Factorización I

Piensa en un número par mayor que 10 ... ¿lo tienes?

... ok!!

Bueno, ahora ese número escríbelo al lado izquierdo

sobre la línea punteada y al lado derecho completa el número que falta:

... = 7 + ...

A estos números se

les llama SUMANDOS.

Ahora, el número pensado, escríbelo nuevamente al lado

izquierdo, sobre la línea punteada y al lado derecho completa de acuerdo a la operación indicada:

Ejemplos: • P(x) = (x - 7) (x + 5) (x - 7); (x + 5) factores primos

• Q(x) = 5x (x2 + 3) x; (x2 + 3) factores primos

Métodos de factorización Factor común.- Dado un polinomio se extrae el MCD de los coeficientes, luego la(s) variable(s) común(es) a todos los términos es extraída con el menor exponente. Estos dos resultados se multiplican y son colocados al exterior de un par de paréntesis, en cuyo interior queda el cociente de dividir cada término con el producto hallado.

... = ... x ...

A estos números se les llama FACTORES.

¿Parece difícil? ... no es así ... observa. Factorizar: • 7x2 + 5x3y MCD (7; 5) = 1

Notarás que el número que pensaste puede ser escrito

de dos maneras: el primer caso con SUMANDOS y el

segundo con FACTORES. Cuando un número se escribe

como en el último caso, se dice que está FACTORIZADO y

esto nos interesa muchísimo, pues vamos a aplicar esta

idea ya no a los números, sino a los polinomios.

¡Ah! ... lo olvidaba ... en Álgebra, al indicar el PRODUCTO

de polinomios, no se utiliza el símbolo “X”, sino los signos

de colección: ( ); [ ]; { } o a veces se colocan las

variables una al lado de otra. Observa:

• Multiplicar: 7x2 + 5 por 3x - 7 (7x2 + 5)(3x - 7)

• Multiplicar: 3a2 por b5 3a2b5

Parte teórica

Factorización de polinomios.- Es un proceso mediante el cual un polinomio es escrito como un producto de factores primos.

¿Qué es un factor primo?

Es otro polinomio de grado positivo que es divisible por

sí mismo y la unidad.

Recuerda: 3; 5 y 7 son números primos (divisible por sí mismos y la unidad)

De igual modo: (x+1); (x - 5) factores primos (divisibles por sí mismos y por la unidad)

variable común = x2

luego: 7x2 + 5x3y = x2(7 + 5xy)

• 12x4y3 - 18x2y5 + 6x3y2 MCD (12; 18; 6) = 6

variables comunes = x2y2

luego: 6x2y2 (2x2y - 3y3 + x)

Agrupación de términos.- Consiste en agrupar convenientemente los términos del polinomio para aplicar luego el factor común. Generalmente las agrupaciones son de 2 en 2 ó de 3 en 3. Observa: Factorizar:

• E = am - bm + an - bn

E = m(a - b) + n(a - b)

E = (a - b)(m + n)

• P = ax + bx + cx + ay + by + cy

P = x(a + b + c) + y(a + b + c)

P = (a + b + c)(x + y)

Identidades.- En este método se hará uso directo de los

Productos Notables: Trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, trinomio al cubo, etc.

Factorizar:

• 4x2 - 25 = (2x + 5)(2x - 5)

se utilizó DIFERENCIA DE CUADRADOS.

• 9 + x2 + 6x = (x + 3)2

se utilizó el trinomio cuadrado perfecto.

Existen otros métodos de factorización, sin embargo hoy veremos únicamente éstos dos.

Problemas resueltos

1. Factorizar: P(a) = (a + 1)(a - 2) + 8(a + 1)

Resolución:

El factor común es el binomio: (a + 1) Luego se tiene:

P(a) = (a + 1)(a - 2 + 8) P(a) = (a + 1)(a + 6)

El polinomio tiene dos factores primos.

2. Factorizar: (x + y)(z - 2) - (x - y)(2 - z)

Indicar los factores primos.

