Polígonos y cuadriláteros 2 c

E. E. S.T. N° 6(Escuela de Educación Secundaria Técnica N° 6)

Articulada con la Universidad Tecnológica NacionalResolución N° 1956/95

CAPITULO 1 – POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROSCuadriláteros. Elementos. Clasificación. Suma de ángulos interiores y exteriores.Propiedades del romboide y del trapecio.Propiedades de los paralelogramos.Perímetro y área de un polígono.Circunferencia y círculo.

• Figura plana: Es una porción del plano limitada por líneas rectas o curvas.

• Segmento: a b En símbolos: ab (se lee: segmento ab)

• Segmentos consecutivos: Son los que tienen un solo extremos en común

a b c n

ab y bc m mn y np p

• Ángulo:

a Vértice: Punto o

Se lee: boa ˆ o α oa

α Lados

o b ob

• Figuras convexas y cóncavas: Una figura es convexa cuando al unir mediante un segmento dos puntos cualquiera de ella todos los puntos del segmento pertenecen a la figura, en caso contrario es cóncava.

Convexa Cóncava

• Poligonal: Es un conjunto de segmentos consecutivos no alineados:

b c

a d

• Poligonal cerrada: Si los extremos del primero y del último segmento se tocan, es una poligonal cerrada. a≡d

b

a≡d c coincide con

Polígono: Profesores: Niella, María Laura – Pesce, Mónica – Taddeo, Patricia

1

CONOCIMIENTOS PREVIOS

(Semirrecta de origen o que contiene al punto a)

(Semirrecta de origen o que contiene al punto b)



Profesores: Niella, María Laura – Pesce, Mónica – Taddeo, Patricia

2

lado apotema vértice

diagonal ángulo interior ángulo exterior

· Un polígono es cóncavo cuando tiene por lo menos un ángulo cóncavo.

Un polígono es convexo cuando tiene todos sus ángulos convexos.

· Los lados que tienen un extremo en común se denominan consecutivos.

· Los segmentos que tienen por extremos dos vértices no consecutivos se denominan diagonales.

· Se denomina apotema al segmento perpendicular al lado del polígono cuyos extremos son el punto medio del lado y el centro del polígono.

· Un polígono es regular cuando tiene todos sus lados y ángulos congruentes.

· De acuerdo con el número de lados, los polígonos se clasifican en:

Triángulo: 3 lados Hexágono: 6 lados Eneágono: 9 lados

Cuadrilátero: 4 lados Heptágono: 7 lados Decágono: 10 lados

Pentágono: 5 lados Octógono: 8 lados Undecágono: 11 lados

Dodecágono: 12 lados

· En todo polígono de n lados, la suma de los ángulos interiores es igual a 180º.(n–2)

· En todo polígono de n lados, la suma de los ángulos exteriores es igual a 360º

· Cada ángulo interior es igual a la suma de los ángulos interiores dividido la cantidad

de lados.

· Cada ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos exteriores dividido la cantidad

de lados.

· Cada ángulo exterior es adyacente al interior correspondiente.

· En un polígono de n lados, se puede trazar desde un vértice n – 3 diagonales y

quedan determinados n – 2 triángulos.

· En un polígono de n lados, el número total de diagonales es

CUADRILÁTEROS



Definición: Es un polígono que tiene cuatro lados.

ELEMENTOS Y CLASIFICACIÓN:· Realicen la siguiente actividad para clasificar los cuadriláteros.

I. Observen los cuadriláteros y completen la tabla con el número que corresponda:

Los cuadriláteros pueden tener dos pares de lados, un par de lados o ningún par de lados paralelos. A partir de de esta observación se puede realizar una primera clasificación en: paralelogramos, trapecios y trapezoides, respectivamente.


