Richard ramos

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SUMATORIAS Por sumatoria se entiende la suma de un conjunto finito de números, que se denota como sigue: S= k=h h+t n k =n h +n k+ 1 +…+n h+t1 +n h+ t donde: S: magnitud resultante de la suma. T: cantidad de valores a sumar. k: índice de la suma, que varía entre h y h+t h: punto inicial de la sumatoria h+t: punto final de la sumatoria n k : valor de la magnitud objeto de suma en el punto k Un tipo particular de sumatoria de gran importancia lo es el caso cuando t→ ∞, que se conoce como serie y se representa de la manera siguiente: S= k=h n k Considerando la amplitud que reviste el análisis de las series, este tema no será abordado en este trabajo. III. Propiedades de las sumatorias

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SUMATORIAS

Por sumatoria se entiende la suma de un conjunto finito de números, que se denota como

sigue:

S=∑k=h

h+t

nk=nh+nk+1+…+nh+t−1+nh+t

donde:

S: magnitud resultante de la suma.

T: cantidad de valores a sumar.

k: índice de la suma, que varía entre h y h+t

h: punto inicial de la sumatoria

h+t: punto final de la sumatoria

nk: valor de la magnitud objeto de suma en el punto k

Un tipo particular de sumatoria de gran importancia lo es el caso cuando t→ ∞, que se

conoce como serie y se representa de la manera siguiente:

S=∑k=h

nk

Considerando la amplitud que reviste el análisis de las series, este tema no será abordado en

este trabajo.

III. Propiedades de las sumatorias

Entre las propiedades generales de las sumatorias reportadas en la literatura se encuentra las

once que se relacionan a continuación, cuya demostración se realiza utilizando el

procedimiento matemático de Inducción Completa.

III.1 Reportadas en la literatura

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Propiedad #1: ∑k=1

n

k=n (n+1 )

2

Propiedad #2: ∑k=p

q

k=(q+ p ) (q−p+1 )

2

Propiedad #3: ∑k=1

n

2k=n (n+1 )

Propiedad #4: ∑k=1

n

(2 k−1 )=n2

Propiedad #5: ∑k=1

n

( 4k−1 )=n (2n+1 )

Propiedad #6: ∑k=1

n

4 k=2 n (n+1 )

Propiedad #7: ∑k=1

n

k 2=n (n+1 ) (2n+1 )

6

Propiedad #8: ∑k=1

n

k ( k+1 )= 13

n (n+1 ) (n+2 )

Propiedad #9: ∑k=1

n1

k (k+1 )= n

n+1

Propiedad #10: ∑k=1

n

k 3=[ n ( n+1 )2 ]

2

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Propiedad #11: ∑k=1

n

k 4=n (n+1 ) (2n+1 ) (3n2+3n−1 )30

La integral de Riemann

 

 

CONCEPTO DE INTEGRAL

 

La geometría nos facilita ciertas fórmulas para calcular el área de determinadas figuras

(círculo, triángulo, etc.). El problema se nos plantea cuando deseamos conocer el área

definida por una función y = f(x), por ejemplo cuando alcanza zonas positivas y zonas

negativas. Es decir, partiendo de un punto O y teniendo dos intervalo (a, O) y (O, b), el

número que asignamos como área de R(f, a, b) recibirá el nombre de integral de f sobre [a,

b].

 

Partición

 

Sea a < b. Recibe el nombre de partición del intervalo [a, b] toda colección finita de puntos

de [a, b], de los cuales uno es a y otro es b.

 

Ejemplo

 

Partición en cuatro subintervalos

 

a = t0 < t1 < t2 < t3 < t4 = b

 

mi = mínimo de f en el intervalo i

Mi = máximo de f en el intervalo i

 

s = m1 · (t1 - t0) + m2 · (t2 - t1) + m3 · (t3 - t2) + m4 · (t4 - t3)

S = M1 · (t1 - t0) + M2 · (t2 - t1) + M3 · (t3 - t2) + M4 · (t4 - t3)

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Generalizando: supongamos una función f acotada sobre [a, b] y P una partición de [a, b]:

 

       mi = inf { f(x) : ti-1 <= x <= ti }

       Mi = sup { f(x) : ti-1 <= x <= ti }

 

Valor de una integral

 

        La suma superior de f para P es U( f, P ) = Sumatorio desde i = 1 hasta n de Mi ·

( ti - ti-1 )

