PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

MAESTRIA EN ECONOMIA

Pronóstico del volumen de negociación del mercado secundario de renta

fija en Colombia a través de la modelación no lineal STAR

Presentado por

Miller Janny Ariza Garzón.

Dirigido por

Profesora Martha Misas Arango.

21 de Agosto de 2014. Bogotá, Colombia.

1

I. INTRODUCCIÓN

Los títulos de renta fija o de contenido crediticio, incorporan un derecho de crédito, y por ende, pago al vencimiento en moneda legal al portador, sobre el

principal y sus rendimientos. Estos títulos registran en su tasa facial, si se trata de una tasa fija o variable, así como la forma de liquidación (modalidad y periodicidad).

Dentro de esta clasificación se encuentran los bonos de deuda privada y pública, los certificados de depósito a término (CDT), papeles comerciales, aceptaciones

bancarias en plazo, entre otros. Formalmente el mercado de renta fija, está formado por instrumentos representativos de emisiones de deuda que realiza el estado y las

empresas, dirigidas a los participantes del mercado de capitales1.

De acuerdo con el estudio técnico de la BVC (2012), sobre la evolución y diagnóstico del mercado de renta fija en Colombia en lo corrido de los años 2002 a

2011, este mercado se ubica en una III etapa denominada de recuperación no

sostenida, característica a partir del año 2009, luego de las fases de crecimiento (2002-2006) y contracción en la liquidez de los dos años siguientes.

La participación relativa de los instrumentos de Renta Fija alcanza un nivel del

91% del volumen total del mercado local, con un nivel de rotación (Volumen negociado/saldo en circulación) anual del 10,87 y un volumen negociado que logra

duplicar el PIB2.

El comportamiento del volumen transado está asociado al comportamiento de las variables macroeconómicas, producto de las políticas fiscales y monetarias, en

particular las tasas de interés.

Las tasas de interés, desempeñan un papel importante en la dinámica económica. Tienen un impacto directo, en función del nivel de liquidez registrado en

el aparato económico. Si la economía está en presencia de alta liquidez, aumenta la

demanda por instrumentos financieros, que a su vez genera un aumento en sus precios, condición que implica reducción en las tasas de interés, y que reconoce el

mercado secundario. Visto de otra manera, ante una restricción monetaria (baja liquidez) en la economía, los tenedores de papeles de inversión, esperan mantener

sus posiciones, con aumentos de precios del mercado secundario.

El tema central de la investigación, se enfoca en el pronóstico del volumen del mercado negociado de los títulos de renta fija en el mercado secundario (VME). El

interés en tasar los volúmenes de negociación de contado (compra/venta) de títulos de renta fija del mercado secundario, radica en poder estimar y presupuestar

ingresos futuros de los diferentes actores que intermedian este mercado y de esta 1 http://www.bvc.com.co/pps/tibco/portalbvc/Home/Mercados/descripciongeneral/rentafija. (25

julio/12). 2 BVC (2012). Mercado de Renta Fija Colombiano: Evolución y Diagnóstico. Pág.3

2

forma desarrollar estrategias transaccionales según portafolio de productos, con el

fin de cumplir su objeto social. La dinámica del crédito, está asociado por el apalancamiento que generan los pasivos del sistema financiero, en particular los

instrumentos de deuda, cuya demanda está condicionada tanto por la tasa de interés como por la liquidez que genera el mercado secundario.

El modelo propuesto permitirá identificar de forma autoregresiva los rezagos

que le aporten al pronóstico del volumen negociado de renta fija, en el mercado secundario colombiano.

Como herramienta de pronóstico, el modelo será de gran utilidad para el mercado

de valores. En general, éste permitirá plantear escenarios de análisis sobre la liquidez del mercado secundario en ciertos momentos de tiempo.

En este orden de ideas, el objeto de estudio corresponde al volumen de

compra venta de títulos de renta fija (público y privado), negociado, desde 2002

hasta Diciembre de 2011, con cifras agregadas mensuales. Esta será la variable objetivo. El volumen es susceptible de desagregar entre títulos de deuda pública y

deuda privada; sin embargo, esta desagregación no se incorpora dentro del alcance de este estudio.

Es importante mencionar que esta investigación surge de la necesidad

manifiesta por parte de la Bolsa de valores de Colombia, de conocer pronósticos que le permitan estimar o presupuestar los volúmenes tranzados y por ende, los ingresos

para los agentes que intervienen en el mercado secundario3. La base de datos de volumen, fue suministrada directamente por la BVC, para el período 2002-2011.

Como la función del mercado secundario se centra en otorgarle liquidez a los

instrumentos financieros con vencimiento futuro, al tomar el producto entre el volumen transado y su respectivo precio de intermediación (comisión), se obtienen

los ingresos periódicos, recibidos por los actores directos de dicho mercado. Los

resultados calculados, son muy importantes para la Bolsa de Valores de Colombia, puesto que le permite establecer una estimación del balance futuro.

Desde el punto de vista metodológico, se destaca la propuesta de un modelo

de transición suave autorregresivo (STAR, por sus siglas en inglés, Smooth Transition Autoregressive), el cual permite examinar los efectos asimétricos del

volumen transaccional (compra/venta) del mercado secundario de renta fija en Colombia. El modelo STAR, permite comprender la transición que se puede generar

de un régimen o estado a otro, controlado por un factor económico o financiero subyacente. De igual forma, puede captar patrones complejos de cambios de estado

3 El mercado de compra/venta de títulos en un momento diferente al que por primera vez se ofrece al público.

3

o régimen. Una propuesta de estimaciones lineales, podrá generar resultados

deficientes en términos de explicación y predicción del fenómeno, objeto de estudio.

Los modelos STAR, planteados, permiten sugerir especificaciones plausibles no lineales, ya que las usadas usualmente son incompletas y no están acordes con

la estructura dinámica de los datos reales y la validación empírica de éstos (Granger y Teräsvirta, 1993).

Es importante mencionar que este trabajo se enmarca como uno de los productos

derivados del grupo de investigación de modelos no lineales de la facultad de economía de la Pontificia Universidad Javeriana, dirigido por la profesora Martha

Misas Arango.

La estructura del documento, implica abordar en primer lugar los antecedentes del objeto de la investigación y la metodología, seguido por el marco referencial para

abordar la base de datos y el enfoque metodológico. Se finaliza con los numerales

relacionados con los hallazgos y su respectivo análisis así como con un conjunto de conclusiones y recomendaciones.

II. REVISIÓN DE LITERATURA.

Se destacan dos elementos: el primero, la temática específica del pronóstico del mercado de renta fija, y un segundo, asociado con la metodología propuesta de

modelos no lineales STAR, como herramienta de pronóstico.

Los trabajos relacionados con el mercado de renta fija, se enfocan

principalmente al pronóstico del mercado de bonos, especialmente el primario4, en materia de retorno, liquidez, volatilidad, entre otros. Sin embargo, en el tópico

especifico del objeto de estudio, el pronóstico del volumen de transacción del mercado secundario es limitado en la literatura.

En trabajos de investigación internacional, se resalta el trabajo propuesto por

el Departamento económico y monetario del BIS, (2001). Este ofrece un panorama amplio de los cambios más importantes en el mundo para los mercados, primario y

secundario, de renta fija de Europa, Japón y Estados Unidos. Evalúa las fuerzas que generan cambios en la oferta y la demanda de títulos de deuda. Presenta la

importancia de factores cómo la liquidez, el uso de instrumentos de cobertura, el riesgo y el desarrollo tecnológico en el crecimiento de este mercado,

primordialmente en la década de los 90. A través de su análisis, concluyen sobre

un crecimiento acelerado y mayor para los años futuros.

4 Espacio que vincula directamente emisores con inversionistas, como fuente de financiación mediante títulos

de deuda o de renta variable, clásico de las acciones. Se trata de oferta que se realiza en el mercado público de valores, administrado por la BVC, y en cumplimiento de la normatividad.

4

El trabajo de Gordon, Edwards y Ferri (2000), se centra en los determinantes

del volumen transaccional del mercado secundario de bonos, con alto rendimiento

corporativo, en el mercado de NASDAQ. Asumen que comprender el volumen les podría ayudar a entender la liquidez de bonos de alto rendimiento. Das, Ericsson y

Kalimipalli (2003), se concentran en construir un estado del arte sobre el concepto de liquidez en el mercado de bonos y evaluar su importancia para la economía.

Meléndez y Salazar (2005), presentan una propuesta que describe el

desarrollo del mercado de bonos para Latinoamérica. En particular, sobre Colombia analizan principalmente el mercado primario. Proponen un análisis descriptivo y

establecen algunos determinantes para el desarrollo de este mercado.

Khalid Y Rajaguru (2010), destacan la importancia del Mercado primario de

bonos, en países desarrollados y emergentes, para el período comprendido entre 1998 y 2007. Su investigación se centra en entender los factores que determinan el

desarrollo del mercado de bonos.

D’Souza (2011), realiza una descripción del mercado de renta fija, primario y secundario en Canadá, enfocada principalmente a resaltar el concepto de liquidez.

Considera, que la liquidez contribuye de una manera importante a la eficiencia del mercado. Encuentra que ésta, en particular sobre los productos de deuda pública,

es utilizada como punto de referencia para la fijación de precios y cobertura de los otros valores de renta fija.

Dentro de las aplicaciones con metodologías no lineales, se encuentran los

trabajos de: (i) Guidolin, Hyde, McMillan y Ono (2008), que explican el retorno del mercado de bonos en los países del G7, (ii) Liew, Qiao y Wong (2010), que estudian

la linealidad y estacionariedad de los retornos del mercado de bonos de los países

de este mismo grupo y (iii) Lekkos y Milas (2011), que ofrecen una descripción empírica, no lineal, del comportamiento de los excesos de retorno de los bonos del

gobierno del Reino Unido y una explicación de cambios de régimen por variaciones de la tasa de interés.

En el tema de pronóstico, Clements, Franses y Swanson (2004), realizan una

revisión del estado del arte sobre la utilización de modelos lineales y no lineales para el pronóstico de series de tiempo financieras. Una de sus conclusiones se centra en

subrayar la escasa utilización de metodologías no lineales, aunque la evidencia, basada en metodologías no lineales, específicamente en modelos STAR, indica que

dichas metodologías se acoplan mejor a las dinámicas de los procesos generadores de las variables en estudio. Así, encuentran razones para ser optimistas en la

utilización futura de estos modelos.

5

Teräsvirta, Dijk y Medeiros (2005), hacen una comparación entre los modelos

de transición suave, las redes neuronales y los modelos lineales para algunas series macroeconómicas de los países del G7. Teräsvirta (2005), presenta otro documento

dedicado al pronóstico específico de series económicas con modelos de media condicional no lineales. Jawadi (2008), muestra que los modelos STAR permiten una

mejor estimación y pronóstico de la dinámica de los retornos, considerando para ello el valor del índice S&P(500).

Bredahl, Teräsvirta y Podolskij (2010) basan su estudio en el pronóstico de

series de tiempo con modelos no lineales. Muestran aplicaciones adicionales con redes neuronales y sistemas dinámicos. Por su parte, Enders y Pascalau (2010),

realizan un trabajo profundo sobre la evaluación del uso de modelos no lineales, STAR, en el pronóstico fuera de muestra de series de tiempo. En particular, en las

tasas de cambio reales de países de la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos (OCDE).

A nivel latinoamericano, son de resaltar los estudios de Bastourre, Carrera y Ibarlucia (2010), cuyo objetivo de investigación se centra en identificar la dinámica

de los precios de los commodities y los factores asociados, en el corto como en el largo plazo, a través de modelos STAR multivariados, en la República de Argentina.

Aranda y Jaramillo (2010) analizan la relación entre el retorno de las acciones y el volumen transado en el mercado chileno a través de modelos no lineales, entre

estos; los STAR.

Específicamente, frente a la variable objeto de éste estudio, en el año 2012, la dirección de investigación y análisis de la Bolsa de Valores de Colombia, en su

documento de estudios técnicos, publica “Mercado de Renta Fija Colombiano. Evolución y Diagnóstico”. En términos generales, luego de realizar un análisis

histórico de su evolución, plantea dos modelos de regresión lineal multivariada para estimar las variables que determinan el volumen negociado en el Mercado de Renta

Fija colombiano, cada uno para explicar la deuda pública y la privada

respectivamente, en el período 2002-2011. Con referencia a la deuda pública, las variables que explican el comportamiento del volumen son el índice de la encuesta

mensual manufacturera, las expectativas sobre la inflación y los flujos de inversión extranjera en portafolio. Así mismo, ante un aumento de precios de los activos de

renta fija aumenta su demanda. La inclusión en el modelo por la implementación del canal OTC, como variable dummy, resultó no significativa. En cuanto a la deuda

privada, la variable que explica el comportamiento del volumen, corresponde al índice COLCAP.

Dado que el objeto de estudio no ha sido extensamente trabajado bajo el

enfoque de pronóstico, se torna pertinente su desarrollo y puede enmarcarse como un aporte particular a la literatura.

6

III. MERCADO DE RENTA FIJA.

En un estado de la naturaleza, modelado por un sistema de propiedad privada

sobre los medios de producción o economía de libre mercado, y con la dificultad que implica unir en forma directa, oferentes y demandantes de dinero (gobiernos,

empresas, familias, individuos), surgen los intermediarios financieros.

De acuerdo a la temporalidad, operan en el corto y largo plazo según la

estructura de los mercados (monetario y de capitales) dadas unas necesidades de liquidez. Su función básica, vincular financieramente a estos agentes. De esta forma,

centraliza recursos atomizados que por sí solos, no generarían valor agregado a nivel macro y transforma plazos que dinamizan la economía, al trasladarlos a las

unidades de explotación económica que lo requieran.

