primera edición ebook 2014 - Grupo Editorial...

Francisco José Ortiz Campos

primera edición ebook 2014

Grupo Editorial Patria®División Bachillerato, Universitario y Profesional

.1 sacitámetaM

Serie integral por competencias

Derechos reservados:

©2014, Francisco José Ortiz Campos

©2014, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.

ISBN ebook: 978-607-438-980-7

Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca,Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro núm. 43

Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en

cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Impreso en México / Printed in Mexico

Primera edición ebook: 2014

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Dirección editorial: Javier Enrique CallejasCoordinación editorial: Alma Sámano CastilloDiseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado SolísSupervisión de preprensa: Miguel Ángel Morales VerdugoDiagramación: Juan Castro SalgadoIlustraciones: Carlos Enrique León Chávez y José Luis Mendoza MonroyFotografías: Thinkstock

III

Grupo Editorial Patria®

Contenido

Introducción a la asignatura y a tu libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VCompetencias genéricas del Bachillerato General . . . . . . . . . . . . VIIICompetencias disciplinares básicas del campode las matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IXLas secciones de tu libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X

BLO

QU

E

1 1 .1 Representación de relaciones entre magnitudes . . . . . . . . . 81 .2 Modelos aritméticos o algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Resuelves problemas

aritméticos y algebraicos

BLO

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2 2 .1 Números reales: representación y operaciones . . . . . . . . . . 352 .2 Tasas, razones, proporciones y variaciones . . . . . . . . . . . . . . . 46Utilizas magnitudes

y números reales

BLO

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33 .1 Representación de relaciones entre magnitudes . . . . . . . . . 603 .2 Modelos aritméticos o algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Realizas sumas y sucesiones de números

BLO

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E

4 4 .1 Representación de relaciones entre magnitudes . . . . . . . . . 824 .2 Modelos aritméticos o algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Realizas transformaciones

algebraicas I

BLO

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E

5 5 .1 Representación de relaciones entre magnitudes . . . . . . . . . 1025 .2 Modelos aritméticos o algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Realizas transformaciones

algebraicas II

IV

ContenidoB

LOQ

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6 6 .1 Representación de relaciones entre magnitudes . . . . . . . . . 1246 .2 Uso de la calculadora, graficadora y/o una computadora . . 1296 .3 Modelos aritméticos o algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Resuelves ecuaciones lineales I

BLO

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7 7 .1 Representación de relaciones entre magnitudes . . . . . . . . . . 1587 .2 Modelos aritméticos o algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Resuelves ecuaciones

lineales II

Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

Vínculos en Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

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8 8 .1 Representación de relaciones entre magnitudes . . . . . . . . . 1748 .2 Modelos aritméticos o algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Resuelves ecuaciones

lineales III

BLO

QU

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99 .1 Representación de relaciones entre magnitudes . . . . . . . . . 1959 .2 Modelos aritméticos o algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Resuelves ecuaciones cuadráticas I

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10 10 .1 Representación de relaciones entre magnitudes . . . . . . . . 21710 .2 Modelos aritméticos o algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Resuelves ecuaciones

cuadráticas II

V


Introducción a la asignatura y a tu libro

El contenido temático de esta segunda edición de Matemáticas 1 se ha modificado y enriquecido para adecuarlo al programa vigente de la asignatura .

Esta obra se desarrolla en diez bloques que son:

Bloque 1Resuelves problemas aritméticos y algebraicosInicia con el planteamiento y resolución de problemas aritméticos . A través del lenguaje algebraico se busca gene-ralizar la aritmética . Se proponen algunos problemas para cuya resolución se puede recurrir a su representación por medio de figuras geométricas o dibujos .

Bloque 2Utilizas magnitudes y números realesEl concepto de valor absoluto se utiliza como antecedente de las operaciones con enteros . Se revisan las operacio-nes con racionales . Incluye múltiplos y divisores, mínimo común múltiplo y máximo común divisor . Las razones y proporciones aparecen como antecedente de la variación proporcional directa e inversa .

Bloque 3Realizas sumas y sucesiones de númerosSe trata lo relacionado con las sucesiones lineales y geométricas así como la determinación de la suma de sus series correspondientes .

Bloque 4Realizas transformaciones algebraicas ITrata lo relacionado con las operaciones de polinomios con una variable, algunos productos notables y su factori-zación, triángulo de Pascal y binomio de Newton .

Bloque 5Realizas transformaciones algebraicas IITrata lo relacionado con la factorización de trinomios de la forma x2 1 mx 1 n y ax2 1 bx 1 c

Francisco José Ortiz Campos

VI

Introducción a la asignatura y a tu libro

Para terminar el bloque, se desarrolla el tema de simplificación de fracciones algebraicas en la que tienen aplica-ción los conceptos antes estudiados .

Bloque 6Resuelves ecuaciones lineales IAborda ecuaciones de primer grado con una incógnita; se establece la relación entre la ecuación de primer grado y la función lineal; se hace la interpretación gráfica de la función lineal y su relación con la ecuación de primer grado .

Bloque 7Resuelves ecuaciones lineales IILos sistemas de ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas son resueltos por métodos algebraicos, tam-bién se utiliza el método gráfico y se hace una interpretación de los casos que se presentan .

Bloque 8Resuelves ecuaciones lineales IIILos sistemas de ecuaciones simultáneas de tres ecuaciones con tres incógnitas se resuelven por reducción y con la regla de Cramer y se hace una interpretación de los casos en que es posible o no una solución .

Bloque 9Resuelves ecuaciones cuadráticas IInicia con el planteamiento de problemas que dan lugar a una ecuación cuadrática con una incógnita como mode-lo matemático, se revisan los métodos algebraico y gráfico para resolverlos, así como la fórmula general y se analiza la naturaleza de las raíces de la ecuación .

Bloque 10Resuelves ecuaciones cuadráticas IIAborda ecuaciones de segundo grado con una incógnita; se establece la relación entre la ecuación de segundo grado y la función cuadrática; se hace la interpretación gráfica de la función cuadrática y su relación con la ecua-ción de segundo grado .

Cada bloque inicia con su nombre e incluye: objetos de aprendizaje, las competencias a desarrollar y los desem-peños por alcanzar; una introducción, una propuesta de trabajo, un conjunto de ejercicios y problemas como propuestas de situaciones didácticas .

En esta obra se dan a conocer algunos lineamientos de carácter general sobre la metodología de trabajo de acuer-do al enfoque por competencias . Para ello se parte de ejemplos concretos en los que se explica cada una de las partes que integran la propuesta . A continuación se presentan problemas que se pueden considerar como situa-ciones didácticas para efectos del diseño de propuestas de trabajo con los alumnos . El enfoque por competencias considera la aplicación del conocimiento para resolver situaciones específicas . En ese proceso entran en juego las habilidades, capacidades, valores, etc ., de los sujetos en quienes se desea desarrollar una competencia específica .

La experiencia adquirida en la práctica educativa nos ha enseñado que debemos partir de lo que el alumno sabe para consolidar y aplicar su conocimiento . La propuesta de trabajo en esta obra consiste en presentar problemas concretos a resolver por el alumno . En el caso de que el estudiante no pueda resolver el problema planteado se le apoyará con teoría y ejemplos resueltos . Hecho lo anterior podrá regresar a resolver el problema planteado .

Persiste el propósito de apoyar a docentes y estudiantes en sus respectivas actividades .

Para el y la docente ofrece una metodología de trabajo acorde con el enfoque por competencias . Al inicio de cada bloque se presentan propuestas de actividades que incluyen los siguientes puntos:

VII


CompetenciaEs la competencia a desarrollar de acuerdo al programa .

Situación didácticaConstituye la dificultad a resolver por el alumno, de manera que éste ponga en juego sus aptitudes, capacidades, habilidades, destrezas, valores, etc .

SecuenciaSe refiere a las acciones a realizar por el alumno tanto en forma individual como por equipo .Las preguntas que se incluyen para realizar la investigación pueden orientar al alumno sobre las acciones a desa-rrollar para resolver la situación didáctica .En el trabajo a realizar por el alumno, individual y por equipo, se describen las acciones a realizar . Estas acciones tendrán un peso en la evaluación .

Evaluación por productoAunque se pueden utilizar diferentes formas de evaluación, la evaluación por producto evidencia el grado de avance del alumno en el desarrollo de una competencia .

Rúbrica de evaluaciónIncluye los elementos considerados para la evaluación . Se trata de hacer transparente los citerios de evaluación de manera que el alumno sepa cómo se le asignó una calificación .

Los grupos de ejercicios y problemas que se proponen como situaciones didácticas son de dificultad creciente, debidamente seleccionados y jerarquizados para favorecer el avance en el proceso de aprendizaje y facilitar en el y la estudiante la autoevaluación .

Esta obra proporciona la información teórica en un lenguaje accesible que induce al autoaprendizaje a través de la comprensión de los conceptos y su respectiva aplicación en la resolución de situaciones problemáticas concretas . Con ello se pretende que el y la estudiante adquieran la seguridad y confianza necesarias para enfrentar con éxito los retos que representan las situaciones didácticas propuestas, las cuales tienen cierta analogía con los ejemplos resueltos . Una vez que el y la estudiante puedan establecer relaciones entre el conocimiento que poseen y el nuevo que se les plantea, por ejemplo en un problema, estarán en condiciones de proponer el modelo matemático cuya solución resuelve el problema y, además, podrán analizar la estructura básica de los problemas que se les formulen, así como transitar el camino que conduce de una situación conocida a una nueva .

A través de la obra se revisan y afirman conceptos del nivel medio básico que son antecedentes necesarios para introducir y desarrollar los conceptos que corresponden al nivel medio superior .

Esperamos que esta segunda edición de Matemáticas 1 sea un apoyo y una herramienta para el proceso de ense-ñanza-aprendizaje, por lo mismo recibiremos con agrado todas las sugerencias que permitan mejorarla y enrique-cerla .

Francisco José Ortiz CamposFrancisco Javier Ortiz Cerecedo

Fernando José Ortiz Cerecedo

VIII

Competencias genéricas del Bachillerato General

Competencias genéricas del Bachillerato General

Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en capacidad de desempeñar, y les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una con-

vivencia adecuada en sus ámbitos social, profesional, familiar, etc . por lo anterior estas competencias construyen el Perfil del Egresa-do del Sistema Nacional de Bachillerato

A continuación se enlistan las competencias genéricas:

1 . Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue .

2 . Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros .

3 . Elige y practica estilos de vida saludable .

4 . Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de modelos, códigos y herramientas apropiados .

5 . Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos .

6 . Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva .

7 . Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida .

8 . Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos .

9 . Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo .

10 . Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales .

11 . Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica con acciones responsables .

IX


Competencias disciplinares básicas del campo de las matemáticas

Competencias disciplinares básicasBloques de aprendizaje

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

X X X X X X X X X X

2. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.

X X X X X X X X X X

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

X X X X X X X X X X

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

X X X X X X X X X X

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

X X X X X X X X X X

X

Conoce tu libro

Se trata de una conjunción de competencias disciplinares a lograr en cada bloque, que te permiten demostrar la capacidad que tienes para aplicar tus conocimientos en situaciones de la vida personal o social, ya que al mismo tiempo pondrás en práctica tus destrezas, habilidades y actitudes.

Objetos de aprendizaje

En los objetos de aprendizaje encontrarás los contenidos estructurados, integrados y contextualizados con una secuencia lógica y disciplinar, y que son de gran relevancia y pertinencia para el nivel educativo en el que te encuentras.

¿Cómo lo resolverías?

En cada bloque iniciamos con una situación didáctica que bien puede ser resolver un problema, realizar un experimento, un proyecto, una investigación o una presentación, o bien elaborar un ensayo, un video, un producto, una campaña o alguna otra actividad que permita que adquieras un conocimiento y competencias personales o grupales, a través de un reto.

¿Qué tienes que hacer?

La secuencia didáctica es una guía para que puedas adquirir los conocimientos y desarrollar habilidades a través de una metodología que facilite y dirija tus pasos. Son además descriptores de procesos que por el análisis detallado facilitan tu actividad y tus resultados.

¿Cómo sabes quelo hiciste bien?

Las rúbricas son métodos prácticos y concretos que te permiten autoevaluarte y así poder emprender un mejor desempeño. Puedes encontrar tanto actitudinales como de conocimientos.

SeccionesdeLasInicio de bloque

Tu libro

RúbricaSituación didáctica

Secuencia didáctica

Competencias por desarrollar

Ejemplos

Es importante mencionar que a lo largo de los bloques encontrarás diferentes ejemplos y ejercicios que tienen la finalidad de propiciar y facilitar tu aprendizaje.

Taller y actividad experimental

La experiencia que logres a través de los talleres, actividades experimentales y de laboratorio te ofrece la posibilidad de desarro-llar tus competencias y habilidades en la solución de problemas en situaciones cotidianas, además de estimular y fomentar tu aprendi-zaje cooperativo durante el trabajo en equipo.

Ejercicios

Los ejercicios propuestos en este libro te ayudarán a movilizar y consolidar los conocimientos adquiridos en situaciones reales o hipotéticas, mismas que te llevarán a un proceso de interacción, seguridad y soltura durante tu aprendizaje.

Aplica lo que sabes

Está diseñada para que puedas aplicar tus conocimientos a situaciones de tu vida diaria así como al análisis de problemáticas en tu comunidad y en el mundo en general, que te servirán para hacer propuestas de mejoras en todos los ámbitos.

Para tu reflexión

Tiene el propósito de enriquecer el conocimiento que estás adquiriendo con lecturas adicionales, notas informativas e información relevante para el tema que estás considerando. Esta información además de ser útil, te permite contextualizar diferentes perspectivas para la misma información.

Actividad de aprendizaje

A lo largo del libro encontrarás diferentes actividades de aprendiza-je, que de forma breve te permitirán reforzar los conocimientos y competencias adquiridas a través de preguntas puntuales al desarrollo del bloque.