        La suma inferior de f para P es L( f, P ) = Sumatorio desde i = 1 hasta n de mi ·

( ti - ti-1 )

 

Se cumple que:

 

L( f, P ) <= U( f, P )

 

Si aumentamos los puntos de la partición, es decir:

 

P = partición de n puntos || Q = partición de k puntos || k > n

L( f, P ) <= L( f, Q ) || U( f, P ) >= U( f, Q )

 

Al incrementar sucesivamente los puntos de la partición:

 

L1 <= L2 <= L3 <= L4 <= ... <= Ln <= A <= Un <= ... <= U4 <= U3 <= U2 <= U1

 

 

FUNCIONES INTEGRABLES

 

Definición

 

Page 5: Richard ramos

Una función f acotada sobre [a, b] es integrable sobre [a, b] si:

 

sup { L( f, P ) : P es una partición de [a, b] } = inf { U( f, P ) : P es una partición de [a, b] }

 

En este caso este número común recibe el nombre de integral de f sobre [a, b] y se denota

por:

∫a

b

f donde L( f ,P)≤∫a

b

f ≤U (f , P) para todas las particiones de [a, b]

 

Teorema

 

Sea f una función acotada sobre [a, b], entonces f es integrable sobre [a, b] si y sólo si para

todo e > 0, existe una partición de P en [a, b] tal que:

 

U( f, P ) - L( f, P ) < e

 

Si una función es continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b]. Si f es continua en [a,

b] salvo en un conjunto finito de puntos, y es además acotada en [a, b], entonces es

integrable.

 

Propiedades

∫a

b

( m• f ( x )+n• g (x ) ) • dx=m∫a

b

f (x) · dx+n∫a

b

g (x) · dx

Si g(x) <= f(x) para todo el intervalo [a, b]

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∫❑

g (x)•dx≤¿∫❑

f (x )• dx

∫a

b

f (x )· dx=¿∫a

b

f (x)•dx+¿∫a

b

f (x)• dx¿¿

 

 

 

INTEGRAL INDEFINIDA

 

Si f es una función integrable en [a, b], llamamos integral indefinida de f, a la función:

F (x)=∫a

x

f · dx

 

 

Si f es una función acotada e integrable en [a, b], F(x) es continua en [a, b].

 

Primer Teorema Fundamental del Cálculo Integral

 

Si f es una función integrable en [a, b] y continua en un x0 perteneciente a [a, b], entonces

la integral indefinida F es derivable en x0 y además F ' (x0) = f (x0). Este teorema nos

permite calcular integrales indefinidas buscando la primitiva de la función bajo el signo

integral (integrando), es decir, una función cuya derivada nos dé como resultado el

integrando de la integral:

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∫ f (x )• dx=F (x)+C=¿(F (x )+C)'= f (x) 

 

Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral

 

Regla de Barrow

∫a

x

f (x )• dx=F (x)−F (a)

 

∫a

b

f (x )• dx=F (b)−F (a)

 

 

f(x) es una función integrable en el intervalo y que admite primitiva.

 

Ejemplo

Calcular la integral de ( x3−2 )2. x2dx

 

Calcular la integral de (x^3 - 2)^2 · x^2 · dx :

 

∫ ( x3−2 )2• x2 •dx=∫(x6+4−4 x3) x2dx=∫(x8−4 x5+4 x2)• dx

 

F (x)= x9

9−4 x6

6+ 4 x3

3+K

F(x) = x^9 / 9 - 4x^6 / 6 + 4x^3 / 3 + K

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FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN

Dada una función cualquiera f(x) definida en un intervalo cerrado [a,b], se llama

función primitiva de f(x) a otra función F(x) cuya derivada sea f(x) en dicho

intervalo. Es decir, F'(x) = f(x) para todo x de [a,b].

Así:

La función sen x es una primitiva de cos x puesto que (sen x)' = cos x.

 

 

PROPIEDADES DE LAS PRIMITIVAS DE UNA FUNCION

Primera propiedad

Si F(x) es una primitiva de f(x) y C una constante cualquiera (un número), la

función

F(x) + C es otra primitiva de f(x).

Demostración:

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Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las

derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero.

(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)

 

Ejercicio: primitivas de una función

Encontrar tres primitivas de la función cos x.

Resolución:

Se sabe que sen x es una primitiva de cos x.

Tres primitivas de cos x son, por ejemplo,

Segunda propiedad

Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas.