Los recursos se canalizan a través del sistema financiero, según origen de la operación: Mercado de emisión primaria y para efectos de liquidez, un mercado

secundario. En el mercado financiero (oferta y demanda de recursos), los primeros buscan maximizar su beneficio, en tanto que, los segundos, pretenden minimizar el

costo por el uso de ese capital. Así, la tasa de interés es la variable que tiende a equilibrar las dos fuerzas del mercado. De un lado la demanda por inversión/gasto

y de otro, la oferta de recursos, vía ahorros/depósitos.

La dinámica de los mercados de bienes y monetario y de activos financieros,

delineados esquemáticamente interactúan como sistemas regulados. Significa, que fundan sus bases en normatividad y bajo lineamientos de política macroeconómica.

En este contexto, atañe la referencia a las políticas monetarias, cambiarias y crediticias, resorte de la Banca Central, en cumplimiento de alcanzar la estabilidad

de la moneda, léase control de la tasa de inflación, como mandato constitucional.

Uno de los instrumentos de control monetario, hace referencia a la tasa de intervención del Banco de la República. Regularmente, su Junta Directiva, determina

el nivel de dicha tasa. Como transmisor de información de precios, esta tasa, determina parámetros de negociación de operaciones pasivas, activas y de

intermediación del mercado secundario.

Por su parte, hacienda pública en el marco de política fiscal, debe garantizar la disponibilidad presupuestal para atender los diferentes compromisos de gasto e

inversión del país. Una de sus fuentes, diferentes de los ingresos corrientes de la

nación, corresponde a la emisión de deuda en títulos de tesorería. Papeles que son subastados prioritariamente a los inversionistas institucionales para captar recursos

y honrar sus compromisos.

7

Por la naturaleza del mercado de activos financieros y de los instrumentos que

en este se tranzan, los TES en particular, juegan un papel preponderante en el volumen de negociación.

En consecuencia, la figura 1, muestra en forma simplificada la interacción de

los mercados de bienes y de dinero. Cada uno con sus resultados como factores, de un lado la renta y de otro la remuneración vía tasa de interés. El marco de política

y el detalle del mercado de valores, lo correspondiente al mercado secundario de renta fija.

Figura 1. Mercado Secundario dentro de una estructura del modelo IS-LM. Renta

Política Monetaria

MERCADO DE ACTIVOS

Oferta y demanda de dinero o

monetaria.

MERCADO DE BIENES

Producción. Demanda

agregada.

Tipo de interés. Política fiscal.

Fuente. Elaboración propia.

Al ilustrar el tema de las tasas de interés en contexto macroeconómico y con el fin de localizar los mercados de bienes y activos financieros respectivamente, se

muestra el diagrama que permite intuir la estructura del modelo IS-LM5. El canal de transmisión del mercado monetario en la economía vía tasa de interés, materializado

en el mercado secundario de renta fija, bien sea a tasa fija o flotante.

5 Dónde (I) inversión = (S) Ahorro y (L) demanda de dinero = oferta (M) de dinero.

El modelo IS/LM nació en el célebre ensayo de J. R. Hicks (1937), “Keynes y los clásicos: una posible

interpretación”, la estructura IS/LM se gestó bajo la influencia de la Teoría General de Keynes [1936].

Si bien es cierto, Hicks fue su creador el modelo evolucionó y se transformó a lo largo de varias

generaciones. Críticos como Pigou [1943], Modigliani [1963], Tobin [1969], Patinkin [1965] y Clower

[1965], Sargent-Wallace [1975], McCallum-Nelson [1999] y King [2000] han realizado sus aportes

propios de la comunidad científica y en beneficio de la sociedad.

La macroeconomía IS/LM es por génesis un análisis estático de equilibrio general de mercados

agregados y muestra la situación de vaciamiento simultáneo de los mercados de bienes y dinero. De

acuerdo a Solow (1984) “IS-LM survived because it proved to be a marvellously simple and useful

way to organize and process some of the main macroeconomic facts”.

Mercado

capitales

Valores

Secundario RENTA FIJA

Público Privado

8

Se advierte al lector, que con el referido modelo, no se pretende explicar ni

validar para el caso de análisis. Su intención se funda en poder graficar bajo esquema, los mercados de bienes, dinero y activos financieros, centrado en el

mercado secundario, objeto de estudio de los instrumentos de renta fija.

Por su parte, dado que el mercado monetario, refleja las decisiones de la política monetaria, la movilidad y eficiencia en la asignación de recursos según los

perfiles de riesgo de los inversionistas, se van a ver reflejados en buena parte, en los movimientos que registre el mercado secundario. Esto es, la existencia de dicho

mercado, es una condición necesaria para garantizar liquidez al segmento de inversionistas, que optan por ésta alternativa.

Ahora bien, para que el mercado primario de activos financieros, funcione

adecuadamente, la dinámica de la economía debe garantizar a los inversionistas, liquidez, mediante el descuento de los títulos en procesos de compra venta. Este

espacio transaccional, se genera en el citado mercado secundario. Allí convergen

inversionistas institucionales y demás, que movilizan sus activos financieros, en función de los precios del mercado, dadas las condiciones de expedición de los títulos

en materia de remuneración.

El grado de liquidez en los instrumentos financieros que se negocian en este mercado, se muestra en la forma en que los precios reflejen correctamente toda la

información existente en el mercado, como característica fundamental de un mercado de capitales, en especial el nivel de riesgo. Las limitaciones en la liquidez

que experimenta el mercado de renta fija local, en momentos de incremento de los tipos de interés, desacelera en forma drástica, la tasa de desarrollo económico del

país.

Juega un papel determinante en el mercado de renta fija las emisiones de deuda pública, cuyo componente local ha ganado participación relativa, hasta

niveles que superan el 70% internamente con un amplio espectro en los plazos

(BVC, 2012).

En cuanto a la emisión de deuda privada, como fuente de apalancamiento, fue dinámica en los años 2009 y 2010; sin embargo, por efecto del aumento en la tasa

de interés de intervención del Banco de la Republica, desincentivó este mecanismo y por ende la demanda por estos instrumentos. Caso particular del sector real y

público. No ocurrió lo mismo con el sector financiero, donde esta fuente es de vital importancia. Independiente de esta coyuntura, el país aún experimenta un mercado

de capitales limitado, en particular para el sector real, donde aún prima como fuente de financiación principal, los establecimientos de crédito.

Si bien los inversionistas institucionales, son actores determinantes del

mercado de renta fija por demanda tanto por deuda pública como privada, en el

9

período 2007-2011, su nivel de rotación se vio reducido, como lo evidencia el estudio

de la BVC (2012).

Lo propio ocurre con la demanda de papeles por parte de extranjeros, cuya participación a corte de 2011, apenas alcanza el 1% del total, cinco veces mayor al

saldo de 2003, siguiendo el ciclo económico.

De la mano del limitado desarrollo del mercado de capitales, las altas cargas tributarias, y el ajuste necesario en el cambio de regulación, son temas que inciden

en su dinámica. Sin lugar a dudas, su mayor vulnerabilidad lo registra el impacto del mercado, a cambios en el ciclo de tasas de interés BVC (2012).

Adicionalmente, como se deriva de la Tabla 1, los niveles alcanzados por el

mercado secundario de renta fija, expresado como el cociente entre el volumen de compra/venta negociado del mercado de renta fija y el PIB colombiano describen

profundidad de éste en la economía. Igualmente, se observa un comportamiento

volátil a través del tiempo. Así, el nivel de profundidad y la volatilidad refuerzan la necesidad de contar con una metodología adecuada de pronóstico.

Los anteriores planteamientos, son determinantes del marco de referencia de

la propuesta, al definir al mercado secundario, como el componente del mercado en donde se desarrolla la variable objeto de estudio.

Tabla 1. Profundidad del mercado de renta fija. PIB es obtenido de Banco de la República, Volumen

de BVC y profundidad es una estimación propia.

Año PIB precios

corrientes ($ miles de millones)

Volumen de compra/venta

del mercado de renta fija ($ miles de millones)

Profundidad del mercado de renta

fija

2002 245,323 354,886 1.45

2003 272,345 264,080 0.97

2004 307,762 340,479 1.11

2005 340,156 1,024,452 3.01

2006 383,898 1,398,857 3.64

2007 431,072 675,028 1.57

2008 480,087 424,789 0.88

2009 504,647 676,095 1.34

2010 544,924 815,286 1.50

2011 619,894 800,519 1.29

2012 665,441 727,105 1.09

2013 706,677 677,249 0.96

Fuente. Construcción propia.

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IV. METODOLOGÍA ECONOMETRICA.

A. CONCEPTO DE LINEALIDAD.

En el contexto de este trabajo y de acuerdo con Franses (2014) se entiende

no linealidad en series de tiempo como “everything different from linearity”, y la linealidad se presenta específicamente cuando el impacto de un choque: i) es

proporcional a su tamaño; ii) es independiente de su signo (en sentido absoluto), y iii) independiente del valor actual de la serie. Cuando alguna de estas tres

propiedades no se cumple, se puede decir que el proceso generador de la serie es no lineal.

En series financieras es común ver procesos que sobre reaccionan o presentan

baja reacción ante llegadas de información o noticias del mercado. Se presentan

asimetrías; por ejemplo, impactos mayores de choque negativos frente a choques positivos, cualidades que sugieren la no linealidad de las series.

Formalmente y siguiendo a Dwyer (2014) un proceso es lineal si se puede

escribir como:

𝑦𝑡 = 𝛿𝑡 + ∑ 𝑤𝑖휂𝑡−𝑖∞𝑖=0 (1)

con, ∑ 𝑤𝑖

2 < ∞∞𝑖=0 y 휂𝑡 ∽ 𝑖𝑖𝑑 (2)

Donde 𝑖𝑖𝑑 quiere decir que las innovaciones son independientes e igualmente

distribuidas. En resumen, una serie de tiempo se considera lineal si tiene una

representación de promedio móvil con innovaciones independientes.

De otro lado, un proceso se define no lineal6, si la serie se puede expresar como un expansión de Volterra (1930). Esto es,

𝑦𝑡 = 𝛿𝑡 + ∑ 𝑤𝑖휂𝑡−𝑖

∞𝑖=0 + ∑ ∑ 𝑤𝑖𝑗휂𝑡−𝑖휂𝑡−𝑗

∞𝑗=0

∞𝑖=0 + ∑ ∑ ∑ 𝑤𝑖𝑗𝑘휂𝑡−𝑖휂𝑡−𝑗휂𝑡−𝑘

∞𝑗=0

∞𝑖=0

∞𝑖=0 + ⋯ (3)

con,

휂𝑡 ∽ 𝑖𝑖𝑑 (4)

Es decir, una serie se considera no lineal si presenta coeficientes 𝑤𝑖𝑗, 𝑤𝑖𝑗𝑘, …,

diferentes de cero. La serie no lineal presenta una porción de términos cruzados de

innovaciones7.

6 Véase Priestley (1981), quien presenta los resultados de Wiener (1958) basado en el caso discreto. 7 Características que muy seguramente fueron tenidas en cuenta para la construcción de los test de no linealidad y selección de

modelos, descritas más adelante, basados en la expansión de Taylor o MacLaurin. El objetivo de estos polinomios especiales

11

B. MODELOS DE TRANSICIÓN SUAVE.

De otro lado, el trabajo se centra en modelos de transición suave, STAR. Dichos modelos se enmarcan en el contexto de modelos no lineales8. Esta

metodología, a nivel univariado, parte del supuesto de que la variable de interés exhibe cambios suaves de régimen a través del tiempo. Tales cambios son

generados por una variable de transición observable, que puede ser endógena rezagada, exógena o una combinación de ambas, al ser comparada con un umbral

𝑐.

𝑌𝑡 = 𝛼0+𝛽1′𝑍𝑡 + 𝐹(𝑇𝑡−𝑑)𝛽2

′𝑍𝑡 + 𝑢𝑡 (5)

𝑌𝑡 se supone oscila de forma suave entre dos regímenes determinados por una

función, 𝐹( . ). Esta función es no lineal, no decreciente, acotada entre cero y uno y

continua en 𝑇𝑡−𝑑. Donde 𝑑, el delay, está asociado con un rezago de la variable de

transición observada 𝑇𝑡9.

Se define, 𝑍𝑡 , como un vector de variables conformado por 𝑝 rezagos de la

variable dependiente 𝑌𝑡−𝑗, 𝑗 = 1, … , 𝑝 y por variables exógenas 𝑋𝑡−𝑗, 𝑗 = 0, … , 𝑝. Se

considera 𝑑 ≤ 𝑝 por simplicidad, donde d podría llamarse parámetro de demora o

retraso (delay), cuyo dominio son los enteros positivos.

En este caso, 𝑢𝑡, es considerada como una perturbación estocástica idéntica e

independientemente distribuida con media cero y varianza constante.

En la Tabla 2, se describen las funciones que determinan los modelos de la

familia de modelos de transición suave STAR más comunes.

Tabla 2. Formas funcionales de los modelos STAR.

Forma Funcional Modelo

𝐹(𝑇𝑡−𝑑) = {1 + 𝑒𝑥𝑝[−𝛾(𝑇𝑡−𝑑 − 𝑐)]}−1, 𝛾 > 0 LSTAR

𝐹(𝑇𝑡−𝑑) = {1 + 𝑒𝑥𝑝[−𝛾(𝑇𝑡−𝑑 − 𝑐)2]}, 𝛾 > 0 ESTAR

Fuente: Construcción propia.

El parámetro γ determina el grado de suavidad, velocidad o rapidez, de la

transición entre un régimen y otro; es decir, del paso de cero a uno en 𝐹(𝑇𝑡−𝑑), función conocida también con el nombre de función de transición.

es aproximar algunas funciones centradas en un punto 𝑐 de tal forma que su valor y sus derivadas coincidan. Formalmente, el

polinomio de grado 𝑛 para la función 𝑓 en el punto 𝑐, ∑𝑓(𝑘)(𝑐)

𝑘!(𝑥 − 𝑐)𝑘𝑛

𝑘=0 , se llama polinomio de Taylor. Si 𝑐 = 0, suele

llamarse polinomio de MacLaurin. 8 Su formalización y divulgación se debe principalmente a Teräsvirta, T. (1994). 9 Véanse, Jalil y Melo(1999).