En el libro encontrarás diferentes sugerencias y actividades que, una vez realizadas, te permitirán construir un gran número de evidencias, algunas escritas otras a través de la exposición de temas o presentación de productos. Es importante que recuerdes que además de presentar la informa-ción, la manera en que lo hagas determinará el nivel de calidad con la que se perciba tu trabajo. Por ello se te invita siempre a realizar tu mejor esfuerzo.

Éstas te ayudan a verificar el desempeño logrado al realizar algún trabajo, producto o evidencia solicitados en cada bloque del libro. En general, es un listado de criterios o aspectos que te permiten valorar el nivel de aprendizaje, los conocimientos, habilidades, actitudes y/o desempeños alcanzados sobre un trabajo en particular. Puedes realizarlas de manera personal o como coevaluación.

Es una poderosa herramienta de análisis que te posibilitará verificar si has logrado algún desempe-ño, asimilar contenidos o si eres capaz de aplicar tus conocimientos, si has conseguido realizar un procedimiento de manera adecuada o si has obtenido soluciones correctas a un problema planteado.

Al haber elegido este libro tienes acceso a nuestro sitio web, donde encontrarás material extra como videos, animaciones, audios y documentos que tienen el objetivo de ampliar tus conocimientos, dejar más claros algunos procesos complejos y actualizar de forma rápida y dinámica la información de todos los temas del plan de estudios de la DGB.

Son un conjunto de acciones y propuestas que te permitirán hacer una recolección, siste-matización y un análisis de los desempeños y logros obtenidos a través del trabajo que realizaste durante cada bloque, éstos junto con el portafolio de evidencias, te ayudarán a obtener mejores resultados en las prácticas de evaluación que realice tu profesor(a).

Instrumentos de evaluación

Portafolio de evidencias Rúbrica

Lista de cotejo

www.recursosacademicosenlinea-gep.com.mx

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BLOQUE 4 Realizas transformaciones algebraicas I

Hay una asombrosa imaginación, incluso en la ciencia de las matemáticas… Repetimos, hay mucha más imaginación en la cabeza de

Arquímedes que en la de Homero.

Voltaire

IntroducciónLa terminología y notación del lenguaje algebraico se aplica en la adición, sustracción, multiplicación y división de polinomios con una variable.

Se trata lo relacionado con algunos productos notables y su respec-tiva factorización.

Se hace una introducción al teorema del binomio de Newton don-de se utiliza el triángulo de Pascal.

4.1 Representación de relaciones entre magnitudes

Operaciones de suma, resta y multiplicación de polinomios en una variableUn polinomio es una expresión algebraica que se forma con varia-bles y números reales que se relacionan mediante las operaciones de adición, sustracción y multiplicación.

Los signos 1 y 2 se utilizan para separar los términos de un po-linomio.

A los polinomios compuestos por un solo término se les llama mo-nomios; a los que tienen dos términos, binomios, a los que tienen tres, trinomios.

Cuando un polinomio tiene una sola variable se le puede clasificar de acuerdo con el exponente de su término de mayor grado, así: 2x5 2 3x4 1 2x3 2 x2 1 1 es un polinomio de quinto grado.

Anécdota de Albert Einstein (1879-1955)El joven Einstein esperaba en la antesa-la del director de la famosa Academia Politécnica de Zurich, Suiza. Fue reci-bido cordialmente y el presidente le dijo que la Academia se honraría si acepta-ba el puesto de profesor. Einstein recordó cuando fue rechazado por dicha Academia como estudiante, años

Para tu re�exión

atrás. Sin embargo, dicho nombramiento le brindaba la oportunidad de continuar sus investigaciones científicas y aceptó.

Einstein tenía una mente inquieta e inquisitiva para los temas que le interesaban. A la edad de cinco años lo fascinó la brújula de su padre y no cesaba de cuestionarlo sobre ella. Posteriormente un estudiante de medicina, Max Talmey, visitó su casa y le prestó sus libros de ciencias naturales y matemáticas. Einstein los leyó con gran interés y descubrió que había encontrado lo que le interesaba.

El negocio de su padre no prosperaba y a Einstein no le interesaban los negocios, intentó la enseñanza mas no tuvo éxito, para entonces ya se había casado y tenía 2 hijos que sostener. Pudo obtener el puesto de empleado en la oficina de patentes y aunque el puesto era muy tedioso, le permitió terminar su doctorado y escribir algunos ensayos científicos.

En 1905, cuando todavía trabajaba en la oficina de patentes, publicó su primera versión de la teoría de la relatividad. Einstein descubrió que la velocidad de la luz es la única magnitud que se mantiene constante, lo demás es relativo. Todo lo que está sobre la Tierra y en el Universo se encuentra en movimiento constante.

Para Newton, el tiempo era constante e invariable. Einstein demostró que el tiempo era una variable, una cuarta dimensión que debía agre-garse a las tres dimensiones aceptadas del espacio. Al acercarse uno a la velocidad de la luz el tiempo se torna más lento. El tiempo depende del lugar donde te encuentres. Un año en el planeta Júpiter es más largo que un año en la Tierra porque Júpiter necesita más tiempo para girar alrededor del Sol.

Diez años más tarde, en una segunda obra sobre los aspectos de la re-latividad, Einstein ofreció un nuevo concepto de la gravitación. Declaró que no hay una fuerza absoluta de gravedad que atraiga los objetos, como había sostenido Newton, sino que toda masa tiene dentro de sí una fuerza que está en proporción con su masa, la cual atrae los obje-tos; por esta fuerza se da la curvatura del Universo y las variaciones en las órbitas de los cuerpos celestes.

A los 30 años de edad era famoso mundialmente.

Durante la Primera Guerra Mundial se negó a ayudar a Alemania en su esfuerzo bélico. Manifestó: “Esta guerra es una depravación y un crimen salvaje, preferiría que me descuartizaran antes que participar en cosa tan abominable”. Entonces tuvo que irse a EUA y aceptar un puesto de investigador en el Instituto de estudios avanzados de Prince-ton, Nueva Jersey. En 1939 escribió una carta al presidente Roosevelt advirtiendo las posibilidades científicas de crear una bomba atómica. La decisión del presidente fue construir esa arma fantásticamente des-tructora.

Una vez, cuando lo invitaron a visitar a la reina de Bélgica, se bajó del tren y caminó hasta el palacio llevando una maleta y su violín. Cuando la reina le preguntó por qué no había usado la limusina que le aguar-daba, Einstein le respondió: “Era muy agradable caminar majestad”.

Tomada de Crowther, J. G. Six Great Scientists

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Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías?

Un jardinero debe depositar una carretilla de tierra al pie de cada uno de los 30 árboles que están a un lado de una calzada. Los ár-boles están a intervalos de 6 metros y el montón de tierra está a 10 metros del primer árbol. ¿Qué distancia habrá recorrido des-pués de haber terminado su trabajo y regresado la carretilla al mon-tón de tierra?

Secuencia didáctica ¿Qué tienes que hacer?

Forma equipos para resolver el problema.

Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del problema.

Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar:¿Cuál es el primer término de la sucesión?

¿Cómo se determina el n-ésimo término?

¿Qué fórmula debe utilizar para calcular el n-ésimo término?

¿Cómo se determina la suma de los n términos?

¿Qué fórmula debe utilizar para calcular la suma de los n términos?

Trabajo individualCada participante debe hacer un registro de lo investigado y reali-zar los cálculos necesarios.

Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, regis-trado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep-tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las recti�caciones que procedan.

Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las ac-tividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.

Producto a elaborarDeterminación del primer término de la sucesión.

Fórmula y cálculos realizados para la obtención del n-ésimo término.

Fórmula y cálculos realizados para la obtención de la suma de los n términos.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien?

Para determinar la distancia recorrida que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se cali�ca con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por es-crito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu cali�cación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos.

Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la eva-luación del mes.

83


Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente:

Investiga cuándo se fun-dó la comunidad donde vives.

¿Cuánta población tenía en ese entonces?

¿Cuántos años transcu-rrieron para que la pobla-ción se duplicara?

¿En cuánto tiempo se volvió a duplicar?

Compara resultados con tus compañeros del salón de clases.

Investiga:

Cuando tu escuela inició sus labores, ¿cuántos alumnos tenía?

¿Cuántos alumnos de primer ingreso tienen actualmente?

Investiga cuál era la población de nuestro país en 1900.

Investiga cuál era la población de nuestro país en el año 2000.

Investiga cómo se ha dado el crecimiento de la población de nuestro país entre los años de 1900 y 2000. Elabora una gráfica en la que se ilustre el crecimiento, con intervalos de 10 años en el eje horizontal y de 10 millones de habitantes en el eje vertical.

Elabora en una cartulina o papel bond los resulta-dos de tu investigación y compártelo, con tus com-pañeros.

Aplica lo que sabes

Adición y sustracción de polinomios con una sola variableDado que la variable del polinomio representa a un número real, se pueden aplicar las propiedades de las operaciones con estos nú-meros.

En una sustracción, minuendo menos sustraendo equivale a sumar al minuendo

del sustraendo.


Suma 5 3 52x x− + y 2 32x x+ −Solución:

( )5 3 52x x2 1 1 ( )2 32x x1 2 5 (5x 2 1 2x 2 ) 1 (23x 1 x ) 1 (5 2 3)

5 ( ) ( )5 2 3 1 22+ + − + +x x 5 7 2 22x x− +

Ejemplos

6 3 7 1 2 2 3 53 2 3 2x x x x x x+ − +( )− − + −( )=6 3 7 1 2 2 3 53 2 3 2x x x x x x+ − +( )+ − + − +( )

5 6 2 3 2 7 3 1 53 2−( ) + +( ) + − −( ) + +( )x x x5 4 5 10 63 2x x x+ − +

Para facilitar el procedimiento disponemos en orden decreciente y co-locamos en la misma columna términos semejantes.

6 3 7 13 2x x x+ − + 2

2 2 3 53 2x x x− + −

Esta operación se puede transformar en una suma al cambiar los sig-nos de todos los términos del polinomio que se resta.

6 3 7 13 2x x x+ − + 1− + − +2 2 3 53 2x x x

4 5 10 63 2x x x+ − +

Ejemplos

Como se puede observar, la operación de adición se realizó aso-ciando términos semejantes y operando con sus coe�cientes nu-méricos.

El procedimiento se facilita cuando los términos de cada polino-mio se disponen en orden decreciente y se colocan en la misma columna los términos semejantes.

5 3 52x x− + 1

2 32x x+ −

7 2 22x x− +Para la de sustracción de polinomios se debe tomar en cuenta que a 2 b 5 a 1 (2b); esto es, minuendo menos sustraendo equivale a sumar al minuendo el inverso aditivo (o simétrico) del sustraendo.

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Propósito del portafolio de evidencias Semestre

Observa los resultados del proceso de formación a lo largo del semestre, así como el cambio de los procesos de pen-samiento sobre ti mismo y lo que te rodea, a partir del conocimiento de los distintos temas de estudio, en un ambiente que te permita el uso óptimo de la información recopilada.

Número de bloques del libro.

Asignatura Nombre del alumno:

Criterios de reflexión sobre las evidencias Comentarios del estudiante:

¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar las evidencias presentadas?

¿Qué desempeños demuestran las evidencias integradas en este portafolio?

¿Qué competencias se desarrollan con las evidencias seleccionadas?

¿Las evidencias seleccionadas cumplieron las metas establecidas en el curso?

¿Qué mejoras existen entre las primeras evidencias y las últimas?

Monitoreo de evidenciasComentarios del profesor(a):

# Título Fecha de elaboración

1

2

3

4

5

Etapas para realizar tu portafolio de evidencias

1. Comenta con tu profesor(a) el propósito de tu portafolio y su re-lación con los objetos de aprendizaje, competencias a desarro-llar, desempeños esperados, entre otros elementos; acuerden el periodo de compilación de los productos (por bloque, bimestre, semestre).

2. Haz un registro de los criterios que debes considerar al seleccio-nar tus evidencias de aprendizaje.

3. Comentar con tu profesor(a) todas las dudas que tengas.

Instrucciones para seleccionar las evidencias

1. Realiza todas las evidencias y así podrás incluir las que elaboraste de manera escrita, audiovisual, artística, entre otras.

2. Selecciona aquellas que den evidencia de tu aprendizaje, compe-tencias y desempeños desarrollados, y que te posibiliten reflexio-nar sobre ello.

3. Todas las evidencias seleccionadas deben cumplir con el propósi-to del portafolio en cantidad, calidad y orden de presentación.

El portafolio de evidencias es un método de evaluación que consiste en:

Recopilar los diversos productos que realizaste durante cada bloque (investigaciones, resúmenes, ensayos, síntesis, cuadros comparativos, cuadros sinópticos, el reporte de prácticas de laboratorio, talleres, líneas de tiempo, entre otros), que fueron resultado de tu proceso de aprendizaje en este curso.

No vas a integrar todos los instrumentos o trabajos que realizaste; más bien, se van a integrar aquellos que tu profesor(a), considere son los más signi�cativos en el proceso de aprendizaje.

Te permiten re�exionar y darte cuenta de cómo fue tu desempeño durante el desarrollo de las actividades de aprendizaje realizadas.

Portafolio de evidencias

92


1. Determina P (x ) 2 Q (x )

P (x ) 3 7 2 64 3 2x x x x+ + − −Q (x ) 5 − − − + +2 3 2 6 34 3 2x x x x

2. Determina el producto [(a 1 b) 1 c]2 sin efectuar la operación.

3. Determina el producto (x 1 y 2 3)(x 2 y 1 3) sin efectuar la operación.

4. Determina el producto (3x 1 7)(3x 2 19) sin efectuar la ope-ración.

5. Determina el producto (1 2 z )3 sin efectuar la operación.

6. Desarrolla por el teorema del binomio (x 2 2y )6.

7. Factoriza la expresión r 4 1 r 3s 2 r 2s 2.

8. Factoriza la expresión x 3 1 x 2y 1 x 1 y.

Apellido paterno Apellido materno Nombre Grupo

Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 4. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.