Demostración:

Si F(x) es una primitiva de f(x), para cualquier constante C, F(x) + C es otra

primitiva según la anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como valores se le

quieran dar

a C.

Tercera propiedad

Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante. Esto es, si

F(x) y G(x) son primitivas de la función f(x), entonces F(x) - G(x) = C = cte.

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INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNC.

Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas

de la función f(x), y se simboliza

Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis».

Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),

donde C representa una constante llamada constante de integración.

 

Ejercicio: cálculo de primitivas

Resolución:

Puesto que una primitiva de cos x es sen x,

Resolución:

Por consiguiente,

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Resolución:

INTEGRALES INMEDIATAS

De la derivación de funciones elementales se deducen sus correspondientes

integrales llamadas inmediatas. Es necesario aprender estos resultados si se pretende

ser ágil en el cálculo de otras integrales menos sencillas.

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Ejercicio:

Resolución:

 

Resolución:

Por la propiedad del producto de potencias de la misma base,

Por tanto,

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MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

Integración por descomposición

Este método se basa en la aplicación de dos propiedades elementales de las

integrales:

Primera propiedad de las integrales

La integral de una suma (respectivamente diferencia) de funciones, es igual a la

suma (respectivamente diferencia) de las integrales de las funciones.

Esto es,

Segunda propiedad de las integrales

La integral del producto de una constante por una función, es igual al producto de la

constante por la integral de la función.

Es decir,

Ejercicio: cálculo de integrales aplicando el método por descomposición

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Integración por cambio de variable (o sustitución)

Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante

un cambio de la variable independiente. Aunque algunos casos tienen un método

preciso, es la práctica, en general, la que proporciona la elección del cambio de

variable más conveniente.

 Ejercicio:

Resolución:

 

Ejercicio: cálculo de integrales por cambio de variable

Resolución:

Se multiplica y se divide por 6:

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INTEGRAL DEFINIDA

El cálculo de áreas de figuras como el cuadrado, el rectángulo, el rombo, etc.,

además de sencillo tiene un claro significado: el área de una figura es un número

que coincide con el de cuadrados de lado unidad que recubren exactamente la

figura. Se puede cuestionar entonces si cualquier figura tiene área y cómo se

calcula.

Para responder a esta cuestión se puede empezar por tomar una función muy

sencilla, por ejemplo f(x) = x, dibujarla en un sistema de ejes cartesianos y tratar de

calcular el área de la superficie limitada por la función, el eje de abscisas y la

ordenada correspondiente a la abscisa x = 1.

Evidentemente, la superficie es un triángulo rectángulo de base 1 y altura también la

unidad, por tanto su área es 1/2.

Es claro que este problema carece de toda dificultad. No obstante, se puede

aprovechar su simplicidad para intentar obtener algo útil en otros casos menos

sencillos.

 

Si se divide el intervalo [0,1] en, por ejemplo, cuatro intervalos de igual longitud:

[0, 1/4], [1/4, 2/4], [2/4, 3/4], [3/4, 4/4], y se trazan rectángulos como se observa en

la figura, la suma de las áreas de los rectángulos rayados es menor que el área del

triángulo; mientras que la suma de las áreas de los rectángulos punteados, exceden

al área del triángulo.

 

Calculando estas áreas se obtiene:

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Al área por defecto, 0,375, le falta mucho para llegar a 0,5; y el área por exceso,

0,625, se encuentra considerablemente lejos de 0,5.

Ahora bien, si se divide en muchas más partes el intervalo [0, 1], parece lógico que

las diferencias que han resultado en el caso anterior, tenderán a disminuir. Si se

divide ahora el intervalo [0, 1] en n intervalos de longitud 1/n, la superficie que se

«desperdicia» es menor, si n > 4.

 

Área por defecto:

Área por exceso:

 

Como los numeradores son progresiones aritméticas, el resultado es:

 

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Además,

Todo ello pone de manifiesto que al dividir el intervalo [0, 1] en un número

infinitamente grande de intervalos iguales, el área por defecto coincide con el área

por exceso y ambas con el área del recinto que se está calculando.

