PLANEACION Y CONTROL

DE PROYECTOS

INTRODUCCION:

l advenimiento de la computadora digital al utilizarse como una

herramienta administrativa permitió que el desarrollo de ciertas

técnicas que facilitaron la planeación de grandes proyectos.

Antes de la evaluación de técnicas de planeación sistemáticas, las

cuales clasificaremos como técnicas de redes de trabajo, la planeación de

grandes proyectos era obstaculizada por la complejidad de los grandes

proyectos. Esto no significa que los proyectos no hayan sido terminados

exitosamente, sino que, no había garantía de que la utilización de los recursos,

tales como el tiempo, mano de obra, dinero y equipo, fuera lograda en un

enfoque que se acercara a la optimización. Además, la combinación de todos

los subcomponentes o trabajos de proyecto tendían a ser tratados como

entidades separadas en la etapa de planeación, en lugar de un sistema total.

La finalidad de este apunte es el de describir los enfoques de las redes

de trabajo en la planeación de proyecto y evaluar sus beneficios y falacias.

Como un ejemplo y método de la ruta crítica (C.P.M.) sirve para dar un rango

de calendarización de proyectos en relación a sus costos directos. Combinando

estos costos directos con los costos indirectos aplicados, indicarán desde el

punto de vista de la planeación aquellos calendarios que completaran los

objetivos del proyecto con un mínimo de costo total. El enfoque del C.P.M. es

estrictamente determinístico, ya que no considera que los componentes o

trabajos del proyecto no serán completados como estaba planeado, debido a

factores imprevistos o inciertos. La técnica de evaluación y revisión de

proyectos será presentada como un intento de reducir las restricciones

determinísticas del C.P.M.

Un gran número de problemas industriales y administrativos han sido

resueltos exitosamente con la ayuda de técnicas y modelos cuantitativos

E

conocidos como redes. Tales problemas incluyen la construcción de presas; la

determinación de la ruta mas corta de envío o la ruta mas económica entre dos

lugares; la planeación y control de la construcción de sistemas militares de

defensa; la determinación de políticas de flujo máximo y de expansión óptima

para un sistema de tubería de gas; la implementación de un nuevo sistema de

computación; y el diseño, introducción y comercialización de un nuevo

producto.

El PERT (Técnica de evaluación y revisión de proyectos) y el CPM

(Método de camino crítico) son dos de las principales técnicas de redes en la

administración de proyectos que actualmente se utilizan.

El PERT ha sido utilizado para determinar la duración total de un

proyecto, para determinar la fecha de iniciación requerida, así como también, la

fecha de terminación de las tareas que conforman un proyecto y para identificar

las tareas críticas que, si no fueran terminadas de acuerdo a lo programado,

pudieran retrasar la terminación del proyecto. Utilizando un subconjunto del

CPM se puede mostrar como el tiempo total de terminación de un proyecto

puede ser reducido, dado que el administrador del proyecto asigna más

recursos (económicos, materiales, humanos, etc.) a el proyecto.

PERT :

El PERT fue desarrollado a finales de los 50’s y fue utilizado

afanosamente en la administración de proyectos militares de investigación y

desarrollo. Su aplicación clave fue el proyecto de misiles POLARIS

desarrollado por el departamento de defensa de los Estados Unidos. El PERT

fue desarrollado específicamente para apoyar la planeación, programación y

control de la multitud de tareas asociadas con el proyecto. El PERT también ha

sido utilizado en la industria de la construcción y por compañías industriales en

aplicaciones tales como la programación del mantenimiento de aviones, la

instalación de activo fijo, distribución de planta, investigación y desarrollo de

programas de planeación y administración. Una de las principales

características del PERT, además de su habilidad para identificar los planes

requeridos y programas de las tareas, es que puede manejar la incertidumbre

que existe en el tiempo de duración de algunas tareas.

CPM:

El CPM, el cual fue desarrollado independientemente del PERT, pero

muy relacionado o parecido a él, básicamente considera el intercambio entre

los costos y los tiempos de duración de las tareas del proyecto. Se enfoca en la

reducción del tiempo de duración de las tareas o actividades al utilizar más

recursos (lo que significa en la mayoría de los casos una aumento en los

costos). Con el CPM el tiempo requerido para terminar algunas tareas del

proyecto, se asume en conocido con certeza, así como también la cantidad de

recursos a emplear. Debido a lo anterior el CPM no se interesa en la

incertidumbre asociada a el tiempo de duración de las tareas como el PERT lo

hace, pero si se interesa en el intercambio tiempo/costo.