Resolución:

Cambiando de signo al segundo factor del último término resulta:

(x + y)(z - 2) - (x - y)-[(z - 2) ]

+

(x + y)(z - 2) + (x - y)(z - 2)

extraemos el factor común: (z - 2)

3. Factorizar: (a + b - 1)(r + 2) - r - 2

e indicar la suma de sus factores primos.

Resolución:

Agrupando los dos últimos términos en un paréntesis la expresión se convierte en:

(a + b - 1)(r + 2) - (r + 2)

el factor común es el binomio: (r + 2)

(r + 2)(a + b - 1 - 1)

(r + 2)(a + b - 2)

se observa que los factores primos son:

(r + 2) y (a + b - 2)

Luego la suma de sus factores primos será:

(r + 2) + (a + b - 2)

r + a + b

4. Factorizar: mn4 - 5m2n3 + 4m3n2 - 20m4n

indicar el número de factores primos.

Resolución:

El factor común es "mn".

Luego:

mn[n3 - 5mn2 + 4m2n - 20m3]

Agrupando de dos en dos:

mn[(n3 - 5mn2) + (4m2n - 20m3)]

común: n2 común: 4m2

mn[n2(n - 5m) + 4m2(n - 5m)]

ahora el factor común es el binomio: n - 5m

m.n (n - 5m)(n2 + 4m2)

Luego:

m n

(z - 2)[x + y + x - y]

(z - 2)(2x) = 2x (z - 2)

Los factores primos son: n - 5m 2 2

n + 4m

Luego los factores primos son: x; (z - 2) el número de factores primos es 4.

5. Factorizar: 25x2 - 81y2

Resolución:

Recordando: a2 - b2 = (a + b)(a - b)

25x2 - 81y2 = (5x)2 - (9y)2

= (5x + 9y)(5x - 9y)

6. Factorizar: x2 + 10x + 25 - y2

Resolución:

Recordando: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

x2 + 10x + 25 = (x + 5)2

Luego:

(x + 5)2 - y2 = (x + 5 + y)(x + 5 - y)

7. Factorizar: ab2 + ac2 + bc2 + ba2

Resolución:

Agrupando de dos en dos convenientemente:

ab2 + ac

2 + bc

2 + ba

2

(ab2 + bc2) + (ac2 + ba2)

b[ab + c2 ] + a[c2 + ab]

común

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

• x2 + 3x5 =

• 7x5 - 2x3 =

• 6x + 6y + 6 =

• a2x + a3y + a4 =

• -3x2a - 6x5a =

• -21xy4 - 3xy5 =

• -5x2y + 10x7y =

• 6xa4 - 9xa6 =

• 8x2 + 4x =

• 24x3 - 16x2 + 8x =

• 5xn+5 + 10xn+8 - 15xn+4 = • an-1bn+5 - 2an-8bn =

• 2(a + b) + x(a + b) =

• x2(a - b) + 7(a - b) =

• m3(a + b) + 2m(a + b) =

• 7a5(x + y) - 3a2(x + y) =

• 3b(2x + 3) + 2x + 3 =

• x2 +y2 - 5y(x2 + y2) =

• y2(a2 + b2) - a2 - b2 =

• - a - b + 2(a + b) =

Luego: (ab + c2)(b + a)

Bloque II 1. Factorizar los siguientes polinomios:

Bloque I

Problemas para la clase • 5x2(a - b) + 3(b - a) =

• x(a + b - c) - y(c - a - b) =

• 4x7(a - b) - 8x5(b - a) =

Factorizar lo indicado en cada ejercicio aplicando "FACTOR COMÚN".

1.

• 7m + 7n =

• ax + ay =

2.

• 12x + 4 =

• 15m + 5 =

2. Factorizar las siguientes expresiones:

• (2x + 3)(a + b) + (x - 7)(a + b) =

• (x - 1)(a - b) + (2x - 5)(a - b) =

• (3x - 5)(a - b) - (2x + 7)(b - a) =

3. Factorizar lo siguiente:

• xy + xz + y + z =

• ab + ac + b2 + bc =

• ab + bx - ay - xy =

4. Factorizar:

• 2p2 + 3ap + 4p + 6a =

• xy + 2ay - 2bx - 4ab =

• a2x2 + b2x2 + a2y2 + b2y2 =

En los siguientes ejercicios aplicar el método de

"IDENTIDADES".