152

BLOQUE 7 Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse

Lista de cotejo para el reporte sobre el techo elipsoidal de un edi�cio que se encuentra en “Aplica lo que sabes” de la página 146.

Lista de cotejo

Criteriocumple

Observacionessí no

Pre

sent

ació

n

1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula.

2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.

3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.

4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.

5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema.

Des

arro

llo

6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente.

7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.

8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito.

9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.

10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente.

Dom

inio

de

l tem

a 11. Conoce la elipse y sus elementos.

12. Conoce el sólido de revolución llamado elipsoide.

13. Conoce las propiedades de la elipse y sus aplicaciones en la elipsoide.

Con

clus

ione

s 14. Representa gráficamente a la elipse y sus elementos.

15. Conoce las propiedades de la elipse, en particular, de sus focos.

16. Conoce y explica el fenómeno que consiste en que una persona habla en un foco de un recinto de forma elipsoidal y solamente puede ser escuchada por la persona que se encuentra colocada en el otro foco.

Nombre del alumno:

153


CriteriosExcelente

(4)Bueno

(3)Satisfactorio

(2)Deficiente

(1)

As

pect

o a

eval

uar

Ecuación de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados

Identifica los elementos asociados a una elipse. Obtiene la ecuación de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. Obtiene los elementos de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, a partir de su ecuación.

Identifica los elementos asociados a una elipse. En la mayoría de los casos, obtiene la ecuación de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. En la mayoría de los casos, obtiene los elementos de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, a partir de su ecuación.

Identifica los elementos asociados a una elipse. En algunos casos, obtiene la ecuación de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. En algunos casos, obtiene los elementos de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, a partir de su ecuación.

No identifica los elementos asociados a una elipse. No obtiene la ecuación de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. No obtiene los elementos de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, a partir de su ecuación.

Ecuación de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados

Obtiene la ecuación ordinaria de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. Obtiene los elementos de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados.

En la mayoría de los casos, obtiene la ecuación ordinaria de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. En la mayoría de los casos, obtiene los elementos de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados.

En algunos casos, obtiene la ecuación ordinaria de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. En algunos casos, obtiene los elementos de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados.

No obtiene la ecuación ordinaria de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. No obtiene los elementos de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados.

Ecuaciones general y ordinaria de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados

Convierte una ecuación de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, de su forma ordinaria a la forma general y viceversa.

En la mayoría de los casos, convierte una ecuación de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, de su forma ordinaria a la forma general y viceversa.

En algunos casos, convierte una ecuación de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, de su forma ordinaria a la forma general y viceversa.

No convierte una ecuación de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, de su forma ordinaria a la forma general ni viceversa.

Instrucciones para el llenado de la rúbrica.Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido

Indicaciones:Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes tanto en forma individual como por equipo; asimismo, se pretende evaluar la participación de cada uno de los integrantes del grupo en el desarrollo de la secuencia didáctica y en la evaluación del producto: 4 Excelente, 3 Bueno, 2 Satisfactorio y 1 Deficiente. En cada aspecto aparecen los niveles de desempeño, según el tipo de evidencia generada.

Rúbrica

Nombre del estudiante::

91


a2 2 b2 5 (a 1 b)(a 2 b)

Entonces, factorizar una diferencia de cuadrados significa buscar dos binomios conjugados cuyo producto sea la diferencia de cua-drados dada.

Al factorizar una diferencia de cuadrados se obtienen dos bino-mios conjugados en el que uno es _______________ y el otro es _________________ de las raíces.


Factoriza la expresión 9x 2 2 16y 2. El primer término 9x 2, es el cua-drado de 3x, término común de los dos binomios conjugados que se buscan. El segundo término 216y 2, es el producto de 4y por 24y, términos simétricos de los binomios conjugados que se buscan.

Por tanto:

9x 2 2 16y 2 5 (3x 1 4y )(3x 2 4y )

A continuación se describe otra forma de determinar los binomios con-jugados.

Obtén la raíz cuadrada principal (o positiva) de los términos cuadráti-cos:

1 9 162 2x y 5 3x 19 162 2x y 5 4y

Los binomios conjugados se forman con la suma y la diferencia de las raíces, es decir:

(3x 1 4y ) y (3x 2 4y )

entonces:

9x 2 2 16y 2 5 (3x 1 4y )(3x 2 4y )

Los casos especiales de la factorización de una diferencia de cuadra-dos son:

a) Cuando uno de los binomios conjugados es una diferencia de cuadrados es necesario continuar la factorización.

Así, en la factorización de x 8 2 y 8 se obtiene:

x 8 2 y 8 5 (x 4 1 y 4)(x4 2 y 4)

5 (x 4 1 y 4)(x 2 1 y 2)(x 2 2 y 2)

5 (x 4 1 y 4)(x 2 1 y 2)(x 1 y )(x 2 y )

b) Cuando los cuadrados son polinomios, como en x4 2 (m 2 n)2, se considera (m 2 n) como un monomio y se factoriza de la siguiente forma:

x 4 2 (m 2 n)2 5 [x 2 1 (m 2 n )][x 2 2 (m 2 n )]

5 (x 2 1 m 2 n )(x 2 2 m 1 n )

Ejemplos

c) Cuando un polinomio se puede expresar como una diferencia de cuadrados reordenando sus términos, como en:

x 2 1 2xy 1 y 2 2 25z 2 5 (x 1 y )2 2 25z 2

5 [(x 1 y ) 1 5z ][(x 1 y ) 2 5z ]

5 (x 1 y 1 5z )(x 1 y 2 5z )

d) Cuando un polinomio se puede expresar como una diferencia de cuadrados mediante el artificio de sumar y restar el mismo término. Por ejemplo: en x 4 1 x 2y 2 1 y 4 se observa que si el segundo término fuera 2x 2y 2 se tendría un trinomio cuadrado perfecto factorizado por (x 2 1 y 2)2. Si se agrega y se quita al polinomio el término x 2y 2, se obtiene:

x 4 1 x 2y 2 1 y 4 5 x 4 1 2x 2y 2 1 y 4 2 x 2y 2

5 (x 2 1 y 2)2 2 x 2y 2

5 (x 2 1 y 2 1 xy )(x 2 1 y 2 2 xy )

Por tanto:

x 4 1 x 2y 2 1 y 4 5 (x 2 1 xy 1 y 2)(x 2 2 xy 1 y 2)

Factorización de la suma y diferencia de cubos

El cociente de a3 1 b3 entre a 1 b es:

ax bxx

a b

x y x yx y

x x

15 1

1

1 1

8 44

14

12

12

14

3 2 2

2

2

551

1

1

x

a ba b

12

2

3 3

5 a2 2 ab 1 b2

entonces

a3 1 b3 5 (a 1 b)(a2 2 ab 1 b2)

De manera semejante:

a3 2 b3 5 (a 2 b)(a2 1 ab 1 b2)

1. Factoriza 27x 3 1 y 3

27x 3 1 y 3 5 (3x )3 1 y 3

5 (3x 1 y )(9x 2 2 3xy 1 y 2)

2. Factoriza 27x 3 2 8y 3

27x 3 2 8y 3 5 (3x )3 2 (2y )3

5 (3x 2 2y )(9x 2 1 6xy 1 4y 2)

3. Factoriza x 6 1 y 6

x 6 1 y 6 5 (x 2)3 1 (y 2)3

5 (x 2 1 y 2)(x4 2 x 2y 2 1 y 4)


x 9 2 y 12 5 (x 3)3 2 (y 4)3

5 (x 3 2 y 4)(x 6 1 x 3 y 4 1 y 8)

Ejemplos

Tu libro cuenta también con glosario, bibliografía, vínculos en Internet, líneas de tiempo, diagramas, mapas conceptuales, además de atractivas imágenes y otras muchas secciones y herramientas que te resultarán muy útiles y complementarán tu aprendizaje.

Otras herramientas

154

BLOQUE 1 Glosario

Abscisa. Distancia de un punto P al eje vertical en un sistema coordenado rectangular.

Abscisa al origen. Abscisa del punto en que una recta corta al eje x.

Baricentro. Punto de intersección de las medianas de un triángu-lo. También se le conoce como gravicentro o centroide.

Coordenadas. Distancias de un punto P a los ejes vertical y hori-zontal en un sistema coordenado rectangular.

Diagonal. Segmento de recta que une dos vértices no consecuti-vos de un polígono.

Ecuación de una elipse con centro en el origen y eje mayor coincidente con el eje x.

xa

yb

2

2

2

2 1+ =

Ecuación de una elipse con centro en el origen y eje mayor coincidente con el eje y.

xb

ya

2

2

2

2 1+ =

Ecuación de una recta. Expresión algebraica de la recta según el tipo de ésta.

Ecuación simétrica de la recta. También llamada forma de las intersecciones. Aparece en los denominadores y corresponde a los segmentos que determina sobre los ejes, es decir, sus coordenadas al origen.

Ejes coordenados. Dos rectas perpendiculares entre sí que divi-den al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes.

Elipse. Lugar geométrico de un punto del plano que se mueve de manera que la suma de sus distancias a dos puntos �jos es una constante. Los puntos �jos se llaman focos.

Extensión. Conjunto de números reales en el que está de�nida una variable.

Forma general de la ecuación de la circunferencia:

x y Dx Ey F2 2 0+ + + + =Forma general de la ecuación de la parábola:

y2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0

donde:

D a= −4 E k= −2 y F k ah= +2 4

Forma general de la ecuación de una recta. La ecuación Ax 1 By 1 C 5 0 corresponde a la forma general de la recta. En esta ecuación los coe�cientes A, B y C pueden tomar el valor cero, pero A y B no pueden ser cero simultáneamente.

Forma normal de la ecuación de una recta. x cos a 1 y sen a 2 p 5 0 es la expresión que corresponde a la ecuación de una recta en la forma normal.

Forma ordinaria de la ecuación de una circunferencia:

( ) ( )x h y k r− + − =2 2 2

Intersecciones con los ejes. Son los puntos (x, 0) y (0, y) en que una grá�ca corta a los ejes coordenados.

Lado recto. Cuerda focal que es perpendicular al eje de la pará-bola.

Lugar geométrico. Conjunto de puntos que satisfacen una con-dición o condiciones dadas. También se le considera como la tra-yectoria descrita por un punto que se mueve de acuerdo con una o más condiciones establecidas.

Mediana. Segmento de recta que une el punto medio de un lado de un triángulo con el vértice opuesto.

Mediatriz. Recta perpendicular a un segmento de recta en su pun-to medio.

Ordenada. Distancia de un punto P al eje horizontal en un sistema coordenado rectangular.

Ordenada al origen. La ordenada del punto en que una recta cor-ta al eje y se llama ordenada al origen de la recta.

Glosario

156

Bibliografía

Bibliografía

Fuller, Gordon, Analytic Geometry, Addison Wesley Publishing Company, 1993.

Kindle, Joseph H., Geometría analítica plana y del espacio, McGraw-Hill, México, 1984.

Lehmann, Charles H., Geometría analítica, Limusa, México, 2005.

Leithold, Louis, El cálculo con geometría analítica, Harper & Row, 1986.

Middlemiss, Ross R., Marks, James R. John L. Smart, Geometría analítica, McGraw-Hill, México, 1990.

Rees, Paul, Geometría Analítica, Reverté, España, 2008.

Rider, Paul R., Geometría analítica, Montaner y Simon, Barcelona, 1966.

Swokowski, Earl W., Algebra and Trigonometry with Analytic Geometry, 11th edition, Brooks Cole, 2007.

Wexler, Charles, Geometría analítica un enfoque vectorial, Montaner y Simon, Barcelona, 1968.

Woods, Federico S. y Bailey, Federico H. Geometría analítica y cálculo in�nitesimal, Unión tipográ�ca Editorial Hispano Americana (UTEHA), México, 1972.

Vínculos en Internet

http://www.mathworks.com

http://www.wolframresearch.com

http://www.geoan.com

w

1. Forma una progresión aritmética de 7 términos en la que el primer término sea 5 y la diferencia sea 3.

2. Agrega 5 términos a la progresión: 3, 8, 13, . . .

3. Calcula el enésimo término y la suma de los términos de la progresión aritmé-tica: 3, 7, 11, . . . (15 términos).

4. Dados 3 de los 5 elementos de la progresión aritmética a1 5 23, d 5 22, an 5 5 encuentra los otros 2.

5. Interpola tres medios aritméticos entre 21 y 33.

6. Para la siguiente progresión geométrica 1, 2, 4, . . . , encuentra el décimo término.

7. Para la progresión geométrica 2, 24, 8, . . . , encuentra la suma hasta el séptimo término.

8. Interpola un medio geométrico entre 4 y 25.

9. Dados tres de los cinco elementos de la progresión geométrica donde a1 5 2, r 5 3, n 5 5, encuentra an y Sn.

10. Halla la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente: 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, . . .

¿Qué sabes hacer ahora?


Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos, variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos en situaciones reales.

Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

Interpreta tablas, grá�cas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y cientí�cos.

Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera re�exiva.

Asume una actitud constructivista, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

3.1 Representación de relacio-nes entre magnitudes.

3.2 Modelos aritméticos o algebraicos.

3B LO Q U E

Competencias a desarrollar


Desempeños por alcanzar

de términos de las sucesiones.

Realiza cálculos obteniendo el enésimo término y el valor de cualquier término en sucesión aritmética y geométrica tanto �nita como in�nita mediante las fórmulas correspondientes.

Soluciona problemas aritméticos y algebraicos usando series y sucesiones aritméticas y algebraicas.

Identi�ca y diferencia las series y sucesiones numéricas así como sus propiedades.

Clasi�ca las sucesiones numéricas en aritméticas y geométricas.

Determina patrones de senos y sucesiones aritméticas y geométricas.

Construye grá�cas para establecer el comportamiento de sucesiones aritméticas y geométricas.

Emplea la calculadora para la veri�cación del resultado en los cálculos de obtención

w






















3B LO Q U E














Estos desempeños son los que se espera que logres al �nalizar cada bloque, te posibilitan poner en práctica tus conocimientos, habilidades y actitudes al realizar cada una de las actividades propuestas en este libro.

