CuadriláterosCuadriláteros

objetivos:

• Clasificar Cuadriláteros.

• Identificar las propiedades de los paralelógramos.

• Aplicar las propiedades de los paralelógramos en la resolución de ejercicios.

• Identificar las propiedades de cada tipo de trapecio y trapezoide.

• Aplicar las propiedades de los Cuadriláteros en la resolución de ejercicios.

1. Cuadriláteros

1.1 Definición

Además, la suma de sus ángulos interiores es 360°.

α, β, γ , δ : ángulos interiores.

α + β + γ + δ = 360°

α´, β´, γ´ , δ´ : ángulos exteriores.

α´+ β´+ γ´+ δ´ = 360°

A, B, C y D: Vértices del cuadrilátero.

Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados, cuatro vértices, cuatro ángulos interiores y cuatro ángulos exteriores.

AB, BC, CD y DA: Lados del cuadrilátero.

CUADRILÁTEROS

PARALELÓGRAMOS TRAPECIOS TRAPEZOIDES

Cuadrado

Rectángulo

Rombo

Romboide

Trap. Isósceles

Trap. Rectángulo

Trap. Escaleno

Trap. Simétrico o Deltoide

Trap. Asimétrico

1.2 ClasificaciónDe acuerdo al paralelismo de sus lados, podemos clasificar los cuadriláteros en:

1. Paralelógramos: tienen dos pares de lados paralelos.

Cuadrado

Rectángulo Rombo

Romboide

2. Trapecios: tienen un par de lados paralelos.

Trap. rectángulo Trap. isósceles Trap. escaleno

3. Trapezoides: son los cuadriláteros que no tienen lados paralelos.

Trapezoide simétrico o deltoide

Trapezoide asimétrico

A

D C

B

2. Paralelógramos

2.1 Características generales

• Lados opuestos paralelos

• Lados opuestos iguales

• Ángulos opuestos iguales y ángulos consecutivos suplementarios.

Ejemplo:12 cm

12 cm

6 cm6 cmAB // DC y AD // BC

AB = DC y AD = BC

ABCD, romboide.

• Las diagonales se dimidian

• Área = base ∙ altura

base = 12 cm

h = 4 cm

A

D C

B

Área = 12 ∙ 4 = 48 cm2

Ejemplo:

2.2 Cuadrado• 4 lados iguales

• 4 ángulos interiores iguales a 90°

• diagonal = lado ∙ 2

d

a

a a

a

d = a 2

• Área = (lado)2

Área = a2

Área = d2

2

• Área = (diagonal)2

2

• Perímetro = 4a

Propiedades de las diagonales:

• Son iguales: AC = BD

• Se dimidian: AE = EC = DE = EB

Ejercicios de aplicación:

1. Determinar el área de un cuadrado cuya diagonal mide 10 cm.

Solución:

Área = (10)2

2

Área = 50 cm2

Como Área = (diagonal)2

2⇒

⇒

• Son bisectrices

• Son perpendiculares: AC BD

diagonal = lado ∙ 2

2. Determinar la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 3 cm. 2

Solución:

⇒ diagonal = 3 ∙ 2 2 cm

⇒ diagonal = 3 ∙ 2 cm

⇒ diagonal = 6 cm

2.3 Rectángulo• 2 pares de lados iguales

• 4 ángulos interiores iguales a 90°

(Por teorema de Pitágoras)• diagonal(d) = (largo)2 + (ancho)2

d = a2 + b2

• Área = largo ∙ ancho

A = a∙b

• Perímetro = suma de sus 4 lados

P = 2(a + b)

Propiedades de las diagonales:

• Son iguales: AC = BD

• Se dimidian: AE = EC = DE = EB

Ejercicios de aplicación:

1. Determinar diagonal de una rectángulo de lados 5 cm y 12 cm.

Solución:

d = 52 + 122

diagonal(d) = (largo)2 + (ancho)2

⇒

⇒ d = 25 + 144

⇒ d = 169

⇒ d = 13 cm

2. Determinar el perímetro de la zona achurada del rectángulo

Por las características de la zona achurada, su perímetro es igual al perímetro del rectángulo.

ABCD de la figura.

Solución:

Luego, el perímetro de la zona achurada es:

P = 2( 21 + 12) cm

P = 2·(33) cm

P = 66 cm

2.4 Rombo• 4 lados iguales

• ángulos opuestos iguales

• Área = lado ∙ altura

• Área = producto de diagonales

2

Área = d1 ∙ d2

2

Área = a ∙ h

P = 4a

• Perímetro = suma de sus 4 lados

Propiedades de las diagonales

• Son bisectrices.