Debido a la diferencia en la estructura básica de las técnicas, el PERT

fue previamente más aplicado en la investigación y desarrollo de proyectos,

mientras el CPM fue usado en proyectos tales como la construcción. En la

actualidad la distinción en el uso del CPM y del PERT ha desaparecido

enormemente. La mayoría de las versiones computarizadas (Super Project,

Project Manager, etc.) de las técnicas incluyen opciones para manejar la

incertidumbre en el tiempo de las tareas, así como también el análisis del

intercambio tiempo/costo y la mayoría de las bibliografías hacen referencia a

las técnicas como PERT/CPM.

EVALUACION DE LAS TECNICAS DE PLANEACION DE LAS

REDES DE TRABAJO:

Históricamente los procedimientos de análisis de redes de trabajo tienen

su origen en la tradicional gráfica de GANNTT, durante la primera guerra

mundial. La gráfica de GANNTT es todavía usada en la actualidad y es

completamente útil para analizar la factibilidad de un calendario de costo-

óptimo CPM. Un ejemplo típico de la gráfica de GANTT es mostrada a

continuación:

P R O G R A M A

TAREA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

A

B

C

D

E

F

G

Los beneficios típicos de la Gráfica de GANTT son:

1. Todos los trabajos son gráficamente mostrados en una fácil y comprensible

gráfica.

2. Teniendo una persona encargada del avance del proyecto, ésta irá

sombreando el porcentaje de la barra que corresponda a el avance de la

tarea realizada en cada período básico del proyecto.

Desafortunadamente la convencional gráfica de GANNTTR no indica la o las

causas por las cuales dos o mas tareas se empalman.

3. Cuando los recursos requeridos son limitados, la gráfica de GANNTT

permite la evaluación inicial del uso planeado de los recursos.

OBJETIVOS E INTERCAMBIOS:

En Los proyectos existen por lo general tres objetivos distintos: costos,

programas y funcionamiento. El costo del proyecto es igual a la suma de los

costos directos y los costos indirectos asignados al proyecto. Estos costos

cubren casi siembre la mano de obra. Los materiales y algunos servicios de

apoyo.

El segundo objetivo en la administración e proyectos es la preparación

de programas. Casi siempre se establece la fecha de terminación al principio

de un proyecto, así como también, de algunas actividades importantes.

Además se debe controlar que los costos no se salgan del presupuesto fijado,

también se debe de controlar el programa para que cumpla con las fechas

establecidas. Muy a menudo el programa y el presupuesto se encuentran en

conflicto, ya que para lograr el buen desarrollo de uno, el otro se ve afectado y

viceversa. Así, si se debe tomar la decisión de intercambio tiempo-costo. La

administración debe determinar si el objetivo del programa de tiempo es lo

suficientemente importante para justificar el aumento en los costos.

El tercer objetivo en la administración de proyectos es el funcionamiento,

es decir, las características de funcionamiento del producto o servicio que el

proyecto produce. Al realizar cambios o tomar acciones correctivas para lograr

los requerimientos de funcionamiento, se pueden causar cambios en los costos

y programas.

EJEMPLOS DE PROYECTOS:

• Construcción de edificios.

• Introducción de nuevos productos.

• Investigación y Desarrollo.

• Diseño de sistemas de computación.

• Instalación de equipo.

• Obtención de fondos.

• Enseñanza de un curso.

• Producción de una película.

• Diseño de una campaña publicitaria.

• Inicio de cierre de una planta.

• Manufactura de aviones, barcos y equipo de gran tamaño.

• Auditoría financiera.

PLANEACION Y CONTROL DE PROYECTOS:

Una secuencia general de las decisiones administrativas que se

requieren en todos los proyectos es: planeación, programación y decisiones de

control. La planeación se refiere a aquellas decisiones que se requieren al

principio de un proyecto y mediante las cuales se establece su carácter general

y su dirección. La planeación establece los objetivos principales del proyecto,

los recursos que se requieren, el tipo de organización que debe usarse y las

personas clave que se encargarán de ponerlo en práctica y administrarlo.

