Planificacion Unidad de Funciones y Relaciones Proporcionales

Unidad funciones y relaciones proporcionales


Para comenzar realicemos la siguiente actividad:

1. Expresa en lenguaje algebraico las siguientes frases.

a) El triple de un número.b) El doble de la suma de 3 y –8c) La tercera parte del doble de un número.d) La suma del cuarto de un número y el triple de otro número.e) El valor de n paltas a t pesos cada una.f) El valor de quince latas de bebida a x pesos cada una.g) El valor de y kg de pan a $ 750 cada uno.h) El valor de un huevo si la docena cuesta x pesos.

2. Escribe una expresión algebraica que represente el área y perímetro de las siguientes figuras.

3. Resuelve las siguientes ecuaciones. Explica, paso a paso, cómo lo hiciste.

4. Plantea una ecuación y encuentra en cada caso, el o los números desconocidos.

a) Si a un número le quito 27 se obtiene 77.b) La suma de un número y su antecesor es 49.c) La suma de tres números impares consecutivos es 177.d) Si al cuádruple de un número le quitamos 3, nos resulta el triple del número

aumentado en 12.


Para comenzar esta unidad ¿Qué debemos recordar?

• Una razón es una comparación entre dos cantidades que se realiza por medio de una división.

Ejemplo :

- El valor de la razón es el cociente entre las cantidades. Dos razones son equivalentes si su valor es el mismo. Ejemplo:

- Una proporción es una igualdad entre dos o más razones. La proporción entre las cantidades a, b, c y d se puede expresar:

- En toda proporción se cumple que

- Un porcentaje se escribe, por ejemplo, 15%, y se lee “quince por ciento”. El porcentaje es una razón cuyo consecuente es 100.- Para transformar una razón en porcentaje, basta con multiplicar la razón por 100 y, luego, calcular el cociente.

- En el lenguaje algebraico se utilizan letras para representar variables. Para variablesdiferentes se asignan letras distintas. Por ejemplo: “el doble de un número aumentadoen el triple de otro número” se puede representar por la expresión algebraica: 2x + 3y.

- Una ecuación de primer grado es una igualdad que contiene al menos un valor desconocido llamado incógnita. Resolver una ecuación equivale a encontrar el o los valores desconocidos para los cuales se cumple la igualdad.


SITUACIONES CON DOS VARIABLES

Ejemplo:

Tomás compró mandarinas y un pimentón, y gastó $ 4400. El kilogramo de mandarinas costó $ 650 y el pimentón $ 500.

- ¿Cuántos kilogramos de mandarinas compró Tomás?,- ¿cómo lo calculaste?- ¿Cuál es la ecuación que permite calcular esta situación?- ¿Cuánto costarán 9 kg de mandarinas?, ¿y 13 kg?, ¿por qué?- ¿Podrías representar en una tabla o gráfico la relación entre los kilogramos de

mandarinas comprados y su costo?, ¿cómo?

En esta situación, si representamos con x cada kilogramo de mandarinas, una ecuación que permitiría determinar la cantidad de kilogramos de mandarinas que Tomás compró es:

Luego, resolvemos la ecuación y obtenemos:650x + 500 = 4400 / – 500

650x = 3900 / : 650x = 6

Otra forma de resolver la situación presentada es registrar los datos en una tabla o representarlos en un gráfico.

Observa, en cada caso, la relación entre los kilogramos de mandarinas y su precio.


Conceptos importantes

En una ecuación se debe verificar que la solución obtenida sea correcta.Por ejemplo:

5x + 5 = 2x + 20 / – 2x3x + 5 = 20 / – 5

3x = 15 / : 3x = 5

Verificamos que la solución x = 5 es correcta remplazando:5 • 5 + 5 = 2 • 5 + 20

30 = 30• Si se trata de un problema, además se debe verificar si la solución es pertinente.

- Una situación que involucra encontrar un valor desconocido o incógnita se puede representar planteando la ecuación que, al resolverla, dará solución al problema en cuestión.- Si la situación relaciona dos variables, podemos analizar su comportamiento por medio de diversos registros, como una tabla o un gráfico.