• Se dimidian: AE = EC y DE = EB

Ejemplo:

• Son perpendiculares: AC BD⊥

2.5 Romboide• 2 pares de lados iguales

• Ángulos opuestos iguales

• Área = base ∙ altura

P = 2a + 2b

• Perímetro = suma de sus 4 lados

Área = a ∙ h

Propiedades de las diagonales

• Se dimidian: AE = EC y DE = EB

1. Trapecios

1.1 Características Generales

M N

A B

CD

• Mediana (MN): Trazo que une los puntos medios de los

lados NO paralelos.

• Un par de lados paralelos, llamados bases (AB//DC)

MN = AB + DC

2

AB // DC // MN

E

CD

M N

A B

h

• El área del trapecio corresponde a la semisuma de sus bases, por la altura:

Área = Mediana ∙ alturaó

Altura = DE = h

• La mediana MN, dimidia a la altura h.

Área = (AB + DC) ∙ h

2

• Los ángulos consecutivos de los lados NO paralelos son suplementarios:

α + δ = 180°β + γ = 180°

TIPOS DE TRAPECIOS

Trap. rectángulo Trap. isósceles Trap. escaleno

1.2 Trapecio isósceles

• Lados no paralelos iguales: AD = BC

• Ángulos basales iguales.

• Diagonales iguales: AC = BD

• Al trazar las alturas desde los vértices superiores, se forman en ambos extremos del trapecio dos

triángulos rectángulos congruentes:

AF = EB

• AB//CD

AFD = BEC~

Ejercicio de aplicación:

1. Determinar el área del trapecio isósceles ABCD.

Solución:

Al trazar las alturas desde los vértices superiores, seforman los triángulos rectángulos AED y BFC de ángulos: 30°, 60° y 90°.

Además, como el trapecio es isósceles, AE=FB.

Área = (11 + 5) ∙ 3

2

3

Área = 8 ∙ 3

3

Área = 24

3

Área = (AB + DC) ∙ h

2

h

1.3 Trapecio Rectángulo

• Tiene 2 ángulos rectos

• α + β = 180°

E

• AB//DC

• DA: altura del trapecio (DA = CE = h)

• Todos sus lados son distintos

1.4 Trapecio Escaleno

• AB//DC

Ejercicios de aplicación:

Solución:

MN = 12 + 10

2MN = 11

11

1. En el trapecio ABCD de la figura, MN es mediana. Determinar la razón entre el área del trapecio MNCD y

el área del trapecio ABNM.

MN = AB + DC

2

Si MN es mediana, entonces:

ÁreaABNM =(AB + MN) ∙ h2

2

Luego, la razón (división) entre las áreas de los trapecios es:

La mediana dimidia a la altura, entonces h1 = h2.

ÁreaMNCD

ÁreaABNM

=

(11 + 10) ∙ h1

2

= 21 ∙ h1

2

=

(12 + 11) ∙ h2

2

= 23 ∙ h2

2

=

21∙h1

2

23∙h2

2

=21

23

ÁreaMNCD =(MN + CD) ∙ h1

2

2. Trapezoides

2.1 Características Generales• No tienen lados paralelos.

Tipos de Trapezoides:

Asimétrico

Simétrico (Deltoide)

2.2 Trapezoide Simétrico (Deltoide)

• Está formado por 2 triángulos isósceles con base común:

• El área se puede calcular como:

ADC y ABC, triángulos isósceles de base AC

• Las diagonales son perpendiculares: AC DB⊥

Área = (AC ∙ DB)

2

• La diagonal DB dimidia a la diagonal AC (AE = EC)

• La diagonal DB es bisectriz del ángulo ADC y del ángulo CBA.

Ejercicio de aplicación:

Solución:

Luego, x= 35°.

1. En el trapezoide simétrico ABCD de la figura, BD es base. Determinar la medida del ángulo x.

Los triángulos BAD y BCD son isósceles de base BD.

Además, las diagonales son perpendiculares y AC: bisectriz del ángulo DCB.

2.3 Trapezoide Asimétrico

• Lados distintos y ángulos interiores distintos.

• Para calcular su área, se descompone en figuras conocidas (triángulos, cuadrados, rectángulos, etc.)

A

C

D

B