4. Indicar el número de factores primos luego de factorizar:

P(x) = x2(x + y) - y2(x + y)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5. Factorizar: P

(x ; y) = 25x2 - 100y2

5.

6.

7.

8.

9.

10.

• a2 - 25 =

• 36 - x2 =

• n4 - 16 =

• 9x2 - 16 =

• 25a2 - 36b2 =

• 4a10 - 9 =

• 49x8 - 25 =

• x8 - 16 =

• (a + b)2 - c2 =

• (m +n)2 - x2 =

• 144 - (a + b)2 =

• 16x2 - (3x + 1)2 =

• x2 + 2x + 1 =

• x2 + 10x + 25 =

• x2 - 14x + 49 =

• n2 - 4n + 4 =

• 25a2 - 10b + 1 =

• 36x2 - 60xy + 25y2 =

a) 25(x + 2y)(x - 2y)

b) (25x + 100y)(25x - 100y)

c) (x + 10y)(25x - 10y)

d) 25(x + y)(x - y)

e) (x + y)(x - 5y) 6. Factorizar: P(x) = x4 - 1

a) (x + 1)(x3 - 1) b) (x3 + 1)(x - 1)

c) (x2 + 1)(x + 1)(x - 1) d) (x2)(x + 1)(x - 1)

e) (x2 - 1)(x + 1)(x - 1) 7. Factorizar: P

(x ; y ; z) = x2 + 4xy + 4y2 - z2

Indicar la suma de sus factores primos.

a) x + 4y b) 2x + y c) x + 2y d) 2x + 4y e) 2x - 4y

8. Factorizar:

P(x) = acx2 + adx + bcx + bd + cx + d e indicar un factor primo.

a) ax + b + 1 b) ax + b c) a + x d) x + b e) ax

9. Factorizar:

P(x) = x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1

Bloque III 1. Indicar el número de factores primos de:

P(x) = (x + 1)(x - 1)(x + 6)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. El número de factores primos del polinomio:

P(x) = 23(x + 1)4(x - 6)5(x - 2)3, es:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

3. Factorizar: P

(x ; y) = ax + ay + bx + by

a) (x + y)(a + b) b) (x + a)(y + b)

c) (xa + 1)(xb + 1) d) (x + 1)(y + a + b)

e) (x + y + 1)(a + b)

a) (x4 + 1)(x + 1)(x2 + 1) b) (x2 + 1)(x5 + 1) c) (x4 + 1)(x2 - 1)x d) (x + 1)(x6 + 1) e) (x4 + 1)(x3 + 1)

10.Factorizar:

P(x, y) = x2 + 6x + 9 - 4y2, e indicar el número de factores primos.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Autoevaluación 4. Factorizar: P

(x) = 4x2

- 49

1. Al factorizar: P

(x ; y) = ax + ay - a, se obtiene:

a) a(x + y) b) a(x + y - a) c) a(x + y + 1) d) a(x + y - 1)

a) (2x + 7)(2x - 7) b) (7 + 2x)(7 - 2x) c) (4x + 49)(4x - 49) d) (4x + 7)(4x - 7) e) (2x2 + 7)(2x2 - 7)

e) a(x - y) 5. Factorizar: P (x)

= x2 - 6x + 9

2. Cuando se factoriza: P(x ; y)

= 6x2 + 15x3 - 9x4, se obtiene:

a) 3x2(2x + 5x2 - 3x3) b) 3x(2 + 5x2 - 3x3) c) 3x2(2 + 5x - 3x2) d) 3x(2 + 5x + 3x2) e) 3x2(2 + 5x + 3x2)

3. Factorizar: P

(x) = 3x(2 + 5b) + 2 + 5b

a) (2 + 5b)(3x + 1) b) (2 + 5b)3x

c) (3b + 5)2x d) (5 + 3x)(2b + 1)

e) (2b + 5)3x

a) (x + 3)(x - 3) b) (x + 3)2

c) (x - 9)2 d) (x - 6)(x + 6)

e) (x - 3)2

Claves 1. d

2. c

3. a

4. a

5. e

NOTAS CURIOSAS

A continuación, y también en el próximo capítulo, podrás encontrar algunos efectos ópticos o también llamadas "ILUSIONES", cuyos orígenes se deben individualmente a las particularidades anatómicas y fisiológicas del ojo. Estas ilusiones son debidas a efectos como el "punto ciego", la "irradiación", el "astigmatismo", "el cansancio de la retina", etc.