Esta sección constituye una propuesta de evaluación diagnóstica que te permitirá establecer las competencias y conocimientos con los que cuentas, para así iniciar la obtención de conocimientos y capacidades nuevas.

XI


Se trata de una conjunción de competencias disciplinares a lograr en cada bloque, que te permiten demostrar la capacidad que tienes para aplicar tus conocimientos en situaciones de la vida personal o social, ya que al mismo tiempo pondrás en práctica tus destrezas, habilidades y actitudes.


En los objetos de aprendizaje encontrarás los contenidos estructurados, integrados y contextualizados con una secuencia lógica y disciplinar, y que son de gran relevancia y pertinencia para el nivel educativo en el que te encuentras.

¿Cómo lo resolverías?

En cada bloque iniciamos con una situación didáctica que bien puede ser resolver un problema, realizar un experimento, un proyecto, una investigación o una presentación, o bien elaborar un ensayo, un video, un producto, una campaña o alguna otra actividad que permita que adquieras un conocimiento y competencias personales o grupales, a través de un reto.

¿Qué tienes que hacer?

La secuencia didáctica es una guía para que puedas adquirir los conocimientos y desarrollar habilidades a través de una metodología que facilite y dirija tus pasos. Son además descriptores de procesos que por el análisis detallado facilitan tu actividad y tus resultados.

¿Cómo sabes quelo hiciste bien?

Las rúbricas son métodos prácticos y concretos que te permiten autoevaluarte y así poder emprender un mejor desempeño. Puedes encontrar tanto actitudinales como de conocimientos.

SeccionesdeLasInicio de bloque

Tu libro

RúbricaSituación didáctica

Secuencia didáctica

Competencias por desarrollar

Ejemplos

Es importante mencionar que a lo largo de los bloques encontrarás diferentes ejemplos y ejercicios que tienen la finalidad de propiciar y facilitar tu aprendizaje.

Taller y actividad experimental

La experiencia que logres a través de los talleres, actividades experimentales y de laboratorio te ofrece la posibilidad de desarro-llar tus competencias y habilidades en la solución de problemas en situaciones cotidianas, además de estimular y fomentar tu aprendi-zaje cooperativo durante el trabajo en equipo.

Ejercicios

Los ejercicios propuestos en este libro te ayudarán a movilizar y consolidar los conocimientos adquiridos en situaciones reales o hipotéticas, mismas que te llevarán a un proceso de interacción, seguridad y soltura durante tu aprendizaje.

Aplica lo que sabes

Está diseñada para que puedas aplicar tus conocimientos a situaciones de tu vida diaria así como al análisis de problemáticas en tu comunidad y en el mundo en general, que te servirán para hacer propuestas de mejoras en todos los ámbitos.

Para tu reflexión

Tiene el propósito de enriquecer el conocimiento que estás adquiriendo con lecturas adicionales, notas informativas e información relevante para el tema que estás considerando. Esta información además de ser útil, te permite contextualizar diferentes perspectivas para la misma información.


A lo largo del libro encontrarás diferentes actividades de aprendiza-je, que de forma breve te permitirán reforzar los conocimientos y competencias adquiridas a través de preguntas puntuales al desarrollo del bloque.

En el libro encontrarás diferentes sugerencias y actividades que, una vez realizadas, te permitirán construir un gran número de evidencias, algunas escritas otras a través de la exposición de temas o presentación de productos. Es importante que recuerdes que además de presentar la informa-ción, la manera en que lo hagas determinará el nivel de calidad con la que se perciba tu trabajo. Por ello se te invita siempre a realizar tu mejor esfuerzo.

Éstas te ayudan a verificar el desempeño logrado al realizar algún trabajo, producto o evidencia solicitados en cada bloque del libro. En general, es un listado de criterios o aspectos que te permiten valorar el nivel de aprendizaje, los conocimientos, habilidades, actitudes y/o desempeños alcanzados sobre un trabajo en particular. Puedes realizarlas de manera personal o como coevaluación.

Es una poderosa herramienta de análisis que te posibilitará verificar si has logrado algún desempe-ño, asimilar contenidos o si eres capaz de aplicar tus conocimientos, si has conseguido realizar un procedimiento de manera adecuada o si has obtenido soluciones correctas a un problema planteado.

Al haber elegido este libro tienes acceso a nuestro sitio web, donde encontrarás material extra como videos, animaciones, audios y documentos que tienen el objetivo de ampliar tus conocimientos, dejar más claros algunos procesos complejos y actualizar de forma rápida y dinámica la información de todos los temas del plan de estudios de la DGB.

Son un conjunto de acciones y propuestas que te permitirán hacer una recolección, siste-matización y un análisis de los desempeños y logros obtenidos a través del trabajo que realizaste durante cada bloque, éstos junto con el portafolio de evidencias, te ayudarán a obtener mejores resultados en las prácticas de evaluación que realice tu profesor(a).


Portafolio de evidencias Rúbrica

Lista de cotejo

www.recursosacademicosenlinea-gep.com.mx

82


Hay una asombrosa imaginación, incluso en la ciencia de las matemáticas… Repetimos, hay mucha más imaginación en la cabeza de

Arquímedes que en la de Homero.

Voltaire

IntroducciónLa terminología y notación del lenguaje algebraico se aplica en la adición, sustracción, multiplicación y división de polinomios con una variable.

Se trata lo relacionado con algunos productos notables y su respec-tiva factorización.

Se hace una introducción al teorema del binomio de Newton don-de se utiliza el triángulo de Pascal.


Operaciones de suma, resta y multiplicación de polinomios en una variableUn polinomio es una expresión algebraica que se forma con varia-bles y números reales que se relacionan mediante las operaciones de adición, sustracción y multiplicación.

Los signos 1 y 2 se utilizan para separar los términos de un po-linomio.

A los polinomios compuestos por un solo término se les llama mo-nomios; a los que tienen dos términos, binomios, a los que tienen tres, trinomios.

Cuando un polinomio tiene una sola variable se le puede clasificar de acuerdo con el exponente de su término de mayor grado, así: 2x5 2 3x4 1 2x3 2 x2 1 1 es un polinomio de quinto grado.

Anécdota de Albert Einstein (1879-1955)El joven Einstein esperaba en la antesa-la del director de la famosa Academia Politécnica de Zurich, Suiza. Fue reci-bido cordialmente y el presidente le dijo que la Academia se honraría si acepta-ba el puesto de profesor. Einstein recordó cuando fue rechazado por dicha Academia como estudiante, años

Para tu re�exión

atrás. Sin embargo, dicho nombramiento le brindaba la oportunidad de continuar sus investigaciones científicas y aceptó.

Einstein tenía una mente inquieta e inquisitiva para los temas que le interesaban. A la edad de cinco años lo fascinó la brújula de su padre y no cesaba de cuestionarlo sobre ella. Posteriormente un estudiante de medicina, Max Talmey, visitó su casa y le prestó sus libros de ciencias naturales y matemáticas. Einstein los leyó con gran interés y descubrió que había encontrado lo que le interesaba.

El negocio de su padre no prosperaba y a Einstein no le interesaban los negocios, intentó la enseñanza mas no tuvo éxito, para entonces ya se había casado y tenía 2 hijos que sostener. Pudo obtener el puesto de empleado en la oficina de patentes y aunque el puesto era muy tedioso, le permitió terminar su doctorado y escribir algunos ensayos científicos.

En 1905, cuando todavía trabajaba en la oficina de patentes, publicó su primera versión de la teoría de la relatividad. Einstein descubrió que la velocidad de la luz es la única magnitud que se mantiene constante, lo demás es relativo. Todo lo que está sobre la Tierra y en el Universo se encuentra en movimiento constante.

Para Newton, el tiempo era constante e invariable. Einstein demostró que el tiempo era una variable, una cuarta dimensión que debía agre-garse a las tres dimensiones aceptadas del espacio. Al acercarse uno a la velocidad de la luz el tiempo se torna más lento. El tiempo depende del lugar donde te encuentres. Un año en el planeta Júpiter es más largo que un año en la Tierra porque Júpiter necesita más tiempo para girar alrededor del Sol.

Diez años más tarde, en una segunda obra sobre los aspectos de la re-latividad, Einstein ofreció un nuevo concepto de la gravitación. Declaró que no hay una fuerza absoluta de gravedad que atraiga los objetos, como había sostenido Newton, sino que toda masa tiene dentro de sí una fuerza que está en proporción con su masa, la cual atrae los obje-tos; por esta fuerza se da la curvatura del Universo y las variaciones en las órbitas de los cuerpos celestes.

A los 30 años de edad era famoso mundialmente.

Durante la Primera Guerra Mundial se negó a ayudar a Alemania en su esfuerzo bélico. Manifestó: “Esta guerra es una depravación y un crimen salvaje, preferiría que me descuartizaran antes que participar en cosa tan abominable”. Entonces tuvo que irse a EUA y aceptar un puesto de investigador en el Instituto de estudios avanzados de Prince-ton, Nueva Jersey. En 1939 escribió una carta al presidente Roosevelt advirtiendo las posibilidades científicas de crear una bomba atómica. La decisión del presidente fue construir esa arma fantásticamente des-tructora.

Una vez, cuando lo invitaron a visitar a la reina de Bélgica, se bajó del tren y caminó hasta el palacio llevando una maleta y su violín. Cuando la reina le preguntó por qué no había usado la limusina que le aguar-daba, Einstein le respondió: “Era muy agradable caminar majestad”.

Tomada de Crowther, J. G. Six Great Scientists

57



Un jardinero debe depositar una carretilla de tierra al pie de cada uno de los 30 árboles que están a un lado de una calzada. Los ár-boles están a intervalos de 6 metros y el montón de tierra está a 10 metros del primer árbol. ¿Qué distancia habrá recorrido des-pués de haber terminado su trabajo y regresado la carretilla al mon-tón de tierra?



Que cada equipo represente, mediante dibujos, las condiciones del problema.


Cada equipo debe investigar:¿Cuál es el primer término de la sucesión?

¿Cómo se determina el n-ésimo término?

¿Qué fórmula debe utilizar para calcular el n-ésimo término?

¿Cómo se determina la suma de los n términos?

¿Qué fórmula debe utilizar para calcular la suma de los n términos?


Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, regis-trado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep-tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las recti�caciones que procedan.

Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las ac-tividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.

Producto a elaborarDeterminación del primer término de la sucesión.

Fórmula y cálculos realizados para la obtención del n-ésimo término.

Fórmula y cálculos realizados para la obtención de la suma de los n términos.


Para determinar la distancia recorrida que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se cali�ca con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por es-crito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu cali�cación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos.


83


Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente:

Investiga cuándo se fun-dó la comunidad donde vives.

¿Cuánta población tenía en ese entonces?

¿Cuántos años transcu-rrieron para que la pobla-ción se duplicara?

¿En cuánto tiempo se volvió a duplicar?

Compara resultados con tus compañeros del salón de clases.

Investiga:

Cuando tu escuela inició sus labores, ¿cuántos alumnos tenía?

¿Cuántos alumnos de primer ingreso tienen actualmente?

Investiga cuál era la población de nuestro país en 1900.

Investiga cuál era la población de nuestro país en el año 2000.

Investiga cómo se ha dado el crecimiento de la población de nuestro país entre los años de 1900 y 2000. Elabora una gráfica en la que se ilustre el crecimiento, con intervalos de 10 años en el eje horizontal y de 10 millones de habitantes en el eje vertical.

Elabora en una cartulina o papel bond los resulta-dos de tu investigación y compártelo, con tus com-pañeros.

Aplica lo que sabes

Adición y sustracción de polinomios con una sola variableDado que la variable del polinomio representa a un número real, se pueden aplicar las propiedades de las operaciones con estos nú-meros.

En una sustracción, minuendo menos sustraendo equivale a sumar al minuendo

del sustraendo.


Suma 5 3 52x x− + y 2 32x x+ −Solución:

( )5 3 52x x2 1 1 ( )2 32x x1 2 5 (5x 2 1 2x 2 ) 1 (23x 1 x ) 1 (5 2 3)

5 ( ) ( )5 2 3 1 22+ + − + +x x 5 7 2 22x x− +

Ejemplos

6 3 7 1 2 2 3 53 2 3 2x x x x x x+ − +( )− − + −( )=6 3 7 1 2 2 3 53 2 3 2x x x x x x+ − +( )+ − + − +( )

5 6 2 3 2 7 3 1 53 2−( ) + +( ) + − −( ) + +( )x x x5 4 5 10 63 2x x x+ − +

Para facilitar el procedimiento disponemos en orden decreciente y co-locamos en la misma columna términos semejantes.

6 3 7 13 2x x x+ − + 2

2 2 3 53 2x x x− + −

Esta operación se puede transformar en una suma al cambiar los sig-nos de todos los términos del polinomio que se resta.

6 3 7 13 2x x x+ − + 1− + − +2 2 3 53 2x x x

4 5 10 63 2x x x+ − +

Ejemplos

Como se puede observar, la operación de adición se realizó aso-ciando términos semejantes y operando con sus coe�cientes nu-méricos.

El procedimiento se facilita cuando los términos de cada polino-mio se disponen en orden decreciente y se colocan en la misma columna los términos semejantes.

5 3 52x x− + 1

2 32x x+ −

7 2 22x x− +Para la de sustracción de polinomios se debe tomar en cuenta que a 2 b 5 a 1 (2b); esto es, minuendo menos sustraendo equivale a sumar al minuendo el inverso aditivo (o simétrico) del sustraendo.

19


Propósito del portafolio de evidencias Semestre

Observa los resultados del proceso de formación a lo largo del semestre, así como el cambio de los procesos de pen-samiento sobre ti mismo y lo que te rodea, a partir del conocimiento de los distintos temas de estudio, en un ambiente que te permita el uso óptimo de la información recopilada.

Número de bloques del libro.