12

La no linealidad que introduce los cambios de régimen por medio de la función

𝐹(𝑇𝑡−𝑑), depende de los parámetros γ y 𝑐. La transición ocurre alrededor 𝑐 en la

variable 𝑇𝑡−𝑑. En los modelos LSTAR la función cambia monotónicamente con la

variable de transición, mientras en el modelo ESTAR, 𝐹(𝑇𝑡−𝑑) cambia simétricamente

alrededor de 𝑐 con la variable de transición. Algunas de sus diferencias se visualizan

en los gráficos que se muestran en la Figura 2. Figura 2. Ejemplos de gráficos de la función logística y exponencial con variable de transición 𝑌𝑡−𝑑 .

Fuente: Tomado de Jalil y Melo (1999).

Los regímenes extremos ocurren cuando 𝐹(𝑇𝑡−𝑑) = 0 y cuando 𝐹(𝑇𝑡−𝑑) = 1. En

el primer caso se tiene:

𝑌𝑡 = 𝛼0+𝛽1

′𝑍𝑡 + 𝑢𝑡 (6) Y en el segundo:

𝑌𝑡 = 𝛼0+𝛽1

′𝑍𝑡 + 𝛽2′𝑍𝑡 + 𝑢𝑡 = 𝛼0+(𝛽1

′+𝛽2′)𝑍𝑡 + 𝑢𝑡 (7)

Los demás regímenes podrían verse como una combinación lineal de los

coeficientes que actúan en los casos extremos sobre 𝑍𝑡 , ponderada por 𝐹(𝑇𝑡−𝑑):

𝑌𝑡 = 𝛼0+(𝛽1′ + 𝐹(𝑇𝑡−𝑑)𝛽2

′)𝑍𝑡 + 𝑢𝑡 (8)

Lo que describe la transición suave entre los regímenes extremos, variando

finalmente los coeficientes que actúan sobre 𝑍𝑡, en función de 𝐹(𝑇𝑡−𝑑) . El conjunto

de coeficientes varía entonces entre 𝛽1′ y (𝛽1

′ + 𝛽2′).

Los modelos descritos se encuentran, con base en la clasificación planteada

por Granger y Teräsvirta (1993), de acuerdo con su especificación funcional, dentro de los modelos paramétricos no lineales. Esta segmentación está basada en la especificación funcional 𝑓(. ), utilizada para relacionar una serie 𝑌𝑡 con sus propios

rezagos, y los rezagos y valores actuales de otras variables 𝑋𝑡. Es decir, en función

13

de 𝑍𝑡, en este caso, un vector de variables 𝑌𝑡−𝑗, 𝑗 = 1, … , 𝑝 y 𝑋𝑡−𝑗, 𝑗 = 0, … , 𝑝, para algún

rezago 𝑝 dado. Ver la Tabla 3.

Tabla 3. Una clasificación de metodologías de modelación de series temporales10.

Lineal No lineal

Paramétrico

Es asumida una forma funcional

específica con algunos

parámetros que deben ser

estimados.

𝑌𝑡 = 𝛽′𝑍𝑡 + 𝑢𝑡

Ejemplos:

ARIMA Φ(𝐿)(1 − 𝐿)𝑑𝑌𝑡 = 𝛿 + Θ(𝐿)𝑢𝑡

𝑌𝑡 se explica a través de sus

rezagos pasados y de una

suma ponderada de errores 𝑢𝑡.

Caminatas Aleatorias

𝑌𝑡 = 𝑌𝑡−1 + 𝑣𝑡, donde 𝑣𝑡

proceso ruido blanco.

Modelos de régimen o estado cambiante. Markov-Switching El estado del proceso, 𝑆𝑡 , es no observable, es una variable

aleatoria que determina el estar en un régimen u otro; y el proceso generador del régimen es una cadena de Markov.

TAR (Threshold autoregressive)

El cambio del régimen o estado es abrupto y la variable que determina el estado está definida por umbrales, 𝑆𝑡−𝑘 <𝑟, variables exógenas o funciones de rezagos de 𝑌𝑡. Donde

k determina los rezagos de la variable de estado que influencia un régimen en el tiempo.

STAR (Smooth Transition Autoregressive)

𝑌𝑡 = 𝛽1′𝑍𝑡 + 𝐹(𝑍𝑡)𝛽2

′𝑍𝑡 + 𝑢𝑡

Corresponde a una gama de modelos que supone que 𝑌𝑡

oscila de forma suave entre dos estados, establecidos a partir de una función, 𝐹( ), no lineal, con rango entre cero

y uno, no decreciente y continua, denominada función de transición.

Polinomial

𝑌𝑡 = 𝛿+𝛽′𝑍𝑡 + 𝑍𝑡′𝐶𝑍𝑡 + 𝑢𝑡

El cual proviene de una forma cuadrática y 𝐶 una

matriz simétrica de parámetros.

Formas flexibles de Fourier

𝑌𝑡 = 𝛿 + 𝛽′𝑍𝑡 + 𝑍𝑡′𝐶𝑍𝑡 + ∑{𝑐𝑗𝑆𝑒𝑛(𝑗(𝛾′𝑍𝑡)) + 𝑑𝑗𝐶𝑜𝑠(𝑗(𝛾′𝑍𝑡))}

𝑞

𝑗=1

+ 𝑢𝑡

El cual se asocia a un modelo polinomial más

términos adicionales de senos y cosenos.

Redes Neuronales

𝑌𝑡 = Φ0 + 𝑍𝑡′Φ + ∑ 𝛽𝑗𝜙(𝛾𝑗

′

𝑞

𝑗=1

𝑍𝑡) + 𝑢𝑡

Modelo donde 𝜙( ) es una función de activación, que

podría ser, por ejemplo, una función logística.

No

paramétrico

La función no está restringida a pertenecer a una clase específica de funciones. La función es frecuentemente estimada por el uso de algunas operaciones de suavización o alisamiento.

𝑌𝑡 = 𝑓(𝑍𝑡) + 𝑢𝑡

Semi-

paramétrico

Algunas variables entran al modelo en una específica forma paramétrica y otras en forma no paramétrica.

𝑌𝑡 = 𝛽′�̅�𝑡 + 𝑓(𝑋𝑡) + 𝑢𝑡 Fuente: Construcción propia con base en Granger y Teräsvirta (1993) y Jalil y Misas (2006).

10 Se resalta la metodología seleccionada en este proyecto.

14

C. EVALUACIÓN DE ESTACIONARIEDAD.

Son mucho los trabajos que en las últimas décadas giran alrededor del estudio de la estacionariedad de las variables, y en muchos de los casos las pruebas

tradicionales, como los test DF (Dickey-Fuller) y ADF (Dickey-Fuller Aumentado),

tienden a sugerir conclusiones equivocadas sobre la presencia de raíces unitarias, mucho más en el caso en el que los procesos generadores son no lineales, lo que

afecta la propuesta, estimación e inferencia de los modelos sugeridos, conllevando finalmente a resultados espurios.

En particular, en el caso en el que el proceso generador es no lineal, en este

trabajo se siguen dos propuestas: (i) Kapetanios, Shin y Snell (2003) quienes desarrollan y focalizan un test alternativo con mayor potencia cuando en la hipótesis

alternativa se plantea un proceso globalmente estacionario no lineal ESTAR, y (ii) Eklund (2003), quien propone un test con dos alternativas para decidir entre

procesos con raíz unitaria y procesos estacionarios no lineales, principalmente bajo modelación logística LSTAR. En resumen, estas propuestas presentan mayor

potencia que el test ADF para identificar la hipótesis alterna de estacionariedad no lineal sobre los modelos exponencial y logístico.

Así, mediante dichos tests, se pretende evitar principalmente el problema de identificar la existencia de raíz unitaria en procesos que son globalmente

estacionarios bajo no linealidad.

1. Test de Kapetanios, Shin y Snell (2003), KSS-ESTAR, en adelante,

parte del modelo:

𝑦𝑡 = 𝛽𝑦𝑡−1 + 𝛾𝑦𝑡−1[1 − exp (−휃𝑦𝑡−𝑑2 ] + 𝑢𝑡 (9)

el cual, al adicionar y restar el término 𝑦𝑡−1 en (9), se tiene:

∆𝑦𝑡 = 𝜙𝑦𝑡−1 + 𝛾𝑦𝑡−1[1 − exp (−휃𝑦𝑡−𝑑

2 )] + 𝑢𝑡 (10)

con 𝜙 = 𝛽 − 1.

Si |𝛽 + 𝛾| < 1 se tiene asociado un proceso estacionario asintótico, de tal manera que

si 𝜙 = 0 y 휃 > 0, 𝑦𝑡 es generado no linealmente por un proceso estacionario siempre

que −2 < 𝛾 < 0.

Por lo tanto, bajo la imposición de 𝜙 = 0, con 𝑑 = 1, en (10),

15

∆𝑦𝑡 = 𝛾𝑦𝑡−1[1 − exp (−휃𝑦𝑡−1

2 )] + 𝑢𝑡 (11)

la prueba se focaliza sobre el parámetro 휃, así:

𝐻0: 휃 = 0 y 𝐻1: 휃 > 0 (12)

Como 𝛾 no es identificable bajo la hipótesis nula, se deriva un test estadístico

tipo 𝑡, a partir de la aproximación de MacLaurin de primer orden de la función11:

𝐹(𝑤) = 1 − 𝑒𝑥𝑝[−𝑤] (13)

con 𝑤 = 휃𝑦𝑡−1

2 ; es decir,

𝐹(𝑤) = 1 − 𝑒𝑥𝑝[−𝑤] ≅ 𝑤 (14)

Por lo anterior, derivado de (11) y (14),

∆𝑦𝑡 = 𝛿𝑦𝑡−13 + 𝑢𝑡

∗ (15)

con 𝛿 = 𝛾휃.

Entonces, de (15) el conjunto de hipótesis está dado por:

𝐻0: 𝛿 = 0 y 𝐻1: 𝛿 < 0 (16)

y el test sugerido:

𝑡𝑁𝐿 = 𝛿 𝑠. 𝑒. (�̂�)⁄ (17)

Este test, consistente, presenta una distribución asintótica en función de un

movimiento Browniano estándar, de acuerdo al proceso generador de los datos, razón por la cual los valores críticos son obtenidos vía simulación estocástica. Se

presentan a continuación en la Tabla 4, los valores críticos para los tres casos de

modelo subyacente: proceso de datos original, proceso con deriva (variación constante en promedio) y proceso con deriva y tendencia, respectivamente.

11 Se sigue el mismo procedimiento de Luukkonen, Saikkonen y Teräsvirta (1988).

16

Tabla 4. Valores críticos del test de estacionariedad 𝑡𝑁𝐿.

Fractil (%) Caso 1

(proceso aleatorio)

Caso 2 (proceso aleatorio con

deriva)

Caso 3 (proceso aleatorio

con deriva y tendencia)

1 -2.82 -3.48 -3.93

5 -2.22 -2.93 -3.40

10 -1.92 -2.66 -3.13

Fuente: Tomado de Kapetanios, Shin y Snell (2003).

Para el caso en el que los errores estén autocorrelacionados, los autores parten del modelo12:

∆𝑦𝑡 = ∑ 𝜌𝑗∆𝑦𝑡−𝑗 +𝑝

𝑗=1 𝛾𝑦𝑡−1[1 − exp (−휃𝑦𝑡−12 )] + 𝑢𝑡 (18)

cuya aproximación de Taylor, igual que en (13) y (14), es:

∆𝑦𝑡 = ∑ 𝜌𝑗∆𝑦𝑡−𝑗 +𝑝𝑗=1 𝛿𝑦𝑡−1

3 + 𝑢𝑡∗ (19)

siguiendo el mismo estadístico expuesto anteriormente. Para la selección de 𝑝 se

sugiere utilizar los criterios estándar de selección de modelos.

2. Test de Eklund (2003), en dicho test se proponen dos tipos de prueba

𝐅 para la hipótesis conjunta de existencia de raíz unitaria y linealidad versus una

alternativa de no linealidad LSTAR. Se parte del concepto básico del test ADF y se considera inicialmente el modelo STAR.

∆𝑦𝑡 = 휃0 + 휃1∆𝑦𝑡−1 + 𝜓𝑦𝑡−1 + (𝜑0 + 𝜑1∆𝑦𝑡−1)𝐹(𝛾, 𝑐, 𝑦𝑡−1) + 𝑢𝑡 (20)

con

𝐹(𝛾, 𝑐, 𝑦𝑡−1) = (1 + exp (−γ(𝑦𝑡−1 − 𝑐)))−1 − 0.5 (21)

De igual manera que en la prueba anterior, se aproxima 𝐹(. ) en (21) a través

de un polinomio de Taylor de primer orden, alrededor de 𝛾 = 0:

𝐹(. ) ≅𝛾

4(𝑦𝑡−1 − 𝑐) (22)

Al reemplazar (22) en (20) se tiene entonces el modelo:

12 Se propone una solución similar a la expuesta en Dickey y Fuller (1979).

17

∆𝑦𝑡 = α + 𝜙𝑦𝑡−1∆𝑦𝑡−1 + 𝛿∆𝑦𝑡−1 + 휁𝑦𝑡−1 + 𝑢𝑡∗ (23)

o su equivalente

𝑦𝑡 = 𝛿∆𝑦𝑡−1 + 𝜙𝑦𝑡−1∆𝑦𝑡−1 + α + 𝜌𝑦𝑡−1 + 𝑢𝑡

∗ (24)

con 𝜌 = 휁 + 1.

