐸𝑝 permanece cte. cuando el objeto cae. Esto es para una partícula. Resultados similares se obtienen para un sistema para un sistema de muchas partículas.

La energía cinética de un sistema de n partículas es la suma de las energías cinéticas de las partículas individuales:

EK = 𝐸𝐾1+ 𝐸𝐾1+ … + 𝐸𝐾𝑛 = 1

2 𝑚𝑖𝑛𝑖=1 𝑣2𝑖

Supongamos que las partículas ejercen fuerzas conservativas entre sí. La energía potencial Ep no es la suma de las energías potenciales de cada partícula individual. En lugar de eso, Ep es una propiedad del sistema como conjunto. Ep resulta ser la suma de las contribuciones debidas a las interacciones entre pares de partículas. Sea Epij la controbución a Ep debida a las fuerzas que actúan entre las partículas i y j. Se obtiene:

Ep = 𝑉𝑖𝑗𝑗>𝑖𝑖

El doble sumatorio indica que se suma para todos los pares de valores de i y j, excepto para aquellos con i igual o mayor que j.

Los términos con i=j se omiten, ya que una partícula no ejerce fuerza sobre sí misma.

Por otra parte, solamente se incluye uno de los términos 𝐸𝑝12y 𝐸𝑝21, para evitar contar dos veces la interacción entre las partículas 1 y 2.

Por ejemplo, para un sistema de tres partículas,

Ep = 𝐸𝑝12+ 𝐸𝑝13+ 𝐸𝑝23

Si sobre las partículas del sistema actúan fuerzas externas, sus contribuciones a Ep también deben ser incluídas.

Se deduce que: Emec =EK + 𝐸𝑝

Es constante para un sistema de muchas partículas, si sólo actúan fuerzas conservativas.

La energía mecánica es una medida del trabajo que el sistema puede realizar.

2.2 TRABAJO P-V REVERSIBLE.

La forma más común de efectuar trabajo sobre un sistema termodinámico es mediante un cambio en el volumen del sistema.

Consideremos el siguiente sistema:

Pint = Pext

En equilibrio mecánico

Si se aumenta una cantidad infinitesimal la presión externa sobre el pistón, se producirá un desequilibrio infinitesimal de fuerzas, de tal manera que el pistón se moverá hacia la derecha una distancia infinitesimal dx, disminuyendo el volumen del sistema y aumentando la presión hasta que las presiones externa e interna se igualen.

Durante este proceso que ocurre a una velocidad infinitesimal, el sistema estará infinitesimalmente cercano al equilibrio.

Fuerza ejercida por el pistón sobre el sistema Fx, de modo que la materia se ha movido dx. Los alrededores han efectuado un trabajo dW = Fxdx sobre el sistema.

Sea F la magnitud de la fuerza ejercida por el sistema sobre el pistón.

La tercera ley de Newton (acción=reacción) implica que F =Fx.

La definición P=𝐹

𝐴 de la presión del sistema P

proporciona Fx = F = PA, donde A es el área del pistón en contacto con el sistema.

Por tanto, el trabajo dW = Fxdx realizado sobre el sistema de la figura anterior es:

dW = PAdx