Álgebra Intermedia. 8a. Ed. Richard N. Aufmann y Joanne S. Lockwood

ÁlgebraIntermediaRICHARD N. AUFMANN / JOANNE S. LOCK WOOD

8a. Ed.Portada Aufman.indd 1 16/10/12 09:51 a.m.

1 p.m.

Digi

tal V

isio

n

Richard N. AufmannPalomar College

Joanne S. LockwoodNashua Community College

ÁlgebraIntermedia

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TraducciónLorena Peralta Rosales

Sergio Antonio Durán ReyesTraductores profesionales

Revisión técnicaIgnacio García JuárezVinicio Pérez Fonseca

Academia de Matemáticas ECEEUniversidad Panamericana

8a. Ed.

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en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal

del Derecho de Autor, sin el consentimiento

por escrito de la Editorial.

Traducido del libro

Intermediate Algebra, Eight Edition.

Richard N. Aufmann; Joanne S. Lockwood

Publicado en inglés por Brooks/Cole, una compañía de

Cengage Learning © 2013

ISBN: 978-111-57949-4

Datos para catalogación bibliográfica:

Aufmann, Richard N.; Joanne S. Lockwood

Álgebra Intermedia, 8a. Ed.

ISBN: 978-607-481-894-9

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Composición tipográfica:Ediciones OVA

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ContenidoDi

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Prefacio xiii

Este importante capítulo describe las habilidades de estudio que aplican los estudiantes que han tenido éxito en este curso. El capítulo A cubre una amplia variedad de temas que se centran en lo que usted necesita hacer para tener éxito en esta clase. Incluye una guía completa para usar el libro y aprovechar sus características, cuyo propósito es lograr que usted sea un estudiante exitoso.

Capítulo A Aspire al éxito A-1

EXAMEN DE PREPARACIÓN 1

1.1 Introducción a los números reales 2

Desigualdad y valor absoluto 2

Notación de intervalos y operaciones con conjuntos 5

1.2 Operaciones con números enteros 13

Operaciones con números enteros 13

El orden o jerarquía de las operaciones 18

1.3 Operaciones con números racionales 22

Operaciones con números racionales 22

Orden de las operaciones y fracciones complejas 26

Notación decimal 28

1.4 Expresiones algebraicas 33

Propiedades de los números reales 33

Evaluar expresiones algebraicas 35

Simplificar expresiones algebraicas 37

1.5 Expresiones verbales y expresiones algebraicas 43

Convertir una expresión verbal en una expresión algebraica 43

Problemas de aplicación 45

CAPÍTULO 1 Resumen 49

CAPÍTULO 1 Ejercicios de repaso 51

CAPÍTULO 1 Examen 53

Capítulo 1 Los números reales 1

CONTENIDO iii

00_Preliminares_AUFMANN.indd iii 12/10/12 12:59 p.m.

IV CONTENIDO


2.1 Ecuaciones con una variable 56

Resolver ecuaciones utilizando las propiedades de la suma y la multiplicación de ecuaciones 56

Resolver ecuaciones que contienen paréntesis 58


2.2 Mezcla de valores y problemas de movimiento 64

Problemas de mezclas porcentuales 64

Problemas de movimiento uniforme 66

2.3 Aplicaciones: problemas que involucran porcentaje 75

Problemas de inversión 75

Problemas de mezclas porcentuales 77

2.4 Desigualdades con una variable 84

Resolver desigualdades con una variable 84

Resolver desigualdades compuestas 87


2.5 Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto 95

Ecuaciones con valor absoluto 95

Desigualdades con valor absoluto 96





EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS 107


3.1 El sistema de coordenadas rectangulares 110

Fórmulas de distancia y punto medio 110

Graficar una ecuación con dos variables 112

3.2 Introducción a las funciones 120

Evaluar una función 120

Graficar una función 126

Prueba de la recta vertical 127

Capítulo 2 Ecuaciones y desigualdades de primer grado 55

Capítulo 3 Funciones lineales y desigualdades con dos variables 109

00_Preliminares_AUFMANN.indd iv 12/10/12 12:59 p.m.

CONTENIDO v

Capítulo 4 Sistemas de ecuaciones y desigualdades 187

3.3 Expresiones algebraicas 136

Graficar una función lineal 136

Graficar una ecuación de la forma Ax 1 By 5 C 138


3.4 Pendiente de una recta 148

Determinar la pendiente de una recta dados dos puntos 148

Graficar una recta dados un punto y la pendiente 151

Tasa de cambio promedio 154

3.5 Determinación de ecuaciones de rectas 161

Determinar la ecuación de una recta dados un punto y la pendiente 161

Determinar la ecuación de una recta dados dos puntos 163


3.6 Rectas paralelas y perpendiculares 168

Determinar ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares 168

3.7 Desigualdades con dos variables 176

Graficar el conjunto solución de una desigualdad con dos variables 176 CAPÍTULO 3 Resumen 179





4.1 Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método gráfico y por el método de sustitución 188

Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método gráfico 188

Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución 191

4.2 Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de suma y resta 196

Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables por el método de suma y resta 196

Resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables por el método de suma y resta 198

4.3 Solución de sistemas de ecuaciones utilizando determinantes y matrices 204

Evaluar los determinantes 204

Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando la regla de Cramer 207

Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando matrices 210

4.4 Problemas de aplicación 221

Problemas de velocidad del viento y velocidad de la corriente 221


00_Preliminares_AUFMANN.indd v 12/10/12 12:59 p.m.

VI CONTENIDO

4.5 Solución de sistemas de desigualdades lineales 229

Graficar el conjunto solución de un sistema de desigualdades lineales 229






5.1 Expresiones con exponentes 242

Multiplicar monomios 242

Dividir monomios y simplificar expresiones con exponentes negativos 244

Notación científica 248


5.2 Introducción a los polinomios 255

Evaluar funciones polinomiales 255

Sumar y restar polinomios 259

5.3 Multiplicación de polinomios 265

Multiplicar un polinomio por un monomio 265

Multiplicar dos polinomios 266

Multiplicar polinomios que tienen productos especiales 268


5.4 División de polinomios 275

Dividir un polinomio entre un monomio 275

Dividir polinomios 276

División sintética 278

Evaluar un polinomio utilizando la división sintética 280

5.5 Introducción a la factorización 285

Factorizar un polinomio para obtener un monomio 285

Factorizar por agrupamiento de términos 286

5.6 Factorización de trinomios 290

Factorizar trinomios de la forma x2 1 bx 1 c 290

Factorizar trinomios de la forma ax2 1 bx 1 c 292

Capítulo 5 Polinomios y exponentes 241

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CONTENIDO vii

5.7 Factorización especial 299

Factorizar la diferencia de dos cuadrados perfectos y de trinomios cuadrados perfectos 299

Factorizar la suma o la diferencia de dos cubos 301

Factorizar trinomios que están en forma cuadrática 302

Factorizar completamente 302

5.8 Solución de ecuaciones por factorización 307

Resolver ecuaciones por factorización 307







6.1 Introducción a las funciones racionales 324

Encontrar el dominio de una función racional 324

Simplificar expresiones racionales 325

6.2 Operaciones con expresiones racionales 331

Multiplicar y dividir expresiones racionales 331

Sumar y restar expresiones racionales 333

6.3 Fracciones complejas 342

Simplificar fracciones complejas 342

6.4 Ecuaciones racionales o fraccionarias 346

Resolver ecuaciones fraccionarias 346

Problemas de trabajo 348

Problemas de movimiento uniforme 350

6.5 Razones y proporciones 358

Proporciones 358

Problemas de proporciones 359

6.6 Ecuaciones literales 368

Resolver ecuaciones literales 368





Capítulo 6 Expresiones racionales 323

00_Preliminares_AUFMANN.indd vii 12/10/12 12:59 p.m.

VIII CONTENIDO


7.1 Exponentes racionales y expresiones radicales 380

Simplificar expresiones con exponentes racionales 380

Escribir expresiones con exponentes como expresiones radicales y viceversa 381

Simplificar expresiones radicales que son raíces de potencias perfectas 383

7.2 Operaciones con expresiones radicales 388

Simplificar expresiones radicales 388

Sumar y restar expresiones radicales 389

Multiplicar expresiones radicales 391

Dividir expresiones radicales 392

7.3 Funciones radicales 401

Encontrar el dominio de una función radical 401

Graficar una función radical 402

7.4 Solución de ecuaciones que contienen expresiones radicales 407

Resolver ecuaciones con una o más expresiones radicales 407


7.5 Números complejos 414

Simplificar números complejos 414

Sumar y restar números complejos 416

Multiplicar números complejos 416

Dividir números complejos 418





Capítulo 7 Exponentes racionales y radicales 379

Capítulo 8 Ecuaciones cuadráticas y desigualdades 431


8.1 Resolver ecuaciones cuadráticas por medio de factorización o utilizando raíces 432

Resolver ecuaciones cuadráticas por el método de factorización 432

Resolver ecuaciones cuadráticas utilizando raíces 434

8.2 Solución de ecuaciones cuadráticas por el método de completar el cuadrado y mediante la fórmula general o cuadrática 439

Resolver ecuaciones cuadráticas por el método de completar el cuadrado 439

Resolver ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula general o cuadrática 442

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CONTENIDO ix

8.3 Ecuaciones que se pueden reducir a ecuaciones cuadráticas 450

Ecuaciones de forma cuadrática 450

Ecuaciones radicales 452

Ecuaciones fraccionarias 453

8.4 Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas 458


8.5 Propiedades de las funciones cuadráticas 464

Gráfica de una función cuadrática 464

Encontrar las intersecciones con el eje x de una parábola 468

8.6 Aplicaciones de las funciones cuadráticas 478

Problemas de máximos y mínimos 478

Aplicaciones de los máximos y mínimos 478

8.7 Desigualdades no lineales 484

Resolver desigualdades no lineales 484





Capítulo 9 Funciones y relaciones 497

9.1 Traslaciones de gráficas 498

Graficar mediante traslaciones 498

9.2 Álgebra de funciones 504

Efectuar operaciones aritméticas con funciones 504

Encontrar la composición de dos funciones 506

9.3 Funciones uno-a-uno e inversas 512

Determinar si una función es uno-a-uno 512

Encontrar la inversa de una función 514





00_Preliminares_AUFMANN.indd ix 12/10/12 12:59 p.m.