Ningún par de lados paralelos

Solo un par de lados paralelos

Dos pares de lados paralelos

a) Ningún lado congruente

b) Solo un par de lados congruentes

c) Dos pares de lados congruentes

d) Todos los lados congruentes

3

1 2 3 4 5 6 7 8

Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados.- Dos lados son consecutivos cuando tienen un extremo en

común.- Dos ángulos son opuestos cuando no tienen un lado común.- Se denominan diagonales a los segmentos determinados por

dos vértices no consecutivos.- Bases medias son los segmentos determinados por los puntos

medios de cada par de lados opuestos

bβ

c

δd

aα

γ



ac y bd son las diagonales

δy γ ,β ,α son los ángulos exteriores

pq y rs base media

ACTIVIDAD Nº1:

Escriban verdadero (V) o falso (F).

a) Todo paralelogramo tiene sólo un par de ángulos opuestos congruentes. b) Todo rombo es un cuadrado.c) Todo cuadrado es un rombo.d) Un paralelogramo con cuatro ángulos congruentes es un cuadrado.e) Los romboides tienen un par de ángulos consecutivos congruentes.f) Todo rectángulo es un cuadrado.g) Todo cuadrado es un rectángulo.

ACTIVIDAD Nº2:

a) ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un decágono regular?b) ¿Qué Polígono regular tiene ángulo central 45º?


4

q

c

sa

rb

p

d

PARALELOGRAMOSDos pares de lados

paralelos

TRAPECIOSUn solo par de lados

paralelos

TRAPEZOIDESNingún par de lados

paralelos

RomboCuatro lados congruentes

RectánguloCuatro ángulos congruentes

Trapecio rectánguloUn ángulo recto

Trapecio isóscelesEl par de lados no paralelos

son congruentes

RomboideDos pares de lados

consecutivos congruentes

CuadradoCuatro lados y cuatro

ángulos congruentes



c) ¿Cuántas diagonales tiene un dodecágono regular?d) ¿Cuánto vale el ángulo interior de un eneágono regular?

SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES Y EXTRIORES DE UN CUADRILÁTERO.

ACTIVIDAD Nº3:

Calculen en cada caso los lados y ángulos marcados:

a) b)


5

SUMA DE LOS ÁNGULOS EXTERIORES DE UN CUADRILÁTERO.

En todo cuadrilátero, la suma de los ángulos exteriores es igual a 360º.

.

SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN CUADRILÁTERO

En todo cuadrilátero, la suma de los ángulos interiores es igual a 360º.

α

βγ

δ

a

bc

d

Datos:a = 81ºb = 110ºc = 130ºd = 39º

Datos:Perímetro=20cmmn = 2x + 1 cmnp = x + 3 cmpq = 3x – 1 cm

cm 4x2

1 qm +=m

n

p

f

h

g

eα β

γ

b

b

dc

aβ γ



ACTIVIDAD Nº4:

Calculen en cada caso los ángulos interiores desconocidos:a) c)

20º 2x c

80º x b

30º x a

d a

+=+=

+==

130º p

110º q

n m2

===

b) d)

15´ 62º ˆ

10´ 108º ˆ

12´ 110º ˆ

==

=

γβα

15´ 80º ˆ

35´ 140º ˆ

==

γβ

ACTIVIDAD Nº5:

Calculen el valor de: δy γ ,ˆ ,α βP//Q,

∆abc isósceles b = 30º


6

c m n

pqa d

b

aP

Q

c

m nα

β

δ

γ

PROPIEDADES DEL ROMBOIDE Y DEL TRAPECIO.Propiedades del romboide:

La diagonal principal de un romboide:· Está incluida en la bisectriz de los ángulos cuyos vértices une. =�y =�· Está incluida en una recta que es la mediatriz de la otra diagonal. =�

Los ángulos comprendidos entre los lados distintos son congruentes. =�

Propiedades del trapecio: · La base media de un trapecio es el segmento determinado por los

puntos medios de los lados no paralelos. · La base media de un trapecio es paralela a las bases, y su

medida es igual a la mitad de la suma de las medidas de las bases. // // =�

a

b

c

d

α β

γ π

b c

m n

o

q



ACTIVIDAD Nº6:

Calcula el valor de x y las medidas de las bases del trapecio.

b.

ACTIVIDAD Nº7:

Calcula el valor de cada ángulo interior del romboide.