La etapa de programación específica el plan del proyecto con mayor

detalle. Esta etapa empieza con la construcción de una lista detallada de las

actividades. Luego se establece un programa detallado de tiempo para cada

actividad utilizando las técnicas CPM o PERT. Una vez que el programa ha

sido terminado se puede desarrollar un presupuesto por etapas que se

coordina con las fechas de inicio y terminación de cada una de las actividades

del proyecto.

El control del proyecto se ejerce supervisando y evaluando cada

actividad a medida que se ejecutan los trabajos. Las actividades deben de

controlarse desde el punto de vista costo, tiempo y funcionamiento, según los

planes del proyecto. Cuando existe una discrepancia significativa entre los

resultados reales y los planes, debe tomarse una acción correctiva. Estas

acciones correctivas pueden incluir la revisión de un plan, la reasignación de

fondos, cambios en el personal y otros cambios en los recursos, como

resultado de las acciones correctivas, debe lograrse que el plan sea otra vez

factible y realista.

ACTIVIDADES Y DECISIONES EN LA ADMINISTRACION DE

PROYECTOS:

A. PLANEACION

Identificación del cliente del proyecto.

Establecimiento del producto o servicio final.

Fijación de los objetivos.

Estimación de los recursos totales y del tiempo requerido.

Decisión de como organizar el proyecto.

Designación y nombramiento del personal clave.

Definición de las principales tareas.

Establecimiento de un presupuesto.

B. PROGRAMACION

Comentario [LBGG1]:

Desarrollo de una detallada estructura de trabajo.

Estimación del tiempo requerido para cada tarea.

Secuencia de las tareas.

Desarrollo del tiempo de inicio y terminación de cada tarea.

Desarrollo del presupuesto detallado de cada tarea.

Asignación del personal de cada tarea.

C. CONTROL

Control de tiempo, costo y financiamiento.

Comparación de lo real contra lo planeado.

Determinación de la necesidad de acción correctiva.

Comparación de lo real contra lo planeado.

Determinación de la necesidad de acción correctiva.

Evaluación de las distintas acciones correctivas.

Puesta en práctica de la acción correctiva apropiada.

Una red de trabajo es mostrada a continuación y en la cual las flechas

representan trabajos o actividades.

1

A( 4 ) D ( 5 ) F ( 10 )

B ( 7 ) G ( 7 )

0 3 4

E ( 0 )

C ( 3 ) H ( 3 )

2

Listado encima de cada línea (flecha) se encuentra la codificación

designada seguida por el tiempo de duración. El camino más largo a través de

la red de trabajo es llamada camino crítico y está representado por la línea

doble. La línea punteada denota actividades con una duración de cero

unidades de tiempo y denota únicamente precedencia.

DEFINICIONES:

PROYECTO: Es un sistema de larga escala que comprime algunas tareas

que tienen que ser coordinadas para permitir un logro exitoso

en los objetivos fijados.

TRABAJO: Uno de los muchos contenidos en las tareas que a su vez

forman un proyecto. Estos trabajos son los que deben ser

coordinados y programados.

FLECHA: Una representación gráfica de un trabajo. Existirán al menos

tantas líneas como trabajos, tareas o actividades existan.

NODO: Puntos del tiempo entre los cuales las actividades pueden ser

programadas. Estos pueden ser presentados por puntos o

círculos y serán usados para conectar las flechas en la

representación gráfica del proyecto.

RED: Es la representación gráfica de tal proyecto, consistiendo en la

relación Nodo-Flecha.

RECURSOS: Toda cosa o elemento requerido para ayudar al exitoso término

del proyecto. Por ejemplo: dinero, equipo, mano de obra y

tiempo.

ALGORITMO PARA DETERMINAR EL CAMINO CRITICO Y

OTRA INFORMACION DE PROGRAMACION EN FORMA

MECANICA:

Esta técnica puede ser aplicada a mano o por computadora. La red es

primeramente resuelta del inicio al final la cual es referida como reglas en

avance. Estas reglas son las siguientes:

1.- El tiempo temprano del evento para el evento fuente (inicial) se

considera igual al cero.

2.- Cada actividad se asume iniciar tan pronto como el evento del cual

ella precede ha sido completado (terminado). El tiempo temprano de

terminación para su actividad es igual al tiempo temprano de iniciación mas su

tiempo de duración.

3.- El tiempo temprano del evento es igual al más largo de los tiempos

tempranos de terminación de las actividades que se unen a este evento.