Por lo tanto, las hipótesis derivadas son:

𝐻01: 𝜙 = α = 0, 𝜌 = 1 (linealidad-caminata aleatoria sin deriva-𝑛𝑑) (25)

𝐻02: 𝜙 = 0, 𝜌 = 1 (linealidad-caminata aleatoria con deriva-𝑑) (26)

El estadístico de prueba es:

𝐹 = (𝑏𝑇 − 𝛽)′(𝑅Υ𝑇)′{𝑠𝑇2𝑅Υ𝑇(∑ 𝑥𝑡𝑥𝑡

′𝑇𝑡=1 )−1Υ𝑇𝑅′}−1𝑅Υ𝑇(𝑏𝑇 − 𝛽)/𝑘 (27)

donde, 𝑏𝑇 = (𝛿, �̂�, �̂�, �̂�)′ estimador de mínimos cuadrados ordinarios de

𝛽 = (𝛿, 𝜙, α, 𝜌)′, 𝑥𝑇 = (∆𝑦𝑡−1, 𝑦𝑡−1∆𝑦𝑡−1, 1, 𝑦𝑡−1), Υ𝑇 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑇0.5, 𝑇, 𝑇0.5, 𝑇),

𝑠𝑇2 =

1

𝑇−4∑ (𝑦𝑡 − 𝛿∆𝑦𝑡−1 + �̂�𝑦𝑡−1∆𝑦𝑡−1 + α̂ + �̂�𝑦𝑡−1)2𝑇

𝑡=1 (estimador consistente de la

varianza) y la matriz 𝑅 se presenta posteriormente.

Se muestran también las equivalencias:

(𝑏𝑇 − 𝛽) = (∑ 𝑥𝑡𝑥𝑡′𝑇

𝑡=1 )−1 ∑ 𝑥𝑡𝑢𝑡𝑇𝑡=1 (28)

Υ𝑇(𝑏𝑇 − 𝛽) = {Υ𝑇

−1(∑ 𝑥𝑡𝑥𝑡′𝑇

𝑡=1 )Υ𝑇−1}−1{Υ𝑇

−1(∑ 𝑥𝑡𝑢𝑡)𝑇𝑡=1 } (29)

De acuerdo con Eklund (2003), estos estadísticos no presentan distribución

asintótica estándar. Así, se propone valores críticos a partir de simulación,

generados bajo la hipótesis nula con 𝛿 = 013, para diferentes tamaños de muestra.

Los valores críticos 𝐹 para diferentes tamaños de muestra 𝑇, con los niveles de

significancia máximos usuales y para los casos con deriva (𝑑) y sin deriva (𝑛𝑑), se

presentan en la tabla 5.

13 Más detalles de esta prueba, de su supuesto en particular y de sus ventajas y limitaciones en Eklund (2003).

18

Tabla 5. Valores críticos de los tests de estacionariedad 𝐹𝑛𝑑 y 𝐹𝑑 .

𝑻

𝑭𝒏𝒅

𝑭𝒅

𝑵𝒊𝒗𝒆𝒍 𝒅𝒆 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝑵𝒊𝒗𝒆𝒍 𝒅𝒆 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂

0.10 0.05 0.025 0.01 0.001 0.10 0.05 0.025 0.01 0.001

25 3.24 4.04 4.87 6.02 9.34 4.23 5.38 6.58 8.25 12.99

50 3.09 3.76 4.43 5.33 7.72 4.08 5.06 6.05 7.36 10.81

100 3.04 3.66 4.27 5.07 7.05 4.04 4.96 5.85 7.03 10.01

250 3.02 3.62 4.20 4.95 6.79 4.03 4.92 5.78 6.90 9.63

500 3.02 3.61 4.18 4.91 6.72 4.03 4.92 5.77 6.86 9.55

500 3.00 3.58 4.14 4.86 6.62 4.03 4.90 5.74 6.83 9.43

∞ 3.24 4.04 4.87 6.02 9.34 4.23 5.38 6.58 8.25 12.99

Fuente: Tomado de Eklund (2003).

El autor sugiere un método de bootstrap para corregir las distorsiones que se puedan generar en los tests por el tamaño de muestra, a partir de que el p-valor

derivado de esta técnica converge al p-valor verdadero en la medida en que el número de replicaciones aumente.

Si se utiliza la aproximación lineal, y sobre (24) se definen en forma matricial las mismas hipótesis (25) y (26) de la siguiente forma:

𝐻01: 𝜙 = α = 0, 𝜌 = 1 ⟺ 𝑅𝛽 = 𝑟; (30)

con

𝑘(𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠) = 3, 𝑅 = [0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

] y 𝑟 = [001

]; (31)

𝐻02: 𝜙 = 0, 𝜌 = 1 ⟺ 𝑅𝛽 = 𝑟; (32)

con

𝑘 = 2 y, 𝑅 = [0 1 0 00 0 0 1

] y 𝑟 = [01

]; (33)

se podría acoplar (aproximadamente) el estadístico 𝐹 (𝑭𝒏𝒅 𝒚 𝑭𝒅), de la manera usual,

e incluir hasta 𝑝 rezagos de la diferenciación de 𝑦𝑡, para cualquier variable de

transición, haciendo:

19

𝐹 =

𝑄𝑘+

𝑠𝑇2∗∗ =

𝑆𝐶𝐸∗ − 𝑆𝐶𝐸∗∗

𝑘+

𝑠𝑇2∗∗ (34)

donde,

𝑆𝐶𝐸∗: Suma de cuadrados del error bajo linealidad y raíz unitaria (sin p sumandos

del producto de la variable de transición con cada rezago de ∆𝑦𝑡).

𝑆𝐶𝐸∗∗: Suma de cuadrados del error del modelo no restringido, el cual incluye p

rezagos de ∆𝑦𝑡 y hasta p sumandos del producto de la variable de transición con

cada rezago de ∆𝑦𝑡.

𝑠𝑇2∗∗

: Cuadrado medio del error del modelo no restringido. 𝑘+: Número de restricciones (𝑝 + 2) 𝑜 (𝑝 + 1), según sea el caso.

De otro lado, de acuerdo con lo anterior, se puede estimar el p-valor vía bootstrap, de la siguiente manera:

a. Bajo la hipótesis nula de linealidad y raíz unitaria, se estiman los parámetros

de la siguiente regresión auxiliar vía mínimos cuadrados ordinarios del modelo:

𝑦𝑡 = ∑ 𝛿𝑖∆𝑦𝑡−𝑖

𝑝𝑖=1 + α + 𝑦𝑡−1 + 휀𝑡 (35)

con 𝛼 o no según sea el caso (deriva o sin deriva).

b. Con los valores 𝛿𝑖, �̂� (según sea el caso) y el conjunto de 휀�̂�, se estiman

𝐵 (𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠) series vía bootstrap o remuestreo, a partir de una

extracción aleatoria del conjunto de residuales 휀�̂�, de la siguiente manera:

y𝑡𝑏 = ∑ 𝛿𝑖∆𝑦𝑡−𝑖

𝑏𝑝𝑖=1 + 𝑦𝑡−1 + 휀𝑡

𝑏 (36)

𝑦𝑡𝑏 = ∑ 𝛿𝑖∆𝑦𝑡−𝑖

𝑏𝑝𝑖=1 + �̂� + 𝑦𝑡−1 + 휀𝑡

𝑏 (37)

con 𝑡 = 1, … , 𝑇 𝑦 𝑏 = 1, … , 𝐵.

La ecuación (36) para el modelo sin deriva y la (37) para el modelo con deriva.

Los valores iniciales de la serie objeto de estudio se seleccionan de manera

aleatoria. c. Con cada 𝑏 serie creada se evalúa el test 𝐹, sea 𝐹𝑑 o 𝐹𝑛𝑑 según sea el caso,

llamado 𝐹𝑏 y se genera la distribución empírica de 𝐹𝑏.

d. Finalmente, se estima el 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 𝑏𝑜𝑜𝑡𝑠𝑡𝑟𝑎𝑝 = 𝑃(𝐹𝑏 > 𝐹), a través de la

frecuencia de 𝐹𝑏 simulados que superan a 𝐹.

Esta forma de evaluar la significancia a través de la estimación del p-valor, permite la aplicación del test con variables de transición diferentes a los rezagos de

la variable a pronosticar, afectando principalmente el segundo sumando de (23) o

20

(24). De igual manera, se pueden incluir hasta 𝑝 rezagos de las diferencias

corrigiendo esquemas de autocorrelación de residuales.

D. TEST DE LINEALIDAD Y SELECCIÓN DE MODELOS.

Para abordar el test de linealidad que se utilizará en este trabajo, se hace una

breve descripción del proceso que se ha seguido en la literatura para llegar finalmente a la prueba utilizada.

Inicialmente Luukkonen et al. (1988), proponen tres tipos de test basados en

una aproximación: (i) de MacLaurin de primer orden, (ii) de tercer orden y (iii) de primer orden con una ampliación de un término cúbico. Los autores concluyen que

el procedimiento de tercer orden presenta potencia para identificar no linealidades por pendiente como por intercepto. Sin embargo, aconsejan la última opción, que

tiene en cuenta las posibles opciones de no linealidad y reduce los grados de libertad.

Se considera 𝐹(. ) en (5) monotónica creciente, con derivadas no cero de orden

impar, en un intervalo abierto definido y con la propiedad no restrictiva de 𝐹(0) = 0.

Por su parte Teräsvirta (1994), presenta los modelos descritos con detalle de una manera alterna pero equivalente a la ecuación (5) y a las formas funcionales

descritas en la tabla 2.

El modelo LSTAR,

𝑦𝑡 = 𝜋10 + 𝜋1′ 𝑍𝑡 + (𝜋20 + 𝜋2

′ 𝑍𝑡) [(1 + 𝑒𝑥𝑝{−𝛾(𝑦𝑡−𝑑 − 𝑐)})−1 −1

2] + 𝑢𝑡 (38)

con 𝑢𝑡~𝑛𝑖𝑑(0, 𝜎𝑢2), 𝜋𝑗 = (𝜋𝑗1, … , 𝜋𝑗𝑝)′; 𝑗 = 1,2; 𝛾 > 0; y 𝑍𝑡 un vector de variables

conformado solo por p rezagos de la variable dependiente, 𝑍𝑡 = (𝑌𝑡−𝑗, … , 𝑌𝑡−𝑝)′, con

la sustracción de ½ como ayuda para el test de linealidad.

Y el modelo ESTAR,

𝑦𝑡 = 휃10 + 휃1

′ 𝑍𝑡 + (휃20 + 휃2′ 𝑍𝑡)[1 − 𝑒𝑥𝑝{−𝛾∗(𝑦𝑡−𝑑 − 𝑐∗)2}] + 𝑣𝑡 (39)

con 𝑣𝑡~𝑛𝑖𝑑(0, 𝜎𝑣2), 휃𝑗 = (휃𝑗1, … , 휃𝑗𝑝)′; 𝑗 = 1,2; 𝛾∗ > 0.

Por simplicidad en la notación 𝑑 ≤ 𝑝, y si se considera solo el componente lineal

(cuando no hay evidencia de no linealidad), los polinomios (40) o (41), presentan los inversos de sus raíces dentro del circulo unitario, lo que garantiza la

estacionariedad y ergodicidad de los modelos bajo linealidad. Adicionalmente,

21

𝑦−𝑝+1, … , 𝑦0, 𝑦1, … , 𝑦𝑇 se consideran disponibles, y de estos 𝑦−𝑝+1, … , 𝑦0 son

considerados fijos.

𝑄1(𝑧) = 𝑧𝑝 − 𝜋11𝑧𝑝−1 − ⋯ − 𝜋1𝑝 = 0 (40)

y

𝑄2(𝑧) = 𝑧𝑝 − 휃11𝑧𝑝−1 − ⋯ − 휃1𝑝 = 0 (41)

Para los modelos (38) y (39), se muestra que para evaluar linealidad, si 𝐻10: 𝛾 =0 en el modelo LSTAR(p) o si 𝐻02: 𝛾∗ = 0 en el modelo ESTAR(p) se tiene un modelo

lineal AR(p), con (𝜋20, 𝜋2, 𝑐) y (휃20, 휃2, 𝑐∗), respectivamente, sin identificación, con

opción de tomar estos cualquier valor. De igual manera, por ejemplo en el modelo LSTAR(p), si 𝜋20 = 0 y 𝜋2 = 0; γ y 𝑐 pueden asumir cualquier valor. (El mismo

argumento se presentaría en el modelo ESTAR(p)). En conclusión, los modelos no estarían identificados bajo 𝐻01 y 𝐻02.

