PREALGEN EL INTERIOR:Un enfoque de aprendizaje de Preálgebra

Probado por los estudiantes, Aprobado por los docentes

Un nuevo método de aprendizaje desarrollado pensando en ti.

RICHARD N. AUFMANN JOANNE S. LOCKWOOD

EDICIÓN DEL ESTUDIANTE

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En el sitio web de PREALG encontrarás herramientas que crean un ambiente de aprendizaje emocionante, las cuales incluyen:

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Probado por los estudiantesAprobado por los docentes,

GEOL PHYSICSEARTH

http://latinoamerica.cengage.com/4ltr/prealg

PREALGRICHARD N. AUFMANN JOANNE S. LOCKWOOD

© D.R. 2013 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc.Corporativo Santa FeAv. Santa Fe núm. 505, piso 12Col. Cruz Manca, Santa FeC.P. 05349, México, D.F.Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso.

DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfi co, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemasde información a excepción de lo permitidoen el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

Traducido del libro PREALG2010-2011 EditionRichard N. Aufmann y Joanne S. LockwoodPublicado en inglés por Brooks/Cole, una compañíade Cengage Learning ©2011ISBN 13: 978-0-538-73555-1

Datos para catalogación bibliográfi ca:Aufmann, Richard N. y Joanne S. LockwoodPREALG.

ISBN 13: 978-607-481-892-5

Visite nuestro sitio en:http://latinoamerica.cengage.com

Impreso en México1 2 3 4 5 6 7 15 14 13 12

PREALGRichard N. Aufmann y Joanne S. Lockwood

Presidente de Cengage Learning LatinoaméricaFernando Valenzuela Migoya

Director editorial, de producción y de plataformas digitales para LatinoaméricaRicardo H. Rodríguez