X CONTENIDO

Capítulo 10 Funciones exponencial y logarítmica 529

Capítulo 11 Sucesiones y series 581


10.1 Funciones exponenciales 530

Evaluar funciones exponenciales 530

Graficar funciones exponenciales 532

10.2 Introducción a los logaritmos 539

Escribir ecuaciones exponenciales y logarítmicas equivalentes 539

Propiedades de los logaritmos 542

10.3 Gráficas de funciones logarítmicas 552

Graficar funciones logarítmicas 552

10.4 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 558

Resolver ecuaciones exponenciales 558

Resolver ecuaciones logarítmicas 561

10.5 Aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas 566







11.1 Introducción a las sucesiones y las series 582

Escribir los términos de una sucesión 582

Evaluar una serie 583

11.2 Sucesiones y series aritméticas 588

Encontrar el n-ésimo término de una sucesión aritmética 588

Evaluar una serie aritmética 590


11.3 Sucesiones y series geométricas 596

Encontrar el n-ésimo término de una sucesión geométrica 596

Series geométricas finitas 598

Series geométricas infinitas 600


00_Preliminares_AUFMANN.indd x 12/10/12 12:59 p.m.

CONTENIDO xi

Capítulo 12 Secciones cónicas 619

11.4 Desarrollo binomial 607

Desarrollar (a 1 b)n 607






12.1 La parábola 620

Graficar parábolas 620

12.2 El círculo 626

Encontrar la ecuación de un círculo y luego graficarla 626

Escribir la ecuación de un círculo en forma ordinaria y luego graficarla 628

12.3 La elipse y la hipérbola 633

Graficar una elipse con centro en el origen 633

Graficar una hipérbola con centro en el origen 634

12.4 Solución de sistemas de ecuaciones no lineales 639

Resolver sistemas de ecuaciones no lineales 639

12.5 Desigualdades cuadráticas y sistemas de desigualdades 645

Graficar el conjunto solución de una desigualdad cuadrática con dos variables 645

Graficar el conjunto solución de un sistema de desigualdades no lineal 646




EXAMEN FINAL 657

APÉNDICE

Tabla de propiedades 661

Guía para el uso del teclado del modelo TI-83 Plus y TI-84 Plus 663SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO S1

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS R1

GLOSARIO G1

ÍNDICE I1

ÍNDICE DE APLICACIONES I9

00_Preliminares_AUFMANN.indd xi 12/10/12 01:00 p.m.

00_Preliminares_AUFMANN.indd xii 12/10/12 01:00 p.m.

1C A P Í T U L O

Concéntrese en el éxito

EXAMEN DE PREPARACIÓN

Digi

tal V

isio

n

¿Está listo para tener éxito en este capítulo?Resuelva el examen de preparación siguiente para averiguar si está listo para aprender material nuevo.

Para los ejercicios 1 a 8, sume, reste, multiplique o divida.

1. 5

121

7

30 2.

8

152

7

20

3. 5

6# 4

15 4.

4

154

2

5

5. 8 1 29.34 1 7.065 6. 92 2 18.37

7. 2.19 13.42 8. 32.436 4 0.6

9. ¿Cuáles de los números siguientes son mayores que 28?

(i) 26 (ii) 210 (iii) 0 (iv) 8

10. Una cada fracción con su equivalente decimal.

a. 1

2 A. 0.75

b. 7

10 B. 0.89

c. 3

4 C. 0.5

d. 89

100D. 0.7

OBJETIVOS

1.1 1 Desigualdad y valor absoluto

2 Notación de intervalos y operaciones con conjuntos

1.2 1 Operaciones con números enteros

2 El orden o jerarquía de las operaciones

1.3 1 Operaciones con números racionales

2 Orden de las operaciones y fracciones complejas

3 Notación decimal

1.4 1 Propiedades de losnúmeros reales

2 Evaluar expresiones algebraicas

3 Simplificar expresiones algebraicas

1.5 1 Convertir una expresión verbal en una expresión algebraica

2 Problemas de aplicación

Los números reales

¿Ha leído Aspire al éxito? Describe las habilidades de estudio empleadas por los estudiantes que han te-nido éxito en sus cursos de matemáticas. Este prefacio le proporciona consejos sobre cómo permanecer motivado, administrar su tiempo y prepararse para los exámenes. También incluye una guía completa para el libro y cómo usar sus características para tener éxito en este curso. Aspire al éxito comienza en la página A-1.

02_Cap-01_parte1_AUFMANN.indd 1 12/10/12 05:02 p.m.

2 CAPÍTULO 1 Los números reales

OBJETIVO Desigualdad y valor absolutoParece ser una característica humana colocar elementos parecidos en el mismo grupo. Por ejem-plo, un astrónomo coloca las estrellas en constelaciones y un geólogo divide la historia de la Tierra en eras.

Asimismo, los matemáticos colocan objetos con propiedades similares en conjuntos. Un con-junto es una colección de objetos llamados elementos del conjunto. Los conjuntos se denotan al colocar entre llaves los elementos del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de las primeras cinco letras del alfabeto es 5a, b, c, d, e6. El símbolo para indicar que “es un elemento de” es [; el símbolo para “no es un elemento de” es o. Por ejemplo,

a [ 5a, b, c, d, e6 d [ 5a, b, c, d, e6 k o 5a, b, c, d, e6Los números que usamos para contar cosas, como el número de personas en una ciudad o el número de especies diferentes de flores, se llaman números naturales.

Números naturales 5 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, c6Cada número natural diferente de 1 es ya sea un número primo o un número compuesto. Un número primo es un número natural diferente de 1, es divisible en partes iguales entre sí mismo y 1. Los primeros seis números primos son 2, 3, 5, 7, 11 y 13. Un número compuesto es un número natural, diferente de 1, que no es un número primo. Los números 4, 6, 8, 9, 10 y 12 son los primeros seis números compuestos.

Aunque existe cierto debate en torno a la inclusión del cero dentro del conjunto de los números naturales, los matemáticos de mayor renombre lo consideran dentro.

Números naturales 5 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, c6Los números naturales por sí mismos no proporcionan todos los números que se utilizan en las aplicaciones. Por ejemplo, un meteorólogo necesita números menores y mayores que cero.

Números enteros 5 5c, 25, 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5, c6Los números enteros c, 25, 24, 23, 22, 21 son enteros negativos. Los números enteros1, 2, 3, 4, 5, c son enteros positivos. Observe que los números naturales y los enteros positivos son el mismo conjunto de números. El entero cero no es ni un número positivo ni un número negativo.

Aun hay otros números que son necesarios para resolver la diversidad de problemas de aplicación que existen. Por ejemplo, quizás un arquitecto paisajista debe comprar tubería de riego con un diámetro de 58 pulg. Los números que pueden escribirse en la forma de una fracción p

q, donde p y q son enteros y q ? 0, se llaman números racionales.

5 e p

q, q 2 0 fNúmeros racionales donde p y q son enteros y

Ejemplos de números racionales son 23, 2 92 y 5

1. Observe que 51 5 5, por tanto, todos los enteros son números racionales. El número 4

p no es un número racional debido a que p no es un entero.

Los números que pueden escribirse como decimales finitos o últimos o como decimales perió-dicos son números racionales. Para los decimales periódicos, colocamos una barra sobre los dígitos que se repiten.

0.5 2.34 26.20137 7

Decimales periódicos 0.3 5 0.33 c1.267 5 1.26767 c 24.10782 5 24.10782782 c

Decimales finitos o últimos

Introducción a los números reales1.1

Punto de interésLa Osa Mayor, conocida por los griegos como Ursa Major, la osa más grande, es una constelación que puede verse en latitudes del norte. Las estrellas de la Osa Mayor son Alkaid, Mizar, Alioth, Megrez, Phecda, Merak y Dubhe. La estrella en la curva de la manija, Mizar, es en realidad dos estrellas, Mizar y Alcor. Una línea imaginaria desde Merak atraviesa Dubhe y llega hasta Polaris, la estrella del norte.

Punto de interésEl concepto del cero se desarrolló paulatinamente a lo largo de varios siglos. Ha sido denotado de diversas maneras por un espacio en blanco, un punto y finalmente como 0. Los números negativos, aun cuando es evidente en los manuscritos chinos que datan del 200 a.C., se integraron completa-mente a las matemáticas hasta finales del siglo XIV.


SECCIÓN 1.1 Introducción a los números reales 3

Algunos números no pueden escribirse como decimales finitos o periódicos. Estos números incluyen 0.01001000100001c, !7 < 2.6457513 y p < 3.1415927. Estos números tienen representaciones decimales que no son finitas ni periódicas. Se les llama números irracionales. Los números racionales y los números irracionales tomados en conjunto son los números reales.

Números reales 5 5números racionales y números irracionales6 La relación entre los distintos conjuntos de números se muestra en la figura siguiente.

Números naturales (Enteros positivos)

Cero Enteros Números racionales

Números irracionales

Números reales

Enteros negativos

en la identificación de los conjuntos a los cuales pertenece un número

Determine cuáles de los números siguientes son

a. números enteros b. números racionales c. números irracionales

d. números reales e. números primos f. números compuestos

21, 23.347, 0, 5, 6.101, !48, 2.2020020002 c, 63, 19

2,

20

!7

a. Enteros: 21, 0, 5, 63

b. Números racionales: 21, 23.347, 0, 5, 6.101, 63, 19

2

c. Números irracionales: !48, 2.2020020002 c, 20

!7d. Números reales: 21, 23.347, 0, 5, 6.101, !48, 2.2020020002 c, 63,

19

2,

20

!7e. Números primos: 5

f. Números compuestos: 63

La gráfica de un número real se traza al colocar un punto grueso en una recta numérica direc-tamente encima del número. Las gráficas de algunos números reales se muestran abajo.

0 531–5 –4 –3 –2 –1 42

π–2.34 12

– 53

17

Considere estos enunciados:

El chef de un restaurante preparó un platillo y lo sirvió al cliente.

Un árbol de maple estaba plantado y éste creció 2 pies en un año.

En el primer enunciado, “lo” significa el platillo; en el segundo enunciado, “éste” significa el árbol. En el lenguaje, las palabras lo y éste pueden representar muchos objetos diferentes. Del mismo modo, en las matemáticas una letra del alfabeto se puede usar para representar algunos números. Una letra utilizada de esta manera se llama variable.

