SEÑALES Y SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO

sesion2

Definiciones preliminaresUna señal se define como una cantidad física que varía con el tiempo, el espacio o cualquier otra variable o variables independientes. Matemáticamente, describimos una señal como una función de una o más variables independientes.

Por ejemplo, las funciones

Señales digitales y sistemas

Describen dos señales, una que varía linealmente con la variable independiente t (tiempo) y una segunda que varía cuadráticamente con t. Las señales descritas en (1) y (2) pertenecen a las clases de señales que quedan perfectamente definidas especificando la dependencia funcional con la variable independiente

Sin embargo, existen casos en los que dicha relación funcional es desconocida o demasiado complicada como para tener utilidad práctica.

Por ejemplo, una señal de voz no se puede describir funcionalmente mediante expresiones como (1)

En general, un segmento de voz puede representarse con un alto grado de exactitud como la suma de varias sinusoides de diferentes amplitudes y frecuencias, esto es, como

Donde:

son los conjuntos (probablemente variables en el tiempo) de amplitudes, frecuencias y fases, respectivamente de las sinusoides

De hecho, una manera de interpretar la información o el mensaje

contenido en un segmento corto de una señal de voz es

medir las amplitudes, frecuencias y fases contenidas en el segmento corto de señal.

Otros ejemplos de señales naturales sonlos electrocardiogramas y los electroencefalogramas. Las señales de voz, los electrocardiogramas y los electroencefalogramas son ejemplos de señales que portan información y que varían como funciones de una única variable independiente, el tiempo

Asociados a las señales naturales se encuentran los medios con los que se generan.Por ejemplo, las señales de voz se generan al forzar el paso del aire a través de las cuerdas vocales.Las imágenes se obtienen exponiendo película fotográfica ante un paisaje u objeto.Por lo tanto, la forma en la que se generan las señales se encuentra asociada con un sistema que responde ante un estímulo o fuerza.

En una señal de voz, el sistema está constituido por las cuerdas vocales y el tracto bucal, también llamado cavidad bucal. El estímulo en combinación con el sistema se llama fuente de la señal

Un sistema se puede definir también como un dispositivo físico que realiza una operación sobre una señal.

Por ejemplo, un filtro que se usa para reducir el ruido y las interferencias que corrompen una señal también se denomina sistema En este caso, el filtro realiza algunas operaciones sobre la señal cuyo efecto es reducir (filtrar) el ruido y la interferencia presentes en la señal deseada.

Cuando pasamos una señal a través de un sistema, como en el caso del filtrado, decimos que hemos procesado la señal En este caso, el procesamiento de la señal implica la separación de la señal deseada del ruido y la interferenciaEn general, el sistema se caracteriza por el tipo de operación que realiza sobre la señal

Los métodos que usamos en el procesamiento de una señal o en el análisis de la respuesta de un sistema a una señal dependen fuertemente de las características de la señal en particular.

Existen técnicas que se aplican solo a familias específicas de señales.

En consecuencia, cualquier investigación en procesamiento de señales debe comenzar con la clasificación de las señales que se encuentran en la aplicación concreta.

Clasificación de las señales

Trataremos con 4 tipos de señales: Analógicas, x(t) : Amplitud y Tiempo continuos. Muestreadas Xs[n] : Tiempo Discreto, Amplitud continua. Cuantizada XQ(t) : Tiempo Continuo, Amplitud discreta. Digital XQ[n] : Tiempo y Amplitud

Un sistema en tiempo continuo, las señales de entrada y salida están representadas en tiempo continuo.

Un sistema en tiempo discreto, las señales de entrada y salida están representadas en tiempo discreto.

Un sistema digital, las señales de entrada y salida son digitales.

En el Procesamiento Digital de Señales, las señales son discretas tanto en amplitud como en el tiempo y puede realizarse tanto en software como en hardware, usando en este ultimo caso técnicas VLSI.

La señales discretas pueden ser obtenidas de maneras diferentes:

a. Por muestreo de una señal continua. b. Generados por algún proceso discreto.c. Modelo matemático.

