PRIM PRAC a.mat IV CIVIL 2014-II (1) Para Enntregar Finalll Imprimir

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA

FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

PRIMERA PRÁCTICA DE ANÁLISIS MATEMÁTICO IV: CUARTO. CICLO “A” Y “B”

I. Hallar el orden y grado de cada una de las ecuaciones diferenciales ordinarias:

1).¿

Solución:

.¿

.¿

.¿

Entonces: Es de quinto orden y de tercer grado

2).( y ' ' ' )5 /4+{ y ' ' x−( y ' ' ' )3 }54=2 y y (4 )

Solución:

( y ' ' ' )54+ {y ' ' x−( y ' ' ' )3}

54=2 y y (4 )

{ y ' ' x−( y ' ' ' )3}34=2 y y (4 )−( y ' ' ' )

34

{ y ' ' x−( y ' ' ' )3 }3=(2 y y (4 )−( y ' ' ' )34 )4

( y ' ' )3 x3−3 x2 ( y ' ' )2 ( y ' ' ' )3+3 y ' ' x ( y ' ' ' )6=16 y4 ( y (4) )4−16 y3 ( y (4) )3 ( y ' ' ' )34+24 y2 ( y (4 ) )2 ( y ' ' ' )

32−8 y y (4 ) ( y ' ' ' )

94+( y ' ' ' )3

( y ' ' )3 x3−3 x2 ( y ' ' )2 ( y ' ' ' )3+3 y ' ' x ( y ' ' ' )6=16 y4 ( y (4) )4−16 y3 ( y (4) )3 ( y ' ' ' )34+24 y2 ( y (4 ) )2 ( y ' ' ' )

32−8 y y (4 ) ( y ' ' ' )

94+( y ' ' ' )3

Entonces: La EDO es de 4to Orden y grado no definido

3).d4 xdy4

+( d5 xdy5 )5 I 2

−d3 xdy3

+x(6 ) y=x

Solución:

d4 xd y4

+( d5 xd y5 )52−d3 x

d y3+x (6) y=x

( d5 xd y5 )5

=( x−d4 xd y 4

+ d3 x

d y3−x (6) y)

2

(x−d4 xd y4

+ d3 xd y3

−x (6 ) y)( d5 xd y5 )

5

=x2−xd4 xd y4

+x d3 x

d y3−x x (6 ) y−x

d 4 xd y 4

+( d 4 xd y 4 )2

− d4 xd y4

d3 xd y3

+ d4 x

d y4x (6 ) y

Mg. Mat. César Castañeda Campos

+(x d3 xd y3− d4 xd y4

d3 xd y3

+( d3 xd y3 )

2

−x (6 ) yd3 xd y3 )−(x x(6) y− d4 x

d y4x (6 ) y+ d

3 xd y3

x (6 ) y−( x(6) y )2)( d5 xd y5 )

5

=x2−2 x d4 x

d y4+2x d

3 xd y3

−2 x x (6 ) y+( d4 xd y4 )2

−2 d4 xd y4

d3 xd y3

+2 d4 x

d y4x (6 ) y

+( d3 xd y3 )2

−2x (6 ) yd3 xd y3

+(x (6 ) y )2

(x (6 ) y )2−( d5 xd y5 )5

−2 x (6 ) yd3 xd y3

+2 d4 x

d y4x (6) y−2 x x (6 ) y+( d4 xd y4 )

2

−2 d4 xd y4

d3 xd y3

−2 x d4 x

d y4+( d3 xd y3 )

2

x2+2x d3 xd y3

=0

→LaEDOes de6¿orden yde 2do grado

4).y6+x ( y ' ' ' )−2−x y ' '+2 y '=x3 y

SOLUCION

y6+x ( y ' ' ' )−2−x y ' '+2 y '=x3 y

y6+x ( 1y ' ' '2 )−x y

' '+2 y '−x3y=0

y6 ( y ' ' ' )2+x−(x y ' ' ) ( y ' ' ' )2+2 y ' ( y ' ' ' )2−x3 y ( y ' ' ' )2=0∴3Orden;2Grado

5).( y ' ' ' )3 /5−x3 ( y ' ' )4−2x y ' ' '+2 x5 y '=x

6).x3 ln ( y(5))+exy '+x y (2 )=e−x

Solución:

x3∈( y5 )+exyI

−XY 2=e−x

exyI

=e−x−x3∈( y5 )+xy2(aplicando logaritmo)

¿exyI

=¿(e−x−x3∈( y5 )+xy2 )

xy I=¿(e−x−x3∈( y5 )+xy2)


Entonces: es de primer orden y grado no definido

7).y ln2 ( x y' ' )+x ( y ' )3+e−xy= x

Solución:

∴La EDOes de2doorden y grado nodefinido; por queno tiene la forma de x

8).x y (5)−x2 tan (x3 y ' ' )+2 y ' ' '−xy=1

x y(5)−x2 tan (x3 y ' '¿¿❑)+2 y ' ' '−xy=1¿

x y(5)❑=1 +x2 tan ( x3 y ' '¿¿❑)−2 y ' ' '+xy¿

Entonces: Es de quinto orden y de primer grado

Si 2 y ' ' '=1-x y(5)+x2 tan (x3 y ' ' ¿¿❑)+x ¿y ∴ el ordenes 3y es de gradouno

Entonces: es de segundo orden y grado no definido

9).x4 ( y(4))4/3+[ x2cot (x2 y ' ) ]1 I 3+x2 y' '−2 x=010).x2 ( y(3))1 /6+[ x3 sec (x4 y ' ' ) ]y ' /3−x3 ( y ' ' )−2−x=0

Solución:

x2 ( y (3) )16+[ x3 sec (x4 y ' ' ) ]

y '

3−x3 ( y ' ' )−2−x=0

La ecuación diferencial ordinaria es de 3er orden y de grado indefinido.