Teräsvirta (1994), luego de revisar alternativas de varios autores, y en busca de obtener potencia para identificar no linealidad por pendiente e intercepto, se

acoge a la propuesta de Luukkonen et al. (1988), sobre una aproximación de Taylor de tercer orden. Esto es, aproximar 𝐹(∙) , por ejemplo, en el modelo LSTAR (38),

con:

𝐹(𝑤) = {1 + 𝑒𝑥𝑝[−𝑤]}−1 − 0.5 (42)

y

𝑤 = 𝛾(𝑦𝑡−𝑑 − 𝑐) (43)

por

𝑔1𝑤 + 𝑔3𝑤3 (44)

con:

𝑔1 =𝜕𝐹

𝜕𝑤|𝑤=0 y 𝑔3 =

1

6

𝜕3𝐹

𝜕𝑤3|𝑤=0. (𝐹(0) = 0 𝑦 𝑔2 =

1

2

𝜕2𝐹

𝜕𝑤2|𝑤=0 = 0) (45)

Al reemplazar esta aproximación en la ecuación (38) se tiene14:

14 𝑔1 =

1

4𝑦 𝑔3 =

−1

48 para el modelo LSTAR

22

𝑦𝑡 = 𝜋10 + 𝜋1′ 𝑧𝑡 + (𝜋20 + 𝜋2

′ 𝑧𝑡)(𝑔1𝑤 + 𝑔3𝑤3)(𝛾(𝑦𝑡−𝑑 − 𝑐)) + 𝑢𝑡′ (46)

que para el caso de una variable de transición 𝑇𝑡−𝑑, diferente de 𝑦𝑡−𝑑, luego de

resolver, se alcanza la aproximación:

𝑦𝑡 = 𝛿0 + 𝛿1′𝑧𝑡 + 𝛽1

′𝑧𝑡𝑇𝑡−𝑑 + 𝛽2′ 𝑧𝑡𝑇𝑡−𝑑

2 + 𝛽3′ 𝑧𝑡𝑇𝑡−𝑑

3 + 𝑣𝑡′ (47)

con 𝑣𝑡′~𝑛𝑖𝑑(0, 𝜎𝑣′

2 ), 𝛽𝑗 = (𝛽1𝑗, … , 𝛽)′, 𝑗 = 1, … ,3; insumo del procedimiento con el que se

prueba linealidad e incluso, se escoge entre el modelo LSTAR y ESTAR, al contemplar una aproximación hasta de segundo grado, resultante del modelo ESTAR. El

estadístico para esta prueba, tipo LM, es:

𝐿𝑀2 =𝑆𝑆𝑅0−𝑆𝑆𝑅

�̂�2 (48)

con 𝑆𝑆𝑅0, la suma de cuadrados del error del modelo bajo linealidad, 𝑆𝑆𝑅 la suma de

cuadrados del error de la regresión completa, �̂�2 el cuadrado promedio del error bajo linealidad, cuya distribución asintótica es 𝑋3𝑝

2 .

El procedimiento consiste en establecer tres pruebas,

𝐻01: 𝛽3′ = 0 (49)

𝐻02: 𝛽2′ = 0|𝛽3

′ = 0 (50)

𝐻03: 𝛽1′ = 0|𝛽2

′ = 𝛽3′ = 0 (51)

y luego calcular sus correspondientes test F o LM asociados: (𝐹4 𝑜 𝐿𝑀𝑇1), (𝐹3 𝑜 𝐿𝑀𝑇2) 𝑦 (𝐹2 𝑜 𝐿𝑀𝑇3), respectivamente. Al comparar las fuerzas de

rechazo y si el modelo es LSTAR, la hipótesis 𝐻01 Y 𝐻03 serán rechazadas con más

fuerzas que 𝐻02. Para el ESTAR la situación se esperaría contraria. Por lo tanto,

Teräsvirta (1994) propone la regla: una vez rechazada la hipótesis general, de llevar

a cabo las tres pruebas y si el p-value de la prueba 𝐻02(𝐹3 𝑜 𝐿𝑀𝑇2) es el más pequeño

de los tres, seleccionar un modelo ESTAR, de lo contrario un LSTAR15. La hipótesis general de linealidad se establece:

𝐻0: 𝛽1

′ = 𝛽2′ = 𝛽3

′ = 0 (52)

No obstante, Escribano y Jordá (2001), muestran que esta aproximación

presenta baja potencia para la selección de modelos ESTAR, dada específicamente la forma de la función de transición y sus dos puntos de inflexión, no recogidos al

realizar la aproximación de segundo grado. Por lo anterior, estos autores proponen

una aproximación hasta de grado cuatro sobre (38), que contempla las dos

15 Teräsvirta (1994) en su documento presenta la siguiente recomendación, “The final choice should

then be based on results of the postestimation model evaluation”.

23

posibilidades, y demuestran vía simulación de Monte Carlo, la potencia y bondades

de su propuesta.

La aproximación y regresión resultante es:

𝑦𝑡 = 𝛿0 + 𝛿1′𝑧𝑡 + 𝛽1

′𝑧𝑡𝑇𝑡−𝑑 + 𝛽2′ 𝑧𝑡𝑇𝑡−𝑑

2 + 𝛽3′ 𝑧𝑡𝑇𝑡−𝑑

3 + 𝛽4′𝑧𝑡𝑇𝑡−𝑑

4 + 𝑣1𝑡′ (53)

donde, la hipótesis de linealidad estará dada por:

𝐻0: 𝛽1

′ = 𝛽2′ = 𝛽3

′ = 𝛽4′ = 0 (54)

Posteriormente, los mismos Escribano y Jorda, proponen un proceso, siguiendo las ideas iniciales de Teräsvirta (1994), para la selección entre modelos ESTAR y

LSTAR. Procedimiento que es usado en esta propuesta e implica:

1. Realizar el test de no linealidad. Si la linealidad es rechazada, entonces,

2. probar la hipótesis 𝐻0𝐸: 𝛽2′ = 𝛽4

′ = 0,con un 𝐹𝑡𝑒𝑠𝑡 (𝐹𝐿),

3. probar la hipótesis 𝐻0𝐿: 𝛽1′ = 𝛽3

′ = 0,con un 𝐹𝑡𝑒𝑠𝑡 (𝐹𝐸),

4. Si se rechaza con mayor fuerza (p-valor más pequeño16) el test asociado a 𝐹𝐸,

el modelo seleccionado es LSTAR, en caso contrario el modelo a seleccionar

es ESTAR.

Cabe mencionar que la utilización de estas pruebas requiere de la selección de la longitud de rezago en el componente lineal y de la escogencia del parámetro de

delay 𝑑, frente a lo que Teräsvirta (1994) propone seleccionar el orden autoregresivo

de 𝑦𝑡 y posteriormente escoger el valor 𝑑 sobre la variable de transición que

minimice el p-valor del test de linealidad. En este trabajo, se buscaran

conjuntamente el valor autoregresivo y valor del delay, con ayuda de estadísticas de error y la sugerencia hecha por Teräsvirta (1994).

E. ESTIMACIÓN. El proceso de estimación que se utiliza en este trabajo se deriva de la

minimización de la función:

QT(α) = ∑ {yt − g(α, Ft−1)}2Ti=1 (55)

con respecto a α, vector de parámetros del modelo (5) o (38) y (39). Cuando γ y c son fijados el modelo se vuelve lineal en parámetros, condición que sugiere la

construcción de una rejilla de valores posibles (γ, c) para luego, proceder a estimar

16 Éste es un tópico en el que se debe seguir trabajando, dado el carácter de variable aleatoria del

p-valor.

24

el resto de parámetros, condicionados a éstos valores. El proceso se repite bajo la

simulación de 𝑁 combinaciones de estos parámetros. Cabe mencionar que para este

proceso, el exponente de la función de transición se estandariza, al dividirlo por la

desviación estándar de la variable de transición. Este proceso facilita la estimación, Teräsvirta (2004).

En el proceso seguido por el algoritmo de optimización17, es necesario encontrar

valores iniciales aceptables, los cuales son obtenidos bajo el método de mínimos cuadrados, condicionado a la rejilla de valores simulados para (𝛾, 𝑐), y asegurar

también la existencia de la matriz inversa a través de la obtención de la inversa

generalizada de Moore-Penrose.

F. PRONÓSTICO.

La construcción de pronósticos en este trabajo siguen los planteamientos de Teräsvirta, Dijk y Medeiros (2004), quienes exponen algunos planteamientos para

su estructura y estimación a diferentes horizontes de tiempo.

En primer lugar, se presenta la estructura para un periodo adelante en el tiempo (ℎ = 1).

Para

𝑦𝑡 = 𝑓(𝑦𝑡−1, … , 𝑦𝑡−𝑝; 휃) + 𝑢𝑡 (56)

con θ un vector de parámetros y 𝑢𝑡~𝑖𝑖𝑑(0, 𝜎2), un modelo no lineal con un error de

término aditivo, el pronóstico para yt+1 esta dado por:

�̂�𝑡+1|𝑡 = 𝑓(𝑦𝑡, … , 𝑦𝑡−𝑝+1; 휃̂𝑡) (57)

con θ̂t el vector de parámetros estimado con la información hasta el periodo t.

17 El algoritmo de optimización es el correspondiente a NLPQN (técnica de optimización no lineal

quasi-Newton), usado para optimizar funciones no lineales como corresponde al caso de estudio,

permitiendo restricciones para los dos componentes, lineal y no lineal. Esta rutina se encuentra

implementada en SAS 9.3. donde se desarrollan los programas de estimación. Más información sobre

esta técnica en:

http://support.sas.com/documentation/cdl/en/imlug/64248/HTML/default/viewer.htm#imlug_langr

ef_sect211.htm

25

Para (ℎ = 2)18 los mismos autores, bajo el supuesto de independencia de los

errores19, plantean una aproximación vía bootstrap. Esto es, una aproximación de,

�̂�𝑡+2|𝑡 = 𝐸(𝑦𝑡+2|ℱ𝑡) = 𝐸(𝑓(�̂�𝑡+1|𝑡 + 𝑢𝑡+1, 𝑦𝑡, … , 𝑦𝑡−𝑝+2; 휃̂𝑡) + 𝑢𝑡+2|ℱ𝑡) (58)

a partir de,

�̂�𝑡+2|𝑡 =1

𝑁∑ 𝑓(�̂�𝑡+1|𝑡 + �̂�𝑖 , 𝑦𝑡, … , 𝑦𝑡−𝑝+2; 휃̂𝑡)𝑁

𝑖=1 (59)

donde 𝑁 representa el total de caminos simulados usados para el pronóstico de 𝑦𝑡+1,

𝑦𝑡+2, …,𝑦𝑡+ℎ𝑚𝑎𝑥, con ℎ𝑚𝑎𝑥 el número de periodos máximo a pronosticar. Esto es, el

pronóstico para ℎ = 2 corresponde al promedio de los 𝑁 valores correspondientes a la evaluación del modelo en �̂�𝑡+1|𝑡 + �̂�𝑖, con �̂�𝑖 cada uno de los 𝑁 residuos muestrados

de los obtenidos en la ventana de estimación.

Para ℎ = 3, ℎ = 4 y ℎ en general, el pronóstico vía bootstrap estaría representado

como sigue:

�̂�𝑡+3|𝑡 =1

𝑁∑ 𝑓(�̂�𝑡+2,𝑖|𝑡 + �̂�𝑖+1, �̂�𝑡+1|𝑡 + �̂�𝑖 , 𝑦𝑡 , … , 𝑦𝑡−𝑝+3; 휃̂𝑡)𝑁

𝑖=1 (60)

�̂�𝑡+4|𝑡 =1

𝑁∑ 𝑓(�̂�𝑡+3,𝑖|𝑡 + �̂�𝑖+2, �̂�𝑡+2,𝑖|𝑡 + �̂�𝑖+1, �̂�𝑡+1|𝑡 + �̂�𝑖 , 𝑦𝑡, … , 𝑦𝑡−𝑝+4; 휃̂𝑡)𝑁

𝑖=1 (61)

…, �̂�𝑡+ℎ|𝑡 =1

𝑁∑ 𝑓(�̂�𝑡+ℎ−1,𝑖|𝑡 + �̂�𝑖+ℎ−2, �̂�𝑡+ℎ−2,𝑖|𝑡 + �̂�𝑖+ℎ−3, … , �̂�𝑡+1|𝑡 + �̂�𝑖 , 𝑦𝑡, … , 𝑦𝑡−𝑝+ℎ; 휃̂𝑡)𝑁

𝑖=1 (62)

con �̂�𝑡+ℎ−1,𝑖|𝑡, una realización del camino 𝑖 para ℎ periodos, correspondiente al vector

de residuos subsecuentes remuestreados del modelo estimado hasta el periodo 𝑡;

(�̂�𝑖 , �̂�𝑖+1, … , �̂�𝑖+ℎ−2).

Este trabajo usará 𝑁 = 50 y ℎ𝑚𝑎𝑥 = 6, debido a la cantidad de datos con las que

se cuenta para la propuesta.

G. EVALUACIÓN DEL PRONÓSTICO.

Para evaluar las diferencias en RMSFE (Raíz cuadrada del cuadrado medio del

error en pronóstico) de los modelos planteados, se usa la extensión del test de DM

(Diebold y Mariano, 1995) ampliada por (Harvey, Leybourne y Newbold, 1997), propuesta para identificar la distribución asociada al estadístico de prueba, para el

caso de muestras finitas.

18 Como se observa la estructura de pronóstico que se sigue para ℎ = 1 es similar a la de un modelo

autoregresivo lineal; no obstante, para horizontes mayores, se sugiere hacer uso de aproximaciones

de la esperanza condicionada, dada la imposibilidad de intercambio entre el valor esperado o

esperanza y la función no lineal utilizada. 19 Siguiendo a (Lundbergh y Teräsvirta, 2002).

26

El test inicial como lo detalla Diebold (2013), intenta determinar si el

pronóstico con un modelo propuesto genera mejores resultados poblacionalmente que un modelo alternativo, en una evaluación fuera de muestra. Es decir, busca

criterios para determinar si las diferencias muéstrales encontradas entre los pronósticos de dos modelos se consideran significativas poblacionalmente. Esto es,

para dos modelos propuestos 1 y 2 se puede tener 𝑅𝑀𝑆𝐹𝐸̂1 < 𝑅𝑀𝑆𝐹𝐸̂

2 en la muestra

en particular y no serlo así poblacionalmente, por lo que Diebold y Mariano (1995) proponen el test asintótico DM, cuya 𝐻0 asegura igual perdida esperada de las

opciones, bajo alguna función de perdida establecida.

Específicamente, el test DM se realiza sobre el diferencial de perdida de error

de pronóstico. Si se denota el error de pronóstico 휀𝑡 por 𝐿(휀𝑡); por ejemplo, 𝐿(휀𝑡) =휀𝑡

2, el diferencial de perdida de error de pronóstico al tiempo 𝑡 esta dado por 𝑑12𝑡 =𝐿(휀1𝑡) − 𝐿(휀2𝑡). La 𝐻0 estará dada entonces por 𝐸(𝑑12𝑡) = 0 o dicho de otra forma

𝐸(𝑑12𝑡) = 𝐸(𝐿(휀1𝑡) − 𝐿(휀2𝑡)) = 0.