ILUSIÓN ÓPTICA 1: IRRADIACIÓN Observa a una distancia de 30 cm la figura izquierda y verás qué lados del cuadrado parece que tienen un rebajo en el centro como el de la figura derecha.

ILUSIÓN ÓPTICA 2: PUNTO CIEGO

Esta ilusión es conocida como "el experimento de Mariotté". Cierra el ojo derecho y mira fijamente (sin parpadear) con el izquierdo la crucesita superior a una distancia de 20 a 25 cm, durante 30 segundos. Notarás que el gran círculo blanco que hay en medio desaparece por completo.

ILUSIÓN ÓPTICA 3: ASTIGMATISMO

Mira estas letras con un ojo, ¿son todas iguales de negras? Por lo general una de ellas parece más negra que las demás. Pero si giras la figura 45º ó 90º, otra letra parecerá más negra que las demás.

ILUSIÓN ÓPTICA 4: CANSANCIO DE RETINA

Ahora, concentra la vista en el cuadradito blanco que está arriba; al cabo de medio minuto aproximadamente, notarás que desaparece la franja blanca que hay debajo.

2 AÑO

Factorización II

Con el transcurrir de los años, el hombre ha tratado de

mejorar su estilo de vida, creando cosas para su comodidad,

su beneficio o para su ahorro (sea de tiempo o económico).

Por ejemplo, Leibnitz creó una pequeña "máquina de

cálculos aritméticos" (ahora conocida como calculadora)

con la cual, su trabajo se volvió más sencillo y breve.

Posterior a esto, (a inicios del siglo XX) se desarrolla la

• Si tenemos el polinomio: P(x) = x2 - 5x - 14

y queremos hallar: P(7)

Entonces reemplazamos: x = 7

Así: P(7) = 72 - 5(7) - 14

Entonces:

2

primera computadora llamada ENIAC, la cual facilitaba el

trabajo científico al realizar muchos cálculos en segundos;

pero aún así, poseía un sistema de manejo complejo y

laborioso (se utilizaban tarjetas perforadas por cada

operación), motivo por el cual este invento fue cambiando

poco a poco. Imagínate, que esta primera computadora

tenía las dimensiones de dos salones juntos!!

P(7) = 7 - 5(7) - 14

1 2

= 49 - 35 - 14 3

= 49 - 49

4

= 0

Cuenta el número de operaciones para obtener el resultado.

• Por otro lado, utilizando la factorización tenemos:

x2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2)

Así: P(x) = (x - 7)(x + 2)

Reemplazando el valor indicado se tiene:

Luego, durante las últimas tres décadas del siglo pasado

y hasta la fecha, la evolución de las computadoras ha sido

tremenda. Ahora hay computadoras del tamaño de un

portafolio, del tamaño de un cuaderno, en el celular o hasta

en el reloj!!...

¡¡Imagina eso!!

P(7) = (7 - 7)(7 + 2)

1 2

= 0 . 9 3

= 0

Cuenta el número de operaciones

para obtener el resultado.

En resumen, el hombre ha logrado muchísimo en busca

de su comodidad, beneficio y ahorro.

Con respecto a esta última palabrita: AHORRO quiero

contarte que, aunque no lo creas, la FACTORIZACIÓN nos

permite ahorrar tiempo al hacer cálculos aritméticos. "¿Y

cómo así?"... dirás tú; observa:

En el primer caso fueron necesarias cuatro operaciones

para obtener el resultado, mientras que en el segundo caso se hicieron sólo tres.

“RECUERDA”- En una expresión factorizada se ahorra tiempo al calcular su valor numérico.

3. = 18x2

Parte teórica

Nos falta completar un par de métodos para finalizar el tema de factorización.