II. Verificar que la función dada es o no una solución de la ecuación diferencial ordinaria que la acompaña y especificar el intervalo o los intervalos donde ocurre cuando sea una solución:

1). y=A x2+Bx2+C x2−D x3

3; x2 y ' ' '+4 x y ' '+ y '−6 y=x2+x

SOLUCION

y=A x2+Bx2+C x2−Dx3

3

y '=2 Ax+2Bx+2Cx−D x2


y ' '=2 A+2B+2C−2Dx

y ' ' '=−2D

Remplazando:

x2 y ' ' '+4 x y ' '+ y '−6 y=x2+x

x2(−2D)+4 x (2 A+2B+2C−2Dx)+2 Ax+2 Bx+2Cx−Dx2−6 (A x2+B x2+C x2−Dx3

3)=x2+x

(−2D x2 )+(8 Ax+8Bx+8Cx−8Dx2 )+2 Ax+2Bx+2Cx−D x2−6 A x2−6 B x2−6C x2+6D x3

3¿=x2+x

(−3D x2)+ (10 Ax+10Bx+10Cx−8D x2 )−6 A x2−6 B x2−6C x2+2D x3=x2+ x

∴N o esunasolución de laecuación diferencial ordinaria que la acompaña

2). x y2− y3 x2=c ; y dx+ (2x+4 y )dy=0

3). y=√x2−cx ; (x2+ y2 )dx−3 xy dy=0

Solución:

y2−x2=−cx

c= y2−x2

x

c=x− y2

x

y I= x2+ y2

2 yx

Reemplazando en:

(x2+ y2 )dx−3 xy dy=0 (x2+ y2 )−3 xy yI=0 (x2+ y2 )−3

2(x2+ y2 )=0

(x2+ y2 )2

=0⇒ (x2+ y2 )=0

x2+x2−c x=0 entonces : c=2x

∴ A x3+Bx4−C x2

3noes solucion

4). y=A e3 x+Be−2x+Ce2x ; y ' ' '−3 y ' '−4 y '+12 y=0

Solución:y=A e3 x+Be−2x+Ce2x ; y ' ' '−3 y ' '−4 y '+12 y=0y '=3 Ae3x−2B e−2 x+2C e2 x


y ' '=9 A e3x+4 Be−2x+4Ce2x

y ' ' '=27 e3 x−8Be−2 x+8C e2 x

Reemplazando en la EDOy ' ' '−3 y ' '−4 y '+12 y=0(27e3x−8Be−2x+8C e2x )−3 (9 A e3 x+4 Be−2x+4C e2x )−4 (3 A e3x−2Be−2 x+2Ce2x )+12 ( Ae3x+B e−2 x+C e2 x )=027e3x−8Be−2x+8Ce2x−27 A e3 x−12Be−2x−12Ce2x−12 A e3x+8Be−2 x−8Ce2x+12 Ae3x+12Be−2 x+12Ce2x=00=0

∴La funciónessolución de laecuación diferencial dada .

5). { x=tln|t|+ ty=t 2 (2 ln|t|+1 )

; y ' ln ( y ' )=x

∂ x∂ t

=1+ 1

√1−t 2∂ y∂ t

=−t− t

√1−t 2

⇒ ∂ y∂x

=

−t(1+ 1

√1−t 2 )1+ 1

√1−t 2=−t

⇒Reemplazandot+arcsen ( t )=−t+arcsen (−t )∴la funcióndadanoes unasoluciónde la EDO

6). { x=t+arcsen (t )

y=−t2

2+√1−t 2 ; x= y '+arcsen ( y ' )

Solución:

Por regla de la cadena.

y I=dydx

=dydt.dtdx

=

dydtdxdt

⟹ dydx

=t− −2 t2√1−t 2

=t+ t

√1−t2

dydt

=t+ t

√1−t 2

⟹ dxdt

=1+ 1

√1−t 2


⟹

dydtdxdt

=

t (1+ t

√1−t 2 )(1+ t

√1−t 2 )=1

y I…………………(4)

Reemplazando (4) en (3)

x= y I+arcs6n ( y I )

X=T+arcs6n ( t )…………… .. (s )

Reemplazando (1) en (s)

x=t+arcs6n ( t )

x=x

0=0

⟹ {x=t+arcs6n(t)y=t 2/2−√1−t 2

arcs6 n ( t )=x

s6n ( x )=t

−1≤t ≤1

⟹dominio=[−1 ;1 ]

7). y=¿Solución:

y= (c+sen ( x ) )2…………a

( y ' )2−4 y cos2 ( x )=0………….bDerivando y

y= (c+sen ( x ) )2

y '=2 (c+sen ( x ) )cos ( x )…………c⇒ a yc enb

( y ' )2−4 y cos2 ( x )=0(2 (c+sen ( x ) )cos ( x ) )2−4 (c+sen ( x ) )2cos2 ( x )=0

0=0∴La funciónessolución de laecuación diferencial dada .


8).y=c (x+√−x ); ( y ' )2− yx [ √−x+12(x+1)

+1]=0

9).y=c−sen ( x )cos ( x )

; y ' ' sen ( x )+ y2 y ' (cos ( x )+ ysen (x ) )=0

y '=−cos2 ( x )+(C−sen ( x )) sen ( x )

cos2 (x )=

−cos2 (x )+Csen ( x )−sen2 ( x )cos2 ( x )

=Csen ( x )−1cos2 ( x )

y ' '=cos2 ( x ) (Ccos ( x ) )+2 sen ( x ) cos ( x ) (Csen (x )−1 )

cos2 ( x )

y ' '=(Ccos ( x ) ) (cos2 ( x )+sen2 ( x ))+Csen (x ) cos ( x )−2 sen ( x )cos (x )

cos2 (x )

y ' '=Ccos ( x )+Csen ( x )cos ( x )−2 sen ( x ) cos ( x )

cos2 ( x )=C+Csen ( x )−2 sen ( x )

cos ( x )

⇒Reemplazando

(C+Csen ( x )−2 sen ( x )cos (x ) )sen ( x )+(C−sen ( x )

cos ( x ) )2

(Csen ( x )−1cos2 ( x ) )(cos ( x )+sen ( x )(C−sen ( x )

cos ( x ) ))=0(C+Csen ( x )−2 sen ( x )

cos (x ) )sen ( x )+(C−sen ( x )cos ( x ) )

2

(Csen ( x )−1cos2 ( x ) )(cos ( x )+sen ( x )(C−sen ( x )

cos ( x ) ))=0∴la funcióndadanoes unasoluciónde la EDO

III. Hállese una ecuación diferencial ordinaria correspondiente a cada una de las

relaciones, con las constantes arbitrarias indicadas.