Con base en lo anterior, y bajo los supuestos de estacionariedad en el sentido débil20 de la serie, Diebold y Mariano (1995) muestran que la distribución asintótica

para este test sigue una normal estándar; esto es,

𝑆1 =�̅�

�̂��̅�

𝑑→ 𝑁(0,1) (63)

donde, �̅� = 𝑛−1 ∑ 𝑑𝑡

𝑛𝑡=1 (64)

y �̂��̅� se le considera un estimador consistente de la desviación estándar de �̅�. En

particular:

�̂��̅�2 = 𝑛−1[𝛾0 + 2 ∑ 𝛾𝑘

ℎ−1𝑘=1 ] (65)

con

𝛾𝑘 = 𝑛−1 ∑ (𝑑𝑡𝑛𝑡=𝑘+1 − �̅�)(𝑑𝑡−𝑘 − �̅�) (66)

No obstante, este estimador, (65), de la varianza es sesgado21, por lo que

Harvey, Leybourne y Newbold (1997) proponen un test corregido para utilizar en muestras finitas. Formalmente esto es:

𝑆∗ =�̅�

�̂��̅�∗ (67)

con un estimador insesgado de la varianza, dado por:

20 Se considera un proceso estacionario en el sentido débil si éste presenta momentos de primer y

hasta de segundo orden finitos (existen) y no varían en función del tiempo. 21 Véase la tesis doctoral de Harvey (1997).

27

�̂��̅�2∗

= [𝑛 + 1 − 2ℎ + 𝑛−1ℎ(ℎ − 1)]−1[�̂�0 + 2 ∑ 𝛾𝑘ℎ−1𝑘=1 ] (68)

es decir,

𝑆∗ = 𝑛−1

2[𝑛 + 1 − 2ℎ + 𝑛−1ℎ(ℎ − 1)]1

2𝑆1 (69)

cuya distribución, como en el test clásico de media para finitas muestras, se ajusta a una 𝑡 − 𝑠𝑡𝑢𝑑𝑒𝑛𝑡 con 𝑛 − 1 grados de libertad.

Figura 3. Esquema de la metodología Rolling.

Fuente: Construcción propia con base en Jalil y Misas (2007).

28

En este documento se usa el test DM corregido22 y se evalúa bajo una

metodología rolling23, la cual para cada modelo propuesto genera un pronóstico de horizonte máximo (ℎ𝑚𝑎𝑥 = 6) con los parámetros estimados en la muestra de

construcción. Proceso que se repite con los parámetros reestimados utilizando como conjunto de información (𝐼𝑡+1); la muestra inicial (𝐼𝑡) de estimación y la siguiente

observación adicional. Este proceso se repite hasta completar la muestra que se

haya dejado para la evaluación del pronóstico (𝑇∗). Véase la figura 3. De tal forma,

se pueden calcular las medidas y test de comparación para cada uno de los

horizontes (ℎ = 1, … , 6). Lo anterior permite escoger la mejor propuesta para cada

uno de los horizontes de pronóstico. Cabe mencionar que para los casos en que no se puedan calcular los ℎ𝑚𝑎𝑥 = 6 pronósticos, se realizan los que se puedan estimar

de acuerdo a la ventana de evaluación, esto es, luego de 𝑡 + 𝑇∗ − ℎ𝑚𝑎𝑥, cuyo conjunto

de información para la estimación es 𝐼𝑡+𝑇∗−ℎ𝑚𝑎𝑥. El número de pronósticos se va

reduciendo en uno hasta hallar un solo pronóstico con el conjunto de información 𝐼𝑡+𝑇∗−1.

V. DATOS Y METODOLOGÍA

El proyecto corresponde a un estudio de investigación aplicada donde se

evalúa la capacidad de pronóstico de un modelo de transición suave que considera como variable objetivo el volumen de transacciones del mercado secundario en

logaritmo.

El análisis se lleva a cabo para el período comprendido entre enero de 2002 y

enero de 2014, con frecuencia mensual. Se parte del año 2002 debido a la disponibilidad y consistencia de la información de la variable objeto de estudio, en

la Bolsa de Valores de Colombia.

Detalladamente el proceso metodológico, para dos variables de transición propuestas, que incluyen los rezagos de la variable objetivo y su volatilidad

(desviación estándar móvil dada la creencia que el riesgo medido a través de este indicador está asociado y determina el comportamiento del movimiento del volumen

transaccional), será el siguiente24: (i) Uso de las pruebas KSS y Eklund (solo a través de la estimación del p-valor) en la serie de tiempo objeto de estudio, con el

fin de evidenciar estadísticamente, si así lo determinan las pruebas, estacionariedad bajo no linealidad, (ii) Evaluación de no linealidad bajo las pruebas de Teräsvirta y

22 Existen muchos otros tests para evaluar modelos de pronóstico, como por ejemplo el test de GW

Giacomini y White (2006), el cual presenta una alternativa frente a las descritas en este trabajo.

23 Véase Jalil y Misas (2007). 24 Los códigos de todas las pruebas, la estimación, pronóstico y la evaluación se generaron en el

software SAS 9.2 y 9.3.

29

Escribano y Jordá, (iii) Se replicán los anteriores pasos, con el fin de darle

oportunidad al orden de 𝑑 y 𝑝 que mayor fuerza le otorguen a la condición de proceso

estacionario generador no lineal. Todos los resultados serán evaluados sobre el total de combinaciones que se puedan generar con un máximo de 6 rezagos (𝑝, 𝑑) de

acuerdo con la poca cantidad de datos con la que se cuenta para la propuesta de modelo de pronóstico, (iv) para un conjunto de modelos potencialmente elegidos de

los pasos anteriores, se realiza el proceso de estimación y pronóstico bajo no linealidad con el uso adicional de la metodología Rolling y (v) se propone un modelo

base, benchmark ARIMA, y se comparan sus resultados de pronóstico en función de la prueba de Harvey, Leybourne y Newbold, (1997), DM corregido.

VI. RESULTADOS Y ANÁLISIS Inicialmente, se muestran los resultados del test KSS en la tabla 6.

Tabla 6. Test KSS con variable de transición 𝑦𝑡−𝑑 .

Transición:

𝒚𝒕−𝒅 KSS

p d nd y nt d y nt d y t

1 1 -0.11193a -5.603173*** -5.487999***

2 1 -0.227129 -2.844306* -2.794551

3 1 -0.290627 -2.858641* -2.813578

4 1 -0.341191 -2.955478** -2.905992

5 1 -0.395314 -2.792976* -2.749685

6 1 -0.371232 -2.773918* -2.732768

d =deriva, t =tendencia, nd = no deriva y nt =no tendencia. *** Significativa al 1%, ** Significativa al 5%, y * Significativa al 10% de acuerdo a los valores críticos presentados en la tabla 4. Fuente: Construcción propia.

En las primeras dos columnas aparecen todas las combinaciones de (𝑝, 𝑑) propuestas y en las siguientes tres columnas los resultados del test KSS para

cada una de las tres opciones: con deriva y tendencia, con deriva sin tendencia, y sin deriva y sin tendencia. Los cálculos de los test se realizan de acuerdo con el

estadístico presentado en (17), los valores críticos de la tabla 4 y el modelo base (18).

Se encuentra que para varias opciones existe evidencia que sugiere un

proceso generador estacionario ESTAR sobre el logaritmo del volumen transaccional del mercado secundario VME. Entre estos se encuentra, por ejemplo, la combinación

del ESTAR (1) con 𝑑 = 1 en la misma variable de análisis, o la propuesta sobre los

mismos ordenes, con la volatilidad como variable de transición. En los dos casos con

deriva y tendencia.

30

Tabla 7. Test Eklund con variable de transición 𝑦𝑡−𝑑.

d = deriva y nd = no deriva. *** Significativa al 1%, ** Significativa al 5%, y * Significativa al 10%. Evaluación en función de p-valores estimados con 500 simulaciones. Fuente. Construcción propia.

Transición: 𝒚𝒕−𝒅

TEST EKLUND

p d nd d

1 1 12.776319*** 19.158909***

2 1 5.6849895*** 7.5735892***

2 2 3.1438223* 4.1857759*

3 1 5.7337192*** 7.1560806***

3 2 2.7108583* 3.3785393*

3 3 3.9680412*** 4.9495875***

4 1 5.4894958*** 6.5731386***

4 2 2.5399122** 3.0351867**

4 3 3.3188478*** 3.9695005***

4 4 1.0303157 1.2244635

5 1 4.5510418*** 5.2909662***

5 2 2.0760713* 2.4055272*

5 3 2.903569*** 3.3702636***

5 4 0.8843433 1.0161538

5 5 0.7787111 0.8930026

6 1 3.9902124*** 4.5465855***

6 2 1.8254779 2.07412

6 3 2.51973** 2.8670646**

6 4 0.7387079 0.8328588

6 5 0.7396019 0.8338799

6 6 1.1060678 1.2524413

31

Tabla 8. Test Eklund con variable de transición �̂�𝒕−𝒅.

d = deriva y nd = no deriva. *** Significativa al 1%, ** Significativa al 5%, y * Significativa al 10%. Evaluación en función de p-valores estimados con 500 simulaciones. Fuente. Construcción propia.

De otro lado, al revisar el test de Eklund, en las tablas 7 y 8, se encuentra evidencia a favor de estacionariedad bajo un proceso LSTAR en un mayor número

de combinaciones, en comparación con el caso anterior. La tabla 7 con variable de transición la misma variable de interés y la tabla 8 con variable de transición la

volatilidad móvil. En las primeras dos columnas aparecen todas las combinaciones de (𝑝, 𝑑) propuestas y en las siguientes dos columnas los resultados del test para

cada una de las dos opciones: sin deriva y con deriva. Los cálculos de los tests se

realizan de acuerdo con el estadístico presentado en (34) para las hipótesis (30) y (32), y la significancia estadística es presentada de acuerdo a los p-valores

estimados a partir del remuestreo y las simulaciones derivadas de las ecuaciones (36) y (37).

Transición: �̂�𝒕−𝒅

TEST EKLUND

p d nd d

1 1 5.7722272** 8.6534317***

2 1 11.95913*** 15.938099***

2 2 8.0475717*** 10.723318***

3 1 10.574492*** 13.205389***

3 2 6.328771** 7.8996917**

3 3 3.8879064** 4.8494465**

4 1 9.9695031*** 11.946795***

4 2 6.7007768*** 8.0260398***

4 3 3.4340936** 4.107735**

4 4 0.7787624 0.9227315

5 1 8.3115822*** 9.6751841***

5 2 5.8593957** 6.8163078**

5 3 3.8125518** 4.4299993**

5 4 0.583703 0.6656528

5 5 1.8321276* 2.121126*

6 1 7.105478*** 8.1047061***

6 2 5.2791466*** 6.01875***

6 3 3.8589561** 4.3966703**

6 4 0.5983581 0.6725574

6 5 1.6470393 1.8703153

6 6 4.4134869** 5.0300312**

32

Las combinaciones que se destacan a favor de la estacionariedad no lineal

LSTAR son: (𝑝 = 1, 𝑑 = 1), (𝑝 = 2, 𝑑 = 1), (𝑝 = 2, 𝑑 = 2), transiciones sobre 𝑦𝑡, entre

otras, y combinaciones como (𝑝 = 1, 𝑑 = 1), (𝑝 = 3, 𝑑 = 1), (𝑝 = 2, 𝑑 = 2) para el caso

en el que la transición se establece sobre �̂�𝑡−𝑑.

Posteriormente, se muestran los resultados de las pruebas de linealidad de

Teräsvirta y de Escribano y Jordá, (52) y (54), bajo la denominación LM2 y FLIN, respectivamente, que en conjunto con los resultados anteriores, permiten establecer

la propuesta de modelos posibles de pronóstico para su posterior estimación y evaluación. Los resultados se presentan en la tabla 9 y 10, las cuales dependen de

la variable de transición propuesta. Cada tabla presenta los p-valores para cada combinación (𝑝, 𝑑), con cada una de las pruebas propuestas por Teräsvirta y

Escribano y Jordá. En su orden los tests LM2, F4, F3 y F2 de acuerdo con Teräsvirta

y los tests FL, FE y FLIN de acuerdo con Escribano y Jordá.

En el caso de las pruebas de Escribano y Jordá, se encontraron algunas dificultades de existencia de la inversa de la matriz asociada al modelo de regresión

de la prueba (53), lo que dificultó su desarrollo óptimo. No obstante, se rechaza la linealidad con mayor fuerza en las primeras combinaciones de los dos tests.

Para la propuesta de los modelos de pronóstico, se apoyará la elección en

función de los tests de estacionariedad y linealidad.

Según el test de Teräsvirta, en la tabla 9, dada la mayor fuerza a favor de modelos LSTAR , de acuerdo con el test de linealidad LM2 y F2, evidenciada en su

menor p-valor, se proponen para el modelo de pronóstico, las combinaciones (𝑝 = 1, 𝑑 = 1)𝑦 (𝑝 = 2, 𝑑 = 2) con transiciones sobre 𝑦𝑡. Y solo con fines comparativos

se presenta también la propuesta (𝑝 = 1, 𝑑 = 1) ESTAR, de acuerdo con los

resultados del test de estacionariedad KSS, a favor de estacionariedad bajo estas

condiciones.

De la misma manera, de la tabla 10, con la volatilidad como transición, inicialmente a través del test de Escribano y Jordá, aunque con la limitante de no

identificar si hay evidencia a favor de estacionariedad no lineal ESTAR, se plantea el modelo con la combinación (𝑝 = 2, 𝑑 = 2), por su menor p-valor con respecto al

test 𝐹𝐸. Sin embargo, en esta combinación bajo el test de Teräsvirta se encuentra

evidencia a favor de estar en un modelo LSTAR (menor p-valor en F2 y F4) por lo que se estiman y evalúan las dos opciones. Cabe mencionar que para la

combinación (𝑝 = 2, 𝑑 = 2) con variable de transición la variable de interés rezagada,

se encuentra evidencia a favor estacionariedad bajo no linealidad LSTAR con un nivel de significancia de 0.1, Ver tabla 7.