Regrese al paso 2.

Ahora la red es analizada en manera similar trabajando en retroceso

desde la actividad final. Las reglas son las siguientes:

1.- El tiempo temprano del evento final es igualado a su tiempo más

tardío permisible.

2.- El tiempo de terminación permisible para una actividad es igualado al

tiempo último permisible de su sucesor. El tiempo último de iniciación para una

actividad es su tiempo último de terminación menos su duración.

3.- El tiempo último permisible para un evento es el más pequeño de los

tiempos últimos de iniciación para las actividades que inician o parten de un

evento. Regrese al paso 2.

El algoritmo puede ser estipulado en forma de ecuaciones usando la

siguiente nomenclatura:

t

= Estimación simple del tiempo promedio de duración de una actividad.

TE = Tiempo temprano de la ocurrencia de un evento.

TU = Tiempo último permisible para la ocurrencia de un evento.

TI = Tiempo temprano de iniciación para la actividad.

TT = Tiempo temprano de terminación de una actividad.

UI = Tiempo último permisible de iniciación para la actividad.

UT = Tiempo último permisible de terminación para la actividad.

REGLAS DE AVANCE:

1.- TE=O

2.- TI =TE (Para el evento predecesor); TT =TT+t

3.- TE= Max (TT1,TT2 ,...TTn) Para un evento con n actividades que se juntan a

él.

R

EGRESO AL PASO 2.

1.- TU = TE (Para el nodo terminal o final).

2.- UT = TU (Para el evento sucesor)

3.- TU = Min (U11, U12,.....Uin) Para un evento con n actividades que se originan

en él.

REGRESO AL PASO 2.

El siguiente paso es el concerniente para determinar el camino crítico.

Definiremos el término Holgura para la medida permisible de retraso o

adelanto. Existen dos tipos de Holguras normalmente consideradas; Holgura

Total y Holgura Libre.

Holgura Total (HT)

Es el tiempo que cualquier tarea puede ser retrasada antes de que ésta

afecte el tiempo de terminación del proyecto.

HT = UT - TT = UI - TI

Holgura Libre (HL)

Es el tiempo que cualquier tarea puede ser retrasada antes de que ésta

afecte el tiempo temprano de iniciación de cualquiera de las tareas que la

prosiguen. Para su cálculo se resta el tiempo último de terminación del tiempo

temprano de iniciación de la tarea más próxima o siguiente.

H = Txj - Txi - tij = Txj - Tti

El camino crítico puede ser identificado por aquel camino en que sus

holguras totales sean iguales a cero.

Ejemplo: HT=11 HL=3

0 11 3 14

J ( 3 ) HT=8 HL=8 HT=0 HL=0

6 14 8 19 17 17 25 25

A ( 2 ) B ( 4 ) C ( 3 ) F ( 8)

1 2 3 6 8

0 0 2 2 2 10 6 14 5 5 17 17 HT=5 HL=0

HT=0 HL=0 HT=8 HL=0 HT=0 HL=0 17 22 20 25

D( 3 ) G( 5 )

E( 12 ) H( 3 )

4 5 7

2 2 5 5 5 5 17 17 17 20 22 25

HT=0 HL=0 HT=0 HL=0 HT=5 HL=5

El camino crítico es 1-2-4-5-6-8 con una duración de 25 unidades de

tiempo.

Nodos t Descripción T1 TT UI UT HT HL

de tareas.

*1 2 2 A 0 2 0 2 0 0

1 3 3 J 0 3 11 14 11 3

2 3 4 B 2 6 10 14 8 0

*2 4 3 D 2 5 2 5 0 0

3 6 3 C 6 9 14 17 8 8

*4 5 12 E 5 17 5 17 0 0

*5 6 0 Ficticia 17 17 17 17 0 0

5 7 3 H 17 20 22 25 5 0

5 8 5 G 17 20 22 25 3 3

*6 8 8 F 17 25 17 25 0 0

7 8 0 Ficticia 20 20 25 25 5 5

Las actividades con * indican ser críticas (A-D-E-F) con una duración de

25 unidades de tiempo.

El camino crítico es el camino más largo a través de la red de trabajo

desde el inicio hasta la esperada terminación del proyecto.

TECNICA DE EVALUACION Y REVISION DE PROYECTOS

(PERT)

Uno de los inconvenientes del CPM es que tiene carácter determinístico.