1). y=Asen (nx )+Bcos (nx )+Cx ; A ,B ,C∈R ; n∈N

y=A sen (3 x )+B cos (3x )+x………………..(1)

y '=3 A cos (3 x )−3 Bsen (3 x )+1y ' '=−9 Asen (3x )−9B cos (3 x )………………(2)

sumando9 (1 )+(2)y=A sen (3 x )+B cos (3x )+xy ' '=−9 Asen (3x )−9B cos (3 x )Entonces

y ' '+9 y=9 xy ' '+9 y−9 x=0

2).x=At e−t+Be−t+2Csen (t ) ; A ,B ,C∈ R

Solución:

x=A t e−t+B e−t+2Csen ( t )Derivando:

x=A t e−t+B e−t+2Csen ( t )…(0)x '=A e−t−A t e−t−Be−t+2Ccos ( t )…(1)


x ' '=−2 Ae−t+Ate−t−Be−t−2Csen (t )…(2)x ' ' '=3 Ae−t−Ate−t−Be−t−2Ccos ( t )…(3)Luego (0)+(2)

x+x ' '=A t e−t+Be−t+2Csen (t )−2 Ae−t+Ate−t−Be−t−2Csen (t )x+x ' '=2 A t e−t−2 Ae−t

A= x+x ' '

2 t e−t−2e−t

(0 )+ (1 )x+x '=A t e−t+Be−t+2Csen ( t )+Ae−t−A t e−t−B e−t+2Ccos ( t )x+x '=Ae−t+2Csen (t )+2Ccos (t ) ; insertando A

x+x '= x+x ' '

2 t e−t−2e−t e−t

+2Csen (t )+2Ccos ( t )

C=x+x '+ x+x

' '

2 t−22Csen (t )+2Ccos ( t )

(0)+(3)

x+x ' ' '=A t e−t+Be−t+2Csen ( t )+3 A e−t−Ate−t−Be−t−2Ccos ( t )x+x ' ' '=3 Ae−t+2Csen (t )−2Ccos (t )x+x ' ' '=3 Ae−t+2C ( sen ( t )−cos (t ) ) ; insertando A y C

x+x ' ' '=3 x+x ' '

2 t e−t−2e−t e−t

+2x +x '+ x+x ' '

2 t−22Csen (t )+2Ccos (t )

(sen ( t )−cos ( t ) )

Factorizando y ordenando:

x ' ' '−t x ' ' '+x ' '+t x '+x '+x=0

3). x2+ y2−Cx=0 ;C∈R

Derivando:

2x + 2yy’ – c = 0

2x + 2yy’ – (x+ y2

x ) = 0

x (2x + 2yy’) – (x2 – y2 ) 0

2x2 + 2xyy’ + x2 – y2 = 0

2xyy’ + x2 – y2 = 0

4). r=Aln|t|+Bt+C e−t ; A ,B ,C∈R


5). y=Ax3+B x2+Cx+D;A ,B ,C , D∈R

Solución:

y=A x3+Bx2+Cx+D……..I

y '=3 A x2+2Bx+C……………II

y ' '=6 Ax+2B……………………..III

y ' ' '=6 A………………………………...IV

y IV=0……………………………………V

Despejando:

A= y ' ' '

6

B= y ' '− y ' ' ' x2

C= y ' ' ' x− y ' ' ' x2

2− y ' ' x+ y '

Si se despeja D de I la ecuación se anulara

∴noexisteunaecuacion diferencial ordinaria paralarelación

6). x2

a2− y2

b2=1; x

2

a2+ y2

b2=1 ;a , b∈R

7). x=Ae−t+Be−t+C e2t+De−2t ;A ,B ,C ,D∈R

8). y=Ae−ktcos (nt )+Be−kt sen(nt); A ,B , k∈R;n∈N

y=e−kt {A cos (nt )+Bsen (nt ) }...............(1)

y '=−k e−kt {A cos (nt )+Bsen (nt ) }+ne−kt {B cos (nt )−Asen (nt ) }……………(2)Reemplazando (1 ) en(2)y '=−ky+ne−kt {B cos (nt )−A sen (nt ) }………………(3)

y ' '=−ky−kne−kt {B cos (nt )−A sen (nt ) }−n2 e−kt {A cos (nt )+Bsen (nt ) } ……….(4)Reemplazando (1 ) en (4 ) y (3 )en (4 ) se obtiene :y ' '=−2k y '− y (k2−n2 )La ecuación resultante es:y ' '+2k y '+k2 y+n2 y=0

9).x=Ae−t+Be−t+C e t sen ( t )+De−t cos (t) ;A ,B ,C ,D∈R

x=Ae−t+Be−t+C e t sen (t )+De2t cos (t )…1Derivada implícita respecto a t.x '=−Ae−t−Be−t+Ce t sen (t )+C et sen ( t )+De2 t cos ( t )…II2I-II2 x−x '=3 A e−t+3Be−t+Ce t sen (t )−C e t cos (t )+De2 t sen (t )…IIIDerivada implícita


2 x'−x ' '=−3 Ae−t−3Be−t+2C et sen (t )+2De2 t sen (t )+De2 t cos (t )…IV2III-IV4 x−4 x '+x ' '=9 A e−t+9B e−t−2Ce t cos (t )−De2 t cos ( t )…VI+V5 x−4 x'+x ' '=10 A e−t+10Be−t+C e t sen (t )−2Ce t cos (t )…VIDerivando 5 x '−4 x ' '+x ' ' '=−10 A e−t−10 Be−t+3Ce t sen (t )−C e t cos ( t )…VIIVI+VII5 x−x '−3 x' '+x ' ' '=4C et sen (t )−3Ce t cos (t )…VIIIDerivando5 x−x ' '−3 x ' ' '+ x(4 )=7Ce t sen ( t )−Ce t cos ( t ) .. IXVI-2VII5 x−14 x '+9 x' '−2 x ' ' '=30 A e−t+30 Be−t−5C et sen (t )… (1)Derivando 15 x '−14 x ' '+9 x ' ' '−2 x (4 )=−30 A e−t−30Be−t−5Ce t sen ( t )−5C et cos ( t )…(2)(1)+ (2)5 x+9 x'−5 x ' '+7 x ' ' '−2 x (4 )=−10C et sen ( t )−5Ce t cos ( t )…(3)VIII-3(IX)5 x−169 x '+10 x ' ' '−3 x (4 )=−17C et sen ( t )… (4 )5(IX)-(3)5 x+34 x '−8 x' '+7 x (4 )=45C et sen ( t )…. (5 )Igualando (4) y (5)