33

También se propone, de acuerdo a la fuerza de rechazo extraída de los p-

valores, la opción (𝑝 = 3, 𝑑 = 1), con mayor evidencia a favor de proceso estacionario

no lineal bajo el test de Eklund. Lo anterior con transición sobre �̂�𝑡−𝑑. Ver tabla 8.

Tabla 9. P-Valores de los test de linealidad de Teräsvirta y Escribano y Jordá con variable de transición yt−d.

Transición: 𝒚𝒕−𝒅

Teräsvirta Escribano y Jordá

P-Valores

p d LM2 F4 F3 F2 FL FE FLIN

1 1 2.52E-05 0.1748325 1 2.27E-07 1 - 0.0000991

2 1 0.0090075 0.9488384 1 0.0001643 0.9995863 0.999931 0.0542881

2 2 0.0002535 0.3830301 1 9.67E-07 1 - 0.0024125

3 1 0.0486629 0.9672626 1 0.0002211 0.9999862 1 0.1614258

3 2 0.5647708 0.5354727 1 0.0388449 0.9864037 - 0.5807036

3 3 0.1293255 0.1735892 1 0.0015893 0.9996991 0.9999498 0.135689

4 1 0.0456947 0.9835347 1 0.0001278 0.9386548 0.9360836 0.1746022

4 2 0.7094168 0.6773513 1 0.0433184 0.9965433 - 0.7592211

4 3 0.3265293 0.2719427 1 0.0050844 0.9999652 0.9999998 0.3810989

4 4 0.9997147 0.9998759 1 0.8428986 0.9958181 0.9961855 0.9999291

5 1 0.0541601 0.9999961 1 0.0000902 0.9990014 0.9990628 0.371612

5 2 - 0.9637141 1 0.0516579 0.9999254 - 0.9434023

5 3 0.5437531 0.4130852 1 0.0114489 0.9999972 1 0.6673865

5 4 0.9998204 0.999847 1 0.8151253 0.9999983 0.9999988 0.999999

5 5 0.9999534 0.9999956 1 0.8385177 0.9999819 0.9999921 0.999999

6 1 - 0.9999989 1 0.0002601 0.9998973 0.9998927 0.6474567

6 2 0.9028927 0.9912509 1 0.0911974 0.9999964 - 0.9908198

6 3 - 0.5893762 1 0.0149973 1 1 0.8564696

6 4 0.9999387 0.9999998 1 0.8308279 1 1 1

6 5 - 1 1 0.9052821 1 - 1

6 6 0.9976805 1 1 0.4667235 0.9994884 1 0.9997642

Fuente. Construcción propia.

34

Tabla 10. P-Valores de los test de linealidad de Teräsvirta y Escribano y Jordá con variable de

transición σ̂t−d.

Transición: �̂�𝒕−𝒅

Teräsvirta Escribano y Jordá

P-Valores

p d LM2 F4 F3 F2 FL FE FLIN

1 1 0.1298963 0.0428112 0.2984213 0.5411156 0.1571352 0.4965707 0.2125521

2 1 0.1044499 0.0233926 0.6310785 0.3917447 0.0168907 0.1164196 0.0729052

2 2 0.0805812 0.0857563 0.4480393 0.0986381 5.22E-08 2.47E-07 0.0000291

3 1 3.57E-07 0.0104908 0.1632548 3.15E-08 0.0418488 0.3411316 0.0000789

3 2 4.35E-06 0.002229 0.0969094 0.0000162 0.0733646 0.5117632 0.0007489

3 3 0.0005562 0.156815 0.0043338 0.0057805 0.4577986 0.4982083 0.010755

4 1 8.75E-07 0.1840779 0.0166933 2.88E-08 0.7210045 0.8932017 0.0007341

4 2 0.0000365 0.0481749 0.0210139 0.0000602 0.1886332 0.4097724 0.003891

4 3 0.0008642 0.1408688 0.0086445 0.0059518 0.1465802 0.1198025 0.0145764

4 4 0.4432019 0.058497 0.9407524 0.8502624 0.3053505 0.4758847 0.8040794

5 1 6.13E-06 0.4263402 0.1042235 1.18E-08 0.7725783 0.917861 0.0050263

5 2 0.0001709 0.0958343 0.311659 8.34E-06 0.4146758 0.710726 0.0245887

5 3 0.0014219 0.1553779 0.0171428 0.0053065 0.5924375 0.5021723 0.0854111

5 4 0.4159623 0.039398 0.9218607 0.9468027 0.3395617 0.508726 0.8778555

5 5 0.1276099 0.4675469 0.1604182 0.1395866 0.467317 0.3332461 0.3968062

6 1 0.0000262 0.4601767 0.2012157 2.70E-08 0.9246371 0.9853167 0.0294122

6 2 0.0007523 0.8290094 0.3219481 1.65E-06 0.7924694 0.7700187 0.077799

6 3 0.0045717 0.2635563 0.2102985 0.0008292 0.6872379 0.5408124 0.2060035

6 4 0.3662736 0.0382796 0.7814122 0.9772102 0.3246241 0.4837405 0.8728353

6 5 0.0653402 0.1029635 0.3441116 0.1331303 0.4649693 0.3500651 0.5540541

6 6 4.31E-06 0.0091059 0.0058228 0.0000232 0.4787171 0.9200709 0.0149198

Fuente. Construcción propia.

En resumen, se escogen las opciones descritas en la tabla 11, con su correspondiente justificación.

35

Tabla 11. Arquitecturas potenciales elegidas. Variable de transición Modelos potenciales Justificación

yt−d

P=1, d=1 LSTAR

Significancia en el test

EKLUND. Significancia en

el test Teräsvirta (F2).

Significancia en el test

Escribano y Jordá general.

P=1, d=1 ESTAR Significancia en el test

KSS*.

P=2, d=2 LSTAR

Significancia en el test

EKLUND (10%).

Significancia en el test

Teräsvirta (F2).

Significancia en el test

Escribano y Jordá general

(FLIN).

σ̂t−d

P=2, d=2 LSTAR

Significancia en el test

EKLUND. Significancia en

el test Teräsvirta (F2 y

F4). Significancia en el test

Escribano y Jordá (FL).

P=2, d=2 ESTAR

Significancia en el test

Escribano y Jordá general y

FE. Teräsvirta no lo

contempla.

P=3, d=1 LSTAR

Significancia en el test

EKLUND. Significancia en

el test Teräsvirta (F2 y

F4). Significancia en el test

Escribano y Jordá (FL).

Fuente. Construcción propia.

Posteriormente, acorde con la estimación de pronósticos (62) y la metodología

rolling expuesta en la figura 3, se exponen los resultados a un horizonte de seis periodos en la tabla 12. Se incorpora una comparación, para cada horizonte en el

tiempo, con un modelo benchmark ARIMA (1,1,2)25 presentado en (70).

(1 + 0.577287L)(1 − L)VME = (1 − 0.156689L2)εt (70).

Se presenta el test de Harvey, Leybourne y Newbold (estadístico evaluado 𝑡𝑐

y p-valor) (67), para identificar si existe aporte en pronóstico de las propuestas

frente al modelo base ARIMA. La tabla 12 muestra los resultados de pronóstico para tres propuestas para la transición sobre 𝑦𝑡−𝑑 y tres para la transición sobre σ̂t−d. Se

presentan también los RMSE para el modelo benchmark ARIMA y para la propuesta en cada caso.

25 Los resultados que soportan la estimación de este modelo se encuentran en el Anexo 1.

36

En general, se evidencia que la propuesta no lineal en casi todos los casos,

para el horizonte de un periodo siempre se genera pronósticos con menor función de perdida que el modelo base, con resultados significativos a favor de la propuesta. No obstante, el modelo LSTAR bajo la combinación (𝑝 = 2, 𝑑 = 2), para todos los

periodos de horizonte evaluados, genera resultados más precisos (en función del

RMSFE de pronóstico), siendo significativamente diferente del modelo ARIMA, a favor del modelo no lineal, en los dos primeros periodos. Razón por la cual, se elige

este modelo como la mejor alternativa de pronóstico de la variable volumen de transaccionalidad del mercado secundario de renta fija en Colombia.

Tabla 12. Evaluación del pronóstico Rolling a través del test de Harvey, Leybourne y Newbold.

h tc p-value RMSFE ARIMA

RMSFE propuesta no lineal

Modelo no lineal

transición sobre

yt−d.

h tc p-value RMSFE ARIMA

RMSFE propuesta no lineal

Modelo no lineal

transición sobre

σ̂t−d

1 3.6441465 0.001726 1.3551974 0.0612831

P=1 d=1 LSTAR

1 3.3258221 0.0035525 1.3551989 0.6266702

P=2 d=2 LSTAR

2 -0.663138 0.5156454

2 -0.327953 0.746731

3 -0.370073 0.7158984

3 -0.023028 0.9818964

4 -0.002956 0.9976782

4 -0.032087 0.9747997

5 -0.000038 0.99997

5 -0.000993 0.9992209

6 -3.17E-07 0.9999998

6 -0.000034 0.999973

1 3.57654 0.0020131 1.3551974 0.0829432

P=1 d=1 ESTAR

1 3.4338454 0.0027829 1.3551989 0.5848968

P=2 d=2 ESTAR

2 0.8010862 0.4335295 1.3558404 1.5112956

2 -1.240539 0.230703 1.3558404 5.8142967

3 -0.022913 0.9819866

3 -0.428078 0.6739687

4 -0.00026 0.9997957

4 -0.138509 0.8915665

5 -2.19E-06 0.9999983

5 -0.168741 0.8682544

6 0.7417187 0.4705185 1.4825766 0.3357672

6 -0.911663 0.3773772 1.4825789 6.1195594

1 3.7724383 0.0012883 1.3551974 0.0607331

P=2 d=2 LSTAR

1 -0.182867 0.8568394

P=3 d=1 LSTAR

2 1.9195133 0.0709134 1.3558404 0.1019738

2 0.6385607 0.5311504

3 1.4021076 0.1788789 0.864106 0.3430516

3 -0.168134 0.8684618

4 1.0158409 0.3248212 1.4937835 0.0637806

4 -0.000703 0.9994476

5 0.9803597 0.3424571 1.5569115 0.0887417

5 -6.62E-06 0.9999948

6 1.0432844 0.3144978 1.4825766 0.1947082

6 -0.174978 0.8636024

Fuente: Construcción propia.

Así mismo, del modelo de pronóstico elegido, dada la forma como se establecen los polinomios característicos de rezago asociados a los regímenes extremos (𝐹 = 0) y (𝐹 = 1) derivados de los parámetros estimados presentados en

37

la Tabla 13, se espera que las raíces en modulo sean menores que 1 para garantizar

estabilidad y no explosividad de los regímenes. Que para este caso en particular, se cumple.

Los polinomios son:

𝑔(𝑧) = 𝑧2 − 0.39𝑧 − 0.2 (71)

cuando (𝐹 = 0) y,

𝑔(𝑧) = 𝑧2 − 0.05𝑧 − 0.62 (72)

cuando (𝐹 = 1). Sus respectivos módulos de las raíces son: (0.6829, 0.2929) y

(0.8128, 0.7628).

Tabla 13. Parámetros estimados del modelo LSTAR (2) con variable de transición yt−2.

Parámetros estimados

Componente lineal

12.956691

0.386795

0.2003506

Componente no lineal

-2.091142

-0.3378

0.4186158

𝛾∗ = 4.7198652

�̂� = 31.433151

Sigma y 0.5899006

Fuente: Construcción propia.

El modelo de pronóstico derivado26 de la tabla 13 está dado por:

𝑦𝑡 = 12.956691 + 0.386795𝑦𝑡−1 + 0.2003506𝑦𝑡−2

+ (−2.091142 − 0.3378𝑦𝑡−1 + 0.4186158𝑦𝑡−2) × (1 + 𝑒𝑥𝑝{−4.7198652 × 0.5899006(𝑦𝑡−2 − 31.433151)})−1 + �̂�𝑡 (73)

Adicional a los resultados anteriores, la figura 4, evidencia la transición suave

que se genera entre dos regímenes extremos, asociada con periodos de alta y baja

transaccionalidad en el mercado secundario de renta fija, soportando la elección del modelo lineal LSTAR(2) para el pronóstico de la serie objeto de estudio.

26 El test de ruido blanco para los residuos derivados del modelo estimado en la ventana de construcción se encuentra en el

Anexo 2.

38

Figura 4. Función de transición del mejor modelo de pronóstico LSTAR(2) con variable de

transición yt−2.

Fuente: Construcción propia.

VII. CONCLUSIONES

Bajo la noción de incertidumbre de Keynes es mucho más extenso lo que

desconoce el ser humano del comportamiento futuro de la dinámica de los mercados y de las series financieras, por sus limitaciones implícitas, por la complejidad del

mismo y de los objetos de estudio, que lo que puede entender. Sin embargo, una aproximación desde la no linealidad reduce en una pequeña proporción la brecha

existente. Es así como, cualquier reducción puede generar mejores provisiones y oportunidades de reacción y decisión frente a sucesos futuros.

Por la complejidad de los mercados, derivada de las decisiones de seres

complejos, las dinámicas de los mercados financieros presentan características con mayor fuerza apoyadas en la no linealidad que en la linealidad de los procesos. Por

lo tanto, la propuesta hecha en este trabajo, de modelo no lineal identificado como la mejor opción para pronóstico, LSTAR con (p=2, d=2) y transición sobre la misma

variable de interés, genera mejores resultados que los modelos planteados previamente en la literatura para esta variable en el contexto nacional. Este modelo,

bajo una construcción más robusta, exhibe resultados superiores frente a modelos

como los clásicos ARIMA en términos de precisión en pronóstico.