2.2 SEÑALES EN TIEMPO DISCRETO : SECUENCIAS

Las señales a tiempo discreto, son representadas como una secuencia denúmeros. Una secuencia de números x, en la cuál el número n en la secuencia x[n], es escrita como:

donde

n, es un entero. En la práctica, las secuencias pueden a menudo ser obtenidas por un muestreo periódico de una señal análoga.

En este caso, el valor numérico del número n, en la secuencia es igual al

valor de la señal análoga al tiempo nT; es decir

nT : tiempo de la secuenciaT : periodo de muestreo 1/T : frecuencia de muestreox[n] : muestra n. Es indefinida para valores no enteros de n.

Un sistema discreto es un algoritmo que permite transformar una secuencia en otra.

Los sistemas discretos pueden clasificarse en estáticos o dinámicos

Un sistema discreto es estático cuando el elemento de la secuencia de salida de un cierto índice depende únicamente del elemento de la secuencia de entrada del mismo índice.

El sistema discreto se denomina dinámico, cuando , la secuencia de salida de un cierto índice depende de las secuencias de entrada y salida de órdenes distintos al suyo

Un sistema discreto es causal si el valor de un elemento de la secuencia de salida depende únicamente de la secuencia de entrada y salida de menor o igual índice.

Las señales discretas, x[n], es decir, las secuencias, son a menudo representadas gráficamente, tal como se muestra en la figura

Ejemplo 2.1En la figura , se muestra una secuencia, de una señal sinusoidal.

Una señal sinusoidal de amplitud A, frecuencia ωo y fase f en tiempo continuo esta dada por:

En tiempo discreto t=nTs, donde Ts es el periodo de muestreo, entonces:

Donde A fo/fs se la denomina frecuencia normalizada fs es la frecuencia de muestreo.

Genere y represente gráficamente mediante la función stem una señal cosenoidal en tiempo discreto de N muestras, cuyos parámetros son:

A = 10, fo = 10 Hz, fs = 1000 Hz, φ = 0° N = 100.

solución:El siguiente script genera una señal senoidal de N=100 muestras en Matlab:

%Señal senoidal% Señal en tiempo continuo% X(t) = A sen(W0*t+phi)% Señal discreta -> t = nTs, donde Ts es el período de muestreo% X[n] = A sen (W0*nTs+hi) = A sen(2*pi*f0/fs*n +phi) W0 = 2*pi*f0% fn = f0/fs es la frecuencia normalizada y fs la frecuencia de muestreoA = 10; % Amplitudf0 = 10; % Frec de la señal en Hzfs = 1000; % Frec de muestreo en Hzphi = 0; % pi/2; % FaseN=100; % Número de muestrasn=0:N-1;y=A*sin(2*pi*(f0/fs)*n+phi); % Señal senoidalfigure(1);stem(n,y,'r');title('Señal Senoidal de 10Hz');xlabel('n (muestras)');ylabel('y[n]');

El escalón unitario tiene como expresiónu[n] = 1 para n >= 0u[n] = 0 para n < 0. Genere y represente gráficamente la secuencia escalón unitario de longitud L=20.

Escalón unitario

% Escalon unitarioL = 20;% Vector para graficar el escalónn= -L:1:L;% Crear señal "escalon_unitario" y setear todos sus elementos a ceroescalon_unitario = zeros(size(n));% Setear todos los elementos con n>=0 a 1escalon_unitario(n>=0) = 1;figure(1);%Grafico en la figura 1 el escalónstem(n,escalon_unitario);axis([-L L -0.5 1.5]);title('Señal escalón');xlabel('n (muestras)');ylabel('x[n]');

Señales exponenciales Una señal exponencial en tiempo discreto es de la forma: X[n] = siendo a un número real y n= 0, 1, 2, 3, 4...Si 0 < a < 1 o -1 < a < 0, entonces la exponencial es decrecienteSi a > 1 o a < -1, entonces la exponencial es creciente Genere y represente gráficamente las señales exponenciales decrecientes y crecientes de longitud L=20.