Gerente de procesos para LatinoaméricaClaudia Islas Licona

Gerente de manufactura para LatinoaméricaRaúl D. Zendejas Espejel

Gerente editorial decontenidos en españolPilar Hernández Santamarina

Coordinador de manufacturaRafael Pérez González

EditoresJavier Reyes Gloria Luz Olguín Sarmiento

Imagen de la portada© John Lund/Getty Images; Jon Feingersh/Getty Images

Composición tipográfi caBaktun 13 ComunicaciónGerardo Larios García

iii

ContenidoCapítulo 1

Los números naturales 21.1 Introducción a los números naturales 3

A Relaciones de orden entre números naturales 3

B Valor posicional 5

C Redondeo 7

D Gráfi cas estadísticas 9

1.2 Suma y resta de números naturales 13A Sumar números naturales 13

B Restar números naturales 19

C Calcular el perímetro de una fi gura 22

1.3 Multiplicación y división de números naturales 26A Multiplicar números naturales 26

B Exponentes 30

C Dividir números naturales 33

D Factores y factorización con números primos 36

E Calcular el perímetro y área de un cuadrilátero 39

1.4 Solución de ecuaciones con números naturales 42A Resolver ecuaciones 42

B Convertir un enunciado en una ecuación 44

1.5 El orden o jerarquía de las operaciones 46

ContenidoCapítulo 2

Los números enteros 502.1 Introducción a los números enteros 51

A Los números enteros y la recta numérica 51

B Opuestos 54

C Valor absoluto 56

D Números enteros negativos 57

2.2 Suma y resta de números enteros 59A Sumar números enteros 59

B Restar números enteros 63

2.3 Multiplicación y división de números enteros 68A Multiplicar números enteros 68

B Dividir números enteros 71

2.4 Solución de ecuaciones con números enteros 74A Resolver ecuaciones 74

B Convertir un enunciado en una ecuación 76

2.5 El orden o jerarquía de las operaciones 79

iv

v

ContenidoCapítulo 3

Fracciones 823.1 Mínimo común múltiplo y máximo

común divisor 83A Mínimo común múltiplo (MCM) 83

B Máximo común divisor (MCD) 85

3.2 Introducción a las fracciones 87A Fracciones propias, fracciones impropias y números

mixtos 87

B Fracciones equivalentes 90

C Relaciones de orden entre dos fracciones 92

3.3 Multiplicación y división de fracciones 94A Multiplicar fracciones 94

B Dividir fracciones 98

C Calcular el área de un triángulo 101

3.4 Suma y resta de fracciones 102A Sumar fracciones 102

B Restar fracciones 107

3.5 Solución de ecuaciones con fracciones 111A Resolver ecuaciones 111

B Aplicaciones 114

3.6 Exponentes, fracciones complejas y el orden de las operaciones 115A Exponentes 115

B Fracciones complejas 117

C El orden de las operaciones 119

ContenidoCapítulo 4

Decimales y números reales 1224.1 Introducción a los decimales 123

A Valor posicional 123

B Relaciones de orden entre decimales 126

C Redondeo 128

4.2 Suma y resta de decimales 130

4.3 Multiplicación y división de decimales 135A Multiplicar decimales 135

B Dividir decimales 139

C Fracciones y decimales 143

4.4 Solución de ecuaciones con decimales 146

4.5 Expresiones radicales 148A Raíz cuadrada de cuadrados perfectos 148

B Raíz cuadrada de números naturales 151

4.6 Números reales 154A Números reales y la recta numérica real 154

B Desigualdades con una variable 158

C Convertir expresiones verbales en símbolos

matemáticos 161

vi

vii

ContenidoCapítulo 5

Expresiones algebraicas 1625.1 Propiedades de los números reales 163

A Aplicación de las propiedades de los números reales 163

B Propiedad distributiva 168

5.2 Expresiones algebraicas en su forma más simple 170A Suma de términos semejantes 170

B Expresiones algebraicas generales 173

5.3 Suma y resta de polinomios 175A Suma de polinomios 175

B Resta de polinomios 177

5.4 Multiplicación de monomios 179A Multiplicación de monomios 179

B Potencias de monomios 181

5.5 Multiplicación de polinomios 184A Multiplicación de un polinomio por un monomio 184

B Multiplicación de dos binomios 185

5.6 División de monomios 187A División de monomios 187

B Notación científi ca 190

5.7 Expresiones verbales y expresiones algebraicas 192A Traducción de expresiones verbales en expresiones

algebraicas 192

B Traducción y simplifi cación de expresiones verbales 195

ContenidoCapítulo 6

Ecuaciones de primer grado 1986.1 Ecuaciones de la forma x + a = b

y ax = b 199A Ecuaciones de la forma x � a � b 199

B Ecuaciones de la forma ax � b 203

6.2 Ecuaciones de la forma ax + b = c 206A Ecuaciones de la forma ax � b � c 206

B Uso de fórmulas conocidas 208

6.3 Ecuaciones generales de primer grado 209A Ecuaciones de la forma a x � b � c x � d 209

B Ecuaciones con paréntesis 211

C Principio de la palanca de Arquímedes 213

6.4 Traducción de expresiones en ecuaciones 215

6.5 El sistema de coordenadas rectangulares 218A El sistema de coordenadas rectangulares 218

B Diagramas de dispersión 222

6.6 Gráfi cas de rectas 224A Solución de ecuaciones lineales con dos variables 224

B Ecuaciones de la forma y � mx � b 227

viii

ix

ContenidoCapítulo 7

Medida y proporción 2327.1 El Sistema Métrico Decimal 233

7.2 Razones y tasas 237

7.3 El Sistema Inglés de Unidades 240A El sistema de unidades acostumbrado en Estados

Unidos 240

B Conversión entre el Sistema Inglés y el Sistema Métrico

Decimal 244

7.4 Proporción 246

7.5 Variación directa e inversa 251A Variación directa 251

B Variación inversa 253

ContenidoCapítulo 8

Porcentajes 2568.1 Porcentajes 257

A Porcentajes como decimales o fracciones 257

B Fracciones y decimales como porcentajes 259

8.2 La ecuación básica de porcentaje 261A La ecuación básica de porcentaje 261

B Problemas de porcentajes utilizando proporciones 265

8.3 Incremento y decremento porcentual 267A Incremento porcentual 267

B Decremento porcentual 269

8.4 Margen de utilidad y descuento 270A Margen de utilidad 270

B Descuento 273

8.5 Interés simple 275

x

xi

ContenidoCapítulo 9

Geometría 2789.1 Introducción a la geometría 279

A Problemas relacionados con líneas y ángulos 279

B Problemas relacionados con ángulos formados por la

intersección de dos rectas 285

C Problemas relacionados con los ángulos de un triángulo 289

9.2 Figuras geométricas planas 291A Perímetro de una fi gura geométrica plana 291

B Área de una fi gura geométrica plana 297

9.3 Triángulos 303A El teorema de Pitágoras 303

B Triángulos semejantes 306

C Triángulos congruentes 310

9.4 Sólidos 312A Volumen de un sólido 312

B Área superfi cial de un sólido 316

ContenidoCapítulo 10

Probabilidad y estadística 32210.1 Organización de datos 323

A Distribuciones de frecuencias 323

B Histogramas 326

C Polígonos de frecuencias 328

10.2 Medidas estadísticas 330A La media, la mediana y la moda de una distribución 330

B Diagramas de caja y brazos 334

C Desviación estándar de una distribución 337

10.3 Introducción a la probabilidad 339 A Probabilidad de eventos simples 339

B Las posibilidades a favor o en contra de un

evento 344

Índice analítico 349

xii

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PREALGAre you in?

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capítulo 1

1.1 Introducción a los números naturalesA Relaciones de orden entre números naturales

B Valor posicional

C Redondeo

D Gráficas estadísticas

1.2 Suma y resta de números naturalesA Sumar números naturales

B Restar números naturales

C Calcular el perímetro de una figura

1.3 Multiplicación y división de números naturalesA Multiplicar números naturales

B Exponentes

C Dividir números naturales

D Factores y factorización con números primos

E Calcular el perímetro y el área de un cuadrilátero

1.4 Solución de ecuaciones con números naturalesA Resolver ecuaciones

B Convertir un enunciado en una ecuación

1.5 El orden o jerarquía de las operaciones

Los números naturales

1. Menciona la cantidad de ◆ que aparecen a continuación.

◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆

2. Escribe los números del 1 al 10.

1 ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ 10

3. Relaciona el número con su forma escrita.

a. 4 A. cinco

b. 2 B. uno

c. 5 C. cero

d. 1 D. cuatro

e. 3 E. dos

f. 0 F. tres

4. ¿Cuántas banderas estadounidenses contienen el color verde?

5. Escribe en palabras, no con dígitos, el número de estados de Estados Unidos de América.

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2

Los números naturales son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . . .

Los tres puntos significan que la lista continúa indefinidamente y que no hay un número natural que sea el mayor de todos. Los números naturales también se llaman números cardinales.

Aunque existe cierto debate en cuanto a la inclusión del 0 dentro de los números naturales, los matemáticos de mayor renombre lo consideran dentro. Así, los números naturales son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . . incluido el cero.

Así como las distancias se asocian con las marcas que aparecen en el borde de una regla, los números naturales pueden relacionarse con puntos en una recta. Esta recta se llama recta numérica y se ilustra a continuación.

140 2 4 6 8 10 121 3 5 7 9 11 13

La punta de flecha a la derecha indica que la recta numérica continúa hacia la derecha.

n

En algunos contextos,

en vez de cero, se dice

nada o nulo. La palabra

love, para decir cero en el

marcador de un partido

de tenis, viene del francés

l’oeuf, que signifi ca “el

huevo”.

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mas

z Za

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OBJETIVO A Relaciones de orden entre números naturales

Introducción a los números naturales1.1

3

Para representar gráficamente un número natural, se coloca un punto grande sobre la recta numérica directamente encima del número. A continuación se ilustra en la recta numérica el 6.

NotAUn símbolo de desigualdad,

o , apunta hacia el número menor. El símbolo se abre hacia el número mayor.

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DEJEMPLO 1 En la recta numérica, ¿qué número está 3 unidades a la derecha de 4?

Solución 3

0 3 6 9 121 4 7 102 5 8 11

7 está 3 unidades a la derecha de 4.

DINTÉNTALO 1 En la recta numérica, ¿qué número está 4 unidades a la izquierda de 11?

Tu solución

DEJEMPLO 2 Escribe entre los dos números el símbolo correcto, � o �.

a. 38 � 23 b. 0 � 54

Solución a. 38 � 23 b. 0 � 54

DINTÉNTALO 2 Escribe entre los dos números el símbolo correcto, � o �.

a. 47 � 19 b. 26 � 0

Tu solución

140 2 4 6 8 10 121 3 5 7 9 11 13

En la recta numérica los números son mayores a medida que nos movemos de izquierda a derecha y, a la inversa, los números son menores a medida que nos desplazamos de derecha a izquierda. Por tanto, la recta numérica se utiliza para visualizar la relación de orden entre dos números naturales.

