INECUACIONES

4to Sissy Pando Marcelo

Una inecuación lineal o de primer grado con una variable x, es una desigualdad de la siguiente forma:

INECUACIONES LINEALES

ax + b ≥ 0

ax + b ≤ 0

ax + b > 0

ax + b > 0

Ejemplos:Hallar el conjunto solución de:3 x - 5 > 5x + 1

Solución:

3 x - 5 > 5x + 13 x - 5x > 1 + 5

-2 x > 62x < - 6x < - 6/2x < -3

C.S = < -∞; - 3>

Hallar el conjunto solución de:6 x - 3 - (2x – 6) ≥ x - 3

2 4Solución:

12 x - 6 – 4 (2x – 6) ≥ x - 312 x - 6 –8x +24 ≥ x – 3

12x - 8x – x ≥ -3 +6 -243x ≥ 21x ≥ -21/3x ≥ -7

C.S = < - 7; ∞>

INECUACIONES CUADRÁTICAS

Una inecuación cuadrática o de segundo grado con una variable x, es una desigualdad de la siguiente forma:

Donde a, b y c pertencen a los reales a ≠ 0.

ax2 + bx + c ≥ 0

ax2 + bx + c ≤ 0

ax2 + bx + c> 0

ax2 + bx + c > 0

METODOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN CUADRATICA

• Para determinar los valores de x que satisfagan las inecuaciones existen los siguientes métodos:

1. Método de los Puntos Críticos

2. Método de Ley de Signos

3. Método de Complementación de Cuadrados Perfectos

4. Método del Discriminante

Ejemplos:

1. Hallar el conjunto solución de:

X2 - X – 6 ≥ 0

Solución: Método de los Puntos Críticos

1. Factorizamos la expresión (método del aspa simple o formula general)

2. Hallamos los puntos críticos, Igualamos cada factor a cero

3. Ubicamos en la recta numérica los puntos críticos y alternamos con los signos +,-,+

4. Hallamos el conjunto solución si P(X) > 0 tomamos los intervalos con signo positivo y si P(X) < 0 tomamos los intervalos con signo negativo. -2 3

++ -

1. Hallar el conjunto solución de:X2 - X – 6 ≥ 0

SoluciónFactorizando la expresión (aspa simple):

(x-3) (x +2) ≥ 0

Hallando los puntos críticos: Igualando cada factor a cero, se tiene:

x – 3 = 0 x + 2 = 0x = 3 x = -2

Ubicando lo puntos críticos en la recta numérica:

C. S =

Ejemplos:

1. Hallar el conjunto solución de:

X2 - X – 6 ≥ 0

Solución: Ley de Signos

1. Factorizamos la expresión de la forma: ab ≥ 02. Para que la expresión se mayor o igual que cero, solo

ocurre si los dos factores son positivos o los dos factores son negativos . Entonces tenemos:

ab ≥ 0 ↔ (a ≥ 0 ^ b ≥ 0) ᵥ (a ≤ 0 ^ b ≤ 0) ab ≤ 0 ↔ (a ≥ 0 ^ b ≤ 0) ᵥ (a ≤ 0 ^ b ≥ 0)

3. Se halla el conjunto solución según la operación indicada.

-

1. Hallar el conjunto solución de:X2 - X – 6 ≥ 0

Solución: Ley de SignosFactorizando la expresión :

(x-3) (x +2) ≥ 0

Según la ley de signos:(x-3) (x +2) ≥ 0 ↔ [x-3 ≥ 0 ^ x +2 ≥ 0] ᵥ [x-3 ≤ 0 ^ x +2 ≤ 0] Graficando:[x-3 ≥ 0 ^ x +2 ≥ 0]CS1 = [ 3; +∞>Graficando:[x-3 ≤ 0 ^ x +2 ≤ 0] C.S2 =

Ejemplos:1. Hallar el conjunto solución de:

X2 - X – 6 ≥ 0Solución: Método de Completar Cuadrados:1. Para aplicar este método se debe tener en cuenta las

siguiente propiedades:Si : X2 ≤m ↔ -√ m ≤ X ≤ √ m

Si : X2 ≥ m ↔ X ≥ √ m ᵥ X ≤ -√ m

2. X2 - X – 6 ≥ 0X2 - X+ (1/2)2 - (1/2)2 – 6 ≥ 0

(X - ½) 2 ≥ 25/4Aplicando la propiedad:Si : X2 ≥ m ↔

(X - ½) 2 ≥ 25/4 ↔ X-1/2 ≥ √ 25/4 ᵥ X-1/2 ≤ -√ 25/4 X ≥3 X ≤ -2

C.S =

X ≥ √ m ᵥ X ≤ -√ m

Ejercicios

Hallar el conjunto solución de :

a) 3x2 -11x + 6 < 0

a) 3x2 -2x - 5 < 0

a) 2x2 -x + 10 ≥0

a) x2 -6x + 25 < 11

Es una desigualdad que tiene la siguiente forma:

Donde P(x) y Q(x) son monomios, binomios o polinomios no nulos concoeficientes reales.

Para resolverla inecuación racional o fraccionaria tenemos los siguientes casos:

INECUACIONES RACIONALES

P(x) > 0 ó P(x) < 0 ; Q(x) ≠ 0

Q(x) Q(x)

CASO I: Tiene la siguiente forma:

ax + b > 0 ó ax + b < 0 cx +d cx +d

Aplicando la propiedad:

(ax + b )(cx +d) > 0 ó (ax + b) (cx + d )< 0

Se iguala cada factor a cero para hallar lospuntos críticos, teniendo en cuenta que eldenominador debe ser diferente de cero.

Se grafican los puntos críticos en la rectanumérica y se hallan los intervalos del conjuntosolución.

+

Ejemplo: Hallar el conjunto solución de:x + 1 > 0

x -2

(x + 1 )(x -2) > 0 ; x ≠ 2

C.S = U < 2; +∞>

-1 2-+

CASO II: Tiene la siguiente forma:

ax2 + bx + c > 0 ó ax2 + bx + c < 0 a’x2 + b’x + c’ a’x2 + b’x + c’

Cuando uno de los trinomios no tiene soluciones

reales o tiene raíz doble

Para saber que tipo de solución tiene lainecuación se trabaja con el discriminante (∆), siuno de los trinomios:Si ∆ > 0 tiene dos soluciones reales y diferentesse procede a factorizar.

Si ∆ = 0 tiene solución doble. Entonces es untrinomio cuadrado perfecto para todo x ЄR. Seanaliza el punto.

Si ∆ < 0 no presenta soluciones en los reales sinoen los complejos. Por tanto no se toma para elanálisis del conjunto solución.

Ejemplo: Hallar el conjunto solución de:x2 – x - 12 < 0

x2 -2x + 3

Analizamos cada trinomio:

x2 – x – 12 ∆= (-1)2-4(1)(-12)>0 Factorizarx2 -2x + 3 ∆= (-2)2-4(1)(3)

Ejemplo: Hallar el conjunto solución de:1 + 15 – 7x > 0

x2 + x- 6

Resolviendo se tiene:

x2 -6x+9 > 0

x2 + x- 6

Analizando los trinomios:

x2 – 6x +9 ∆= (-6)2-4(1)(9)=0 solución doble . X Є R – {-3}x2 +x - 6 ∆= (1)2-4(1)(-6)>0 soluciones reales y diferentes

La Inecuación equivalente es:

1 > 01 ; x≠ 3; x ≠ -3; x≠ 2

(x+3)(x-2)

Luego, tenemos:

(x+3)(x-2)>0 ; x≠ 3; x ≠ -3; x≠ 2

-3 2+-+

CS = U - {3}

Llamadas también inecuaciones deorden superior y tienen lassiguientes formas:

Donde:

{a0,a1,a2,….an} Є R ; a0 ≠0; n Є Z; n≥ 3

INECUACIONES POLINOMICAS

a0 xn + a1 x

n-1 + a2 xn-2 + … + an > 0

a0 xn + a1 x

n-1 + a2 xn-2 + … + an ≥ 0

a0 xn + a1 x

n-1 + a2 xn-2 + … + an < 0

a0 xn + a1 x

n-1 + a2 xn-2 + … + an ≤ 0

Existen 3 casos para resolverinecuaciones polinómicas:

CASO I: Cuando los factores del polinomio son demultiplicidad simple

CASO II: Cuando los factores del polinomio sonlineales y algunos de multiplicidad múltiple

CASO III: Cuando los factores del polinomio sonde lineales y cuadráticos

CASO I: Cuando los factores del polinomioson de multiplicidad simple

Ejemplo: Hallar el conjunto solución:x4 + 2x3 - 9x2 - 2x +8 >0

Se resuelve:Se factoriza la expresiónCada factor se iguala a cero para hallar lospuntos críticos.Se grafica los puntos críticos en la rectanumérica.Se coloca +,-,+,- sucesivamenteEl C.S serán positivos si P(X)>0 o serán negativossi P(x) 0

Igualando cada factor a cero para hallar los puntos críticos:x+4=0 x+1=0 x-1=0 x-2= 0x=-4 x=-1 x=1 x=2

Graficando en la recta numérica:

CS = U U

-4 - 1 1 2

+-- ++

CASO II: Cuando los factores del polinomio son lineales y algunos de multiplicidad múltiple

Sea (x-r) un factor del polinomio que se repite mveces, entonces puede ocurrir lo siguiente:1. Si m es par

(x-r)m(x-a)(x-b)>0 ↔ (x-a)(x-b) y x≠r (restricción)(x-r)m(x-a)(x-b)

CASO II: Cuando los factores del polinomio son lineales y algunos de multiplicidad múltiple

Sea (x-r) un factor del polinomio que se repite mveces, entonces puede ocurrir lo siguiente:2. Si m es impar

(x-r)m(x-a)(x-b)>0 ↔ (x-r)(x-a)(x-b)(x-r)m(x-a)(x-b)

CASO III: Cuando los factores del polinomio son de lineales y cuadráticos

Cuando el factor cuadrático no tiene soluciones enlos reales entonces se puede prescindir de esefactor. Para ello analizamos usando eldiscriminante.

∆ = b2 -4ac

Ejemplo:

Hallar el conjunto solución: x5 -2x4 –x3 -2x 2-20x +24 < 0

Solución:Factorizando: (x+2)(x-1) (x-3)(x2+4) < 0

El factor (x2+4) no tiene soluciones en los reales, entonces La inecuación equivalente es:

(x+2)(x-1) (x-3)< 0

-2 1 3++ -

C.S = U

-

Teoremas a tener en cuenta para la resolución de inecuaciones con radicales:

INECUACIONES CON RADICALES

Teorema 1Si a ≥ 0 y b ≥ 0 → √a ≤ √b ↔ 0 ≤ a ≤bSi a ≥ 0 y b ≥ 0 → √a < √b ↔ 0 ≤ a 0 ^ a ≤b2)Si √a 0 ^ a 0

√a < 0 ↔ a < 0

INECUACIONES CON RADICALES

Ejemplo: Resolver:

-

<

Por teorema se tiene:Si a ≥ 0 y b ≥ 0 → √a < √b ↔ 0 ≤ a

INECUACIONES EXPONENCIALES

Las inecuaciones exponenciales tienen la siguiente forma:

b P(x) < b Q(x)

b P(x) > b Q(x)

Donde P(x) y Q(x) son polinomios. Para resolverlas se tiene en cuenta:

b P(x) ≤ b Q(x)

b P(x) ≥ b Q(x)

PRIMER CASO: si b>1

b P(x) > b Q(x) ↔ P(x) >Q(x)

b P(x) < b Q(x) ↔ P(x)

INECUACIONES EXPONENCIALES

Ejemplo: Resolver 16(2x-2)x < Ejemplo: Resolver (0,25)(1,25) < -x2+2

[( 4-x

24(2x2-2x)

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Teoremas a tener en cuenta para resolverinecuaciones con valor absoluto:

│x │≥ y ↔ x ≥ y ó x ≤ y│x │≤ y ↔ - y ≤ x ≤ y│x │≤│ y│ ↔ x 2≤ y2

Ejemplo: Resolver │2x + 1 │≥ 2Solución:2x + 1 ≥ 2 ó 2x + 1 ≤ 2X ≥ ½ x ≤ -3/2

-3/2 1/2

C.S = U

Ejemplo: Resolver │4 - x │