% Exponenciales tiempo discretofigure(1);L = 20;% Exponencial Decreciente 1 con 0 < a < 1a=0.5;exp1 = zeros(1,L);for n=0:L-1 exp1(n+1)=a^n;Endn=0:L-1;subplot(2,2,1),stem(n,exp1),title('Exponencial Decreciente 1');

Exponencial Decreciente 2 con -1 < a < 0a=-0.5;exp2 = zeros(1,L);for n=0:L-1 exp2(n+1)=a^n;endn=0:L-1;subplot(2,2,2),stem(n,exp2),title('Exponencial Decreciente 2');% Exponencial Creciente 1 con a > 1a=2;exp3 = zeros(1,L);for n=0:L-1 exp3(n+1)=a^n;endn=0:L-1;subplot(2,2,3),stem(n,exp3),

title('Exponencial Creciente 1');

% Exponencial Creciente 2 con a < -1a=-2;exp4 = zeros(1,L);for n=0:L-1 exp4(n+1)=a^n;end

n=0:L-1;subplot(2,2,4),stem(n,exp4),title('Exponencial Creciente 2');

Secuencias Básicas y Operaciones con Secuencias

a. Producto de dos secuencias x[n].y[n]

b. Suma de dos secuencias x[n] + y[n]

c. Multiplicación por un número

d. Retardo de una secuencia

Una secuencia y[n], esta retrasada con respecto a x[n] si: y[n] = x[n-no]

no : es un entero

e. Secuencia de una Muestra Unitaria

Por ejemplo, una secuencia p[n] puede ser expresada como

En general alguna secuencia puede ser expresada como

f. Secuencia de Paso Unitario

En función del impulso

La respuesta impulso en función del paso unitario se puede expresar como:

g. Secuencia Exponencial

La forma general para una secuencia exponencial es

donde N, es necesariamente un entero. Si esta condición para la periodicidad, es probada para una onda sinusoidal en tiempo discreto, entonces

el cuál requiere que

donde k, es un entero. En la figura , se muestra una onda sinusoidal en tiempo discreto, para dos valores de Wo

La señal cos won, para dos valores de wo

Un sistema discreto, es definido matemáticamente como una transformación

SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO

y[n] = T{x[n]}

Un sistema en tiempo discreto es un operador matemático que transforma una señal en otra por medio de un grupo fijo de reglas y funciones.

La notación T[.] es usado para representar un sistema general, tal

como se muestra en la Figura en el cual, una señal de entrada x(n) es transformada en una señal de salida y(n) a través de la

transformación T[.].

Las propiedades de entrada-salida de cada sistema puede ser especificado en algún número de formas diferentes.

Representación de un sistema a tiempo discreto

Ejemplo Sistema de retardo ideal

Ejemplo Movimiento promedio

O Un sistema, es denominado sin memoria, si la salida y[n], a cada valor de n depende, solo si en la entrada, x[n] tiene el mismo valor n.

1. Sistemas sin Memoria

Ejemplo

Un sistema en tiempo discreto se denomina estático o sin memoria si su salida en cualquier instante n depende a lo sumo de la muestra de entrada en ese mismo instante, pero no de las muestras pasadas y/o futuras en la

Ejemplo 1. Determine si los siguientes sistemas Discretos son estáticos (sin memoria) ó dinámicos (con memoria)

Los sistemas, en general, pueden subdividirse en lineales y no lineales.

Un sistema lineal es aquel que satisface el principio de superposición. De forma sencilla se puede decir que el principio de superposición exige que la respuesta del sistema a una suma ponderada de señales sea igual a la correspondiente suma ponderada de las salidas a cada una de las señales de entrada.