Un número que aparece a la derecha de otro número determinado es mayor que ese número. El símbolo > significa es mayor que.

8 está a la derecha de 3. 140 3 6 9 121 4 7 10 132 5 8 118 es mayor que 3.

8 � 3

Un número que aparece a la izquierda de otro número determinado es menor que ese número. El símbolo < significa es menor que.

5 está a la izquierda de 12. 140 3 6 9 121 4 7 10 132 5 8 115 es menor que 12.

5 � 12

Una desigualdad expresa el orden relativo de dos expresiones matemáticas. 8 � 3 y 5 � 12 son desigualdades.

4 C a p í t u l o 1 : L o s n ú m e r o s n a t u r a l e s

DPRÁCTICA

Relaciones de orden entre números naturales

1. Llena el espacio en blanco con � o �: en la recta numérica, 2 está a la izquierda de 8, por tanto, 2 8.

Localiza en la recta numérica el número.

2. 10

0 3 6 9 121 4 7 102 5 8 11

Indica qué número está en la recta numérica

3. 4 unidades a la izquierda de 9. 4. 3 unidades a la derecha de 2.

Escribe entre los dos números el símbolo correcto, , o ..

5. 27 39 6. 0 52 7. 61 0 8. 4,610 4,061

Escribe los números dados ordenándolos del menor al mayor.

9. 21, 14, 32, 16, 11 10. 377, 370, 307, 3,700, 3,077

OBJETIVO B Valor posicionalCuando un número natural se escribe con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, se dice que está en forma entera o forma normal. La posición de cada dígito en el número determina el valor posicional de ese dígito. El siguiente diagrama muestra una gráfica de valores posicionales que indica los primeros doce valores posicionales. La cifra 64,273 está en forma entera y se ha escrito en la gráfica.

En el número 64,273, la posición del dígito 6 determina que su valor posicional es el de las decenas de millar.

Cuando un número se escribe en forma entera, cada grupo de dígitos se separa por una coma y se llama periodo. El número 5,316,709,842 tiene cuatro periodos. Los nombres de los periodos se muestran en magenta en la gráfica anterior de valores posicionales.

Para escribir un número en palabras, se empieza a partir de la izquierda. Se menciona el número en cada periodo y luego se escribe el nombre del periodo en lugar de la coma.

5,316,709,842 se lee “cinco mil trescientos dieciséis millones setecientos nueve mil ochocientos cuarenta y dos”.

Unidad

es

Decen

as

Centen

as

Unidad

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mill

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Decen

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mill

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mill

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Unidad

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mill

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Decen

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milla

r de m

illón

Centen

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milla

r de m

illón

37246

pf

Edp

Ccl

Pn

Para representar los números,

los romanos utilizaban M para

indicar 1,000, D para 500, C

para 100, L para 50, X para 10,

V para 5 y I para 1. Por ejemplo,

MMDCCCLXXVI representaba

el número 2,876. Los romanos

representaban así cualquier

número, hasta el más grande

que necesitaran en su vida

cotidiana, excepto el cero.© T

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S e c c i ó n 1 . 1 : I n t r o d u c c i ó n a l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s 5

Para escribir con dígitos un número natural, escribe el número que se menciona en cada periodo y sustituye el nombre de cada periodo por una coma.

Seis millones cincuenta y un mil ochocientos setenta y cuatro se escribe 6,051,874. El cero se utiliza como indicador de posición de las centenas de millar.

El número natural 37,286 se puede escribir con notación desarrollada como

30,000 � 7,000 � 200 � 80 � 6

Para determinar la notación desarrollada de un número, se puede utilizar la gráfica de valores posicionales.

68273

Unidad

es

Decen

as

Centen

as

Unidad

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Decen

as de

mill

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mill

ar

Unidad

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mill

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mill

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milla

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illón

3Decenas de millar

�

7Unidades de millar

�

2Centenas �

8Decenas �

6Unidades

30,000 � 7,000 � 200 � 80 � 6

Escribe con notación desarrollada el número 510,409.

904015

Unidad

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Decen

as

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as

Unidad

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5Centenas de millar

�

1Decenade millar

�

0Unidades de millar

�

4Centenas �

0Decenas �

9Unidades

500,000 � 10,000 � 0 � 400 � 0 � 95 500,000 1 10,000 1 400 1 9

DEJEMPLO 3 Escribe con números cuatrocientos seis mil nueve.

Solución 406,009

DINTÉNTALO 3 Escribe con números novecientos veinte mil ocho.

Tu solución

DEJEMPLO 4 Escribe con notación desarrollada 32,598.

Solución 30,000 1 2,000 1 500 1 90 1 8

DINTÉNTALO 4 Escribe con notación desarrollada 76,245.

Tu solución

6 C a p í t u l o 1 : L o s n ú m e r o s n a t u r a l e s

DPRÁCTICA

Escribe con palabras el número.

11. 508 12. 4,790 13. 48,297 14. 246,053

Escribe con notación desarrollada el número.

15. cuatrocientos noventa y seis 16. quinientos dos mil ciento cuarenta

17. cinco millones doce mil novecientos siete 18. ocho millones cinco mil diez

Escribe con notación desarrollada el número.

19. 7,245 20. 402,708

Cuando la distancia al sol se da como 93,000,000 millas, el número representa una aproximación a la verdadera distancia. Se llama redondeo a asignar un valor aproximado en lugar de un número exacto. El número se redondea a un determinado valor posicional.

48 está más cerca de 50 que de 40. 48 redondeado a la decena más cercana es 50.

4,872 redondeado a la decena más cercana es 4,870.

4,872 redondeado a la centena más cercana es 4,900.

Para redondear un número a un valor posicional dado sin usar la recta numérica, se toma en cuenta el primer dígito a la derecha del valor posicional dado.

Redondea 12,743 a la centena más cercana.

Valor posicional dado

12,743

4 , 5

12,743 redondeado a la centena más cercana es 12,700.

Redondea 46,738 al millar más cercano.

Valor posicional dado

46,738

7 . 5

46,738 redondeado al millar más cercano es 47,000.

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

4,870 4,872 4,874 4,876 4,878 4,880

4,800 4,820 4,840 4,860 4,880 4,900

NotASi el dígito a la derecha del valor

posicional dado es menor que 5,

sustituye por ceros ese y todos los

dígitos a la derecha de éste.