( 5 x−169 x'+10 x ' ' '−3 x (4 )

45 )=( 5x+34 x '−8 x ' '+7 x (4)

−17 )16 x (4 )−314 x ' ' '+142 x '−140 x=0

10). y=A e−x+Be x+C ex senh ( x )+Dexcosh (x ) ;A ,B ,C ,D∈R

Solucióny=A e−x+Be− x+C ex senh ( x )+De−x cosh ( x )y '=e−x (A+B )+Cex (senh ( x )+cosh ( x ) )−De− x (cosh ( x )−senh (x ) )y '=e− x ( A+B )+C e2 x−De−2x−−−→(1)y ' '=e−x (A+B )+2Ce2x+2De−2 x−−−→(2)(1)+ (2)y ' '+ y '=3C e2 x+De−2x−−−→(3)y ' ' '+ y ' '=6Ce2x−2De−2x−−−→(4)2(3)+(4)y ' ' '+3 y ' '+2 y '=12Ce2x−−−→(5)y ' ' ' '+3 y ' ' '+2 y ' '=24Ce2x−−−→(6)-2(5)+(6)y ' ' ' '+ y '' '−4 y ' '−4 y '=0

11). y=A ex+Be2x+Cex sen (x )+Dex cos(x ) ;A ,B ,C ,D∈R

12). y=A ex+Be2x+Ce−2x senh (x )+De−2x cosh (x) ;A ,B ,C ,D∈R

13). y=A ex sen(x )+Be xcos (x)+C e−x senh ( x )+De−x cosh (x)A ,B ,C , D∈ R


IV. Hállese una ecuación diferencial para cada una de las siguientes familias de las

curvas en el plano XY :

1). Todas las rectas con pendiente igual a 1.

EC . recta : y=mx+b… (I )Derivando (I ) : y '=mComo :m=1Entonces : y '=1Parael puntoO (0 ,0 )comunes paratodos :⇒b=0Reemplazandoen ( I ) :⇒y= y ' x+0

y− y ' x=0 ;Como y '=1 ⇒ y−x=0

2). Todas las rectas con pendiente igual a m.

SOLUCIÓN:

Sea lafamilia derectas : y=Ax+B………(1)

→si : x=0→ y=B………(2)

Esta expresióndebe ser igualala pendientem=A→ A=B………(3)

luego :

tomando logaritmos enla ecucion(1): ln ( y )=ln ( Ax+B )………(4)

Derivandorespectoa x la ecucion(4 ):

y '

y= AAx+B

→ y '= AyAx+B

………….(5)

Entonces :Reemplazamos la ecucion(3) en (5).

y '= yx+1

∴ y ' ( x+1 )− y=0

3). Rectas con la pendiente y la intersección con el eje Y iguales.

Y=AX+B ; X=m;Y=0 ;m=A

⟹ X=−BA

, A=−BA

,; A2=−B

Y=AX−A2………..(1)Derivando (1)

y I……………(2)Reemplazando (2) en (1)


y= yI X – ( y I )2

⟹Y−x yI+( yI )2=0

4). Rectas con la pendiente y la intersección con el eje X iguales.

Y=AX+B ; X=m;Y=0 ;m=A

⟹ X=−BA

, A=−BA

,; A2=−B

Y=AX−A2………..(1)Derivando (1)

y I……………(2)Reemplazando (2) en (1)

y= yI X – ( y I )2

⟹Y−x yI+( yI )2=0

5). Rectas con la suma algebraica de las intersecciones iguales a k .

SoluciónSea y=Ax+B la familia de rectas

Si y=0 ⟹ x=−BA

Por condición

B− BA

=k

AB−B=AkPero y '=A B= y− y ’ x⇒ y ' ( y− y ’ x )− y+ y ' x=ky '∴ ( y '−1 ) ( y ' x− y )+ y ' k=0

6). Circunferencias con el centro en el origen y radio arbitrario.

( x−h )2+ ( y−h )2=r2

Solución:( x−h )2+ ( y−h )2=r2

( x−0 )2+ ( y−0 )2=r2

x2+ y2=r2 ;derivando2 x+2 yy '=02 yy '+2x=0

7). Circunferencias con el centro en cualquier punto del plano XY y radio

arbitrario


SOLUCION

( y−k )2+( x−h )2=r2;c (h , k ) , r=radio ;como su centro pasa y=−x2quiere decir

k=−h2

Remplazando:

( y+ h2 )2

+( x−h )2=r2

Derivando

2 y ' ( y+ h2 )+2 ( x−h )=0

y '( y+ h2 )+ ( x−h )=0

y '( y+ h2 )=h−x

h( 2− y '2 )= y y '+x

h=2 ( y y '+ x )2− y '

Remplazando

( y+ 2 ( y y '+x )2− y '2

)2

+(x−2 ( y y '+x )2− y ' )

2

=r 2

( y+ ( y y '+x )2− y ' )

2

+(x−2 ( y y '+x )2− y ' )

2

=r2


( 2 y− yy '+( y y '+x )2− y ' )

2

+( 2 x−xy '−2 ( y y '+x )2− y ' )

2

=r2

( 2 y−x2− y ' )

2

+( x−xy '−2 ( y y ' )2− y ' )

2

=r2

(2 y−x )2+(x−xy '−2 ( y y ' ))2=r2 (2− y ' )2

8). Circunferencias sobre el eje X y radio arbitrario.