ACTIVIDADNº8:

Escriban verdadero (V) o falso (F). Justificando con tus palabras la elección.

a) La suma de los ángulos interiores de un romboide es igual a 4 rectos.

b) La suma de los ángulos exteriores de un trapecio es igual a 4 rectos.

c) En todo trapecio, un ángulo interior y su exterior son complementarios.

d) En un trapecio rectángulo, los ángulos que no son rectos suman menos de 180º.

PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS. · En todo paralelogramo las diagonales se cortan mutuamente en su punto medio.

· En todo rectángulo las diagonales son congruentes.


7

c

a

b

d

o

α β

γπ

a d



Propiedades de los lados y de los ángulos de cuadriláteros.

· Con los visto completar el cuadro con una cruz en donde corresponda:

PROPIEDADES

Lado

s

1 Un par de lados paralelos

2 Dos pares de lados paralelos

3 Dos pares de lados congruentes

4 Dos pares de lados consecutivos congruentes

5 Cuatro lados congruentes

Áng

ulos 6 Un par de ángulos

opuestos congruentes

7 Dos pares de ángulos opuestos congruentes

8 Un par de ángulos adyacentes congruentes

9 Dos pares de ángulos adyacentes congruentes


8

PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS.

PARALELOGRAMOS (EN GENERAL)

· Los lados opuestos son congruentes.· Los ángulos opuestos son congruentes.· Las diagonales se cortan mutuamente en su punto medioRECTÁNGULOS

· Cumplen las tres propiedades anteriores.· Las diagonales son congruentes

ROMBOS

· Cumplen las tres propiedades anteriores.· Las diagonales son perpendiculares.CUADRADOS

· Cumplen todas las propiedades anteriores



10 Cuatro ángulos congruentes

Propiedades de las diagonales de los cuadriláteros.

· Con lo visto completar el cuadro con una cruz en donde corresponda:

PROPIEDADES

DIA

GON

ALE

S

1 Las diagonales se cortan en un punto interior

2 Una diagonal corta a la otra en su punto medio

3 Cada diagonal corta a la otra en su punto medio

4Una diagonal es

bisectriz de un par de ángulos opuestos.

5Cada diagonal es

bisectriz de un par de ángulos opuestos.

6 Las diagonales son perpendiculares

7 Las diagonales son congruentes

8Una diagonal divide al cuadrilátero en dos

triángulos congruentes

9Cada diagonal divide al

cuadrilátero en dos triángulos congruentes

10Las diagonales dividen al cuadrilátero en cuatro triángulos congruentes


9



Propiedades de las bases medias de cuadriláteros.

· Con lo visto completar el cuadro con una cruz en donde corresponda:

PROPIEDADES

BASE

S M

EDIA

S

1Cada base media corta

a la otra en partes congruentes

2 Las bases medias son congruentes

3 Las bases medias son perpendiculares

4

Una base media es paralela a un par de

lados opuestos e igual a su semisuma

5

Cada base media es paralela y congruente

a un par de lados opuestos

ACTIVIDAD Nº9:

Coloquen una cruz donde corresponda:


Paralelogramo propiamente

dicho

Rectángulo Rombo Cuadrado

a) Los ángulos opuestos son congruentes

b) Las diagonales son perpendiculares

c) Las diagonales son congruentes

d) Las diagonales se cortan mutuamente en el punto medio

e) Los lados opuestos son congruentes

10



ACTIVIDAD Nº10:

Halla las medidas de los ángulos y los lados de los siguientes cuadriláteros. Explica la respuesta.

ACTIVIDAD Nº11:

Calcula el valor de x y la medida de los ángulos interiores.

PERÍMETRO Y ÁREA DE POLÍGONOS.


11

PERÍMETRO Y ÁREA DE LOS POLÍGONOS.El perímetro de un polígono es igual a la suma de las medidas de todos sus lados.

Área de un polígono regular Área de cuadriláteros

2

.An. pl

n: número de lados

Área del Trapecio

Área del rombo y del romboide

Área del paralelogramo y del rectángulo

Área del cuadrado

2

b).h(B +2

D.db.h 2l

l Ap

r

b

B

hd

D D

d

b

b

h

hl



ACTIVIDAD Nº12:

Calcula el perímetro y área del trapecio

ACTIVIDAD Nº13:

Halla en cm2, el área sombreada: polígono regular

------------------------------------------------ od = 10cm.