OBJETIVO C Redondeo

© iS

tock

phot

o.co

m

Si el dígito a la derecha del valor

posicional dado es mayor que o

igual a 5, suma 1 al dígito que se

encuentra en el valor posicional

dado y sustituye por ceros todos los

demás dígitos a la derecha.

S e c c i ó n 1 . 1 : I n t r o d u c c i ó n a l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s 7

Redondea 29,873 al millar más cercano

Valor posicional dado

29,873

8 . 5 Para redondear, se suma 1 al 9 (9 1 1 5 10).Lleva el 1 al lugar de las decenas de millar (2 1 1 5 3).

29,873 redondeado al millar más cercano es 30,000.

Aviación La velocidad de crucero de un Boeing 747 es de 589 mph. ¿Cuál es

la velocidad de crucero de un Boeing 747 redondeada a la decena de millas por

hora más cercana?

DEJEMPLO 5 Redondea 435,278 a la decena de millar más cercana.

Solución

Valor posicional dado

435,278

5 5 5 435,278 redondeado a la decena de millar

más cercana es 440,000.

DINTÉNTALO 5 Redondea 529,374 a la decena de millar más cercana.

Tu solución

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iSto

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com

DPRÁCTICA

Redondea el número al valor posicional dado.

21. 7,108; decenas 22. 4,962; centenas 23. 28,551; centenas

24. 5,326; unidades de millar 25. 389,702; unidades de millar 26. 352,876; decenas de millar

8 C a p í t u l o 1 : L o s n ú m e r o s n a t u r a l e s

Fortuna (en decenas de millar de millón de dólares)

Bill Gates

Warren Buff ett

Larry Ellison

Jim Walton

S. Robson Walton

Fuente: www.Forbes.com

Figura 1.1 Fortuna de los mayores multimillonarios de Estados Unidos

OBJETIVO D Gráficas estadísticasLas gráficas son imágenes que proporcionan una representación de datos. La ventaja de las gráficas es que muestran la información de manera muy fácil de leer.

Un pictograma utiliza símbolos para representar información. El símbolo elegido tiene relación, por lo general, con los datos que representa.

La figura 1.1 representa la fortuna de los mayores multimillonarios de Estados Unidos. Cada símbolo representa diez mil millones de dólares.

En el pictograma de la figura 1.1, vemos que Bill Gates y Warren Buffett tienen la mayor fortuna. La fortuna de Warren Buffett es 30,000 millones de dólares mayor que la de Larry Ellison.

Una familia típica en Estados Unidos obtiene un ingreso promedio en dólares, después de impuestos, de $40,550. La gráfica circular de la figura 1.2 representa cómo se gasta este ingreso anual. El círculo completo representa la cantidad total, $40,550. Cada sector del círculo representa la cantidad gastada en un rubro específico.

En la gráfica circular observamos que la cantidad mayor se gasta en vivienda. Además, la cantidad que se gasta en comida ($5,793) es menor que la cantidad que se gasta en transporte ($7,034).

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Figura 1.2 Gasto anual promedio de una familia estadounidense 

Vivienda$12,827

Transporte$7,034Comida

$5,793

Otros$4,551

Ropa$2,483

Atenciónmédica$2,069

Entretenimiento$2,069

Seguro y pensiones$3,724

Fuente: American Demographics

S e c c i ó n 1 . 1 : I n t r o d u c c i ó n a l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s 9

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capítulo 2

Los números enterosExamen de preparaciónResuelve este examen rápido para ver si recuerdas el material del capítulo anterior, el cual necesitas conocer para seguir adelante. En los ejercicios 3 a 6 suma, resta, multiplica o divide.

2.1 Introducción a los números enterosA Los números enteros y la recta numérica

B Opuestos

C Valor absoluto

D Números enteros negativos

2.2 Suma y resta de números enterosA Sumar números enteros

B Restar números enteros

2.3 Multiplicación y división de números enterosA Multiplicar números enteros

B Dividir números enteros

2.4 Solución de ecuaciones con números enterosA Resolver ecuaciones

B Convertir un enunciado en una ecuación

2.5 El orden o jerarquía de las operaciones

1. Coloca entre los dos números el símbolo correcto, � o �.

54 45

2. ¿Qué distancia hay de 4 a 8 en la recta numérica?

3. 7,654 1 8,193

4. 6,097 2 2,318

5. 472 3 56

6. 144 4 24

7. Resuelve: 22 5 y 1 9

8. Resuelve: 12b 5 60

9. ¿Qué precio debe tener un monopatín que le cuesta a la tienda $129 y se quiere tener un margen de utilidad de $42? Utiliza la fórmula P 5 C 1 M, donde P es el precio del producto que paga el consumidor, C el costo que paga la tienda por el producto y M el margen de utilidad.

10. Simplifica: 18 2 6 2 2 1 12 4 4 # 32

¿Necesitas ayuda?Para obtener recursos de estudio en línea, como ejercicios de repaso, visita el sitio web de PREALG en http://latinoamerica.cengage.com/4ltr/prealg

50

OBJETIVO A Los números enteros y la recta numérica

Introducción a los números enteros2.1

números Positivos y negativosUn número n es positivo si n . 0.Un número n es negativo si n , 0.

En el capítulo 1 hablamos sólo del cero y los números mayores que cero. En este capítulo se introducen los números menores que cero. Las frases como “7 grados bajo cero”, “$50 en deuda” y “20 metros bajo el nivel del mar” se refieren a números menores que cero.

Los números mayores que cero se llaman números positivos. Los números menores que cero se llaman números negativos.

51

Para indicar un número positivo, se puede colocar antes del número un signo más (�). Por ejemplo, podemos escribir �4 en lugar de 4. Sin embargo, por lo general, el signo más se omite y se sobrentiende que el número es positivo.

Para indicar un número negativo, se coloca antes del número un signo menos o negativo (�) . El número �1 se lee “menos uno”, �2 se lee “menos dos”, etcétera.

La recta numérica se extiende a la izquierda del cero para indicar números negativos.

57 73 42 616 5 4 3 1 02

Los números enteros son . . . �4, �3, �2, �1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . . Los número enteros a la derecha del cero son los enteros positivos. Los número enteros a la izquierda de cero son enteros negativos. El cero es un número entero, pero no es positivo ni negativo. El punto correspondiente a 0 en la recta numérica se llama origen.