El PERT diseñado para proyectos de investigación y desarrollo, intenta eliminar

algunas de las posibles objeciones del CPM, asumiendo que el tiempo de

duración de cada trabajo o actividad pertenece o se apega a una distribución

de probabilidad, en lugar de tener tiempo de duración constante.

El objetivo del PERT es obtener estimaciones de la media y de la

varianza de la distribución de probabilidad del proyecto en total para cada una

de las actividades. En realidad esta distribución es obtenida para el camino

crítico, el cual asume ser representativo de las características de terminación

del proyecto.

Esta última consideración pudiera no ser válida dependiendo de la

medida relativa y de la distribución de otros caminos en la red, contrastados

con el camino crítico. Una vez que la distribución de probabilidad de realizar

ciertos programas puede ser conocida. Esto da información que puede ser

utilizada en la evaluación de la factibilidad del proyecto.

La probabilidad de distribución de una actividad asume seguir una

distribución BETA, que tiene las características de tener una moda con un

número infinito de puntos finales. Dependiendo de los valores de los

parámetros que describen la distribución esta puede ser o no simétrica.

Posiblemente la razón principal para adoptar la distribución BETA es el hecho

de que la media está basada en tres parámetros O óptimo, M medio y P

pésimo.

Los parámetros O, P. y M pueden ser definidos como sigue:

O ß El tiempo mínimo en el cual una actividad puede ser

razonablemente terminada (tiempo de ruptura en el CPM).

P ß El tiempo máximo en el cual una actividad puede acontecer,

asumiendo un problema de tipo legal.

M ß Este tiempo es el más frecuentemente esperado (tiempo normal

en el CPM).

Aproximaciones de la distribución BETA

0 + 4M + P P - O Media = u = --------------------- Desviación Estándar = σ = ------------ 6 6

Una vez que los valores de O, M, y P han sido estimados para todas las

actividades, sus medidas y desviaciones estándar son calculadas, usando las

aproximaciones BETA. De las medidas de las actividades, el o los caminos

críticos son determinados en la forma del CPM.

El Teorema del límite central es interpretado en la terminación de la

distribución de probabilidad del camino crítico. Básicamente se asume que si

consideramos la suma de un grupo de variables independientes, cada una con

una media µ y una varianza σ2 , entonces la suma de estas variables tendrá

una distribución que se asemeja a la NORMAL, con media µ y que es igual a ∑

µ1 y varianza igual a ∑σ1.

Cuando existen caminos críticos múltiples, la varianza será aquella que

sea mayor de los diferentes caminos críticos. (El método usado para encontrar

la distribución del tiempo de terminación es para encontrar el camino que tenga

el valor esperado no menor que el de todos los otros caminos. Después de que

esto es realizado, PERT asume que la duración del proyecto está normalmente

distribuida con una media igual al valor esperado del camino más largo y

desviación estándar igual a la desviación estándar del mismo camino).

EJEMPLO

La media y la varianza para una actividad particular y seran:

O + 4 M + P ( p - O) ½

µ = σ =

6 6

Area bajo la curva normal

Area con x < Miu Area con X> Miu

La máxima varianza de todos los caminos críticos será la que

representará la varianza del proyecto.

Con los datos de la Distribución Normal es posible determinar las

probabilidades asociadas con ciertos programas. Si la variable estándar Z dada

en la fórmula Z=(x-µ)/σ es negativa, entonces el valor en las tablas de la

Distribución Normal donde los valores son para Z positiva, se resta de 1.

En conclusión diremos que el PERT es valedero para algunos de los

efectos estocásticos prevalentes en proyectos de larga escala en los que existe

la incertidumbre.

A continuación se presenta un ejemplo:

A(7) B(4.5) µTT=14 µTT=17.5

2 µTT=14 µTE=17.5

µTT=0 µTT=7 σTT=109/36 σTT=109/36

µTE=0 µTE=7 σTT=109/36 σTT=109/36

σTT=0 σTT=109/36 E(3.5)

1 σTT=0 σTT=109/36 4 5

P(0)

µTT=7 C(5)

µTE=7

σTT=109/36 D(7)

σTE=109/36 3

G(17.5) F(8.67)

b) Encuentre el área bajo x = 17.5

P( x = µ ) = P( Z = ( 17.5 -17.5 ) / (109 / 36 )1/2 )

Z = (17.5 -17.5) / (109 / 36)1/2 = 0

Buscando en las tablas de la Dist. Normal Z(0.5) = 0

Así, la probabilidad de terminar el proyecto dentro de 17.5 es de .5

c) Encuentre que programa habrá de elaborarse para tener un 95% de

probabilidad de que el proyecto sea terminado (Cuanto tiempo debe durar este

programa).