------------------------------------------------ de = 12 cm.

------------------------------------------------

ACTIVIDAD Nº14:

Calcula la medida del lado de un octógono regular de 120 cm2 de

área, sabiendo que la distancia del centro del polígono a uno de sus

lados es de 6 cm.

ACTIVIDAD Nº15:

Calcula la medida de x en cada caso, teniendo en cuenta que todos los trapecios tienen igual área. Las medidas están en cm.a) b) c)

ACTIVIDAD Nº16:Profesores: Niella, María Laura – Pesce, Mónica – Taddeo, Patricia

12

o

e

d

6cm

x

3

7

3 5

2

x

x

4

8



¿Cuánto debe medir la altura del triángulo para que las dos figuras tengan la misma área?

ACTIVIDAD Nº17:

Uno de los lados de un rectángulo mide 12 cm y la medida del otro es las dos terceras partes.

a) Calcula el área del rectángulo. b) Calcula el perímetro del rectángulo.

---------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------

ACTIVIDAD Nº18:

Calcula la distancia x entre un vértice y el centro de un pentágono sabiendo que su área es de

30 y que el perímetro es de 20 m.

ACTIVIDAD Nº19:

Completa la tabla con las medidas que faltan en cada caso, teniendo como referencia el paralelogramo de la figura.

ab bc H Perímetro Área

4 cm 7,8 cm 3,5 cm

14 cm 6 cm 40,8 cm

5,4 cm 11,2 cm 56 cm2

ACTIVIDAD Nº20:


13

3 cm

7 cm 6 cm

ab

ch



Completa la tabla con las medidas que faltan en cada caso, teniendo como referencia la figura.

ACTIVIDAD Nº21:

Pablo tiene una casa con un fondo de 9m de ancho por 12m de largo. Quiere construir una pileta hexagonal (no regular) y un quincho como indica el plano. ¿Cuánto mide la superficie que queda libre?

Lugar geométrico: Es el conjunto de todos los puntos que cumplen una cierta condición.Circunferencia: Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que se encuentran a igual distancia de otro llamado centro. (la distancia al centro se llama radio).

Círculo: Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que se encuentran a una distancia menor o igual a otro llamado centro. (la distancia al centro es menor o igual al radio).


ad bd ac Perímetro

Área

3 cm 2 cm

5 cm 4

3de

bd

4 cm 4 cm

14

ab

c

d

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

1,5 m

7 m

1,5 m

2 m2 m

12 m

9 m

3 m Quincho



Circunferencia C (0,r) Círculo C (0,r)

Longitud de la circunferencia = 2.π.r Área del círculo = π.r2

FIGURAS CIRCULARES:

Ángulo central, polígono circunscripto y polígono inscripto.El ángulo central de la circunferencia es el que tiene su vértice en el centro. Sus lados son dos radios de la circunferencia.Un ángulo central determina un arco sobre la circunferencia.


15

RADIO

DIÁMETRO

CENTRO

CUERDA

o

r

o

CENTRO

ÁNGULO CENTRAL

RADIO

α

LSector circular

Corona circular Trapecio circular

Sector circular: Porción de círculo determinada por un ángulo central.

Corona circular: Superficie limitada por dos círculos de distintos diámetros

Trapecio circular: Porción de la corona circular determinada por un ángulo central

Longitud L = 360º

d . . πα

Ángulo central

Arco



Un polígono está circunscripto en una circunferencia cuando todos sus lados son tangentes a la circunferencia.

Un polígono está inscripto en una circunferencia cuando sus vértices pertenecen a ella.

ACTIVIDAD Nº22:

Resuelve:En una plaza se construyó un cantero central circular y 6 canteros semicirculares.

Escala: 1cm___ 1ma) Calcula en m2 el área que ocupan los canteros.b) Calcula en m la longitud del cantero central.