En la recta numérica, los números se hacen mayores a medida que avanzamos de izquierda a derecha. Por el contrario, los números se hacen menores a medida que avanzamos de derecha a izquierda. Por tanto, se puede utilizar la recta numérica para visualizar la relación de orden entre dos número enteros.

Un número que aparece a la derecha de un número dado es mayor que (�) dicho número. Un número que aparece a la izquierda de un número dado es menor que (�) dicho número.

2 está a la derecha de �3 en la recta numérica.2 es mayor que �3.2 . 23 4 3 1 0 1 2 3 42

�4 está a la izquierda de 1 en la recta numérica.�4 es menor que 1.24 , 1

relaciones de ordena . b si a está a la derecha de b en la recta numérica.a , b si a está a la izquierda de b en la recta numérica.

Inversiones En el mercado de valores, el cambio neto en el precio de

una acción se escribe como un número positivo o negativo. Si el precio

aumenta, el cambio neto es positivo. Si el precio disminuye, el cambio neto es

negativo. Si el cambio neto de la acción A es �2 y el cambio neto de la acción B

es �1, ¿qué acción registró el menor cambio neto?©

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52 C a p í t u l o 2 : L o s n ú m e r o s e n t e r o s

DEJEMPLO 1 En la recta numérica, ¿qué número está 5 unidades a la derecha de �2?

Solución

24 23 22 21 0 1 2 3 4

5 unidades

3 está 5 unidades a la derecha de �2.

DINTÉNTALO 1 En la recta numérica, ¿qué número está 4 unidades a la izquierda de 1?

Tu solución

DEJEMPLO 2 Si G es 2 e I es 4, ¿qué números son B y D?

A B C D E F G H I

Solución 4 3 2 1 0 1 2 3 4

B es �3 y D es �1.

DINTÉNTALO 2 Si G es 1 y H es 2, ¿qué números son A y C?

A B C D E F G H I

Tu solución

DEJEMPLO 3 Coloca entre los dos números el símbolo correcto, � o �.

a. �3 � �1 b. 1 � �2

Solución a. �3 está a la izquierda de �1 en la recta numérica.

23 , 21 b. 1 está a la derecha de �2 en la recta

numérica. 1 . 22

DINTÉNTALO 3 Coloca entre los dos números el símbolo correcto, � o �.

a. 2 � �5 b. �4 � 3

Tu solución

DEJEMPLO 4 Escribe los números dados ordenándolos de menor a mayor.

5, �2, 3, 0, �6

Solución �6, �2, 0, 3, 5

DINTÉNTALO 4 Escribe los números dados ordenándolos de menor a mayor.

�7, 4, �1, 0, 8

Tu solución

S e c c i ó n 2 . 1 : I n t r o d u c c i ó n a l o s n ú m e r o s e n t e r o s 53

OBJETIVO B Opuestos

DPRÁCTICA

Localiza en la recta numérica el número.

1. �6 2. x, para x 5 24

0 1 2 3 4 5 6 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 26 25 24 23 22 21

En la recta numérica, qué número está:

3. 3 unidades a la derecha de �2. 4. 4 unidades a la izquierda de 3. 5. 2 unidades a la izquierda de �1.

Coloca entre los dos números el símbolo correcto, � o �.

6. 21 �34 7. �27 �39 8. �51 �20

Escribe los números dados ordenándolos de menor a mayor.

9. 3, 27, 0, 22 10. 210, 4, 12, 25, 27

La distancia de 0 a 3 en la recta numérica es de 3 unidades. La distancia de 0 a �3 en la recta numérica es de 3 unidades. 3 y �3 están a la misma distancia de 0 en la recta numérica, sólo que 3 está a la derecha de 0 y �3 está a la izquierda de 0.

Dos números que están a la misma distancia de cero en la recta numérica, pero en lados opuestos de cero se llaman opuestos.

�3 es el opuesto de 3 y 3 es el opuesto de �3.

Para cualquier número n, el opuesto de n es �n y el opuesto de �n es n.

Ahora podemos definir los números enteros como los números naturales y sus opuestos.

Un signo negativo se puede leer como “el opuesto de”.

2(3) 5 23 El opuesto de 3 positivo es 3 negativo.

2(23) 5 3 El opuesto de 3 negativo es 3 positivo.

Por tanto, 2(a) 5 2a y 2(2a) 5 a.

Observa que con la introducción de los enteros negativos y los opuestos, los símbolos � y � se pueden leer de diferentes maneras.

3

0 31 223 1

3L

n

D

P

A

Nota sobre el uso de calculadoras

La tecla ��� de la calculadora se utiliza para encontrar el opuesto de un número. La tecla � se utiliza para realizar la operación de resta.

54 C a p í t u l o 2 : L o s n ú m e r o s e n t e r o s

6 1 2 “seis más dos” � se lee “más”

�2 “dos positivo” � se lee ”positivo”

6 2 2 “seis menos dos” � se lee ”menos”

22 “menos dos” � se lee ”menos”

2(26) “el opuesto de seis negativo” � se lee primero como “el opuesto de” y luego “negativo”

Cuando los símbolos � y � indican las operaciones de suma y resta, se insertan espacios antes y después del símbolo. Cuando los símbolos � y � indican el signo de un número (positivo o negativo), no hay ningún espacio entre el símbolo y el número.

DEJEMPLO 5 Encuentra el número opuesto.

a. �8 b. 15 c. a

Solución a. 8 b. �15 c. �a

DINTÉNTALO 5 Encuentra el número opuesto.

a. 24 b. �13 c. �b

Tu solución

DEJEMPLO 6 Escribe con palabras la expresión.

a. 7 2 (29) b. 24 1 10

Solución a. siete menos, menos nueve b. menos cuatro más diez

DINTÉNTALO 6 Escribe con palabras la expresión.

a. 23 2 12 b. 8 1 (25)

Tu solución

DEJEMPLO 7 Simplifi ca.

a. 2(227) b. 2(2c)

Solución a. 2(227) 5 27 b. 2(2c) 5 c

DINTÉNTALO 7 Simplifi ca.

a. 2(259) b. 2(y)

Tu solución

DPRÁCTICA

Encuentra el opuesto del número.

11. �31 12. c 13. �w

Escribe con palabras la expresión.

14. 5 1 (210) 15. 6 2 (27) 16. 9 2 12 17. 213 2 8

Simplifi ca.