También se encontró que el test de raíz unitaria ADF presentaba evidencia a favor de raíz unitaria, cuando se identificó un proceso estacionario no lineal.

Por su parte, esta herramienta le permitirá a la Bolsa de Valores de Colombia,

hacer uso de la herramienta propuesta y realizar una mejor planeación y proyección

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

29 30 31 32 33

Val

or

de

F

yt-2

39

de su presupuesto. En particular el modelo, a la Bolsa de Valores de Colombia y a

los intermediarios les permite proyectar sus balances futuros, derivados de la comisión de transacción y uso de plataformas, la dinámica de corto plazo y la

tendencia de su mercado. Apoya la constitución de estrategias de negociación, las decisiones y los correctivos para garantizar sus ingresos futuros esperados. Pueden

también, identificar en donde concentrar esfuerzos y fuerza comercial, establecer metas, estrategias de rotación, dinamizar el mercado, establecer participaciones,

inclusive, pensar en nuevos productos y evaluar su sostenibilidad, al igual que apoyar la medición de riesgo del mercado.

No obstante, pese al hecho de construir un modelo que permite tener

resultados con buenas características de pronóstico, es importante aclarar que el desarrollo en esta línea de modelos de transición avanza, lo que permite continuar

el trabajo, la aplicación y el desarrollo de propuestas que puedan mejorar los resultados obtenidos. Algunas de ellas como la inclusión de combinaciones de

variables de transición, la inclusión de variables exógenas o incluso el planteamiento

de modelos multivariados no lineales de transición suave. De otro lado, motiva el estudiar el uso del p valor como criterio de decisión, por su característica de variable

aleatoria.

Adicionalmente, queda la puerta abierta para el estudio de diferentes tipos de no linealidad, no solo los presentados en este trabajo, incluso, de pruebas de

validación acordes a los procesos generados propuestos.

Cabe mencionar también, las limitaciones y el costo en términos de tiempo y máquina (procesamiento) que se pueden derivar de la estimación de la propuesta

hecha si no se cuenta con el software y hardware que permita su viabilidad, calibración y utilización oportuna.

De igual manera, esta metodología se puede aplicar alternativamente en el

estudio y pronóstico de otro tipo de variables del mercado que seguramente

presentan cambios en su dinámica, los cuales se pueden generar en forma discreta o continua, suavemente, como se comprueba en la variable estudiada.

40

VIII. ANEXOS

A. Anexo 1

Tabla 1. Test de raíz unitaria sobre VME.

NIVELES DIFERENCIAS

VARIABLES REZAGOS ESPECIFICACIÓN ESTADÍSTICO REZAGOS ESPECIFICACIÓN ESTADÍSTICO

VME 1 C -2.137597 0 N -19.44102***

T = Tendencia, C = Constante y N = No intercepto y No tendencia. *** Significativa al 1%. Se evaluó significancia teniendo en cuenta MacKinnon (1996).

Fuente: Construcción propia.

Tabla 2. Validación de la invertibilidad y estacionariedad del modelo ARIMA.

Componente Raíz Modulo

AR -0.577287 0.577287

MA -0.395839 0.395839

0.395839 0.395839

Fuente: Construcción propia.

41

Tabla 3. Test de Ljung-Box sobre residuales del modelo ARIMA.

LAG AC Q-Stat Prob

1 0.012 0.0182

2 0.005 0.0215

3 -0.021 0.0766 0.782

4 -0.028 0.1758 0.916

5 -0.069 0.8025 0.849

6 0.024 0.8769 0.928

7 0.106 2.3725 0.796

8 0.010 2.3860 0.881

9 -0.037 2.5707 0.922

10 0.024 2.6505 0.954

11 0.018 2.6926 0.975

12 0.127 4.9136 0.897

13 0.052 5.2983 0.916

14 -0.045 5.5870 0.935

15 -0.110 7.3120 0.885

16 0.016 7.3483 0.920

17 -0.035 7.5295 0.941

18 -0.006 7.5341 0.962

19 0.002 7.5348 0.976

20 -0.028 7.6556 0.983

21 -0.109 9.4540 0.965

22 -0.118 11.577 0.930

23 -0.007 11.585 0.950

24 0.038 11.807 0.961

25 -0.022 11.887 0.972

26 0.023 11.968 0.980

27 -0.119 14.219 0.958

28 -0.086 15.414 0.949

29 -0.092 16.789 0.936

30 -0.063 17.439 0.939

31 -0.131 20.304 0.883

32 -0.042 20.602 0.900

Fuente: Construcción propia.

42

B. Anexo 2

Tabla 4. Test de Ljung-Box sobre residuales del modelo LSTAR (2) con variable de transición yt−2.

LAG AC Q-Stat Prob

1 0.024 0.0718 0.789

2 0.019 0.1184 0.942

3 0.072 0.7883 0.852

4 0.064 1.3116 0.859

5 -0.001 1.3118 0.934

6 0.074 2.0274 0.917

7 0.115 3.7674 0.806

8 0.011 3.7841 0.876

9 -0.031 3.9134 0.917

10 0.029 4.0252 0.946

11 -0.01 4.0384 0.969

12 0.105 5.5529 0.937

13 0.076 6.3506 0.932

14 -0.043 6.6165 0.948

15 -0.097 7.9485 0.926

16 0.038 8.1547 0.944

17 -0.025 8.242 0.961

18 -0.009 8.255 0.975

19 0.001 8.2553 0.984

20 -0.047 8.5815 0.987

21 -0.122 10.816 0.966

22 -0.086 11.955 0.958

23 -0.011 11.973 0.971

24 0.024 12.065 0.979

25 0.005 12.069 0.986

26 0.012 12.092 0.991

27 -0.129 14.755 0.973

28 -0.062 15.373 0.974

29 -0.036 15.581 0.98

30 -0.056 16.097 0.982

31 -0.082 17.233 0.978

32 0.007 17.241 0.984

33 -0.027 17.367 0.988

34 -0.095 18.921 0.983

35 -0.063 19.607 0.983

36 0.072 20.533 0.982

Fuente: Construcción propia.

43

BIBLIOGRAFÍA Aranda R. y Jaramillo P. (2010). Dinámica No Lineal En El Mercado Accionario

Chileno: Evidencia De Retornos Y Volúmenes Transados. Economia chliena. Volumen 13. Nº3.

Bastourre D., Carrera J. y Ibarlucia J. (2010). Precios de los commodities: Factores

estructurales, mercados financieros y dinámica no lineal. Investigaciones

económicas. Estudios del BCRA.

BVC (2012). Mercado de Renta Fija Colombiano. Evolución y Diagnóstico. Documentos técnicos N° 003, división de investigación y análisis. Bogotá.

Bredahl Kock A, Teräsvirta T y Podolskij M. (2010). Forecasting with nonlinear time

series models. School of Economics and Management. Aarhus University.

Clements M., Franses F. y Swanson N. (2004). Forecasting economic and financial time-series with non-linear models. International Journal of Forecasting 20. 169–

183.

Chris D’Souza (2011). Liquidity in the Market for Government of Canada Bonds: An Empirical Analysis. Financial System Review.

Dasa S., Ericsson J. y Kalimipalli M. (2003). Liquidity and bond markets. Journal of investment management, Vol. 1, No. 4, pp. 1–9. Diebold, F.X. y Mariano R.S. (1995). Comparing predictive accuracy. Journal of

Business and Economic Statistics. No 13. pp. 253-263.

Dornbusch, Rudiger y Fischer, Stanley. (1987). Macroeconomía. Mc Graw-Hill, Madrid, 6ª edición, 1994.

Dwyer Gerald P., Jr. (2014). Nonlinear Time Series and Financial Applications.

Clemson University. http://jerrydwyer.com/pdf/lectnlin.pdf

Enders W. y Pascalau R. (2010). Pretesting the Out-of-Sample Forecasting

Properties of STAR Models. CIREQ. University of Montreal.

Escribano, A., y O. Jordá. (2001). Testing nonlinearity: Decision rules for selecting between exponential and logistic STAR, Spanish Economic Review, 3, pp 193-10.

Franses Philip Hans, Dijk Dick van and opschoor Anne (2014). Time Series Models

for business and economic forecasting.. Second Edition. Cambridge University press.

44

Giacomini R y White A. (2006). Tests of conditional predictive ability. Econometrica.

Vol. 74. No. 6. pp. 1545–1578.

Granger, C.W.J. y T. Teräsvirta (1993), Modelling Nonlinear Economic Relationships, Oxford. Oxford University Press.

Guidolin M., Hyde S., McMillan D. y Ono S. (2008). Non-Linear Predictability in Stock

and Bond Returns:When and Where Is It Exploitable?. Working Paper. Research Division. Federal Reserve Bank of St. Louis.

http://research.stlouisfed.org/wp/2008/2008-010.pdf. (30 de junio 2012).

Gordon J. Alexander G., Edwards A. y Ferri Michael G. (2000). The determinants of trading volume of high-yield corporate bonds. Journal of Financial Markets, 3,177/204. Elsevier. Harvey D. (1997). The Evaluation of Economic Forecasts. Thesis submitted to the

University of Nottingham for the degree of Doctor of Philosophy. En http://etheses.nottingham.ac.uk/198/1/David_Harvey_PhD_Thesis.pdf

Harvey, D., S. Leybourne y P. Newbold (1997). Testing the equality of prediction

mean squared errors. International Journal of Forecasting. No 13. pp. 281-291.

Hicks, J. (1937). Mr. Keynes and the Classics: A Suggested Interpretation. Econometrica, 5, pp. 147-59.

Jalil, M. A., y L. F. Melo (1999). Una relación no líneal entre inflación y los medios de Pago. Borradores de Economía 145. Banco de la Republica de Colombia.

Jalil M., Misas M. (2007). Evaluación de pronósticos del tipo de cambio utilizando

redes neuronales y funciones de pérdida asimétricas. Revista Colombiana de Estadística. Volumen 30. No 1. pp. 143-161.

Kapetanios G, Shin Y. y Snell A. (2003). Testing for a unit root in the nonlinear STAR

framework. Journal of econometrics. Elsevier, vol. 112, pages 359-379.

Jawadi Fredj (2008). Estimating The S&P Fundamental Value Using Star Models. Amiens School of Management and University of Paris10 (EconomiX). GLOBAL

JOURNAL OF BUSINESS RESEARCH. Volume 2. Number 1

Keynes, J.M. (1981) Teoría general de la ocupación, el interés y el dinero. FCE-

México.

Khalid A. Rajaguru G. (2010). Market development for fixed income securities: the role of socio-economic and institutional factors. Bond University. September. No.42.

45

Lekkos I. y Milas C. (2011). The predictability of excess returns on UK bonds: a non-linear approach. Department of Economics and Finance. Monetary Instruments and

Markets Division. Bank of England Brunel University, UK.

Lundbergh, S., y Teräsvirta T. (2002). Forecasting with Smooth Transition Autoregressive Models. A Companion to Economic Forecasting. Editado por M. P.

Clements, y D. F. Hendry. Oxford. Blackwell.

Luukkonen, R., Saikkonen, P. y Teräsvirta, T. (1988), Testing linearity against smooth transition autoregressive models, Biometrika 75, pp 491–499.

Meléndez M. y Salazar N. (2005). The Development of Latin-American Bond Markets.

Latin American Research Network. Inter-American Development Bank. http://www.iadb.org/res/laresnetwork/files/pr255proposal.pdf. FEDESARROLLO.

(30 de junio 2012).

Monetary and Economic Department (2001).The changing shape of fixed income

markets: a collection of studies by central bank economists. BIS Papers, No 5.

MacKinnon, J. G. (1996). Numerical Distribution Functions for Unit Root and Cointegration Tests. Journal of Applied Econometrics. No 11. pp. 601-618.

Munir A. Jalil B. y Martha Misas A (2006). Evaluación de pronósticos del tipo de

cambio utilizando redes neuronales y funciones de pérdida asimétricas. Borradores de Economía 376. Banco de la Republica de Colombia.

Pascalau Razvan (2007): Testing for a Unit Root in the Asymmetric Nonlinear Smooth Transition Framework. Department of Economics, Finance and Legal Studies, University of Alabama.

Priestley, M.B. (1981). Spectral Analysis and Time Series. Academic Press: New York.

Solow Robert M. (1984). Mr. Hicks and the classics. Oxford Economic Papers. vol. 36. supplement. pp. 13-25.

Teräsvirta, T. (1994). Specification, Estimation and Evaluation of STAR Models.

Journal of the American Statistical Association, 89, 208-218. Teräsvirta, T. (2004). Smooth transition regression modelling, Capitulo 6, en H.

Lütkepohl and M. Krätzig (eds), Applied Time Series Econometrics, Cambridge

University Press, Cambridge.

46

Teräsvirta , T., van Dijk., Medeiros M., (2004). Linear models, smooth transition

autoregressions, and neural networks for forecasting macroeconomic time series: A reexamination. Departamento de Economia PUC-RIO. No 485.

Teräsvirta, T. (2005). Forecasting economic variables with nonlinear models.

Department of Economic Statistics. Stockholm School of Economics. SSE/EFI Working Paper Series in Economics and Finance. No. 598

Teräsvirta T, Dijkb D. V, Medeiros Marcelo C. (2005). Linear models, smooth

transition autoregressions, and neural networks for forecasting macroeconomic time series: A re-examination. International Journal of Forecasting, 21, 755– 774.

Volterra, V. (1930). Theory of functional and of integro-differential equations.

Dover: New York.

Wiener , N. ( 1958 ). Nonlinear problems in random theory. Wiley. New York.

Banco de la República de Colombia. http://www.banrep.gov.co

Bolsa de Valores de Colombia. http://www.bvc.com.co

Superintendencia Financiera de Colombia. http://www.superfinanciera.gov.co