Guía de ejercicios y actividad del cuadernillo de ejercicios.

Noción de función

Una función f es una relación que asigna a cada elemento x de un conjunto A un único elemento, llamado f(x), de un conjunto B.

• Si x es un elemento de A relacionado con un elemento y de B bajo la función f,se escribe y = f(x).Como en la expresión y = f(x) el valor de y depende del valor de x, se dice que y está “en función de x”, y se denomina a la variable x variable independiente, y a la variable y, variable dependiente.Ejemplo: la función real que relaciona cada número con su doble más una unidadse puede representar por: f(x) = 2x + 1.

• Evaluar una función y = f(x) es obtener el valor que la función le asocia a un valordeterminado de x.Ejemplo:Sea f una función real definida por la expresión f(x) = 6x – 9. Evaluar la funciónpara x = 5 es equivalente a calcular f(5). Es decir: f (5) = 6 • 5 – 9 = 30 – 9 = 21.Por lo tanto, f (5) = 21.


• Una función se puede representar o modelar de diversas formas; por ejemplo, con una ecuación, una tabla de valores o un gráfico.

Algunas funciones DEFINIRLAS Y MOSTRAR ATRAVES DE LA GRAFICA

• Función lineal: su representación gráfica es una recta que pasa por el origen delplano cartesiano, cuya expresión está dada por f(x) = mx, con m un valor real.

En una función lineal, f(x) y x son directamente proporcionales, ya que para cualquier valor de x.

Ejemplos:

Función afín: su representación gráfica es una recta que no pasa por el origen, cuya expresión está dada por g(x) = mx + n, con m y n números reales, y n distinto de cero.

Ejemplos:1. f(x) = 3x + 1 2. g(x) = –x – 2

Función constante: si en una función afín f(x) = mx + n, m = 0 y n p 0, se obtiene f(x) = n, siendo esta la función constante. La gráfica de esta función es una recta paralela al eje X.Ejemplos:

1. g(x) = 6 2. f(x) = –3

MOSTRAR DIAGRAMA DE VEN DEFINIR FUNCION Y UNA SIMPLE RELACION

MOSTRAR PRODUCTO CARTESIANO COMO EJEMPLO DE RELACION


Ejemplo :

Miguel vende automóviles. Su sueldo fijo mensual es de $ 180 000, y por cada unidad vendida durante el mes, recibe una comisión de $ 35 000.Observa la tabla de valores:

• ¿Cuál será el sueldo de Miguel si vende ocho automóviles durante un mes?, ¿y si vende dieciséis?, ¿por qué?• Si durante un mes vendió x automóviles y recibió un sueldo de y pesos, ¿qué expresión algebraica permitiría calcular su sueldo?, ¿cuántas variables tiene?• ¿Cuántos automóviles vendió en un mes que ganó $ 530 000?, ¿cómo lo supiste?

Si analizamos la tabla, podemos observar que para determinar cuál será el sueldo de Miguel si vende ocho automóviles, podemos calcular 180 000 + 35 000 • 8 = 460 000,es decir, este será de $ 460 000 y, si vendiera dieciséis, calculamos 180 000 + 35 000 • 16 = 740 000, entonces, recibiría $ 740 000.Si representamos con una y el sueldo recibido por Miguel al vender x automóviles, la situación anterior se puede modelar por la expresión y = 180 000 + 35 000x. Esta expresión, que relaciona dos variables x e y de manera que a cada valor de x (nº autos vendidos) le corresponde un único valor de y (sueldo), recibe el nombre de función.Luego, para saber cuántos autos vendió en un mes que recibió $ 530 000 de sueldo, podemos resolver la ecuación:

530 000 = 180 000 + 35 000x / – 180 000350 000 = 35 000 • x / : 35 000

10 = xPor lo tanto, ese mes vendió diez automóviles.

Guía de ejercicios y complementar con ejercicios del cuadernillo de ejercicios y libro.


Variables dependientes e independientes

En una amasandería se venden empanadas a $ 850 cada una. Observa y completa la siguiente tabla.