18. 2(27) 19. 2(46) 20. 2(2m)

S e c c i ó n 2 . 1 : I n t r o d u c c i ó n a l o s n ú m e r o s e n t e r o s 55

valor absolutoEl valor absoluto de un número positivo es positivo. 0 5 0 5 5

El valor absoluto de un número negativo es positivo. 025 0 5 5

El valor absoluto de cero es cero. 0 0 0 5 0

3

0 31 42234 1

Evalúa 2 0 7 0 .El signo negativo está antes del símbolo de valor absoluto.

Recuerda que un signo negativo se puede leer como “el opuesto de”.

Por tanto, 2 0 7 0 se puede leer como “el opuesto del valor absoluto de 7”.

2 0 7 0 5 27©

Nic

hola

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oto.

com

DEJEMPLO 8 Evalúa a. 0227 0 y b. 2 0214 0 . Solución a. 0227 0 5 27

b. 2 0214 0 5 214

DINTÉNTALO 8 Evalúa a. 0 0 0 y b. 2 0 35 0 . Tu solución

OBJETIVO C Valor absolutoEl valor absoluto de un número es la distancia de cero al número en la recta numérica. La distancia nunca es un número negativo. Por tanto, el valor absoluto de un número es un número positivo o cero. El símbolo de valor absoluto es “ 0 0 .”La distancia de 0 a 3 es de 3 unidades. Por consiguiente, 0 3 0 5 3 (el valor absoluto de 3 es 3).

La distancia de 0 a �3 es de 3 unidades. Por consiguiente, 023 0 5 3 (el valor absoluto de �3 es 3).

Debido a que la distancia de 0 a 3 y la distancia de 0 a �3 son iguales0 3 0 5 023 0 5 3.

3

0 31 42234 1

NotaEn el ejemplo anterior es importante notar que el signo negativo aparece antes del símbolo de valor absoluto.

Esto significa que –⏐7⏐ = –7, pero

⏐–7⏐ = 7.

56 C a p í t u l o 2 : L o s n ú m e r o s e n t e r o s

DEJEMPLO 9 Evalúa 02x 0 para x 5 24.

Solución 02x 0 5 02(24) 0 5 0 4 0 5 4

DINTÉNTALO 9 Evalúa 02y 0 para y 5 2.

Tu solución

DEJEMPLO 10 Escribe los números dados ordenándolos de menor a mayor.

027 0 , 25, 0 0 0 , 2(24), 2 023 0 Solución 027 0 5 7, 0 0 0 5 0, 2(24) 5 4, 2 023 0 5 23 25, 2 023 0 , 0 0 0 , 2(24), 027 0

DINTÉNTALO 10 Escribe los números dados ordenándolos de menor a mayor.

0 6 0 , 022 0 , 2(21), 24, 2 028 0 Tu solución

DPRÁCTICA

Encuentra el valor absoluto del número.

21. �4 22. 9

Evalúa.

23. 0223 0 24. 2 0 33 0

Coloca entre los dos números el símbolo correcto, ,, 5 o ..

25. 0212 0 0 8 0 26. 0214 0 0 14 0

Escribe los números dados ordenándolos de menor a mayor.

27. 028 0 , 2(23), 0 2 0 , 2 025 0 28. 2 0 6 0 , 2(4), 027 0 , 2(29)

29. Encuentra los valores de a para los que 0 a 0 5 7. 30. Dado que x es un número entero, encuentra todos los valores de x para los que 0 x 0 , 5.

OBJETIVO D Números enteros negativosLos datos que se representan por números negativos en una gráfica de barras se muestran debajo del eje horizontal. Por ejemplo, la figura 2.1 en la página siguiente muestra las temperaturas más bajas registradas, en grados Fahrenheit, en algunos estados de Estados Unidos. La temperatura más baja registrada en Hawai es de 12 ºF, que es un número positivo, por lo que la barra que representa esa temperatura está por encima del eje horizontal. Las barras que corresponden a los demás estados aparecen por debajo del eje horizontal y, por tanto, representan números negativos.

S e c c i ó n 2 . 1 : I n t r o d u c c i ó n a l o s n ú m e r o s e n t e r o s 57

DEJEMPLO 11

¿Qué temperatura es más fría, �18 F o �15 F?

Estrategia

Para determinar la temperatura más fría, compara los números �18 y �15. El número menor corresponde a la temperatura más fría.

Solución

218 , 215

La temperatura más baja es �18 F.

DINTÉNTALO 11

¿Qué está más cerca del despegue, �9 segundos y contando o �7 segundos y contando?

Tu estrategia

Tu solución

DPRÁCTICA

31. Negocios Algunas empresas registran la utilidad con un número positivo y la pérdida con un número negativo. Durante el primer trimestre de este año, la pérdida que obtuvo una empresa se registró como �12,575. Durante el segundo trimestre de este año, la pérdida experimentada por la empresa fue de �11,350. ¿En qué trimestre fue mayor la pérdida?

32. Negocios Algunas empresas registran la utilidad con un número positivo y la pérdida con un número negativo. Durante el tercer trimestre del año pasado, la pérdida que obtuvo una empresa se registró como �26,800. Durante el cuarto trimestre del año pasado, la pérdida experimentada por la empresa fue de �24,900. ¿En qué trimestre fue mayor la pérdida?

Figura 2.1 Temperaturas más bajas registradas

260

250

240

230

220

210

0

10

20

Gra

dos

Fahr

enhe

it

Arizon

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240

245

252

22

Califo

rnia

Nueva

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Hawai

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En la gráfica podemos ver que el estado que tiene la temperatura más baja registrada es Nueva York, con una temperatura de �52 F.

ara los onde a la

LO 11

¿Qué está más cerca del despegue, �9 segundos y contando o �7 segundos y contando?

Tu estrategia

Tu solución

idad con un número positivo y la pérdida con unde este año, la pérdida que obtuvo una empresa semestre de este año, la pérdida experimentada por lamayor la pérdida?

con un número positivo y la pérdida con un o pasado, la pérdida que obtuvo una empresa tre del año pasado, la pérdida experimentada ue mayor la pérdida?

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58 C a p í t u l o 2 : L o s n ú m e r o s e n t e r o s

Suma y resta de números enteros2.2

OBJETIVO A Sumar números enterosUn número entero no sólo puede representarse en la recta numérica, sino que es posible representarlo con una flecha en cualquier parte a lo largo de una recta numérica. Un número positivo se representa con una flecha apuntando a la derecha. Un número negativo se representa con una flecha apuntando a la izquierda. El valor absoluto del número se representa por la longitud de la flecha. Los números enteros 5 y �4 se muestran en la recta numérica de la figura siguiente:

0 3 6 91 4 72 5 8

+5 4

–2–3–4 –1–5–7–8–9 –6

La suma de dos números enteros se puede mostrar en la recta numérica. Para sumar dos números enteros, encuentra el punto en la recta numérica que corresponde al primer sumando. En ese punto dibuja una flecha que represente el segundo sumando. La suma es el número que se encuentra directamente debajo de la punta de la flecha.