Asignatura Nombre del alumno:

Criterios de reflexión sobre las evidencias Comentarios del estudiante:

¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar las evidencias presentadas?

¿Qué desempeños demuestran las evidencias integradas en este portafolio?

¿Qué competencias se desarrollan con las evidencias seleccionadas?

¿Las evidencias seleccionadas cumplieron las metas establecidas en el curso?

¿Qué mejoras existen entre las primeras evidencias y las últimas?

Monitoreo de evidenciasComentarios del profesor(a):

# Título Fecha de elaboración

1

2

3

4

5

Etapas para realizar tu portafolio de evidencias

1. Comenta con tu profesor(a) el propósito de tu portafolio y su re-lación con los objetos de aprendizaje, competencias a desarro-llar, desempeños esperados, entre otros elementos; acuerden el periodo de compilación de los productos (por bloque, bimestre, semestre).

2. Haz un registro de los criterios que debes considerar al seleccio-nar tus evidencias de aprendizaje.

3. Comentar con tu profesor(a) todas las dudas que tengas.

Instrucciones para seleccionar las evidencias

1. Realiza todas las evidencias y así podrás incluir las que elaboraste de manera escrita, audiovisual, artística, entre otras.

2. Selecciona aquellas que den evidencia de tu aprendizaje, compe-tencias y desempeños desarrollados, y que te posibiliten reflexio-nar sobre ello.

3. Todas las evidencias seleccionadas deben cumplir con el propósi-to del portafolio en cantidad, calidad y orden de presentación.

El portafolio de evidencias es un método de evaluación que consiste en:

Recopilar los diversos productos que realizaste durante cada bloque (investigaciones, resúmenes, ensayos, síntesis, cuadros comparativos, cuadros sinópticos, el reporte de prácticas de laboratorio, talleres, líneas de tiempo, entre otros), que fueron resultado de tu proceso de aprendizaje en este curso.

No vas a integrar todos los instrumentos o trabajos que realizaste; más bien, se van a integrar aquellos que tu profesor(a), considere son los más signi�cativos en el proceso de aprendizaje.

Te permiten re�exionar y darte cuenta de cómo fue tu desempeño durante el desarrollo de las actividades de aprendizaje realizadas.

Portafolio de evidencias

92


1. Determina P (x ) 2 Q (x )

P (x ) 3 7 2 64 3 2x x x x+ + − −Q (x ) 5 − − − + +2 3 2 6 34 3 2x x x x

2. Determina el producto [(a 1 b) 1 c]2 sin efectuar la operación.

3. Determina el producto (x 1 y 2 3)(x 2 y 1 3) sin efectuar la operación.

4. Determina el producto (3x 1 7)(3x 2 19) sin efectuar la ope-ración.

5. Determina el producto (1 2 z )3 sin efectuar la operación.

6. Desarrolla por el teorema del binomio (x 2 2y )6.

7. Factoriza la expresión r 4 1 r 3s 2 r 2s 2.

8. Factoriza la expresión x 3 1 x 2y 1 x 1 y.

Apellido paterno Apellido materno Nombre Grupo

Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 4. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.


152

BLOQUE 7 Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse

Lista de cotejo para el reporte sobre el techo elipsoidal de un edi�cio que se encuentra en “Aplica lo que sabes” de la página 146.

Lista de cotejo

Criteriocumple

Observacionessí no

Pre

sent

ació

n

1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula.

2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.

3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.

4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.

5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema.

Des

arro

llo

6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente.

7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.

8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito.

9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.

10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente.

Dom

inio

de

l tem

a 11. Conoce la elipse y sus elementos.

12. Conoce el sólido de revolución llamado elipsoide.

13. Conoce las propiedades de la elipse y sus aplicaciones en la elipsoide.

Con

clus

ione

s 14. Representa gráficamente a la elipse y sus elementos.

15. Conoce las propiedades de la elipse, en particular, de sus focos.

16. Conoce y explica el fenómeno que consiste en que una persona habla en un foco de un recinto de forma elipsoidal y solamente puede ser escuchada por la persona que se encuentra colocada en el otro foco.

Nombre del alumno:

153


CriteriosExcelente

(4)Bueno

(3)Satisfactorio

(2)Deficiente

(1)

As

pect

o a

eval

uar

Ecuación de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados

Identifica los elementos asociados a una elipse. Obtiene la ecuación de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. Obtiene los elementos de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, a partir de su ecuación.

Identifica los elementos asociados a una elipse. En la mayoría de los casos, obtiene la ecuación de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. En la mayoría de los casos, obtiene los elementos de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, a partir de su ecuación.

Identifica los elementos asociados a una elipse. En algunos casos, obtiene la ecuación de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. En algunos casos, obtiene los elementos de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, a partir de su ecuación.

No identifica los elementos asociados a una elipse. No obtiene la ecuación de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. No obtiene los elementos de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, a partir de su ecuación.

Ecuación de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados

Obtiene la ecuación ordinaria de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. Obtiene los elementos de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados.

En la mayoría de los casos, obtiene la ecuación ordinaria de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. En la mayoría de los casos, obtiene los elementos de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados.

En algunos casos, obtiene la ecuación ordinaria de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. En algunos casos, obtiene los elementos de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados.

No obtiene la ecuación ordinaria de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. No obtiene los elementos de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados.

Ecuaciones general y ordinaria de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados

Convierte una ecuación de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, de su forma ordinaria a la forma general y viceversa.

En la mayoría de los casos, convierte una ecuación de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, de su forma ordinaria a la forma general y viceversa.

En algunos casos, convierte una ecuación de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, de su forma ordinaria a la forma general y viceversa.

No convierte una ecuación de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, de su forma ordinaria a la forma general ni viceversa.

Instrucciones para el llenado de la rúbrica.Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido

Indicaciones:Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes tanto en forma individual como por equipo; asimismo, se pretende evaluar la participación de cada uno de los integrantes del grupo en el desarrollo de la secuencia didáctica y en la evaluación del producto: 4 Excelente, 3 Bueno, 2 Satisfactorio y 1 Deficiente. En cada aspecto aparecen los niveles de desempeño, según el tipo de evidencia generada.

Rúbrica

Nombre del estudiante::

91


a2 2 b2 5 (a 1 b)(a 2 b)

Entonces, factorizar una diferencia de cuadrados significa buscar dos binomios conjugados cuyo producto sea la diferencia de cua-drados dada.

Al factorizar una diferencia de cuadrados se obtienen dos bino-mios conjugados en el que uno es _______________ y el otro es _________________ de las raíces.


Factoriza la expresión 9x 2 2 16y 2. El primer término 9x 2, es el cua-drado de 3x, término común de los dos binomios conjugados que se buscan. El segundo término 216y 2, es el producto de 4y por 24y, términos simétricos de los binomios conjugados que se buscan.

Por tanto:

9x 2 2 16y 2 5 (3x 1 4y )(3x 2 4y )

A continuación se describe otra forma de determinar los binomios con-jugados.

Obtén la raíz cuadrada principal (o positiva) de los términos cuadráti-cos:

1 9 162 2x y 5 3x 19 162 2x y 5 4y

Los binomios conjugados se forman con la suma y la diferencia de las raíces, es decir:

(3x 1 4y ) y (3x 2 4y )

entonces:

9x 2 2 16y 2 5 (3x 1 4y )(3x 2 4y )

Los casos especiales de la factorización de una diferencia de cuadra-dos son:

a) Cuando uno de los binomios conjugados es una diferencia de cuadrados es necesario continuar la factorización.

Así, en la factorización de x 8 2 y 8 se obtiene:

x 8 2 y 8 5 (x 4 1 y 4)(x4 2 y 4)

5 (x 4 1 y 4)(x 2 1 y 2)(x 2 2 y 2)

5 (x 4 1 y 4)(x 2 1 y 2)(x 1 y )(x 2 y )

b) Cuando los cuadrados son polinomios, como en x4 2 (m 2 n)2, se considera (m 2 n) como un monomio y se factoriza de la siguiente forma:

x 4 2 (m 2 n)2 5 [x 2 1 (m 2 n )][x 2 2 (m 2 n )]

5 (x 2 1 m 2 n )(x 2 2 m 1 n )

Ejemplos

c) Cuando un polinomio se puede expresar como una diferencia de cuadrados reordenando sus términos, como en:

x 2 1 2xy 1 y 2 2 25z 2 5 (x 1 y )2 2 25z 2

5 [(x 1 y ) 1 5z ][(x 1 y ) 2 5z ]

5 (x 1 y 1 5z )(x 1 y 2 5z )

d) Cuando un polinomio se puede expresar como una diferencia de cuadrados mediante el artificio de sumar y restar el mismo término. Por ejemplo: en x 4 1 x 2y 2 1 y 4 se observa que si el segundo término fuera 2x 2y 2 se tendría un trinomio cuadrado perfecto factorizado por (x 2 1 y 2)2. Si se agrega y se quita al polinomio el término x 2y 2, se obtiene:

x 4 1 x 2y 2 1 y 4 5 x 4 1 2x 2y 2 1 y 4 2 x 2y 2

5 (x 2 1 y 2)2 2 x 2y 2

5 (x 2 1 y 2 1 xy )(x 2 1 y 2 2 xy )

Por tanto:

x 4 1 x 2y 2 1 y 4 5 (x 2 1 xy 1 y 2)(x 2 2 xy 1 y 2)

Factorización de la suma y diferencia de cubos

El cociente de a3 1 b3 entre a 1 b es:

ax bxx

a b

x y x yx y

x x

15 1

1

1 1

8 44

14

12

12

14

3 2 2

2

2

551

1

1

x

a ba b

12

2

3 3

5 a2 2 ab 1 b2

entonces

a3 1 b3 5 (a 1 b)(a2 2 ab 1 b2)

De manera semejante:

a3 2 b3 5 (a 2 b)(a2 1 ab 1 b2)

1. Factoriza 27x 3 1 y 3

27x 3 1 y 3 5 (3x )3 1 y 3

5 (3x 1 y )(9x 2 2 3xy 1 y 2)

2. Factoriza 27x 3 2 8y 3

27x 3 2 8y 3 5 (3x )3 2 (2y )3

5 (3x 2 2y )(9x 2 1 6xy 1 4y 2)


x 6 1 y 6 5 (x 2)3 1 (y 2)3

5 (x 2 1 y 2)(x4 2 x 2y 2 1 y 4)


x 9 2 y 12 5 (x 3)3 2 (y 4)3

5 (x 3 2 y 4)(x 6 1 x 3 y 4 1 y 8)

Ejemplos

Tu libro cuenta también con glosario, bibliografía, vínculos en Internet, líneas de tiempo, diagramas, mapas conceptuales, además de atractivas imágenes y otras muchas secciones y herramientas que te resultarán muy útiles y complementarán tu aprendizaje.

Otras herramientas

154

BLOQUE 1 Glosario

Abscisa. Distancia de un punto P al eje vertical en un sistema coordenado rectangular.

Abscisa al origen. Abscisa del punto en que una recta corta al eje x.

Baricentro. Punto de intersección de las medianas de un triángu-lo. También se le conoce como gravicentro o centroide.

Coordenadas. Distancias de un punto P a los ejes vertical y hori-zontal en un sistema coordenado rectangular.

Diagonal. Segmento de recta que une dos vértices no consecuti-vos de un polígono.

Ecuación de una elipse con centro en el origen y eje mayor coincidente con el eje x.

xa

yb

2

2

2

2 1+ =

Ecuación de una elipse con centro en el origen y eje mayor coincidente con el eje y.

xb

ya

2

2

2

2 1+ =

Ecuación de una recta. Expresión algebraica de la recta según el tipo de ésta.

Ecuación simétrica de la recta. También llamada forma de las intersecciones. Aparece en los denominadores y corresponde a los segmentos que determina sobre los ejes, es decir, sus coordenadas al origen.

Ejes coordenados. Dos rectas perpendiculares entre sí que divi-den al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes.

Elipse. Lugar geométrico de un punto del plano que se mueve de manera que la suma de sus distancias a dos puntos �jos es una constante. Los puntos �jos se llaman focos.

Extensión. Conjunto de números reales en el que está de�nida una variable.

Forma general de la ecuación de la circunferencia:

x y Dx Ey F2 2 0+ + + + =Forma general de la ecuación de la parábola:

y2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0

donde:

D a= −4 E k= −2 y F k ah= +2 4

Forma general de la ecuación de una recta. La ecuación Ax 1 By 1 C 5 0 corresponde a la forma general de la recta. En esta ecuación los coe�cientes A, B y C pueden tomar el valor cero, pero A y B no pueden ser cero simultáneamente.

Forma normal de la ecuación de una recta. x cos a 1 y sen a 2 p 5 0 es la expresión que corresponde a la ecuación de una recta en la forma normal.

Forma ordinaria de la ecuación de una circunferencia:

( ) ( )x h y k r− + − =2 2 2

Intersecciones con los ejes. Son los puntos (x, 0) y (0, y) en que una grá�ca corta a los ejes coordenados.

Lado recto. Cuerda focal que es perpendicular al eje de la pará-bola.

Lugar geométrico. Conjunto de puntos que satisfacen una con-dición o condiciones dadas. También se le considera como la tra-yectoria descrita por un punto que se mueve de acuerdo con una o más condiciones establecidas.

Mediana. Segmento de recta que une el punto medio de un lado de un triángulo con el vértice opuesto.

Mediatriz. Recta perpendicular a un segmento de recta en su pun-to medio.

Ordenada. Distancia de un punto P al eje horizontal en un sistema coordenado rectangular.

Ordenada al origen. La ordenada del punto en que una recta cor-ta al eje y se llama ordenada al origen de la recta.

Glosario

156

Bibliografía

Bibliografía

Fuller, Gordon, Analytic Geometry, Addison Wesley Publishing Company, 1993.

Kindle, Joseph H., Geometría analítica plana y del espacio, McGraw-Hill, México, 1984.

Lehmann, Charles H., Geometría analítica, Limusa, México, 2005.

Leithold, Louis, El cálculo con geometría analítica, Harper & Row, 1986.