( x−h )2+ ( y−k )2=r2

( x−c )2+( y−D )2=r2……….(1) Derivando (1)

2 ( x−c )+2 ( y−D ) yI=0( x−c )+2 ( y−D ) y I……(2 )


( y I (Y−D))2+(Y−D )2=r2

(Y−D )2 ( ( yI )2+1)=r2……………….(3) Derivando (2)

i=Y IY I+(Y−D ) y II

Y−D=−(Y I )2

Y II …………… ..(4)


(−( y I )2

yII )2

( ( y I )2+1)=r2

( y I )4

( yII )2(( yI )2+1)=r2

( y I )6 ( yI )4−r 2 ( y II )2=0

⟹ ( yI )6+( yI )4−r2 ( y II )2=0

9). Circunferencias con centro sobre la recta y=−x2y que pasen por el origen.

( y−k )2+( x−h )2=r2;c (h , k ) , r=radio ;como su centro pasa y=−x2quiere decir

k=−h2


Remplazando:

( y+ h2 )2

+( x−h )2=r2

Derivando

2 y ' ( y+ h2 )+2 ( x−h )=0

y '( y+ h2 )+ ( x−h )=0

y '( y+ h2 )=h−x

h( 2− y '2 )= y y '+x

h=2 ( y y '+ x )2− y '

Remplazando

( y+ 2 ( y y '+x )2− y '2

)2

+(x−2 ( y y '+x )2− y ' )

2

=r 2

( y+ ( y y '+x )2− y ' )

2

+(x−2 ( y y '+x )2− y ' )

2

=r2

( 2 y− yy '+( y y '+x )2− y ' )

2

+( 2 x−xy '−2 ( y y '+x )2− y ' )

2

=r2

( 2 y−x2− y ' )

2

+( x−xy '−2 ( y y ' )2− y ' )

2

=r2

(2 y−x )2+(x−xy '−2 ( y y ' ))2=r2 (2− y ' )2

10). Parábolas con el eje y el foco sobre el eje X .

11). Parábolas con el eje paralelo al eje X .

La ecuación de la parábola con eje paralelo al eje X ( y−k )2=4 p(x−h)2 ( y−k ) y '=4 p( y−k ) y '=2 p−−−−→(1)


( y−k ) y ' '+( y ' )2=0−−−−→(2)( y−k ) y ' ' '+3 y' y ' '=0−−−−→ (3)Pero de (2)

( y−k )=−( y ' )2

y ' '

Reemplazando en (3)( y−k ) y ' ' '+3 y' y ' '=0

(−( y ' )2

y ' ' ) y ' ' '+3 y ' y ' '=0( y ' )2 y ' ' '+3 y' ( y ' ' )2=0

12). Hipérbolas equiláteras con centro en Q (M , N )

SOLUCIÓN:

1erCaso : ( x−h ) ( y−k )=a2

2

( x−M ) ( y−N )=a2

2

xy−xN−My+MN=a2

2

Derivando2 veces :1 °¿ y+x y '−N− y ' M=02 °¿ y '+ y '+ x y ' '− y ' 'M=02 y ' x y ' '− y ' 'M=0

x= y ' ' M−2 y 'y ' '

Derivando :

1=( y ' ' ' M−2 y ' ' ) y ' '− y ' ' '( y ' 'M−2 y ')

( y ´ ´ )2

( y ´ ´ )2=( y' ' 'M−2 y ' ' ) y ' '− y ' ' ' ( y ' ' M−2 y ')Simplificando:

3 ( y ´´ )2=2 y ' ' ' y '

∴2 y ' ' ' y '−3 ( y ´ ´ )2=0

2doCaso: (x−h ) ( y−k )=−a2

2

Sesucitara lamisma resolucionconrespecto al primer caso :

∴2 y ' ' ' y '−3 ( y ´ ´ )2=0

13). Circunferencias tangentes al eje X .

Solución:

En este caso:|k|=r y la ecuación toma la forma siguiente


( x−h )2+ ( y−k )2=k2;C (h , k )

Sea P (A ,B )el centro; el radio será |B|=r

( x−A )2+( y−B )2=B2

Derivamos

2 ( x−A )+2 y ' ( y−B )=0

( x−A )=− y ' ( y−B )

Remplazamos

(− y' ( y−B ) )2+( y−B )2=B2

( y−B )2 [ ( y ' )2+1 ]=B2

y−B=√ B2

[ ( y' )2+1 ]y−B=B [ ( y ' )2+1 ]−1/2

Derivamos

y '=B {[ ( y ' )2+1 ]−1 /2}'+B ' [ ( y ' )2+1 ]−1/2

y '=B {12 [ ( y ' )2+1 ]−3/2

−2 y ' ' y '}+[ ( y ' )2+1 ]−1/2

y '=12

[ ( y' )2+1 ]−3/2

B−2 y ' ' y ' B+[ ( y ' )2+1 ]−1/2

14). Cónicas centrales con el centro en el origen y vértices sobre los ejes

coordenados.

15). Tangentes a la parábola y2=8 x.

V. Determinar para que valores de m cada una de las siguientes ecuaciones

diferenciales ordinarias tiene soluciones de la forma y=emx:

1). y ' ' '+ y ' '−6 y '=0

2). y (4)−3 y' ' '+2 y ''=0

y=emx

y '=memx

y ' '=m2emx

y ' ' '=m3 emx

y (4)=m4 emx


⇒m4 emx−3m3 emx+2m2 emx=0emx (m4−3m3+2m2 )=0

⇒m4−3m3+2m2=0emx=0

⇒m2−3m+2=0 ;m=0m=1m=2

∴m={0,1,2 }

3). y ' ' '+ y ' '−5 y '

2+ y=0.