4 1 2 5 6

+2

0 3 61 4 72 5234 157 6

24 1 (22) 5 26

2

0 3 61 4 72 5234 157 6

24 1 2 5 22

+2

0 3 61 4 72 5234 157 6

4 1 (22) 5 2

2

0 3 61 4 72 5234 157 6

Las sumas que se presentan arriba se categorizan por los signos de los sumandos.

Los sumandos tienen el mismo signo.

4 1 2 4 positivo más 2 positivo 24 1 (22) 4 negativo más 2 negativo

Los sumandos tienen signos diferentes.

24 1 2 4 negativo más 2 positivo 4 1 (22) 4 positivo más 2 negativo

La regla para sumar dos números enteros depende de si los signos de los sumandos son iguales o diferentes.

S e c c i ó n 2 . 2 : S u m a y r e s t a d e n ú m e r o s e n t e r o s 59

Suma: (24) 1 (29)

Los signos de los sumandos son iguales.Suma los valores absolutos de los números.024 0 5 4, 029 0 5 9, 4 1 9 5 13Escribe el signo de los sumandos.(Los dos sumandos son negativos.La suma es negativa.) (24) 1 (29) 5 213

Suma: 214 1 (247)

Los signos son iguales.Suma los valores absolutos de los númerosEscribe el signo de los sumandos. 214 1 (247) 5 261

Suma: 6 1 (213)

Los signos de los sumandos son diferentes.Encuentra los valores absolutos de los números.0 6 0 5 6, 0213 0 5 13Resta el valor absoluto menor del valor absoluto mayor.

13 2 6 5 7Escribe el signo del número con el valor absoluto mayor.0213 0 . 0 6 0 . Escribe el signo negativo. 6 1 (213) 5 27

Suma: 162 1 (2247)

Los signos son diferentes. Encuentra la diferencia entre los valores absolutos de los números.

247 2 162 5 85Escribe el signo del número con el valor absoluto mayor. 162 1 (2247) 5 285

Suma: 28 1 8

Los signos son diferentes. Encuentra la diferencia entre los valores absolutos de los números.

8 2 8 5 0 28 1 8 5 0

regla para sumar dos números enterosPara sumar dos números enteros con el mismo signo, suma los valores absolutos de los números. Luego escribe el signo de los sumandos.

Para sumar dos números enteros con signos diferentes, encuentra los valores absolutos de los números. Resta el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. Luego escribe el signo del sumando que tenga el mayor valor absoluto.

S

S

Nota sobre el uso de calcualdoras

Para sumar 214 1 (247) en la calculadora, ingresa lo siguiente:

14 ��� � 47 ��� �

�14 �47

60 C a p í t u l o 2 : L o s n ú m e r o s e n t e r o s

propiedad del inverso aditivoLa suma de un número y su inverso aditivo es siempre cero.

Observa que en este último ejemplo sumamos un número y su opuesto (�8 y 8), y la suma es 0. El opuesto de un número se llama inverso aditivo. El opuesto o inverso aditivo de �8 es 8, y el opuesto o inverso aditivo de 8 es �8.

Las propiedades de la suma que se presentaron en el capítulo 1 son válidas para los números enteros y para los números naturales. Estas propiedades se repiten en seguida, junto a la propiedad del inverso aditivo.

Propiedad del neutro aditivo

a 1 0 5 ao

0 1 a 5 a

Propiedad conmutativa de

la suma

a 1 b 5 b 1 a

Propiedad asociativa de

la suma(a 1 b) 1 c 5

a 1 (b 1 c)

Propiedad del inverso aditivo

a 1 (2a) 5 0 o

2a 1 a 5 0

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Con las propiedades conmutativas, el orden en que aparecen los números cambia. Con las propiedades asociativas, el orden en que aparecen los números no cambia.

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niem

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Suma: (24) 1 (26) 1 (28) 1 9 (24) 1 (26) 1 (28) 1 9

Suma los primeros dos números. 5 (210) 1 (28) 1 9

Suma la suma al tercer número. 5 (218) 1 9

Continúa hasta que hayas sumado todos los números. 5 29

El precio de las acciones de Byplex Corporation disminuyó cada día que hubo operaciones en la bolsa en la primera semana de junio de 2009. Utiliza la figura 2.2 para encontrar el cambio en el precio de las acciones de Byplex durante esa semana.

Suma los cinco cambios del precio.

22 1 (23) 1 (21) 1 (22) 1 (21)5 (25) 1 (21) 1 (22) 1 (21)5 26 1 (22) 1 (21)5 28 1 (21) 5 29

El cambio en el precio fue de �9.

Esto significa que el precio de las acciones disminuyó $9 por acción.

En el ejemplo de la derecha, comprueba que la suma es igual si los números se

suman en orden diferente.

Figura 2.2 Cambio en el precio de las acciones de Byplex Corporation

Cam

bio

en e

l pre

cio

(en

dóla

res)

STOCK488R/T10

V

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23

24

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22

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S e c c i ó n 2 . 2 : S u m a y r e s t a d e n ú m e r o s e n t e r o s 61

DEJEMPLO 12 Suma: 297 1 (245)

Solución 297 1 (245) 5 2142

DINTÉNTALO 12 Suma: 238 1 (262)

Tu solución

DEJEMPLO 13 Suma: 81 1 (279)

Solución 81 1 (279) 5 2

DINTÉNTALO 13 Suma: 47 1 (253)

Tu solución

DEJEMPLO 14 Suma: 42 1 (212) 1 (230)

Solución 42 1 (212) 1 (230) 5 30 1 (230) 5 0

DINTÉNTALO 14 Suma: 236 1 17 1 (221)

Tu solución

DEJEMPLO 15 ¿Cuánto es �162 más 98?

Solución 2162 1 98 5 264

DINTÉNTALO 15 Realiza la suma de �154 y �37.

Tu solución

DEJEMPLO 16 Evalúa 2x 1 y para x 5 211 y y 5 22.