Es conveniente utilizar una variable para que represente, o simbolice, cualquiera de los ele-mentos de un conjunto. Por ejemplo, el enunciado “x es un elemento del conjunto 50, 2, 4, 66” significa que x puede representarse por 0, 2, 4 o 6. Al conjunto 50, 2, 4, 66 se le llama dominio de la variable.

En la siguiente definición se utilizan variables.

Concéntrese



DEFINICIÓN DE DESIGUALDAD

Si a y b son dos números reales y a está a la izquierda de b en la recta numérica, en-tonces a es menor que b. Esto se escribe a , b.

Si a y b son dos números reales y a está a la derecha de b en la recta numérica, enton-ces a es mayor que b. Esto se escribe a . b.

EJEMPLOS

1. 22 , 8 2. 21 . 25 3. 0 . 22

3 4. p , !17

Los símbolos de desigualdad # (es menor o igual que) y $ (es mayor o igual que) también son importantes. Observe los ejemplos siguientes.

4 # 5 es una expresión verdadera porque 4 , 5.

5 # 5 es una expresión verdadera porque 5 5 5.

Sea y [ 525, 23, 21, 16. ¿Para cuáles valores de y la desigualdad y $ 21 es una expresión verdadera?

Solución Sustituya y con cada elemento del conjunto y determine si la expresión es verdadera.

y $ 21 25 $ 21 Una expresión falsa 23 $ 21 Una expresión falsa 21 $ 21 Una expresión verdadera

1 $ 21 Una expresión verdadera

La desigualdad es verdadera para 21 y 1.

Problema 1 Sea z [ 522, 21, 0, 1, 26. ¿Para cuáles valores de z la desigualdad z # 0 es una expresión verdadera?

Solución Revise la página S1.

Intente resolver el ejercicio 25 de la página 10.

Los números 5 y 25 están a la misma distancia del cero en la recta numérica, pero en lados opuestos del cero. Los números 5 y 25 se llaman inversos aditivos u opuestos.

El inverso aditivo (u opuesto) de 5 es 25. El inverso aditivo de 25 es 5. El símbolo para el inverso aditivo es 2.

2142 significa el inverso aditivo del positivo 4. 2142 5 24

21242 significa el inverso aditivo del negativo 4. 21242 5 4

Sea a [ 5212, 0, 46. Determine 2a, el inverso aditivo de a, para cada elemento del conjunto.

Solución • Escriba la expresión para el inverso aditivo de a.

• Sustituya a con cada elemento del conjunto y determine

el valor de la expresión.

2a 2 12122 5 12

2 102 5 0 2 142 5 24

EJEMPLO 1

†

55

0 531–5 –4 –3 –2 –1 42

EJEMPLO 2



Problema 2 Sea v [ 528, 0, 96. Determine 2v, el inverso aditivo de v, para cada elemento del conjunto.



El valor absoluto de un número es una medida de su distancia desde el cero en una recta numérica. El símbolo para el valor absoluto es 0 0. Observe en la figura de la izquierda que la distancia desde 0 a 5 es 5. Por tanto, 0 5 0 5 5. La figura muestra que la distancia desde 0 a 25 es también 5. Así 0 25 0 5 5.

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número positivo o 0 es el número. El valor absoluto de un nú-mero negativo es el inverso aditivo de ese número. Esto puede escribirse como sigue. Si a es un número real, entonces

0 a 0 5 ea, a $ 0

2a, a , 0

EJEMPLOS

1. 0 7 0 5 7. Dado que 7 $ 0, el valor absoluto de 7 es el número 7 mismo.

2. 0 28 0 5 8. Como 28 , 0, el valor absoluto de 28 es el inverso aditivo de 28. El inverso aditivo de 28 es 8.

3. 0 0 0 5 0. El valor absoluto de 0 es 0. Una manera de pensar en esto es que la dis-tancia de 0 a 0 en la recta numérica es 0.

Evalúe: 2 0 212 0 Solución A partir de la definición del valor absoluto, 0 212 0 5 12. Por consi-

guiente, 2 0 212 0 5 212.

Problema 3 Evalúe: 0 223 0 Solución Revise la página S1.


OBJETIVO Notación de intervalos y operaciones con conjuntos

El método de lista para escribir un conjunto encierra entre llaves una lista de los elementos del conjunto. Este método se utilizó al principio de esta sección para definir conjuntos de números. Si se emplea el método de lista, el conjunto de los números naturales pares menores que 10 se escribe 52, 4, 6, 86. Este es un ejemplo de un conjunto finito; todos los elementos pueden enu-merarse. El conjunto de los números naturales, 50, 1, 2, 3, 4, c6, es un conjunto infinito, es imposible enumerar todos los elementos del conjunto.

El conjunto vacío, o conjunto nulo, es el conjunto que no contiene elementos. El símbolo [ o 5 6 se utiliza para representar el conjunto vacío.

Utilice el método de lista para escribir el conjunto de los números na-turales menores que 10.

Solución 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 96

†

55

0 531–5 –4 –3 –2 –1 42

EJEMPLO 3

†

EJEMPLO 4



Problema 4 Utilice el método de lista para escribir el conjunto de enteros negativos impares mayores que 28.



Un segundo método de representación de un conjunto es la notación de conjuntos. Esta nota-ción se puede utilizar para describir casi cualquier conjunto, pero es particularmente útil cuando se escriben conjuntos infinitos. En la notación de conjuntos, el conjunto de enteros mayores que 23 se escribe

5x 0 x , 23, x [ enteros6y se lee “el conjunto de todos los números x tales que x es mayor que 23 y x es un elemento de los enteros”. Este es un conjunto infinito. Es imposible enumerar todos los elementos del conjunto, pero podemos describirlo si utilizamos la notación de conjuntos.

El conjunto de los números reales menores que 5 se escribe

5x 0 x , 5, x [ números reales6y se lee “el conjunto de todas las x tales que x es menor que 5 y x es un elemento de los números reales”.

Debido a que la mayor parte de nuestro trabajo es con números reales, por lo general omitimos “x [ números reales” de la notación de conjuntos. Por tanto, escribiríamos 5x 0 x , 5, x [ nú-meros reales6 como 5x 0 x , 56, donde asumimos que x es un número real.

Utilice la notación de conjuntos para escribir el conjunto de los núme-ros reales mayores que 22.

Solución 5x 0 x . 226 Problema 5 Utilice la notación de conjuntos para escribir el conjunto de los núme-

ros enteros menores o iguales que 7.



La gráfica de un conjunto de números reales escritos en notación de conjuntos puede mostrarse en una recta numérica. La gráfica de 5x 0 x . 226 se muestra abajo. El paréntesis en la gráfica indica que 22 no es parte del conjunto.

0 531–5 –4 –3 –2 –1 42

La gráfica de 5x 0 x $ 226 se muestra abajo. El corchete en la gráfica indica que 22 es parte del conjunto.

0 531–5 –3 –2 –1 42–4

Grafique: 5x 0 x # 36 :

Solución El conjunto son los números reales menores o iguales que 3.

0 531–5 –4 –3 –2 –1 42

• Dibuje un corchete a la derecha en el 3, y trace una línea sobre la recta numérica a la izquierda del 3.

†

EJEMPLO 5

†

EJEMPLO 6



Problema 6 Grafique: 5x 0 x . 236 Solución Revise la página S1.


También es posible localizar los números reales entre dos números dados.

en graficar un conjunto de números reales

Grafique: 5x 0 0 # x , 46La notación 0 # x , 4 indica el conjunto de los números reales entre 0 y 4, incluido el 0 pero sin incluir el 4. Un corchete se coloca en el 0 para denotar que el 0 está incluido en la gráfica; un paréntesis se coloca en el 4 para indicar que el 4 no es parte de la gráfica.

0 531–5 –3 –2 –1 42–4

Dados dos números reales, un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre los nú-meros dados. Los dos números son los puntos extremos del intervalo. Por ejemplo, el conjunto 5x 0 21 , x , 36 representa el intervalo de todos los números reales entre 21 y 3. Los puntos extremos de este intervalo son 21 y 3.

Un intervalo cerrado incluye ambos puntos extremos, un intervalo abierto no contiene puntos extremos y un intervalo medio abierto contiene un punto extremo pero no el otro. Por ejemplo, el conjunto 5x 0 21 , x , 36 es un intervalo abierto.

Los intervalos pueden representarse en notación de conjuntos o en notación de intervalos. En esta última, los corchetes o paréntesis que se utilizan para graficar el conjunto se escriben con los puntos extremos del intervalo. El conjunto 5x 0 0 # x , 46 mostrado arriba se escribe [0, 4) en la notación de intervalos; 0 y 4 son los puntos extremos. Estos son otros ejemplos.

Notación de conjuntos Notación de intervalos Gráfica

0 531–5 –4 –3 –2 –1 42

0 531–5 –4 –3 –2 –1 42

0 531–5 –4 –3 –2 –1 42

5x 023 # x # 26 323, 2 4, un intervalo cerrado

5x 023 , x , 26 123, 22 , un intervalo abierto

5x 023 # x , 26 323, 22 , un intervalo medio abierto

5x 023 , x # 26 123, 2 4, un intervalo medio abierto 0 531–5 –4 –3 –2 –1 42

Para indicar un intervalo que se extiende hacia el infinito en una o ambas direcciones utilizando la notación de intervalos, se utiliza el símbolo de infinito ` o el símbolo de infinito negativo 2`. El símbolo de infinito no es un número; es sencillamente una notación utilizada para indi-car que el intervalo es ilimitado. En la notación de intervalos, un paréntesis siempre se utiliza a la derecha de un símbolo de infinito o a la izquierda de un símbolo de infinito negativo, como se aprecia en los ejemplos siguientes.

Notación de conjuntos Notación de intervalos Gráfica

0 531–5 –4 –3 –2 –1 42

0 531–5 –4 –3 –2 –1 42

0 531–5 –4 –3 –2 –1 42

0 531–5 –4 –3 –2 –1 42

5x 0 x . 16 11, `2 5x 0 x $ 16 31, `2 5x 0 x , 16 12`, 12 5x 0 x # 16 12`, 1 4 5x 02` , x , `6 12`, `2

0 531–5 –4 –3 –2 –1 42

†

Concéntrese



Utilice la notación dada o grafique para proporcionar la notación o gráfica que está marcada con un signo de interrogación.

Notación Notación de conjuntos de intervalos Gráfica

A. 5x 0 0 # x # 16 ? ? B. ? 323, 42 ? C. ? ?

0 531–5 –4 –3 –2 –1 42

Solución


A. 0 531–5 –4 –3 –2 –1 42

B. 0 531–5 –4 –3 –2 –1 42

C.