Middlemiss, Ross R., Marks, James R. John L. Smart, Geometría analítica, McGraw-Hill, México, 1990.

Rees, Paul, Geometría Analítica, Reverté, España, 2008.

Rider, Paul R., Geometría analítica, Montaner y Simon, Barcelona, 1966.

Swokowski, Earl W., Algebra and Trigonometry with Analytic Geometry, 11th edition, Brooks Cole, 2007.

Wexler, Charles, Geometría analítica un enfoque vectorial, Montaner y Simon, Barcelona, 1968.

Woods, Federico S. y Bailey, Federico H. Geometría analítica y cálculo in�nitesimal, Unión tipográ�ca Editorial Hispano Americana (UTEHA), México, 1972.

Vínculos en Internet

http://www.mathworks.com

http://www.wolframresearch.com

http://www.geoan.com

w






















3B LO Q U E












w






















3B LO Q U E














Estos desempeños son los que se espera que logres al �nalizar cada bloque, te posibilitan poner en práctica tus conocimientos, habilidades y actitudes al realizar cada una de las actividades propuestas en este libro.

Esta sección constituye una propuesta de evaluación diagnóstica que te permitirá establecer las competencias y conocimientos con los que cuentas, para así iniciar la obtención de conocimientos y capacidades nuevas.


n Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

n Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.

n Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

n Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

n Establece la relación entre diversas magnitudes expresando ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

n Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

n Elabora modelos aritméticos o algebraicos sencillos de diversas situaciones o fenómenos sociales, naturales, económicos y administrativos asumiendo una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de su entorno social y/o natural.

1.1 Representación de relacionesentre magnitudes.


1B LO Q U E


Resuelves problemas aritméticos y algebraicos

w

1. Si n es un número natural, ¿2n es un número par?

2.Una cartulina mide 45 centímetros de ancho por 64 centímetros de largo. Calcula su área en pulgadas cuadradas. Considera que una pulgada es igual a 2.54 centímetros.

3. Expresa la fracción decimal 0.125 como fracción común e identifica el subconjunto de los números reales al que pertenece.

4. En la expresión 3 3 (4 1 5), ¿qué operación se ejecuta primero?, ¿cuál viene luego?, ¿cuál es el resultado?, ¿cuál es el valor de 3 3 4 1 5?

5. Efectúa las operaciones indicadas y obtén el resultado

( )2 21 3

2

( )2

2 25

6.Si por el consumo de 50 metros cúbicos de agua se cobra una cuota fija de $127.48 y por cada metro cúbico adicional se cobra $4.41, calcula el número de metros cúbicos consumidos si se debe pagar $189.00.

7. Efectúa la siguiente sustracción: (29) 2 (24) 5 y determina a qué subconjunto de los números reales pertenece la diferencia.

8. Escribe la expresión algebraica del perímetro de un triángulo isósceles en el que la base mide a y sus lados iguales miden b.

9. Expresa algebraicamente el cuadrado de la suma de dos números.

10. ¿Cómo se lee la expresión a2 1 b2?


n Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

n Resuelve problemas aritméticos o algebraicos proponiendo la manera de solucionar dicho problema, utilizando las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

n Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Competencias a desarrollar Desempeños por alcanzar

Identifica formas diferentes de representar números positivos, decimales en distintas formas (enteros, fracciones, porcentajes), y de los demás números reales.Jerarquiza operaciones numéricas al realizarlas.Realiza operaciones aritméticas, siguiendo el orden jerárquico al efectuarlas.Calcula porcentajes, descuentos e intereses en diversas situaciones.Emplea la calculadora como instrumento de exploración y verificación de resultados.Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones.Soluciona problemas aritméticos y algebraicos.

4

BLOQUE 1 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos


En una refinería uno de sus depósitos tiene forma cilíndrica. Sus dimensiones son: 42 m de diámetro y 20 m de altura. Sus paredes interiores requieren ser cubiertas con una capa de pintura especial de 2 mm de grueso. Investiga cuántos litros de pintura se necesitan.



Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema.


Cada equipo debe investigar:¿Cómo se puede calcular la superficie total del interior del depó-sito?

¿Cómo se puede calcular el volumen de pintura a partir del valor de la superficie que se quiere pintar?

¿Cuántos litros de pintura se necesitan, considerando que un litro equivale a un decímetro cúbico?


Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, regis-trado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep-

tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.

Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las ac-tividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.

Evaluación por productoA fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara.

En este ejemplo:

Presenta un modelo a escala del cilindro.

Producto a elaborarModelo a escala del cilindro.

Fórmulas y cálculos realizados para determinar el valor de la super-ficie a pintar y el volumen de pintura que se requiere, en litros


Para determinar el número de litros de pintura que se piden se de-ben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, és-tos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedi-miento por escrito tiene un valor de 3 puntos, y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos.


5



El volumen de un cilindro recto es igual al producto de la base por la altura. Dos recipientes cilíndricos tienen, respectivamente, 75 y 100 mm de diámetro y 125 y 150 de altura. Un tercer recipiente

cilíndrico de 175 mm de altura contiene la suma de los volúmenes de los dos primeros, determinar su radio.





Cada equipo debe investigar:¿Cómo se calcula el volumen de un cilindro recto?

¿Cuál es la fórmula?

¿Cuáles son los datos con los que se cuenta?

¿Cómo se puede determinar el valor de los datos que faltan?






En este ejemplo:

Presenta modelos a escala de los tres cilindros.

Producto a elaborarPresentación de las fórmulas utilizadas, cálculos realizados y ob-tención del valor buscado


Para determinar el radio de la base del cilindro que se pide debes anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utili-zado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la for-ma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos, y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos.


6



Calcula el valor del polinomio 3x5 1 2x4 2 8x3 – 2x2 1 x 2 9 para x 5 1, x 5 21, x 5 4.




Presenta los resultados en plenaria y analiza las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar:¿Cuáles son las leyes de los signos en la multiplicación?

¿Cuál es el orden en las operaciones.






En este ejemplo:

Producto a elaborarCálculo del valor numérico de una expresión algebraica.


Para determinar el valor numérico que se pide debes anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por es-crito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos.


7


Propuestas de diseño para situaciones didácticasParte I 1. Una tabla que mide 3 m se coloca verticalmente y proyecta

sobre el suelo una sombra que mide 4 m. En ese mismo mo-mento y lugar un edificio proyecta una sombra de 60 m, ¿cuál es la altura del edificio?

2. Considera que la distancia media de la Tierra al Sol es de 150 000 000 de km y la velocidad de la luz es de 300 000 km/s. ¿Cuánto tiempo, en minutos, tarda la luz del Sol en lle-gar a la Tierra?

3. ¿Cuántos minutos tiene un año? 4. Una hoja de papel mide 8 pulgadas de ancho por 11 de largo.

Calcula su área en centímetros cuadrados. 5. Un atleta recorre los 100 metros planos en un tiempo de

9.8 segundos, ¿cuál es su velocidad promedio en km por hora? 6. Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 400 m/s, ¿a

cuánto equivale esta velocidad en pies por s? 1 pie 5 30.48 cm. 7. Cuando un automóvil de carreras alcanza una velocidad

de 300 km/h, ¿a qué velocidad equivale en millas por hora? 1 milla 5 1 609 m.

8. En un dibujo, ¿qué dimensión representan 5.6 cm a la escala 1:500?

9. En un mapa que tiene una escala de 1:400 000, ¿qué distancia en centímetros se debe utilizar para representar 100 kilóme-tros?

10. ¿Cuál es la medida real de un objeto que se representa por 5 cm en un dibujo hecho a la escala de 50:1?

11. Expresa como decimal cada uno de los siguientes números racionales:

a) 58

29

712

37

56

b) 58

29

712

37

56

c) 58

29

712

37

56

d) 3 58

29

712

37

56

e) 58

29

712

37

56

12. Expresa como cociente de dos enteros cada uno de los si-guientes números decimales:a) 0.5 b) 1.7 c) 1.26

d) 2.345 e) 3.26

Parte IIA) Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones ver-

bales: 1. La suma de dos números.

2. La diferencia de dos números. 3. El producto de dos números. 4. El producto de tres números disminuido en cinco unida-

des. 5. El triple de un número. 6. El producto de dos factores iguales. 7. El cociente de dos números. 8. El cociente de la suma de dos números entre otro número. 9. El cociente de la diferencia de dos números entre otro

número.10. La suma de dos números dividida entre su diferencia.11. El cuadrado de un número aumentado en 13 unidades.12. El cubo de un número disminuido en seis unidades.13. El triple del cuadrado de un número.14. El doble del cubo de un número.15. La raíz del producto de dos números.16. El cuadrado de la suma de dos números.17. La suma de los cuadrados de dos números.18. El cuadrado de la diferencia de dos números.19. La diferencia de los cuadrados de dos números.20. El cubo de la suma de dos números.21. La suma de los cubos de dos números.22. El cubo de la diferencia de dos números.23. La diferencia de los cubos de dos números.24. La mitad del cuadrado de un número.25. El cuadrado de la mitad de un número.26. La tercera parte del cubo de un número.27. El cubo de la tercera parte de un número.28. El perímetro p de un triángulo cuyos lados son a, b, y c.29. La distancia d que recorre un móvil con movimiento rec-

tilíneo uniforme es igual al producto de la velocidad v por el tiempo t.

30. El área A de un rectángulo es igual al producto de la base b por la altura h.

31. El área A de un trapecio es igual al producto de la semisu-ma de las bases B y b por la altura h.

32. ¿Cuál es el número que agregado a 3 da por suma 8?33. ¿Cuál es el número que disminuido en 5 da por diferen-

cia 13?34. ¿Cuál es el número que aumentado en 4 es igual a 10 dis-

minuido del mismo número?

35. El triple de un número es igual al doble del otro

8


Parte III

B) Escribe en lenguaje común las siguientes expresiones alge-braicas:

1. 2a 1 b

2. abc

3. a 2 (b 1 c)

4. 3(a 2 b)

5. (a 1 b) (a 2 b)

6. a b ab

a ba b a b

aba b d

v1

1

1 2 1

10 2

2( )( ) ( )

7. a b ab

a ba b a b

aba b d

v1

1

1 2 1

10 2

2( )( ) ( )

8. a b ab

a ba b a b

aba b d

v1

1

1 2 1

10 2

2( )( ) ( )

9. 3a2

10. a b ab

a ba b a b

aba b d

v1

1

1 2 1

10 2

2( )( ) ( )

11. a3 2 b3

12. P 5 3a P 5 perímetro a 5 lado de un triángulo equilátero

13. t 5 a b ab

a ba b a b

aba b d

v1

1

1 2 1

10 2

2( )( ) ( )

t 5 tiempo d 5 distancia v 5 velocidad

14. P 5 2(a 1 b) P 5 perímetro a y b 5 lados de un rectángulo

15. A 5 a2

A 5 área a 5 lado de un cuadrado

Cualquiera que sobresale del nivel medio ha recibido dos educaciones: la primera, de sus maestros, la segunda,

más personal e importante, de sí mismo.Edward Gibbon

IntroducciónEn este bloque se proponen problemas para cuya resolución se puede recurrir a figuras geométricas o dibujos.

Se utilizan distintas formas de representación de números enteros positivos así como de números decimales.

Se hace una introducción al lenguaje algebraico, terminología y notación.


Representación de números positivosAl resolver un problema aritmético se utiliza el sistema de nume-ración decimal que recibe este nombre porque tiene como base el número diez. En él se emplea el principio de posición y el cero.Los números positivos empleados en aritmética se representan en forma decimal.

Anécdota de Arquímedes 287-212 (a.C.)De los que se reunieron en el muelle, nadie creía que cumpliría su pro-mesa el joven y presuntuoso Arquímedes: “Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo”. Con ello quería explicar que una pequeña fuerza, si se aplica apropiadamente como una palanca o con el uso de poleas, movería un objeto inmenso.

¿Cómo era posible que un mortal, sin ayuda de otro, levantara un buque completamente cargado, que pesaba miles de kilos? –se pre-guntaban todos. El rey tomó el extremo de la cuerda que colgaba de las poleas construi-das por Arquímedes. El otro extremo de la cuerda estaba atado a un pesado buque mercante que flotaba en el muelle. Con poquísimo esfuerzo, el rey tiró de la cuerda. No sucedió nada. “Tirad de nuevo ma-jestad” –le pidió Arquímedes. Una vez más el rey tomó la cuerda, y la proa del barco, como por arte de magia, se empezó a levantar del agua.

Para tu reflexión

9


“Has triunfado una vez más Arquímedes, las maravillas de la ciencia, en verdad, no tienen límite” –el rey felicitó al hombre de ciencia.

Hierón, rey de Siracusa y pariente de Arquímedes, pidió en cierta oca-sión que le hicieran una corona de oro, y sospechando que el orfebre no era honrado le pidió a Arquímedes que encontrara la manera de determinar si la corona estaba hecha totalmente de oro. Durante algún tiempo Arquímedes no supo qué hacer, pero un día, al meterse en una bañera el agua se desbordó, gritó ¡Eureka! Y olvidando su desnudez corrió hacia su casa por las calles de Siracusa; pensó en sumergir una cantidad de oro puro, cuyo peso fuera igual al de la corona, en un reci-piente lleno de agua y luego medir el desbordamiento de ésta. Después sumergiría la corona de oro en el recipiente con agua y compararía el peso del segundo desbordamiento con el primero y finalmente encontró que la corona no estaba hecha de oro puro.

Por órdenes del rey Hierón, Arquímedes inventó unos cuarenta apara-tos distintos. Como un tornillo para desaguar las tierras bajas panta-nosas, para sacar el agua de las calas de los barcos y para irrigar los campos áridos de Egipto. Gracias a sus inventos prolongó tres años el asedio romano. Construyó, por ejemplo, espejos cóncavos de metal y prendió fuego a algunos de los buques de madera de los romanos, provocando pánico entre los tripulantes de los demás y creó ganchos y grúas para quitar pesadas torres de guerra que habían puesto los romanos sobre las murallas de Siracusa.