Solución 2x 1 y 2(211) 1 (22) 5 11 1 (22) 5 9

DINTÉNTALO 16 Evalúa 2x 1 y para x 5 23 y y 5 210.

Tu solución

Evalúa 2x 1 y para x 5 215 y y 5 25.

Sustituye x por �15 y y por �5.Simplifica 2(215).

Suma.

2x 1 y

2(215) 1 (25)

5 15 1 (25)

5 10

x 1 4 5 23

27 1 4 23

23 5 23

DEJEMPLO 17

Calcula la temperatura después de un aumento de 8 °C desde �5 �C.

Estrategia

Para calcular la temperatura, suma el aumento (8) a la temperatura anterior (�5).

Solución

25 1 8 5 3La temperatura es 3 �C.

DINTÉNTALO 17

Calcula la temperatura después de un aumento de 10 °C desde �3 �C.

Tu estrategia

Tu solución

¿Es �7 la solución de la ecuación x 1 4 5 23?

Sustituye x por �7 y luego simplifica.

Los resultados son iguales.

�7 es la solución de la ecuación.

62 C a p í t u l o 2 : L o s n ú m e r o s e n t e r o s

OBJETIVO B Restar números enteros

DPRÁCTICA

Suma.

33. 26 1 (29) 34. 214 1 (23) 1 7 1 (26)

35. Realiza la suma de 5, �16 y �13. 36. Escribe el total de 2a y b.

Evalúa la expresión para los valores dados de las variables.

37. 2a 1 b, para a 5 28 y b 5 23 38. a 1 b 1 c, para a 5 24, b 5 6 y c 5 29

Resuelve.

39. ¿Es �6 la solución de la ecuación 6 5 12 1 n? 40. ¿Es �8 la solución de la ecuación 27 1 m 5 215?

41. Calcula la temperatura después de un aumento de 9 °C desde �6 °C.

Antes de explicar las reglas de la resta de dos números enteros, examina la conversión en palabras de las expresiones que representan la diferencia de dos números enteros.

9 2 3 9 positivo menos 3 positivo

29 2 3 9 negativo menos 3 positivo

9 2 (23) 9 positivo menos 3 negativo

29 2 (23) 9 negativo menos 3 negativo

Observa que el signo 2 se utiliza de dos maneras diferentes. Una es como signo negativo, como en 29 (9 negativo). La segunda es para indicar la operación de resta, como en 9 2 3 (9 menos 3).

Examina las siguientes cuatro expresiones y decide si el segundo número de cada expresión es un número positivo o un número negativo.

1. (210) 2 8 2. (210) 2 (28) 3. 10 2 (28) 4. 10 2 8

En las expresiones 1 y 4, el segundo número es 8 positivo. En las expresiones 2 y 3, el segundo número es 8 negativo.

S e c c i ó n 2 . 2 : S u m a y r e s t a d e n ú m e r o s e n t e r o s 63

regla para la resta de dos números enterosPara restar dos números enteros, suma el opuesto del segundo al primer entero.

Los opuestos se utiliza para reescribir problemas de resta como problemas de suma relacionados. A continuación, observa que la resta de un número natural es lo mismo que la suma del número opuesto.

Resta Suma del opuesto

8 2 4 � 8 1 (24) � 4

7 2 5 � 7 1 (25) � 2

9 2 2 � 9 1 (22) � 7

La resta de números enteros se puede escribir como la suma del número opuesto. Para restar dos número enteros, reescribe la expresión de resta como el primer número más el opuesto del segundo número. A continuación se presentan varios ejemplos:

primernúmero �

segundonúmero �

primernúmero �

opuesto

del segundo

número

8 � 15 � 8 � (�15) � � 7

8 � (�15) � 8 � 15 � 23

�8 � 15 � �8 � (�15) � �23

�8 � (�15) � �8 � 15 � 7

Resta: (215) 2 75

Reescribe la operación de resta como la suma del primer número y el opuesto del segundo número. El opuesto de 75 es �75.Suma.

Resta: 6 2 (220)

Reescribe la operación de resta como la suma del primer número y el opuesto del segundo número. El opuesto de �20 es 20.Suma.

(215) 2 755 (215) 1 (275)

5 290

6 2 (220)5 6 1 205 26

© M

arie

-fran

ce B

élan

ger/

iSto

ckph

oto.

com

64 C a p í t u l o 2 : L o s n ú m e r o s e n t e r o s

Resta: 11 2 42

Reescribe la operación de resta como la suma del primer número y el opuesto del segundo número. El opuesto de 42 es �42.Suma.

Nota sobre el uso de calculadorasPara restar �13 � 5 � (�8) con la calculadora, teclea lo siguiente:

13 ��� � 5 � 8 ��� �

�13 �8

11 2 42

5 11 1 (242)5 231

NotA42 � 11 � 3111 � 42 � �31

La operación de resta no es conmutativa.

Resta: 213 2 5 2 (28)

Reescribe cada resta como la suma del opuesto.

Suma.

213 2 5 2 (28)5 213 1 (25) 1 85 218 1 85 210

Simplifica: 214 1 6 2 (27)

Este problema contiene operaciones tanto de suma como de resta. Reescribe la resta como la suma del opuesto.Suma.

214 1 6 2 (27)5 214 1 6 1 75 28 1 75 21

¿Es �4 la solución de la ecuación 3 2 a 5 11 1 a?

Sustituye a por �4 y luego simplifica.

Los resultados son iguales.

3 2 a 5 11 1 a 3 2 (24) 11 1 (24)

3 1 4 7 7 5 7

Sí, 24 es la solución de la ecuación.

Evalúa a 2 b para a 5 22 y b 5 29.

Sustituye a por �2 y b por �9.Reescribe la resta como la suma del opuesto.Suma.

a 2 b22 2 (29)5 22 1 95 7

DEJEMPLO 18 Resta: 212 2 (217)

Solución 212 2 (217) 5 212 1 17 5 5

DINTÉNTALO 18 Resta: 235 2 (234)

Tu solución

Por la propiedad conmutativa de la suma, el orden en que se suman dos números no afecta la suma; a 1 b 5 b 1 a. Sin embargo, en este último ejemplo observa que el orden en que se restan dos números sí afecta la diferencia.

Cuando la resta ocurre varias veces en una expresión, reescribe cada resta como la suma del opuesto y luego suma.

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S e c c i ó n 2 . 2 : S u m a y r e s t a d e n ú m e r o s e n t e r o s 65

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