5x 0 0 # x # 16 30, 1 4 5x 023 # x , 46 323, 42 5x 0 x , 06 12`, 02

0 531–5 –4 –3 –2 –1 42

Problema 7 Utilice la notación o la gráfica dadas para proporcionar la notación o gráfica marcada con un signo de interrogación.


A. 5x 022 , x , 06 ? ? B. ? 121, 2 4 ? C. ? ?

0 531–5 –3 –2 –1 42–4


Intente resolver los ejercicios 73, 77 y 93 de las páginas 11 y 12.

Del mismo modo que las operaciones como la suma y la multiplicación se realizan con números reales, las operaciones se realizan con conjuntos. Dos operaciones realizadas con conjuntos son la unión y la intersección.

UNIÓN DE DOS CONJUNTOS

La unión de dos conjuntos, que se escribe A h B, es el conjunto de todos los elemen-tos que pertenecen ya sea a A o a B. En la notación de conjuntos, esto se escribe

A h B 5 5x 0 x [ A o x [ B6EJEMPLOS

1. Dados A 5 52, 3, 4, 5, 66 y B 5 54, 5, 6, 7, 86, A h B 5 52, 3, 4, 5, 6, 7, 86. Obser-ve que los elementos 4, 5 y 6, a los cuales pertenecen ambos conjuntos, se listan sólo una vez.

2. Dados C 5 523, 21, 1, 36 y D 5 522, 0, 26, C h D 5 523, 22, 21, 0, 1, 2, 36.3. Dados X 5 50, 2, 4, 6, 86 y Y 5 54, 86, X h Y 5 50, 2, 4, 6, 86.

INTERSECCIÓN DE DOS CONJUNTOS

La intersección de dos conjuntos, que se escribe A x B, es el conjunto de todos los elementos que son comunes tanto a A como a B. En notación de conjuntos, estose escribe

A x B 5 5x 0 x [ A y x [ B6

EJEMPLO 7

†

Punto de interésLos símbolos [, h y x se utili-zaron por primera vez en Arith-metices Principia, Nova Expósita (El principio de las matemáticas, un método de exposición nuevo), de Giuseppe Peano, publicado en 1889. El propósito de este libro era deducir los principios de las matemáticas a partir de la lógica pura.



EJEMPLOS

1. Dados A 5 52, 3, 4, 5, 66 y B 5 54, 5, 6, 7, 86, A x B 5 54, 5, 66.2. Dados C 5 523, 21, 1, 36 y D 5 522, 0, 26, C x D 5 [. No hay elementos

comunes para C y D.

3. Dados X 5 50, 2, 4, 6, 86 y Y 5 54, 86, X x Y 5 54, 86.Las operaciones de conjuntos también se pueden realizar con intervalos.

Grafique. A. 5x 0 x # 216 h 5x 0 x . 36 B. 2`, 32 x 321, `21 Solución A. El conjunto 5x 0 x # 216 h 5x 0 x . 36 es el conjunto de los núme-

ros reales menores o iguales que 21 o mayores o iguales que 3. Este conjunto puede escribirse x 0 x # 21 o x . 36.

0 531–5 –3 –2 –1 42–4 • La gráfica de 5x 0 x " 21 o x + 36

contiene todos los puntos sobre las gráficas de x " 21 y x + 3.

B. El conjunto (2 ,̀ 3) x [21, `) es el conjunto de los números reales menores que 3 y mayores o iguales que 21.

La gráfica de (2 ,̀ 3) se muestra en turquesa y la gráfica de [21, `) se muestra en azul.

0 531–5 –3 –2 –1 42–4

Los números reales que son elementos de (2 ,̀ 3) y [21, `) corres-ponden a los puntos de la sección de superposición; por tanto, (2 ,̀ 3) x [21, `) 5 [21, 3). Observe que 3 no es un elemento de (2 ,̀ 3). Por consiguiente, 3 no es un elemento de la intersecciónde los conjuntos.

0 531–5 –4 –3 –2 –1 42

Problema 8 Grafique

A. 12`, 21 4 h 32, 42 B. 5 6x 0 x # 36 x 5x 023 , x , 5



EJEMPLO 8

†

Ejercicios1.1

REVISIÓN DE CONCEPTOSDetermine cuáles de los números son a. números naturales, b. enteros positivos, c. enteros negativos. Elabore una lista de todos los números que correspondan.

1. 214, 9, 0, 53, 7.8, 2626

2. 31, 245, 22, 9.7, 8600, 1

2

Determine cuáles de los números son a. números enteros, b. números racionales, c. números irracionales, d. números reales. Elabore una lista de todos los números que correspondan.

3. 215

2, 0, 23, p, 2.33, 4.232232223 c,

!5

4, !7



4. 217, 0.3412, 3

p, 21.010010001 c,

27

91, 6.12

5. ¿Qué es un decimal finito o último? Proporcione un ejemplo.

6. ¿Qué es un decimal periódico? Proporcione un ejemplo.

7. ¿Qué es el inverso aditivo de un número?

8. ¿Cuál es el valor absoluto de un número?

9. Explique la diferencia entre la unión de dos conjuntos y la intersección de dos conjuntos.

10. Explique la diferencia entre 5x 0 x , 56 y 5x 0 x # 56.Desigualdad y valor absoluto (Revise las páginas 2-5.)

PREPÁRESE

11. Un número como 0.63633633363333c, cuya notación decimal no termina ni se repite, es un ejemplo de un número ? .

12. El inverso aditivo de un número negativo es un número ? .

13. y [ 51, 3, 5, 7, 96 se lee “y ? el conjunto 51, 3, 5, 7, 96”.

14. Escriba la frase “el opuesto del valor absoluto de n” en símbolos.

Encuentre el inverso aditivo de cada uno de los números siguientes.

15. 27

20. 2p

16. 23

21. 2!33

17. 3

4

22. 21.23

18. !17

23. 291

19. 0

24. 22

3

25. Sea x [ 523, 0, 76. ¿Para cuáles valores de x la expresión x , 5 es verdadera?

27. Sea y [ 526, 24, 76. ¿Para cuáles valores de y es verdade-ra la expresión y . 24?

29. Sea w [ 522, 21, 0, 16. ¿Para cuáles valores de w la ex-presión w # 21 es verdadera?

31. Sea b [ 529, 0, 96. Evalúe 2b para cada elemento del conjunto.

33. Sea c [ 524, 0, 46. Evalúe 0 c 0 para cada elemento del con-junto.

35. Sea m [ 526, 22, 0, 1, 46. Evalúe 2 0 m 0 para cada elemen-to del conjunto.

26. Sea z [ 524, 21, 46. ¿Para cuáles valores de z la expresión z . 22 es verdadera?

28. Sea x [ 526, 23, 36. ¿Para cuáles valores de x la expresión x , 23 es verdadera?

30. Sea p [ 5210, 25, 0, 56. ¿Para cuáles valores de p la ex-presión p $ 0 es verdadera?

32. Sea a [ 523, 22, 06. Evalúe 2a para cada elemento del conjunto.

34. Sea q [ 523, 0, 76. Evalúe 0 q 0 para cada elemento del con-junto.

36. Sea x [ 525, 23, 0, 2, 56. Evalúe 2 0 x 0 para cada elemento del conjunto.

37. ¿Existen números reales x para los cuales 2x . 0? Si es así, descríbalos.

38. ¿Existen números reales y para los cuales 2 0 y 0 . 0? Si es así, descríbalos.

Notación de intervalos y operaciones con conjuntos (Revise las páginas 5-9.)

PREPÁRESE

39. Dos maneras de escribir el conjunto de los números naturales menores que 5 son 50, 1, 2, 3, 46 y 5n 0 n , 5, n [ números naturales6. La primera utiliza el método ? y la segunda la notación ? .

†

†

†



40. El símbolo para la “unión” es ? . El símbolo para la intersección es ? .

41. El símbolo ` se llama símbolo ? .

42. Reemplace cada signo de interrogación con “incluye” o “no incluye” para hacerverdadera la expresión siguiente. El conjunto [24, 7) ? el número 24 y

? el número 7.

Utilice el método de lista para escribir el conjunto.

43. los enteros entre 23 y 5

45. los números naturales pares menores que 14

47. los enteros positivos múltiplos de 3 que son menores o iguales que 30

49. los enteros negativos múltiplos de 5 que son mayores o iguales que 235

44. los enteros entre 24 y 0

46. los números naturales impares menores que 14

48. los enteros negativos múltiplos de 4 que son mayores o iguales que 220

50. los enteros positivos múltiplos de 6 que son menores o iguales que 36

Utilice la notación de conjuntos para escribir el conjunto.

51. los enteros mayores que 4

53. los números enteros mayores o iguales que 22

55. los números reales entre 0 y 1

57. los números reales entre 1 y 4, inclusive

52. los enteros menores que 22

54. los números reales menores o iguales que 2

56. los números reales entre 22 y 5

58. los números reales entre 0 y 2, inclusive

Grafique.

59. 5x 021 , x , 56 61. x 0 0 # x # 36 63. 5x 0 x , 26 65. 5x 0 x $ 16

60. 5x 0 1 , x , 36 62. 5x 021 # x # 16 64. 5x 0 x , 216 66. 5x 0 x # 226

Escriba cada intervalo en notación de conjuntos.

67. 10, 82 72. 14, 5 4

68. 122, 42 73. 12`, 4 4

69. 325, 7 4 74. 12`, 222

70. 33, 4 4 75. 15, `2

71. 323, 62 76. 322, `2

Escriba cada conjunto de números reales en notación de intervalos.

77. 5x 022 , x , 46 81. 5x 0 x , 16 85. 5x 0 x [ números reales6

78. 5x 0 0 , x , 36 82. 5x 0 x # 66 86. 5x 0 x . 216

79. 5x 021 # x # 56 83. 5x 022 # x , 66

80. 5x 0 0 # x # 36 84. 5x 0 x $ 36

†

†

†

†

†



Grafique.

87. 122, 52 89. 321, 2 4 91. 12`, 3 493. 33, `2

88. 10, 32 90. 323, 2 4 92. 12`, 21294. 322, `2

Encuentre A < B y A > B.