ASPA SIMPLE. Se utiliza para factorizar trinomios de la forma:

Ax2m Bxm yn

Cy2n

Problemas resueltos 1. Factorizar: x2y2 + xy - 12

Resolución:

Utilizando el aspa simple:

x2 y2 + xy - 12

Nótese que los exponentes centrales son la mitad que los extremos.

xy + 4

xy - 3

4xy

-3xy

xy

Procedimiento: 1. Se descompone los extremos en factores.

2. La suma del producto en aspa debe dar el término central.

3. Los factores se toman en forma horizontal.

Observa:

Factorizar:

x 2 + 7x + 12

Luego la respuesta es: (xy + 4)(xy - 3)

2. Factorizar: -10 - 3y + y2

Resolución:

Ordenando y aplicando el aspa simple:

y 2 - 3y - 10

x +4

x +3

4x +

3x

7x

y - 5

y + 2

-5y

2y

-3y

Luego la respuesta es: (x + 4)(x + 3) ASPA DOBLE.- Se utiliza para factorizar polinomios de seis términos de la forma:

Luego la respuesta es: (y - 5)(y + 2)

Ax2m Bxm yn

Cy2n Dxm

Eyn F

F a c t o r i z a r : P (x; y)

Resolución:

- 3xy - 10y2

Procedimiento: 1. Aplicar aspa simple 1°, 2° y 3° términos

Por el aspa simple se tiene:

18x 2 - 3xy - 10y 2

2. Aplicar aspa simple 3°, 5° y 6° términos

3. Aspa simple de verificación 1°, 4° y 6° términos

4. Los factores se toman en forma horizontal.

NOTA: Antes de factorizar asegurarse que el polinomio esté ordenado según la forma general.

6x

3x La respuesta es:

- 5y

+ 2y

-15xy

12xy

-3xy

Observa:

P(x; y) = (6x - 5y)(3x + 2y)

Factorizar:

x 2 + 3xy + 2y 2 + 4x + 7y + 3

4. Factorizar: (m - 1)4 - 5(m - 1)2 + 4

Indicando la suma de sus factores primos.

x +2y

x +y

+1 Resolución:

+3

(m - 1)4 - 5(m - 1)2 + 4

I. xy + 2xy

3xy

II. 6y + y

7y

III. 3x + x

4x

(m - 1)2

(m - 1)2

- 4 - 4(m - 1)2

- 1 - (m - 1)2

Luego la respuesta: (x + 2y +1)(x + y + 3) - 5(m - 1)2

Luego: [(m - 1)2 - 4][(m - 1)2 - 1]

Recordando:

Bloque I

Problemas para la clase

a2 - b2 = (a + b)(a - b)

[(m - 1)2 - 22][(m - 1)2 - 12]

(m - 1 + 2)(m - 1 - 2)(m - 1 + 1 )(m - 1 - 1)

(m + 1)(m - 3)(m)(m - 2)

Finalmente la suma de sus factores primos es:

m + 1 + m - 3 + m + m - 2

4m - 4

5. Factorizar: 2x2 - xy - y2 - x - 5y - 6

Resolución:

Aplicando el aspa doble:

2x 2

- xy - y 2

- x - 5y - 6

Aplicando el método del aspa simple, factorizar los siguientes polinomios: 1.

• x2 + 9x + 20 =

• a2 + 12a + 32 =

• x2 + 7x + 10 =

2.

• m2 + 4m + 3 =

• x2 - 11x + 24 =

• x2 - 5x - 14 =

3.

• a2 - 3a - 70 =

• x2 - 3x - 40 =

• x2 - 30 - 7x =

4.

• -2 + x2 + x =

• 8 + a2 - 9a =

• -4y + 3 + y2 =

2x +y I III II

x - y

+3

- 2

verificación

5.

• 7x - 60 + x2 =

• -15 + 2x + x2 =

• -60 + y2 + 7y = I. -2xy +

xy

-xy

II. -3y + -2y

-5y

III. -4x + 3x

-x

6.