 

Partición de un intervalo [a, b]

Una partición del intervalo [a, b] es una colección de intervalos contenidos en [a,

b], disjuntos dos a dos (sin ningún punto en común) y cuya unión es [a,b]. La

partición de un intervalo queda determinada por los extremos de los nuevos

intervalos, y por esto, la partición se suele expresar nombrando dichos extremos. En

la figura, la partición de

[a, b] es:

Estos extremos se suelen escribir en orden creciente,

a = x0 < x1 < x2 < x3 < x4 < x5 = b

 

Ejemplo de partición

Page 18: Richard ramos

Función escalonada

Sea f una función definida en un intervalo [a, b] y tomando valores en

R, f:[a,b] R;f es una función escalonada cuando existe una partición del

intervalo [a, b] de modo que f toma valores constantes en el interior de cada uno de

los intervalos de la partición.

Ejemplos de funciones escalonadas

1. La función f: [-3, 4] R definida por:

La partición asociada a f(x) es P = {-3, 2, 4} y en cada intervalo la función es

constante.

Obsérvese que para cada función escalonada existe una infinidad de particiones

asociadas. Por ejemplo, {-3, -2,0, 2, 3, 4} es otra partición asociada a f, ya que la

función toma valores constantes en cada intervalo de la partición.

2. El ejemplo más representativo de función escalonada es la función parte

La imagen de un número cualquiera mediante E[x] es el mayor número entero que

es menor o igual que el número del que se parte.

Así,

E [3,105] = 3

E [5] = 5

E [-3,001] = -4

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E [-1,5401] = -2

E [7,32] = 7

E [-1,52] = -2

De una función escalonada sólo van a interesar los valores que toma en el interior

de cada intervalo que compone la partición, no considerando el valor que toma en

los extremos.

 

INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCION ESCALONADA

Sea f una función escalonada definida en [a, b], y P = {a = x0, x1, x2, ..., xn = b}

una partición de [a, b]. Si mi es el valor que toma la función f en el intervalo (xi-1,

xi) (es decir, si x (xi-1, xi), f(x) = mi ), se llama integral de la función f en [a, b] al

número

m1(x1 - x0) + m2(x2 - x1) + m3(x3 - x2) + ... + mn(xn - xn-1)

 

Este número se simboliza por:

A los números a y b se les llama límites de integración, y la anterior expresión se

lee «integral, entre a y b, de f(x) diferencial de x».

 

Propiedades de la integral definida de una función escalonada

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La integral definida de una función escalonada no depende de la partición

elegida.

Esto significa que si se consideran dos particiones P y P' de una función

Si los límites de integración, en una integral definida de una función escalonada,

coinciden, entonces

Si en una integral definida se intercambian los límites de integración, el valor de

la integral cambia de signo:

 

Ejercicio: cálculo de integrales definidas de funciones escalonadas

Resolución:

Se toma la partición asociada P = {-3, -1, 2, 4}

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Resolución:

Se toma, por ejemplo, la partición P = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}

Por definición,

 

 

INTEGRAL DE RIEMANN

Ahora se va a definir la integral de una función cualquiera definida en un intervalo

[a, b] con la única condición de que esté acotada, es decir, que exista un número M

> 0, de forma que la función, en el intervalo [a, b], siempre tome valores entre -M y

M.

Volviendo al ejemplo introductorio del tema, f(x) = x, es necesario recordar que para

el cálculo del área de un triángulo se tomaron funciones escalonadas g(x)

cumpliendo g(x) f(x) para cualquier x [a, b] y otras funciones escalonadas h(x)

tales que f(x) h(x) si x [a, b]. De todo ello resultaba que:

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En general, para una función f(x) acotada, se toman todas las funciones escalonadas

g(x) por defecto, y todas las funciones escalonadas por exceso, es decir, g(x) f(x)

h(x) cuando x [a, b]. En estas condiciones, si existe un único número I que

cumpla

para cualesquiera g(x) y h(x) escalonadas, que cumplan g(x) f(x) h(x) si

x [a, b], al número I se le llama integral de f(x) entre a y b.

y se lee «integral, desde a hasta b, o entre a y b, de f(x),diferencial de x.

 

significado de la integral definida de una función

Si una función positiva f(x), definida en un intervalo [a,b], es integrable (existe

su por

la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b.

Si la función y = f(x) fuese negativa en el intervalo [a, b], la gráfica de la función

quedaría por debajo del eje de abscisas.

En este caso, al tomar funciones escalonadas por exceso y por defecto, sus

integrales correspondientes serían negativas, y puesto que

Page 23: Richard ramos

el área

de la región que determina una función negativa es:

Este hecho no debería llamar la atención si se tiene presente cómo está definida la

integral de una función escalonada: la suma de las áreas de los rectángulos que

determina con el eje de abscisas, si la función escalonada es positiva y la suma de

las áreas de los rectángulos que determina con el eje de abscisas con signo menos, si

la función escalonada es negativa.