95. A 5 51, 4, 96, B 5 52, 4, 66 97. A 5 52, 3, 5, 86, B 5 59, 106 99. A 5 524, 22, 0, 2, 46, B 5 50, 4, 86 101. A 5 51, 2, 3, 4, 56, B 5 53, 4, 56

96. A 5 521, 0, 16, B 5 50, 1, 26 98. A 5 51, 3, 5, 76, B 5 52, 4, 6, 86 100. A 5 523, 22, 216, B 5 522, 21, 0, 16 102. A 5 52, 46, B 5 50, 1, 2, 3, 4, 56

Grafique

103. 5x 0 x . 16 h 5x 0 x , 216

106. 5x 0 x . 216 x 5x 0 x # 46

109. 5x 0 x . 26 h 5x 0 x . 16

112. 123, 4 4 h 321, 52

115. 12, `2 h 122, 4 4

104. 5x 0 x # 26 h 5x 0 x . 46

107. 5x 0 x . 16 x 5x 0 x $ 226

110. 5x 0 x , 226 h 5x 0 x , 246

113. 321, 2 4 x 30, 4 4

116. 12`, 2 4 h 14, `2

105. 5x 0 x # 26 x 5x 0 x $ 06

108. 5x 0 x , 46 x 5x 0 x # 06

111. 12`, 2 4 h 34, `2

114. 325, 42 x 122, `2

117. ¿Cuál conjunto es un conjunto vacío?

(i) 5x 0 x [ enteros6 x 5x 0 x [ números racionales6(ii) 524, 22, 0, 2, 46 h 523, 21, 1, 36

(iii) 35, `2 x 10, 52

118. ¿Cuál conjunto no es equivalente al intervalo [21, 6)?

(i) 5x 021 # x , 66 (ii) 5x 0 x $ 216 h 5x 0 x , 66(iii) 5x 0 x , 66 x 5x 0 x $ 216

APLICACIÓN DE CONCEPTOSSean R 5 5x 0 x [ números reales6, A 5 5x 021 # x # 16, B 5 5x 0 0 # x # 16, C 5 5x 021 # x # 06, y [ 5 conjunto vacío. Indique si cada una de las expresiones siguien-tes es equivalente a R, A, B, C o [.

119. A h B

124. C x R

120. A h A

125. B h R

121. B x B

126. A h R

122. A h C

127. R h R

123. A x R

128. R x [

129. El conjunto B > C no puede expresarse utilizando R, A, B, C o [. ¿Qué número real se representa por B > C?

130. Un estudiante escribió 23 . x . 5 como la desigualdad que representa los números reales menores que 23 o mayores que 5. Explique por qué esta notación es incorrecta.

†

†


SECCIÓN 1.2 Operaciones con números enteros 13

Grafique el conjunto solución.

131. 0 x 0 , 2

133. 0 x 0 . 3

132. 0 x 0 , 5

134. 0 x 0 . 4

135. Dado que a, b, c y d son números reales positivos, ¿cuál de las respuestas siguientes asegu-rará que a 2 b

c 2 d # 0?

(i) a $ b y c . d (ii) a # b y c . d (iii) a $ b y c , d (iv) a # b y c , d

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPOUn conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos bajo consideración. Por ejem-plo, si nuestra atención estuviera centrada en el conjunto de los números enteros, entonces el conjunto universal sería el conjunto de los números enteros. Si nos interesáramos por todos los números naturales menores que 10, entonces el conjunto universal sería U 5 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 96. El complemento de un conjunto E, designado por Ec, es el conjunto de elementos que pertenecen al conjunto universal, pero no pertenecen a E.

136. Sea U 5 51, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 96 y sea E 5 52, 4, 6, 86. Encuentre Ec.

137. Sea U 5 51, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 96 y sea E 5 5números primos menores que 106. Encuentre Ec.

138. Sea U 5 5x 0 x [ números naturales6 y E 5 5x 0 x [ números naturales impares6. Encuentre Ec.

139. Sea U 5 5x 0 X [ números reales6 y E 5 5x 0 x [ números racionales6. Encuentre Ec.

140. Si E es un conjunto dentro del conjunto universal U, encuentre a. E < Ec y b. E > Ec.

OBJETIVO Operaciones con números enterosPara tener éxito en álgebra es necesario entender las operaciones con números reales. A conti-nuación daremos un repaso a las operaciones básicas con números reales.

SUMA DE NÚMEROS REALES

Números que tienen el mismo signo

Para sumar dos números que tienen el mismo signo, sume los valores absolutos de los números. Luego coloque el signo de los sumandos.

Números que tienen diferentes signos

Para sumar dos números con diferente signo, encuentre el valor absoluto de cada número. Reste el menor de estos valores absolutos del mayor. Luego coloque el signo del número con el valor absoluto mayor.

Operaciones con números enteros1.2

Punto de interésLas reglas para efectuar opera-ciones con números positivos y negativos han existido desde hace mucho tiempo. Aunque hay registros anteriores de estas re-glas (del siglo tercero), uno de los más meticulosos aparece en The Correct Astronomical System of Brahma, escrito por el matemático indio Brahmagupta alrededor del año 600 d.C.



en la suma de números reales

Sume. A. 265 1 12482 B. 17 1 12532 C. 245 1 81

A. Los signos son iguales. Sume los valores absolutos de los números.

0265 0 1 0248 0 5 65 1 48 5 113

Luego coloque el signo de los sumandos.

265 1 12482 5 2113

B. Los números tienen signos distintos. Encuentre el valor absoluto de cada número.

0 17 0 5 17 0253 0 5 53

Reste el menor de estos números del mayor.

53 2 17 5 36

Coloque el signo del número con el valor absoluto mayor. Como 0 253] . 0 17 0 , colo-que el signo de 253.

17 1 12532 5 236

C. Los números tienen diferente signo. Encuentre el valor absoluto de cada número.

0245 0 5 45 0 81 0 5 81

Reste el menor de estos dos números del mayor.

81 2 45 5 36

Coloque el signo del número con el valor absoluto mayor. Como 0 81 0 . 0 245 0 , colo-que el signo de 81.

245 1 81 5 36

RESTA DE NÚMEROS REALES

Para restar dos números reales, sume al primer número el opuesto del segundo.

en la resta de números reales

Reste. A. 48 2 12222 B. 217 2 37 C. 225 2 12142

cSume el opuesto de 222.

A. 48 2 12222 5 48 1 22 5 70

cSume el opuesto de

B. 217 2 37 5 217 1 12372 5 254

cSume el opuesto de 214.

C. 225 2 12142 5 225 1 14 5 211

37.

Concéntrese

Concéntrese


2C A P Í T U L O

Concéntrese en el éxito

EXAMEN DE PREPARACIÓN

Digi

tal V

isio

n

¿Está listo para tener éxito en este capítulo?Resuelva el examen de preparación siguiente para averiguar si está listo para aprender material nuevo.

Para los ejercicios 1 a 5, sume, reste, multiplique o divida.

1. 8 2 12 .2 29 1 3

3. 218

26 .4 2

3

4a24

3b

5. 25

8a4

5b

Para los ejercicios 6 a 9, simplifique.

6. 3x 2 5 1 7

7. 6 1x 2 22 1 3

8. n 1 1n 1 22 1 1n 1 42 9. 0.08x 1 0.05 1400 2 x2

10. Veinte onzas de la mezcla de una botana con-tienen frutos secos y pretzels. n representa el número de onzas de frutos secos en la mezcla. Exprese en función de n el número de onzas de pretzels en la mezcla.

OBJETIVOS

2.1 1 Resolver ecuaciones utilizando las propiedades de la suma yla multiplicación de ecuaciones

2 Resolver ecuaciones que contienen paréntesis


2.2 1 Problemas de mezclas porcentuales

2 Problemas de movimiento uniforme

2.3 1 Problemas de inversión

2 Problemas de mezclas porcentuales

2.4 1 Resolver desigualdades conuna variable

2 Resolver desigualdades compuestas


2.5 1 Ecuaciones con valor absoluto

2 Desigualdades con valor absoluto


Ecuaciones y desigualdades de primer grado

¿Tiene dificultades con los problemas expresados en palabras? Este tipo de problemas muestra la diver-sidad de maneras en que pueden utilizarse las matemáticas. La solución de cada problema en palabras puede dividirse en dos pasos: estrategia y solución. La estrategia consiste en leer el problema, anotar los datos que se proporcionan y los que se piden, e idear un plan para encontrar los datos que se solici-tan. La solución a menudo consiste en resolver una ecuación y luego comprobar la solución. (Vea en la página A-10 la sección Utilizar una estrategia para resolver problemas escritos.)

03_Cap-02_AUFMANN.indd 55 12/10/12 05:59 p.m.

56 CAPÍTULO 2 Ecuaciones y desigualdades de primer grado

OBJETIVO Resolver ecuaciones utilizando las propiedades de la sumay la multiplicación de ecuaciones

Una ecuación expresa la igualdad de dos expre-siones matemáticas. Las expresiones pueden ser expresiones numéricas o algebraicas.

La ecuación de la derecha es una ecuación con-dicional. La ecuación es verdadera si la variable se sustituye por 3. La ecuación es falsa si la variable se sustituye por 4.

Los valores de sustitución de la variable que hacen verdadera una ecuación se llaman raíces, o soluciones, de la ecuación.

La solución de la ecuación x + 2 = 5 es 3.

La ecuación de la derecha es una identidad. Cualquier valor de sustitución para x dará como resultado una ecuación verdadera.

La ecuación de la derecha es una ecuación sin solución porque no existe un número que se iguale a sí mismo más 1. Cualquier valor de sustitución para x dará como resultado una ecuación falsa.

Cada una de las ecuaciones de la derecha es una ecuación de primer grado con una variable. To-das las variables tienen exponente de grado uno.

Resolver una ecuación significa encontrar una solución de la ecuación. La ecuación más simple de resolver es una ecuación de la forma variable = constante, porque la constante es la solución.

Si x = 3, entonces 3 es la solución de la ecuación, ya que 3 = 3 es una ecuación verdadera.

Al resolver una ecuación, la meta es reescribir la ecuación dada en la forma variable = constante. La propiedad de la adición de las ecuaciones puede utilizarse para reescribir en esta forma una ecuación.

PROPIEDAD DE LA SUMA DE ECUACIONES

Si a, b y c son expresiones algebraicas, entonces la ecuación a = b tiene las mismas soluciones que la ecuación a + c = b + c.