En otras palabras, un sistema T[.] es lineal si para dos entradasx1(n) y x2 (n) y dos constantes a y b se cumple la siguiente propiedad

2 Sistemas Lineales y No-Lineales

Para cualesquiera secuencias arbitrarias de entrada x 1(n) y x2(n) y cualesquiera constantes arbitrarias a y b.

donde ɑ es una constante arbitraria.

aditividad

escalamiento

Esas dos propiedades pueden ser combinadas con el principio de superposición

Esto puede ser generalizado con la superposición de muchas entradas

Si un sistema produce una salida distinta a cero cuando la entrada es cero el sistema no está en reposo o es no lineal.

Ejemplo

Determine para cada uno de los sistemas discretos si son lineales o no-lineales.

Sistemas invariantes e variantes en el tiempo

Un sistema se dice invariante en el tiempo si sus características de entrada y salida no cambian con el tiempo.

Para entender esto, supóngase que se tiene el sistema T[.] en reposo y que, cuando es excitada con una señal x(n), produce una señal de salida y(n). Entonces, se puede escribir

Supóngase ahora que esa misma entrada es retardada k unidades de

tiempo para dar lugar a x(n – k), y de nuevo se aplica al mismo sistema. Si las características del sistema no cambian con el tiempo, la salida del

sistema del sistema en reposo será y(n – k), es decir, la salida será la misma que la correspondiente a la entrada x(n), excepto que este estará retardada las mismas k unidades de tiempo que se retardó la entrada.

Esto conduce a definir un sistema invariante en el tiempo o invariante ante desplazamientos de la siguiente forma:

Teorema: un sistema en reposo T[.] es invariante en el tiempo o invariante a desplazamientos si y solo si

para toda señal de entradas x(n) y todo desplazamiento temporal k

Para determinar si un sistema dado es invariante en el tiempo, necesitamos realizar el test especificado en la definición precedente. Básicamente, excitamos al sistema con una secuencia de entrada arbitraria x(n) que produce una salida y(n). En seguida, se retarda la señal de entrada la cantidad k y se recalcula la salida. En general, se puede escribir la salida como

Si la salida cumple con y(n,k) = y(n – 1), para todos los valores de k, elsistema es invariante en el tiempo. En cambio, si la salida no cumple para un valor de k, el sistema es variante en el tiempo

Ejemplo . Determine para cada uno de los sistemas discretos si son variante o invariantes en el tiempo

Teorema: Se dice que un sistema es causal si la salida del sistema en cualquier instante n (es decir y(n)) depende solo de las entradas presentes y pasadas (es decir, de x(n), x(n –1 ), x(n – 2), ...). En términos matemáticos, la salida de un sistema causal verifica una ecuación de la forma

Sistemas Causales y No Causales

donde, F[.] es una función arbitraria. Si un sistema no satisface esta definición se dice que no es causal. En un sistema no causal, depende no solo de las entradas pasadas y presentes sino también de las futuras.

Es evidente que un sistema en tiempo real no se dispone de las entradas futuras de la señal y, por lo tanto, un sistema no causal no puede ser implementado físicamente.

Por otra parte, si la señal se graba de manera que el procesado no se realiza en tiempo real, es posible implementar sistemas no causales, ya que todos los valores de la señal se encuentran disponibles en el momento del procesado. Este es, a menudo, el caso de señales geofísicas e imágenes.

Ejemplo. De los siguientes sistemas, determine si son causales o no.Explique ampliamente.

Es un Sistema Causal porque depende solo de las muestras actuales y pasadas en el tiempo.

Es un Sistema NO-Causal porque depende de las muestras futuras en el tiempo.

La estabilidad es una propiedad muy importante que debe ser considerada en cualquier aplicación práctica de un sistema. Los sistemas inestables presentan un comportamiento errático y extremo que es causa del desbordamiento del sistema en aplicaciones prácticas. Aquí se define matemáticamente lo que se quiere decir con un sistema estable y, sus consecuencias de esta definición en sistemas invariantes con el tiempo.

Teorema: Un sistema arbitrario en reposo se dice que es limitada en la entrada y salida (BIBO, bounded input–bounded output), si y solo si toda la entrada acotada produce una salida acotada.

