Presentacion Fase II - Proyecto final MAED (Operaciones con Matrices)

OPERACIONES CON MATRICES

MATEMATICA PARA LA ADMINISTRACION

Licda. Mónica DíazIng. Alex EstradaLic. Edward Cordero

AGENDA • Lectura de la Competencia

• Retroalimentación de la tarea de la unidad anterior

• Breve introducción del tema

• Explicación de la presentación

• Ejemplificación y Ejercitación Individual

• Trabajo cooperativo –hoja de trabajo grupal -

• Explicación Guía de Estudios de la unidad –autoaprendizaje-

Competencias a desarrollarAplica el álgebra matricial para la solución de problemas de la vida real

Licda. Mónica Díaz Ing. Alex Estrada Lic. Edward Cordero

Definición de matriz

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

Dimensión de la matriz nm

2ª columna

3ª fila

èçççççæ

ø÷÷÷÷÷ö a11 a12 a13 ...... a1n

a21 a22 a23 ...... a2n a31 a32 a33 ...... a3n

.. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn

= (aij )


Juan, Ana y Elena han ido a una tienda y han comprado lo siguiente:

1. Juan compró dos bocadillos, un refresco y un pastel.

2. Ana se llevó un bocadillo, un refresco y un pastel.

3. Elena compró un bocadillo y un refresco.

Estos datos se pueden agrupar en una matriz

æçççè

ö÷÷÷ø

2 1 1

1 1 11 1 0


Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A = èççæ 2 5 –3 1 –4 1

Tiene la siguiente matriz ampliada: A = èççæ

ø

ö 2 5 –3 1 1 –4 1 –2

Tiene la siguiente expresión matricial: èççæ

ø

ö 2 5 –3 1 –4 1

èççæ

ø

ö x y z

= èççæ

ø

ö 1 – 2

2 z 4y - x 1z3y5x2El sistema

EXPRESION MATRICIAL

ç


Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1 x n.

naaaa 1131211

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m x 1.

÷÷÷÷÷÷

ø

ö

çççççç

è

æ

1

31

21

11

ma

aaa

Tipos de matrices:


Tipos de matrices: Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que

de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n.

Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la

matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.

÷÷÷÷÷÷

ø

ö

çççççç

è

æ

nnnnn

n

n

n

aaaa

aaaaaaaaaaaa

321

3333231

2232221

1131211


Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.

De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m.

Tipos de matrices:

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji " i, j.

Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji " i, j.


Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0

La matriz

La matriz

es una matriz nula de orden 3

es una matriz nula de orden 2 x 4

Tipos de matrices:


Tipos de matrices:

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales

Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.


Tipos de matrices:

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal.

Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:

Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 " i < j.

Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 " j < i.

matriz triangular inferior

matriz triangular superior


Para sumar dos matrices A y B con las mismas dimensiones se suman

los correspondientes elementos: si A = (aij) y B = (bij) entonces A + B = (aij +

bij). Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma

dimensión. La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.

La suma de las matrices A y B se denota por A+B.

Suma y diferencia de matrices

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)

A + B = ( aij) + (bij) = èççæ

ø÷÷öa11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

+ èççæ

ø÷÷öb11 b12 b13 b14

b21 b22 b23 b24

b31 b32 b33 b34

=

= èççæ

ø÷÷öa11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 a14 + b14

a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 a24 + b24

a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 a34 + b34

= (aij + bij )


4ª. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.

Propiedades de la suma de matrices

1ª. A + (B + C) = (A + B) + C Propiedad Asociativa

2ª. A + B = B + A Propiedad conmutativa

Matriz Nula3ª. A + 0 = A (0 es la matriz nula)


EJEMPLO 1

El elemento marcado en amarillo muestra que se suman los elementos correspondientes y se coloca en esa misma posición en la matriz suma.


Ejemplo 2

Este paso es cómputo mental, no es necesario escribirlo al sumar matrices.


Contestaciones a la Práctica de Suma de Matrices

No se puede sumar. No tienen igual Orden.

Primera es 1 x 2 y la segunda es 3 x 1.


Producto de una matriz por un número

Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de los elementos de la matriz por dicho número. Si A = (aij), entonces kA = (kaij)

El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices

k . A = k . (aij) = k·èççæ

ø÷÷öa11 a12 a13

a21 a22 a23a31 a32 a33

= èççæ

ø÷÷öka11 ka12 ka13

ka21 ka22 ka23

ka31 ka32 ka33

= (kaij)


.

Propiedades del producto de una matriz por un escalar

1ª. k (A + B) = k A + k B Propiedad distributiva 1ª

2ª. (k + h)A = k A + h A Propiedad distributiva 2ª

Propiedad asociativa mixta3ª. k [h A] = (k h) A

Elemento unidad4ª. 1 · A = A · 1 = A


Multiplicación de matrices

Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B.

Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P será de orden m x p.

no se pueden multiplicar

Ejemplo:


es la matriz C = A · B, tal que el elemento que ocupa la posición ij es:

cij = ai1. b1j + ai2

. b2j + ... + ain. bnj

El producto de la matriz

A = (a ij) =

èççççæ

ø÷÷÷÷ö

a11 a12 a13 ...... a1n

a21 a22 a23 ...... a2n

a31 a32 a33 ...... a3n

.. .. .. .. ..am1 am2 am3 ...... amn

por la matriz

B = (b ij) =

÷÷÷÷÷÷

ø

ö

çççççç

è

æ

np3n2n1n

p3333231

p2232221

p1131211

bbbb

bbbbbbbbbbbb

................

......

......

......


EJEMPLO

(aij)2,3 . (bij)3,3 =

producto

posible

(cij) 2, 3

A · B =èççæ

ø÷÷ö2 1 –1

3 –2 0 .èççæ

ø÷÷ö1 2 0

1 0 –3 0 1 –2

= èççæ

ø÷÷ö3 3 –1

1 6 6

1.- PRODUCTO O MULTIPLICACION DE A X B

2.- QUE DIMENSIONES TIENE LA MATRIZ PRODUCTO


¿Cuándo es posible el producto de matrices?

(aij)m,n . (bij)n,p =

Posible

filas

columnas

(cij)m,p

El producto de matrices es posible cuando coincide el número de columnas de una matriz con el número de filas de la otra matriz.


Propiedades del producto de matrices

A·(B·C) = (A·B)·C (Propiedad asociativa)

Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A.

Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B = B·A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A–1 .

El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A·(B + C) = A·B + A·C

El producto de matrices en general no es conmutativo.


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