La propiedad de la suma de las ecuaciones establece que la misma cantidad puede sumarse a cada lado de una ecuación sin cambiar la solución de la misma. Esta propiedad se utiliza para eliminar un término de un lado de una ecuación al sumar el opuesto de ese término en ambos lados de la ecuación.

en resolver una ecuación utilizando la propiedad de la suma de las ecuaciones

A. Resuelva: x − 3 = 7

2 1 8 5 10

x 1 8 5 11

x2 1 2y 5 7

s Ecuaciones

x 1 2 5 5 Ecuación condicional3 1 2 5 5 Una ecuación verdadera4 1 2 5 5 Una ecuación falsa

x 1 2 5 x 1 2 Identidad

x 5 x 1 1 Sin solución

x 1 2 5 12 Ecuaciones de primer grado 3y 2 2 5 5y

3 1a 1 22 5 14a

Concéntrese

Ecuaciones con una variable2.1

Tome notaEl modelo de una ecuación como una balanza es aplicable.

3x – 3 7

3

Si se añade una pesa en un lado de la ecuación, se requiere añadir una pesa igual en el otro lado de la ecuación, de modo que ésta se mantenga en equilibrio.


SECCIÓN 2.1 Ecuaciones con una variable 57

Sume a cada lado de la ecuación el opuesto del término constante −3. Simplifique.

Después de simplificar, la ecuación está en la forma variable = constante.

Para comprobar la solución, sustituya la va-riable con 10. Simplifique el lado izquierdo de la ecuación. Debido a que 7 = 7 es una ecuación verdadera, 10 es una solución.

B. Resuelva: x 17

125

1

2

Sume el opuesto del término constante 7

12 a cada lado de la ecuación. Esto es equivalente a restar

712 de cada lado.

Simplifique.

La propiedad de la multiplicación de las ecuaciones también puede utilizarse para reescribir una ecuación en la forma variable = constante.

PROPIEDAD DE LA MULTIPLICACIÓN DE LAS ECUACIONES

Si a, b y c son expresiones algebraicas, y c Z 0, entonces la ecuación a = b tiene las mismas soluciones como la ecuación ac = be.

La propiedad de la multiplicación de las ecuaciones establece que podemos multiplicar cada lado de una ecuación por el mismo número diferente de cero, sin cambiar la solución de la misma. Esta propiedad se utiliza para eliminar un coeficiente de un término variable en una ecuación al multiplicar cada lado de la ecuación por el recíproco del coeficiente.

en resolver una ecuación utilizando la propiedad de la multiplicación delas ecuaciones

A. Resuelva: 23

4x 5 12

Multiplique cada lado de la ecuación por 243,

que es el recíproco de 234.

Simplifique.

Después de simplificar, la ecuación está en la forma variable = constante.

x 2 3 5 7x 2 3 11 3 5 7 1 3

x 1 0 5 10x 5 10

Comprobación: x 2 3 5 710 2 3 7

75 7

La solución es 10.

x 17

125

1

2

x 17

122

7

125

1

22

7

12

x 1 0 56

122

7

12

x 5 21

12

La solución es 2 112.

Concéntrese

23

4x 5 12

a24

3b a23

4bx 5 a24

3b12

1x 5 216

x 5 216

Comprobación: 23

4x 5 12

23

412162 12

21 5 12

La solución es 216.

Tome notaRecuerde comprobar la solución.

x 17

125

1

2

21

121

7

12

1

2

6

12

1

2

1

25

1

2

Tome notaCuando se utiliza la propiedad de la multiplicación de las ecuaciones, por lo general es más fácil multiplicar cada lado de la ecuación por el recíproco del coeficiente cuando el coeficiente es una fracción, como en el inciso A. Divida cada lado de la ecuación entre el coeficiente cuando el coeficiente sea un entero o un decimal, como en el inciso B.



B. Resuelva: −5x = 9

La multiplicación de cada lado de la ecuación por el recíproco de −5 es equivalente a dividir cada lado de la ecuación entre −5.

Simplifique.

Usted debe comprobar la solución.

Al resolver una ecuación, a menudo es necesario aplicar las propiedades tanto de la suma como de la multiplicación de las ecuaciones.

Resuelva: 5 2 6x 5 9

Solución

5 2 6x 5 9 522 5 2 6x 5 9 2 5

26x 5 4

26x

265

4

26

x 5 22

3

La solución es223.

• Reste 5 de cada lado de la ecuación.

• Simplifique.

• Divida entre 26 cada lado de la ecuación.

• Simplifique.

Problema 1 Resuelva: 6x

52 3 5 27



Resuelva: 3x 2 5 5 26x 1 2

Solución 3x 2 5 5 26x 1 23x 11 6x2 5 5 26x 1 6x1 2

9x 2 5 5 2 9x 2 5 1 5 5 2 1 5

9x 5 7

9x

95

7

9

x 57

9

La solución es 79.

• Sume 6x a cada lado de la ecuación. • Sume 5 a cada lado de la ecuación.

• Divida entre 9 cada lado de la ecuación.

Problema 2 Resuelva: 3x 2 5 5 14 2 5x



OBJETIVO Resolver ecuaciones que contienen paréntesisCuando una ecuación contiene paréntesis, uno de los pasos al resolverla requiere utilizar la propiedad distributiva.

25x 5 9

25x

2255

9

225

1x 5 29

5

x 5 29

5


EJEMPLO 1

†

EJEMPLO 2

†



en resolver una ecuación que contiene paréntesis

Resuelva: 3 1x 2 22 1 3 5 2 16 2 x2

Utilice la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis.

Simplifique.

Sume 2x a cada lado de la ecuación.

Sume 3 a cada lado de la ecuación.

Divida entre el coeficiente 5 cada lado de la ecuación.

Compruebe la solución.

Resuelva: 5 12x 2 72 1 2 5 3 14 2 x2 2 12

Solución 5 12x 2 72 1 2 5 3 14 2 x2 2 1201 x 2 35 1 2 5 12 2 3x 2 12

01 x 2 33 5 23x 233 5 213x

33

135 x


• Utilice la propiedad distributiva.

• Simplifique.

• Reste 10x de cada lado de la

ecuación.

• Divida entre −13 cada lado de la

ecuación.

Problema 3 Resuelva: 6 15 2 x2 2 12 5 2x 2 3 14 1 x2



Para resolver una ecuación que contiene fracciones, primero elimine los denominadores almultiplicar cada lado de la ecuación por el mínimo común múltiplo (mcm) de los denomina-dores.

en resolver una ecuación mediante la eliminación de los denominadores

Resuelva: x

22

7

95

x

61

2

3

Multiplique por 18 cada lado de la ecuación,que es el mcm de 2, 9, 6 y 3.

Utilice la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis.

Simplifique.

Reste 3x de cada lado de la ecuación.

Sume 14 a cada lado de la ecuación.

Divida entre el coeficiente 6 cada lado de la ecuación.

Compruebe la solución.

Concéntrese

3 1x 2 22 1 3 5 2 16 2 x2 3x22 6 1 3 5 122 2x

3x 2 3 5 12 2 2x

5x 2 3 5 12

5x 5 15

x 5 3

La solución es 3.

EJEMPLO 3

†

Concéntrese

x

22

7

95

x

61

2

3

18ax

22

7

9b 5 18ax

61

2

3b

18x

22

18 # 79

518x

61

18 # 23

9 x 2 14 5 3x 1 12

6 x 2 14 5 12

6 x 5 26

x 513

3

La solución es 133 .



Resuelva: 3x 2 2

122

x

95

x

2

Solución 3x 2 2

122

x

95

x

2

36a3x 2 2

122

x

9b 5 36ax

2b

36 13x 2 2212

236x

95

36x

2

3 13x 2 22 2 4x 5 18x 9x 2 6 2 4x 5 18x

5x 2 6 5 18x 26 5 13x

26

135 x

La solución es 2 613.

• El mcm de 12, 9 y 2 es 36.

• Multiplique cada lado de la ecuación

por el mcm de los denominadores

• Utilice la propiedad distributiva.

• Simplifique.

Problema 4 Resuelva: 2x 2 7

32

5x 1 4

552x 2 4

30



OBJETIVO Problemas de aplicaciónLa solución de problemas de aplicación es principalmente una habilidad para convertir enun-ciados en ecuaciones y luego resolver las ecuaciones. Una ecuación indica que dos expresiones matemáticas son iguales. Por tanto, la conversión de un enunciado en una ecuación requiere el reconocimiento de las palabras o frases que significan igual. Estas frases incluyen “es”, “es igual que”, “equivale a” y “representa”. Una vez que la expresión se convierte en una ecuación, ésta se resuelve al reescribirla en la forma variable = constante.

Un plomero cobra $80 por una visita de servicio más $1.25 por cada minuto adicional de servicio después de los 60 min. Si la factura por un trabajo de reparación de plomería fue de $115, ¿cuántos minutos duró la visita?

Estrategia Para calcular la duración en minutos de la visita de servicio, escriba y resuelva una ecuación utilizando n para representar el número total de minutos de la visita. Por tanto n − 60 es el número de minutos adiciona-les después de los primeros 60 minutos de la visita de servicio. El precio fijo por los 60 minutos más el cargo por los minutos adicionales es el costo total de la llamada de servicio.

Solución 08 1 1.25 1n 2 602 5 11508 1 1.25n 2 75 5 115

52.1 n 1 5 5 11552.1 n 5 110 n 5 88

La visita de servicio duró 88 min.

Problema 5 Usted gana un sueldo de $34,500 y recibe 4% de incremento para el próximo año. Calcule su sueldo para el próximo año.



EJEMPLO 4

†

EJEMPLO 5

†



Ejercicios2.1

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1. ¿Cómo difiere una ecuación de una expresión?

2. ¿Cuál es la propiedad de la adición de las ecuaciones y cómo se utiliza?

3. ¿Cuál es la propiedad de la multiplicación de las ecuaciones y cómo se utiliza?

Determine si cada una de las ecuaciones siguientes es una ecuación de primer grado con una variable.

4. 4a 2 5 5 0

7. 2 1 3y 5 6

5. 2x 1 7

8. 6 2 2 14a 2 12

6. x2 1 3 5 4

9. 5 5 7 2 2

10. ¿Todas las ecuaciones tienen por lo menos una solución?

Resolver ecuaciones utilizando las propiedades de la suma y la multiplicaciónde ecuaciones (Vea las páginas 56-58.)

11. ¿es 1 una solución de 7 − 3m = 4?

12. ¿es 5 una solución de 4y − 5 = 3y?

13. ¿es −2 una solución de 6x − 1 = 7x + 1?