Matemáticamente, el acotamiento de las secuencias de entrada y de salida, x(n) e y(n), se traducen en la existencias de un par de números finitos, digamos M x y M y , tales que

Sistemas Estables e Inestables

Si para alguna entrada acotada x(n) la salida no es acotada (es infinita), elsistema se clasifica como inestable.

Ejemplo Se considera un sistema no-lineal descrito mediante lasiguiente relación de entrada-salida:

con la entrada del sistema la señal acotada definida como x(n) = Cd(n), donde C es una constante y además y(–1) = 0. Entonces la secuencia de salida es

Claramente, la salida no está acotada si 1 < |C|< 8. Por lo tanto, el sistemaes inestable dado que la entrada acotada a producido una salida no acotada.

Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo

El análisis de los sistemas de tiempo discreto (y también de tiempo continuo) depende fuertemente de la estructura intrínseca de los mismos, siendo el mismo en general complejo desde el punto de vista matemático y operacional.

Sin embargo el caso de los sistemas LTI es particularmente importante, ya que ambas propiedades, linealidad e invarianza en el tiempo, permiten un análisis en extremo simple (en comparación con sistemas que no cumplen estas propiedades)!!

La clave en la \simpleza" de descripcion en el analisis de estos sistemas radica fundamentalmente en Principio de superposición (por ser sistema lineal) El retardo temporal de las señales de entradas no altera la forma

de las señales de salida (por ser invariante en el tiempo).

Recordando que la definición del impulso unitario en tiempo discreto es claro que cualquier señal en tiempo discreto x[n] se puede expresar como

Podemos expresar cualquier señal en tiempo discreto como una superposición lineal de señales sumamente simples como [n].

Ejemplo

supongamos que tenemos un sistema lineal T . Definimos las respuestas de este sistema a los impulsos unitarios desplazados de la siguiente forma:

Debemos interpretar a h[n; k] como una familia de señales de n indexadas en k. Para cada retardo k cada respuesta h(n; k) en el tiempo n es en principio diferente!

Mediante el conocimiento de las señales h[n;k] podemos aplicar superposición para calcular la salida del sistema T cuando la entrada es x[n]

Conociendo la respuesta del sistema lineal a los impulsos desplazados podemos calcular, por medio de una suma ponderada adecuada, la respuesta del mismo a cualquier entrada x[n]. Notar que hasta el momento solo hemos usado la propiedad de linealidad de T , con lo cual esto es valido a un cuando el sistema es variante en el tiempo

Ejemplos:1) Sea un sistema LTI con respuesta al impulso h[n] y sea la señal de entrada

La salida al sistema se puede escribir como

y[n] = h[n]-3h[n-1]+2h[n- 2]

La salida del sistema se puede pensar como la superposición de «ecos" de la respuesta al impulso ponderada por los valores de la señal de entrada en cada retardo!!

2) Consideremos el mismo ejemplo anterior pero particularizando al caso en el que

Suponiendo que queremos calcular la salida y[n] para un valor jo de n podemos considerar la suma de convolución

pensando que estamos sumando el producto de dos funciones de k donde n es ahora un parámetro.

Notar que para salida y[n] al tiempo n debemos considerar la respuesta al impulso reflejada con respecto al origen y desplazada en una cantidad n!!

Notar que

EjemploCalcule la salida y[n], de un sistema lineal invariante en el tiempo, si la entrada x[n] y su respuesta impulsional h[n], están representadas en la figura

Señal de entrada x[n] y respuesta impulsional h[n]

Propiedades de Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo

Los sistemas lineales invariantes en el tiempo son estables si larespuesta impulsional es absolutamente sumable, es decir:

Ejemplo : Retardo ideal

Ejemplo : Acumulador

Ejemplo : Diferencia adelantada

Ejemplo : Diferencia retardada

Un sistema lineal invariante en el tiempo, en el cuál la entrada x[n] y la salida y[n] satisfacen una ecuación lineal de orden N con coeficientes constantes de la forma

Ecuaciones Diferencia Lineales con Coeficientes Constantes

Ejemplo

Diagrama de bloque, de unaecuación diferencia lineal recursiva