- ¿Cuánto costarán seis empanadas?, ¿y diecinueve?, ¿y treinta y dos?, ¿cómo lo calculaste?- ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿qué representa la variable x y la variable y, en este caso?- ¿Cuál es el gráfico que representa esta situación?, ¿cómo lo hiciste?- ¿De qué depende el precio final a pagar por las empanadas?

Después de completar la tabla de la situación presentada, podemos observar que para seis empanadas se cancelan $ 5100, ya que 850 • 6 = 5100. En este caso, la expresión algebraica que modela esta situación es:

y = 850x, o bien f (x) = 850x

Donde x representa la cantidad de empanadas por comprar e y representa el valor total a pagar por las empanadas compradas. Luego, para diecinueve empanadas se cancelan $ 16 150, ya que, para x = 19, se tiene que y = 850 • 19 = 16 150, o bien f (19) = 850 • 19 = 16 150.Para treinta y dos empanadas se cancelan $ 27 200, ya que, para x = 32, se tiene que y = 850 • 32 = 27 200, o bien f (32) = 850 • 32 = 27 200.Observa el gráfico que relaciona la cantidad de empanadas y su precio.


En este caso, para distintos valores de x (cantidad de empanadas) se obtendrán distintos valores para y (precio de las empanadas). Además, el valor total de las empanadas compradas depende de la cantidad que se compren, es decir, el valor de la variable y depende del valor de la variable x.

Importante

- Una relación entre dos variables x e y se puede representar o modelar por una ecuación tal que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Como el valor de y depende del valor x, se dice que y es la variable dependiente y x la variable independiente.

- Para representar una función en un gráfico, los valores de la variable independiente serepresentan sobre el eje horizontal o de las abscisas, y los valores de la variable dependiente se representan sobre el eje vertical o de las ordenadas.- La variable y puede también escribirse como f (x) donde x es la otra variable, y se lee “f de x”. Por ejemplo, la función y = 150 000 + 25 000x, también se puede escribir como

Dominio y recorrido

Daniel hizo ciento sesenta alfajores y quiere envasarlos en cajas que contengan la misma cantidad de unidades. Observa la siguiente tabla.

• ¿Cuántas cajas necesita para distribuir los alfajores?, ¿por qué?• ¿Cuál es la función que modela esta situación?• ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?• ¿Qué valores puede tomar en este caso la variable x?, ¿y la variable y?, ¿por qué?Daniel quiere envasar todos los alfajores y repartirlos equitativamente en las cajas. Por lo tanto, si observamos la tabla anterior, notamos que no podría usar doce cajas, tampoco treinta, ya que tendría que partir los alfajores, o las cajas no tendrían la misma cantidad.

Luego, la función que modela esta situación es, donde la variable independiente x es la cantidad de cajas y la variable dependiente y es la cantidad de alfajores por caja. En este caso, los valores de x y los de y deben ser números enteros positivos. Como 160 debe ser divisible por x, los valores que puede tomar la variable x en este caso son: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32,


40, 80, 160. El conjunto de valores mencionados corresponden al dominio de la función y son todos aquellos valores que la variable independientex puede tomar.En el caso de los valores resultantes, al remplazar los valores del dominio son: 160, 80, 40, 32, 20, 16, 10, 8, 5, 4, 2, 1.Estos valores corresponden al recorrido de la función y son todos aquellos valores que toma la variable dependiente y.Finalmente, los conjuntos dominio y recorrido de la función

IMPORTANTE

- Se llama dominio de una función, y se expresa por Dom ( f ), al conjunto de valores que la variable independiente x puede tomar en la función f .

• Se llama recorrido de una función, y se expresa por Rec ( f ), al conjunto de valores que

toma la variable dependiente y, es decir, todos los valores que resultan al remplazar losvalores del dominio en la función f .

Variaciones proporcionales y no proporcionalesMarisol amplió unas fotografías de su hija, al verlas se dio cuenta de que una de ellas está “distorsionada”, es decir, la imagen no se ve igual que la fotografía original

Completa la tabla.

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