• m8 - m4 - 12 =

• a4 + 12a2 + 27 = La respuesta es:

(2x + y + 3)(x - y - 2)

6. Factorizar: 14x2 - 7xy - 3x - 2y - 2

Resolución:

Completando el polinomio con “0y2”

• x10 - 3x5 - 10 = Aplicando el método del aspa doble, factorizar:

7. x2 + 3xy - 4y2 + 4x + y + 3

8. x2 + 6xy + 5y2 + 3x + 7y + 2

9. x2 + 3xy + 2y2 + 5y + 4x + 3

10. x2 + 5xy + 6y2 + 9x + 25y + 14

11. x2 + 3xy - 10y2 + x + 19y - 6

14x2

- 7xy + 0y2

- 3x - 2y - 2

12. x2 + 2xy - 3y2

- 2x + 10y - 8

7x 0y

I III

2x - y

2

II -1

verificación

Bloque II 1. Factorizar el polinomio:

2x2 + 13x + 15

I. -7xy + 0xy

-7xy

II. 0y + -2y

-2y

III. -7x + 4x

-3x

a) (x + 3)(x + 5)

b) (x + 3)(x - 5)

c) (x + 5)(3x + 2)

La respuesta es:

(7x + 0y + 2)(2x - y - 1) (7x + 2)(2x - y - 1)

d) (2x + 5)(x + 3)

e) (2x + 3)(x + 5)

2. Indicar el resultado al factorizar:

3x2 + 10x + 3

a) (3x + 3)(x + 1) b) (3x + 1)(x + 3)

c) (x + 1)(x + 3) d) (x - 3)(x - 1)

e) (3x + 3)(3x + 1) 3. Factorizar el polinomio:

9. Aplicando el método del aspa doble, factorizar:

x2 + 9xy + 14y2 - 3x - 11y + 2

Indicar uno de sus factores.

a) (x - 7y + 2) b) (x + 2y - 1) c) (x - 7y - 2) d) (x + 2y + 1) e) (x + 7y + 2)

10.Utilizar "aspa doble" para indicar uno de los factores

de:

4y2 - 22y + 10

a) (4y - 2)(y - 5) b) (2y + 2)(2y + 5) c) (4y - 5)(y - 2) d) (y + 20)(y + 2) e) (4y + 2)

4. Indicar el resultado al factorizar:

54x2 - 15x - 50

a) (6x - 5)(9x + 10) b) (6x - 10)(9x + 5) c) (6x + 5)(9x - 10) d) (18x + 5)(3x - 10) e) (18x - 10)(3x + 5)

5. Aplicar "aspa simple" para factorizar:

(x + 1)2 + 5(x + 1) + 6

a) (x + 3)(x + 2) b) (x + 4)(x + 3)

c) (x + 1)(x + 6) d) (x + 2)(x + 1) e) (x + 5)(x + 1)

6. Factorizar:

(x + y)2 + (x + y) - 110

a) (x + y - 11)(x + y + 10) b) (x - y - 10)(x - y - 11)

c) (x - y + 10)(x - y + 11) d) (x + y + 11)(x + y - 10) e) (x + y + 10)(x - y - 11)

7. Factorizar la expresión:

(a + 3)2 - 14(a + 3) + 48

a) (a - 6)(a - 8) b) (a + 3)(a - 5) c) (a - 3)(a + 5) d) (a - 3)(a - 5) e) (a + 6)(a + 8)

8. Factorizar:

(x - 2)2 - 12 + 4(x - 2)

a) (x + 4)(x - 4) b) (x + 3)(x + 2) c) (x - 2)(x + 1) d) (x - 2)(x - 1) e) (x + 7)x

2x2 - xy - y2 + 13x + 2y + 15

a) 2x + y + 3 b) x + y - 5 c) 2x - y + 3 d) x - y - 5 e) 2x - y - 3

Bloque III 1. Factorizar:

F(x; y) = x2 + 6xy + 9y2 + 2x + 6y - 15

la suma de sus factores primos es:

a) 2x + 6y + 3 b) 2x + 6y + 2 c) 2x + 10y + 2 d) 2x + 5y - 14 e) 2x + 10y - 1

2. Factorizar:

F(x; y) = 4x2 - 13xy + 10y2 + 12x - 15y

Señalar un factor primo.