En la tabla de la distribución normal z ( .95 ) = 1.64

P( x < µ ) = P( Z > ( 17.5 -17.5 ) / (109 / 36 )1/2 )

Z = ( x - 17.5) / (109 / 36 ) ½ = 1.64

despejando x tenemos :

(1.64) (10.45)

x = + 17.45 = 20.45

6

Así, la probabilidad de terminar el proyecto en 21 días es 95%.

P R O B L E M A S

1.- Un pequeño proyecto de investigación esta definido por la red mostrada

aquí. Encuentre el camino crítico.

2 4

2 5 6

3

5 6 5

3

1 4 0 8 9

7 2

4 8

3 7

2.- Un buffet de ingenieros ha acordado hacer el diseño, fabricación y chequeo

de un prototipo de transmisión para una gran compañía de automóviles. Ellos

han identificado las siguientes actividades con sus tiempos asociados y sus

relaciones de precedencia. Construya la red que represente este proyecto y

encuentre el camino crítico.

ACTIVIDAD TIEMPO (SEMANAS) PREDECESORES

INMEDIATOS

1.- Establecer las especificaciones del diseño 1 -

2.- Diseño mecánico 5 1

3.- Diseño eléctrico 2 1

4.- Revisión final del diseño 1 2,3

5.- Preparación del vehículo pruebe 0.5 1,2

6.- fabricar el prototipo 2 4

7.- Llevar acabo la prueba 3 5,6

8.- Preparar los planos detallados 0.5 7

9.- Preparar un reporte final 1 8

3.- Encuentre, por lo menos 4 errores o símbolos innecesarios en la red

mostrada a continuación,

2 8 10

4

1 3 6 9 13 14 15

16

5 7 11 12

4.- Considere el servicio dado a un coche en una gasolinera como un proyecto.

Construya una red apropiada suponiendo que hay dos dependientes

disponibles.

5.- Haga una lista de las actividades que componen el proyecto del problema 1

y escriba las relaciones de precedencia. De esta lista, construya una red,

usando los nodos como actividades (RAN). Compare la red resultante con la

del problema 1. Nótese que no se requieren actividades ficticias. Esto es una

característica del método RAN.

6.- La reparación anual de una turbina de vapor de 50,000 caballos de fuerza

puede ser representada por la siguiente lista de actividades. ACTIVIDAD DURACION PREDECESORES

INMEDIATOS

1.- Apagar la turbina 2 -

2.- Cerrar las líneas de vapor 5 -

3.- Quitar la coraza 3 1

4.- Enfriar las líneas de vapor 8 2

5.- Desconectar las líneas de vapor 10 2

6.- Quitar los rodamientos viejos 4 1,4

7.- Quitar las válvulas 9 3,6

8.- Quitar la tubería 6 3,6

9.- Reparar las líneas de vapor 6 4

10.- Reponer las líneas de vapor 2 4,5

11.- Reponer las válvulas 14 7

12.- Reponer la tubería 8 8

13.- Reponer los rodamientos 6 9,10

14.- Lubricar 11 7,8

15.- Reponer la coraza 15 12,13

A) Construya la red de este proyecto.

B) Haga una tabla que muestre tiempos primeros y últimos de inicio y

terminación, holgura total y holgura libre para cada actividad.

C) Identifique el camino crítico.

7.- La instalación de una nueva computadora digital puede ser descrita por las

siguientes actividades:

ACTIVIDAD DURACION PREDECESORES

INMEDIATOS

1.- Describir las especificaciones 10 -

2.- Requisición de fondos 0.5 1

3.- Construir el exterior del edificio 20 1

4.- Preparación de cotizaciones 5 2

5.- Evaluación de cotizaciones 3 4

6.- Construir el interior del edificio 10 3

7.- Escoger la computadora 1 4

8.- Escoger el equipo de soporte 1 7

9.- Alambrar el interior del edificio 2 3,7

10.- Instalar la computadora 3 9

11.- Instalar el equipo de soporte 1 8

12.- Evaluar el sistema 2 10,11

Construya una red para este proyecto. Encuentre el camino crítico. Encuentre

los tiempos primeros y últimos de iniciación y terminación y las holguras para

cada una de las actividades y muéstrelos en una tabla. Haga una gráfica de

Gantt incluyendo holguras.