VI.)Resuélvase cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinariasde

variables separables:

1). (t 2+ln(t ))dx+ ln2 ( x )dt=0. x (1 )=e

SOLUCION

(t 2+ ln ( t))dx+ln2(x )dt=0

dx

ln2(x )+ dt

t2+ ln (t)=0

∫ dx

ln2(x )+∫ dt

t 2+ ln (t )=∫0

∫ dx

ln2(x )+∫ dt

t 2+ ln (t )=c…1

Trabajando con la primera Integral:

∫ dx

ln2(x )por partes

u= 1lnx

dv=dx

du=( 1lnx

)'

v=∫ dxlnx

du= −1x ln2 x

dx v=−xlnx+x+c

∫ dx

ln2(x )= 1lnx

(−xlnx+x)−∫(−xlnx+x )( −1x ln2 x

)dx

∫ dx

ln2(x )=

(−xlnx+x )lnx

+∫( x−xlnx

x ln2 x)dx


∫ dx

ln2(x )=

(−xlnx+x )lnx

+∫( dx

ln2 x )−∫(dxlnx

)

∫ dx

ln2(x )=

(−xlnx+x )lnx

−(−xlnx+x )+∫( dx

ln2 x )∫ dx

ln2(x )=

(−xlnx+x )(1−lnx)lnx

+∫( dx

ln2 x )Trabajando la segunda integral:

∫ dt

t 2+ ln (t )por partes

u=t2+ ln (t)dv=dt

du=(2t+1t)dt v=t

∫ dt

t 2+ ln (t )=( t2+ ln (t ) ) ( t )−∫ t(2t+1

t)dt

∫ dt

t 2+ ln (t )=( t2+ ln ( t ) ) ( t )−∫(2 t 2+1)dt

∫ dtt 2+ ln (t )

=( t2+ ln (t ) ) (t )−2 t3

3−t+c

Reemplazando en la integral (1)

∫ dx

ln2(x )+∫ dt

t 2+ ln (t )=c


+∫( dxln2 x )+(t 2+ ln ( t ) ) ( t )−2 t

3

3−t=c


+∫( dxln2 x )+(t 2+ ln ( t ) ) ( t )−2 t

3

3−t=c

Como x (1) = e

(−elne+e ) (1−lne )lne

+∫( d (e )ln2 (e ) )+ (t 2+ ln (t ) ) ( t )−2t

3

3−t=c

0+∫( d (e )ln2 (e ) )+ (t 2+ ln (t ) ) ( t )−2t

3

3−t=c

(t 2+ln ( t ) ) (t )−2 t3

3−t+∫( d ( e )

ln 2 (e ) )=c


2). ex3− y2− y

x2dydx

=0

ex3− y2x2

y=dydx

ex3

x2

e y2

y=dydx

(ex3

x2 )( 1

e y2

y )=dydx

(ex3

x2 )dx=(ey2

y )dy

∫ (ex3

x2 )dx=∫ (e y2

y )dy

ex3

3+c1= e y

2

2+c 2

ex3

3−e y

2

2+C=0

3¿ . dvdu

−sen ( u+v2 )=sen( u−v2

)

4). (1+ y2 ) (e2x dx+e ydy )−(1− y )dy=0

Solución:e2x dx+e ydy+ y2 e2x dx+ y2 e y dy−dy+ ydy=0e2x dx+e ydy+ y2 e2x dx+ y2 e y dy−dy+ ydy=0e2x (1+ y2)dx+( y2 ey+e y−1+ y )dy=0

e2x dx+( y2 ey+e y−1+ y )dy

(1+ y2)=0

∫ e2 xdx+∫ ( y2 e y+ey−1+ y)(1+ y2)

dy=∫0

∫ e2 xdx+∫ y2 ey

(1+ y2)dy+∫ e y

(1+ y2)dy−∫ 1

(1+ y2)dy+∫ y

(1+ y2)dy=∫ 0

Aplicandointegración por partes :

e2 x

2+[e y ( y−atan ( y ))−(∫ yey dy−∫ ey atan ( y )dy )]+ [e y atan ( y )−∫ ey atan ( y )dy ]−atan (1+ y2)+[ ln (1+ y2)2 ]=c

e2 x

2+e y ( y−atan ( y))−∫ yey dy+∫e y atan ( y)dy+e y atan ( y )−∫ e yatan ( y )dy−atan (1+ y2)+[ ln (1+ y2)2 ]=c

e2 x

2+e y ( y−atan ( y))− yey+ey+e y atan ( y )−atan (1+ y2)+[ ln (1+ y2)2 ]=c

5). (xy4− y4−x+1 )dx+( x4 y−2x3 y+x4+2 x2 y−2 x3+2x2 )dy=0


Solución¿¿¿¿¿¿

6). y '= x3+ y3

x3− y3

y=uxu' x+u= y '

y '= x3+ y3

x3− y3=1+( yx )

3

1−( yx )3=1+u3

1−u3

⇒u' x+u= 1+u3

1−u3

u' x=1+u3

1−u3−u=1+u

3−u+u4

1−u3

⇒ du∂ x

x=1+u3−u+u4

1−u3

1−u3

1+u3−u+u4du=dx

x

∫ 1−u3

1+u3−u+u4du=∫ dx

x

∫1+ u+u4−2u3

1+u3−u+u4du=ln|x|+C

7). (x+ y eyx )dx+x e y/ x dy=0

Solución:

(x+ yeyx )dx+xe

yx dy=0

xdx+ y eyx dx+xe

yx dy=0

xdx+eyx ( ydx+xdy )=0

xdx+eyx (d ( xy ) )=0

∫ xdx+∫eyx (d (xy ))=∫0


8). y'= −x+2 y2x+3 y+1

SOLUCIÓN:

Tomando las rectas :

{ −x−2 y=02x+3 y+1=0

Lasrectas se intersecanen los puntos (2;1):

→ {x=X−2y=Y +1

→{dx=dXdy=dY

dYdX

=−X+2Y2 X+3Y

=−1+2 Y

X

2+3YX

(X−2Y ) (2 X−3Y )=c(x+2−2( y−1)) (2( x+2)−3 ( y−1))=c

∴ ( x−2 y+4 ) (2x−3 y+7 )=c

9). (2 x+6 y−12 )dx+ (3x−5 y−15 )dy=0

10). (2 x−3 y−9 )dx+(4 x−6 y+12 )dy=0

11). (x2 y3+2 x y2+ y )dx+(x3 y2−2 x2 y+x )dy=0

SOLUCIÓN:

(x2 y3+2 xy2+ y )dx+(x3 y2−2x2 y+ x )dy=0

y (x2 y2+2 xy+1 )dx+x (x2 y2−2xy+1 )dy=0

xy=z→ y= zxdy= xdz−zdx

x2

Reemplazando :

zx

( z2+2 z+1 )dx+x ( z2−2 z+1 )( xdz−zdx

x2 )=0z ( z2+2 z+1 )dx+ ( z2−2 z+1 ) ( xdz−zdx )=0

( z3+2 z2+z )dx+z2 xdz−z3dx−2 zxdz+2 z2dx+xdz−zdx=0

( z3+2 z2+z−z3+2 z2−z )dx+( z2 x−2 zx+ x ) dz=0

4 z2dx+x ( z2−2 z+1 )dz=0

4 dxx

+( z2−2 z+1 )dz

z2=0


∫ 4 dxx

+∫ ( z2−2 z+1 )dzz2

=c

4 ln|x|+∫ ( z2)dzz2

−∫ 2 zdzz2

+∫ dzz2

=c

4 ln|x|+z−2 ln ( z )−1z=c

4 ln|x|+xy−2 ln ( xy )− 1xy

=c

ln ( xy )2

+xy−¿ 1xy

=c¿

12. (1−xy+x2 y2 )dx=x3

VIII. Resuélvase las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias mediante un cambio

de variable:

1). y '=csc 3(3x+ y )

2). x y2 (x y '+ y )=a2

3). (x3 y2+1 )dx+2 x3dy=c

4). (x3 y4+ y+x−2 )dx+(x4 y3+x )dy=0

5). (x+ y−4+ 1x )dx−(4− x− y )dy=0

6). (5 x+5 y+ xex )dx−(5 x+5 y−1 )dy=0

Solución¿Es homogénea?M=5 x+5 y+ xex

⟹ f (x ; y )=5 x+5 y+x ex

⟹ f (rx ;ry )=5rx+5 ry+ xr exr

f (rx ;ry )=r (5 x+5 y+ xexr )f (rx ;ry )=r (5 x+5 y+ xexr )∴M noes homogénea

N=5 x+5 y−1⟹ f (x ; y )=5 x+5 y−1⟹ f (rx ;ry )=5rx+5 ry−1∴N no eshomogénea

Desarrollando la ecuación:


(5 x+5 y+ xex )dx−(5 x+5 y−1 )dy=0z=xy

xdzdx

−z

x2= y'

Remplazando en la ecuación:

(5 x+5 y+ xex )+(5 x+5 y−1 ) dydx

=0

5 x+5 zx

+x ex−5 x−5 zx

+1zdzdx

−z

x=0

(1 ) dzdx

+x ex=0

De donde:

(x ex )dx+ (1 )dz=0

Integrando:

∫ (x ex )dx+∫ (1 )dz=c

z+ x2

2e x=c

2 xy+ x2ex=c

7). x3 y2dx−(x 4+ y6 )dy=0

8). ( y3+2 ln ( x ) )dx+x2 y4dy=0

9). dydx

=√x+ y−√x− y√x+ y+√ x− y

dydx

=( √ x+ y+√x− y√ x+ y−√ x− y ) √x+ y+√ x− y

√x+ y+√ x− y

dydx

= x+√ x2− y2

yydy=x+√x2− y2dx

x+√ x2− y2dx− ydy=0M=x+√ x2− y2 ;N=− y

f ( x , y )=x+√x2− y2 , f ( x , y )=− y

f ( xr , yr )=r (x+√x2− y2 ) , f ( xr , yr )=r (− y )M es homogéneo , N es homogéneo∴la EDOeshomogeneoConvirtiendo en variables separables :


dydx

= x+√ x2− y2

y

y=uxdy=udx+xdu

Remplazando en la ecuación:

udx+xdudx

=x+√ x2−(ux )2

ux

udx+xdudx

=1+√1−u2u

u2dx+uxdu=1+√1−u2dxudu

1+√1−u2+u2=dxx

Integrando se obtiene:

∫ udu

1+√1−u2+u2−∫ dx

x=c

ln|√1−u2+1|+ ln|x|=−c

ln|√1−( yx )2

+1|+ln|x|=−c

ln|(√1−( yx )2

+1) x|=−c

(√1−( yx )2

+1) x=e−c

10). dydx

= yx− x3

y+x2 cot( yx2 )

SOLUCION

dydx

= yx− x3

y+x2 cot ( y

x2)

dydx

= y2−x4

xy+x2 cot ( y

x2)

Sea:z=xy

∂ z∂ x

=x ' y+xy '


∂ z∂ x

= y+xy '

∂ z∂ x

= xy+x2 y 'x

y '=

∂ zx ∂ x

−z

x2reemplazando y=

dydx

=yx−x3

y+x2 cot (

y

x2)

∂ zx ∂x

−z

x2=

z2

x2− z 4

y 4

z+ z2

y2cot ( z

x3)

∂ zx ∂x

−z

x2=z2( 1

x2− z2

y4)

z+ z2

y2cot ( z

x3)

∂ zx ∂x

−z

x2=z1(

y4−x2 z2

x2 y4)+

z2

y2cot (

z

x3)

∂ zx ∂x

−z

x2=z1(

y4−x2 z2

z2 y2)+

z2

y2cot (

z

x3)

∂ zx ∂x

−z

x2=(

y4−x2 z2

z y2)+

z2

y2cot (

z

x3)

∂ zx ∂x

−z

x2=(

z4

x4−x2 z2

z2

x2

)+x2cot ( zx3

)

∂ zx ∂x

−z

x2=(

z2( z2

x4−x2)

z2

x2

)+x2cot ( zx3

)

∂ zx ∂x

−z

x2=(

(z2−x6)x6

)+x2 cot (z

x3)

∂zx∂ x

−z=( ( z2−x6 )x6 ) x2+ x2 . x2 cot ( zx3 )

∂zx∂ x

−z=( z2−x6

x4 )+x4 cot ( zx3 )∂zx∂ x

=( z2x4− x6

x4 )+z+x4 cot ( zx3 )


∂ z∂ x

=( z2x 4− x6

x4 )x+zx+x5cot ( zx3 )∂ z∂ x

=( z2x3− x6

x3 )+zx+x5cot ( zx3 )∂ z∂ x

= z2

x3−x2+zx+x5 cot ( z

x3)

∂ z∂ x

= z2+zx 4

x3−x2(1+ x3 cot( zx3 ))

∂ z∂ x

= 1

x5(1+x3 cot( zx3 ))− 1

z2+zx4

Integrando :