a) x + 2y + 3 b) 4x + 5y c) 4x + 2y + 3 d) 4x - 5y e) 4x - 2y + 3

3. Factorizar:

P(x; y) = 5x2 - xy - 7x + 2y - 6

Indicar el factor primo binomio.

a) x - 2 b) x + 2 c) y - 3 d) y + 2 e) x + 6

4. Factorizar:

Q(x; y) = x2 + 2xy - 15y2 + 2x + 34y - 15

la suma de sus factores primos es:

a) 2(x + y + 1) b) x + y + 1

c) 2x + y - 4 d) 2x - y - 14 e) 2x + 2y - 11

a) x - 9 b) x5 + 9 c) x - 2

d) x5 + 2 e) x5 + 3

)

5. Factorizar: F(x) = (x2 + 2x)2 + (x2 + 2x) - 12 Indique un factor primo.

a) x2 + x + 1 b) x2 + 2x - 4 c) x2 + 2x - 3 d) x + 3

e) x + 1 6. Factorizar:

(a + 5)2 - 8(a + 5) + 12

a) (a - 1)(a + 3) b) (a - 1)(a - 3) c) (a + 1)(a - 3) d) (a + 2)(a - 6) e) (a + 6)(a + 2)

7. Factorizar: 18a2 + 27a + 4

a) (9a + 2)(2a + 2) b) (6a + 4)(3a + 1) c) (6a + 1)(3a + 4) d) (3a + 2)(6a + 3) e) (9a + 1)(2a + 4)

Autoevaluación

1. Factorizar el polinomio:

P(x)

= x2 + 2x - 24

a) (x + 2)(x - 6) b) (x + 6)(x - 4) c) (x + 8)(x - 3) d) (x - 6)(x + 4) e) (x + 4)(x - 2)

2. Indicar los factores del polinomio:

P(m)

= m2 - 3m - 10

a) (m + 5)(m - 2) b) (m - 5)(m - 2) c) (m - 5)(m + 2) d) (m + 5)(m + 2) e) (m - 10)(m - 3)

8. Factorizar: x10 - x5 - 2 3. Factorizar:

P

(a) = a2 + 5a + 6

a) (x5 6

x5

1

3

b) (x5 + 1)(x5 + 3) a) (a + 6)(a + 1) b) (a + 5)(a + 1) c) (a + 3)(a + 2) d) (a + 5)(a + 6)

c) (x4 + 2)(x6 - 1) d) (x5 + 2)(x5 - 1)

e) (x5 - 2)(x5 + 1) 9. Factorizar: P(x) = x4n - 5x2n + 4; n ZZ + de grado “n”.

e) (a + 4)(a + 2)

4. Indicar uno de los factores de:

Indicar la suma de sus factores primos. Con “n” par.

a) 3xn b) 2xn c) 4xn

d) xn e) 1

10.Factorizar: x4 - 2x3 + x2

P(x) = x10 - 7x5 - 18

Indicar el número de factores primos. 5. Factorizar el polinomio:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

P

(x ; y)

= x2 + 2xy + y2 + 3x + 3y + 2

Indicar uno de sus factores.

a) x + 2y + 2 b) x + 3y + 2 c) x + y + 3 d) x + y + 1 e) x + 2y + 3

Claves

1. b

2. c

3. c

4. d

5. d

NOTAS CURIOSAS

Como ya se había mencionado, en este capítulo veremos

algunas ilusiones ópticas:

¡Observa bien! Aparentemente las curvas de esta figura son espirales, sin embargo son circunferencias. Esto puedes comprobarlo con un compás.

Ahora verás que estas curvas aparentan ser figuras

ovaladas, sin embargo, son nuevamente, circunferencias.

¡Compruébalo con un compás!

Lo que observas a continuación, es la denominada

"Ilusión de Hering", a cierta distancia, las dos líneas horizontales aparentan estar curvas, sin embargo no lo están. ¡Compruébalo con una regla!

Y en esta última ilusión, las líneas de las letras parecen estar quebradas, sin embargo, no lo están. ¡Compruébalo con una regla!