8.- La lista de actividades y las relaciones de precedencia que describen un

proyecto son dadas a continuación. Sin embargo, la red por RAF correcta no

expresa la relación de precedencia correcta. Construya la red por RAF

correcta.

ACTIVIDAD PREDECESOR c d

INMEDIATO a

a -

b -

c a, b g

d c, b

e b b

f e, d e f h

g d

h g, f

9.- Suponga que las duraciones actividades para el proyecto de instalación de

una computadora del problema 7 fueran inciertas, pero que tuvieran a la mano

estimaciones de los tiempos optimista, pesimista y mas probable como se

muestra a continuación. Haga el diagrama de la red y encuentre el camino

crítico para el proyecto. Construya un intervalo de confianza aproximado al

95% sobre la duración del proyecto. ¿Cuál sería la probabilidad de terminar el

proyecto, dos semanas antes de la duración media?.

ACTIVIDAD OPTIMISTA PROBABLE PESIMISTA

1 8 10 14

2 0.5 1 2

3 16 20 25

4 3 5 8

5 2 4 4

6 7 10 12

7 1 2 3

8 0.5 2 4

9 0.75 2 2.79

10 1.5 3 4

11 0.75 1 1.5

12 1 2 3

10.- Suponga que las duraciones de las actividades de reparación de una

turbina de vapor descritas en el problema 6 no pueden ser determinadas

exactamente. Los tiempos estimados optimista, pesimista y mas probable se

muestra abajo.

a) Construya la red y encuentre el camino crítico para el proyecto.

b) Calcule un intervalo de confianza del 99% sobre el tiempo de terminación del

proyecto.

c) Encuentre el tiempo, digamos X, Tal de que la probabilidad del tiempo de

terminación del proyecto se exceda en X sea menor que 0.1

aproximadamente.

ACTIVIDAD OPTIMISTA PROBABLE PESIMISTA

1 1 2 3

2 4 5 7

3 1 3 5

4 6 8 10

5 8 10 12

6 3 4 6

7 7 9 10

8 4 6 7

ACTIVIDAD OPTIMISTA PROBABLE PESIMISTA

9 6 7 8

10 1 2 3

11 10 14 16

12 7 8 10

13 4 6 7

14 9 11 12

15 13 15 18

11.- La red PERT para un pequeño proyecto se muestra a continuación junto

con las duraciones estimadas de las actividades. Encuentre el camino crítico y

calcule un intervalo de confianza aproximado del 95% para el tiempo de

terminación del proyecto.

¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto tomara más de 25 períodos de

tiempo?

2 6

1 4 7 8

3 5

ACTIVIDAD TIEMPOS ESTIMADOS

aij Mij bij

(1,2) 2 3 4

(1,3) 2 4 6

(2,4) 5 6 7

(2,6) 4 5 6

(3,4) 7 8 10

(3,5) 6 7 9

(4,6) 3 5 6

(5,7) 3 4 5

(6,7) 1 2 3

(7,8) 1 2 3

12.- De la red PERT mostrada a continuación, encuentre el camino crítico y

calcule un intervalo de confianza aproximada de 95% sobre el tiempo de

terminación del proyecto.

2 7

6 10

1 3 8 11

5

4 9

ACTIVIDAD TIEMPOS ESTIMADOS

aij Mij bij

(1,2) 3 4 5

(1,3) 5 6 8

(1,4) 2 3 4

(2,7) 7 9 10

(3,6) 10 12 15

(4,5) 2 4 5

(4,9) 5 7 8

(5,6) 6 8 9

(6,7) 12 13 15

(6,8) 8 10 11

(7,10) 7 9 12

(8,10) 1 2 4

(9,11) 1 3 4

(10,11) 5 6 7

a) Prob( X ≤ 30)

b) Prob( X > 36)

c) Intervalo de confianza si α=3%

d) Encuentre el tiempo X tal que la prob. De terminación se excede, en X

menor que 0.1

e) Prob( Xy < 25)

f) Prob( Xq ≥ 15)