 

Finalmente, si la gráfica de una función queda parte por encima, y parte por

debajo del eje de abscisas, la integral se descompondrá en varios sumandos cuando

se quiera calcular el área de la región que delimita con el eje de abscisas en el

intervalo [a, b].

Se ve claramente que:

Page 24: Richard ramos

 

La definición de integral de Riemann poco ayuda a su cálculo, pues es imposible

encontrar todas las funciones escalonadas por defecto y por exceso de otra función

dada. Hay, no obstante, criterios que son mucho más útiles de cara a decidir si una

función acotada es integrable o no. Uno de ellos se obtiene con el siguiente teorema,

cuya demostración se omite por escapar de los objetivos de este libro.

 

Teorema

Toda función continua en un intervalo es integrable en dicho intervalo.

Si y = f(x) es una función continua definida en un intervalo [a, b], entonces f(x) es

Con este teorema resulta evidente la integrabilidad de funciones como sen x, cos x,

de cualquier función polinómica y, en general, de cualquier función continua.

Aún así, todavía no hay nada que permita calcular de una manera rápida la integral

de una función f(x) definida en un intervalo [a, b].

 

 

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Sea una función y = f(x) integrable en el intervalo [a, b], por tanto, tiene sentido y

existe

A partir de f(x) se define una nueva función G de la siguiente forma:

Page 25: Richard ramos

Obsérvese que se ha llamado t a la variable de la función G para no confundirla con

la variable x de la función f.

En estas condiciones, si t0 [a, b] es un punto en el que la función f es continua, la

función G es derivable en t0 y el valor de la derivada en t0 es G'(t0) = f(t0). Es

decir, la derivada de la función G en un punto coincide con el valor de f en ese

mismo punto, o lo que es lo mismo, si la función f es continua, la función G es una

primitiva de la función f.

El teorema fundamental del cálculo pone todo a punto para encontrar un método

que permita resolver las integrales definidas de un modo sencillo. Basta, para ello,

con utilizar la importante consecuencia que de él se deriva y que se conoce como

Regla de Barrow.

Regla de Barrow

Si y = f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y F(x) una función definida

en [a,b], derivable y primitiva de f(x), es decir, F'(x) = f(x) para cualquier x (a, b),

entonces

Este resultado es conocido, frecuentemente, por «segunda parte del teorema

fundamental del cálculo». Es obligado hacer notar que, para resolver una integral

definida de una función continua, basta con encontrar una primitiva de la función,

sustituir en ella los límites de integración superior e inferior respectivamente y

restar ambos valores.

Page 26: Richard ramos

Claro es que, aunque la regla de Barrow dé un método para el cálculo de integrales

definidas, no siempre es fácil encontrar las primitivas de una función.

Conviene observar también que como F(b) - F(a) es un número, es decir, no

depende de la variable x, y que si F(x) es una primitiva de f(x), F(t) es una primitiva

de f(t), f(u) es una primitiva de f(u), etc., todas las expresiones siguientes tienen el

mismo significado:

 

Ejercicio: cálculo de áreas

Calcular el área encerrada por la curva y = x2, el eje de abscisas y las rectas

x = 1 y x = 2.

 

Resolución:

Dos propiedades fundamentales de la integral definida

Las dos propiedades fundamentales del cálculo de primitivas siguen siendo válidas

en el cálculo de integrales definidas:

Page 27: Richard ramos

1. Si K es un número real cualquiera,

Forma integral del Teorema del valor medio

Para una función continua   en el cerrado  , existe un valor   en dicho intervalo,

tal que1

Demostración Dado que la función   es continua en el cerrado  , posee un valor

máximo en dicho intervalo para algún  , que llamaremos   y

también un valor mínimo en el mismo intervalo:  , para algún  . Es

decir   y  . Si consideramos las

áreas de los rectángulos con base   y altura   ó   tendremos la siguiente

desigualdad:

Lo que implica:

Page 28: Richard ramos

De donde se deduce que debe existir algún   para el cual la función   alcanza el

valor de la integral  , es decir:

El teorema no especifíca como determinar  , pero resulta que   coincide con el valor

medio (promedio) de la función   en el intervalo  .