14. ¿es 3 una solución dex2 = 4x − 5?

PREPÁRESE

15. Para resolver la ecuación a − 42 = 13, utilice la propiedad de la suma de las ecuacio-nes para sumar ? a cada lado de la ecuación. La solución es ? .

16. Para resolver la ecuación 12 + x = 5, ? 12 de cada lado de la ecuación. La solución es ? .

17. Para resolver la ecuación 225 n = 8, utilice la propiedad de la multiplicación de las

ecuaciones para multiplicar cada lado de la ecuación por ? . La solución es ? .

18. Para resolver la ecuación 9 = 18b, la solución es ? cada lado de la ecuación por 18. La solución es ? .

Resuelva y compruebe.

19. x 2 2 5 7

22. 212 5 x 2 3

25. 2y 5 7

28. x 12

35

5

6

31. 25

12y 5

7

16

34. b 1 3.87 5 22.19

37. 2x 2 4 5 12

40. 7 5 7 2 5x

43. 2 2 3t 5 3t 2 4

20. x 2 8 5 4

23. 3x 5 12

26. 2x 5 0

29. 3a

75 221

32. 23

4x 5 2

4

7

35. 3x 1 5x 5 12

38. 5 2 7a 5 19

41. 29 5 4x 1 3

21. a 1 3 5 27

24. 8x 5 4

27. 2

71 x 5

17

21

30. 3t

85 215

33. b 2 14.72 5 218.45

36. 2x 2 7x 5 15

39. 16 5 1 2 6x

42. 2x 1 2 5 3x 1 5

†

†



44. 3x 2 2x 1 7 5 12 2 4x

46. 2x 2 5 1 7x 5 11 2 3x 1 4x

45. 2x 2 9x 1 3 5 6 2 5x

47. 9 1 4x 2 12 5 23x 1 5x 1 8

48. r es un número positivo menor que 1. ¿La solución de la ecuación 109 1 x 5 r es posi tiva

o negativa?

49. a es un número negativo menor que −5. ¿La solución de la ecuación a = −5b es menor o mayor que 1?

Resolver ecuaciones que contienen paréntesis (Revise las páginas 58-60.)

PREPÁRESE

50. Utilice la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis de la ecuación 9x – 3(5 − x)= 3(8x + 7): 9 − ? + ? = ? + ?

51. Para eliminar los denominadores de la ecuación x7 11

14 516, multiplique cada lado de

la ecuación por ? , el mínimo común múltiplo de los denominadores 7, 14 y 6.

Resuelva y compruebe.

52. 2x 1 2 1x 1 12 5 10

55. 5 12 2 b2 5 23 1b 2 32

53. 2x 1 3 1x 2 52 5 15

56. 3 2 2 1y 2 32 5 4y 2 7

54. 2 1a 2 32 5 2 14 2 2a2

57. 3 1y 2 52 2 5y 5 2y 1 9

58. 4 1x 2 22 1 2 5 4x 2 2 12 2 x2

60. 2 12d 1 12 2 3d 5 5 13d 2 22 1 4d

62. 4 33 1 5 13 2 x2 1 2x 4 5 6 2 2x

64. 2 3b 2 14b 2 52 4 5 3b 1 4

66. 4 3a 2 13a 2 52 4 5 a 2 7

68. 23 1x 2 22 5 2 3x 2 4 1x 2 22 1 x 4

70. 2

9t 2

5

65

1

12t

72. 2

3x 2

5

6x 2 3 5

1

2 x 2 5

74. 3x 2 2

42 3x 5 12

76. x 2 2

42

x 1 5

65

5x 2 2

9

78. 2

3115 2 6a2 5

5

6112a 1 182

80. 1

31x 2 72 1 5 5 6x 1 4

82. 7

8x 2

1

45

3

4x 2

1

2

84. 24.2 1 p 1 3.42 5 11.13

86. 0.11x 1 0.04 700 2 x 5 0.06 700

59. 2x 2 3 1x 2 42 5 2 13 2 2x2 1 2

61. 24 17y 2 12 1 5y 5 22 13y 1 42 2 3y

63. 2 34 1 2 15 2 x2 2 2x 4 5 4x 2 7

65. 23 3x 1 4 1x 1 12 4 5 x 1 4

67. 5 2 6 32t 2 2 1t 1 32 4 5 8 2 t

69. 3 3x 2 12 2 x2 2 2x 4 5 3 14 2 x2

71. 3

4t 2

7

125

1

6

73. 1

2x 2

3

4x 1

5

85

3

2x 2

5

2

75. 2a 2 9

51 3 5 2a

77. 2x 2 1

41

3x 1 4

85

1 2 4x

12

79. 1

5120x 1 302 5

1

316x 1 362

81. 2 1y 2 42 1 8 51

216y 1 202

83. 1

2x 2

3

55

2

5x 1

1

2

85. 21.6 1b 2 2.352 5 211.28

87. x 1 0.06 60 5 0.20 x 1 20 1 1 112 2 2 2

2

†

†



88. Considere la ecuación 23 35 2 4 1x 2 22 4 5 5 1x 2 52 . ¿Cuántas veces utilizaría la pro-piedad distributiva para eliminar los símbolos de agrupación si resuelve la ecuación?

89. ¿Cuál de las ecuaciones siguientes es equivalente a la ecuación del ejercicio 88?

(i) 215 1 12 1x 2 22 5 5x 2 25 (ii) 23 3x 2 2 4 5 5 1x 2 52

(iii) 23 35 2 4x 2 8 4 5 5x 2 25

Problemas de aplicación (Revise la página 60.)

PREPÁRESE

90. Cuando una expresión se convierte en una ecuación, la palabra “es” se convierte en el signo ? .

91. Suponga que 10 amigos van a cenar a un restaurante. Algunas personas del grupo ordenan el buffet, mientras que el resto ordena el combo de sopa y sándwich. Si 2 personas ordenan el buffet, entonces el número de personas que ordenan el combo de sopa y sándwich es ? . Si 7 personas ordenan el buffet, entonces el número de personas que ordenan el combo de sopa y sándwich es ? . Si 7 personas ordenan el buffet, entonces una expresión que representa el número de personas que ordenan elcombo de sopa y sándwich es ? .

92. Temperatura La temperatura Fahrenheit es 59°. Esto es 32° más que 95 de la temperatura Celsius. Calcule la temperatura Celsius.

93. Temperatura La temperatura Celsius en una mañana de otoño fue de 5º. Esto es 59 de la diferencia entre la temperatura Fahrenheit y 32°. Calcule la temperatura Fahrenheit.

94. Mano de obra La factura por la reparación de su automóvil es por $428.55. El cargo por las refacciones fue de $148.55. Un mecánico trabajó en su automóvil durante 4 horas. ¿Cuál fue el cargo por hora de mano de obra?

95. Consumerismo Una tienda local de alimentos vende por $10.90 una bolsa de 100 libras de alimento. Si un cliente compra más de una bolsa, cada bolsa adicional cuesta $10.50. Un cliente compró $84.40 de alimento. ¿Cuántas bolsas de 100 libras de alimentocompró?

96. Consumerismo El Showcase Cinema of Lawrence cobra $7.75 por un boleto de adultos y $4.75 por un boleto de niños para todos los espectáculos antes de las 6:00 P.M. Si una familia de seis integrantes paga $34.50 para entrar a un espectáculo por la tarde, ¿cuántos boletos de adultos y cuántos de niños compró la familia?

97. Sueldos Vea el recorte de prensa de la derecha. Calcule la tarifa por hora que se pagará a los profesores por las horas extra que trabajarán.

98. Consumerismo La tarifa de admisión por familia en un zoológico de la ciudad es $7.50 por la primera persona y $4.25 por cada miembro de la familia adicional. ¿Cuántas perso-nas hay en una familia que paga $28.75 por su admisión?

99. Impuesto federal sobre la renta El impuesto federal anual sobre la renta en Char-lotte fue $4681.25, más 25% de sus ingresos que rebasan los $34,000. Si pagó $8181.25 por el impuesto federal sobre la renta, ¿cuál fue su ingreso anual?

100. Impuesto federal sobre la renta El impuesto federal anual sobre la renta para una pareja de esposos que presentan juntos su declaración de impuestos fue $9362.50, más 25% de sus ingresos que rebasan los $68,000. Si pagaron $10,612.50 por el impuesto fede-ral sobre la renta, ¿cuáles fueron sus ingresos anuales?

†

En las noticias

Horas extra para los profesoresEn un esfuerzo por mejorar el desempeño de los estudiantes,se solicitó a los profesores de12 escuelas de la ciudad que, por un incremento de sueldo relativamente pequeño, traba-jen más horas al día el próxi-mo año. Por trabajar 190 horas adicionales, un profesor que actualmente gana 79,400 dólares al año vería que su sueldo aumenta a 83,500 dólares al año.

Fuente: The Boston Globe



APLICACIÓN DE CONCEPTOSResuelva.

101. 1

1

y

5 29

103. 10

3

x

2 5 5 4x

.201 8 41

x5 23

.401 6

7

a

5 218

Resuelva. Si la ecuación no tiene solución, escriba “sin solución”.

105. 2 33 1x 1 42 2 2 1x 1 12 4 5 5x 1 3 11 2 x2

107. 4 3 1x 2 32 1 2 11 2 x2 4

55 x 1 1

109. 3 12x 1 22 2 4 1x 2 32 5 2 1x 1 92

.601 3 34 1 y 1 22 2 1 y 1 52 4 5 3 13y 1 12

.801 4 1x 2 52 2 1x 1 12

35 x 2 7

.011 2584 4 x 5 5446

x

PROYECTOS 0 ACTIVIDADES EN EQUIPORecuerde que un número entero par es un entero que es divisible entre 2. Un número entero impar es un entero que no es divisible entre 2.

Los enteros consecutivos son enteros que siguen en orden uno después de otro. Los ejemplos de enteros consecutivos se muestran a la derecha.

A la derecha se muestran ejemplos de enteros pares consecutivos.

A la derecha se muestran enteros impares con-secutivos.

111. La suma de tres números enteros consecutivos es 33. Encuentre los enteros.

112. La suma de tres números enteros impares consecutivos es 105. Encuentre los enteros.

113. La suma de cuatro números enteros pares consecutivos es 92. Encuentre los enteros.

OBJETIVO Problemas de mezcla de valores

Un problema de mezcla de valores implica la combinación de dos ingredientes que tienen pre-cios diferentes en una sola mezcla. Por ejemplo, un fabricante de café puede mezclar dos tipos de café en una mezcla única.