Entre sus principales contribuciones a las matemáticas se encuentran: el cálculo que demuestra que la relación que existe entre la circunfe-

rencia de un círculo y su diámetro es menor que 317

31071

y mayor que 317

31071

.

Sus trabajos para encontrar las superficies de los segmentos parabóli-cos equivalen a un cálculo integral de nuestros días. Escribió un tratado de 32 proposiciones sobre los conoides y los esferoides, entre otros, y sus fórmulas y ecuaciones teóricas se convirtieron en la base para descubrimientos e inventos que por mortíferos que fueran en la guerra, enriquecieron la vida humana en la paz.

Las fracciones comunes que tienen como denominador 10 o una potencia de 10 se llaman fracciones decimales, es decir, las fraccio-nes decimales resultan de dividir una unidad entre 10, 100, 1 000, etc., partes iguales.Las unidades decimales son: 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, etc., y se leen: un décimo, un centésimo, un milésimo, un diezmilésimo, etc., res-pectivamente.

Conversión de fracciones comunes en fracciones decimalesToda fracción común expresa un cociente de dos enteros; para convertir una fracción común en fracción decimal basta con efec-tuar la división indicada, con lo cual obtenemos un cociente exacto o aproximado de sus términos.

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Ejemplos

En los ejemplos anteriores se observa que no siempre se obtiene un cociente exacto al convertir una fracción común en fracción decimal.

En los primeros ejemplos el cociente es exacto, por eso se dice que su expansión decimal es finita. En los tres últimos el cociente no es exacto, pues ciertas cifras se repiten periódicamente, esto se debe a que el residuo es menor que el divisor y al suceder esto se limita el número posible de residuos distintos; de tal manera que al repetir-se un residuo, también se repite la operación y en consecuencia las cifras del cociente.

En los ejemplos anteriores 0.333…, 1.8181…, 0.8333…, son fracciones decimales periódicas; a la cifra o cifras que se repiten se les llama periodo. Cuando el periodo empieza a partir del punto decimal, a la fracción se le llama periódica pura; pero si entre el primer periodo y el punto decimal hay una o más cifras, a la frac-ción se le llama periódica mixta.

En las fracciones decimales periódicas usualmente se indica un pe-riodo, el cual se denota con un arco o una raya arriba de éste.

10

BLOQUE 1 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos20

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Ejemplos

De las fracciones decimales finitas se dice que su periodo es cero pues al dividir el último residuo (cero) entre el divisor, se obtiene la cifra cero y así sucesivamente.

¿Por qué se dice que 14

5 0.25?

¿Qué se debe hacer para representar 0.25 como porcentaje?

¿Cómo se representa 75% en forma decimal?

¿Cómo se representa 75% en forma de fracción común?

¿Cuándo se dice que una fracción decimal es periódica?

¿Cuándo es pura una fracción decimal periódica?

¿Cuándo es mixta una fracción decimal periódica?


Números decimales en distintas formas (enteros, fracciones, porcentaje)Para convertir una fracción decimal en fracción común se escribe como numerador el decimal sin el punto y como denominador la unidad fraccionaria que corresponda a la fracción decimal dada, si es posible se simplifica la fracción obtenida.

0.5 5 5

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1. 0.444… 5 0.

6 3 0 142857

4 2 453 9

.

.

Designa con x a la fracción decimal periódica:

x 5 0.444…

como el periodo consta de una sola cifra, se multiplica por 10 a los dos miembros de la igualdad para obtener otra equivalente:

10x 5 4.444…

a esta igualdad le restamos la primera, miembro a miembro:

10x 5 4.444… 2 x 5 0.444…

9x 5 4

despejando: x 5 49

2 451999

8190

x5

Comprobación: 9 4 00

.

.444

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2. 2.453453453… 5

6 3 0 142857

4 2 453 9

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.

x 5 2.453453453

1 000x 5 2453.453453…

Se multiplicó a los dos miembros de la igualdad por 1 000 porque el periodo tiene tres cifras; en general, se multiplica por la potencia positiva de 10 que tenga tantos ceros como cifras tenga el periodo.

Restando miembro a miembro la primera igualdad de la segunda se tiene:

1 000x 5 2453.453453… 2 x 5 2.453453…

999x 5 2 451

Para convertir una fracción decimal periódica en fracción común se procede de la siguiente forma:

Ejemplos

Ejemplos

11


despejando: x 5 49

2 451999

8190

x5

La comprobación se deja al lector.

3. 0.8999… 5 0.8

6 3 0 142857

4 2 453 9

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.

x 5 0.8999…

Puesto que en este caso se trata de una fracción periódica mixta, primero se transforma en una fracción decimal periódica pura; para hacer esto basta con recorrer el punto decimal un lugar a la dere-cha, lo que equivale a multiplicar la igualdad por 10, y después se sigue el procedimiento ya descrito.

10x 5 8.999…100x 5 89.999…100x 5 89.999…

210x 5 8.999…

90x 5 81

x 5 49

2 451999

8190

x5

La expresión 75% se puede escribir en la forma 75100

34

, si esta frac-

ción se simplifica queda como 75100

34

. También se puede partir de la

fracción 75100

34

y al realizar la división indicada se obtiene como co-

ciente 0.75 que se lee “setenta y cinco centésimos”. Si se desea ex-presar 0.75 como porcentaje se le multiplica por 100 y se le pone el signo %: 75%.

Operaciones numéricasEl orden en que se ejecutan las operaciones es el siguiente: poten-cias y raíces, multiplicaciones y divisiones (en el orden en que se indican) y sumas y restas.

De esta manera: 2 3 3 1 4 5 10 porque 2 3 3 5 6 y 6 1 4 5 10

Mientras que: 2 3 (3 1 4) 5 14 porque 2 3 3 1 2 3 4 5 6 1 8 5 14 o bien 2 3 7 5 14.

Problemas aritméticosLa resolución de algunos problemas se puede lograr a partir de la aplicación de las propiedades de la igualdad así como de las pro-piedades de las operaciones con números reales. A continuación se presentan algunos conocimientos que se irán ampliando de ma-nera gradual.

Geometría

Expresa las 24 horas del día en segundos.


Determina la longitud del segmento AB como la suma de las partes que lo integran.

12

14

18

116

12

14

18

116

12

14

18

116

12

14

18

116

12

14

18

116

Solución:

Para obtener la longitud del segmento AB, se requiere sumar las frac-ciones que corresponden a cada uno de los segmentos que lo integran, y para esto es necesario que cada una de ellas se exprese como una fracción equivalente, de manera que todas tengan la misma unidad frac-cionaria, es decir, que todas tengan un denominador común.

AB5 1 1 1 1

51 1 1 1

5

5

12

14

18

116

116

8 4 2 1 116

16161

10 cm

10 cm

10 cm

1 cm 3

Un decímetro cúbico es un cubo que mide 10 cm de arista.

Ejemplos

12


Si cada uno de los cm3 que lo forman se colocara uno encima de otro formando una columna, ¿cuál sería la altura de la columna?

Solución:

Observa que la capa frontal del cubo tiene 10 columnas de 10 cm3 cada una, de manera que si se colocara cada columna encima de otra, se formaría una columna de 1 m de altura. Si se hiciera lo mismo con cada una de las capas posteriores y se colocara cada columna sobre la columna anterior, se podría formar una columna de 10 m de altura.

Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente.

Investiga cuáles son las medidas reglamentarias de una cancha de fút-bol, de básquetbol y de un campo de béisbol. Verifica si esas medidas corresponden a las de la cancha o campo que hay en tu comunidad o en tu escuela.

Expón tu trabajo frente al grupo y menciona la importancia que tiene el respetar y hacer uso correcto de las medidas establecidas.

Aplica lo que sabes

FísicaEn física se utiliza, de manera frecuente, la conversión de unidades de medida, veamos algunos ejemplos.

Un móvil se desplaza a una velocidad de 108

108 1081 000

11

3 600108 0

kmh

ms

kmh

kmh

mkm

hs

5 3 3

500

3 600

30

1 000 1 0001 000

11

3 6

ms

kmh

kmh

mkm

h

5

5 3 3

ms

0001 000 000

3 600

277 7

sm

sms

5

5 .

, expresar la veloci-dad en 108

108 1081 000

11

3 600108 0

kmh

ms

kmh

kmh

mkm

hs

5 3 3

500

3 600

30

1 000 1 0001 000

11

3 6

ms

kmh

kmh

mkm

h

5

5 3 3

ms

0001 000 000

3 600

277 7

sm

sms

5

5 .

.

Solución:

Para resolver este problema es necesario utilizar equivalencias como 1 km 5 1 000 m, 1 hora5 60 min 5 60 3 60 s 5 3 600 s.

También se debe recordar que 1 es el elemento neutro de la multipli-cación, pues al multiplicar una cantidad por 1, la cantidad queda fija, no cambia, entonces108

108 1081 000

11

3 600108 0

kmh

ms

kmh

kmh

mkm

hs

5 3 3

500

3 600

30

1 000 1 0001 000

11

3 6

ms

kmh

kmh

mkm

h

5

5 3 3

ms

0001 000 000

3 600

277 7

sm

sms

5

5 .

108

108 1081 000

11

3 600108 0

kmh

ms

kmh

kmh

mkm

hs

5 3 3

500

3 600

30

1 000 1 0001 000

11

3 6

ms

kmh

kmh

mkm

h

5

5 3 3

ms

0001 000 000

3 600

277 7

sm

sms

5

5 .

Ejemplos

Como puedes ver, se han representado las equivalencias como cocientes, de manera que las unidades a eliminar aparezcan como factores, tanto en el numerador como en el denominador, pues al dividir una cantidad entre sí misma el cociente es 1, por lo que de manera más simple se dice que los factores se cancelan.

Es conveniente hacer notar que esto sólo se puede hacer cuando las cantidades, tanto del numerador como del denominador, se ex-presan como el producto de sus factores.

Al realizar una conversión de unidades de medida, ¿por qué se repre-sentan las equivalencias como cocientes?


Números reales y variables algebraicasLos números decimales son los números reales.

Los números decimales periódicos corresponden a los números racionales que se pueden expresar como el cociente de dos núme-ros enteros.

Los números decimales no periódicos corresponden a los núme-ros irracionales que no se pueden expresar como el cociente de dos números enteros.

Expresa en 108

108 1081 000

11

3 600108 0

kmh

ms

kmh

kmh

mkm

hs

5 3 3

500

3 600

30

1 000 1 0001 000

11

3 6

ms

kmh

kmh

mkm

h

5

5 3 3

ms

0001 000 000

3 600

277 7

sm

sms

5

5 .

la velocidad de un avión que vuela a 1 000 108

108 1081 000

11

3 600108 0

kmh

ms

kmh

kmh

mkm

hs

5 3 3

500

3 600

30

1 000 1 0001 000

11

3 6

ms

kmh

kmh

mkm

h

5

5 3 3

ms

0001 000 000

3 600

277 7

sm

sms

5

5 .

.

Solución:

Utilizando las equivalencias 1 km 5 1 000 m y 1 hora 5 3 600 s, se tiene

108

108 1081 000

11

3 600108 0

kmh

ms

kmh

kmh

mkm

hs

5 3 3

500

3 600

30

1 000 1 0001 000

11

3 6

ms

kmh

kmh

mkm

h

5

5 3 3

ms

0001 000 000

3 600

277 7

sm

sms

5

5 .

Ejemplos

13


1.2 Modelos aritméticos o algebraicos

De la aritmética al álgebraEn la aritmética generalmente los números se representan con ci-fras, mientras que las relaciones, leyes y reglas se expresan con pala-bras. De esta manera se dice que: el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la base por la altura.

Utilizando el álgebra, el enunciado anterior se puede expresar:

área 5

A b

base altura3

53

5

5

2

2

212

Ab h

Abh

h

si el área, base y altura se representan por las letras A, b, y h respec-tivamente, nos queda:

A b

base altura3

53

5

5

2

2

212

Ab h

Abh

h

como en álgebra no se utiliza el signo de multiplicación entre facto-res representados por letras, la expresión se reduce a:

A b

base altura3

53

5

5

2

2

212

Ab h

Abh

ho bien

A b

base altura3

53

5

5

2

2

212

Ab h

Abh

h

Observa los siguientes enunciados con sus respectivas formas de expresión aritmética y algebraica.

¿Qué diferencia observas entre las formas aritmética y algebraica para plantear y resolver un problema?


Si una moneda tiene un valor nominal de cinco unidades de dine-ro, entonces 6 monedas iguales tendrán un valor de 6 3 5 5 30 unidades de dinero.

El valor de un cierto número de monedas de igual denominación es igual al de una de ellas multiplicado por el número de monedas.

Si un avión va a una velocidad de 700 km por hora, en tres horas recorrerá 700 km por tres, o sea, 2 100 km. Es decir, la distancia re-corrida se obtiene multiplicando la distancia recorrida en una hora por el número de horas.

Si una moneda tiene un valor nominal de u unidades de dinero, entonces n monedas tendrán un valor de nu unidades de dinero.

Representando por m el valor de las n monedas de u unidades de dinero cada una, se tendrá:

m 5 n u

Si un avión viaja a una velocidad de k km por hora, en h horas re-correrá kh km.

Representando por d la distancia total se tendrá d 5 k h.

El volumen de una caja se obtiene multiplicando el largo por el an-cho por la altura (o profundidad). Si el volumen se representa por V y las tres dimensiones por l, a y p se obtiene la expresión:

V 5 l a p

El valor numérico de esta expresión algebraica se obtiene sustitu-yendo las letras por los valores que representan y efectuando las operaciones indicadas. Si las dimensiones de l, a y p son 30, 20 y 10 unidades, respectivamente, entonces

V 5 30 3 20 3 10 V 5 6 000 unidades3

de manera que si la unidad está dada en centímetros entonces el resultado serán centímetros cúbicos.

Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros del grupo para realizar la siguiente actividad.