ACTIVIDAD Nº23:

Completa los valores que faltan en la tabla:

Radio Diámetro Long. de la circunferencia Área del círculo32 cm

10 cm34,54 cm

314 cm2

ACTIVIDAD Nº24:

Halla el perímetro y el área de laf igura:

ACTIVIDAD Nº25:


16

25 cm

52 cm

3 cm



Calcula en cada caso el área sombreada en m2.a) b)

ACTIVIDAD Nº26:

Calcula la amplitud de los ángulos interiores de abcd trapecio escaleno, sabiendo que:

ACTIVIDAD Nº27:

Calcular la longitud en cm de cada lado y el área en cm2del romboide abcd sabiendo que:ac es diagonal principal, el perímetro abcd es de 94 cm, el perímetro de adc es 70 cm, dc=ad +11cm; db= ac+30 cm.

ACTIVIDAD Nº28:

Calcula el área sombreada.

2m

ACTIVIDAD Nº29:

Calculen el perímetro y el área de las figuras sombreadas:


17

3 cm

A)

m n

pq

t

B)

t es el punto medio de mq y mq = 10 cm mnpq es un cuadrado.

16 cm

6 cm

α= 2x+14º b = 3x-24ºd= x+15º c = 4/3 de b

a b

cd

α

30°



ACTIVIDAD Nº30:

Se desea revestir con cerámicos la pared de una habitación que tiene 3,5m de alto por 4,5m de largo.Si cada cerámico es un cuadrado de 20cm de lado:a) ¿Cuántos cerámicos se necesitarán comprar para cubrir la pared?b) ¿Cuántos cerámicos cubren el largo de la pared?

ACTIVIDAD Nº31:

Resuelve

ACTIVIDAD Nº32:

Calcula el área de las figuras sombreadas:


18

2,9 cm

1,2 cm D)C)

a

b c

d f

abcd es un cuadrado de 16 cm de perímetro.f es el punto medio de ad

b) Calcula las medidas de las bases y la base media mnop trapecio isósceles

c) Calcula las medidas de los lados bc y ae. abcd paralelogramo congruente con el aefd

a) Calcula las medidas de todos los lados

a

b

c

da b

m

n o

p

d

e

c

a

f

bo

abcd romboide.ob = 4 cmoa = 6 cm

Perímetro del romboide= 30 cm

ab base media.ab = 3x – 0,5 cmno = 2xmp = 2x + 4 cm

edc isósceles.fc = 16 cmbc = 2 abPerímetro del fdc = 26 cm




19



ACTIVIDAD Nº33:

Calcula el área de las siguientes figuras. Expresar el resultado en .

ACTIVIDAD Nº34:

Calcular el área pintada.

ACTIVIDAD Nº35:

Calcula las medidas de las diagonales de los paralelogramos.

ACTIVIDAD Nº36:

a) Calcula los ángulos interiores del rombo.


20



b) Calcula las medidas de loa ángulos interiores del trapecio isósceles.

ACTIVIDAD Nº37:

a)Calcula el área y el perímetro de la región sombreada.

b) Calcular el área de la siguiente figura.

ACTIVIDAD Nº38:

Las medidas de los lados consecutivos de un paralelogramo son dos números naturales consecutivos. El perímetro es de 22 cm, ¿Cuánto mide cada lado? ¿y su área?

ACTIVIDAD Nº39:

El rectángulo abde tiene 0,9m de perímetro.La longitud de ae es 3cm menor que un quinto de la longitud de ab y e es el punto medio de ac. ¿Cuál es el área medida en cm2 del cuadrilátero abdc?

ACTIVIDAD Nº40:

Calcula la longitud de cada lado del rombo abcd sabiendo que:


21

a

b

c

d

e

a

b

c

d

np

qm

o

D



mn y pq son bases medias. po= 2x+6cm y mo = 4x – 8 cm


Figura Área

Rectángulo b · h

Cuadrado l 2

Paralelogramo b · h

Triángulob · h

2

Trapecio(B + b) · h

2

RomboD · d

2

RomboideD · d

2

Polígono regular

perímetro · apotema2

Apotema es la distancia del centro al lado.

Círculo π · r2

22

b

hb

l

h

b

h

d

D

b

B

h

d

ap

r

Polígonos y cuadriláteros 2 c

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