Una solución a un problema de mezcla de valores se basa en la ecuación V = AC, donde V es el valor del ingrediente, A la cantidad del ingrediente y C el costo por unidad del ingrediente.

8, 9, 10 23, 22, 21n, n 1 1, n 1 2, donde n es un número entero

16, 18, 20 26, 24, 22n, n 1 2, n 1 4, donde n es un entero par

11, 13, 15 223, 221, 219n, n 1 2, n 1 4, donde n es un entero impar

Mezcla de valores y problemas de movimiento2.2


SECCIÓN 2.2 Mezcla de valores y problemas de movimiento 65

Por ejemplo, podemos utilizar la ecuación de mezcla de valores para obtener el valor de 12 libras de café que cuestan $5.25 por libra.

V 5 AC

V 5 12 15.252

V 5 63

El valor del café es $63.

Resuelva: ¿Cuántas libras de cacahuates que cuestan $2.25 por libra deben mezclarse con 40 libras de nueces de la India que cuestan $6.00 por libra para hacer una mezcla que cuesta $3.50 por libra?

ESTRATEGIA PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE MEZCLA DE VALORES

� Por cada ingrediente de la mezcla, escriba una expresión numérica o algebraica para la cantidad del ingrediente empleado, el costo unitario del ingrediente y el valor de la cantidad utilizada. Para la mezcla, escriba una expresión numérica o algebraica para la cantidad, el costo unitario de la mezcla y el valor de la cantidad. Los resultados pueden registrarse en una tabla.

Cantidad de cacahuates: x

Cantidad, A # Costo unitario, C = Valor, V

Cacahuates x # 2.25 = 2.25x

Nueces de la India

40 # 6.00 = 6.00(40)

Mezcla x + 40 # 3.50 = 3.50(x + 40)

� Determine cómo se relacionan los valores de los ingredientes individuales. Utilice el hecho de que la suma de los valores de los ingredientes es igual al valor de la mezcla.

La suma de los valores de los cacahuates y las nueces de la India es igual al valor de la mezcla.

2.25x 1 6.00 1402 5 3.50 1x 1 402

52.2 x 1 240 5 3.50x 1 140

21.25x 1 240 5 140

21.25x 5 2100

x 5 80

La mezcla debe contener 80 lb de cacahuates.

¿Cuántas onzas de una aleación de oro que cuesta $320 la onza deben mezclarse con 100 onzas de una aleación que cuesta $100 la onza para elaborar una mezcla que cuesta $160 la onza?

EJEMPLO 1

$2.25por

libra

$6.00por

libra

$3.50

por

libra

100 onzas

x onzas



Estrategia � Onzas de la aleación de oro de $320: x

Cantidad Costo Valor

Aleación de $320

x 320 320x

Aleación de $100

100 100 100(100)

Mezcla x + 100 160 160(x + 100)

� La suma de los valores antes de la mezcla es igual al valor después de la mezcla.

Solución 320x 1 100 11002 5 160 1x 1 1002023 x 1 10,000 5 160x 1 16,000061 x 1 10,000 5 16,000

061 x 5 6000 x 5 37.5

La mezcla debe contener 37.5 onzas de la aleación de oro de $320.

Problema 1 Un carnicero mezcló carne molida para hamburguesa que cuesta $4.00 por libra con otra que cuesta $2.80 por libra. ¿Cuántas libras de cada una se utilizaron para elaborar una mezcla de 75 libras que cuesta $3.20 por libra?



OBJETIVO Problemas de movimiento uniforme

Cualquier objeto que se desplaza a una velocidad constante en línea recta se dice que está en movimiento uniforme. El movimiento uniforme significa que la velocidad y la dirección de un objeto no cambian. Por ejemplo, un tren que viaja a una velocidad constante de 50 millas por hora en una vía recta está en movimiento uniforme.

La solución de un problema de movimiento uniforme se basa en la ecuación d = r t, donde d es la distancia recorrida, r la velocidad a que se viaja y t el tiempo que dura el viaje. Por ejemplo, suponga que un tren viaja durante 2 horas a una velocidad promedio de 45 mph. Debido a que el tiempo (2 horas) y la velocidad (45 mph) son conocidas, podemos calcular la distancia recorrida al resolver d para la ecuación d = rt.

d 5 rt

d 5 45 122 • r 5 45, t 5 2

d 5 90

El tren viaja una distancia de 90 millas.

en utilizar la ecuación d = rt

Un chef sale de un restaurante y conduce a su casa, que está a 16 millas de distancia. Si el chef tarda 20 minutos en llegar, ¿cuál es la velocidad promedio a la que conduce?

Dado que la respuesta debe estar en millas por hora y el tiempo en minutos, convierta

20 minutos a horas: nim 02 52060 h 5 1

3 h.

†

Concéntrese

Cómo se usaEl receptor de un sistema de posicionamiento global (GPS) de un automóvil utiliza en repetidas ocasiones la ecuación d = rt cada vez que determina la ubicación del automóvil, siendo r la velocidad de la luz y t el tiempo que tarda una señal en viajar desde un satélite GPS al receptor en el automóvil.


SECCIÓN 2.2 Mezcla de valores y problemas de movimiento 67

Para calcular la tasa de velocidad, resuelva r para la ecuación d = rt, sustituyendo los valores d = 16 y t 5 1

3.

Si dos objetos se mueven en direcciones opuestas, en-tonces la velocidad a la cual la distancia entre ellos está aumentando es la suma de las velocidades de los dosobjetos. Por ejemplo, en el diagrama de la derecha, dos corredores parten del mismo punto y corren en direcciones opuestas. La distancia entre ellos cambia a una velocidad de 21 pies/s.

Asimismo, si dos objetos se mueven aproximándose entre sí, la distancia entre ellos está disminuyendo a una velocidad que es igual a la suma de las veloci-dades. La velocidad a la cual los dos ciclistas de la derecha se aproximan entre sí es 35 mph.

en utilizar la ecuación d = rt

Dos automóviles parten del mismo punto y se mueven en direcciones opuestas. El auto-móvil que se desplaza hacia el oeste viaja a 50 mph, y el que se desplaza al este viaja a 65 mph. ¿En cuántas horas los automóviles estarán a 230 millas de distancia?

Los automóviles se desplazan en direcciones opuestas, así que la velocidad a la cual la distancia entre ellos está cambiando es la suma de las velo-cidades de los automóviles. Por tanto, r = 115.

La distancia es 230 millas. Para calcular el tiempo, resuelva para t d = rt.

La velocidad de crucero típica de un avión Boeing 777es 525 mph. Sin embargo, el viento afecta la velocidad del avión. Por ejemplo, cuando un avión está volando de California a Nueva York, el viento está por lo general en la dirección de vuelo, aumentando así la velocidad efectiva del avión. Si la velocidad del viento es de50 mph, entonces la velocidad efectiva del avión es la suma de la velocidad del avión y la velocidad del viento: 525 mph + 50 mph = 575 mph.

d 5 rt

16 5 ra1

3b

61 51

3r

13216 5 132 13

r

84 5 r

La velocidad media es 48 mph.

12 pies/s

9 pies/s + 12 pies/s = 21 pies/s

9 pies/s

20 mph

35 mph

15 mph

Concéntrese

65 mph

115 mph

50 mph

d 5 rt 230 5 115t

230

1155

115t

115

25 t

El tiempo es 2 h.

Velocidad efectiva

575 mph

viento

50 mph 525 mph

Tome notaLa abreviatura pies/s significa “pies por segundo”.

50 mph + 65 mph = 115 mph

Tome notaLa corriente en chorro que fluye generalmente de oeste a este a través de Estados Unidos afecta el tiempo que tarda un avión en volar desde Los Ángeles a Nueva York. Por ejemplo, en un día cualquiera, el tiempo de vuelo desde Nueva York a Los Ángeles es aproximadamente unos 40 minutos más largo que el viaje de Los Ángeles a Nueva York.


Entre las muchas preguntas que se plantean al iniciar el proceso de revisión

de un libro de texto, la más importante es: ¿Cómo podemos mejorar la

experiencia de aprendizaje del estudiante? Encontramos respuestas a

esta pregunta de diversas maneras, pero con mayor frecuencia al hablar

con estudiantes y profesores, así como al evaluar la información escrita

que recibimos de nuestros clientes. Nuestra meta fi nal es incrementar el

enfoque en el estudiante.

• Nueva sección Inténtelo, cuyas indicaciones se

incluyen al fi nal de cada Ejemplo/Problema par.

• La sección Concéntrese enfatiza en torno al tipo

específi co de problema que debe dominar para

tener éxito en los ejercicios de tarea o en un

examen.

• Los ejercicios de Aplicación de conceptos

profundizarán su comprensión de los temas de

la sección.

• Nueva sección En las noticias, la cual le ayudará

a observar la utilidad de las matemáticas en

nuestro mundo cotidiano. Se basa en

la información obtenida de fuentes de medios

de comunicación conocidos, como periódicos,

revistas e Internet.

• Ejercicios de Proyectos o actividades en equipo se

incluyen al fi nal de cada serie de ejercicios.

• Los recuadros Punto de interés, que mantienen

relación con el tema objeto de discusión de

estas cuestiones, pueden ser de naturaleza

histórica o de interés general.

• Nueva sección Cómo se usa. Estos

recuadros se relacionan con el tema en

estudio. Presentan escenarios del mundo

real que demuestran la utilidad de los

conceptos seleccionados en el libro.

• Los recuadros de Tecnología contienen

instrucciones para utilizar una calculadora

grafi cadora.

• El enfoque del libro en la solución de

problemas hace hincapié en la importancia de

una estrategia bien defi nida. Las estrategias

del modelo se presentan como guías para que

a medida que intente resolver el problema, al

mismo tiempo le acompañen en cada ejemplo

numerado.

Confi amos en que las características nuevas y mejoradas de la octava edición le ayudarán a

comprometerse más exitosamente con el contenido. Al reducir la brecha entre lo concreto y lo

abstracto, entre el mundo real y el teórico, podrá ver con mayor claridad que el dominio de las

habilidades y temas presentados está a su alcance y que bien vale la pena el esfuerzo.

Lo nuevo en esta edición

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Álgebra Intermedia. 8a. Ed. Richard N. Aufmann y Joanne S. Lockwood

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