0=∫ 1

x5(1+x3 cot( zx3 ))−∫ 1

z2+zx 4

11). dydx

=2 x5+2x2 y2

3 x3 y−3 y3;haciendo x=up , y=vq

IX. Resuélvase las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias, como exactas o

convirtiéndolas a exactas:

1). ( y exy+ y3 x2+2 y ln ( x )x )dx+(x exy+x3 y2+ ln2 (x ) )dy=0

2). ( ytan ( xy )+ ysec ( xy ) )dx+( xtan ( xy )+xsec ( xy ) )dy=0

Solución:( ytan ( xy )+ ysec(xy ))dx+ (xtan ( xy )+xsec(xy ))dy=0M (x ; y )=( ytan ( xy )+ ysec(xy ))N ( x ; y )=(xtan ( xy )+xsec(xy ))∂M ( x ; y )

∂ y=∂ ( ytan ( xy )+ ysec(xy ))

∂ y∂M ( x ; y )

∂ y=tan ( xy )+xy sec2 ( xy )+sec ( xy )+xytan(xy) sec (xy )

∂N ( x ; y )∂x

=∂ (xtan ( xy )+ xsec(xy ))

∂ x


∂N ( x ; y )∂x

=tan ( xy )+xy sec2 ( xy )+sec ( xy )+xytan(xy )sec (xy )

Eshomogénead (F ( xy ) )=( ytan ( xy )+ ysec (xy))dx+(xtan ( xy )+ xsec(xy ))dy∂F ( x ; y )∂ y

= ytan ( xy )+ ysec ( xy )………1

∂F ( x ; y )∂x

=(xtan ( xy )+ xsec(xy ))…….2

∫ ∂F (x ; y )=∫ ( ytan ( xy )+ ysec ( xy ) )dxIntegrando (1 )F ( x ; y )=∫ ytan ( xy )dx+∫ ysec ( xy )dxF ( x ; y )=−ln|cos ( xy )|dx−ln|sec ( xy )−tan (xy )|+g ( y )Derivando conrespecto a y∂F ( x ; y )∂ y

= ytan ( xy )+ ysec ( xy )+g '( y); Ahora igualamos a l aecuacion ¿)

ytan (xy )+ ysec (xy )+g ' ( y )= ytan ( xy )+ ysec ( xy )g' ( y )=0g( y )=cF ( x ; y )=−ln|cos ( xy )|dx−ln|sec ( xy )−tan (xy )|+c

3). (sen2 ( x+ y )+cos2 (2x+2 y )−sen2 (2 x+2 y ) )dx+(−cos (2+2 y )2

+sen (2x+2 y )

2 )dy=0

4 ¿ . (4 x3 y− y4 sen ( x ) )dx+ (x4 y+4 y3 cos ( x ) )dy=0

M (x ; y )=4 x3 y− y4 sen (x )N ( x ; y )=x4 y−4 y3cos (x )∂M∂ y

=4 x3−4 y3 sen ( x )

∂N∂ x

=4 x3 y+4 y3 sen ( x )

∂M∂ y

≠∂ N∂ x

∴Noes exacta

5¿ .M ( x ; y )dx+(x2 exy+ y3−sen ( xy ) )dy=0

Solución:M (x ; y )dx+ (x2e xy+ y3−sen ( xy ) )dyM (x ; y )=1N ( x ; y )=x2 exy+ y3−sen ( xy )No es exacta∂ (N (x ; y ) )∂(x )

=2 xexy+x2 y exy− y cos ( xy )


∂ (M ( x ; y ) )∂( y )

=∂ (N ( x ; y ) )∂(x )

=2x exy+x2 ye xy− y cos ( xy )

∫ ∂ (M ( x ; y ) )=∫ (2 xe xy+ x2 y exy− y cos ( xy ) )d ( y)M (x ; y )=∫ (2 x exy )d ( y )+∫ (x2 y exy )d ( y )−∫ ( y cos ( xy ) )d ( y)M (x ; y )=2 x∫ (exy )d ( y )+ x2∫ ( y exy )d ( y )−∫ ( y cos ( xy ) )d ( y)Aplicando integración por partes.

M (x ; y )=2exy+x2[ yx exy−∫ exy

xd ( y )]−[ y sen (xy )x

−∫ sen(xy )x

d ( y )]M (x ; y )=2exy+x2[ yx exy− exy

x2 ]−[ y sen(xy )x+cos (xy )x2 ]

M (x ; y )=exy+xy exy−y sen( xy)

x−cos (xy)x2

d (F ( x ; y ) )=M ( x ; y )dx+N (x ; y )dy

d (F ( x ; y ) )=(exy+xy exy− y sen (xy )x

−cos (xy )

x2 )dx+ (x2exy+ y3−sen (xy ) )dy

d (F ( x ; y ) )dx

=exy+xy exy−y sen( xy)

x−cos( xy)x2

……………….α

d (F ( x ; y ) )dy

=x2 exy+ y3−sen ( xy )…………… .. β

Integrando α respecto a xd (F ( x ; y ) )

dx=(exy+xy exy− y sen(xy )

x−cos (xy )

x2 )∫ d (F (x ; y ) )=∫(exy+xy exy− y sen(xy )

x−cos(xy )x2 )dx

Ahora ya son homogéneas.

6¿ . M (x tan2 (x+ y )+ex+ y+ xy )dx+dy=0

SOLUCION

M (x tan2 ( x+ y )+ex+ y+ xy )dx+dy=0

M (x ; y )=x tan 2 ( x+ y )+ex+ y+ xy

N ( x ; y )=1

⇒ dMdY

=dNdX

=x tan2 ( x+ y )+ex+ y+ xy

⇒ dNdX

=x tan 2 ( x+ y )+ex+ y+ xy


Intengrandorespecto aX

∫ dN=∫(x tan2 ( x+ y )+e x+ y+ xy)dx

N=∫(x tan2 ( x+ y )+ex+ y+ xy)dx

N=∫ ( x tan2 ( x+ y ) )dx+∫e x+ y dx+∫( xy)dx

N=ex+ y−e y+ x2

2 y+∫ (x tan 2 ( x+ y ) )dx


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