Consideren esta situación: Un automóvil, que está en buenas condi-ciones de uso, es sometido a una prueba de frenado sobre un tramo recto de carretera bien pavimentada. Para la prueba sólo se considera la velocidad a la que se desplaza el automóvil y la distancia necesaria para detenerlo. Después de varios intentos se obtiene como promedio, que para una velocidad de 56 km/h se necesitan 61 m para detenerlo.

a ) Hagan una tabla parcial de valores, para la distancia de frenado, cuando la velocidad varía desde 50 hasta 120 km/h (utilicen in-tervalos de 10 km/h).

b ) Tracen la gráfica velocidad-distancia de frenado.

c ) Investiguen, de acuerdo con el reglamento de tránsito, ¿cuál es la velocidad máxima permitida en zona urbana?

d ) Si tú manejaras este automóvil a la velocidad máxima permitida, ¿cuál sería la distancia que necesitarías para detenerlo?

Aplica lo que sabes

1. El enunciado aritmético “el doble de un número aumentado en 7 unidades”, algebraicamente se expresa:

2x 1 7

Ejemplos

14


2. A continuación se resuelven dos problemas en forma aritmética y en forma algebraica.

a) Problema

Si al doble de un número se agregan 7 el resultado es 3. Halla el número.

Resolución aritmética:

Como el doble del número aumentado en 7 da 33 significa que si a 33 se le resta 7 se obtiene el doble del número. Por tanto, el doble del número es 26 y en consecuencia el número buscado es 13, es decir, la mitad de 26.

Resolución algebraica:

Sea x el número. El doble del número es 2x.

El enunciado del problema se expresa por 2x 1 7 5 33.

Restando 7 a los dos miembros de la igualdad se obtiene 2x 5 26.

dividiendo entre 2 a los dos miembros de la igualdad, se obtiene x 5 13.

Comprobación:

2(13) 1 7 5 33

b) Problema

La diferencia entre un número y los

135

55

35

25

35

35

625 375

35

250

35

625

2 5 2 5

3 5

2 5x x

del número es 250. Halla el número.

Resolución aritmética:

Considerando que el número representa la unidad, entonces la

fracción es

135

55

35

25

35

35

625 375

35

250

35

625

2 5 2 5

3 5

2 5x x

de uno.

La diferencia es

135

55

35

25

35

35

625 375

35

250

35

625

2 5 2 5

3 5

2 5x x

135

55

35

25

35

35

625 375

35

250

35

625

2 5 2 5

3 5

2 5x x

está representando a 250

15

es la mitad de 250

es decir, 250

255

5 125

y 250

255

, o sea la unidad, es un número

5 veces mayor: 5 3 125 5 625

Comprobación:

Número: 6251

35

55

35

25

35

35

625 375

35

250

35

625

2 5 2 5

3 5

2 5x x

de 625 son

135

55

35

25

35

35

625 375

35

250

35

625

2 5 2 5

3 5

2 5x x

3 625 5 375

La diferencia es 625 2 375 5 250.

Resolución algebraica:

Sea x el número y la fracción

135

55

35

25

35

35

625 375

35

250

35

625

2 5 2 5

3 5

2 5x x

.

La diferencia es x 2

135

55

35

25

35

35

625 375

35

250

35

625

2 5 2 5

3 5

2 5x x

x 5 250.

Multiplicando la igualdad por 5 nos queda así

5x 2 3x 5 1 250

Efectuando la operación indicada

2x 5 1 250

Dividiendo entre 2

x 5 625

Comprobación:

135

55

35

25

35

35

625 375

35

250

35

625

2 5 2 5

3 5

2 5x x

625 2

135

55

35

25

35

35

625 375

35

250

35

625

2 5 2 5

3 5

2 5x x

(625) 5 250

625 2 375 5 250

Para estar en condiciones de pasar de la aritmética al álgebra se requiere establecer conceptos previos para su comprensión y, después de asimilados, poder construir modelos algebraicos aplicados a la resolución de problemas.

Como se puede observar, una de las ventajas del álgebra es la breve-dad y sencillez con que se pueden generalizar enunciados utilizan-do números y letras para establecer las relaciones.

Es por ello que en esta obra se revisan y afirman conceptos de la aritmética que sirven para introducir y desarrollar los que corres-ponden al álgebra.

Lenguaje algebraicoEl uso de símbolos para simplificar el lenguaje es de gran importan-cia en las matemáticas.

El álgebra es la parte de las matemáticas que trata del cálculo de cantidades representándolas por medio de letras.

La obra más antigua que se conserva sobre álgebra es la de Diofan-to de Alejandría (s. iv d.C.).

En Europa, esta ciencia fue introducida por los árabes en el siglo x.

15


Las letras o literales se utilizan para representar números y cantida-des cualesquiera.

Para el cálculo del área de un triángulo se utiliza la fórmula:

A 5 b h bh3

2 212

en la que A representa el área, b la base y h la altura. A, b y h varían según el triángulo de que se trate y por eso se les llama variables. El 2 no cambia; cantidades como ésta cuyo valor no cambia, ya sea que se representen por números o por letras, se llaman constantes.

La fórmula para calcular la longitud de una circunferencia cono-ciendo su radio es:

C 5 2pr

en la cual r y C son las variables, mientras que 2 y p son las constan-tes, ya que su valor no cambia.

En las fórmulas anteriores se observa que bh indica “b multiplica-do por h” y 2pr indica “2p multiplicado por r”, pues se ha con-venido que entre factores literales o entre un factor numérico y uno literal, se suprima el signo de la multiplicación. En cambio, “3 multiplicado por 4” ha de expresarse: 3 3 4, 3 · 4, (3)4, pero nunca 34.

En álgebra es muy importante saber expresar las proposiciones verbales comunes en proposiciones con lenguaje algebraico.

Recordemos el nombre del resultado de cada una de las cuatro operaciones fundamentales.

De la adición, es suma; de la sustracción, es resta o diferencia; de la multiplicación, es producto; y de la división, es cociente. Algunas palabras que indican adición son:

suma aumentar mayor que

más incrementar más grande que

Algunas palabras que indican sustracción son:

resta menos menor que

diferencia disminuir perder

Algunas palabras que indican multiplicación son:

producto veces triple

multiplicado doble cuádruple

Algunas palabras que indican división son:

cociente mitad razón

dividido entre tercera

Expresión verbal Expresión algebraica

Un número cualquiera x

La suma de dos números x 1 y

La diferencia de dos números x 2 y

El producto de dos números xy

El cociente de dos números xy

x yx y

x x1

2

3 3

3 3

La suma de dos números dividida entre su diferencia

xy

x yx y

x x1

2

3 3

3 3

El cubo de un número x 3

El doble del cubo de un número 2x 3

La suma de los cuadrados de dos números x 2 1 y 2

El cuadrado de la suma de dos números (x 1 y )2

La tercera parte del cubo de un número xy

x yx y

x x1

2

3 3

3 3

El cubo de la tercera parte de un número xy

x yx y

x x1

2

3 3

3 3

¿Cuál es el número que agregado a 3 suma 8? x 1 3 5 8

¿Cuál es el número que disminuido en 5 da por diferencia 13? x 2 5 5 13

¿Cuál es el número que disminuido de 20 da por diferencia 7? 20 2 x 5 7

Ejemplos

Las expresiones algebraicas pueden enunciarse empleando el len-guaje común y es conveniente ejercitarlo para su correcta traduc-ción.

x y2

2, puede expresarse como: “la mitad de la diferencia de

dos números cualesquiera”, o “la semidiferencia de dos números cualesquiera”.

(x 1 y )3, se puede enunciar como: “el cubo de la suma de dos números cualesquiera”.

x3 2 y 3, se puede expresar como sigue: “la suma de los cubos de dos números cualesquiera”.

3(x 2 y ), puede leerse así: “tres veces la diferencia de dos números cualesquiera”, o “el triple de la diferencia de dos números cualesquiera”.

Ejemplos

16


(x 1 y) (x 2 y), se puede expresar como: “el producto de la suma por la diferencia de dos números cualesquiera”.

Terminología y notaciónUn término algebraico o monomio es un número o un producto de dos o más números.

Por ejemplo 7, 2x, mn, 5xy y 34

xyz son monomios.

Cada uno de los números que al multiplicarse forman el término se llaman factores.

Cualquier factor o grupo de factores de un término es coeficiente del producto de los factores restantes.

Así, en 3xy, 3 es el coeficiente numérico de xy, mientras que xy es el coeficiente literal de 3. Si hacemos referencia al coeficiente de un término, generalmente consideramos al factor numérico que nos indica el número de sumandos iguales que han de tomarse en cuenta.

Término Coeficiente Descomposición en sumandos

3x 3 3x 5 x 1 x 1 x

2x 3 2 2x 3 5 x 3 1 x 3

2(x 1 y ) 2 2(x 1 y ) 5 (x 1 y ) 1 (x 1 y )

Ejemplos

Cuando un factor se multiplica repetidamente por sí mismo, se puede expresar abreviadamente. Por ejemplo, (2)(2)(2) 5 23, donde el número 2 recibe el nombre de base y el 3 recibe el nom-bre de exponente.

El resultado de multiplicar la base tantas veces como lo indica el exponente se llama potencia; así, 23 5 (2)(2)(2) 5 8, por eso se dice que 8 es la tercera potencia de 2, o bien, que dos al cubo es igual a ocho.

En la expresión 2x, ¿qué nombre recibe el 2?


En la expresión 2x, ¿qué expresa el 2?

En la expresión x 2, ¿qué nombre recibe el 2?

En la expresión x 2, ¿qué expresa el 2?

Término Exponente Descomposición en factores

x 3 3 x 3 5 (x ) (x ) (x )

4x 2 2 4x 2 5 (4) (x ) (x )

Ejemplos

En un triángulo equilátero de lado a, su perímetro (P ) se puede expresar así: P = a + a + a, o bien P = 3a, ¿qué representa el 3?

En un cubo de arista a, su volumen (V ) se puede expresar así: V = a ? a ? a, o bien, V = a 3, ¿qué representa el 3?


Expresión algebraicaCuando dos o más términos (monomios) se relacionan por los sig-nos más (1) o menos (2) se forma una expresión algebraica que recibe el nombre de polinomio.

Al polinomio de dos términos se le llama binomio, y al de tres, tri-nomio. Los monomios pueden considerarse como polinomios de un solo término.

El grado de un término o monomio lo determina la suma de los exponentes de las literales que intervienen en él.

17


Término Grado

3a 2 2

4a 1

xy 2

x 2y 3 5

TérminoGrado

respecto de x

Grado respecto

de y

Grado del

término

2x 3y 3 1 4

5x 3y 2 3 2 5

x y4

24 1 5

Ejemplos

El grado de un polinomio es el del término que tenga mayor grado, así:

5m3 2 2m2 1 m 1 1 es de tercer grado

x 1 x2y 2 xy4 es de quinto grado

El grado de un polinomio también puede considerar-se respecto de una variable determinada, siendo entonces el mayor exponente de la misma. 3x3y 2 5x2y2 1 7 es de tercer grado respecto de x y de segundo grado respecto de y.

Representación de números realesEl conjunto de números reales lo empleamos de manera frecuen-te, sin embargo, cuando al lector se le pide que mencione cuáles son los números reales surge lo que para él es un obstáculo insalva-ble. Si a continuación se le muestra una representación geométrica de la recta real tiene dificultad para distinguir los números que son naturales, enteros, racionales o irracionales; a pesar de que son nú-meros conocidos y utilizados por él.

La dificultad es aún mayor cuando se le pide que señale diferencias específicas entre los conjuntos señalados, ya sea de sus propieda-des o de las relaciones que tienen entre sí.

Este tema en particular será desarrollado a partir de los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales; primero en forma intuitiva y después se dará una introducción al estudio

formal de las propiedades de campo del conjunto de los números reales. Dichas propiedades, como producto de la generalización de la experiencia, son susceptibles de ser demostradas a partir de cier-tos axiomas, pero para efectos de este curso se considera suficiente que el lector conozca las propiedades y las sepa aplicar.

Números naturales (N)Si un punto P representa a un número n, a P se le llama gráfica de n y se dice que n es la coordenada de P. Se denota al punto cuya co-ordenada es n por P (n), que se lee “el punto P de n”. Tracemos una recta y localicemos en ella un punto al que asociaremos el cero y llamaremos origen (gráfica de 0), a partir de éste localicemos hacia su derecha un punto al que asociaremos el número 1 (gráfica de 1); al segmento cuyos extremos son 0 y 1 y le llamaremos unidad o segmento unitario.

0 1 2 3 4 5 6

Figura 1.1

Tomando con el compás la medida del segmento unitario y apo-yándonos en la gráfica de 1, tracemos a su derecha una marca a la que asociaremos el número 2 (gráfica de 2), al repetir este proceso a partir del 2, obtendremos el punto asociado al número 3 (gráfica de 3), y así sucesivamente hasta donde nos lo permitan las dimen-siones del papel (ver figura 1.1). Posteriormente lo haremos en nuestra mente, pensando que a partir del 1 obtenemos cada nú-mero sumando la unidad al anterior, lo cual constituye la ley de for-mación del conjunto de los números naturales; este proceso no termina nunca pues por grande que sea el número que pensemos, al agregarle la unidad obtendremos un número mayor.

De esta manera, para verificar que los números naturales poseen una determinada propiedad, se puede utilizar el hecho de que cual-quier número natural es una suma de unos, tantos como lo indique el número, ejemplos:

3 5 1 1 1 1 1 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1)

Los números naturales se denotan con el símbolo N y se definen así:

N 5 {1, 2, 3, . . .} (2)

donde los puntos suspensivos significan “y así sucesivamente”.

(1) Al escribir estas expresiones, se ha utilizado la propiedad asociativa de la adición de los números reales, pues 1 1 1 1 1 5 (1 1 1) 1 1

(2) En este libro no se considera al cero como número natural. En algunos libros sí se incluye en el conjunto de los números naturales por lo que se hace necesario saber cuál es la conven-ción en cada caso.

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